Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 2 - Lê Đình Thúy

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:205

Thêm vào BST

Báo xấu

673
lượt xem 125
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 2 gồm nội dung chương 3 đến chương 5 của giáo trình. Nội dung phàn này trình bày các vấn đề như ma trận và định thức, hệ phương trình tuyến tính, dạng toàn phương.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 2 - Lê Đình Thúy

Chương 3: Ma irận và ơịnh thúb Ch TRẬN V À Đ Ị? §1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TUYẾN TÍNH ĐỐ! VỚỈ MA TRẬN I. CÁC KHÁI NĨÊM C ơ BẢN VỂ MA TR Ậ N a. K h c i n iệm m a trận Trong chưcng 2 chúng ta đã nói đến khái niệm ma trận hệ số và ma trận mớ rộng của một hệ phưiíng trình tuyến tmh. Các bảng số đó cho biết toàn bộ thông tin giúp ta tìm ra các ẩn số. Trong nhiều lĩnh vục khác, chẳng hạn như trong công tác thống kê và công tác kế toán, người ta thường trình bày dữ liệu dưới dạng các bảng số, trong đó số liệu được xếp theo dòng và theo cột. Trong toán học ta gọi các bảng số như vậy là ma Irận. Định nghĩa: Ma trận là một bảng sô' xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có in dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m x n. Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc tròn hoặc dấu nơoặc vuông. Ma trận cấp mxn có dạng tổng quát như sau: cl ị -) ^12 - a ./ í '" ^21 32n hoặc a ml . . . miì • • • Ta sẽ dùng C £ C chữ cái in hoa: A, B, c, ... để đặt tên các ma trận. Để gán tên cho một ma trận là A ta viết: Trưdhg Đại học Kinh tế Quốc dân
TOẢNCAO CẨP CHO CẤC N ẢK HTỂ H IN aj 2 a In ^21 ^22 a A= ( 1. 1) a mí amn Các số trong ma trận được gọi là các phần tử của nó. ở dạng tổng quát ( 1. 1) phần tử nằm trên dòng i và cột j được ký hiệu là a j j. Để mô tả vắn tắt, ta có thể dùng ký hiệu A= ( 1.2 ) mxn để nói rằng A là một ma trận cấp mxn mà phần tử nằm trên dòng i và cột j được ký hiệu là a-ị. Cách viết ( 1.2) tương đương với cách viết ( 1. 1) và được dùng khi nói đến một ma trận tổng quát nào đó. Khi cấp của ma trận và các phần tử đã được xác định bằng số, ta thường sử dụng cách viết dạng ( 1. 1). Ví dụ : 5 3 -1 A = -4 11 0 là một ma trận cấp 2x3. Đối chiếu với ký hiệu tổng quát thì các phần tử của A là: aji = 5, a ,2 = 3, 3)3 = -1 , 321 = ^22 - ‘23 = 0 . b. Đ ẳng thức ma trận Định nghĩa: Hai ma trận được coi là bằng nhơu khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau. Để nói rằng hai ma trận A và B bằng nhau ta viết A = B. Chú ý rằng khái niệm ma trận bằng nhau chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp. Trong tập hợp các ma trận cấp mxn, một đẳng thức ma trận tương đưomg với một hệ m.n đẳng thức số: 106 Trưởng Đại học Kinh tế Quốc dàn
Chuơng 3: Ma trận và ơịnh thức , ^ m Nn u m>n c. M a trận không và ma trận đôi M a trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0. Trong tập hợp tất cả các ma trận cấp mxn (m, n cố định) có một ma trận không duy nhất được ký hiệu là , hoặc o (nếu cấp của ma trận đã được xác định trước); 0 0 0 0 0 0 0 = 0 mxn = 0 0 0 Ma trận đối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử của nó là số đối của phần tử tương ứng của ma trận A. Ma trận đối của ma trận A được ký hiệu là -A . V í dụ: Ma trận đối của ma trận 53 - í A= -4 11 0 là ma trận; -5 -3 1 -A = 4 -11 0 d. Hệ vectơ dòng hệ vectơ cột của ma trận Lý thuyết ma trận và lý thuyết về không gian vectơ có liên hệ chặt chẽ với nhau. Để làm rõ mối quan hệ này, ta xét một ma trận cấp mxn bất kỳ: Trường Đại học Kinh tế Quốc dân 10^
