Học Xác suất có điều kiện

Chia sẻ: Abcdef_15 Abcdef_15 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

244
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giới thiệu Định nghĩa xác suất có điều kiện • Tính ▫ xác suất từ phân hoạch ▫ xác suất có điều kiện bằng công thức Bayes• Ứng dụng: xích Markov HCMUS 2010 - Thống kê máy tínhĐ/n xác suất có điều kiện Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n  Tính chất  Tính x/s bằng phân hoạch  Tính x/s có đ/k bằng định lý Bayes  Ví dụ  Định lý Bayes  Ứng dụng: xích Markov  Tiến trình ngẫu nhiên  Xích Markov  Ví dụ  Tóm tắt...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Học Xác suất có điều kiện

1 Bài 2: Xác suất có điều kiện Lê Phong – Đặng Hải Vân – Nguyễn Đình Thúc Khoa CNTT – ĐHKHTN {dhvan,lphong,ndthuc}@fit.hcmus.edu.vn
Giới thiệu • Định nghĩa xác suất có điều kiện • Tính ▫ xác suất từ phân hoạch ▫ xác suất có điều kiện bằng công thức Bayes • Ứng dụng: xích Markov HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 2
Đ/n xác suất có điều kiện • Cần xem xét sự thay đổi xác suất của một  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n biến cố A khi biến cố B đã xảy ra trước đó.  Tính chất • Xác suất của biến cố A trong trường hợp  Tính x/s bằng phân hoạch  Tính x/s có đ/k này được gọi là xác suất có điều kiện của bằng định lý Bayes biến cố A khi biết biến cố B xảy ra – ký  Ví dụ  Định lý hiệu là Pr(A|B) Bayes • Đ/n: nếu A và B là 2 biến cố với Pr(B) > 0  Ứng dụng: xích Markov  Tiến trình thì ngẫu nhiên Pr( AB ) Pr( A | B)   Xích Markov Pr(B)  Ví dụ  Tóm tắt HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 3
Tính chất  Đ/n x/s có điều • Pr(A|B) = Pr(A)  A và B là hai biến cố kiện  Đ/n độc lập.  Tính chất • Luật nhân:  Tính x/s bằng phân hoạch  Tính x/s có đ/k ▫ Pr(AB) = Pr(A).Pr(B|A) bằng định lý Bayes ▫ Pr(AB) = Pr(B).Pr(A|B)  Ví dụ  Định lý • Pr(A1…An) = Pr(A1) × Pr(A2|A1) × Bayes  Ứng dụng: Pr(A3|A1A2) ×…× Pr(An|A1A2…An-1) xích Markov  Tiến trình với Pr(A1…An) > 0 ngẫu nhiên  Xích Markov  Ví dụ  Tóm tắt HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 4
Tính xác suất bằng phân hoạch • Không gian mẫu S được hợp thành từ các  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n biến cố Ai (i=1…k) tách rời – một phân  Tính chất  Tính x/s bằng hoạch của S phân hoạch  Tính x/s có đ/k A3 A1 bằng định lý Bayes • Với B là biến cố bất kỳ  Ví dụ B  Định lý thì AiB (i=1…k) là một Bayes  Ứng dụng: phân hoạch của B, do A4 xích Markov A2  Tiến trình đó ngẫu nhiên  Xích k k Pr(B)   Pr( Aj B)   Pr( Aj ) Pr(B | Aj ) Markov  Ví dụ j 1 j 1  Tóm tắt với Pr(Aj) > 0 (j=1…k) HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 5
Ví dụ: • Đi xét nghiệm máu, kết quả dương tính.  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n Có bị bệnh không?  Tính chất • Kinh nghiệm cho biết  Tính x/s bằng phân hoạch  Tính x/s có đ/k ▫ trong 10000 người chỉ có 1 người bị bệnh bằng định lý Bayes ▫ nếu một người bị bệnh thì xác suất xét  Ví dụ  Định lý nghiệm ra dương tính là 90% Bayes ▫ nếu một người không bị bệnh thì xác suất ra  Ứng dụng: xích Markov dương tính là 10%  Tiến trình ngẫu nhiên • Nhận xét: không thể dùng phương pháp  Xích Markov đếm  Ví dụ  Tóm tắt HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 6
Định lý Bayes • Đặt  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n ▫ A = “bị bệnh”  Tính chất ▫ B = “dương tính”  Tính x/s bằng phân hoạch  Tính x/s có đ/k Cần tính Pr(A|B) bằng định lý Bayes  Ví dụ Pr(B | A)  Pr( A)  Định lý Pr( A | B)  Bayes Pr(B | A)  Pr( A)  Pr(B | A c )  Pr( A c )  Ứng dụng: xích Markov 0.9  0.0001  Tiến trình   0.00090. ngẫu nhiên 0.9  0.0001  0.1  0.9999  Xích Markov  Ví dụ • Tức là xác suất bị bệnh khi xét nghiệm  Tóm tắt dương tính là 0.0009 HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 7
Định lý Bayes • Công thức Bayes: Giả sử các biến cố A1,…,  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n Ak hình thành một phân hoạch của không gian  Tính chất S và Pr(Aj) > 0 (j = 1,…, k), B là một biến cố  Tính x/s bằng phân hoạch bất kỳ thỏa Pr(B) > 0 thì, i = 1,…, k,  Tính x/s có đ/k bằng định lý Bayes  Ví dụ Pr( Ai )  Pr(B | Ai ) Pr( Ai )  Pr(B | Ai )  Định lý Pr( Ai | B)   . Bayes k  Pr( A )  Pr(B | A ) Pr(B)  Ứng dụng: xích Markov j j j 1  Tiến trình ngẫu nhiên  Xích Markov  Ví dụ  Tóm tắt HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 8
