Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn" vì một phần do những thách thức kể trên và cũng một phần do những ứng dụng vào các bài toán trung tâm của lý thuyết đa thế vị và giải tích phức như: Giải phương trình Monge-Ampère trên tập giải tích, đánh giá định lượng hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn

MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Hàm đa điều hoà dưới và tập giải tích là các đối tượng quan trọng của giải tích phức nhiều biến. Tuy nhiên việc nghiên cứu đồng thời hai đối tượng này còn ít được đề cập đến. Một trong những nguyên nhân là do sự hiện diện những điểm kỳ dị trên tập giải tích làm cho quá trình trơn hóa (hay là xấp xỉ địa phương bằng tích chập) các hàm đa điều hòa dưới hay kỹ thuật lấy bao trên của họ những hàm đa điều hòa dưới không còn tác dụng. Đây chính là hai công cụ kỹ thuật được coi là tiêu chuẩn của lý thuyết đa thế vị phức trên các tập mở trong Cn . Chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn " vì một phần do những thách thức kể trên và cũng một phần do những ứng dụng vào các bài toán trung tâm của lý thuyết đa thế vị và giải tích phức như: Giải phương trình Monge-Ampère trên tập giải tích, đánh giá định lượng hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích,... II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Để dễ theo dõi, ta bắt đầu bằng cách nhắc lại một số khái niệm cơ bản (xem [6]) về tập giải tích. Cho D là tập mở trong Cn . Một tập con đóng V của D được gọi là tập giải tích nếu với mọi z0 ∈ V ta tìm được lân cận mở U của z0 và một họ các hàm chỉnh hình {fi }i∈I xác định trên U sao cho V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) = 0, ∀i ∈ I}. Trên một tập giải tích có hai loại điểm là điểm kỳ dị và điểm chính qui. Điểm a ∈ V được gọi là điểm chính qui nếu tồn tại một lân cận U của a để V ∩ U là một đa tạp con phức số chiều k của U . Nói cách khác, tồn tại các hàm chỉnh hình f1 , ..., fn−k xác định trên U sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: a. V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) = 0, ∀1 6 i 6 n − k}; ∂fi b. rank ( )1≤i≤n−k,1≤j≤n = n − k. ∂zj Trong trường hợp này chúng ta sẽ viết dima V = k . Tập các điểm chính qui của V được ký hiệu là Vr và Vs := V \ Vr là tập các điểm kỳ dị của V . Số chiều của tập giải tích V được định nghĩa là dim V = max dima V. a∈Vr Chúng tôi sẽ tập trung tìm hiểu các vấn đề sau đây xoay quanh các hàm đa điều 1
hòa dưới xác định trên tập giải tích trong Cn . Vấn đề 1. Cho V là tập con giải tích của miền bị chặn D trong Cn . Tìm các điều kiện trên V để mọi hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên xác định trên V có thể xấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dưới trên V và liên tục trên V¯ . Từ đó tìm ứng dụng vào việc giải quyết bài toán Dirichlet với giá trị biên liên tục (có thể trừ ra một tập kỳ dị đủ nhỏ). Vấn đề 2. Xây dựng một cách định lượng những nguyên lý so sánh đối với các hàm đa điều hòa dưới bị chặn. Từ đó tìm áp dụng vào việc nghiên cứu các điều kiện đủ cho hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới thông qua hội tụ của giá trị biên của chúng cùng với hội tụ của dãy các độ đo Monge-Ampère tương ứng. Để hiểu rõ hơn các hướng nghiên cứu này, chúng tôi sẽ bình luận các kết quả mà những nhà toán học trước đó đã đạt được. Đối với những miền mở bị chặn trong Cn thì vấn đề 1 đã được nghiên cứu bởi F. Wikstrom và sau đó bởi N. Q. Diệu và Wikstrom cách đây khoảng 15 năm trong các công trình [18], [11], [8]. Điểm mấu chốt là các tác giả này sử dụng một định lý đối ngẫu cổ điển của Edwards trong [12] nhằm đưa bài toán xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới về việc so sánh các lớp độ đo Jensen ứng với những nón hàm đa điều hòa dưới khác nhau. Khi chuyển sang tập giải tích thì có một số kết quả ban đầu đạt được trong [19]. Những kết quả này có hạn chế là luôn giả thiết tập giải tích V đã có một lân cận mở B−chính qui trong Cn . Đối với vấn đề 2, ngoài các công trình kinh điển của Bedford và Taylor trong [2], [3], [4] hay Cegrell trong [5], chúng ta phải kể đến các kết quả gần đây hơn của