Giáo trình Toán học trong hoạt động Thư viện - Thông tin (Giáo trình dành cho sinh viên Đại học và Cao đẳng ngành thư viện - thông tin và quản trị thông tin): Phần 2 - PGS.TS. Đoàn Phan Tân (ĐH Văn hóa Hà Nội)

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:150

Thêm vào BST

Báo xấu

152
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán học trong hoạt động Thư viện - Thông tin (Giáo trình dành cho sinh viên Đại học và Cao đẳng ngành thư viện - thông tin và quản trị thông tin): Phần 2 gồm nội dung chương 3 và chương 4, cung cấp cho người học các kiến thức về đại số boole và các mạch tổ hợp, thống kê toán học. Cuối mỗi chương có một số bài tập chọn lọc, kèm hướng dẫn giải chi tiết, giúp sinh viên củng cố thêm lí thuyết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán học trong hoạt động Thư viện - Thông tin (Giáo trình dành cho sinh viên Đại học và Cao đẳng ngành thư viện - thông tin và quản trị thông tin): Phần 2 - PGS.TS. Đoàn Phan Tân (ĐH Văn hóa Hà Nội)

Chương 3 ĐẠI • SỐ BOOLE VÀ CÁC MẠCH • T ố HỢP • Các nội dung đã trình bày ở chương 2 cho ta thây có sự tương đổng về câu trúc giữa các phép toán tập hợp trên các tập hợp và các phép toán logic trên các mệnh đề. Cả hai câu trúc đó là trường hợp riêng của một câu trúc đại s ổ mang tính tổng quát hơn. Đó là đại sô'Boole. Ý tưỏng về đại số Boole được George Boole công bố lẩn đẩu tiên vào năm 1849, khi đưa ra lược đỗ mô tả các quá trình suy luận logic của tư duy bằng công cụ của đại số. Năm 1930 E. Claude Shenon đã chỉ ra rằng đại số Boole cung câ'p một công cụ hiệu quả đê mô tả các mạch điện với các chuyển mạch hai trạng thái. Vì thế đại số Boole có thể dùng để mô tả các mạch logic và các tính chât của đại số Boole được dùng râ't rộng rãi trong việc phân tích, thiết kê'và làm đơn giản hoá các mạch logic. Chương này sẽ đề cập đến những khái niệm và tính châ't cơ bản của đại số Boole, các mạch tổ họp và mạch logic của phép cộng hai số nhị phân. 3.1. ĐẠI SỐ BOOLE 3.1.1. Biến nhị phân và các phép toán B o o le Giả sử cho tập hợp E: E = {a, b, c, d, e, í, g, h} 170
và hai tập con: A = {a, c, e, f} B = {b, c, e, f, g} Như ta đã biết nhờ ánh xạ đặc trưng ta có thê biếu diễn các tập con A và B dưới dạng "thanh ghi" như sau: a b c d e f g h 1 0 1 0 1 1 0 0 a b c d e f g h 0 1 1 0 1 1 1 0 Khi đó giao của A và B là: A n B = jc,e , f} Biếu diễn dưới dạng mã nhị phân của tập A n B là: a b c d e f g h 0 0 1 0 1 1 0 0 Ta hãy xem A n B được tạo thành như thế nào? Ta thây: Trong A Trong B Trong A n B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Như vậy, ứng vói bàng trên ta có thê xây dựng phép toán tích trên tập B = (0, 1}, gọi là tích Boole mà ta ký hiệu là dâu châm (.), như sau: 0.0 = 0 0 .1 = 0 171