TOÁN CAO CẮP CHO CÁC NHẢ KINHTỂ In ^21 ^22 A L^mi ^m2 Ta có thể xem mỗi dòng của ma trận A như một vectơ n chiéu và mỗi cột của nó như một vectơ m chiều. ĩsTiư vậy, mỗi ma irận cấp mxn cho tương ứng một hệ vectơ dòng gồm m vectơ n chiều và một hệ vectơ cột gồm n vectơ m chiều. Khi sử dụng các thuật ngữ như hai dòng (cột) bằng nhau, tổng của các dòng (cột), tích của một đòng (cột) với một số, các dòng (cột) phụ thuộc tuyến tính v.v... ta hiểu các thuật ngữ đó như nói về vectơ. Ngược lại, ta có thể xem xét các tính chất của một hệ veclơ thông qua ma trận có hệ vectơ dòng (cột) là hệ vectơ đó Trong cuốn sách này ta dùng ký hiệu A để chỉ dòng thứ i của ** ma trận Avà ký hiệu Aj để chỉ cột thứ j của nó. n . CÁC DẠNG MA TRẬN a. M a trận vuông Ma trận vuông là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau. Một ma trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là n a trận vuông cấp n. Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát như sau: ^11 ^12 a In ^21 ^22 a 2n A a nỉ n2 a n n 106 Trường Dại học Kinh tế Quốc dân
ãB Ể Chirơnq 3: Ma trận và định thức Trong ma tiận vuông A đườp.g chéo thứ nhất nối góc trên bén trái với góc dưới bên phái được gọỊ là đìừmg chéo chính, đường chéo thứ hai được gọi ỉà đường cììéo phụ. Vị trí của các phần từ ÍI;; so với đường chéo chính được xác định theo các chỉ số i, j như sau: • a,j thuộc đường chéo chính khi và chỉ khi i = j; • H nằm phía trên đường chéo chính khi và chỉ khi i < j; jj • ãịị nằm phía dưới đường chéo chính khi và chỉ khi i > j. b. M a trận tam giác M a trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0. Có hai loại ma trận tam giác: 3 j2 ••• 0 ^22 Ma ưận tam giác trên: (H = 0 khi i > j); ịị 0 0 ••• 0 ... 0 ^21 3 j2 .- ... 0 Via trận tam giác dưổri: (âịị = 0 khi i < j). .»nl ^n2 c. M a trậ n đ ư ờ n g ch é o và m a trậ n đơ n vị M a trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đưcmg chéo chửih bằng 0. Ma trận đường chéo cấp n có dạng: Trường Đại học Kính tế Quốc dân
ĨOẢN CAO CẤP CHO CẤ N ÀK HTỂ C H IN a II 0 0 a 0 (a,j = 0 khi i j). 0 0 a n n Trường hợp đặc biệt, khi ap, = aj 2 = ... = a^, ma trận đường chéo được gọi là ma trận võ hướng. Ma trận đưòfng chéo có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chúih bằng 1 được gọi là mơ trận đơn vị. Mỗi cấp ma trận vuông có một ma trận đơn vị được ký hiệu bằng chữ E: 1 0 0 0 1 0 E= 0 0 Gọi Cy là phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận đơn vị E, ta co: d. M a trận dòng và ma trận cột Ma ữận chỉ có một dòng duy nhất (ma trận cấp Ixn) được gọi là ma trận dòng. Tương tự, ma trận chỉ có một cột duy nhất (ma trận cấp m x l) được gọi là ma trận cột. Ta có thể xem các ma trận dòng và ma trận cột như các vectơ. Tuy nhiên bạn cần lưu ý rằng nếu xét dưới giác độ ma trận thì 110 Trưcmg Đạii học Kỉnh tế Qưốc............ . .dân............. . . . . . . . . .lli itiịlỊinịiỊiịillilịlịlịiliH E iill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ^ ..........• ............. . ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......
