Giáo trình Tóm tắt xác suất thống kê - BS. Trần Trung Dũng

Chia sẻ: Trần Trung Dũng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

327
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Tóm tắt xác suất thống kê gồm có 11 chương trình bày về giải tích tổ hợp; đại cương về xác suất; biểu số ngẫu nhiên; các phân phối thường dùng; lý thuyết lấy mẫu; lý thuyết ước lượng; kiểm định giả thiết thống kê; phân tích phương sai - phép kiểm dung sai; hồi quy và tương quan; xác suất trong chẩn đoán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Tóm tắt xác suất thống kê - BS. Trần Trung Dũng

TRÖÔØNG TRUNG CAÁP Y TEÁ GIA LAI www.tcytgialai.net ********** XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ (Töø nguoàn: GIAÙO TRÌNH XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ - ÑAÏI HOÏC Y DÖÔÏC TP. HOÀ CHÍ MINH - 2010) Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng TP. HCM - thaùng 12/2010
Lêi nãi ®Çu QuyÓn s¸ch “Tãm t¾t X¸c suÊt - Thèng kª ” dµnh cho bËc ®µo t¹o sau ®¹i häc do BS. TrÇn Trung Dòng - Gi¸o viªn thuéc Tæ bé m«n L©m sµng - Trêng Trung cÊp Y tÕ Gia Lai biªn so¹n ®· b¸m s¸t môc tiªu, néi dung ch¬ng tr×nh cña Gi¸o tr×nh X¸c suÊt thèng kª do Trêng §¹i häc Y Dîc TP. Hå ChÝ Minh xuÊt b¶n n¨m 2010. ViÖc biªn so¹n nµy, dï tèn nhiÒu c«ng søc do ph¶i chän läc néi dung vµ viÖc so¹n c¸c c«ng thøc to¸n häc phøc t¹p víi sè lîng rÊt nhiÒu, nhng t¸c gi¶ ®· hÕt søc cè g¾ng biªn so¹n nh»m môc ®Ých ®a ®Õn b¹n ®äc nh÷ng kiÕn thøc c« ®äng nhÊt vÒ to¸n x¸c suÊt thèng kª, phôc vô cho c«ng t¸c «n thi sau ®¹i häc vµ tra cøu vÒ sau. QuyÓn s¸ch nµy bao gåm 10 ch¬ng, tõ ch¬ng 1 ®Õn ch¬ng 11 (kh«ng cã ch¬ng 5 theo gi¸o tr×nh cña Trêng §¹i häc Y Dîc TP. Hå ChÝ Minh - 2010). Ch¬ng 5 kh«ng biªn so¹n v× trong néi dung «n thi sau ®¹i häc 2011 kh«ng yªu cÇu. Tuy nhiªn, ®Ó phôc vô tèt cho nhu cÇu tra cøu, t¸c gi¶ sÏ cè g¾ng biªn so¹n vµ thªm vµo trong lÇn t¸i b¶n sau. T¸c gi¶ xin göi lêi c¶m ¬n ®Õn c¸c ThÇy C« gi¸o vµ c¸c ®ång nghiÖp ®· tham gia ®ãng gãp ý kiÕn cho t¸c gi¶ vµ göi g¾m nhiÒu lêi ®éng viªn trong qu¸ tr×nh biªn so¹n quyÓn s¸ch nµy. Dï ®· cè g¾ng biªn so¹n nhng ch¾c ch¾n quyÓn s¸ch nµy vÉn cßn cã nh÷ng khiÕm khuyÕt vÒ néi dung vµ h×nh thøc. T¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña c¸c ThÇy C« gi¸o vµ c¸c ®ång nghiÖp ®Ó t¸c gi¶ söa ch÷a trong lÇn t¸i b¶n sau. Xin tr©n träng c¶m ¬n! T¸c gi¶ BS. TrÇn Trung Dòng
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  MUÏC LUÏC MUÏC LUÏC ****** Chöông I: GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP .......................................................7 1. Quy taéc veà caùch ñeám: .......................................................................... 7 1.1. Quy taéc nhaân:..................................................................................... 7 1.2. Quy taéc coäng: ..................................................................................... 7 2. Hoaùn vò, chænh hôïp, toå hôïp: ..............................................................7 2.1. Hoaùn vò (Permutation): ................................................................... 7 2.2. Chænh hôïp (Arrangement):.............................................................7 2.3. Toå hôïp (Combinasions):.................................................................. 7 3. Nhò thöùc Newton:.................................................................................... 7 Chöông II: ÑAÏI CÖÔNG VEÀ XAÙC SUAÁT..........................................8 1. Khaùi nieäm chung:................................................................................... 8 2. Xaùc suaát: ..................................................................................................... 8 2.1. Ñònh nghóa coå ñieån: ......................................................................... 8 2.2. Tieân ñeà Kolmogorov: ...................................................................... 8 3. Xaùc suaát coù ñieàu kieän:......................................................................... 