1.0 = 0 1 ề1 « 1 Bây giờ ta xét hợp của hai tập con A và B, ta có: AuB = {a, b, c, e, f, g} Biểu diễn dưới dạng mã nhị phân của tập A u B là: a b c d e f g h 1 1 1 0 1 1 1 0 Ta hãy xem A u B được tạo thành như thế nào? Ta thây: Trong A Trong B Trong A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Như vậy, ứng với bảng trên ta có thể xây dựng phép toán tổng trên tập B = {0,1}, gọi là tổng Boole mà ta ký hiệu là dâu cộng (+), như sau: 0+0=0 0 + 1= 0 1+ 0= 0 1+ 1= 1 Bây giờ ta xét phần bù của tập con A với A = {a, c, e, í}, ta có: A° = Ịb, d/ g / h} Biểu diễn dưới dạng mã nhị phân của tập Ac là: a b c d e í g h 0 1 0 1 0 0 1 1 172
Ta hãy xem Ac được tạo thành như th ế nào? Ta thây: ______________ __________ ____1 Trong A Trong Ac 0 1 1 0 Như vậy, ứng vói bảng trên ta có thể xây dựng phép toán lây phần bù trên tập B = (0,1}, gọi là phép lây phần bù Boole mà ta ký hiệu là dâu gạch ngang (-) đặt trên biến nhị phân, như sau: ĩ =0 õ =1 Tổng hợp lại ta có định nghĩa sau về các phép toán cơ bản của đại số Boole: Định nghĩa Giả sử a, b là các biến nhị phân (biến Boole) tức là nó chi nhận giá trị trên tập B = {0,1}. Ta gọi tích của a và b ký hiệu là a.b, tổng của a và b ký hiệu là a + b và phần bù của a ký hiệu là a là các phép toán được xác định như sau: a b a .b a + b a 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 Ta nhận thây các phép nhân (.), phép cộng (+), phép lây phần bù (-) của đại số Boole được xây dựng như thế, tuân theo đúng quy tắc của các phép hội (a), phép tuyển (v) và phép phủ định (~) của logic mệnh đề, khi ta thay các biến Boole a, b bằng các biến mệnh đề p, q. Và các phép toán này cũng có những tính chất giống như các tính chất của các phép toán của logic mệnh đề, như ta sẽ trình bày ở mục dưới đây. 173
3 .ĩ ể2. Tính chất của các phép toán Boole Tính ch ấ t G iả sử a, b, c là các biến nhị phân. C ác phép toán B oole có các tính chât sau đây: 1. Tính ch át giao hoán: a.b = b.a (la ) a+b= b+ a (lb ) 2. Tính ch ất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c) (2a) (a + b) + c = a + (b + c) (2b) 3. Tính châ't phân phối: a.(b + c) = a.b + a.c (3a) a + (b.c) = (a + b).(a + c) (3b) 4. Tính ch ât lũy đẳng: a+ a=a (4a) a.a = a (4b) 5. Tính ch ất trung tính: a+ 1= 1 (5a) a.o = 0 (5b) 6. T ín h chất đ ổng nha't: a .l = a (6a) a+0= a (6b) 7. T ính chat lây phần bù: a + a = 1 (7a) (7b) a. a = 0 8. T ín h chất đôi hợp: R ■a 9. Q u y tắc De M organ: a + b = a .b (9a) 1 (9b) a .b = a + b 10. T ính ch ất hấp thu: a + a.b = a (10a) a.(a + b) = a (10b) 174
Ta có thê chứng minh các tính châ't trên đây dựa vào kết quà cùa một bảng giá trị. Chăng hạn, chứng minh quy tắc De Morgan: a.b = a + b a b a.b a.b a b a + b 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Chứng minh tính châ't hâ'p thu: a + a.b = a a b a.b a + a.b 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 T 3.1.3. Biêu thức B o o le và hàm B o o le Khi ta kết hợp các biến nhị phân bằng các phép toán (.), (+) và (-) ta tạo thành các biếu thức của các biên nhị phân, còn gọi là biêu thức Boole. Các biếu thức Boole cũng là những biến nhị phân, túc là nó chi nhận giá trị 0 hoặc 1 . Ví dụ: f(x,y,z) = x.( y + z) f(x,y,z) = (x + y ).(z + x.y ) là những biểu thức Boole. Cần lưu V rằng mỗi biêu thức Boole biêu diễn một hàm Boole. Giá trị v'ào/ra cùa một hàm Boole được cho bời một bảng giá trị. 175