Xing trong citeXi1 và nhất là [21], ở những công trình này, những đánh giá định lượng của nguyên lý so sánh đã được đưa ra. Một lần nữa, khi nghiên cứu bài toán xấp xỉ cho vấn đề thứ 2, chúng tôi đã phải vượt qua một khó khăn đáng kể là thiết lập các công thức tích phân từng phần cho các dòng dương trên những tập giải tích có kỳ dị Ngoài ra, một ý mới của chúng tôi là đã lần đầu tiên đề cập tới việc làm yếu điều kiện biên III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Một khó khăn khi làm việc với các tập giải tích là sự xuất hiện những điểm kỳ dị nên ngoài các phương pháp truyền thống của Nguyễn Quang Diệu và Frank Wikstrom (sử dụng các định lý đối ngẫu Edwards) hay của Bedford (nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère) trong trường hợp Cn , chúng tôi còn phải kết hợp với các công cụ mạnh của lý thuyết đa thế vị phức trên tập giải tích như những kết quả của Fornaess và Narasimhan về đặc trưng hàm điều hòa dưới, công thức tích phân từng phần đối với các dạng vi phân trên tập giải tích,... 2
Chương 1 Tổng quan về các vấn đề trong luận án 1.1 Hàm điều hòa dưới Ta bắt đầu bằng việc trình bày lại các định nghĩa cùng với một số kết quả về hàm điều hòa dưới trên C và sau đó là về hàm đa điều hòa dưới trên Cn . Dụng ý của chúng tôi là để cho bạn đọc hiểu được khái niệm hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích sẽ được trình bày sau đó. Các kết quả này cùng với những chứng minh chi tiết có thể tìm thấy trong cuốn sách kinh điển về lý thuyết đa thế vị phức [16]. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X → [−∞, +∞) gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi a ∈ R tập Xa = {x ∈ X : u(x) < a} là tập mở trong X . Hàm nửa liên tục trên có tính chất thú vị sau đây. Mệnh đề 1.1.2. Giả sử u là hàm nửa liên tục trên trên không gian tôpô X và K b X là tập compact. Khi đó u đạt cực đại trên K . Định nghĩa 1.1.3. Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu u nửa liên tục trên trên Ω, u 6≡ −∞ trên bất kì một thành phần liên thông của Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi ω ∈ Ω tồn tại % > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r < % ta có Z2π 1 u(w) 6 u(w + reit )dt. 2π 0 3
1.2 Hàm đa điều hòa dưới Định nghĩa 1.2.1. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u :−→ [−∞, +∞) là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω. Hàm u gọi là đa điều hòa dưới trên Ω (viết u ∈ P SH(Ω)) nếu với mọi a ∈ Ω và b ∈ Cn , hàm λ 7−→ u(a + λb) là điều hòa dưới hoặc bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}. Tương tự như hàm điều hòa dưới, ta có kết quả sau. Định lý 1.2.2. Giả sử u : Ω −→ [−∞, +∞) là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω ∈ Cn . Khi đó u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω ta có Z2π 1 u(a) 6 u(a + eiθ b)dθ. 2π 0 Bây giờ ta phát biểu định lí xấp xỉ chính cho các hàm đa điều hòa dưới tương tự như các hàm điều hòa dưới. Trong Chương 3, chúng ta phải áp dụng một kỹ thuật tinh tế hơn của Bedford về xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích bởi một dãy các hàm trơn, tựa đa điều hòa dưới. Định lý 1.2.3. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u ∈ P SH(Ω). Nếu ε > 0 sao cho Ωε : = {z ∈ Ω : d(z, ∂Ω) > ε} 6= ∅ thì u ∗ χε ∈ C ∞ (Ωε ) ∩ P SH(Ωε ). Họ {u ∗ χε : ε > 0} là đơn điệu giảm khi ε ↓ 0 và lim u ∗ χε (z) = u(z) ε→0 xảy ra với mọi z ∈ Ω. Quay trở lại nội dung chính của luận án. Chúng ta nghiên cứu hai vấn đề về hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích. Vấn đề đầu tiên là xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới trên các tập giải tích và tiếp theo là nghiên cứu nguyên lý so sánh với các hàm đa điều hòa dưới bị chặn cùng với ứng dụng vào nghiên cứu bài toán hội tụ của dãy hàm đa điều hòa dưới. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu lần lượt hai nội dung này. 4
