intTypePromotion=1

Giáo trình Xác suất thống kế - Chương 7: Tương quan và hồi qui tuyến tính

Chia sẻ: Nguyen Quang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

0
213
lượt xem
7
download

Giáo trình Xác suất thống kế - Chương 7: Tương quan và hồi qui tuyến tính

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Xác suất thống kế - Chương 7 Tương quan và hồi qui tuyến tính trình bày các nội dung sau: hệ số tương quan mẫu, kiểm định giả thiết về hệ số tương quan, phân tích hồi qui, hàm hồi qui tuyến tính mẫu,...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Xác suất thống kế - Chương 7: Tương quan và hồi qui tuyến tính

Chng 7<br /> <br /> TNG QUAN VÀ H I QUI TUY N TÍNH<br /> <br /> 160<br /> <br /> Chương 7<br /> <br /> Tương quan và<br /> H i qui tuy n tính<br /> 1. H S<br /> <br /> TƯƠNG QUAN M U<br /> <br /> nh nghĩa và các tính ch t c a H s tương quan ρ c a hai bi n ng u<br /> nhiên X và Y ã ư c<br /> c p n trong o n 2.7. Trong th c t , chúng ta không<br /> bi t ρ mà ch d a vào m u suy oán v ρ.<br /> 1.1. nh nghĩa. Gi s (X1, Y1); (X 2, Y2); . . .; (Xn, Yn) là m u ư c<br /> thành l p t vectơ ng u nhiên (X, Y). Bi n ng u nhiên<br /> n<br /> <br /> ∑ ( X i − X ).( Yi − Y )<br /> R=<br /> <br /> i =1<br /> <br /> ( n − 1) S X SY<br /> <br /> ư c g i là H s tương quan m u c a X và Y.<br /> V i m u c th , giá tr h s tương quan m u ư c tính b i:<br /> r =<br /> <br /> ∑ xi yi<br /> <br /> − n x. y<br /> =<br /> (n − 1) s X .sY<br /> <br /> ∑ xi yi<br /> <br /> − n x. y<br /> <br /> ( ∑ xi2 − n.x 2 ) ( ∑ yi2 − n. y 2 )<br /> <br /> n<br /> <br /> trong ó, ký hi u Σ ch<br /> <br /> ∑<br /> i =1<br /> <br /> 2. KI M<br /> <br /> NH GI THI T V H S<br /> <br /> TƯƠNG QUAN<br /> <br /> Gi s (X1, Y1); (X2, Y2); . . .; (Xn, Yn) là m u ư c thành l p t t ng th<br /> (X,Y) có phân ph i chu n hai chi u. Chúng ta mu n ki m nh các gi thi t liên<br /> <br /> Chng 7<br /> <br /> TNG QUAN VÀ H I QUI TUY N TÍNH<br /> <br /> 161<br /> <br /> quan n các giá tr khác nhau c a h s tương quan t ng th , ký hi u ρ, d a trên<br /> phân ph i m u c a h s tương quan m u R.<br /> 2.1. Ki m<br /> <br /> nh gi thi t:<br /> <br /> H0: ρ = 0<br /> <br /> i v i H1: ρ ≠ 0 (ho c ρ > 0 ho c ρ < 0)<br /> <br /> Ngư i ta ch ng minh ư c r ng v i gi thi t H0, phân ph i m u c a R<br /> x ng; t ó, th ng kê<br /> n−2<br /> <br /> T= R<br /> <br /> i<br /> <br /> ~ Student (n − 2)<br /> <br /> 1 − R2<br /> <br /> Tr c nghi m t ư c dùng trong trư ng h p này.<br /> 2.2. Ki m<br /> <br /> nh gi thi t:<br /> H0: ρ = ρo ≠ 0<br /> <br /> i v i H1: ρ ≠ ρo<br /> <br /> V i gi thi t H0, phân ph i m u c a R b l ch nên không th dùng tr c ti p<br /> R. Trong trư ng h p này, Fisher ã ngh m t phép bi n i ưa n th ng kê<br /> 1+ R<br /> Z = 1 ln<br /> <br /> ( )<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1− R<br /> <br /> có phân ph i ti m c n chu n v i kỳ v ng và phương sai l n lư t là<br /> 1 + ρo <br /> ρo<br /> 2<br /> 1<br /> µ Z = 1 ln <br />  + 2(n − 1) và σ Z = n − 3<br /> 2  1 − ρo <br /> <br /> <br /> Tr c nghi m U ư c dùng v i U = Z*, bi n chu n hóa c a Z.<br /> Phép bi n i trên ư c g i là phép bi n i Fisher; nó cũng ư c dùng<br /> tìm kho ng tin c y cho h s tương quan t ng th .<br /> <br /> 2.3. Thí d . D a vào m u ng u nhiên c 18 ư c ch n t t ng th (X,Y)<br /> có phân ph i chu n 2 chi u, ngư i ta tính ư c giá tr h s tương quan m u r =<br /> 0,32. m c ý nghĩa 5%, có s tương quan tuy n tính gi a X và Y không?<br /> Gi i.