Giáo trình Xác suất thống kế - Chương 7: Tương quan và hồi qui tuyến tính

Chia sẻ: Nguyen Quang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

331
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Xác suất thống kế - Chương 7 Tương quan và hồi qui tuyến tính trình bày các nội dung sau: hệ số tương quan mẫu, kiểm định giả thiết về hệ số tương quan, phân tích hồi qui, hàm hồi qui tuyến tính mẫu,...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Xác suất thống kế - Chương 7: Tương quan và hồi qui tuyến tính

Chng 7 TNG QUAN VÀ H I QUI TUY N TÍNH 160 Chương 7 Tương quan và H i qui tuy n tính 1. H S TƯƠNG QUAN M U nh nghĩa và các tính ch t c a H s tương quan ρ c a hai bi n ng u nhiên X và Y ã ư c c p n trong o n 2.7. Trong th c t , chúng ta không bi t ρ mà ch d a vào m u suy oán v ρ. 1.1. nh nghĩa. Gi s (X1, Y1); (X 2, Y2); . . .; (Xn, Yn) là m u ư c thành l p t vectơ ng u nhiên (X, Y). Bi n ng u nhiên n ∑ ( X i − X ).( Yi − Y ) R= i =1 ( n − 1) S X SY ư c g i là H s tương quan m u c a X và Y. V i m u c th , giá tr h s tương quan m u ư c tính b i: r = ∑ xi yi − n x. y = (n − 1) s X .sY ∑ xi yi − n x. y ( ∑ xi2 − n.x 2 ) ( ∑ yi2 − n. y 2 ) n trong ó, ký hi u Σ ch ∑ i =1 2. KI M NH GI THI T V H S TƯƠNG QUAN Gi s (X1, Y1); (X2, Y2); . . .; (Xn, Yn) là m u ư c thành l p t t ng th (X,Y) có phân ph i chu n hai chi u. Chúng ta mu n ki m nh các gi thi t liên Chng 7 TNG QUAN VÀ H I QUI TUY N TÍNH 161 quan n các giá tr khác nhau c a h s tương quan t ng th , ký hi u ρ, d a trên phân ph i m u c a h s tương quan m u R. 2.1. Ki m nh gi thi t: H0: ρ = 0 i v i H1: ρ ≠ 0 (ho c ρ > 0 ho c ρ < 0) Ngư i ta ch ng minh ư c r ng v i gi thi t H0, phân ph i m u c a R x ng; t ó, th ng kê n−2 T= R i ~ Student (n − 2) 1 − R2 Tr c nghi m t ư c dùng trong trư ng h p này. 2.2. Ki m nh gi thi t: H0: ρ = ρo ≠ 0 i v i H1: ρ ≠ ρo V i gi thi t H0, phân ph i m u c a R b l ch nên không th dùng tr c ti p R. Trong trư ng h p này, Fisher ã ngh m t phép bi n i ưa n th ng kê 1+ R Z = 1 ln ( ) 2 1− R có phân ph i ti m c n chu n v i kỳ v ng và phương sai l n lư t là 1 + ρo  ρo 2 1 µ Z = 1 ln   + 2(n − 1) và σ Z = n − 3 2  1 − ρo   Tr c nghi m U ư c dùng v i U = Z*, bi n chu n hóa c a Z. Phép bi n i trên ư c g i là phép bi n i Fisher; nó cũng ư c dùng tìm kho ng tin c y cho h s tương quan t ng th . 2.3. Thí d . D a vào m u ng u nhiên c 18 ư c ch n t t ng th (X,Y) có phân ph i chu n 2 chi u, ngư i ta tính ư c giá tr h s tương quan m u r = 0,32. m c ý nghĩa 5%, có s tương quan tuy n tính gi a X và Y không? Gi i. Chúng ta ph i có quy t nh gi a hai gi thi t: H0 : ρ = 0 và H1: ρ ≠ 0. N u H0 úng thì BNN T= R 18 − 2 1 − R2 V i m c α = 5% , giá tr t i h n là: v i m u c th , chúng ta có: ~ t(16) (16) t0,975 = 2,1199 ; Chng 7 TNG QUAN VÀ H I QUI TUY N TÍNH 162 t= 0,32. 16 1 − (0,32)2 = 1,35 m c ý nghĩa α = 5%. Vì |t| < 2,12 nên gi thi t H0 không th b bác b Nói cách khác, chúng ta ch p nh n r ng X và Y không tương quan m c ý nghĩa 5%. 2.4. Thí d . H s tương quan ư c tính trên m u c 24, ch n t t ng th có phân ph i chu n 2 chi u, là r = 0,75. m c ý nghĩa α = 5%, hãy cho nh n xét v tài li u cho r ng h s tương quan t ng th b ng 0,65. Gi i. Ki m nh gi thi t H0: ρ = 0,65 i v i H1: ρ ≠ 0,65. Tr c nghi m U 2 uôi ư c s d ng, v i U = Z − µZ ~ N (0,1) . σZ V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; v i m u c th , chúng ta có : ( ) 1 + 0,75 z = 1 ln = 0,9730 , 2 ( ) 1 + 0,65 µ Z = 1 ln + 2 và 1 − 0,65 u= 1 − 0,75 0,65 = 0,7894; 2(24 −1) σZ = 1 , 21 z − µZ = 0,8414 σZ Vì u < gtth nên m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t H0 ư c ch p nh n, i.e.tài li u ư c ch p nh n. . 