intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình Toán cao cấp B1: Phần 2 - Trường CĐ Công nghệ thông tin TP. HCM

Chia sẻ: Ganuongmuoimatong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST
Báo xấu
36
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán cao cấp B1: Phần giải tích - Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân hàm một biến; Phép Tính vi phân hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp B1: Phần 2 - Trường CĐ Công nghệ thông tin TP. HCM

  1. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN CHƯƠNG III TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ 3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I. Nguyên hàm và tích phân bất định 1. Định nghĩa nguyên hàm Hàm F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm f ( x ) trên def miền D ⇔ F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D . Chú ý: Họ hàm F ( x ) + C , ∀C = const cũng là nguyên hàm của hàm f ( x ) trên miền D. VÍ DỤ 1 x3 Cho hàm f ( x ) = x 2 , họ các nguyên hàm là F ( x ) = +C. 3 Định lý Mọi hàm f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] thì có nguyên hàm trên đoạn đó. 2. Định nghĩa tích phân bất định () Tích phân bất định của hàm f x trên D là F ( x ) + C, ∀C = const với F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) . def Ký hiệu là ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ F ' ( x ) = f ( x ) . 3. Các tính chất của tích phân bất định TC1: ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) hay d ⎡⎣ ∫ f ( x )dx ⎤⎦ = f ( x ) TC 2 : ∫ dF ( x ) = F ( x ) vaø ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C 73
  2. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN TC 3 : ∫ Cf ( x ) dx = C ∫ f ( x ) dx TC 4 : ∫ ⎡⎣ f ( x ) ± g ( x )⎤⎦ dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx TC 5 : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt TC 6 : ∫ f ( u ) du = F (u) + c; vôùiu = u( x ) 4. Bảng các tích phân cơ bản 1) ∫ adx = ax + c 1') ∫ adu = au + c ; u=u(x) x α +1 uα +1 2)∫ x dx = α +c 2')∫ u du = α +c (1 + α ) 1+α 1 1 3) ∫ dx = ln x + c 3') ∫ du = ln u + c x u 4)∫ e x dx = e x + c 4 ') ∫ e u du = e u + c ; 5)∫ sin xdx = − cos x + c 5')∫ sin udu = − cos u + c 6) ∫ cos xdx = sin x + c 6') ∫ cos udu = sin u + c 1 1 7) ∫ dx = tgx + c 7') ∫ du = tgu + c cos2 x cos2 u dx du 8) ∫ = arcsin x + c 8') ∫ = arcsin u + c 1 − x2 1 − u2 dx du 9) ∫ = arctgx + c 9') ∫ = arctgu + c 1 + x2 1 + u2 dx x du u 10)∫ = ln tg + c 10')∫ = ln tg + c sin x 2 sin u 2 dx x π du u π 11)∫ = ln tg( + ) + c 11')∫ = ln tg( + ) + c cos x 2 4 cos u 2 4 74
