Hàm Green đa phức và định lý xấp xỉ của Siciak

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hàm Green đa phức đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết thế vị phức, được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek. Một số kết quả về hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi, là sự tổng quát hoá của hàm Green đa phức với cực hữu hạn sử dụng lớp hàm Lelong L và định lý xấp xỉ của Siciak.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hàm Green đa phức và định lý xấp xỉ của Siciak

SỐ 54/2021 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI Hàm Green đa phức và định lý xấp xỉ của Siciak Phạm Ngọc Hải1 1 Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Email: ngochaiqn87@gmail.com Mobile: 0389153242 Tóm tắt Từ khóa: Hàm Green đa phức đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết thế vị phức, được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak, Định lý xấp xỉ của Siciak; Zaharjuta, Lelong, Klimek .... . Một số kết quả về hàm Green đa phức với cực Hàm đa điều hoà dưới, Hàm logarit trên đa tạp siêu lồi, là sự tổng quát hoá của hàm Green đa phức với cực Green đa phức , Lớp Lelong hữu hạn sử dụng lớp hàm Lelong L và định lý xấp xỉ của Siciak. 1. Giới thiệu Trong bài viết này, tác giả sẽ trình bày định  L  v  PSH  n ; v  z   log  z  C; z  n . nghĩa hàm đa điều hoà, hàm đa điều hoà dưới cực 2.2.2. Mệnh đề đại, lớp hàm Lelong, từ đó trình bày định nghĩa Hàm u PSH ( n ) thuộc lớp Lelong L khi hàm Green đa phức sử dụng lớp hàm Lelong L và và chỉ khi hàm định lý xấp xỉ của Siciak. 2. Cơ sở lý thuyết z (z 0,..., zn ) u (z ) log z 0 2.1. Hàm đa điều hòa dưới u(z1 / z 0,...zn / z 0 ) log z 0 2.1.1. Định nghĩa thác triển như là hàm đa điều hòa dưới từ Cho là một tập con mở của n và n 1 \ z : z0  0 lên n1 \ 0 . u :   ,  là một hàm nửa liên tục trên và Chứng minh. Nếu u L và gọi không trùng với  trên bất kỳ thành phần liên  : n1 \ 0  R   là hàm xác định bởi thông nào của . Hàm u được gọi là đa điều hoà (z ) log z 0 , thì u là đa điều hòa dưới dưới nếu với mỗi a và b n , hàm u(a b) là điều hoà dưới hoặc trùng  trên n 1 \ z : z0  0. trên mỗi thành phần của tập hợp u (z ) (z ) u(z1 / z 0,...zn / z 0 ) log z 0   : a  b . Trong trường hợp này, ta log (z1 / z 0,...zn / z 0 ) log z 0 C viết u PSH( ) . (ở đây PSH( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong ). 1 log ( (z ,..., zn )) log z 0 C 2.1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại z0 1 Cho là một tập con mở của n và u: là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng log (z1,..., zn ) C u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact Do đó u bị chặn trên địa phương ở gần tương đối G của , và với mỗi hàm nửa liên tục mỗi điểm có dạng  0,   ,   n \ 0 và thác triển trên v trên G sao cho v PSH(G) và v u trên thành hàm đa điều hòa dưới trên n1 \ 0. Nếu G , đều có v u trong G. u thác triển thành hàm đa điều Ký hiệu MPSH( ) là họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên . hòa dưới trên n1 \ 0 thì 2.2. Lớp Lelong z u(z ) u (1, z ) (1) là đa điều hòa dưới 2.2.1. Định nghĩa trên n . Với z   z1 , z2 ,..., zn   n \ 0 lấy Hàm u PSH( ) gọi là có cấp tăng logarit nếu tồn tại hằng số C sao cho zo 1 / z thì u zo , z / z log zo là bị n chặn trên địa phương. v(z ) log z C, z ; log x  max 0,log x. Họ các hàm số như thế gọi Lấy K B 0, S n là một tập con compact là thuộc lớp Lelong và ký hiệu là L . Như vậy trong n ở đó  > 0 và C được chọn sao cho 14 KH&CN QUI