??!! H iH-S: ỉH Chíẩững 3: Ma trận và đỊnh thức a a. a. là hai ma trận khác nhau (do chúng không cùng cấp), trong khi dưới danh nghĩa vectơ thì dó là hai dạng viết (dạng dòng và dạng cốt) của cùng một vectơ. III. CÁ C P H É P TOÁN TU Y ẾN TÍN H Thuật ngữ "phép toán tuyến tính" ở đây được dùng để chỉ phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với số. ở §4 chúng ta sẽ nói đến một phép toán khác là phép nhân ma trận với ma trận. a. Phép cộng ma trận và phép nhán ma trận với s ố Cho hai ma trận cìmg cấp mxn: A= a , B = b- 7 m Xn mxn Đ ịnh nghĩa: 1. Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp mxn, ký hiệu là A + B và được xác định như sau: A+B= mxn 2. Tích của ma trận A với một số a là một ma trận cấp mxn, ký hiêu là a A và đươc xác đứứi như sau: a A = aa.^ iTixn Chú ý rằng phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp (có số dòng và số cột như nhau). Trong tập hợp các ma 'i;'"''', , ' ' ' ị ÌlÌ lH Ì Ì ỉÌ lÌ ll-ỉ: illlliB Trưòng Đạỉ học Kinh tế Quốc dân 111
TO NCAO CẤP CHO CẤC N ÀK HTẾ Ấ H IN trận cùng cấp, phép cộng ina trận và phép nhân ma trận với số được định nghĩa hoàn toàn tương tự như phép công vectơ và phép nhân vectơ với số: • Cộng hai ma trận cùng cấp cố nghĩa là cộng các phán lử ở vị trí tương ứng với nhau; • Nhân một ma trận với m ột sô' a có nghĩa là nhản mọi phẩn íử của ma trận đó với a. V í dụ Ị : Cho "3 4 - 2’ "9 - 8 0 ' A= , B= 7 5 - 6 1 12 1 -4 Theo định nghĩa ta có: Tít -4 - 2' "15 20 - 10' A+B= 7 , 5A = 17 -5 -3 25 -3 0 5 V í dụ 2: Theo định nghĩa ma trận không và ma trận đối, với A là một ma trận bất kỳ, ta luôn có: 0A = O, - A = (-1)A . b. Các tính chất cơ bản của các ph ép toán tuyến tính Do phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với số được định nghĩa hoàn toàn tưcfng tự như phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số nên các tứih chất cơ bản cũng lặp lại hoàn toàn tưomg tự. Gọi A, B, c là các ma trận bất kỳ cấp mxn (m, n cố đừih), a và 5 là các số bất kỳ, ta luôn có: 1. A + B = B + A. 2. (A + B) + C = A + (B + C). 3. A + 0 = A. 112 Trưởng Đạl học Kính íế Quốc đân 1 Ì H : Ị
( Ệ ÌJ ^ y 3 : i ^ trận và định thứo 4. A + ( ~ A ) - 0 5. 1A = A. 6. a(A -f B) = u A + (xB.. 7. (a + P)A = a A + [5A, 8. (ap)A = a(pA ). c. Phép trừ ma trận Trong tập hợp các ma trận cùng cấp phép trừ cũng được định nghĩa tưcmg tự như phép trừ vectơ. Hiệu của ma trận A và ma trận B được xác định thông qua phép cộng như sau: A - B = A + (-B). Với A = a , B = b- 7 ta có mvn nì n A - B = Ịa,j - b , j mxn tức là mỗi phần tử của A —B là hiệu các phần tử tương ứng của A và B. Tương tự như đối với vectơ, ta có thể chứng minh được các hệ thức sau; (A - B) + B = A; a(A - B) = a A - aB; (a - P)A = a A - pB. 's IV. CÁC P P E P BIẾN ĐỔI MA TRẬN a. Các phép b íế ’ đỏi sơ cấp ^ Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối với ma trận được gọi là các phép biến dổi sơ cấp: !. Đổi chỗ hai dòng (cột); Trư&ng Đại hợc Kinh tế Quốc dân 113
