Giáo trình Vi phân và phương trình đạo hàm riêng: Phần A - TS. Lê Văn Hạp

Chia sẻ: Bin Bin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:73

Thêm vào BST

Báo xấu

331
lượt xem 92
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần A của cuốn Giáo trình Vi phân và phương trình đạo hàm riêng giới thiệu về phương trình vi phân với những nội dung cụ thể trình bày về: Các khái niệm cơ bản, cách giải các phương trình cấp một và cấp hai đơn giản, sự tồn tại và duy nhất nghiệm, hệ phương trình vi phân tuyến tính, phương trình tuyến tính cấp 2.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Vi phân và phương trình đạo hàm riêng: Phần A - TS. Lê Văn Hạp

®¹i häc huÕ trung t©m ®µo t¹o tõ xa TS. Lª v¨n h¹p Gi¸o tr×nh Ph−¬ng tr×nh vi ph©n vµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng (S¸ch dïng cho hÖ ®µo t¹o tõ xa) HuÕ - 2008 1
Môc lôc Lêi nãi ®Çu ...................................................................................................................5 PhÇn A: ph−¬ng tr×nh vi ph©n ..............................................................................6 Ch−¬ng I: c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n. c¸ch gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh CÊp mét vµ cÊp hai ®¬n gi¶n..................................................................................................6 §1. c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n..............................6 §2. c¸ch gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét............................10 §3. c¸ch gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao ®¬n gi¶n .........22 Ch−¬ng II: sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm .....................................................28 §1. bæ sung vÒ kh«ng gian mªtric..............................................................28 §2. sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n .........30 §3. Sù th¸c triÓn nghiÖm ................................................................................32 §4. c¸c ®Þnh lÝ vÒ sù tån t¹i nghiÖm vµ sù duy nhÊt nghiÖm.............33 Ch−¬ng III – hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh ........................................39 §1. c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n.................................................................................39 §2. HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt ...........................42 §3. HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt .............46 §4. HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng .....................48 §5. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp n..............................................53 Ch−¬ng IV: Ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp hai ...............................................66 §1. C¸c ®Þnh lÝ so s¸nh ....................................................................................66 §2. Sù tån t¹i gi¸ trÞ riªng ®èi víi bµi to¸n biªn Sturm-Liouville cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai .............................................................71 2