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 54/2021 u zo , z / z log zo C trên K, ta có: n hằng số C sao cho . C . trên . Do đó u(z ) log z C với z đủ lớn. z a hàm log + r nằm trong L và vì nó bằng 0 trên 2.3. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng 2.3.1. Định nghĩa z a B, nên log VB (z ) . Như vậy ta cần Với mỗi X n và q : X   ;  ta định r nghĩa hàm Green đa phức có trọng của X với trọng q phải chỉ ra rằng với u L sao cho u 0 trên B, z a và cực logarit tại vô cùng bởi: u (z ) log   VX ,q ( z )  sup u( z), z  n , u q trên X . thì r . Chú ý rằng điều này rõ uL ràng xảy ra khi z B . Trường hợp khi q 0, Bây giờ với mỗi u và z n \ B ta định nghĩa VX ,q được ký hiệu bởi VX . hàm v trên D  0, z  a / r  \ 0  bởi Từ định nghĩa của VX ,q suy ra một số tính chất za sau đây: v    u  a   1  z  a    log . i ) VA,q VB,q nếu A B , r Khi đó v là hàm đa điều hòa dưới và v   là bị ii) VX,q VX , p nếu q p, chặn khi 0 , vì u L . Vì thế v có thể được iii) VX,q c c VX ,q với c . thác triển qua 0 thành một hàm đa điều hòa dưới v Từ đó ta có thể thấy rằng nếu q bị chặn thì trên D  0, z  a / r  . Ta có lim v    0. Do vậy VX inf q VX ,q VX sup q .   z a X X theo nguyên lý cực đại ta có v 0 trên Chú ý: Nếu q 1 ( ) không là tập L cực thì D  0, z  a / r  . Chú ý rằng v (1) được xác định VX ,q , vì thế ta luôn giả thiết rằng z a /r 1 , v(1) u(z ) log z a /r 0. 1 q ( ) là tập L cực. 2.4. Định lý xấp xỉ của Siciak 2.3.2. Định lý 2.4.1. Mệnh đề n n Cho q là một hàm trên tập X  sao cho Giả sử K là một tập compact và VK liên tục. Khi đó với mọi r 1 và 0 tồn tại q 1( ) không là L cực. Khi đó X không là một hằng số c c(r, ) 0 sao cho L cực nếu và chỉ nếu VX,q L .Hơn nữa , f  O  r   , d  1. 1 d  f , K   c f r  VX ,q nếu X là L cực. rd Chứng minh. Nếu X không là L cực, thì Chứng minh. Với 0,1 ta định nghĩa hàm n 1 với: VX,q L .Nếu X là L cực thì theo Mệnh đề thuần nhất không âm h trên 2.2.2 ta có VX ,q do đó VX,q không nằm z n zo exp VK , zo \ 0 ,z trong L . h zo 2.3.3. Ví dụ. (về hàm Green đa phức đối với hình n. 0, zo 0, z cầu) Với mỗi một chuẩn phức . , giả sử Do tính liên tục của VK và VK , nên hàm h B B . a, r là hình cầu đóng tâm a bán kính liên tục và nằm trong n 1 . Ta thấy rằng K như z a là tập compact K  1  K trong n 1 và r. Khi đó: VB z log ,z n , trong r h (1, z ) exp( VK (z )). đó: log x  max 0,log x.  n Tương tự đối với r với mỗi r tập mức Vì mọi chuẩn trên là tương đương, nên tồn tại KH&CN QUI 15
SỐ 54/2021 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI con Dr  z   n 1 : h  z   r .  