8 3.1. Ñònh nghóa:.......................................................................................... 8 3.2. Caùc keát quaû:........................................................................................ 9 4. Bieán coá ñoäc laäp: ...................................................................................... 9 Chöông III: BIEÁN SOÁ NGAÃU NHIEÂN .............................................10 1. Bieán soá ngaãu nhieân loaïi rôøi: .......................................................... 10 1.1. Haøm maät ñoä xaùc suaát:.................................................................. 10 1.2. Haøm phaân phoái tích luõy: .............................................................10 2. Bieán soá ngaãu nhieân loaïi lieân tuïc:................................................ 10 2.1. Haøm maät ñoä xaùc xuaát: ................................................................. 10 2.2. Haøm phaân phoái tích luõy: .............................................................10 3. Voïng trò toaùn hoïc:................................................................................ 10 3.1. Trung bình:........................................................................................ 11 3.2. Phöông sai:........................................................................................ 11 3.3. Haøm gaây moment:.......................................................................... 11 Chöông IV: CAÙC PHAÂN PHOÁI THÖÔØNG DUØNG .............................12 1. Phaân phoái Bernouilli:........................................................................ 12 2. Phaân phoái nhò thöùc: ............................................................................ 12 Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  TP. HCM - thaùng 12/2010
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  MUÏC LUÏC 3. Phaân phoái Poisson:.............................................................................. 12 4. Phaân phoái chuaån (Standard normal distribution):............ 13 5. Phaân phoái bình thöôøng (Normal distribution):.................... 13 6. Chuaån hoùa phaân phoái bình thöôøng:............................................ 14 7. Phaân phoái Gamma: .............................................................................. 15 8. Phaân phoái chi bình phöông: ........................................................... 15 Chöông VI: LYÙ THUYEÁT LAÁY MAÃU ..............................................17 1. Ñaïi cöông:................................................................................................. 17 2. Thoáng keâ: .................................................................................................. 17 3. Thoáng keâ trung bình maãu: ..............................................................17 3.1. Ñònh nghóa:........................................................................................ 17 3.2. Quy luaät xaùc suaát cuûa trung bình maãu:................................17 4. Thoáng keâ phöông sai maãu: ..............................................................18 4.1. Ñònh nghóa:........................................................................................ 18 4.2. Quy luaät xaùc suaát cuûa S2: ........................................................... 18 Chöông VII: LYÙ THUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG ........................................19 1. Ñaïi cöông:................................................................................................. 19 2. Öôùc löôïng khoaûng: ............................................................................... 19  2.1. Öôùc löôïng  trong phaân phoái  ,  02 (  02 ñaõ bieát):............ 19   2.2. Öôùc löôïng  trong phaân phoái  ,  2 (  2 chöa bieát):...... 19    ,   (  ñaõ bieát):....... 20 2 2.3. Öôùc löôïng  trong phaân phoái 0 2 0    ,   (  chöa bieát): .... 