Ví
Ví dụ l ẽ- f(x, y, z) = (x + ỹ + z).(x + y) = x.y.zỗ(x + y) (theo quy tắc De Morgan) = x.y.z.x +x.y.z.y (theo tính châ't phân phôi) = 0 + x.y.y.z (theo tính chất lây phẩn bù) = x.y.z (theo tính châ't đổng nhất và luỹ đẳng) Ví dụ 2: f(a, b, c) = a.b.(a + b).(a + c) = a.b.(ã + C) (theo tính châ't hấp thu) = ạ.b.a + a.b.c (theo tính châ't phân phôi) = 0 + a.b.c (theo tính châ't lây phần bù) = (theo tính châ't đổng nhất) Ví dụ 3: f(x, y, z) = X + x.y.z + X.Z = X + X.Z (tíieo tính châ't hâp thu) = (x + x).(x + 2 ) (theo tính chât phân phôi) = l.(x + z) (theo tính chất lây phần bù) = (x + z) (theo tính chất đổng nhất) 177
3.2. CÁC MẠCH TỔ HỢP Các mạch điện của máy tính và các dụng cụ điện tử đểu hoạt động dựa trên nguyên tắc đập nhịp g‘có, không", ứng với hai giá trị 1 và 0 của các biên nhị phân. Đẩu vào và đẩu ra của các mạch đó có thê’ xem như một phần tử của tập B = {0,1}. Sự hoạt động của một mạch điện như thê'được xác định bải một hàm Boole trên cơ sô chỉ rõ giá trị đẩu ra đổì với một tập các giá trị đẩu vào. Mỗi hàm Boole lại được xác định bởi một biểu thức Boole tương ứng. Các phẩn tử cơ bản của các mạch được gọi là các cống logic. Mỗi cổng có một hoặc hai đầu vào và một đầu ra. Mỗi loại cổng thực hiện một phép toán Boole. Có ba cổng logic cơ bản là cổng NOT, cổng AND và cổng OR. Dùng các cổng này và áp dụng các quy tắc của đại SỐ Boole ta có thể thiết kế các mạch điện thực hiện các nhiệm vụ khác nhau. Những mạch như vậy được gọi là mạch tố hợp. Đó là thành phần cơ bản của máy tính điện tử và các thiết bị điện tử. 3Ế2Ế1. Các cổng logic Cổng NOT, còn gọi là bộ đảo, là một mạch có một tín hiệu vào và một tín hiệu ra. Nêu tín hiệu vào là 1, thì tín hiệu ra là 0 và ngược lại. Cổng AND, có hai tín hiệu vào và một tín hiệu ra. Nêu cả hai tín hiệu vào đều là 1, thì tín hiệu ra là 1. Còn trong các trường hợp khác, tín hiệu ra là 0. Cổng OR, có hai tín hiệu vào và một tín hiệu ra. Neil cả hai tín hiệu vào đều là 0, thì tín hiệu ra là 0. Còn trong các trường hợp khác, tín hiệu ra là 1 . Tác động của các cổng NOT, AND và OR và biếu diễn đổ hoạ của chúng được trình bày ở bảng dưới đây, trong đó p, Q biểu diễn tín hiệu vào, còn R biểu diễn tín hiệu ra. 178
Ta thây rằng tác động của các cổng NOT, AND và OR trên các tín hiệu {0, 1 } có sự tương ứng một cách chính xác với các phép toán (-), (.), (+) của đại sô' Eoole và cũng tương ứng một cách chính xác với các phép toán A và V của logic mệnh đề, nếu ta đổng nhất tín hiệu 1 với giá trị đúng, và tín hiệu 0 với giá trị sai. CỒNG BIẾU DIÊN ĐỔ HỌA TÁC ĐỘNG Vào Ra NOT p R 1 0 0 1 Vào Ra r p Q R AND R 1 1 Q 1 0 0 1 0 0 Vào Ra p Q R OR p X R 1 1 1 ) OK 1 0 1 Q -L ______ 0 1 1 0 0 0 3.2.2. Các m ạch tô ’hợp Các mạch được thiết kê'trên cơ sở sử dụng các cổng trên đâv, được gọi là mạch tốhọy. Mạch tô hợp được xây dựng trên cơ sở các phép toán logic trên các biến nhị phân, nên còn gọi là mạch logic. Trong mạch logic giá trị đầu ra chi phụ thuộc vào giá trị đầu vào mà không phụ thuộc vào trạng thái biến đổi của mạch. 179