Từ đó ta có f g f L 1 f . Dễ thấy Dp  1   n   1   p . Chú ý rằng Kr Kr L Vì D  D là một lân cận cân của gốc trong D là miền chỉnh hình vì nó là tập mức con của  r   một hàm đa điều hòa dưới liên tục. Chọn  0,1 n 1 , nên ta có thể viết: f (z ) Pj (z ), z D, j 0 sao cho r (r ) r . Đặt tập trong đó Pj là các đa thức thuần nhất bậc j và Kr   ,  z  :   r thì K r là tập con chuỗi hội tụ đều trên các tập con compact của D. compact của D vì r Biểu diễn đó của f suy ra ước lượng sau đối với h ( , z) exp VK (z ) r r . d (f , K ) : d (f , K ) Pj K ,d , d 1. j d 1 Với f (D ), ký hiệu f f (1,.) là Áp dụng ước lượng Cauchy cho hàm chỉnh hình r hàm tương ứng trong r . Bây giờ ta sẽ chỉ f ( z) Pj (z ) j với mỗi (1, z ) z K. j 1 ra ánh xạ hạn chế T : (D ) ( ), f f là ánh Kết hợp với định nghĩa của Kr ta có ước lượng xạ mở và toàn ánh. Tập 1 r  là một đa tạp 1 1 Pj (z ) sup f z f . Kr con được nhúng thực sự của D có số chiều rj r rj r Bất đẳng thức này cho ta là n . Nó được biểu diễn một cách chính qui địa phương vì tồn tại một hàm chỉnh hình g sao cho 1 d (f , K ) Pj f g  z0 , z   z0 1,1 r   g 1  0  Dr    . j d 1 K j d 1r j Kr Suy ra T là một toàn ánh. f r Kr Ta có (D ) và O  r   là các không . r r 1 rd 1 gian Fréchet và T là liên tục, tuyến tính và toàn Nhưng nó cũng cho chúng ta ước lượng trên d f , K , vì tập hợp các hạn chế trên 1  n ánh nên tính mở của T suy ra từ định lý ánh xạ mở của các đa thức n 1 biến và có bậc d đồng nhất Khi đó ảnh của f O(D ): f 1 r Kr với tập hợp các đa thức có n biến số và có bậc qua ánh xạ T là một lân cận mở của 0, tức là nó d . Như vậy d (f , K ) d (f , K ) và chứa một tập có dạng f L 1 1 1 d  f , K   . Đặt c ta có f O( ): f   r  1 r d r 1 r L L , điều phải chứng minh vì L r . trong đó L r là tập compact và L 0. 2.4.2. Định lý xấp xỉ của Siciak Cố định f và lấy f (D ) n r Giả sử K là tập con compact của sao cho r VK liên tục và f (K), R 1 . Khi đó f có sao cho T f f . Chọn L và đặt thác triển c hỉnh hình đến tập mức con f f  R  z  n : VK ( z)  log R  g . Khi đó T g suy ra 1 f f 1 L L khi và chỉ khi limsup  d  f , K  d  . d  R T g và g 1. L Kr Chứng minh. Nếu f chỉnh hình trong R   z  n : VK ( z)  log R thì với mỗi 16 KH&CN QUI
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 54/2021 0,R , đặt r R và / 2 . Khi đó thác triển chỉnh hình hàm f , vì điều đó xảy ra với tuỳ ý, trên z  n : VK ( z)  log R . f , tồn tại một hằng số c sao cho: 1 r R  d  f , K  d   c f r   . 1 1 3. Kết quả r Bài viết cụ thể hoá một số kết quả về các hàm 1 đa điều hòa dưới thuộc lớp Lelong và hàm Green đa 1  d phức, định lý xấp xỉ của Siciak. Cụ thể : nếu K là lim sup  d  f , K   lim sup  c f    d n sao cho V liên tục và d  d  R  2  tập con compact của K 1 f 1 , thì f có thác triển chỉnh hình (K), R  . R  đến tập mức con khi và chỉ 0 bé tùy ý nên cho 0 ta nhận được 1 1 khi limsup  d  f , K  d  Vì . 1 1 1 d  limsup  d  f , K  d  . Ngược lại, lấy R . d  R R 4. Thảo luận   1 Khi đó tập d  :  d  f , K     là hữu hạn, do d Với phạm vi nghiên cứu về hàm Green đa phức   và định lý xấp xỉ của Siciak, giúp sinh viên có thể vậy tồn tại một hằng số C sao cho mở rộng nghiên cứu về hàm Green đa phức với cực  d  f , K   C  d . với mọi d 1 .Với mỗi d tồn Logarit tại vô cùng; ứng dụng vào các bài toán xấp xỉ đa thức và thác triển các hàm chỉnh hình. tại một đa thức Pd d sao cho 5. Kết luận  d  f , K   f  Pd K . Để chứng minh điều đó ta Bài báo đã trình bày định nghĩa hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại. Một số kết chú ý rằng đa thức P, deg P d xấp xỉ f tốt quả về các hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp Lelong hơn hàm không, tức là f P f và hàm Green đa phức, định lý xấp xỉ của Siciak. K K suy ra P f P f 2 f . K K K K TÀI LIỆU THAM KHẢO Suy ra các hệ số của các đa thức này được chứa trong một tập con compact của và do f P 1 Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải, Cơ sở lí K thuyết đa thế vị, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội, là các hàm liên tục đối với các hệ số nên tồn tại một (2009). đa thức Pd sao cho f Pd d f , K .