PhÇn B: ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng .............................................................74 Ch−¬ng I – NhËp m«n . Ph©n lo¹i ph−¬ng tr×nh..........................................74 §1. C¸c ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô.............................................................................74 §2. Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp mét................................................78 §3. D¹ng tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp m. Kh¸i niÖm ®Æc tr−ng........................................................................................82 §4. Ph©n lo¹i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng TuyÕn tÝnh cÊp hai trong tr−êng hîp hai biÕn ..........................................................................84 §5. Ph©n lo¹i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng TuyÕn tÝnh cÊp hai trong tr−êng hîp nhiÒu biÕn .....................................................................90 Ch−¬ng II: Ph−¬ng tr×nh lo¹i elip ....................................................................94 §1. Ph−¬ng tr×nh laplace vµ hµm ®iÒu hoµ ............................................94 §2. C¸c tÝnh chÊt cña hµm ®iÒu hoµ...........................................................99 §3. Bµi to¸n Dirichlet....................................................................................103 §4. Sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n Dirichlet trong miÒn bÞ chÆn Ω.................................................................................................................110 §5. bµi to¸n dirichlet trong h×nh trßn .................................................114 Ch−¬ng III: Ph−¬ng tr×nh lo¹i Hyperbol .....................................................118 §1. Bµi to¸n cauchy cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng vµ ®Þnh lÝ duy nhÊt nghiÖm......................................................................................................118 §2. C«ng thøc nghiÖm cña bµi to¸n cauchy ®èi víi ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng.....................................................................................................121 §3. Ph−¬ng ph¸p h¹ thÊp..............................................................................126 §4. Bµi to¸n hçn hîp ......................................................................................128 §5. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn ®Ó gi¶i bµi to¸n hçn hîp ........................131 3
Ch−¬ng IV: Ph−¬ng tr×nh lo¹i parabol .......................................................135 §1. Nguyªn lÝ cùc trÞ trong miÒn bÞ chÆn ®èi víi ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ....................................................................................................135 §2. Nguyªn lÝ cùc trÞ trong miÒn kh«ng bÞ chÆn ®èi víi ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt.........................................................................................137 §3. C«ng thøc Poission ®èi víi ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt...........139 H−íng dÉn gi¶i bµi tËp........................................................................................143 PhÇn A .......................................................................................................................143 Ch−¬ng I .............................................................................................................143 