Nếu cho một tập các tín hiệu vào cùa một mạch logic, ta có thể tìm được tín hiệu ra bằng cách lẩn theo dấu vết của các tín hiệu ra thông qua các cổng trên mạch. Ví dụ: Chỉ rõ tín hiệu ra của mạch logic dưới đây đối với tín hiệu vào cho trước là p = 1, Q = 0, R = 1. Hình 3.2.1 Tín hiệu ra của cổng OR là 1 vì một trong hai tín hiệu vào là p = 1, cổng NOT biến tín hiệu này thành 0. Như vậy 2 tín hiệu vào của cổng AND là 0 và R = 1. Vì thế tín hiệu ra là s = 0. Biểu thức B o o le của m ạch logic Nếu cho một mạch logic, ta có thể tìm được một biểu thức Boole ứng với mạch đó. Ví dụ: Hãy tìm biểu thức logic ứng với mạch logic cho bởi hình 3.2.1. Theo dõi các kết quả đầu ra của các cổng từ trái qua phải của: mạch trên, và viết kết quả đó bằng ký hiệu. Đầu tiên qua cổng OR ta có kê't quả đầu ra là (P V Q), tiếp tói qua cổng NOT ta được ~(P V Q). Kê't quả này là một đầu vào của cổng AND, còn đẩu vào thứ hai của cổng này là R, nên cuốỉ cùng ta được biểu thức: s = f(P,Q ,R ) = ~(P V Q ) A R Đó là một biểu thức logic với các biến p, Q/ R chỉ nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1. Biểu thức này còn gọi là biểu thức Boole cùa mạch logic. 180
Nếu dùng ký hiệu cùa các phép toán Boole thì biểu thức trên hoàn toàn tương đương với biểu thức Boole sau: S = f(P,Q,R)= (P + Q).R Dưới đâỹ^à bảng giá trị vào/ra cùa biểu thức ~(P V Q) A R: Vào Ra p Q R ~(P V Q) A R 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 M ạch log ic últg với biêu thức B oole Ngược lại, với một biểu thức Boole cho trước ta có thê xây dựng được một mạch logic tương ứng với nó. Ví dụ 1: Xây dựng mạch logic cho biểu thức Boole sau: í (P,Q) = (~ P a Q ) v ~Q Vì phép toán cuôĩ cùng là phép V giữa (~p A Q) và ~Q, nên ta đặt công OR là cổng ở ngoài cùng bên phải cùa sơ đổửMột đầu vào cùa công OR này là (~p A Q), nên ta vẽ cổng AND bên trái cua Cổng OR, và chi đẩu ra cùa nó hướng vào cồng OR. Vì một đầu vào cùa cổng AND này là ~p, nên ta vẽ p là đầu vào của cổng NOT, và hướng đầu ra vào công AND. Đầu vào thứ hai của cổng AND là Q, nên ta vẽ một đường từ Q tói cổng AND. Đẩu vào thứ hai cua Cống OR ờ ngoài cùng bên phải sơ đổ là -Q , nên ta vẽ một đuòng từ Q qua cổng NOT, rối từ cổng N.OT vẽ một đường tới Cổng OR. 181
Mạch logic nhận được là như sau: Ví dụ 2: Xét biểu thức logic: í (P,Q) = ( P v Q ) a ~ (P a Q) Biểu thức này có bảng giá trị như sau: '•-B Q p Q (PvQ) ( P a Q) (P V Q) A ~ (P A Q) > í 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 Từ bảng giá trị chân lý ta thây biểu thức (P V Q) A ~(P A Q) chi nhận giá trị đúng khi hoặc p đúng (P = 1) hoặc Q đúng (Q = 1), chứ không cả hai, nên biểu thức (P V Q) A ~ ( p A Q) còn gọi l à biêu thức ỀâV hoặc Q, chứ không cả hai". Đê xây dựng được mạch logic tương ứng với biêu thức Boole trên ta chú ý rằng phép toán cuối cùng là phép A giữa (P V Q) và ~(P A Q), nên ta đặt cổng AND là cổng ờ ngoài cùng bên phải của sơ đổ. Một đầu vào cua cổng AND này là (P V Q) nên p, Q là đầu vào của cổng OR ở bên trái công AND. Đẩu vào thứ hai của cống AND là ~(P A Q), nên ta vẽ p A Q là đầu vào cùa cổng NOT, và hướng đầu ra vào cổng AND. Vì p A Q là đầu vào của công NOT, nên bên trái cổng NOT là công AND, với hai đầu vào là p, Q. 182