20 2 2.4. Öôùc löôïng  trong phaân phoái 2 2.5. Öôùc löôïng tæ leä p trong phaân phoái  1, p  :......................... 20 Chöông VIII: KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT THOÁNG KEÂ .......................21 1. So saùnh hai tæ leä baèng pheùp kieåm u:........................................... 21 1.1. So saùnh tæ leä lyù thuyeát vaø tæ leä thöïc nghieäm:..................... 21 1.2. So saùnh 2 tæ leä thöïc nghieäm ñoäc laäp: .................................... 21 1.3. So saùnh 2 tæ leä thöïc nghieäm coù soá lieäu ñoâi: ....................... 22 2. So saùnh nhieàu tæ leä baèng pheùp kieåm 2:.................................... 22 2.1. So saùnh tæ leä thöïc nghieäm vaø tæ leä lyù thuyeát:..................... 23 2.2. So saùnh 2 tæ leä thöïc nghieäm ñoäc laäp: .................................... 23 2.3. So saùnh 2 tæ leä thöïc nghieäm coù soá lieäu ñoâi: ....................... 23 2.4. So saùnh nhieàu tæ leä thöïc nghieäm ñoäc laäp:........................... 24 2.5. Kieåm ñònh söï phuø hôïp cuûa caùc phaân phoái baèng pheùp kieåm 2: ........................................................................................................ 24 Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  TP. HCM - thaùng 12/2010
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  MUÏC LUÏC 2.6. Kieåm ñònh söï ñoàng nhaát cuûa caùc phaân phoái baèng pheùp kieåm 2: ........................................................................................................ 25 2.7. Kieåm ñònh söï phuï thuoäc cuûa caùc phaân phoái baèng pheùp kieåm 2: ........................................................................................................ 25 2.8. Kieåm ñònh tính chuaån cuûa 1 phaân phoái baèng pheùp kieåm 2:.................................................................................................................... 26 3. So saùnh hai soá trung bình baèng pheùp kieåm u hoaëc pheùp kieåm t:.............................................................................................................. 26 3.1. So saùnh soá trung bình thöïc nghieäm vaø soá trung bình lyù thuyeát khi  ñaõ bieát:.............................................................................. 26 3.2. So saùnh hai soá trung bình thöïc nghieäm ñoäc laäp khi  ñaõ bieát: ............................................................................................................... 27 3.3. So saùnh hai soá trung bình thöïc nghieäm khi coù soá lieäu ñoâi vaø  ñaõ bieát:....................................................................................... 27 3.4. So saùnh soá trung bình thöïc nghieäm vaø soá trung bình lyù thuyeát khi  chöa bieát vaø n < 30: ..................................................... 28 3.5. So saùnh hai soá trung bình thöïc nghieäm ñoäc laäp khi  chöa bieát vaø n < 30: ........................................................................... 28 3.6. So saùnh hai soá trung bình thöïc nghieäm soá lieäu ñoâi khi  chöa bieát vaø n < 30: ........................................................................... 29 4. So saùnh nhieàu phöông sai baèng pheùp kieåm F (Fisher), Bartlett, Cochran: ..................................................................................... 29 4.1. So saùnh hai phöông sai thöïc nghieäm ñoäc laäp:.................. 29 4.2. So saùnh nhieàu phöông sai thöïc nghieäm ñoäc laäp: ............ 30 4.3. So saùnh nhieàu phöông sai thöïc nghieäm ñoäc laäp vôùi pheùp kieåm Cochran:............................................................................... 30 Chöông IX: PHAÂN TÍCH PHÖÔNG SAI - PHEÙP KIEÅM DUNCAN ....32 1. Phaân tích phöông sai 1 yeáu toá: ..................................................... 32 1.1. Ñaët vaán ñeà: ........................................................................................ 32 1.2. Pheùp phaân tích phöông sai 1 yeáu toá: ..................................... 32 1.3. Pheùp kieåm Duncan: ....................................................................... 33 1.4. So saùnh töøng caëp soá trung bình trong tröôøng hôïp caùc ni khoâng baèng nhau: ................................................................................... 33 2. Phaân tích phöông sai 2 yeáu toá: ..................................................... 33 2.1. Ñaët vaán ñeà: ........................................................................................ 34 2.2. Thöïc haønh pheùp phaân tích phöông sai 2 yeáu toá: ............. 34 Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  TP. HCM - thaùng 12/2010