  3. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN dx 1 x 12) ∫ = arctg + c 12 ')∫ 2 du 2 = 1 arctg u + c x +a2 2 a a u +a a a dx du 13) ∫ 2 = − cot gx + c 13')∫ 2 = − cot gu + c sin x sin u cos ax 14)∫ eα x dx = α −1eα x + c 15) ∫ sin axdx = − +c a sin ax 16)∫ cos axdx = +c a dx 1 x−a 17) ∫ 2 = ln + C. ( x − a ) 2a x + a 2 II. Các phương pháp tính tích phân bất định 1) Phương pháp đổi biến số * Neáu x = ϕ t , ( ) ϕ ( t ) laø haøm khaû vi ñôn ñieäu thì ∫ f ( x ) dx = ∫ f (ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) dt * Neáu ñaët t = ψ ( x ) , ψ ( x ) laø haøm khaû vi, khi ñoù ∫ f (ψ ( x ) ) .ψ ' ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt. sin 3 x VÍ DỤ 2 Tính tích phân sau: I = ∫ dx 3 x2 BÀI GIẢI Đặt t = 3 x ⇒ x = t 3 ⇒ dx = 3t 2 dt vaø 3 x2 = t2 sin 3 x 3t 2 .sin t I =∫ dx = ∫ dt 3 x2 t2 = 3∫ sin tdt = −3cos t + C = −3cos 3 x + C 75
  4. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 2) Phương pháp tích phân từng phần Định lý Nếu u ( x ) ; v ( x ) là các hàm khả vi thì khi đó ∫ udv = uv − ∫ vdu Chú ý: Khi sử dụng tích phân từng phần chúng ta nên biến đổi trực tiếp chọn u, v sao cho dễ tìm. VÍ DỤ 3 Tính I = ∫ e sin 2 xdx 3x ⎧ du = 3e 3 x dx ⎧u = e3x ⎪ ⎨ ⇒⎨ 1 ⎩ dv = sin 2 xdx ⎪v = − cos 2 x ⎩ 2 1 3x I = − ⎡⎣ e cos 2 x − ∫ 3e cos 2 xdx ⎤⎦ 3x 2 1⎡ 3 ⎤ = − ⎢ e 3 x cos 2 x − ∫ e 3 x d sin 2 x ⎥ 2⎣ 2 ⎦ 1⎡ 3 ⎤ = − ⎢ e 3 x cos 2 x − ( e 3 x sin 2 x − 3∫ e 3 x sin 2 xdx ) ⎥ 2⎣ 2 ⎦ 1 3 9 = − e 3 x cos2 x + e 3 x sin 2 x − ∫ e 3 x .sin 2 xdx 2 4 4 I ⎛ 9⎞ 1 3x 3 3x Vậy: ⎜ 1 + ⎟ I = − e cos2 x + e sin 2 x + C ⎝ 4⎠ 2 4 4 ⇒ I = e 3 x ( −2 cos2 x + 3sin 2 x ) + C ' 13 VÍ DỤ 4 Tính I = ∫ arctgxdx 76
  5. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN I = ∫ arctgx dx = x.arctgx − ∫ xd ( arctgx ) dv u 1 d (1 + x ) 2 x = x.arctgx − ∫ 2 dx = x.arctgx − ∫ x +1 2 1 + x2 1 = x.arctgx − ln (1 + x 2 ) + C. 2 Chú ý: Có các dạng để sử dụng công thức tích phân từng phần sau sin ( ax + b ) a) ∫ P ( x ) . cos ( ax + b ) . dx u e ax +b dv ln ( ax + b ) b) ∫ P ( x ) . arctgx; arc cot gx . dx v' arcsin x; arccos x u trong ñoù P ( x ) laø haøm ña thöùc hoaëc haøm muõ. VÍ DỤ 5 Tính trong trường hợp tổng quát a) I = ∫ e sin bxdx vaø J = ∫ e ax cos bxdx ax b) I = ∫ sin ( ln x ) dx vaø J = ∫ cos ( ln x ) dx Đáp số 77