TOÁN CAOCẤP CHO CÁC NHÀ K Hĩế ■tn>aiÉBÌáitawAagaiếii'^ IN 2 . Nìiân một dòng (cột) với niột số khác 0 ; i . Cộng vào môt dòng (cột) tích của một dòng (cột) khác với một sế k
Chutmg 3: Ma trận và định thứt 3 7 12 -9 A- -5 2 6 - 3 9 - 1 0 1 lià ma trận 3 -5 9 7 2 -1 2 6 0 9 -3 1 IBÀi TẬP ]1. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mênh đề sau: a) Phép cộng và phép trừ ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp; b) Phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với số được thực hiện hoàn toàn tương tự như phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số; c) Qiuyển vị ma trận có nghĩa là đổi chỗ hai dòng của nó; d) Hiệu của ma trận A và ma trận B là tổng của ma trận A và ma trận đối của B; e) Đo phép cộng ma trận có tính chất kết hợp, khi viết tổng của ba ma trận trở lên ta không nhất thiết phải dùng dấu ngoặc. '2. Cho hai ma trận: '2 -1 3 0" 3 1 1 4' A= 1 4 2 -3 ,B = 6 1 2 -1 5 3 2 1 -2 8 1 -3 Trường Đạì học Kinh tế Quốc đân 115
TOẢN CAO CẤP CHu CA NHÂK HTẾ C IN a) Lập các ma trận A + B, A - B, 2A +5B, 3A ~ B b) Tìm ma trận X sao cho 3(X + 2A + B) = X -r 7A - 2B. 3. Lập ma trận 4A + 3A' ÍA' !à ma trận chuyển vị của A), cho biết: 1 9 6 2 4 1 7 8 4. Lập các ma trận 2A' - 3B và 5A + 3B', cho biết ■ 3 8 ‘' ' 9 7 5' A -2 0 -2 1 4 , 1 21 §2. ĐỊNH THỨC ỉ. HOÁN VỊ CỦA n s ố T ự NHIÊN ĐẦư Để định nghĩa định thức cấp n, ta cần đến một sô khái niệm có ỉiên quan đến hoán vị của tập họfp n sô tự nhiêu đầu. ở trường phổ thông trung học bạn đã được làin quen với khái niệm hoán vị của một tập hợp hữu hạn. Xin nhắc lại hai điểiĩỊ^ơ bản; • Theo định nghĩa, một hoán vị của một tập hợp n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử của tập hơp đó iheo một thứ tự nhất định. • Một tập hợp n phần tử vú n! ''n giai thừa) hoán vị khác nhau (n! - !'.2 .'.n).' 116
Chuơng 3: Ma trận và định thúb Bây giờ ta xét các hoán vị của n só iự nhiên đầu, tức là các hoán vị của tập hợp ( 1 .2 , n). Mỗi hoán vị của n số tự nhiên đầu được bicu diễn dưới dạng: a ,, C ;, ..., a„, X trong đó a, (i = 1, 2 ......n) là sô' tư nhiên đứng ở vị trí thứ i trong hoán vị (1 < a < n; a. khi i j). Khi i < J thì ta nói: số a, đứng trước số a„ hoặc số dưng sau sỏ trong hoán vị. Theo thứ tự của hệ đếm thì các số tự nhiên được sắp theo thứ tự tăng dần: số lớii hcm đứng sau số nhỏ hcTi nó. Trong một hoán vị, trật tự tự nhiên đó có thể bị xáo trộn và xảy ra trưcmg hợp số lớn hơn lại đứng tmớc số nhỏ hơn nó, tức là i < j, nhưng a, > a j. Định nghĩa: Trong hoán vị tt), a„ nếu i < j, nhưng ttị > tliì ta nói hai số a, và a, tạo thành một nghịch thế. Một hoán vị được gọi là hoán vị chẵn nẽu số nghịch thế của nó là số chẵn, và được gọi là hoán vị tẻ nếu số nghịch thế của nó là số lẻ. Để xác định số nghịch thế của một hoán vị ta tính từ trái sang phải xem mỗi số có bao nhiêu số nhỏ hcfn đứng sau nó, từ đó suy ra tổng số nghịch thế của hoán vị đó. Ví dụ: Xét môt hoán vị của 5 số tự nhiên đầu; 4 ,3 ,5 , 1,2. Trong hoán vỊ này: Số 4 có ba số nhỏ hơn đứng sau DÓ (số 3, sô' 1 và số 2); Số 3 có hai số nhỏ hơn đứng sau nó (số 1 và số 2); Số 5 có hai số nhỏ hơn đứng sau nó (số 1 và số 2); Số 1 không có số nào nhỏ hơn đứng sau nó. TrưòngĐại học Kinh tô' Quốc dân 117