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  MUÏC LUÏC Chöông X: HOÀI QUY VAØ TÖÔNG QUAN .......................................35 1. Hoài quy tuyeán tính:............................................................................. 35 2. Heä soá töông quan thöïc nghieäm: ................................................... 35 3. Moái lieân heä giöõa heä soá töông quan vaø heä soá hoài quy:...... 36 4. Phöông sai hoài quy: ............................................................................ 36 4.1. Tính phöông sai hoài quy theo R: ............................................. 36 4.2. Tính phöông sai hoài quy theo a:.............................................. 36 5. Khoaûng döï baùo cho Y vaø trung bình cuûa Y khi bieát X = X0 :...................................................................................................................... 36 6. Ñaùnh giaù heä soá töông quan:............................................................36 6.1. (X, Y) coù thöïc söï töông quan khoâng: ...................................... 36 6.2. So saùnh  vôùi moät giaù trò cho saün: ......................................... 37 7. So saùnh ñöôøng thaúng hoài quy:....................................................... 37 7.1. So saùnh a vôùi moät soá cho saün:.................................................. 37 7.2. So saùnh b vôùi moät soá cho saün: .................................................. 37 Chöông XI: XAÙC SUAÁT TRONG CHAÅN ÑOAÙN ..............................38 1. Moâ hình ngöôõng (Threshold Model): ......................................... 38 2. Ñoä chính xaùc cuûa moät xeùt nghieäm:............................................. 38 3. Giaù trò tieân ñoaùn (Predictive Value): ....................................... 39 4. Tyû soá khaû naêng (The likehood Ratio):...................................... 39 *************** Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  TP. HCM - thaùng 12/2010
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông I: GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP Chöông I: GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP 1. Quy taéc veà caùch ñeám: 1.1. Quy taéc nhaân: - Moät haønh ñoäng A chia laøm nhieàu giai ñoaïn: + Coù n caùch thöïc hieän giai ñoaïn 1. + Coù m caùch thöïc hieän giai ñoaïn 2. + ................................................... + Coù k caùch thöïc hieän giai ñoaïn cuoái. Vaäy soá caùch thöïc hieän haønh ñoäng A laø: N = n.m. ... .k 1.2. Quy taéc coäng: - Moät haønh ñoäng A coù nhieàu phöông aùn thöïc hieän: + Coù n caùch thöïc hieän phöông aùn 1. + Coù m caùch thöïc hieän phöông aùn 2. + ................................................... + Coù k caùch thöïc hieän phöông aùn cuoái. Vaäy soá caùch thöïc hieän haønh ñoäng A laø: N = n + m + ... +k 2. Hoaùn vò, chænh hôïp, toå hôïp: 2.1. Hoaùn vò (Permutation): - Hoaùn vò n phaàn töû laø xeáp ñaët n phaàn töû vaøo n vò trí. - Soá hoaùn vò: Pn = n(n-1)(n-2)...(1) = n! 2.2. Chænh hôïp (Arrangement): - Chænh hôïp n phaàn töû laáy k laø moät taäp hôïp con coù xeáp thöù töï goàm k phaàn töû khaùc nhau. - Soá chænh hôïp: n! A kn = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = (n - k)! 2.3. Toå hôïp (Combinasions): - Toå hôïp n phaàn töû laáy k laø moät taäp hôïp con khoâng xeáp thöù töï goàm k phaàn töû khaùc nhau. - Soá toå hôïp: Ak n! C kn = n = k! k! n- k! 3. Nhò thöùc Newton: (a+b)n = C n an+ C n an-1b+...+ C n akbn-k+...+ C n bn n n-1 k 0 Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 7
