2/19/2019
1
Chương 4
1
Biến ngẫu nhiên hai chiều
rời rạc
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Yêu cầu
•Phân phối xác suất đồng thời
•Phân phối lề (tính từ ppxs đồng thời)
•Phân phối xác suất điều kiện
•Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên
•Các tham số đặc trưng
2
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Khái niệm
•Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Ylà các biến ngẫu
nhiên.
•Nếu Xvà Yrời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc
•Nếu Xvà Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục
•Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất
phức tạp nên ta không xét trường hợp này.
3
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 1
•Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm.Nếu
kích thước sản phẩm đo bằng chiều rộng Xvà
chiều dài Y thì ta có bnn hai chiều (X, Y).
•Nếu xét thêm cả chiều cao Z thì ta có bnn 3chiều
(vec tơ ngẫu nhiên 3 chiều) (X,Y,Z)
•Nếu chỉ quan tâm đến trọng lượng Wvà thể tích V
của sản phẩm thì ta có bnn hai chiều (W,V)
4
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Hàm khối xác suất đồng thời
•Joint probability mass function (p.m.f.)
•Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc. Gọi S là tập
hợp giá trị của X và Y.
•Ký hiệu: pX,Y(x,y)
5
,,,
XY
p x y P X x Y y
,
,
,
,
,
) 0 , 1
) , 1
) , , ,

XY
XY
XY
x y S
x y A
i p x y
ii p x y
iii P X Y A p x y A S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
6
y1y2…yj…ym∑
x1p11 p12 …p1j …
p
1m p1●
x2p21 p22 …p2j …
p
2m p2●
…
… … … … … … …
xipi1 pi2 …pij …pim pi●
…
… … … … … … …
xnpn1 pn2 …
p
nj …
p
nm pn●
∑
p●1p●2…
p
●j…
p
●m1
Y
X
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
2
Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
•Trong đó:
7
,
11
11
) , ,
)1
);
ij X Y i j i j
nm
ij
ij
mn
i ij j ij
ji
i p p x y P X x Y y
ii p
iii p p p p






nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Phân phối lề
•Marginal Probability Mass Function
•Phân phối lề của X:
•Phân phối lề của Y:
8
,2
,,
Y X Y
x
p y p x y P Y y y S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Sự độc lập
Hai biến ngẫu nhiên X, Ygọi là độc lập nếu:
•Dấu hiệu:
•Hai hàng bất kỳ tỷ lệ.
•Hai cột bất kỳ tỷ lệ.
9
12
, , , P X x Y y P X x P Y y x S y S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 2
Cho hàm khối xác suất đồng thời như sau:
Trong đó:
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời.
b) Hai biến ngẫu nhiên X, Ycó độc lập?
10
2
,,13
XY
xy
p x y
1,1 , 1, 2 , 2,2S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
The Trinomial Distribution
•Sinh viên đọc thêm
11
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 3
129 130 131
15 0,12 0,42 0,06
16 0,08 0,28 0,04
12
X: chiều dài (mm)
Y:
chiều
rộng
(mm)
•Tìm xác suất một chiếc CD có chiều dài 130mm biết
chiều rộng là 15mm.
•Tìm phân phối xác suất của Xvới điều kiện Y =15.
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
3
Ppxs có điều kiện
•Giả sử bnn 2chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng
thời và các hàm khối xác suất thành phần:
•PPXS điều kiện của X khi cho Y=y là:
•PPXS điều kiện của Y khi cho X=x là:
13
,, ; ;
X Y X Y
p x y p x p y
,,
|XY
X
Y
p x y
p x y py
,,
|XY
Y
X
p x y
p y x px
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)
•Kỳ vọng của Xvới điều kiện Y=y (còn gọi là hồi quy
của X theo Y khi Y=y)
•Kỳ vọng của Yvới điều kiện X=x (còn gọi là hồi quy
của Y theo X khi X=x)
14
||
|.
Y x Y x
y
E Y X x y p y
||
|.
X y X y
x
E X Y y x p x
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Phương sai có điều kiện
•Phương sai của Xvới điều kiện Y=y
•Tương tự cho Y.
15
2
|
2
22
|
|.
|.