ĨO Ã N CAO CẤP CHO CÁC NHẦ KINH Vây số nghịch thế của hoán N trên là :3 + 2 + 2 + 0 = 7. Hoán vị ậ đó là một hoán vi lẻ. Đ inh lý: Nếu tronq một hoán VỊ ta đổi chỗ hai số và giữ nguyên vị trí của các số còn lại thì hoán vị thav đổi tính chẵn lẻ, tức ]à hoán vị chẩn biến thành hoán vị lẻ hoặc Hgược lại. Chibig minh: Trước hết ta thấy rằng nếư íri)ng hoán vị ta đổi chỗ hai số a , [3 đứng cạnh nhau và giữ nguyên vị trí của các số còn lại thì vị trí tương đối (vị trí đứng trước hoặc đứng sau) cùa a và p so với các số còn lại không thay đổi, do đó khi chuyển từ hoán vị (..., a, p, ...) s a i^ hoán vị (... ,p, a , ...) số nghịch thế trong hoán vị tăng thêm 1 (nếu a < P) hoặc giảm đi 1 (nếu a > p). Điều này dẫn đến sự thay đổi tính chẵn lẻ của hoán vị. Để chứng minh định lý trong trường hợp hai số a và p không đứng cạnh nhau, ta xét hoán vị: a, Yi, Ĩ 2, p trong đó y,, y 2,--.,Yn, là m số đứng xen giữa a và Ị3 (các dấu ba chấm chỉ những số không viết ra). Việc đổi chỗ hai số a và p tương đương với một đãy kế tiếp 2 m + 1 phép đổi chỗ hai số đứng cạnh nhau theo trình tự như sau: • Đổi chỗ a lần lượt với Ỵj, y2,-.,Yn,. Sau m lần đổi chỗ hai số đứng cạnh nhau như vậy ta được hoán vỊ Yl’ Yl’ ^ ’••• • Đổi chỗ p lần lượt với a , Y , Yi- Sau m + 1 lần dổi chỗ 2 hai số đứng cạnh nhau như vậy ta được hoán vị — P>yi,Y2. ->Ym. ct,... Sau mỗi lần biến đổi hoán vị thay đổi tính chẵn lẻ, do dó sau 2m +l lần hoán vỊ chẵn sẽ trờ thành hoán vị lẻ và hoán vi lẻ trở thành hoán vị chẵn. Định lý đã được chứng minh. 118 Trường Đại học Kinh tê Qưổc dãn
Chiiững 3: Ma trận và định thiíù iie à w ÌM W á w « M ÌÌÌlM á iM ÌM Ìá à a ^ Hệ q u ả 1: Nếu n > 2 ihì trong số n! hoán vị của n sỏ' tự nhiên đầu có màt nửa ìà ìioán v'ị Í'!iín và luội nửs là hoán vị lẻ. Chíứig rn nh: Gọi p là số hoán vị chẩn và q là số hoán vị lẻ. Đối với mỗi hoán V Ị chẵn ta đổi chỗ số đứng đẩu và số đứng ờ vị trí cuối cùní. Bằng cách đó, từ p hoán vị chẩn khác nhau ta nhận được p hcán vị ĩẻ khác nhau, do đó p < q. Biến đổi tương tự như vậy ứủ từ q hoán vị lẻ khác nhau ta nhận được q hoán vị chẵn khác nhau, do đó q < p. Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta có p = q- Hệ q u ả 2: Nếu bằng cách đổi chỗ các cột của ma trận (vói dòng thứ hai là một hoán vỊ của n số tự nhiên đầu) 1 2 ••• ri 1 a, a„ _ ta đưa ma ưận dó về dạng Pi Pa Pn ỉ 2 n thì hai hoán vị aj, a , , a „ và Pj, p 2, p,, có cùng tính chẵn lẻ. ' Chứng minh: Thật vậy, mỗi phép đổi chỗ các cột của ma ưận tương ứng với một phép đổi chỗ hai số của cả hai hoán vị ở dòng trên và dòníĩ dưới. Sau cùng một số các phép đổi chỗ, hoán vị chẵn ], 2 , n trở thành hoán vị Pj, P2, p„, còn hoán vị được biến đổi thành hoán vị chẵn 1, 2 , n, do đó hai hoán vị a i , a 2,...,a n v à P|, p,, p„ cùng là hoán vị chẵn hoặc cùng lì hoán vị ỉẻ, tuỳ theo số lần đổi chỗ là chẵn hay lẻ. II. ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH THỨC CẤP n Cho một mỉ trận viiông cấp n: Trường Đại học Kính tế Quốc dân 1
rOẢN CAO CẤP CHO CẤC NHÀ KÍNH TỂ a a Ia '\ — n2 ani) Trước hết la irả lời câu hỏi: Có bao nhiêu cách chọn các bộ n phần tử của ma trận A mà các phần lử đó thuộc các dòng khác ỉìhau và các cột khác nhau, ĩức là không có hai phần tử nào thuộc cùng một dòng hoặc cùng rnột cột? Để chọn một bộ n phần tử như vậv ta lấy một hoán vị bất kỳ của n số tự nhiên đầu, gọi là hoán vị chỉ sốcộĩ: ttị, a . , ..., a„. TTieo hoán vỊ đó ta chọn n phần tử của ma trận A như sau: Trên dòng ] lấy phần tử ờ cột a , (phần tử a j a j ); Trẽn dòng 2 lấy phần tử ở cột a-, (phần tử ); Trên dòng n lấy phần tử ờ cột a„ (phần tử ). Mỗi hoán vị chỉ số cột cho tưcmg ứng một cách chọn như trên. Vậy câu trả lời là; có n! cách chọn các bộ n phần tử của ma trận A, trong đó không có hai phần tử nào thuộc cùng một dòng hoặc cùng một cột. Theo mỗi hoán vị chỉ số cột a ,, a-,, ... , ta chọn n phần tử của ma trận A theo cách thức nêu trên và tính tích số sau: ( 2 . 1) trong đó h là số nghịch thế của hoán vị ttị, a ,, ... , a„. Chú ý rằng mỗi tích số ( 2 . 1) là tích của một bộ n phần tử của ma trận A lấy trên các dòng khác nhau và các cột khác nhau (tương ứng 120 Trưởng Đại học Kinh tế Quốc dân
'ì|ệ|''.^ ' Chuờng 3: Ma trận và ỞỊntì th ú t VỚI một hoán vị chỉ số cốt a , , (1., ... , (X„), nhimg được gán thêm dấu theo quy tắc sau: • Gán dấu + nếu a ,, a^, ... , a„ là hoán vị chẫn; • Gán dấu - nếu a ,, a ,, ... , là hoán vị lẻ. Tlieo n! hoán vị của n số tự nhiên đầư tiên ta có n! tích số (2.1). Định nghĩa: Tổng của tất cả n! tích số (2.1) được gọi là ífm/ỉ thức của mơ trận A. Định thức của một ma trận vuông cấp n được gọi là định thức cấp n. Mỗi tích (2.1) được gọi là một thành phân của định thức. Như vậy, định thức cấp n là tổng của n! thành phần của nó. Mỗi thành phần được xác định theo một hoán vị a ,, Ơ2, ... , a„: a „ a . , ..., a„ => ( - 1)'’ a ... a với h là số nghịch Ihế của hoán vị Uị, a ^ , ... , a„. Định thức của ma trận A được ký hiệu là |a | , hoặc det(A). Nếu không gọi tên ma trận thì ta viết định thức cấp n dưới dạng một bảng số có n dòng và n cột đặt giữa hai dấu gạch đứng: a1 1 ^12 ■■ a. ■ ^21 *** ^ 2n a ni Chú ý răng mỏi định thức là một sô xác định, còn ma trận chỉ là một bảng số. Dấu gạch đmig được sừ dụng thay cho dấu ngoặc để phân biệt định thức với ma trận vuông. Từ định nghĩa ta dỗ dàng suy ra rằng nếu tất cả các phần tủ của định thức là sỏ' nguyên thì tất cả các thành phẩn của nó là s ố nguyên, do đó định thức là một sô'nguyên. Trưdng Đại .học Kinh tế Quốc dân 121