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông II: ÑAÏI CÖÔNG VEÀ XAÙC SUAÁT Chöông II: ÑAÏI CÖÔNG VEÀ XAÙC SUAÁT 1. Khaùi nieäm chung: - Khoâng gian maãu: taäp hôïp caùc keát quaû xaûy ra, kyù hieäu:  - Bieán coá: taäp con cuûa khoâng gian maãu, kyù hieäu: A, B, C ... - Caùc pheùp tính treân bieán coá: + Phaàn hoäi: AB = A hay B xaûy ra. + Phaàn giao: A  B (hay AB) = A vaø B xaûy ra. + Phaàn buø: A =  \A = A khoâng xaûy ra. 2. Xaùc suaát: Xaùc suaát laø moät con soá ño löôøng möùc ñoä xaûy ra cuûa moät bieán coá. 2.1. Ñònh nghóa coå ñieån: Xaùc suaát cuûa A laø tæ soá giöõa soá phaàn töû k cuûa A vaø soá phaàn töû n cuûa khoâng gian maãu . k P(A) = n Ñònh nghóa coå ñieån chæ aùp duïng cho caùc tröôøng hôïp khoâng gian maãu höõu haïn vaø caùc tröôøng hôïp coù cô hoäi ñoàng ñeàu. 2.2. Tieân ñeà Kolmogorov: Xaùc suaát laø moät haøm soá xaùc ñònh caùc bieán coá, thoûa maõn: - P() = 1. - P(A)  0, A. - A1, A2, A3, ... rôøi nhau. P(A1  A2  A3 ...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... Caùc keát quaû cuûa tieân ñeà Kolmogorov: - A, B rôøi nhau: P(A  B) = P(A) + P(B). - A, B baát kyø: P(A  B) = P(A) + P(B) - P(AB) Ñaây laø coâng thöùc coäng xaùc suaát. 3. Xaùc suaát coù ñieàu kieän: 3.1. Ñònh nghóa: Xaùc suaát cuûa A khi bieát B xaûy ra [kyù hieäu: P(AB)] laø: P(AB) P(AB) = P(B) Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 8
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông II: ÑAÏI CÖÔNG VEÀ XAÙC SUAÁT 3.2. Caùc keát quaû: 3.2.1. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát: P(AB) = P(AB).P(B) 3.2.1. Coâng thöùc xaùc suaát toaøn phaàn: - Tröôøng hôïp:  = B1  B2 ; (B1B2 = ) ; vôùi moïi bieán coá A phaân tích theo B1, B2 thì: P(A) = P(AB1).P(B1) + P(AB2).P(B2) - Tröôøng hôïp:  = B1  B2  B3 ...; (B1Bj = , i  j) ; vôùi moïi bieán coá A phaân tích theo B1, B2, B3, ... thì: P(A) =  P(ABn).P(Bn) 3.2.1. Coâng thöùc Bayeøs: P(A|Bk ).P(Bk ) P(BkA) = P(A) 4. Bieán coá ñoäc laäp: Bieán coá A goïi laø ñoäc laäp vôùi bieán coá B neáu xaùc suaát cuûa A, khi bieát B xaûy ra, khoâng phuï thuoäc B. P(AB) = P(A) P(AB) = P(A) P(B) P(AB) = P(A).P(B) Vai troø cuûa A vaø B trong heä thöùc naøy coù tính ñoái xöùng, vaäy neáu A ñoäc laäp vôùi B thì B cuõng ñoäc laäp vôùi A. Ba bieán coá A, B, C ñoäc laäp nhau neáu ta coù: P(AB) = P(A).P(B) P(AC) = P(A).P(C) P(BC) = P(B).P(C) P(ABC) = P(A).P(B).P(C) Ba heä thöùc ñaàu dieãn taû söï ñoäc laäp töøng ñoâi. * Chuù yù: söï ñoäc laäp töøng ñoâi khoâng daãn ñeán söï ñoäc laäp toaøn phaàn. Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 9
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông III: BIEÁN SOÁ NGAÃU NHIEÂN Chöông III: BIEÁN SOÁ NGAÃU NHIEÂN 1. Bieán soá ngaãu nhieân loaïi rôøi: Bieán soá X chæ laáy caùc giaù trò rôøi raïc: x1, x2, x3, ... Ñaët pi = P[X = xi] ; (i = 1, 2, 3, ...) Ta coù: X X1 X2 X3 ... P p1 p2 p3 ... Caùc giaù trò pi thoûa maõn hai tính chaát: pi  0  pi =1 1.1. Haøm maät ñoä xaùc suaát: pi ; neáu x = x i f(x)  0, x Ñaët: f(x) =  Haøm soá f(x) thoûa maõn  0; nôi khaùc  f(x) = 1 1.2. Haøm phaân phoái tích luõy: Ñaët F(x) = P[X  x] = {f(xi) ; xi  x}. Haøm F(x) ñöôïc goïi laø haøm phaân phoái tích luõy. Haøm naøy tính xaùc suaát coäng doàn töø - ñeán x. 2. Bieán soá ngaãu nhieân loaïi lieân tuïc: 2.1. Haøm maät ñoä xaùc xuaát: Haøm soá f(x) ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X neáu thoûa maõn hai tính chaát:  f(x)  0,  x     f(x)dx = 1 2.2. Haøm phaân phoái tích luõy: x Ñaët F(x) = P(Xx) =  - f(u)du Haøm F(x) ñöôïc goïi laø haøm phaân phoái tích luõy cuûa X. 3. Voïng trò toaùn hoïc: Xeùt bieán soá ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä f(x) vaø u(X) laø moät bieåu thöùc theo X. Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 10