Ch−¬ng II ............................................................................................................145 Ch−¬ng III ...........................................................................................................146 Ch−¬ng IV...........................................................................................................151 PhÇn B .......................................................................................................................152 Ch−¬ng I .............................................................................................................152 Ch−¬ng II ............................................................................................................153 Ch−¬ng III ...........................................................................................................154 Ch−¬ng IV...........................................................................................................155 4
Lêi nãi ®Çu Ph−¬ng tr×nh vi ph©n (vi ph©n th−êng vµ ®¹o hµm riªng) lµ mét trong c¸c c«ng cô c¬ b¶n ®Ó nghiªn cøu c¸c vÊn ®Ò vÒ khoa häc tù nhiªn, khoa häc kÜ thuËt vµ khoa häc x· héi. Do vËy, ph−¬ng tr×nh vi ph©n trë thµnh mét bé m«n quan träng ë bËc §¹i häc kh«ng chØ ®èi víi ngµnh To¸n mµ cßn ®èi víi c¸c ngµnh kÜ thuËt. Gi¸o tr×nh nµy ®−îc biªn so¹n dùa trªn bµi gi¶ng ®· d¹y nhiÒu n¨m cho sinh viªn khoa To¸n – §HSP HuÕ. Chóng t«i cã bæ sung thªm nhiÒu vÝ dô minh ho¹, nhiÒu chøng minh chi tiÕt còng nh− ph©n ®Þnh mét sè phÇn dµnh cho ®äc thªm ®Ó phï hîp cho ®èi t−îng lµ häc viªn tõ xa. Néi dung gi¸o tr×nh chia lµm hai phÇn : PhÇn A : Ph−¬ng tr×nh vi ph©n. PhÇn B : Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. §Ó häc tèt gi¸o tr×nh nµy, sinh viªn cÇn n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc vÒ gi¶i tÝch cæ ®iÓn, hµm biÕn sè phøc, kh«ng gian mªtric vµ ®¹i sè tuyÕn tÝnh . Chóng t«i ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c c¸n bé gi¶ng d¹y Tæ Gi¶i tÝch khoa To¸n §HSP HuÕ ®· nhiÖt t×nh ®ãng gãp cho viÖc biªn so¹n gi¸o tr×nh nµy. Chóng t«i mong ®−îc b¹n ®äc gãp ý kiÕn vÒ nh÷ng thiÕu sãt cho lÇn biªn so¹n nµy. Xin ch©n thµnh c¸m ¬n. T¸c gi¶ 5
PhÇn A ph−¬ng tr×nh vi ph©n Ch−¬ng I C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n. c¸ch gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh CÊp mét vµ cÊp hai ®¬n gi¶n §1. c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n Ph−¬ng tr×nh vi ph©n (PTVP) lµ ph−¬ng tr×nh cã chøa biÕn ®éc lËp, hµm ph¶i t×m (hµm Èn) vµ c¸c ®¹o hµm (hay vi ph©n) cña nã. VÝ dô a) y′ = x 2 + 1, b) y′′ − 2 y′ + 2 y = 2 x + 3, ∂2 z ∂2 z c) + = 0, ∂x 2 ∂y 2 lµ c¸c PTVP. Trong PTVP, nÕu Èn hµm lµ hµm mét biÕn, ta cã ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng (nãi gän lµ PTVP). NÕu Èn hµm lµ hµm cña nhiÒu biÕn, ta cã ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. CÊp cña PTVP lµ cÊp cao nhÊt cña ®¹o hµm cã mÆt trong ph−¬ng tr×nh. VÝ dô. a) PTVP cÊp 1 ; b) PTVP cÊp 2 ; c) PT§HR cÊp 2. PTVP cÊp n tæng qu¸t cã d¹ng F ( x, y, y′,..., y( n ) ) = 0 , (1) trong ®ã x ∈ (a, b) ⊂ R ; y = y( x ) ; y′,..., y ( n ) lµ c¸c ®¹o hµm cña y ; F : G ⊂ R n + 2 → R lµ hµm cña n + 2 biÕn. §Æc biÖt y ( n ) = f ( x, y, y′,..., y ( n − 1) ) , (2) trong ®ã f : G ⊂ R n + 1 → R lµ hµm n + 1 biÕn. (2) gäi lµ PTVP cÊp n gi¶i ®−îc ®èi víi ®¹o hµm. Nãi riªng PTVP cÊp mét cã d¹ng: F ( x, y, y′) = 0 hay y′ = f ( x , y ) 6
NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) hay (2) lµ hµm ϕ : (a, b) ⊂ R → R x y = ϕ( x ) sao cho víi mäi x ∈ (a, b) th× ( x, y, y′,..., y n ) ∈ G ⊂ R n + 2 (hay R n + 1 ) vµ tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh (1) (hay (2)). VÝ dô. y′′ = x 2 + 1 x3 suy ra y′ = +x+C 3 x4 x2 y= + + C1 x + C2 , trong ®ã C1, C2 lµ hai h»ng sè bÊt k×. 12 2 Nãi chung, nghiÖm cña (1) hay (2) lµ hµm phô thuéc vµo n h»ng sè tuú ý C1 , C2 ,..., Cn : y = ϕ( x, C1 , C2 ,..., Cn ). Trong PTVP, ng−êi ta th−êng gÆp bµi to¸n sau ®©y, gäi lµ bµi to¸n Cauchy. Bµi to¸n Cauchy ®èi víi PTVP cÊp mét : T×m nghiÖm ϕ : (a, b) → R x ϕ( x ) cña ph−¬ng tr×nh y′ = f ( x, y ) vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu cho tr−íc : ϕ( x0 ) = y0 ⎧ y′ = f ( x, y) ⎨ (3) ⎩ y( x0 ) = y0 Bµi to¸n Cauchy ®èi víi PTVP cÊp n cã d¹ng: ⎧ y(n) ⎪ = f ( x, y, y′,..., y ( n − 1) ) ⎨ (4) ⎪ y( x0 ) ⎩ = y0 ; y′( x 0 ) = y01 ; y′′( x0 ) = y02 ;..., y ( n − 1) ( x 0 ) = y0, n − 1 trong ®ã x, y0 , y01 , y02 ,..., y0,n − 1 lµ c¸c gi¸ trÞ cho tr−íc. C¸c lo¹i nghiÖm cña PTVP. XÐt ph−¬ng tr×nh y ( n ) = f ( x, y, y′,..., y n − 1 ). (2) Gi¶ sö víi mçi ( x, y0 , y01 , y02 ;..., y0,n − 1 ) ∈ G ⊂ R n + 1 bµi to¸n (4) cã nghiÖm duy nhÊt, khi ®ã: + Hµm y = ϕ( x, c1 , c2 ,..., cn ) phô thuéc n h»ng sè c1 , c2 ,..., cn gäi lµ nghiÖm tæng qu¸t (NTQ) cña (2) nÕu nã tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau ®©y : 7
α ) Tõ hÖ ⎧ y = ϕ ( x, c1 ,..., cn ) ⎪ ′ ⎪ y = ϕ′( x, c1 ,..., cn ) ⎨ ⎪.................... ⎪ y ( n − 1) = ϕ( n − 1) ( x, c ,..., c ) ⎩ 1 n Ta cã thÓ gi¶i ®−îc c¸c ci = Ψ ( x, y, y′,..., y ( n ) ), i = 1, n víi mäi ( x, y, y′,..., y( n − 1) ) ∈ G . β) Hµm y = ( x, c1 , c2 ,..., cn ) tho¶ m·n (2) víi mäi gi¸ trÞ cña c1 , c2 ,..., cn , nhËn ®−îc tõ hÖ α ) khi ( x, y, y′,..., y ( n − 1) ) ∈ G . + NÕu nghiÖm cña (2) tån t¹i d−íi d¹ng φ( x, y, c1 ,..., cn ) = 0 vµ tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn α ) vµ β) th× φ( x, y, c1 ,..., cn ) = 0 gäi lµ tÝch ph©n tæng qu¸t cña (2). + NÕu y = ϕ( x ) cña (2), mµ t¹i mçi ®iÓm trªn ®å thÞ cña nã bµi to¸n Cauchy (4) cã lêi gi¶i duy nhÊt, gäi lµ nghiÖm riªng (NR). NghiÖm y = ϕ( x ) cña (2) cã ®−îc tõ nghiÖm tæng qu¸t víi c¸c gi¸ trÞ x¸c ®Þnh ci = ci0 , i = 1, n sÏ lµ nghiÖm riªng. + NghiÖm cña (2), y = ϕ( x ) , mµ t¹i mäi ®iÓm trªn ®å thÞ cña nã, tÝnh duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy bÞ ph¸ vì, gäi lµ nghiÖm k× dÞ (NKD). Gi¶i mét PTVP lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña nã. NÕu cho thªm ®iÒu kiÖn ®Çu th× t×m nghiÖm riªng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®ã. VÝ dô c¬ häc dÉn ®Õn PTVP1. Bµi to¸n. Mét chÊt ®iÓm cã khèi l−îng m chuyÓn ®éng theo trôc Ox d−íi t¸c dông cña mét lùc lµ − bx (b > 0) h−íng vÒ gèc to¹ ®é. H·y t×m qui luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm ®ã, biÕt r»ng lóc t = 0 chÊt ®iÓm ë vÞ trÝ x = x0 vµ cã vËn tèc v = v0. Ta cÇn t×m hµm x = x(t) biÓu diÔn quy luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm, x(t) lµ hoµnh ®é cña chÊt ®iÓm ë thêi ®iÓm t. o m x0 2 d x d2 x b Theo ®Þnh luËt Newton ta cã m 2 = − bx hay 2 + ω2 x = 0 (víi ω2 = ), ®ã lµ hÖ thøc dt dt m ®Ó t×m x(t), mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai theo Èn hµm x(t). DÔ kiÓm chøng r»ng x (t ) = C1 cos ωt + C2 sin ωt (C1, C2 lµ hai h»ng sè tuú ý), lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh. Khi t = 0, v× x = x0 nªn C1 = x0. 1 Dµnh cho sinh viªn ®äc thªm 8