1.3 Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới trên các tập giải tích trong Cn Hàm đa điều hòa dưới là một đối tượng quan trọng của giải tích phức. Tuy nhiên chúng mới chỉ được nghiên cứu nhiều trên tập mở của Cn và đa tạp phức. Nội dung của luận án là nghiên cứu xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dưới trên các tập giải tích trong Cn . Đó là các tính chất xấp xỉ của hàm đa điều hòa dưới trên các tập con nhỏ của một tập giải tích bởi các hàm đa điều hòa dưới trên những tập lớn hơn. Ngoài ra chúng tôi cũng nghiên cứu toán tử Monge-Ampère và phương trình Monge-Ampère trên tập giải tích. Ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản. Định nghĩa 1.3.1. Cho D là tập mở trong Cn và V là tập con đóng của D. Ta nói V là tập con giải tích của D nếu với mọi x ∈ V tồn tại một lân cận mở Ux ⊂ Cn của x sao cho Ux ∩ V là không điểm chung của một số các hàm chỉnh hình trên Ux . Những khái niệm số chiều của tập giải tích V , phần chính qui Vr và phần kỳ dị Vs của V đã được trình bày sơ lược ở phần mở đầu của luận án và không cần thiết nhắc lại ở đây. Ta chỉ cần nhớ ví dụ cơ bản sau đây về tập giải tích: Nếu V := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : z1 z2 = 0} thì Vr = V \ {(0, 0)} và Vs = {(0, 0)}. Hơn nữa dim V = 1. Gắn liền với khái niệm tập giải tích là các khái niệm hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trên những tập này. Chúng ta có các khái niệm sau đây được lấy trong [13]. Định nghĩa 1.3.2. Cho V là một tập giải tích trong miền bị chặn D của Cn . Một hàm f : V → C được gọi là chỉnh hình nếu về địa phương f là hạn chế trên V của các hàm chỉnh hình trên những tập mở của Cn . Định nghĩa 1.3.3. Cho V là một tập giải tích trong miền bị chặn D của Cn . Hàm nửa liên tục trên u : V → [ − ∞, ∞) gọi là đa điều hòa dưới nếu về địa phương u là hạn chế của các hàm đa điều hòa dưới trên những tập con mở của Cn . Tập các hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích V được ký hiệu là P SH(V ). Một vấn đề truyền thống của giải tích là xấp xỉ các hàm trên một tập nhỏ bởi những hàm có tính chất tốt hơn nhưng xác định trên các tập lớn hơn. Với ý tưởng này, chúng tôi đã chứng minh được những kết quả sau đây trong công trình [9]. Định lý 1.3.4. Cho V là tập giải tích trong miền D nằm trong Cn . Giả sử có một hàm đa điều hòa dưới liên tục âm vét cạn trên V. Khi đó với mọi hàm u đa 5
điều hòa dưới âm, liên tục trên V tồn tại một dãy các hàm đa điều hòa dưới hội tụ giảm về u trên V. Hơn nữa {uj } có giá trị biên bằng không với mọi j . Trong trường hợp V là tập mở trong Cn thì kết quả trên đã được chứng minh bởi Cegrell trong công trình [5]. Trong trường hợp của chúng tôi, chứng minh đòi hỏi những thay đổi đáng kể vì phép làm trơn bằng lấy tích chập cũng như chính qui hóa nửa liên tục trên không được thực hiện trên tập giải tích. Phát triển theo hướng nghiên cứu trên, chúng tôi có kết quả sau đây về xấp xỉ giá trị biên của hàm đa điều hòa dưới trên những tập giải tích B−chính qui. Nhắc lại định nghĩa sau đây trong [9]. Định nghĩa 1.3.5. Tập giải tích V gọi là B−chính qui nếu với mọi hàm liên tục ϕ : ∂V → R ta tìm được u ∈ P SH(V ) ∩ C(V ) sao cho u = ϕ trên ∂V. Định lý 1.3.6. Cho V là tập giải tích như trong định lý trên. Giả sử V là B - chính qui. Cho u là hàm đa điều hòa dưới âm trên V. Khi đó tồn tại dãy đa điều hòa dưới {uj } âm trên V , liên tục trên V¯ và hội tụ giảm về u∗ trên V¯ . Kết quả trên là mở rộng của một định lý của Wikstr¨om trong trường hợp tập mở B - chính qui trong Cn . Cũng như ở Định lý 1.3.4, chúng tôi cũng gặp những khó khăn khi làm việc với các hàm đa điều hòa dưới trên V do các phép làm trơn địa phương cũng như lấy chính qui hóa nửa liên tục trên không bảo toàn tính đa điều hòa dưới. Định lý 1.3.7. Cho V là một tập con giải tích Stein, bất khả quy địa phương trong miền bị chặn D ⊂ Cn . Giả sử tồn tại v ∈ P SH − (V ), v > −∞ trên V và một tập compact K ⊂ ∂V thỏa mãn các tính chất sau: (i) limv(z) = −∞, ∀ξ ∈ K. z→ξ (ii) Mỗi điểm ξ ∈ (∂V ) \ K có một cản địa phương đa điều hòa dưới liên tục. Khi đó với mọi ϕ ∈ C(∂V ) tồn tại duy nhất một hàm đa điều hòa dưới, bị chặn, liên tục và cực đại u trên V sao cho lim u(z) = ϕ(ξ), ∀ξ ∈ ∂V \ K. z→ξ,z∈V 1.4 Nguyên lý so sánh cho các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên các tập giải tích trong Cn Cho u ∈ PSH(V ), là một hàm bị chặn địa phương đa điều hòa dưới trên tập giải tích V . Giả sử dim V = k . Khi đó ta định nghĩa bằng qui nạp biểu thức sau trên 6