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông III: BIEÁN SOÁ NGAÃU NHIEÂN Voïng trò toaùn hoïc cuûa u(X) laø ñaïi löôïng:   u(x).f(x) : loaïi rôøi  E[u(X)] =     u(x).f(x)dx : loaïi lieân tuïc 3.1. Trung bình: Laáy u(X) = X, trung bình cuûa X ñöôïc ñònh nghóa laø:   x.f(x) : loaïi rôøi   = E(X) =     x.f(x)dx : loaïi lieân tuïc Neáu phaân phoái ñeàu thì trung bình cuûa X chính laø soá trung bình coäng. 3.2. Phöông sai: Laáy u(X) = (X - )2, phöông sai cuûa X laø ñaïi löôïng:   (x -  )2 .f(x) : loaïi rôøi   2 = E(X - )2 =     (x -  ) .f(x)dx : loaïi lieân tuïc 2 Caùch tính phöông sai:  2 = E(X2) - 2 2 Neáu x1, x2, ... xn phaân taùn thì  lôùn. Neáu x1, x2, ... xn taäp 2 2 2 trung thì  beù. Kyù hieäu cuûa phöông sai:  ,  (X), Var(X), D(X). 3.3. Haøm gaây moment: Laáy u(X) = etX, haøm gaây moment cuûa X laø:   e tX .f(x) : loaïi rôøi  M(t) = E(etX) =   tX   e .f(x)dx : loaïi lieân tuïc Töø ñoù ta coù: + Coâng thöùc tính trung bình:  = M’(0) + Coâng thöùc tính phöông sai:  2 = M’’(0) - M’(0)2 Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 11
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông IV: CAÙC PHAÂN PHOÁI THÖÔØNG DUØNG Chöông IV: CAÙC PHAÂN PHOÁI THÖÔØNG DUØNG 1. Phaân phoái Bernoulli: Cho bieán ngaãu nhieân X rôøi, laáy hai trò soá 0 vaø 1. Bieán ngaãu nhieân X goïi laø coù phaân phoái Bernoulli khi haøm maät ñoä coù daïng:  p x (1 - p)1- x vôùi x = 0 ,1 f(x) =  0 nôi khaùc Kyù hieäu: X  B(1,p) trong ñoù: 0 < p < 1. - Kyø voïng: EX = p - Phöông sai: Var(X) = p(1 - p) - Haøm gaây moment: M(t) = 1 - p + pet 2. Phaân phoái nhò thöùc: Cho bieán ngaãu nhieân X rôøi, laáy caùc trò soá 0, 1, 2, 3, ..., n. Bieán X goïi laø coù phaân phoái nhò thöùc khi haøm maät ñoä coù daïng: C nx p x (1 - p)n - x vôùi x = 0 ,1, ... n f(x) =   0 nôi khaùc Kyù hieäu: X  B(n,p) trong ñoù: 0 < p < 1. - Kyø voïng: EX = np - Phöông sai: Var(X) = np(1 - p) - Haøm gaây moment: M(t) = (1 - p + pet)n 3. Phaân phoái Poisson: Cho bieán ngaãu nhieân X rôøi, laáy caùc trò soá 0, 1, 2, 3, ..., n. Bieán X goïi laø coù phaân phoái Poisson khi haøm maät ñoä coù daïng:   x e-  vôùi x = 0 ,1, ... n f(x) =  x! 0 nôi khaùc vôùi  > 0  Kyù hieäu: X  P(). Trong ñoù  > 0 vaø  = np. - Kyø voïng: EX =  - Phöông sai: Var(X) =  t - Haøm gaây moment: M(t) = e  (e 1) AÙp duïng phaân phoái Poisson khi p  0,01 vaø n  30. Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 12
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông IV: CAÙC PHAÂN PHOÁI THÖÔØNG DUØNG 4. Phaân phoái chuaån (Standard normal distribution): Cho bieán ngaãu nhieân U lieân tuïc. Bieán U coù phaân phoái chuaån, khi haøm maät ñoä coù daïng: 1 -u 2 f(u) = e 2 2 Kyù hieäu: U  N(0,1). Ñoà thò f(u) coù daïng hình chuoâng ñoái xöùng qua truïc tung. - Kyø voïng:  = EU = 0 - Phöông sai: VarU = 1 t2 - Haøm gaây moment: M(t) = e 2 a 1 -u 2 - Haøm tích luõy  (u):  (a) = P(Ua) =   2 e 2 du b - Ta coù: P(aUb) =  a f(u)du =  (b) -  (a) Caùc giaù trò cuûa  (u) ñöôïc tính saün thaønh moät baûng ñeå tieän duøng. Caùch tra baûng: - Neáu u > 0: tra tröïc tieáp treân baûng. - Neáu u < 0: aùp duïng  (u) = 1 -  (-u). Vaøi trò soá ñaùng nhôù: - P(|u|1,96) = P(-1,96u1,96) = 0,95. - P(|u|2,58) = P(-2,58u2,58) = 0,99. 5. Phaân phoái bình thöôøng (Normal distribution): Cho bieán ngaãu nhieân X lieân tuïc, vôùi  > 0,  laø hai thoâng soá. Bieán X coù phaân phoái bình thöôøng, khi haøm maät ñoä coù daïng: 1 -(x -  )2 f(x) = e 2 2  2 2 Kyù hieäu: U  N(  ,  ). Ñoà thò f(x) coù daïng hình chuoâng ñoái xöùng qua truïc x =  , cöïc trò phuï thuoäc vaøo  . - Kyø voïng: EX =  2 - Phöông sai: VarX =    2t2  - Haøm gaây moment: M(t) = exp   t +   2  Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 13
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông IV: CAÙC PHAÂN PHOÁI THÖÔØNG DUØNG 6. Chuaån hoùa phaân phoái bình thöôøng: 6.1. Ñònh lyù: 2 X- Neáu X  N(  ,  ) thì  N(0,1)  6.2. Heä quaû 1: 2  a- a -  Neáu X  N(  ,  ) thì P(Xa) = P  U   =         a -  Giaù trò    tìm ñöôïc trong baûng phaân phoái chuaån.    6.3. Heä quaû 2: 2 b- a -  Neáu X  N(  ,  ) thì P(aXb) =    -         6.4. Ñònh lyù Moivre - Laplace: Khi n lôùn, ta saáp xæ phaân phoái nhò thöùc baèng phaân phoái bình thöôøng: neáu X  B(n,p) thì X  N(np, np(1 - p)). Ñieàu kieän:  0,1p0,9 ñoàng thôøi n.p5 vaø np(1-p)5.  Chuyeån bieán rôøi raïc thaønh bieán lieân tuïc baèng pheùp hieäu chænh sau: * Xaùc suaát caàn tính coù daïng P(Xx) hoaëc P(X>x) thì hieäu chænh lieân tuïc laø (x + 0,5), cuï theå: x  0, 5     P(Xx) = P(Xx+0,5) = P  U       x  0, 5    P(X>x) = P(X>x+0,5) = P  U      * Xaùc suaát caàn tính coù daïng P(Xx) hoaëc P(X