Tiến trình ngẫu nhiên • Ví dụ: có 5 đường dây điện thoại, cứ 2  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n phút đếm số lượng đường dây bị bận  Tính chất ▫ Xi: số đường dây bị bận ở thời điểm thứ i =  Tính x/s bằng phân hoạch  Tính x/s có đ/k 1…n…, bằng định lý • Chuỗi X1, X2,…, Xn,… được gọi là một tiến Bayes  Ví dụ  Định lý trình ngẫu nhiên với tham số thời gian rời Bayes rạc.  Ứng dụng: xích Markov • Mô hình xác suất được thể hiện bởi  Tiến trình ngẫu nhiên  Xích Pr( X n1  xn1 | X1  x1 , X 2  x2 ,..., X n  xn ) Markov  Ví dụ với mọi n > 1  Tóm tắt HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 9
Xích Markov • Xích Markov: là một tiến trình ngẫu nhiên  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n với Pr( X n1  xn1 | X 1  x1 ,..., X n  xn )  Tính chất  Tính x/s bằng  Pr( X n 1  xn 1 | X n  xn ). phân hoạch  Tính x/s có đ/k bằng định lý Bayes • Xích Markov hữu hạn: tại mỗi thời điểm,  Ví dụ  Định lý xích chỉ được nhận 1 trong k trạng thái Bayes  Ứng dụng: s1,…, sk. xích Markov  Tiến trình • Xác suất chuyển (1 bước) từ trạng thái si ở ngẫu nhiên  Xích thời điểm n đến sj ở thời điểm n+1 là Markov  Ví dụ Pr(Xn+1 = sj|Xn = si)  Tóm tắt HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 10
Xích Markov • Xích Markov có xác suất chuyển không  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n đổi:  Tính chất Pr( X n1  s j | X n  si )  pij , n  1,2,...  Tính x/s bằng phân hoạch  Tính x/s có đ/k • Chuyển 2 bước bằng định lý Bayes k Pr( X n 2  s j | X n  si )  pij2)   pir  prj (  Ví dụ  Định lý r 1 Bayes  Ứng dụng: • Ma trận 1-bước chuyển xích Markov  Tiến trình ngẫu nhiên  p11 ... p1k   Xích P   ... ... ... . Markov    Ví dụ  pk1 ... pkk   Tóm tắt    Ma trận m-bước chuyển là Pm HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 11
Xích Markov • Tại thời điểm đầu, đặt vi = Pr(X1 = si) với i  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n = 1…k thì  Tính chất  Tính x/s bằng V1 = (v1,…,vk) là vector xác suất đầu phân hoạch  Tính x/s có đ/k • Tại thời điểm n > 1 bằng định lý Bayes k Pr( X n  s j )   Pr( X 1  si  X n  s j )  Ví dụ  Định lý i 1 Bayes  Ứng dụng: k   Pr( X 1  si ) Pr( X n  s j | X 1  si ) xích Markov  Tiến trình i 1 ngẫu nhiên  Xích  Pr( X n  s1 )  T Markov  Vn     V P n 1  Ví dụ     Tóm tắt 1 Pr( X n  sk )   HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 12
Ví dụ • Trở lại ví dụ đường dây điện thoại, ma  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n trận 1-bước chuyển  Tính chất  Tính x/s bằng b0 b1 b2 b3 b4 b5 phân hoạch  Tính x/s có đ/k b0 0.1 0.4 0.2 0.1 0.1 0.1 bằng định lý Bayes b1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 0.1  Ví dụ P  b2 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1  Định lý Bayes b3 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1  Ứng dụng: b4 0.1 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 xích Markov  Tiến trình b5 0.1 0.1 0.1 0.1 0.4 0.2 ngẫu nhiên  Xích • Vector xác suất đầu V1 = (0.5,0.3,0.2,0,0,0) Markov  Ví dụ  Tóm tắt HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 13
Ví dụ • Hỏi: sau 4 phút, xác suất để có 3 đường  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n dây bận là bao nhiêu?  Tính chất • Tính  Tính x/s bằng phân hoạch  Tính x/s có đ/k V3 = V1.P2 = (0.13,0.23,0.20,0.16,0.16,0.12). bằng định lý Bayes  Pr(X3 = 3) = 0.20  Ví dụ  Định lý Bayes  Ứng dụng: xích Markov  Tiến trình ngẫu nhiên  Xích Markov  Ví dụ  Tóm tắt HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 14
Tóm tắt • Nội dung chính  Đ/n x/s có điều kiện  Đ/n ▫ Xác suất có điều kiện  Tính chất ▫  Tính x/s bằng Công thức xác suất tổng phân hoạch ▫  Tính x/s có đ/k Công thức Bayes bằng định lý Bayes ▫ Xích Markov  Ví dụ • Từ khóa  Định lý Bayes  Ứng dụng: ▫ Xác suất có điều kiện (conditional xích Markov  Tiến trình probaility), ngẫu nhiên ▫ định lý Bayes (Bayes’s theorem),  Xích Markov ▫ xích Markov (Markov chain)  Ví dụ  Tóm tắt HCMUS 2010 - Thống kê máy tính 15