Cuối cùng, mạch logic nhận được là như sau: Hình 3.2.3 3ễ2.3. M ạch logic của ph ép cộng h ai s ố nhị phân Bây giờ ta hãy xem cách thiết kế một mạch logic để tạo ra tổng của hai số nhị phân p và Q. Tổng hai số nhị phân được thực hiện như sau: 12 + 1; = 10: 1; + 0: = 1, = 0I 2 0 ; 4- h = h = 0I 2 0: + = 02 = 002 Từ đó ta thấy rằng mạch logic được thiết kê'phải có hai đầu ra: một dành cho số nhị phân bên trái, gọi là sô'nhớ và một dành cho SỐ nhị phân bên phải, gọi là sô'tổng. Sô'nhớ ờ đầu ra là 1 nếu p = 1 và Q = 1 và là 0 trong các trường hợp còn lại. Như vậy số nhớ là kết quả của cổng AND. Sô'tôhg ờ đầu ra là 1 nêu p hoặc Q, nhưng không cả hai, là 1. Như vậy số tổng có thể được tạo ra bằng mạch logic tương ứng với biểu thức logic " p hoặc Q, nhưng không cả hai", đó là biểu thức (P V Q) A ~(P A Q). Ta đã thây biểu thức này trong ví dụ 2 ờ mục 3.2.2 cùng với bàng giá trị của nó. Vì vậy, mạch logic cho phép cộng hai số nhị phân p và Q có thể được xây dựng như hình 3.2.4 dưới đây: 183
Hình 3.2.4 Bàng vào/ra cùa mạch nàv là: p 1 Q Sô’ nhỏ Sô tỏng 1 i 1 1 0 1 1 0 0 1 0 Ị 1 0 1 0 1 0 0 0 Tiên bộ kỹ thuật ngày nav đã tạo ra nhiêu công cụ cho phép thực hiện bâ’t kỳ biêu thúc Boole nào. Dó là các mạch tố hợp vói các linh kiện điện từ hoạt động dựa trên nguyên tắc đập nhịp "có, không" ứng vói hai giá trị 1 và 0 của các biên nhị phán. Máy tính điện tu chính là công cụ thực hiện các phép toán Boole trẽn các biến nhị phân. Nhu ta đã biết có sự tương úng giũa các phép toán Boole với các phép toán logic, giũa các phép toán Boole vói các phép toán tập hợp. Vì vậy máy tính điện tu có khả năng thực hiện các phcp toán logic và các bài toán trong đó có tham gia các tập hữu hạn và các phép toán trên các tập con cua các tập này. Có thê nói logic mệnh để và đại số Boole là ca sỏ logic của máy tính điện tu. Còn cơ sò sô' học của máv tính điện tu là hệ đếm nhị phân ma ta đã trình bày ỏ chuơng 1. 184
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 3.1. ĐẠI SỐ BOOLE Bằng phương pháp biến đổi thục hiện các chứng minh sau: 1. Dùng bàng giá trị, chúng quy tắc Dc Morgan: a + b = a .b 2. Dùng bàng giá trị, chúng minh tính chất hâ'p thu: a.(a + b) = a 3. Dùng phưong pháp biên đói, rút gọn biêu thức Boole sau: f(x,y,z) = x.y + x.y.z + X.Z 4. Vói mọi a và b trong B, chứng minh rằng: a.b + ( a + b ) = 1 ?. Vói mọi a và b tiong c, chung minh rằng: (a.b). (a + b ) = 0 185
3.2. CÁC MẠCH TỔNG HỢP Viết biểu thức Boole của các mạch 1 - 4 và hãy tìm tín hiệu ra đối với tín hiệu vào cho trước. 1. 2. 3. 186
4. tín hiệu vào: p = 0, Q = 0 và R = 0. Vẽ mạch tô họp cùa các biêu thức Boole 5 - 8 sau và lập bang giá trị vào/ra cùa các biểu thức đó. 5 ắs = ~ p V Q 6. s = ~ (P V Q) 7. s = p V (~ p A~ Q) 8. s = (P A Q) V ~ R 187