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông IV: CAÙC PHAÂN PHOÁI THÖÔØNG DUØNG 7. Phaân phoái Gamma: 7.1. Haøm Gamma:  Vôùi  >0, ñaët ()   x .e dx ; Ta coù: (  1)  .( )   !  1 x 7.2. Phaân phoái Gamma: Ta noùi X coù phaân phoái Gamma khi haøm maät ñoä cuûa X coù daïng:  1 x  .x .e  vôùi x > 0  1 f(x)  ( )   0 nôi khaùc Kyù hieäu: X  G(,) vôùi  > 0. - Trung bình:  = . 2 - Phöông sai:  = .2 1 - Haøm gaây moment: M(t) = (1   t ) 8. Phaân phoái chi bình phöông: 8.1. Ñònh nghóa: r  Ta noùi X  2(r) neáu X  G  , 2  . Khi ñoù haøm maät ñoä cuûa X coù 2  daïng:  1 r 1 x  r .x 2 .e 2 vôùi x > 0  r  2 f(x)     2  .2    0 nôi khaùc  Kyù hieäu: X  2(r), r=1, 2, 3, ... - Trung bình:  = . = r 2 - Phöông sai:  = .2 = 2r 1 - Haøm gaây moment: M(t) = r (1  2t )2 Phaân phoái chi bình phöông raát quan troïng trong öùng duïng ñeå laøm kieåm ñònh giaû thieát thoáng keâ. Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 15
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông IV: CAÙC PHAÂN PHOÁI THÖÔØNG DUØNG 8.2. Ñònh lyù 1: Neáu X  N(0,1) thì Y = X2  2(1) 8.3. Ñònh lyù 2: Neáu X  2(r); Y  2(s). X, Y ñoäc laäp thì: Z = X + Y  2(r + s) Töø ñoù suy ra caùc heä quaû: * Heä quaû 1: Neáu X  2(1); X  2(2); ... ; Xn  2(rn) ñoäc laäp thì X1 + X2 + ... + Xn  2(r1 + r2 + ... + rn) * Heä quaû 2: Neáu X1 + X2 + ... + Xr ñoäc laäp vaø coù phaân phoái chuaån thì X12 + X 22 + ... + X 2r  2(r) 9. Phaân phoái Student: Xeùt hai bieán ngaãu nhieân X, Y ñoäc laäp: X  N(0,1) ; Y  2(n). X Ñaët t  thì bieán soá T ñöôïc goïi laø bieán coá Student n ñoä töï do, Y n kyù hieäu: T  Student (n) coù haøm maät ñoä laø:   n21  1 g(t)  . ; tR  .n .   1   ( n 1) n 2 2 t 2 n Daïng ñoà thò cuûa g(t) gaàn gioáng haøm maät ñoä N(0,1). 10. Phaân phoái Fisher: Xeùt hai bieán coá ngaãu nhieân X, Y ñoäc laäp: X  2(n); Y  2(m). X Ñaët F  n Y thì F ñöôïc goïi laø bieán soá Fisher (n, m), coù kyù hieäu laø: n F  Fisher (n, m) vaø coù haøm maät ñoä laø:   n 2m  m m 1 m  f 2 2 h(f)  .   . ; f >0   2  .  2   n  1  m f 2  n  ( n m ) n m Phaân phoái T vaø F ñöôïc söû duïng trong nhieàu thoáng keâ suy ñoaùn. Phaân phoái T ñöôïc duøng ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn lieân quan ñeán trung bình vaø tæ leä. Phaân phoái F cuõng ñöôïc duøng ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn lieân quan ñeán phöông sai. Do ñoù ngöôøi ta thieát laäp saün baûng tính cho nhöõng giaù trò caàn thieát trong phaân phoái T vaø F. Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 16
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông VI: LYÙTHUYEÁT LAÁY MAÃU Chöông VI: LYÙ THUYEÁT LAÁY MAÃU 1. Ñaïi cöông: Coù hai caùch laáy maãu laø laáy maãu hoaøn laïi vaø laáy maãu khoâng hoaøn laïi. Neáu toång theå coù raát nhieàu phaàn töû thì 2 caùch laáy maãu ñöôïc coi nhö nhau. Thoâng thöôøng ta laáy maãu ñeå öôùc löôïng nhöõng ñaïi löôïng chöa bieát nhö tæ leä, trung bình, phöông sai... ñeå suy roäng ra toaøn theå. 2. Thoáng keâ: Ñeå phaùn ñoaùn veà nhöõng tham soá lieân quan ñeán ñaëc tính X, ta laáy maãu ngaãu nhieân (X1, X2, ... , Xn) töø daân soá ñoù vaø tính caùc giaù trò töông öùng X , S2, Rxy ... Nhöõng giaù trò tính ñöôïc töø maãu naøy laø moät haøm theo maãu, ta goïi laø thoáng keâ. 3. Thoáng keâ trung bình maãu: 3.1. Ñònh nghóa: Cho maãu (X1, X2, ... , Xn), trung bình maãu laø: X1 + X 2 + ... + X n 1 n X    Xi n n i 1 3.2. Quy luaät xaùc suaát cuûa trung bình maãu: * Neáu maãu ngaãu nhieân (X1, X2, ... , Xn) ruùt ra töø moät daân soá 2 coù phaân phoái baát kyø, vôùi trung bình  vaø bieán trò  thì: 2 E( X ) =  ; Var( X ) = n Ñoä leäch chuaån cuûa X : Var X    n coøn goïi laø sai soá chuaån cuûa soá trung bình hay sai soá do choïn maãu. * Neáu maãu ngaãu nhieân (X1, X2, ... , Xn) ruùt ra töø moät daân soá coù phaân phoái bình thöôøng thì:  2 X  ,   2  thì X    ,  n   * Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm: Neáu maãu (X1, X2, ... , Xn) ruùt ra töø 2 X moät daân soá coù voïng trò , phöông sai  <  thì: . n N(0,1)  khi n  . Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 17