  6. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN e ax a) I = ∫ e sin bxdx = 2 ax ( a sin bx − b cos bx ) + C a + b2 e ax vaø J = ∫ e ax cos bxdx = 2 ( b sin bx + a cos bx ) + C a + b2 x b) I = ∫ sin ( ln x ) dx = ⎡sin ( ln x ) − cos ( ln x ) ⎤⎦ + C dv 2⎣ u x vaø J = ∫ cos ( ln x ) dx = ⎡sin ( ln x ) + cos ( ln x ) ⎤⎦ + C 2⎣ III. Tích phân một số hàm sơ cấp 1. Tích phân các hàm phân thức hữu tỷ Pn ( x ) Cho hàm phân thức f ( x ) = là hàm phân thức thực Qm ( x ) sự nếu n < m, là hàm phân thức không thực sự nếu m ≥ n. A Dạng I: ∫ x − a dx = A ln x − a + C DạngII: A 1 dx = A ∫ ( x − a ) dx −m ∫ dx = A ∫ ( x − a) ( x − a) m m A ( x − a) 1− m = 1− m +C ( ∀m ≠ 1) Mx + N Dạng III Tính ∫x 2 + px + q dx (Δ = p 2 − 4q < 0 ) 78
  7. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN Ta bieán ñoåi nhö sau : 2 ⎛ p⎞ ⎛ p2 ⎞ x + px + q = ⎜ x + ⎟ + ⎜ q − ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎧ p p ⎪⎪t = x + 2 ⇒ x = t − 2 vaø dx = dt Ñaët : ⎨ ⎪a2 = q − p 2 ⎪⎩ 4 ⎛ p⎞ ⎛ Mp ⎞ M⎜t − ⎟ + N Mt + ⎜ N − Mx + N ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ∫ x 2 + px + q dx = ∫ t 2 + a2 dt = ∫ dt ( ) t 2 + a2 Mt ⎛ Mp ⎞ dt M dt 2 ⎛ Mp ⎞ dt =∫ dt + ⎜ N − ⎟ ∫ = ∫ +⎜ N − ⎟ ∫ t +a 2 2 ⎝ 2 ⎠ t +a 2 2 2 t +a ⎝ 2 2 2 ⎠ t + a2 2 M ⎛ Mp ⎞ 1 t = ln ( t 2 + a 2 ) + ⎜ N − ⎟ .arctg + C 2 ⎝ 2 ⎠a a Vậy Mx + N ∫ (x dx 2 + px + q ) M 2 N − Mp 2x + p = ln ( x 2 + px + q ) + .arctg +C. 2 4q − p 2 4q − p 2 Vận dụng 3 3 3x + 1 (2 x + 1) − 3 d ( x 2 + x + 1) 3 dx 2 2 ∫ x + x +1 2 dx = ∫ x + x +1 2 dx = ∫ 2 2 x + x +1 − ∫ 2 2 x + x +1 79
  8. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN Định lý Mọi đa thức bậc n với hệ số thực Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 +.......+ an-1xn-1 + anxn ( an ≠ 0) luôn luôn phân tích được thành tích các thừa số là nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai không có nghiệm thực (trong đó có thể có những thừa số trùng nhau). Nghĩa là: Pn ( x ) = an ( x − a ) ( x − b ) . . . ( x 2 + px + q ) . . .(α + β + . . . + θ = n ) α β θ Khi đó mọi hàm phân thức Pn ( x ) có thể phân tích được thành Qm ( x ) tổng của những phân thức tối giản. Pn ( x ) A A1 Bx + C = α + α −1 + . . . + θ + . .. Qm ( x ) ( x − a ) ( x − a ) ( x 2 + px + q ) Việc lấy tích phân ở vế trái thì ta đưa về việc lấy tổng các tích phân của các phân thức tối giản ở vế phải. 1 VÍ DỤ 6 Tính I = ∫ dx ( x − 1)( x + 1) ( x 2 + 3) BÀI GIẢI 1 A B Cx + D Ta có = + + 2 ( x − 1)( x + 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x + 1) x + 3 2 = (A + B + C)x 3 + ( A − B + D ) x 2 + ( 3 A + 3 B − C ) x + ( 3 A − 3B − D ) ( x − 1)( x + 1) ( x 2 + 3) Đồng nhất hệ số ta được ⎧A + B + C = 0 ⎧ 1 1 ⎪A − B + D = 0 ⎪ ⎪⎪ A = 8 B=− 8 ⇒⎨ ⇒⎨ ⎪3 A + 3B − C = 0 ⎪C = 0 D=− 1 ⎪⎩3 A − 3B − D = 1 ⎩⎪ 4 80