Vr , phần chính qui của V , (ddc u)m := ddc (u(ddc u)m−1 ) ∀ 1 6 m 6 k. Tiếp theo, độ đo (ddc u)k được xác định trên toàn thể V theo cách sau đây: Z Z c k (dd u) := (ddc u)k , E E∩Vr với mọi con Borel E của V . Định lý sau đây được chứng minh bởi Bedford vào đầu những năm 80 của thế kỷ trước. Định lý 1.4.1. Cho u, v là các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên V . Giả sử lim (u(z) − v(z)) ≥ 0. Khi đó ta có z→∂V Z Z c k (dd u) ≥ (ddc v)k . {u
Từ kết quả trên chúng tôi nhận được hệ quả sau đây cho phép so sánh các hàm đa điều hòa dưới thông qua độ lớn của chúng trên giá của những độ đo Monge-Ampère tương ứng. Hệ quả 1.4.3 (Hệ quả 1.4 trong [10]) Cho u, v ∈ P SH(V )∩L∞ loc (VR) và E ⊂ ∂V như ở trong định lý trên. Giả sử với 1 ≤ m ≤ k chúng ta có (ddc u)m ∧ {u
Chương 2 Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích và bài toán Dirichlet 2.1 Nội dung tóm tắt Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệu tóm tắt kết quả chính của chương. Các kết quả này được lấy ra từ bài báo [9]. Để phát biểu những kết quả này được thuận tiện, trước hết chúng ta sẽ giới thiệu những khái niệm cần thiết sau. Định nghĩa 2.1.1. Cho V là một tập con giải tích trong một miền bị chặn D ⊂ Cn . Với một z ∈ V¯ , chúng ta định nghĩa hai lớp của độ đo Jensen sau đây n Z o ¯ Jz = µ ∈ B(V ) : u(z) ≤ udµ, ∀ u ∈ P SH (V ) ; − V¯ n Z o Jzc = µ ∈ B(V¯ ) : u(z) ≤ udµ, ∀ u ∈ P SHc− (V ) ; V¯ ở đây P SHc− (V ) là nón gồm hàm liên tục âm trên V¯ và đa điều hòa dưới trên V, B(V¯ ) là tập độ đo xác suất Borel với giá trên V¯ . Kết quả sau đây cho thấy mối liên hệ giữa độ đo Jensen và tính xấp xỉ của hàm đa điều hòa dưới. Mệnh đề 2.1.2. Cho V là tập con giải tích trong một miền bị chặn D ⊂ Cn . Cho E là một tập con của V sao cho với mọi u ∈ P SH − (V ) tồn tại một dãy {uj }j≥1 ⊂ P SHc− (V ) có các tính chất sau: (i) uj → u trên E. (ii) lim uj ≤ u trên V¯ . j→∞ 9
Khi đó Jz = Jzc với mọi z ∈ E. Kết quả dưới đây cho một điều kiện đủ để sự xấp xỉ của hàm đa điều hòa dưới âm bởi hàm đa điều hòa dưới liên tục là xảy ra. Định lý 2.1.3. Cho V là tập con giải tích trong một miền bị chặn D ⊂ Cn . Giả sử tồn tại ψ ∈ P SH − (V ), ψ 6≡ −∞ thỏa mãn các điều kiện sau : (i) F := {z ∈ V : ψ(z) = −∞} là một tập con đóng của V. (ii) V \ F là tập giải tích bất khả quy địa phương trong D \ F. Giả sử tồn tại E ⊂ V sao cho Jz = Jzc với tất cả z ∈ V \ E. Khi đó với mọi u ∈ P SH − (V ), tồn tại hai dãy {uj }j≥1 ⊂ P SH − (V \ F ) và {vj }j≥1 ⊂ P SHc− (V ) có tính chất sau (a) uj ↓ u trên V \ F và uj là liên tục tại mọi điểm V \ (E ∪ F ). (b) vj → u trên V \ (E¯ ∪ F ) và lim vj ≤ u∗ trên V¯ . j→∞ (c) Giả sử V có chiều thuần túy k, E ¯ là đa cực trong V và hàm u là bị chặn địa phương trên V khi đó dãy {vj }j≥1 có thể chọn bị chặn đều địa phương trên V và (ddc vj )k → (ddc u)k trong tôpô yếu −∗ khi j → ∞. Kết quả tiếp theo đề cập tới một trường hợp mà tập E trong định lý trên có thể xuất hiện. Định lý 2.1.4. Cho V là một tập con giải tích Stein trong một miền bị chặn D ⊂ Cn . Giả sử tồn tại v ∈ P SH − (V ), v 6≡ −∞ và một compact K ⊂ ∂V thỏa mãn các tính chất sau: (i) limv(z) = −∞, ∀ξ ∈ K. z→ξ (ii) Jξc = {δξ }, ∀ξ ∈ (∂V ) \ K. Khi đó ta có các khẳng định sau: (a) Với mọi z ∈ V \ E, E := {z ∈ V : v(z) = −∞} ta có Jz = Jzc . (b) Giả sử V là bất khả quy địa phương khi đó với mọi u ∈ P SH − (V ) tồn tại một dãy uj ∈ P SH − (V ) sao cho uj liên tục tại mọi điểm của U := V¯ \ (K ∪ E) và u∗j ↓ u∗ trên U. Nhắc lại rằng tập giải tích V được gọi là Stein nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ϕ trên V sao cho {z ∈ V : ϕ(z) < c} b V với mọi c ∈ R. Ta gọi ϕ là một hàm vét cạn đa điều hòa dưới của V. Định lý dưới đây nghiên cứu sự tồn tại của một hàm đa điều hòa dưới cực đại 10