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông VI: LYÙTHUYEÁT LAÁY MAÃU 4. Thoáng keâ phöông sai maãu: 4.1. Ñònh nghóa: Cho maãu (X1, X2, ... , Xn), phöông sai maãu laø: 1   2 S  2 n -1  ni Xi - X Vôùi ni laø taàn soá giaù trò cuûa xi: 2 S = 2 1 n  X -X n - 1 i=1 i   Coâng thöùc tính phöông sai maãu: 2 S2 = X 2 i - nX n -1 Neáu tröôøng hôïp coù söï laëp laïi, nghóa laø coù n1 soá X1, n2 soá X2,... thì coâng thöùc thay ñoåi thaønh: 1  2  S =   ni Xi - nX  2 2 n -1   4.2. Quy luaät xaùc suaát cuûa S2: - Voïng trò: E(S2) =  2 2 4 - Phöông sai: Var(S2) =  n - Caùc phaân phoái coù lieân quan ñeán S2: neáu maãu (X1, X2, ... , Xn) ruùt ra töø moät daân soá coù phaân phoái bình thöôøng  ,  2   thì: S2 Y = (n - 1) 2  2 (n - 1)  vaø: X- T = n Student (n - 1) S Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 18
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông VII: LYÙTHUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG Chöông VII: LYÙ THUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG 1. Ñaïi cöông: Öôùc löôïng laø phoûng ñoaùn moät giaù trò chöa bieát baèng caùch döïa vaøo quan saùt maãu. Thoâng thöôøng ta caàn öôùc löôïng giaù trò trung bình, tæ leä, phöông sai, heä soá töông quan… Coù hai hình thöùc öôùc löôïng laø: Öôùc löôïng ñieåm: keát quaû cuûa giaù trò caàn öôùc löôïng cho bôûi 1 trò soá. Öôùc löôïng khoaûng: keát quaû cuûa giaù trò caàn ñöôïc öôùc löôïng cho bôûi 1 khoaûng. 2. Öôùc löôïng khoaûng:  2.1. Öôùc löôïng  trong phaân phoái  ,  02 (  02 ñaõ bieát):   0 0  - Khoaûng öôùc löôïng cuûa :  X  C ;X   vôùi C ñoïc trong  n n baûng phaân phoái chuaån N(0,1). 0 Caùch vieát thoâng thöôøng:   X  C n C 2 02 - Muoán sai soá öôùc löôïng toái ña  thì côõ maãu n phaûi: n  2 * Chuù yù: - Ñoä tin caäy : Ta coù neáu  = 0,90 thì C = 1,64 ; neáu  = 0,95 thì C = 1,96 ; neáu  = 0,99 thì C = 2,58. C 0 - Sai soá öôùc löôïng :   n 2.2. Öôùc löôïng  trong phaân phoái  ,  2 (  2 chöa bieát):    S S  - Khoaûng öôùc löôïng cuûa :  X  C ;X   vôùi C ñoïc trong  n n baûng phaân phoái Student (n-1). S Caùch vieát thoâng thöôøng:   X  C n C 2S 2 - Muoán sai soá öôùc löôïng toái ña  thì côõ maãu n phaûi: n  2 vôùi C ñoïc trong baûng phaân phoái chuaån N(0,1). * Chuù yù: Trong caùc baûng phaân phoái Student, thöôøng chæ thieát laäp ñeán 30 ñoä töï do. Vaäy, neáu gaëp tröôøng hôïp maãu lôùn (ñoä töï do lôùn hôn 30), ta duøng trò soá ôû baûng N(0,1) thay theá baûng Student. Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 19
Toùm taét Xaùc suaát Thoáng keâ - 2010  Chöông VII: LYÙTHUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG 2  2.3. Öôùc löôïng  trong phaân phoái  0 ,  2 ( 0 ñaõ bieát):  - Khoaûng öôùc löôïng cuûa  2 ñoä tin caäy  laø:       2 2  i  X i  0 X  0  2    b a    1 1 vôùi P(Y  a)  ; P(Y  b)  2 2 a, b ñoïc trong baûng  (n) . 2 2  2.4. Öôùc löôïng  trong phaân phoái   ,  2 (  chöa bieát):  - Khoaûng öôùc löôïng cuûa  2 ñoä tin caäy  laø:   X  X 2 X   2  i  X  2  i   b a    1 1 vôùi P (Y  a )  ; P (Y  b )  2 2 a, b ñoïc trong baûng  2 (n-1) . 2.5. Öôùc löôïng tæ leä p trong phaân phoái  1, p  : X1 + X 2 + ... + X n Ñaët f  : taàn suaát. Xeùt maãu côõ lôùn thoûa: n  0,1  p  0, 9   np  5  n(1-p)  5  - Khoaûng öôùc löôïng cuûa p:  f(1-f) f(1-f)    P f - C  p f + C   n n    vôùi C ñoïc trong baûng phaân phoái chuaån N(0,1). f(1-f) Caùch vieát thoâng thöôøng: p = f ± C n - Muoán sai soá öôùc löôïng toái ña  thì côõ maãu n phaûi: C 2 f(1-f) + n  neáu bieát f. 2 C2 + n  neáu khoâng bieát f. 4 2 Bieân soaïn: BS. Traàn Trung Duõng  Trang 20