dx MÆt kh¸c v = = − C1ω sin ωt + C2 ω cos ωt , nªn khi t = 0 ta cã v0 = C2 ω . dt VËy quy luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm cã d¹ng : v0 x (t ) = x0 cos ωt + sin ωt . (1) ω 9
§2. c¸ch gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét 2.1. Ph−¬ng tr×nh t¸ch biÕn Ph−¬ng tr×nh t¸ch biÕn lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: M ( x )dx + N ( y)dy = 0 , (1) trong ®ã M, N lµ c¸c hµm liªn tôc trªn (a, b) ⊂ R . ⎡x y ⎤ (1) ⇔ d ⎢ ∫ M ( x )dx + ∫ N( y)dy ⎥ = 0, x 0 , x, y0 , y ∈ (a, b) ⎢ x0 ⎣ y0 ⎦⎥ x y ⇔ ∫ M ( x )dx + x0 ∫ N( y)dy = C , y0 C : h»ng sè. VËy tÝch ph©n tæng qu¸t cña (1) lµ ∫ M( x )dx + ∫ N ( y) = C trong ®ã C lµ h»ng sè. Ph−¬ng tr×nh (1) kh«ng cã nghiÖm k× dÞ. Ph−¬ng tr×nh d¹ng M1 ( x )N1 ( y )dx + M2 ( x )N2 ( y )dy = 0 , (2) trong ®ã Mi, Ni lµ c¸c hµm liªn tôc trªn (a, b), i = 1, 2 cã thÓ ®−a ®−îc vÒ d¹ng t¸ch biÕn. Gi¶ sö N1 ( y). M2 ( x ) ≠ 0 M1 ( x ) N ( y) (2) ⇔ dx + 2 dy = 0 , M2 ( x ) N1 ( y) TÝch ph©n tæng qu¸t M1 ( x ) N ( y) ∫ M2 ( x ) dx + ∫ 2 N1 ( y) dy = C , C lµ h»ng sè bÊt k×. Ngoµi ra nÕu y = b lµ nghiÖm cña N1(y) = 0 (hay x = a lµ nghiÖm cña M2(x) = 0 )) th× nã còng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2). Tuú tr−êng hîp nghiÖm nµy cã thÓ lµ nghiÖm riªng hay nghiÖm k× dÞ. VÝ dô . Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 1 − y 2 dx + y 1 − x 2 dy = 0 (*) T×m ®−êng cong tÝch ph©n ®i qua ®iÓm (0, 1). §iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh (*) cã nghÜa lµ : ( x, y) ∈ [0,1]2 . Víi x ≠ ± 1, y ≠ ±1 th× (*) trë thµnh : 10
x y dx + dy = 0 . 1− x 2 1 − y2 TÝch ph©n tæng qu¸t: x y ∫ 1 − x2 dx + ∫ 1 − y2 dy = C , trong ®ã C lµ h»ng sè. Hay 1 − x 2 + 1 − y 2 = C , C : h»ng sè d−¬ng. XÐt y = ± 1(−1 < x < 1) , ®©y lµ nghiÖm k× dÞ cña ph−¬ng tr×nh. ThËt vËy, ch¼ng h¹n ®−êng cong tÝch ph©n y = 1, t¹i ®iÓm (0 ; 1) cã hai ®−êng cong tÝch ph©n ®i qua nã lµ: y = 1 vµ 1 − x 2 + 1 − y 2 = 1 . y 1 x -1 0 1 -1 T−¬ng tù, víi ®−êng y = – 1 ta còng lÝ luËn t−¬ng tù b»ng c¸ch thay ®iÓm (0, 1) bëi ®iÓm (0, –1). 2.2. Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt §Þnh nghÜa Hµm f : R2 → R ( x, y ) f ( x, y ) ®−îc gäi lµ hµm thuÇn nhÊt cÊp n nÕu nã tho¶ m·n: f (tx, ty ) = t n f ( x, y ), ∀t ∈ R, ( x, y ) ∈ R 2 . Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt lµ ph−¬ng tr×nh d¹ng y′ = f ( x , y ) , (1) víi f lµ hµm thuÇn nhÊt cÊp 0. 11
C¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt : 1 §Æt t = ( x ≠ 0), ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh x y y y′ = f ( x, y) = f (tx, ty) = f (1, ) = ϕ( ) . x x y §Æt z = , z lµ hµm Èn míi. x y′ = z′x + z = ϕ( z ) . ϕ( z ) − z Hay z′ = . x NÕu ϕ( z ) − z ≠ 0 ta viÕt ph−¬ng tr×nh trªn l¹i : dz dx = . ϕ( z ) − z x §©y lµ ph−¬ng tr×nh t¸ch biÕn cã tÝch ph©n tæng qu¸t dz ∫ ϕ(z) − z = ln x + C ; C lµ h»ng sè bÊt k×. y ThÕ z = vµo ta ®−îc tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (1) x NÕu z = z0 lµ nghiÖm cña ϕ( z ) − z = 0 th× y = z0 x còng lµ nghiÖm cña (1). NghiÖm nµy cã thÓ lµ nghiÖm k× dÞ hoÆc nghiÖm riªng. dx y VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : = . (∗) dy x y §iÒu kiÖn ≥ 0. x y NÕu ≥ 0 . §Æt y = zx. Ph−¬ng tr×nh (*) trë thµnh x dz x + z = z. dx Hay xdz = ( z − z )dx NÕu z − z ≠ 0 . Ta cã : dz dx = . z −z x dz dx TÝch ph©n tæng qu¸t ∫ z −z = ∫ x + ln c , c ≠ 0 , hay 12