TOÁN CAO CẤP CHO CẢC NHẢ KÍNH TẾ m . M IN H H O Ạ ĐỊNH N G H ĨA : T ÍN H C Á C Đ ỊN H THỨC C Ấ P 1, 2, 3 a. Đ ịnh thức cấp 1 Ma trận viiôna cấp 1 chỉ có một phần tử duy nhất là một số a. Tập hợp {1} chỉ có một hoán vị duy nhất là hoán vị chẵn (số nghịch thế bằng 0). Như vậy, định thức của ma trận \oiông cấp 1 có một thành phần bằng phần tử duy nhất của nó, do đó định thức cấp 1 bằng phần tủ duy nhất của nó: det([a]ix|) = a. b. Đ ịnh thức cấp 2 Định thức của m a trận vuông cấp 2 ^11 ^12 A= ^21 có 2 thành phần tương ứng với 2 hoán vị của tập hợp {1, 2 , Thành phần tương ứng với hoán vị chẵn 1,2: + a,ia->2; Thành phần tương ứng với hoán vị lẻ 2, 1: - 312321- Theo định nghĩa định thức là tổng hai thành phần này: au 3j 2 — ĩíịị2 Ì2 ~ t â Ị o c ì o Ị Ị . ^21 ^22 Như vậy: Định thức cấp 2 bằng tích hai phần tử thuộc đường chéo chính trừ di tích hai phẩn tử thuộc đường chéo phụ. Ví dụ: X y Y V 1 - -9 2 = bx - ay; = 1 . 3 - ( - 2).5 = 13. a b 5 3 122 Trường Đại học Kính tế Quốc dàn
Chutíng 3: Ma ừận và đỉnh thức c. Đ ịn h th ứ c cấp ba Đũnh thức của ma trân viiông cấp 3 a i i a i 2 A- 2 . - 1 J 3 ' ) ' 2 'à '> 2 _ a 3 i ^ 3 2 ^ 3 3 _ c ố 6 thành phần tương ứng với 6 hoán vị của tập hợp {1, 2, 3 Hoán vị Số Thành phần tương ứng a „ a J, nghịch thế i ^ l a j ^ 2ơ 2 ^3ơ3 1 ,2 ,3 0 + ^11^22^33 “ T| 2 ,3 , 1 2 + ãị2â23^3l ~ ^2 3, 1 ,2 2 3, 2 , 1 3 —313^22^31 = ~ T4 2 , 1,3 1 —ài2ã2iãjỊ = —Tj 1 ,3 ,2 1 - 21)023332 = - Tệ Thieo định nghĩa, ta có: an 3,2 aj 3 321 322 ^23 = T , + T , + T 3- ( T , + T 5+ T a • ^31 832 ^33 tromg đó mỗi tích Tj, (k = 1, 2 , 6 ) là tích của ba phần tử mà ta có thể xác định theo quy tắc đường chéo như sau: Trường Đạl học Kính tế Quốc dân 123
ĨOÂN CAOCẤP CHp ,CÁ NH K HTẾ C Ả IN • T, là tích 3 phần tử trên đường chéo chính; mỗi tích T, và T 3 là tích của hai phần tử trên đường song song với đường chéo chính (có hai đường như vậy) và phần tử ở góc đối diện. • Các tích T 4, T5, T(, (đặt sau dấu - ) được xác định hoàn toàn giống như T|, T 2, T3, nhưng theo đường chéo phụ. Quy tắc đương chéo được biểu diễn trén sơ độ sau (các dấu chấm đen nối với nhau là các thừa số của một tích T| ^ ^ -V / y 7 ^ ể ^ T2 T 3 T 4 T , T, (Gán dấu +) (Gán dấu - ) Ví dụ: 1 2 3 -1 5 - 2 = 1.5.2+ 2 .(- 2).4 + 3 .(-l).(-3 ) 4 -3 2 - [3.5.4+ 2 .( - l) .2 + ỉ.( - 2 ) .( - 3 ) = 10 - 16 + 9 - (60 - 4 + 6 ) = - 59. IV. CÁC TÍNH CHẤT c ơ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC Đối với các định thức cấp cao viêc tính định thức trưc tiếp theo định nghĩa trở nên cồng kềnh, bởi định thức cấp càng cao thì số lượng các thành phần càng lớn và số lượng phép toán phải thực hiện càng nhiều. Do đó, chúng ta cần đến các phương pháp khác để tính định thức. Trước khi đề cập đến các phương pháp tính 124 Trưòng Đại học Kinh tế Quốc dân