  9. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN Vậy 1 1 1 dx 1 dx I= ∫ dx − ∫ − ∫ 2 8 x −1 8 x +1 4 x + 3 ⎛ x ⎞ d⎜ ⎟ 1 1 1 ⎝ 3⎠ = ln x − 1 − ln x + 1 − ∫ 8 8 4 3 ⎛ x ⎞ 2 ⎜ ⎟ +1 ⎝ 3⎠ 1 x −1 1 x = ln − arctg + C. 8 x +1 4 3 3 x2 + 1 VÍ DỤ 7 Tính I = ∫ dx ( x − 1) ( x + 3) 3 BÀI GIẢI Ta có x2 + 1 A B C D = 3 + 2 + + ( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x + 3) 3 1 3 5 5 Đáp số A= B= C= D=− 2 8 32 32 Vậy x2 + 1 I =∫ dx ( x − 1) ( x + 1) 3 1 dx 3 dx 5 dx 5 dx = ∫ + ∫ + ∫ − ∫ 2 ( x − 1) 8 ( x − 1) 32 ( x − 1) 32 x + 3 3 2 1 3 5 x −1 =− 2 − + ln +C . 4 ( x − 1) 8 ( x − 1) 32 x + 3 81
  10. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 2. Tích phân các hàm lượng giác Dạng I: Lấy tích phân của hàm f ( x ) = R ( sin x; cos x ) là hàm hữu tỷ theo sin và cos thì phương pháp chung đặt x 2dt t = tg ( −π < x < π ) ⇒ dx = d ( 2arctgt ) = 2 1 + t2 Các công thức lượng giác cần nhớ 2t 1 − t2 sin x = ; cos x = ; 1 + t2 1 + t2 dx dx VÍ DỤ 8 Tính I = ∫ vaø J = ∫ sin x cos x BÀI GIẢI x Đặt t = tg ( −π < x < π ) 2 2dt 2t ⇒ dx = d ( 2arctgt ) = và sin x = 1 + t2 1 + t2 dx 1 + t2 2 du x I =∫ =∫ . dt = ∫ = ln u + C = ln tg + C. sin x 2t 1 + t 2 u 2 Tương tự dx ⎛π x ⎞ J=∫ = ln tg ⎜ + ⎟ + C cos x ⎝ 4 2⎠ dx VÍ DỤ 9 Tính I = ∫ 4sin x + 3cos x + 5 82
  11. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN x Ta đặt t = tg ( −π < x < π ) 2 2dt ⇒ dx = d ( 2arctgt ) = 1 + t2 dx I =∫ 4sin x + 3cos x + 5 2 1 + t2 2 =∫ dt = ∫ dt 4. 2t + 3. ( ) +5 1 − t 2 2 t 2 + 8t + 8 1+ t 2 1 + t2 dt 1 1 =∫ =− +C= − + C. (t + 2) 2 t+2 x tg + 2 2 Trường hợp đặc biệt • Nếu hàm f ( x ) = R ( sin x; cos x ) lẻ theo hàm cosx thì đặt t = sin x • Nếu hàm f ( x ) = R ( sin x; cos x ) lẻ theo hàm sinx thì đặt t = cos x • Nếu hàm f ( x ) = R ( sin x; cos x ) chẵn theo hàm sinx; cosx thì đặt t = tgx hoaë c t = cot gx VÍ DỤ 10 Tính I = ∫ sin x cos xdx . 2 3 BÀI GIẢI Ta nhận thấy hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cosx nên ta đặt: 83
  12. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 1 t = sin x ⇒ x = arcsin t ⇒ dx = dt 1 − t2 Suy ra I = ∫ sin 2 x cos3 xdx = ∫ t 2 (1 − t 2 ) dt = ∫ ( t 2 − t 4 ) dt t3 t5 sin3 x sin 5 x = − +C = − +C 3 5 3 5 dx VÍ DỤ 11 Tính I = ∫ sin x.cos2 x Hướng dẫn giải Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với sinx (không phải là hàm lẻ của cos2x) nên ta đặt 