Chương 4 THỐNG KÊ TOÁN HỌC Hoạt động thư viện - thông tin là hoạt động phục vụ đông đảo các đối tượng người dùng tin, dựa trên nguồn thông tin phong phú, đa dạng với số lượng lớn. Việc phân tích các kết quả thống kê, điểu tra chọn mẫu để có những đánh giá khoa học, khách quan về hiệu quả hoạt động của một thư viện hoặc trung tâm thông tin là việc làm cần thiết và thường gặp. Chương này sẽ trình bày những nội dung cơ ban của thông kê toán học, bao gổm: phương pháp trình bày và đánh giá các kết quả thực nghiệm (thống kê mô tà) và phương pháp điểu tra chọn mẫu (suy luận thống kê). Một số khái niệm co bàn của lý thuyết xác suâ't được giới thiệu, không chỉ là cơ sò lý thuyết cho các ước lượng thống kê, mà còn cũng giúp người đọc hiểu rõ hơn khái niệm đơn vị đo thông tin và các công thức tính thông tin do E. Claude Shanon đưa ra trong lý thuyết thông tin vào năm 1948. 4.1. PHƯƠNG PHÁP TRÌNH BÀY VÀ ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ TH ựC NGHIỆP 4.1.1. K hái niệm m ở đầu Thông kê toán học là khoa học về sự thu thập, rút gọn, trình bày các sô' liệu, cũng nhu thực hiện các suy luận đê rút ra những kết luận dựa trên sụ phân tích các sô'liệu đó. Mục đích cùa các nghiên cứu thống kê là rút ra những thông tin có ý nghĩa từ các sô' liệu quan sát được. Các số liệu này được 188
thu thập qua việc khảo sát trên các hiện tượng của tụ nhiên, các thí nghiệm khoa học, hay các hoạt động kinh tế - xã hội. Trong thực tế đời sống và các hoạt động kinh tế xã hội các bài toán thống kê thường được đặt ra như saư: - Có một tập hợp các đối tượng nào đó. Ví dụ: tập hợp các bạn đọc của một thư viện, tập hợp các quyển sách của thư viện đó, tập hợp các từ khoá, từ chuẩn trong một bài báo, tập hợp các ý kiến đánh giá về châ't lượng các sàn phẩm và dịch vụ thông tin,... - Trong tập họp đó ta cần ta cẩn quan sát một dâu hiệu nào đó đặc trưng cho các phẩn tử của tập hợp đang xét. Các dâu hiệu đó có thê là dâu hiệu về châ't, có thê là dâu hiệu về lượng. Dâu hiệu về lượng là dâu hiệu có thê đo đếm được, tức là có thê biểu diễn bằng một con số với một đơn vị đo xác định. Còn dấu hiệu về chât là dâu hiệu về một thuộc tính nào đó của đôi tượng. Chẳng hạn, nếu đối tượng quan sát là tập hợp các bạn đọc thì dâu hiệu về châ't có thể là trình độ học vân, nghề nghiệp, còn dâu hiệu về lượng có thê là năm sinh, sô' sách mà bạn đọc mượn đọc trong một năm,... - Những dâu hiệu mà ta quan sát đó nhận những giá trị khác nhau một cách ngẫu nhiên trên các phần tử cùa tập hợp đã cho. Chăng hạn, ta không biết được số người đọc đến thu viện trong một ngày là bao nhiêu, bạn đọc này đọc bao nhiêu cuốn sách trong một năm, trong bài báo có bao nhiêu từ dài 5 ký tự ,... - Khi quan sát ta không quan tâm đên mỗi phần từ riêng biệt, mà quan tâm đến đám đông vói những tính châ't tổng quát của nó rút ra từ những dâu hiệu quan sát. Một tập hợp các phần tử trong đó ta nghiên cứu một dâu hiệu đ ặ c tr ư n g c h o c h ú n g đ ư ợ c g ọ i là m ột tập ÌIỌỴ) th ôn g kê. Đại lượng chi dấu hiệu về lượng của các phần tử của các tập hợp thống kê mà ta quan sát được gọi là một biến, và thường được ky hiệu la X, Y, Z,... 189