Xy
Xy
x
Xy X y X y
y
V X Y y x p x
V X Y y x p x
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 4
129 130 131
15 0,12 0,42 0,06
16 0,08 0,28 0,04
16
X: chiều dài (mm)
Y:
chiều
rộng
(mm)
•Tìm E(Y|X=129)và V(Y|X=129)
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 5
•Chọn ngẫu nhiên 2 cục pin, không hoàn lại,từ 12
cục pin, trong đó bao gồm 3cục mới, 4 cục đã sử
dụng và 5cục bị hỏng.
•Gọi Xlà số pin mới được chọn.
•Gọi Ylà số pin đã sử dụng được chọn.
•Lập bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
•Tìm E(X), E(Y)
17
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 6
•Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác
suất:
•Tìm luật ppxs của các biến Xvà Y.
18
1 2 3
1 0,10 0,25 0,10
2 0,15 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
4
Ví dụ 7
•Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên
(X,Y) cho bởi bảng sau:
•Tính P(X=6) và P(X ≥7, Y ≥2)
•Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y).
19
1 2 3
6 0,10 0,05 0,15
7 0,05 0,15 0,10
8 0,10 0,20 0,10
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 8
•Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên
(X,Y) cho bởi bảng sau:
•Lập bảng ppxs của Xvới đk Y=2. Tính E(X|Y=2)?
•Lập bảng ppxs của Yvới đk X=8. Tính E(Y|X=8)?
20
1 2 3
6 0,10 0,05 0,15
7 0,05 0,15 0,10
8 0,10 0,20 0,10
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 9
•Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y
(triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồng
thời như sau:
21
500
(400
-
600)
700
(600
-
800)
900
(800
-
1000)
30 0,10 0,05 0
50 0,15 0,20 0,05
80 0,05 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 9
•Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì chi
phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu?
22
A. 60,5
B. 48,3333
C. 51,6667
D. 76,25
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 10
•Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai
ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y)(đơn vị %)
có ppxs đồng thời như sau:
•A) Lập bảng phân phối biên của X, Y. Tính lãi trung bình
của từng ngân hàng.
23
-2 5 10
- 1 0,10 0,05 0
4 0,15 0,20 0,05
8 0,05 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 10
•B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình của X?
•C) Xvà Ycó độc lập nhau không
•D) Lập bảng ppxs của T=X+Y. Tìm E(T), V(T)
24
-2 5 10
- 1 0,10 0,05 0
4 0,15 0,20 0,05
8 0,05 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
5
Kỳ vọng của hàm theo X,Y
•Cho X,Y có phân phối đã biết.Đặt Z=h(X,Y) là biến
mới.
•Ta có:
25
, , ,
i j i j
ij
E h X Y h x y P X x Y y

,
, , ,
XY
xy
E h X Y h x y p x y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 11
•Cho bnn rời rạc X, Ycó phân phối xác suất đồng thời
như sau:
•Tìm kỳ vọng của h(X,Y)=X.Y2
26
1 2 3
4 0,10 0,15 0,1
5 0,25 0,20 0,2
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 12
•Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau:
27
(X,Y)
(0;0)
(0;1)
(0;2)
(1;0)
(1;1)
(1;2)
pij 0,1 0,2 0,3
0,05
0,15
0,2
0 0 .0,1 0 1 .0, 2
0 2 .0,3 1 0 .0,05 1 1 .0,15
1 2 .0, 2 1, 75
E Z E X Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Hiệp phương sai (Covariance)
•Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên Xvà Y, ký
hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của tích các sai lệch
của các bnn đó và kỳ vọng toán của chúng.
28
cov ,
X Y XY
X Y E X Y
cov , XY
X Y E XY


nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Tính chất Covariance 1
29
1) cov , cov ,
2)cov ,
3) cov ', cov , cov ',
4)cov , cov ,
5)cov , cov ,
X Y Y X
X X V X
X X Y X Y X Y
kX Y k X Y
aX c bY d ab X Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 13
30
-2 5 10
- 1 0,10 0,05 0
4 0,15 0,20 0,05
8 0,05 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019