1 t = cos x ⇒ x = arccos t ⇒ dx = − dt 1 − t2 dx VÍ DỤ 12 Tính I = ∫ sin x cos2 x 4 Hướng dẫn giải Ta nhận thấy hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sinx và cosx nên ta đặt: 1 t = tgx ⇒ x = arc tgt ⇒ dx = dt 1 + t2 2 1 Đáp số I = tgx − − + C. tgx 3tg3 x Dạng 2 Tích phân dạng tích ta luôn phải đưa về dạng tổng I = ∫ sin ax sin bxdx; J = ∫ sin ax cos bxdx; K = ∫ cos ax cos bxdx Sử dụng công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng: 84
  13. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 1 cosx.cos y = ⎡⎣ cos ( x − y ) + cos ( x + y ) ⎤⎦ 2 1 sinx.sin y = ⎡⎣ cos ( x − y ) − cos ( x + y ) ⎤⎦ 2 1 sinx.cos y = ⎡⎣sin ( x − y ) + sin ( x + y ) ⎤⎦ 2 VÍ DỤ 13 Tính I = ∫ sin 2 x.cos5 xdx BÀI GIẢI 1 1 sin 2 x cos5 x = [sin(2 x − 5 x ) + sin(2 x + 5x )] = [ − sin 3x + sin 7 x ] 2 2 1⎡ 1 1 1 1 I= − ∫ sin 3xdx + ∫ sin 7 xdx ⎤ = . cos 3x − . cos 7 x + c 2⎣ ⎦ 2 3 2 7 3. Tích phân các hàm vô tỷ Các hàm vô tỷ có dạng ( ) I = ∫ R x , α 2 − x 2 dx hoaëc J = ∫ R x , x 2 − α 2 dx ( ) * Nếu ∫ R ( x, x 2 + α 2 dx ) thì đặt α x = α .tgt ⇒ dx = dt = α (1 + tg2t ) dt cos t 2 * Nếu ∫ R ( x, x 2 − α 2 dx ) thì đặt α α x= hoaë c x = cos t sin t ⎡ x = α sin t ∫ R ( x, α − x 2 dx ) 2 * Nếu thì đặt ⎢ x = α cos t. ⎣ 85
  14. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN * Nếu ∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx) a≠0 + Nếu a > 0 đặt ax 2 + bx + c = t ± ax + Nếu c > 0 đặt ax + bx + c = tx ± c 2 + Nếu ax + bx + c = 0 có 2 nghiệm là: 2 a ( x − x1 )( x − x2 ) = 0 thì ta đặt ax 2 + bx + c = t ( x − x1 ) a2 − x 2 VÍ DỤ 14 Tính I = ∫ dx ( a > 0) x BÀI GIẢI π π Đặt x = a sin t vôù i − ≤t≤ ; ⇒ dx = a cos tdt 2 2 vaø a2 − x 2 = a2 − a2 sin 2 t = a cos t = a cos t a2 − x 2 cos2 t 1 − sin 2 t I =∫ dx = ∫ a. dt = a ∫ dt x sin t sin t ⎡ dt ⎤ t I = a ⎢∫ − ∫ sin tdt ⎥ = a ln tg + a cos t + C ⎣ sin t ⎦ 2 Ta trở lại biến x ta có x x2 a2 − x 2 x = a sin t ⇒ sin t = ⇒ cos t = 1 − 2 = a a a và a2 − x 2 1− t 1 − cos t a a − a2 − x 2 tg = = = . 2 sin t x x a 86
  15. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN Vậy a2 − x 2 a − a2 − x 2 I =∫ dx = a ln + a2 − x 2 + C . x x Các tích phân cần nhớ dx x a) ∫ = arcsin + C a2 − x 2 a x 2 a2 x b) ∫ a − x dx = 2 a − x + arcsin + C . 2 2 2 2 a dx c) ∫ = ln x + x 2 ± a2 + C x 2 ± a2 d) x 2 a2 ∫ x ± a dx = 2 x ± a + ln x + x 2 ± a2 + C 2 2 2 2 dx 1 ⎡ x 1 x⎤ e) ∫ = 2 ⎢ 2 + arctg ⎥ + C. (x + a2 ) 2a ⎣ x + a a a⎦ 2 2 2 87