<br /> Chúng ta ph i có quy t<br /> <br /> nh gi a hai gi thi t:<br /> H0 : ρ = 0<br /> <br /> và<br /> <br /> H1: ρ ≠ 0.<br /> <br /> N u H0 úng thì BNN<br /> <br /> T= R<br /> <br /> 18 − 2<br /> 1 − R2<br /> <br /> V i m c α = 5% , giá tr t i h n là:<br /> v i m u c th , chúng ta có:<br /> <br /> ~ t(16)<br /> (16)<br /> t0,975 = 2,1199 ;<br /> <br /> Chng 7<br /> <br /> TNG QUAN VÀ H I QUI TUY N TÍNH<br /> <br /> 162<br /> <br /> t=<br /> <br /> 0,32. 16<br /> 1 − (0,32)2<br /> <br /> = 1,35<br /> <br /> m c ý nghĩa α = 5%.<br /> Vì |t| < 2,12 nên gi thi t H0 không th b bác b<br /> Nói cách khác, chúng ta ch p nh n r ng X và Y không tương quan m c ý nghĩa<br /> 5%.<br /> <br /> 2.4. Thí d . H s tương quan ư c tính trên m u c 24, ch n t t ng th<br /> có phân ph i chu n 2 chi u, là r = 0,75. m c ý nghĩa α = 5%, hãy cho nh n xét<br /> v tài li u cho r ng h s tương quan t ng th b ng 0,65.<br /> Gi i.<br /> Ki m<br /> <br /> nh gi thi t H0: ρ = 0,65<br /> <br /> i v i H1: ρ ≠ 0,65.<br /> <br /> Tr c nghi m U 2 uôi ư c s d ng, v i<br /> <br /> U =<br /> <br /> Z − µZ<br /> ~ N (0,1) .<br /> σZ<br /> <br /> V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ;<br /> v i m u c th , chúng ta có :<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> 1 + 0,75<br /> z = 1 ln<br /> = 0,9730 ,<br /> 2<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> 1 + 0,65<br /> µ Z = 1 ln<br /> +<br /> 2<br /> <br /> và<br /> <br /> 1 − 0,65<br /> <br /> u=<br /> <br /> 1 − 0,75<br /> <br /> 0,65<br /> = 0,7894;<br /> 2(24 −1)<br /> <br /> σZ = 1 ,<br /> 21<br /> <br /> z − µZ<br /> = 0,8414<br /> σZ<br /> <br /> Vì u < gtth nên m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t H0 ư c ch p nh n,<br /> i.e.tài li u ư c ch p nh n. .<br /> <br /> 3. PHÂN TÍCH H I QUI<br /> Phân tích tương quan ph n trên giúp chúng ta bi t m c<br /> ph thu c<br /> tuy n tính gi a các bi n ng u nhiên. Bài toán Phân tích h i qui ư c trình bày<br /> trong ph n này s giúp chúng ta thi t l p c u trúc c a m i liên h ph thu c c a<br /> m t bi n (g i là bi n ph thu c) v i m t hay nhi u bi n khác (g i là bi n c<br /> l p); chúng ta mu n th hi n m i liên h ph thu c gi a các bi n dư i d ng toán<br /> h c b ng m t phương trình n i các bi n ó. Phương trình ó cho phép chúng ta<br /> d oán v m t bi n ph thu c trên cơ s ã bi t v các bi n c l p. Giáo trình<br /> này ch trình bày trư ng h p có m t bi n c l p duy nh t (h i qui ơn).<br /> <br /> Chng 7<br /> <br /> TNG QUAN VÀ H I QUI TUY N TÍNH<br /> <br /> 163<br /> <br /> 3.1.<br /> nh nghĩa. Cho hai BNN X và Y trên cùng m t không gian xác su t<br /> có h.m. . ng th i f . Kỳ v ng i u ki n c a Y khi bi t X l y giá tr x, ký hi u<br /> E(Y/x) ư c xác nh b i:<br /> <br /> E (Y / x) = ∑ y. f ( y / x) n u X và Y r i r c,<br /> y<br /> +∞<br /> <br /> E (Y / x) =<br /> <br /> ho c<br /> <br /> ∫<br /> <br /> y. f ( y / x) dy<br /> <br /> n u X và Y liên t c<br /> <br /> −∞<br /> <br /> ϕ(x) = E(Y/x) là m t hàm c a x. ϕ ư c g i là hàm h i qui c a Y theo X.<br /> th c a hàm ϕ ư c g i là ư ng h i qui c a Y theo X.<br /> nh nghĩa tương t cho khái ni m kỳ v ng i u ki n c a X khi bi t Y l y<br /> giá tr y, ký hi u E(X/y). ψ(y) = E(X/y) là m t hàm c a y. ψ ư c g i là hàm h i<br /> qui c a X theo Y.<br /> th c a hàm ψ ư c g i là ư ng h i qui c a X theo Y.<br /> <br /> 3.2.<br /> <br /> nh nghĩa. Cho hai BNN X và Y trên cùng m t không gian xác su t.