−2 ln z − 1 = ln x + ln c 1 ln z − 1 = ln , c≠0 cx 1 z −1 x = c 1 ( z − 1) x = C, C=± ≠0 c y ( − 1) x = C . x NÕu x > 0, y > 0 th× y − x = C. (*) NÕu x < 0, y < 0 th× −y − −x = C . Ngoµi ra ph−¬ng tr×nh z − z = 0 cã hai nghiÖm z0 = 0, z1 = 1 hay y0 = 0, y1 = x ( x ≠ 0) . y0 = 0 lµ nghiÖm k× dÞ. ThËt vËy víi ®iÓm (a, 0) (a > 0) n»m trªn ®−êng y = 0 cßn cã ®−êng cong tÝch ph©n kh¸c ®i qua, ®ã lµ y − x = − a ( a > 0) . y1 = x lµ nghiÖm riªng. NghiÖm nµy cã thÓ ghÐp vµo tÝch ph©n tæng qu¸t (*) øng víi C = 0. * Ph−¬ng tr×nh d¹ng : ⎛ ax + by + c ⎞ y′ = f ⎜ ⎟. (2) ⎝ a′x + b′y + c′ ⎠ Cã thÓ ®−a ®−îc vÒ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. – NÕu c = c′ = 0 th× (2) lµ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. a b – NÕu c hay c′ ≠ 0 , D = ≠ 0 th× ta dïng phÐp biÕn ®æi : a′ b′ ⎧ x = x1 + h ⎨ ⎩ y = y1 + k trong ®ã h, k lµ nghiÖm cña hÖ: ⎧ah + bk + c = 0 ⎨ ⎩a′h + b′k + c′ = 0 Khi ®ã (2) sÏ lµ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt ⎛ ax + by1 ⎞ ′ y1 = f ⎜ 1 ⎟. ⎝ a′x1 + b′y1 ⎠ 13
a b ⎧ a = λ a′ NÕu D = = 0 th× ⎨ vµ (2) ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh t¸ch biÕn : a′ b′ ⎩ b = λ b′ ⎛ λ(a′x + b′y ) + c ⎞ y′ = f ⎜ ⎟ = F (a′x + b′y ) . ⎝ a′x + b′y + c′ ⎠ §Æt z = a′x + b′y ⇒ z′ = a′ + b′y′ = a′ + b′F ( z ) . Ta cã ph−¬ng tr×nh t¸ch biÕn : dz = a′ + b′F ( z) . dx 2.3. Ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp mét §Þnh nghÜa Ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp mét lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: A( x ) y′ + B( x ) y = C( x ) , trong ®ã A, B, C lµ c¸c hµm liªn tôc. NÕu A( x ) ≠ 0 th× ph−¬ng tr×nh trë thµnh: y ′ + p( x ) y = q ( x ) , (1) B( x ) C( x ) víi p( x ) = , q( x ) = lµ c¸c hµm liªn tôc. A( x ) A( x ) NÕu q( x ) ≡ 0 th× (1) cã d¹ng y′ + p( x ) = 0 , gäi lµ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt. NÕu q(x) 0, th× (1) gäi lµ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt. C¸ch gi¶i . §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh (1) ta thùc hiÖn hai b−íc : B1 : Gi¶i ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t−¬ng øng y ′ + p( x ) y = 0 . (2) §©y lµ mét ph−¬ng tr×nh t¸ch biÕn. dy Víi y ≠ 0 ph−¬ng tr×nh trë thµnh: = − p( x )dx . y Hay ln y = − ∫ p( x )dx + ln C1 , C1 ≠ 0 y = C1 e ∫ − p ( x ) dx y = Ce ∫ − p ( x ) dx víi C = ± C1 ≠ 0 . (3) y = 0 còng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2) (nghiÖm riªng), nghiÖm nµy ®−îc ghÐp vµo (3) øng víi C = 0. VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (2) lµ : y = Ce ∫ − p ( x ) dx , C : lµ h»ng sè bÊt kú. 14
B2 : BiÕn thiªn h»ng sè ®Ó t×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (1). Ta t×m nghiÖm cña (1) d−íi d¹ng y = C( x )e ∫ − p ( x ) dx trong ®ã C(x) lµ hµm cÇn x¸c ®Þnh ®Ó y = C( x )e ∫ − p ( x ) dx lµ nghiÖm cña (1). dy d (C( x )) − ∫ p ( x ) dx − C( x ) p( x ).e ∫ − p ( x ) dx = e . dx dx Nh− vËy C(x) ph¶i lµ nghiÖm ®óng cña ph−¬ng tr×nh sau : dC − ∫ p ( x ) dx − p( x )C( x )e ∫ + p( x )C( x )e ∫ − p ( x ) dx − p ( x ) dx e = q( x ) dx hay = q( x )e ∫ dC p ( x ) dx . dx Suy ra C( x ) = ∫ q( x )e ∫ p ( x ) dx dx + C . NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng: y = Ce ∫ + ∫ q( x )e ∫ .e ∫ − p ( x ) dx p ( x ) dx − p ( x ) dx (4) trong ®ã C lµ mét h»ng sè bÊt kú. NhËn xÐt. Tõ (4) ta nhËn thÊy: NghiÖm tæng qu¸t cña (1) b»ng nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t−¬ng øng (2), céng víi mét nghiÖm riªng (1). 