  16. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. Định nghĩa tích phân xác định 1. Bài toán diện tích hình thang cong Cho hàm f ( x ) xác định, liên tục trên [ a, b] . Xét hình thang cong aABb. Ta chia đoạn [ a, b ] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia: x0 ≡ a < x1 < x2 < . . . < xi −1 < xi < . . . < xn ≡ b. ( xi tuyø choïn ) (phép chia này còn gọi là phép phân hoạch). • Đặt: Δxi = xi − xi −1 ( ∀i = 1, n ) • Hàm f ( x ) xác định và liên tục trên [ a, b ] nên đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [ xi −1 , xi ] lần lượt là: Mi = max { f ( x )} , mi = min { f ( x )} x∈[ xi−1 , xi ] x∈[ xi−1 , xi ] ⇒ mi ≤ f (ξ i ) ≤ Mi , ∀ξ i ∈ [ xi −1 , xi ]; ∀i = 1, n ⇒ mi Δxi ≤ f (ξi ) Δxi ≤ Mi Δxi , ∀ξi ∈ [ xi −1 , xi ]; ∀i = 1, n n n n ⇒ ∑ m Δx ≤ ∑ f (ξ ) Δx ≤ ∑ M Δx i i i i i i , ∀ξi ∈ [ xi −1 , xi ] i =1 i =1 i =1 S Sn S Ta gọi S , S được gọi là tổng trên và tổng dưới Ta sẽ lấy giới hạn cả 3 vế khi n → ∞ , và max Δxi → 0 n n lim n →∞ ∑ m Δx i =1 i i := S và lim n →∞ ∑ M Δx i =1 i i := S max Δxi → 0 max Δxi → 0 Do đó theo giới hạn kẹp ta có n lim n →∞ ∑ f (ξ ) Δx i =1 i i := S ( S höõu haï n ) max Δxi → 0 88
  17. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN S được gọi là diện tích của hình thang cong aABb. n →∞ Chú ý Tổng Sn → S đồng thời kéo theo max Δxi → 0 Giới hạn trên không phụ thuộc vào cách phân hoạch (hay cách chia đoạn [ a, b ] bởi các điểm chia xi ) và cách chọn điểm ξi ∈ [ xi −1 , xi ] . 2. Định nghĩa Cho hàm f ( x ) xác định, trên [ a, b] , chia đoạn [ a, b] thành n đoạn nhỏ bởicác điểm chia: x0 ≡ a < x1 < x2 < . . . < xi −1 < xi < . . . < xn ≡ b. ( xi tuyø choïn ) Phép chia này còn gọi là phép phân hoạch. • Đặt: Δxi = xi − xi −1 ; lấy ξi ∈ [ xi −1 , xi ] ; (∀i = 1, n ) n • Lập tổng tích phân I n = ∑ f (ξ ) Δx i =1 i i • Khi đó giới hạn lim I n = I , S được gọi là tích phân xác n →∞ b định của hàm f ( x ) trên [ a, b ] , và ta ký hiệu: I = ∫ f x dx ( ) a và lúc đó ta nói hàm f ( x ) khả tích trên [ a, b ] . 3. Các tính chất của tích phân xác định a) Hàm f ( x ) có một số hữu hạn các điểm gián đoạn loại I trên đoạn [ a, b ] thì khả tích trên đoạn đó. b) Nếu hàm f ( x ) và g ( x ) khả tích trên [ a, b] và α, β ∈ R thì: b b b ∫ ⎡⎣α f ( x ) + β g ( x ) ⎤⎦ dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx a a a 89