liên tục bị chặn u trên V sao cho giá trị biên của u trùng với một hàm liên tục cho trước trên ∂V . Nhắc lại rằng u ∈ P SH(V ) được gọi là cực đại nếu với mọi tập mở compact tương đối U của V và mọi v ∈ P SH(V ) sao cho v ≤ u trên V \ U ta có v ≤ u trên V. Định lý 2.1.5. Cho V là một tập con giải tích Stein bất khả quy địa phương trong miền bị chặn D ⊂ Cn . Giả sử rằng v ∈ P SH − (V ), v > −∞ trên V và một compact K ⊂ ∂V thỏa mãn các tính chất sau: (i) limv(z) = −∞, ∀ξ ∈ K. z→ξ (ii) Mỗi điểm ξ ∈ (∂V ) \ K có một cản địa phương đa điều hòa dưới liên tục. Khi đó với mọi ϕ ∈ C(∂V ) tồn tại duy nhất một hàm đa điều hòa dưới liên tục cực đại u trên V sao cho lim u(z) = ϕ(ξ), ∀ξ ∈ ∂V \ K. z→ξ,z∈V Kết quả trên của chúng ta tổng quát hơn Định lý 2.3 trong [19] bởi vì chúng ta không giả sử sự tồn tại của một lân cận B - chính quy của V trong Cn . Định lý cuối cùng của chương là tương tự như Định lý 2.1.3 và Định lý 2.1.4. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thay giả thiết về tính khả quy định phương của V bởi các điều kiện mạnh hơn trên ∂V và hàm vét cạn của V . Định lý 2.1.6. Cho V là một tập con giải tích trong một miền bị chặn D ⊂ Cn có các tính chất sau: (i) Jξc = {δξ }, ∀ξ ∈ ∂V. (ii) Tồn tại hàm đa điều hòa dưới vét cạn liên tục âm ρ cho V. Khi đó với mọi u ∈ P SH − (V ) tồn tại dãy giảm {uj }j >1 ⊂ P SHc− (V ) sao cho uj ↓ u∗ trên V¯ . 2.2 Một số kết quả bổ trợ Để chứng minh các kết quả của phần trước, chúng tôi cần một số kiến thức chuẩn bị về hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích cũng như định lý đối ngẫu của Edwards về biểu diễn bao trên các hàm đa điều hòa dưới. Cho V là tập con giải tích trong miền D ⊂ Cn (n > 2). Ký hiệu PSH(V ) là nón các hàm đa điều hòa dưới trên V và PSH− (V ) là nón của các hàm âm, nửa liên tục trên xác định trên V¯ và đa điều hòa dưới trên V. Công cụ chính của chúng ta là một định lý đối ngẫu của Edwards về bao trên của hàm đa điều hòa dưới 11
được lấy trong nón con lồi của P SH(V ). Hướng tiếp cận này đã được sử dụng lần đầu tiên trong công trình [19], [11] và sau đó được phát triển trong [8] khi V = D là miền bị chặn của Cn . Nguyên lý chung là phần tử trong một nón A ⊂ PSH− (V ) được xấp xỉ bởi phần tử trong một nón nhỏ hơn B khi chúng ta có đẳng thức của tập độ đo Jensen đối với A và B. Tuy nhiên, có hai vấn đề ký thuật phải khắp phục. Thứ nhất là cách lấy tích chập để xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới trên V là không khả thi, thứ hai là chính qui hóa của bao trên một họ hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên đều địa phương không nhất thiết đa điều hòa dưới (xem Ví dụ 1.4 trong [22]). Vì thế, chúng ta phải tạo thêm điều kiện để vượt qua những trở ngại này. Đối với vấn đề thứ nhất ta giả sử tồn tại một hàm vét cạn hàm đa điều hòa dưới trên V, khi đó ta có thể áp dụng một định lý xấp xỉ của Fornaess và Narasimhan (xem Định lý 5.5 trong [13]), phần còn lại được giải quyết bằng cách đặt một số hạn chế trên phần không bất khả quy địa phương của V (xem Định lý 2.1.3). Định lý sau đây được chứng minh bởi Edwards trong [12] và sau đó được áp dụng bởi Wikstom cho trường hợp đặt biệt khi F là nón những hàm đa điều hòa dưới âm. Định lý 2.2.1. Cho F được định nghĩa như trên, nếu g là một liên tục dưới trên X. Khi đó Sg = Ig. Việc sử dụng định lý đối ngẫu của Edward trong lý thuyết đa thế vị đã được sử dụng lần đầu tiên trong công trình nền tảng [17]. Đặc biệt, trong [17], bài toán Dirichlet đối với miền bị chặn trong Cn đã được giải quyết triệt để. Trong trường hợp này, bằng cách áp dụng định lý như trên đến nón lồi F1 := P SH − (V ) và F2 := P SHc− (V ) chúng tôi thu được kết quả sau. Định lý 2.2.2. Cho ϕ : V¯ → (−∞, +∞] là một hàm nửa liên tục dưới. Khi đó ta có nZ o n o inf − ¯ ϕdµ, µ ∈ Jz = sup u(z) : u ∈ P SH (V ), u ≤ ϕ trên V , ∀z ∈ V V¯ nZ o n o inf ϕdµ, µ ∈ Jzc = sup u(z) : u ∈ P SHc− (V ), u ≤ ϕ trên V , ∀z ∈ V¯ ¯ V¯ . Chúng ta cũng cần những bổ đề sau về dán các hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích. Đây là những hệ quả đơn giản của đặc trưng Fornaess-Narasimhan về tính đa điều hòa dưới trên tập giải tích. Bổ đề 2.2.3. Cho V là một tập con giải tích của một miền D ⊂ Cn , U ⊂ V là 12