Đặt K 2 B.Josefson, On the equivalence between Q1 P1 và Qd Pd Pd 1 với d 2 . Khi đó locally polar and globally polar sets for d d 1 1 d n Qd (z ) C C 1 , z K, d 1. plurisuvharmonic function on , Ark. Mat. Theo bất đẳng thức Berntein - Walsh ta có 3 J. Siciak, On some extremal fucntions and 1 Qd (z ) C 1 ( K (z ))d , z n,d 1. Từ their appliacations in the theory of analytic functions of several complex variables, Trans. đó, chuỗi Qd là hội tụ đều trên các tập con Amer. Math. Soc, 105 (1962). d 1  1 compact của tập hợp  z  n : K ( z)  . và ta có   KH&CN QUI 17
SỐ 54/2021 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI Một số tính chất của nửa nhóm liên tục Vũ Thị Thùy Dương1,*, Phạm Ngọc Hải1 1 Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh *Email: vuthuyduong309@gmail.com Mobile: 0975586775 Tóm tắt Từ khóa: Bài báo này trình bày tổng quan khái niệm, các tính chất quan trọng của nửa nhóm liên tục và các nửa nhóm được sử dụng trong phương trình đạo hàm riêng. Nửa nhóm liên tục, Nửa Các kết quả trong bài báo này được viết dựa trên tài liệu tham khảo [3]. nhóm Gauss-Weierstrass, Nửa nhóm Poison, Nửa nhóm Stokes. 1. Giới thiệu Ở đây, T được xem như một toán tử chuyển Lý thuyết nửa nhóm các toán tử trong không tiếp. Từ tính duy nhất của nghiệm u(t ) suy ra tính gian Banach ra đời từ giữa thế kỷ XX và được phát chất nửa nhóm triển rất mạnh mẽ trong những năm gần đây. Nó đã trở thành một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh T(t s) T(t)T(s) (t, s 0). (2.2) vực của giải tích toán học hiện đại như phương Tính chất (2.2) của họ các hàm {T(t), t 0} là trình vi phân - tích phân, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết điều khiển… Trong bài báo này, một phép hợp thành. Chú ý rằng T(0) Id là toán chúng tôi trình bày một số tính chất quan trọng của tử đồng nhất, xem [4]. nửa nhóm liên tục được sử dụng trong các bài toán Định nghĩa 2. Một nửa nhóm liên tục mạnh về sự tồn tại, tính duy nhất, tính chính quy hoặc dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong phương trình (nửa nhóm Co ) là một họ T {T (t ), t } tất đạo hàm riêng. Chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X thỏa của nửa nhóm liên tục thường gặp và những tính mãn các tính chất chất riêng biệt của nó. (i) T (t s) T (t )T (s) ( t, s ) 2. Cơ sở lý thuyết 2.1. Nửa nhóm liên tục (ii) T(0) Id Định nghĩa 1. Một nửa nhóm là một tập S liên (iii) lim T (t )(f ) f với mỗi f X. kết với một toán tử liên hợp : S S S nghĩa t 0 là với mọi x, y, z S : (x y) z x (y z ). Quy ước trong các phần sau, nửa nhóm liên tục Một nửa nhóm không tồn tại phần tử đơn vị e và được viết ngắn gọn là nửa nhóm. không có phần tử nghịch đảo. 2.2. Một số tính chất của nửa nhóm liên tục Xét bài toán Cauchy trong không gian Banach Định lý 1. Giả sử A là một toán tử bị chặn từ X X như sau: vào X. Khi đó d (tA)n  u  t   Au  t   t  0 T T (t ) etA ; t (2.3)  dt  2.1 n!  u(0)  f n 0 là một