  18. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN b a c) ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx . a b d) Nếu hàm f ( x ) và g ( x ) khả tích trên [ a, b ] và b b f ( x ) ≥ g ( x ) ; ∀x ∈ [ a, b ] thì: ∫ g ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx a a b c b e) ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx, ∀c ∈ [ a, b ] . a a c 4. Định lý giá trị trung bình Nếu hàm f ( x ) liên tục, khả tích trên [ a, b] thì b ∃c ∈ [ a, b ] sao cho: ∫ f ( x ) dx = f ' ( c )( b − a ) a a Chú ý *Nếu hàm số f ( x ) là hàm lẻ thì ∫ f ( x ) dx = 0 −a a a *Nếuhàmsố f ( x ) là hàm chẵn thì ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx −a 0 II. Công thức Newton – Leibnitz) Định lý Nếu hàm f ( x ) liên tục, khả tích trên [ a, b ] và F ( x ) là nguyên hàm của nó thì b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) b a VÍ DỤ 1 2 2 ⎛ x3 ⎞ ⎛ 23 ⎞ ⎛ 13 ⎞ 16 ∫1 ( x 2 + 3 ) dx = ⎜ 3 + 3 x ⎟ = ⎜ 3 + 3.2 ⎟ − ⎜ 3 + 3.1⎟ = 3 ⎝ ⎠1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 90
  19. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN III. Các phương pháp tính tích phân xác định 1. Phương pháp đổi biến số Định lý 1 (Đổi biến x = ϕ ( t ) ) b Xét tích phân ∫ f ( x ) dx với f ( x ) liên tục trên [ a, b ] a Giả sử thực hiện phép đổi biến x = ϕ ( t ) thoả mãn: i) ϕ ( t ) coù ñaïo haøm lieân tuïc ⎡⎣α , β ⎤⎦ ii) ϕ ( a ) = α ; ϕ ( b ) = β iii) Khi t bieán thieân ⎡⎣α , β ⎤⎦ thì x = ϕ ( t ) bieán thieân ⎡⎣ a, b ⎤⎦ b β Khi ñoù : ∫ f ( x ) dx = α∫ f ⎡⎣ϕ ( t )⎤⎦ ϕ ' ( t ) dt a dx VÍ DỤ 2 Cho π π 2 2 I n = ∫ cos xdx vaø J n = ∫ sin n xdx ( ∀n ∈ n ) 0 0 Hãy chứng minh rằng: I n = Jn Chứng minh π Thật vậy ta đặt x = − t ⇒ cos x = sin t vaø dx = −dt 2 π π Đổi cận x = 0 → t = ; x= →t =0 2 2 Khi đó π π 2 ⎛π 0 ⎞ 2 I n = ∫ cosn xdx = − ∫ cosn ⎜ − t ⎟ dt = ∫ sin n tdt = J n ; ( ∀n ∈ ) 0 π ⎝2 ⎠ 0 2 91
  20. TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 3 VÍ DỤ 3 Tính I = ∫ 9 − x dx 2 0 BÀI GIẢI Đặt x = 3sin t ⇒ dx = 3cos tdt x =0⇒t =0 π x = 3 ⇒ 3sin t = 3 ⇒ t = 2 π π 2 2 I= ∫ 9 − 9sin t .3cos tdt = 9 ∫ cos2 tdt 2 0 0 π π 1 + cos 2t ⎛ t sin 2t ⎞ 2 9π 2 I =9∫ dt =9 ⎜ + ⎟ = 0 2 ⎝2 4 ⎠0 4 Định lý 2 (Đổi biến t = ϕ ( x ) ) b Xét tích phân ∫ f ( x ) dx với f ( x ) liên tục trên [ a, b ] a . Giả sử thực hiện phép đổi biến t = ϕ ( x ) thỏa mãn: i) ϕ ( t ) bieán thieân ñôn ñieäu ngaët vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc ⎡⎣α , β ⎤⎦ ii) f ( x ) dx trôû thaønh g ( t ) dt ; g ( t ) laø moät haøm soá lieân tuïc trong khoaûng ñoùng ⎡⎣ϕ ( a ) , ϕ ( b ) ⎤⎦ thì : b ϕ (b) ∫ f ( x ) dx = ϕ ∫ g ( t ) dt a ( a) 1 dx VÍ DỤ 3 Tính I = ∫x 2 − 2 x cosα + 1 ( ∀α ∈ ( 0,π ) ) −1 BÀI GIẢI 92
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
10=>1