tập mở và u ∈ P SH(V ), v ∈ P SH(U ). Giả sử rằng lim v(ξ) ≤ u(z) ∀z ∈ ∂U. ξ−→z Khi đó hàm ( max{u, v} trên U w := u trên V \ U là đa điều hòa dưới trên V . Bổ đề 2.2.4. Cho V là tập con giải tích của một miền bị chặn D ⊂ Cn . Giả sử tồn tại ψ ∈ P SH − (V ), ψ 6≡ −∞ thỏa mãn theo điều kiện (i) và (ii) trong Định lý 2.1.3. Khi đó với hàm nửa liên tục trên ϕ : V → [−∞, 0) bất kỳ ta có v = v ∗ ∈ P SH − (V \ F ), ở đây v(z) := sup{u(z) : u ∈ P SH − (V ), u ≤ ϕ trên V }, z ∈ V. 2.3 Kết luận của Chương 2 Các kết quả chính của chúng tôi trong Chương 2 liên quan tới xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên tập giải tích V có số chiều k trong miền bị chặn D trong Cn . Kết quả đầu tiên là Mệnh đề 2.1.2 cho ta thấy mối liên hệ giữa các lớp độ đo Jensen và bài toán xấp xỉ. Tiếp theo là Định lý 2.1.3 cho một điều kiện đủ để mọi hàm đa điều hòa dưới âm u trên V là được xấp xỉ bởi một dãy hàm đa điều hòa dưới trên V và liên tục trên V¯ . Giả thiết cốt yếu là sự tồn tại của một tập E trong V để hai lớp độ đo Jensen Jz và Jzc là trùng nhau ngoài tập E . Điểm đáng chú ý của định lý này là chúng ta xét đến sự hội tự của dãy các độ đo Monge-Ampère tương ứng. Cần lưu ý rằng giả thiết về tính bất khả qui địa phương được đặt ra vì chúng tôi muốn xây dựng hàm xấp xỉ bằng cách lấy bao trên của một họ các hàm đa điều hòa dưới. Nếu ta có một cách xây dựng hàm đa điều hòa dưới không cần sử dụng bao trên thì giả thiết này là không cần thiết. Tiếp sau định lý trên, Định lý 2.1.4 đề cập đến một tình huống mà tập loại trừ E trong Định lý 2.1.3 có thể xuất hiện. Ta có thể hiểu tập E lúc này là bao đa điều hòa dưới của một tập kỳ dị đủ nhỏ nằm trên biên của V . Điểm đáng chú ý là ta cần một giả thiết kỹ thuật là tập giải tích V là Stein (tồn tại một hàm đa điều hòa dưới vét cạn trên V ). Kết quả trên là mạnh hơn một định lý đã biết của Wikstrom [19] bởi vì ta không cần giả thiết V có một lân cận B - chính qui trong Cn . Một kết quả khác của phần này là Định lý 2.1.5 cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet với giá trị biên liên tục trên V . Các kết quả của Chương 2 trong luận án là được viết dựa trên công trình [9]. 13
Ta kết thúc mục này bằng cách nêu ra những vấn đề mở mà không thể khắc phục dễ dàng bằng phương pháp của chúng tôi. A. Kết luận của Định lý 2.1.4 còn đúng không nếu V không là Stein? Trong trường hợp V là tập mở của Cn thì giả thiết này là không cần thiết. Ta cần giả thiết này chỉ để áp dụng định lý xấp xỉ của Fornaess và Narasimhan. B. Chúng tôi cũng không biết Định lý 2.1.5 còn đúng không nếu ta không giả thiết v > −∞ khắp nơi trên V. C. Tương tự với trường hợp V là tập hợp mở của Cn (xem [17]), một tập con giải tích V trong D ⊂ Cn được gọi là B - chính qui nếu mọi hàm giá trị thực liên tục ϕ trên ∂V có thể mở rộng đến hàm liên tục trên V¯ mà đa điều hòa dưới trên V. Rõ ràng, nếu D là B - chính qui thì mọi tập giải tích phức V của D cũng là B - chính qui. Một câu hỏi tự nhiên là nếu V là B - chính qui thì khi đó có tồn tại 0 0 0 hay không tập mở D của D sao cho D là B− chính qui (trong Cn ) và V ⊂ D ? Câu hỏi này được lấy cảm hứng từ một định lý nổi tiếng của Siu nói rằng mọi đa tạp Stein trong một miền của Cn có một lân cận mở Stein (trong Cn ). 14
Chương 3 Nguyên lý so sánh cho hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích 3.1 Nội dung tóm tắt Để dễ theo dõi, chúng ta sẽ trình bày tóm tắt các kết quả chính của chương này. Nội dung của chương đã được đăng ở công trình [10]. Ý tưởng mới của chúng ta trong chương này là mở rộng nguyên lý so sánh cổ điển của Bedford-Taylor (Định lý 4.1 trong [2]) và nguyên lý so sánh mạnh của Xing trong [20] cho các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên tập con giải tích trong miền bị chặn của Cn . Hơn nữa chúng ta muốn giảm nhẹ các điều kiện biên của u và v . Một thay đổi nữa là chúng ta muốn thay thế các biểu thức (v − u)n trong Định lý 3.1.2 bằng hợp thành của v − u với những hàm thực trơn thích hợp. Một hàm χ : (0, ∞) → (0, ∞) được gọi là m- tăng, (m ≥ 1) nếu χ ∈ C m (0, ∞), χ(j) là tăng và không âm trên (0, ∞) với mọi 0 ≤ j ≤ m. Với mỗi một hàm m- tăng χ, chúng ta thiết lập m−1 X (j) (j) χ (0) := lim χ (t), Pm (χ) := χ(j) (0). t→0 j=0 Trong toàn bộ chương này chúng ta sẽ kí hiệu V là một tập con giải tích trong miền bị chặn D trong Cn với dim V = k, 1 ≤ k ≤ n − 1. Biên của V (kí hiệu ∂V ) được hiểu là ∂D ∩ V . Một tập con E ⊂ ∂V được gọi là khử được nếu tồn tại ψ ∈ P SH − (V ) ∩ L∞ loc (V ) sao cho lim ψ(z) = −∞, ∀ξ ∈ E. z→ξ Kết quả chính của chương này là nguyên lý so sánh sau đây. Định lý 3.1.1. Cho u, v ∈ P SH(V ) ∩ L∞loc (V ) và E ⊂ ∂V là một tập khử được. Giả sử rằng u, v và E thỏa mãn các điều kiện sau: 15