nửa nhóm liên tục đều. trong đó u(t ) mô tả trạng thái tại thời điểm t của Chứng minh: Xem [3]. chuyển động. Nghiệm của hệ (2.1) có dạng: Định lý 2. Giả sử T (t ) là một nửa nhóm. Khi đó u(t ) eAt f . tồn tại hằng số và M 1 sao cho Xét toán tử T(t) : u(s) u(t s) với mọi giá trị T (t ) M .e t với 0 t . (2.4) t, s 0. Chứng minh: Xem [3]. Nếu giả sử A không phụ thuộc vào thời gian Hệ quả 1. Nếu T (x ) là một nửa nhóm thì với thì T (t ) không phụ thuộc vào s . Khi đó: (i) T(s)(f ) u(s) mỗi f X, t T(t)f là hàm liên tục từ vào X. (ii)T (t )(u(s)) T (t ) T (s)(f ) Định lý 3. Giả sử T (t ) là một nửa nhóm sinh u(t s) T(t s)(f ). bởi A . Khi đó các khẳng định sau luôn đúng: 18 KH&CN QUI
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 54/2021 (i) Với mỗi f D(A) thì T(t)f D(A) tục của hàm t T(t)f , xem [2]. và AT(t)f T(t )A f ; t 0. (ii) Lấy f X và h 0 . Khi đó: (ii) Với mỗi f D(A) và T(t)f D(A) thì t t T (h ) Id d Ah T (s)fds T (s )fds T (t )f AT (t ) f T (t )A f . h dt 0 0 Chứng minh: t 1 Lấy f D(A) và cố định t 0 . T (h) Id T (s)fds. h Khi đó, với s 0, As thỏa mãn điều kiện 0 Theo tính chất nửa nhóm suy ra T (s)T (t )f T (t )f t t AT s (t )f 1 1 s T (h ) Id T (s )fds T (s h )f T (s )f ds T (s)f f h h T (t )T (s)f T (t )f 0 0 T (t ) . s s t t 1 1 Khi s 0 thì vế phải hội tụ tới T(t)(A f ) do do đó T (s h )fds T (s )fds h h 0 0 f D(A) và T (t ) liên tục trên X. Vì vậy t h t lim AT s (t )f T (t )A f 1 1 s 0 T (s )fds T (s )fds. h h với T(t)f D(A) và h 0. h 0 (ii) Lấy f D(A) và h 0. Xét giới hạn: Cho h 0 và áp dụng định lý cơ bản ta được: T (t h)f T (t )f T (t )T (h)f T (t )f T(t)f T(0) f T(t) f f. lim lim h 0 h h 0 h d (iii) Do T (t )f AT (t ) f T (t )A f nên lấy dt T (h) Id tích phân từ s đến t phương trình trên ta được: lim T (t ) f AT (t )f T (t )Af t t h 0 h T (t )f T (s ) f T ( )Afd AT ( )fd . do T(t)f D(A) . s s Định lý 4. Giả sử T (t ) là một nửa nhóm sinh bởi 2.3. Một số nửa nhóm liên tục A . Khi đó ta có các khẳng định sau: a. Nửa nhóm Gauss-Weierstrass (i) Với mỗi Giả sử X Lp ,1 p . Khi đó t h f X : lim T (s )fds T (t )f . (2.5) phương trình truyền nhiệt h 0 ut uxx ; x t t u(x, 0) f (ii) Với mỗi f X: T (s )fds D(A) và (x y )2 0 1 4t f (y)dy có nghiệm u(x, t ) e t 4 t A T (s )fds T (t )f f. (2.6) trong đó nhân truyền nhiệt được cho bởi 0 s2 (iii) Với mỗi f D(A) : 1 4t e Kt (s) t 4 t T (t )f T (s) f T ( )A fd và nghiệm thu gọn của phương trình truyền nhiệt là u(x, t ) Kt f . s t Nghiệm của phương trình là một nửa nhóm trên X: AT ( )A fd . (2.7) s (s r )2 1 4t f (r )dr Chứng minh: T (t )T (s) e (2.8) (i) Công thức (2.5) được suy trực tiếp từ tính liên 4 t KH&CN QUI 19
SỐ 54/2021 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI trong đó t 0, x , f X và ta đặt T(0) Id . 1 ab 1 suy ra 2 . Nửa nhóm trên gọi là nửa nhóm Gauss-Weierstrass. 4 (a b) a b 4 a 4 b Để chỉ ra (2.8) thỏa mãn tính chất nửa nhóm ta phải Đẳng thức được chứng minh. chứng minh b. Nửa nhóm Poison T(a b)f (s) T(a)T(b)f (s) Trong không gian X Lp ( ), 1 p với với T(a b)f (s) Ka b f (s) và t 0, T(t) được xác định bởi: T (a)T (b)f (s) T (a) Ka f (s) Ka Kb f (s) 1 t T (t )f (x ) f (y)dy 2 (Ka Kb ) f (s). t (x y)2 Ta cần chứng minh Ka b (x ) Ka Kb (x ) , nghĩa với x và f X được goi là nửa nhóm Poison. là Ta có T (t )f Pt f , trong đó hạt nhân x2 x2 2 (x y ) 1 1 1 t e 4(a b) e 4a e 4b dy.Pt (x ) . 