<br /> <br /> (a) N u ϕ(x) = E(Y/x) = a + bx thì ngư i ta nói r ng ϕ là hàm h i qui<br /> tuy n tính c a Y theo X. b ư c g i là h s h i qui tuy n tính Y theo X.<br /> (b) N u ψ(y) = E(X/y) = c + dx thì ngư i ta nói r ng ψ là hàm h i qui<br /> tuy n tính c a X theo Y. d ư c g i là h s h i qui tuy n tính X theo Y.<br /> Chúng ta công nh n<br /> <br /> 3.3.<br /> <br /> nh lý sau:<br /> <br /> nh lý. Cho hai BNN X và Y tuân theo lu t phân ph i chu n hai<br /> <br /> 2<br /> chi u v i các kỳ v ng µ1 và µ 2 , các phương sai dương σ1 và σ 2 , và h s<br /> 2<br /> tương quan ρ. Khi ó, hàm h i qui c a Y theo X và hàm h i qui c a X theo Y là<br /> các hàm tuy n tính. C th :<br /> <br /> (a) ϕ(x) = E(Y/x) = a + bx, v i:<br /> <br /> b= ρ<br /> <br /> σ2<br /> σ1<br /> <br /> và<br /> <br /> a =µ 2 − bµ1<br /> <br /> (b) ψ(y) = E(X/y) = c + dx, v i:<br /> <br /> d= ρ<br /> <br /> σ1<br /> σ2<br /> <br /> và<br /> <br /> c =µ1 − dµ 2<br /> <br /> 3.4. Bài toán. Gi s X là bi n ng u nhiên c l p và Y là bi n ng u<br /> nhiên ph thu c vào X. N u chúng ta mu n ư c lư ng giá tr c a Y b ng giá tr<br /> c a bi n ng u nhiên θoX, v i θ là m t hàm th c nào ó, thì chúng ta m c m t sai<br /> s<br /> S(θ) = E[(Y − θoX)2],<br /> g i là<br /> sai d báo. V n<br /> t ra là ch n θ như th nào<br /> t t nh t, theo nghĩa S(θ) t giá tr nh nh t.<br /> <br /> 3.5.<br /> nh lý. Bi u th c S(θ) = E[(Y − θ oX)2]<br /> E(Y/x) v i m i x.<br /> <br /> cho s ư c lư ng là<br /> t c c ti u khi θ(x) =<br /> <br /> Chng 7<br /> <br /> TNG QUAN VÀ H I QUI TUY N TÍNH<br /> <br /> 164<br /> <br /> 3.6. Chú ý. Khi dùng hàm h i qui c a Y theo X<br /> sai d báo là:<br /> <br /> tính x p x Y thì<br /> <br /> 2<br /> σY . X = σ2 ( 1 − ρ2 )<br /> 2<br /> <br /> càng g n 1. Do ó,<br /> Chúng ta nh n th y r ng sai s càng nh khi ρ<br /> chúng ta ch nên dùng hàm h i qui x p x Y trên cơ s bi t X khi ρ<br /> g n<br /> b ng 1.<br /> Chúng ta có th tìm kho ng tin c y cho trung bình c a Y khi X l y giá tr<br /> x0. Tuy nhiên, trong giáo trình này chúng ta t m hài lòng v i d báo c a Y b ng<br /> cách thay giá tr x0 vào phương trình ư ng th ng h i qui c a Y theo X.<br /> <br /> 4. HÀM H I QUI TUY N TÍNH M U<br /> Trong th c t , chúng ta không kh o sát h t t ng th , chưa bi t phân ph i<br /> c a vectơ ng u nhiên (X,Y) nên khó có th xác nh ư c d ng toán h c c a hàm<br /> h i qui t ng th . Chúng ta ph i d a trên m u<br /> xây d ng hàm h i qui m u sao<br /> cho nó là ư c lư ng t t nh t hàm h i qui t ng th .<br /> Gi s (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn) là n c p quan sát ư c trên m u ư c<br /> thành l p t vectơ ng u nhiên (X,Y).<br /> có m t hình nh tr c quan v m i tương<br /> quan gi a X và Y, ngư i ta bi u di n m i c p s (xi, yi) b ng i m Mi có to<br /> (xi, yi), (i = 1, 2, . . ., n) trên m t ph ng to<br /> Oxy. T p h p các i m Mi (i = 1,<br /> phân<br /> 2, . . ., n) t o nên m t “ ám mây th ng kê” và thư ng ư c g i là Bi u<br /> tán. Bi u<br /> phân tán cho chúng ta cái nhìn khái quát v m c<br /> cũng như c u<br /> trúc c a s tương quan gi a Y và X. T bi u<br /> phân tán, ngư i ta thư ng nh n<br /> th y có m t ư ng (cong ho c th ng) x p x d li u (các i m (xi, yi) t t p g n<br /> ư ng ó). N u ư ng nói trên là ư ng th ng thì Y có h i qui tuy n tính theo X.<br /> H i qui tuy n tính<br /> <br /> y<br /> 30<br /> <br /> 20<br /> <br /> 10<br /> 2<br /> <br /> y<br /> <br /> 4<br /> <br /> 6<br /> <br /> H i qui phi tuy n<br /> <br /> 8<br /> <br /> x<br /> <br />
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2