(a) inf (u(z) − v(z)) > −∞. z∈V (b) lim(u(z) − v(z)) ≥ 0 với mọi ξ ∈ (∂V ) \ E. z→ξ Khi đó với mọi số nguyên m với 1 ≤ m ≤ k và mọi m− hàm tăng χ : (0, ∞) → (0, ∞) chúng ta có Z χ ◦ (v − u)ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk {u
trong P SH(V ) ∩ L∞ (V ). Kết quả này là tương tự của Định lý 3 trong [20] và Định lý 3.5 trong [15]. Hệ quả 3.1.4. Cho u, {uj } ⊂ P SH(V ) ∩ L∞ (V ). Cho χ : (0, ∞) → (0, ∞) là một hàm liên tục tăng . Giả sử rằng u, uj thỏa mãn các điều kiện sau : (a) lim (u(z) − uj (z)) = 0 với mỗi j ≥ 1; z→∂V R R (b) lim χ ◦ (u − uj )d|µj | = lim χ ◦ (uj − u)d|µj | = 0 Ở đây µj := j→∞ j→∞ {uj u} (dd uj ) − (ddc u)k . c k Khi đó uj → u theo dung lượng trên V . 3.2 Một số kết quả bổ trợ Chúng ta sẽ giữ lại các khái niệm và ký hiệu về tập giải tích và hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích như trong Chương 2. Để xác định toán tử Monge-Ampere trên tập con giải tích V số chiều k của một tập con D trong Cn , 1 ≤ k ≤ n, ta chú ý rằng theo một kết quả cơ bản của Lelong (xem trang 32 trong [14]), tập Vr có độ đo hữu hạn gần mọi điểm của Vs . Do đó mỗi v ∈ P SH(V ) ∩ L∞ loc (V ) c xác định một dòng bậc 0 trên V . Do đó chúng ta có thể xem dd v như là một dòng song bậc (1, 1) trên V . Tiếp theo, chúng ta quay lại toán tử Monge - Ampere với các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương trên V . Theo Bedford trong [1], toán tử Monge - Ampere (ddc )k : P SH(V ) ∩ L∞ loc (V ) −→ Mk,k (V ), ở đây Mk,k (V ) là tập các độ đo Radon trên V , có thể xác định theo cách thông thường trên tập các điểm chính qui Vr của V như trong [2]. Cụ thể là cho u ∈ P SH(V ) ∩ L∞ loc (V ), chúng ta xác định bằng quy nạp trên Vr các dòng sau (ddc u)m := ddc (u(ddc u)m−1 ), 1 ≤ m ≤ k, và các độ đo (ddc u)k mở rộng tầm thường qua tập kỳ dị Vs nghĩa là với tập hợp Borel E ⊂ V ta xác định Z Z c k (dd u) := (ddc u)k . E E∩Vr Với một tập hợp con Borel E của tập hợp mở Ω ⊂ V, dung lượng tương đối của E đối với Ω được xác định bởi nZ o C(E, Ω) = sup (ddn u)k : u ∈ P SH(Ω) : −1 < u < 0 . E 17
Một kết quả cơ bản của Bedford (Bổ đề 3.1 trong [1]) khẳng định rằng Vs thực ra là có dung lượng ngoài bằng 0. Bổ đề 3.2.1. Với mọi tập hợp con mở Ω của V và ε > 0, tồn tại lân cận mở U của Vs trong Ω sao cho C(U, Ω) < ε. Chúng ta cũng sẽ sử dụng kết quả quan trọng sau đây về sự hội tụ yếu của các dòng trên V. Mệnh đề 3.2.2. Cho p, q, r là số nguyên không âm và {u1,j }, · · · , {up,j }, {v1,j }, · · · , {vq,j }, {w1,j }, · · · , {wr,j } là dãy trong P SH(V ) đơn điệu giảm về các hàm u1 , · · · , up , v1 , · · · , vq , w1 , · · · , wr ∈ P SH(V ) ∩ L∞ loc (V ). Với mỗi j, xác định các dòng Tj := du1,j ∧ · · · ∧ dup,j ∧ dc v1,j ∧ · · · ∧ dc vq,j ∧ ddc w1,j ∧ · · · ∧ ddc wr,j . Khi đó chúng ta có các khẳng định sau: (a) Các biến phân toàn phần kTj k là bị chặn đều trên tập hợp compact của V ; (b) Tj hội tụ yếu tới T := du1 ∧ · · · ∧ dup ∧ dc v1 ∧ · · · ∧ dc vq ∧ ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wr ; (c) Giả sử {ψj } , ψ là hàm tựa liên tục trên V và bị chặn đều địa phương và nếu ψj hội tụ tựa điều địa phương về ψ khi đó ψj Tj hội tụ yếu về ψT. Bây giờ chúng ta đề cập tới cách xấp xỉ trơn hàm đa điều hòa dưới trên V . Giả sử ψ ∈ P SH(V ), lấy U := {Ul } là một phủ mở của V sao cho với mỗi l thì Ul là một tập con giải tích của một tập con mở U ˜l của D. Khi đó tồn tại ψ˜l ∈ P SH(U˜l ) với ψ˜l = ψ trên Ul . Tiếp theo, chúng ta cho {χl } là một phân hoạch của đơn vị tương thích với U˜ := {U ˜l }. Với mọi l, khi đó bằng phép lấy tích chập ψ˜l với các nhân trơn chuẩn tắc ρδ trên Cn , chúng ta có các hàm đa điều hòa dưới trơn ψ˜l,δ trên một lân cận của supp χl với δ > 0 đủ bé. Bây giờ chúng ta xét tổng X ψ δ := χl ψ˜l,δ . Rõ ràng ψ δ là trơn trên một lân cận của K với mọi compact K con của V. Hơn nữa, ψ δ ↓ ψ trên V khi δ → 0. Chú ý rằng ψ δ 6∈ P SH(V ). Bây giờ, giả sử u1 , · · · , uk ∈ P SH(V ) ∩ L∞ loc (V ). Chọn một phủ mở U := {Ul } của V và một phân hoạch của dơn vị {χl } tương thích với U˜ chung cho tất cả các hàm đa điều hòa dưới u1 , · · · , uk . Khi đó chúng ta có kết quả xấp xỉ sau của Bedford trong [1]. 18