3. PHÂN TÍCH H I QUI Phân tích tương quan ph n trên giúp chúng ta bi t m c ph thu c tuy n tính gi a các bi n ng u nhiên. Bài toán Phân tích h i qui ư c trình bày trong ph n này s giúp chúng ta thi t l p c u trúc c a m i liên h ph thu c c a m t bi n (g i là bi n ph thu c) v i m t hay nhi u bi n khác (g i là bi n c l p); chúng ta mu n th hi n m i liên h ph thu c gi a các bi n dư i d ng toán h c b ng m t phương trình n i các bi n ó. Phương trình ó cho phép chúng ta d oán v m t bi n ph thu c trên cơ s ã bi t v các bi n c l p. Giáo trình này ch trình bày trư ng h p có m t bi n c l p duy nh t (h i qui ơn). Chng 7 TNG QUAN VÀ H I QUI TUY N TÍNH 163 3.1. nh nghĩa. Cho hai BNN X và Y trên cùng m t không gian xác su t có h.m. . ng th i f . Kỳ v ng i u ki n c a Y khi bi t X l y giá tr x, ký hi u E(Y/x) ư c xác nh b i: E (Y / x) = ∑ y. f ( y / x) n u X và Y r i r c, y +∞ E (Y / x) = ho c ∫ y. f ( y / x) dy n u X và Y liên t c −∞ ϕ(x) = E(Y/x) là m t hàm c a x. ϕ ư c g i là hàm h i qui c a Y theo X. th c a hàm ϕ ư c g i là ư ng h i qui c a Y theo X. nh nghĩa tương t cho khái ni m kỳ v ng i u ki n c a X khi bi t Y l y giá tr y, ký hi u E(X/y). ψ(y) = E(X/y) là m t hàm c a y. ψ ư c g i là hàm h i qui c a X theo Y. th c a hàm ψ ư c g i là ư ng h i qui c a X theo Y. 3.2. nh nghĩa. Cho hai BNN X và Y trên cùng m t không gian xác su t. (a) N u ϕ(x) = E(Y/x) = a + bx thì ngư i ta nói r ng ϕ là hàm h i qui tuy n tính c a Y theo X. b ư c g i là h s h i qui tuy n tính Y theo X. (b) N u ψ(y) = E(X/y) = c + dx thì ngư i ta nói r ng ψ là hàm h i qui tuy n tính c a X theo Y. d ư c g i là h s h i qui tuy n tính X theo Y. Chúng ta công nh n 3.3. nh lý sau: nh lý. Cho hai BNN X và Y tuân theo lu t phân ph i chu n hai 2 chi u v i các kỳ v ng µ1 và µ 2 , các phương sai dương σ1 và σ 2 , và h s 2 tương quan ρ. Khi ó, hàm h i qui c a Y theo X và hàm h i qui c a X theo Y là các hàm tuy n tính. C th : (a) ϕ(x) = E(Y/x) = a + bx, v i: b= ρ σ2 σ1 và a =µ 2 − bµ1 (b) ψ(y) = E(X/y) = c + dx, v i: d= ρ σ1 σ2 và c =µ1 − dµ 2 3.4. Bài toán. Gi s X là bi n ng u nhiên c l p và Y là bi n ng u nhiên ph thu c vào X. N u chúng ta mu n ư c lư ng giá tr c a Y b ng giá tr c a bi n ng u nhiên θoX, v i θ là m t hàm th c nào ó, thì chúng ta m c m t sai s S(θ) = E[(Y − θoX)2], g i là sai d báo. V n t ra là ch n θ như th nào t t nh t, theo nghĩa S(θ) t giá tr nh nh t. 3.5. nh lý. Bi u th c S(θ) = E[(Y − θ oX)2] E(Y/x) v i m i x. cho s ư c lư ng là t c c ti u khi θ(x) = Chng 7 TNG QUAN VÀ H I QUI TUY N TÍNH 164 3.6. Chú ý. Khi dùng hàm h i qui c a Y theo X sai d báo là: tính x p x Y thì 2 σY . X = σ2 ( 1 − ρ2 ) 2 càng g n 1. Do ó, Chúng ta nh n th y r ng sai s càng nh khi ρ chúng ta ch nên dùng hàm h i qui x p x Y trên cơ s bi t X khi ρ g n b ng 1. Chúng ta có th tìm kho ng tin c y cho trung bình c a Y khi X l y giá tr x0. Tuy nhiên, trong giáo trình này chúng ta t m hài lòng v i d báo c a Y b ng cách thay giá tr x0 vào phương trình ư ng th ng h i qui c a Y theo X. 4. HÀM H I QUI TUY N TÍNH M U Trong th c t , chúng ta không kh o sát h t t ng th , chưa bi t phân ph i c a vectơ ng u nhiên (X,Y) nên khó có th xác nh ư c d ng toán h c c a hàm h i qui t ng th . Chúng ta ph i d a trên m u xây d ng hàm h i qui m u sao cho nó là ư c lư ng t t nh t hàm h i qui t ng th . Gi s (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn) là n c p quan sát ư c trên m u ư c thành l p t vectơ ng u nhiên (X,Y). có m t hình nh tr c quan v m i tương quan gi a X và Y, ngư i ta bi u di n m i c p s (xi, yi) b ng i m Mi có to (xi, yi), (i = 1, 2, . . ., n) trên m t ph ng to Oxy. T p h p các i m Mi (i = 1, phân 2, . . ., n) t o nên m t “ ám mây th ng kê” và thư ng ư c g i là Bi u tán. Bi u phân tán cho chúng ta cái nhìn khái quát v m c cũng như c u trúc c a s tương quan gi a Y và X. T bi u phân tán, ngư i ta thư ng nh n th y có m t ư ng (cong ho c th ng) x p x d li u (các i m (xi, yi) t t p g n ư ng ó). N u ư ng nói trên là ư ng th ng thì Y có h i qui tuy n tính theo X. H i qui tuy n tính y 30 20 10 2 y 4 6 H i qui phi tuy n 8 x