2.4. Ph−¬ng tr×nh Bernoulli §Þnh nghÜa Ph−¬ng tr×nh Bermoulli cã d¹ng : dy + p( x ) y = q ( x ) y α , (1) dx trong ®ã α ∈ R, q, p lµ hai hµm liªn tôc. C¸ch gi¶i – NÕu α = 0 hay α = 1 , (1) lµ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. – Gi¶ sö α ≠ 0 vµ α ≠ 1 . Chia hai vÕ cña (1) cho y α ( y ≠ 0) , ta ®−îc 1 dy α + p( x ) y1 − α = q( x ) . (2) y dx dz dy §Æt z = y1 − α suy ra = (1 − α) y − α . ThÕ vµo (2) ta ®−îc : dx dx 15
1 dz + p( x ) z = q ( x ) . (3) 1 − α dx Hay dz + (1 − α) p( x )z = (1 − α)q( x ) . dx §©y lµ ph−¬ng tr×nh tuyÒn tÝnh víi Èn lµ hµm z. TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh nµy råi trë vÒ hµm Èn cò y, ta ®−îc tÝch ph©n tæng qu¸t cña (1). NÕu α > 0 , th× ph−¬ng tr×nh (1) cã thªm nghiÖm y = 0. Víi α > 1, y = 0 lµ nghiÖm riªng. Víi 0 < α < 1, y = 0 lµ nghiÖm k× dÞ. VÝ dô . Gi¶i ph−¬ng tr×nh y′ + 2 y = y 2 e x . (α) Gi¶ sö y ≠ 0 ta suy ra 1 2 y′ + 2 y − 1 = e x . (β) y §Æt z = y − 1 ≠ 0 ⇒ z ′ = − y − 2 y′ . ThÕ vµo (β) ta ®−îc : − z′ + 2 z = e x . Hay z′ − 2 z = − e x . §©y lµ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. Gi¶i ra ta ®−îc NTQ z = (Ce2 x + e x )− 1 , C : lµ h»ng sè. VËy NTQ cña (α) lµ 1 y= = Ce2 x + e x , C : h»ng sè bÊt kú. z y = 0 còng lµ nghiÖm cña (α) , ®©y lµ nghiÖm riªng. 2.5. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn vµ thõa sè tÝch ph©n 2.5.1. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn Ph−¬ng tr×nh M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0 , (1) gäi lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn nÕu tån t¹i mét hµm U ( x, y) kh¶ vi sao cho : M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = d (U ( x, y)) . Khi ®ã tÝch ph©n tæng qu¸t cña (1) vµ U ( x, y) = C (h»ng sè). 16
VÝ dô (3 x 2 + y )dx + ( x + 2 y )dy = 0 d ( x 3 ) + d ( xy ) + d ( y 2 ) = 0 d ( x 3 + xy + y 2 ) = 0 Hay x 3 + xy + y 2 = C (h»ng sè) Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, xuÊt hiÖn hai vÇn ®Ò : 1) Khi nµo th× (1) lµ ph−¬ng tr×nh lµ vi ph©n toµn phÇn. 2) X¸c ®Þnh tÝch ph©n cña nã. Ta gi¶ thiÕt r»ng M, N ∈ C1 (G), trong ®ã G lµ mét miÒn ®¬n liªn trong 2 . Ta cã ®Þnh lÝ sau ®©y (®−îc chøng minh trong phÇn tÝch ph©n ®−êng). §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó (1) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn lµ : ∂M ∂N ( x, y) = ( x, y), ∀( x, y)∈ G . ∂y ∂x Khi ®ã vÕ tr¸i cña (1) lµ vi ph©n cña hµm: x y U ( x, y) = ∫ M(t, y)dt + x0 ∫ N ( x , τ)dτ y0 0 hay x y U ( x, y) = ∫ M(t, y0 )dt + x0 y0 ∫ N( x, τ)dτ . 2.5.2. Thõa sè tÝch ph©n NÕu ph−¬ng tr×nh (1) kh«ng ph¶i lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn, nh−ng tån t¹i hµm µ( x, y) sao cho : µ( x, y) M ( x, y)dx + µ( x, y)N ( x, y)dy = 0 lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn, th× µ( x, y) gäi lµ thõa sè tÝch ph©n cña ph−¬ng tr×nh (1). VËy : Khi nµo th× (1) tån t¹i thõa sè tÝch ph©n vµ c¸ch t×m c¸c thõa sè tÝch ph©n nµy ? §Þnh lÝ . NÕu (1) cã tÝch ph©n tæng qu¸t U ( x, y) = C (C : h»ng sè), trong ®ã U ∈C 2 , th× (1) cã thõa sè tÝch ph©n. (Xem chøng minh ë tµi liÖu tham kh¶o) Chó ý + Khi (1) cã thõa sè tÝch ph©n µ( x, y) th× (1) cã v« sè thõa sè tÝch ph©n d¹ng : µ1 ( x, y) = µ( x, y).φ(U ), φ ∈ C1 . (chøng minh nh− bµi tËp) 17