Mệnh đề 3.2.3. Cho {fj }, f là các hàm bị chặn đều địa phương tựa liên tục trên V . Giả sử {fj } hội tụ đều địa phương về f. Khi đó với mọi dãy {δj } ↓ 0, δ δ các dòng fj ddc u1j ∧ · · · ∧ ddc ukj hội tụ yếu tới f ddc u1 ∧ · · · ∧ ddc uk khi j → ∞. Kết quả bổ trợ cuối cùng của ta liên quan sự xấp xỉ của một m- tăng bởi một dãy các hàm m−tăng trơn. Bổ đề 3.2.4. Cho m ≥ 1 là số nguyên và χ : (0, ∞) → (0, ∞) là một m- tăng. (l) Khi đó tồn tại một dãy {χj } gồm các m- tăng, trơn sao cho {χj } hội tụ đều địa phương trên [0, ∞) đến χ(l) với 0 ≤ l ≤ m. 3.3 Nguyên lý so sánh mạnh Để chứng minh Định lý 3.1.1, ngoài kiến thức bổ trợ ở phần trước chúng ta còn cần tới một số kết quả về tích phân từng phần của dạng vi phân trên tập giải tích. Trong hai bổ đề dưới đây, chúng ta sẽ ký hiệu ϕ là một hàm giá trị thực, khả vi liên tục cấp 2 trên (0, ∞). Bổ đề 3.3.1. Cho u, v ∈ P SH(V ) ∩ L∞ loc (V ) với u < v trên V . Khi đó ta có các đẳng thức về dòng sau đây trên V. (a) ddc (ϕ ◦ (v − u)) = ϕ0 ◦ (v − u)ddc (v − u) + ϕ00 (v − u)d(v − u) ∧ dc (v − u). (b) Nếu ϕ00 ≥ 0 trên (0, ∞) thì khi đó ddc (ϕ ◦ (v − u)) ≥ ϕ0 ◦ (v − u)ddc (v − u). Bổ đề 3.3.2. Cho u, v, w1 , · · · , wk ∈ P SH(V ) ∩ L∞ loc (V ). Giả sử rằng u ≤ v trên V, u = v ngoài một tập hợp con compact K của V . Khi đó với ε > 0 và tập hợp mở V 0 sao cho K ⊂ V 0 ⊂⊂ V chúng ta có Z ϕ ◦ (v + ε − u)ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk V 0Z = w1 ddc (ϕ ◦ (v + ε − u)) ∧ ddc w2 ∧ · · · ∧ ddc wk V0 Z + ϕ(ε) ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk . V0 Bổ đề tiếp theo là một trường hợp đặc biệt của Định lý 3.1.3, đây cũng là bước cốt lối trong chứng minh của định lý này. Bổ đề 3.3.3. Cho u, v ∈ P SH(V ) ∩ L∞ (V ) sao cho u ≤ v trên V và u = v 19
ngoài một tập hợp con compact K của V . Khi đó với 1 ≤ m ≤ k chúng ta có Z χ ◦ (v − u)ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk VZ + (−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc v)m ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk ZV ≤ (−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc u)m ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk V Z + Pm (χ) ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk , V ở đây w1 , · · · , wk ∈ P SH(V ) ∩ L∞ loc (V ) thỏa mãn wj < 0 với 1 ≤ j ≤ m và wj ≥ −1 với 2 ≤ j ≤ m. 3.4 Kết luận của Chương 3 Chương 3 của luận án là trình bày các dạng mạnh của nguyên lý so sánh cho những hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên tập giải tích. Kết quả chính của chúng tôi là Định lý 3.1.1 cho một ước lượng về sai số giữa những độ đo Monge-Ampère của các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương trên một tập giải tích trong một tập mở của Cn . Điểm đặc biệt là chúng tôi đã đưa vào các hàm m−tăng và các tập kỳ dị nhưng khử được trên biên của V nhằm nâng cấp phạm vi ứng dụng của nguyên lý so sánh này so với những nguyên lý so sánh đã biết trước đó như của Bedford-Taylor trong [2] hay thậm chí của Xing trong [20]. Trong trường hợp đặc biệt V = D, m = k = n và χ(t) = tn , nguyên lý so sánh của chúng ta suy ra ngay nguyên lý so sánh của Xing, thậm chí với một ước lượng tốt hơn bởi vì χ(n) ≡ n! < (n!)2 . Sử dụng Định lý 3.1.1 chúng ta thu được một số hệ quả như Hệ quả 3.1.2 về tính chất trội của hàm đa điều hòa dưới và Hệ quả 3.1.3, Hệ quả 3.1.4 nhằm đưa ra mối liên hệ giữa hội tụ theo dung lượng và hội tụ điểm của dãy các hàm đa điều hòa dưới với cùng giá trị biên. Các kết quả của Chương 3 được viết dựa trên công trình [10]. Chúng tôi muốn mở rộng các kết quả về nguyên lý so sánh cho các hàm thuộc lớp năng lượng Cegrell như trong [21]. Khó khăn chủ yếu là phát hiện ra các dạng của công thức tích phân từng phần cho những hàm đa điều hòa dưới không bị chặn địa phương. 20