4 (a b) 4 a 4 b t2 x 2 c. Nửa nhóm Stokes Biến đổi vế phải ta được Xét hệ phương trình Stokes không dừng sau: y 2 (a b ) 2axy x 2a ut u p 0 e 4ab dy div u 0 u 0 xa 2 (a b) 2 2xa u(0) u0 y y 4ab 4ab a b e e dy n trong miền ,n 2 . Toán tử Stokes A trong được xác định bởi 2 x2 (a b) xa x 2a y A dE và A dE ; 1 1 là 4b 4ab a b 4b(a b) e e dy 0 0 các toán tử phản xứng. 2 x2 x 2a (a b) y xa Khi đó với mỗi t 0 , toán tử 4b e 4b(a b) 4ab a b e e dy S (t ) : e tA e tAdE . x2 (a b) 2 0 u e 4(a b) e 4ab du Do e t, t 0 là hàm bị chặn dương xác 2 định trên [0, ) nên mỗi S(t ) là một toán tử bị a b x2 4ab u chặn trong không gian Hilbert L2 ( ) , xem [1]. 4(a b) e e du Chuẩn của toán tử S(t ) được xác đinh như sau S (t ) sup e t 1 với mọi t 0 và xa trong đó u y 0 a b. t r (a b) S(t )S(r ) e t e r dE e dE Đặt t 4ab u , ta có 0 0 x2 x2 hay S(t)S(r ) S(t r ) với mọi t, r 0. 4(a b) ab t2 4(a b) ab e 2 e dt e 2 a b a b Ta có S(0) dE I. 0 20 KH&CN QUI
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 54/2021 Họ các toán tử {S(t ), t 0} được gọi là nửa tại nghiệm, tính duy nhất, tính chính quy hay dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong các phương trình nhóm Stokes trong . parabolic, eliptic nói riêng hoặc phương trình đạo Sau đây ta xét một số tính chất của toán tử nửa hàm riêng nói chung. nhóm S(t ) . Giả sử 0 1 và t 0 . Khi đó ta 5. Kết luận t Lý thuyết nửa nhóm liên tục là một công cụ có sup e t . không thể thiếu trong việc nghiên cứu giải tích hiện 0 đại và đặc biệt là trong việc nghiên cứu về các phương trình đạo hàm riêng. Phương pháp nửa Suy ra A e tA A S(t ) e tdE là toán nhóm là một trong những phương pháp được quan 0 tâm nhiều nhất trong việc giải các bài toán về tính chất định tính của nghiệm trong các phương trình tử bị chặn với chuẩn A e tA t và chuyển động. Chính vì vậy, trong bài báo này, chúng tôi đã trình bày các kết quả quan trọng nhất e tAv D(A ) với mọi v L2 ( ) , liên quan đến đến nửa nhóm liên tục và các đánh giá với một số nửa nhóm liên tục thường gặp trong A e tAv e tAA v với mọi v D(A ) và các phương trình đạo hàm riêng. t 0 . Vậy A có thể giao hoán với toán tử e tA . TÀI LIỆU THAM KHẢO 3. Kết quả [1]. Hermann Sohr (2001), The Navier–Stokes Bài báo đã trình bày các kết quả sau: Equations, Birkhauser Advanced Texts, Birkhauser Định nghĩa nửa nhóm và nửa nhóm liên tục. Verlag, Basel. Các tính chất đặc trưng của nửa nhóm liên tục [2]. Lawrence C. Evans (1997), Partial và chứng minh các tính chất. Differential Equations, Graduate Studies in Một số ví dụ về nửa nhóm liên tục như nửa Mathematics, American Mathematical Society. nhóm Gauss-Weierstrass, nửa nhóm Poison, nửa [3]. Michael Taylor (2010), Partial Differential nhóm Stokes và các đánh giá liên quan thường Equations, Applied Math. Sci., Springer, USA. được sử dụng trong phương trình đạo hàm riêng. [4]. O. A. Ladyzhenskaya (1969), The 4. Thảo luận Mathematical Theory of Viscous Incompressible Trong bài báo này, chúng tôi đã trình bày và Flow, Gordon and Breach, New York chứng minh các tính chất đặc trưng của nửa nhóm liên tục, đưa ra một số nửa nhóm quan trọng và các ước lượng được dung trong các bài toán về sự tồn KH&CN QUI 21