C¸ch t×m thõa sè tÝch ph©n Nãi chung, kh«ng cã ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t ®Ó t×m thõa sè tÝch ph©n cña ph−¬ng tr×nh (1), ta chØ cã thÓ t×m ®−îc nã trong mét sè tr−êng hîp ®Æc biÖt. Gi¶ sö µ( x, y) lµ thõa sè tÝch ph©n cña (1). Khi ®ã ta cã : ∂(µM ) ∂(µN ) = , ∂y ∂x hay ∂µ ∂µ ⎛ ∂M ∂N ⎞ N −M = µ⎜ − ⎟. (4) ∂x ∂y ⎝ ∂y ∂x ⎠ Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng nµy rÊt phøc t¹p. Tuy nhiªn nÕu : + µ = µ (x) chØ phô thuéc vµo x . Khi ®ã (4) trë thµnh : ∂M ∂N − µ′ ∂y ∂x = = ϕ( x ) µ N ln µ = ∫ ϕ( x )dx + ln c , c≠0 µ( x ) = Ce ∫ ϕ ( x ) dx hay . T−¬ng tù, nÕu : + µ = µ( y) . Khi ®ã ∂M ∂N − µ′ ∂y ∂x = = ϕ( y ) µ −M µ( y) = Ce ∫ ϕ( y ) dy vµ . VÝ dô . T×m thõa sè tÝch ph©n cña ph−¬ng tr×nh sau : (x2 – y)dx + (x2y2 + x)dy = 0. (5) Ta cã ∂M ∂N − = − 1 − 2 xy 2 − 1 = − 2( xy 2 + 1), ∂y ∂x nªn ∂M ∂N − ∂y ∂x 2 =− . N x dx XÐt µ = e ∫ x hay µ = e −2 −2 ln x 1 = 2. x 18
1 Thö l¹i : Nh©n hai vÕ cña (5) víi µ = ta ®−îc: x2 y 1 (1 − 2 )dx + ( y 2 + )dy = 0 x x xdy − ydx dx + y 2 dy + =0 x2 y3 y d( x + + ) = 0. 3 x 1 VËy µ = lµ thõa sè tÝch ph©n cña (5) vµ tÝch ph©n tæng qu¸t cña (5) lµ : x2 y3 y x+ + = C (C : h»ng sè). 3 x Chó ý . BiÕt ®−îc thõa sè tÝch ph©n µ , ta t×m ®−îc tÝch ph©n tæng qu¸t lÉn nghiÖm k× dÞ cña ph−¬ng tr×nh. 1 ThËt vËy, Mdx + Ndy = d (U ) = 0 . µ d (U ) = 0 cho ta tÝch ph©n tæng qu¸t. 1 = 0 cã thÓ cho ta nghiÖm k× dÞ. µ 2.6. Ph−¬ng tr×nh Lagrange vµ Clairaut Trong môc nµy, ta xÐt hai ph−¬ng tr×nh cÊp mét kh«ng gi¶i ®−îc ®èi víi ®¹o hµm. 2.6.1. Ph−¬ng tr×nh Lagrange §ã lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng dy dy y = ϕ( ). x + Ψ ( ) (1) dx dx trong ®ã ϕ, Ψ lµ hai hµm kh¶ vi tuú ý. dy Chän p = , ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh : dx y = ϕ( p ) x + Ψ ( p ) dy = pdx = ϕ( p )dx + [ϕ′( p ) x + Ψ ′( p)]dp, hay [ϕ( p ) − p]dx + [ϕ′( p ) x + Ψ ′( p )]dp = 0. Gi¶ sö ϕ( p) − p ≠ 0 . Ph−¬ng tr×nh trªn ®−îc viÕt l¹i: dx ϕ′( p) Ψ ′( p) + x= . (2) dp ϕ( p) − p p − ϕ( p) 19
NÕu xem p lµ biÕn ®éc lËp, x lµ hµm cña p th× (2) lµ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. Gi¶i (2) ta ®−îc nghiÖm tæng qu¸t: x = A( p).C + B( p), C : lµ h»ng sè. Suy ra y = A1 ( p).C + B1 ( p) , trong ®ã A, A1, B, B1 lµ c¸c hµm cña p. VËy tÝch ph©n tæng qu¸t cña (1) ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng tham sè. ⎧ x = A( p ).C + B ( p ) ⎨ ⎩ y = A1 ( p ).C + B1 ( p ) C : h»ng sè, p : tham sè. Ngoµi ra nÕu ϕ( pi ) − pi = 0 th× y = pi x + Ψ ( pi ) còng lµ nghiÖm cña (1). Tuú tr−êng hîp, c¸c nghiÖm nµy cã thÓ lµ nghiÖm riªng hay nghiÖm k× dÞ. VËy nghiÖm k× dÞ cña ph−¬ng tr×nh Lagrange, nÕu cã lµ c¸c ®−êng th¼ng. VÝ dô . Gi¶i ph−¬ng tr×nh y = y ′2 x + y ′2 . (3) dy §Æt p = y′ = ⇒ dy = pdx . dx MÆt kh¸c y = p2 x + p2 (4) dy = pdx = p 2 dx + (2 px + 2 p)dp , hay p( p − 1)dx + 2 p( x + 1)dp = 0 . NÕu p( p − 1) ≠ 0 ⇔ p ≠ 0 vµ p ≠ 1 . Ph−¬ng tr×nh ®−îc viÕt l¹i dx 2x 2 + = . (5) dp p − 1 1 − p §©y lµ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh theo Èn hµm x = x(p). Gi¶i ph−¬ng tr×nh (5) ta ®−îc nghiÖm tæng qu¸t. C1 x= − 1 , C1 : h»ng sè. ( p − 1)2 VËy tÝch ph©n tæng qu¸t cña (3) : 20