intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY

Chia sẻ: Nguyễn Đăng Khoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST
Báo xấu
1.556
lượt xem 458
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY

  1. www.laisac.page.tl  H  N  G  Ả  T  C  T  O  G M ẶT P HẲ  G O  Y  HÌ  H  GI  I  TÍ  H  TR ON  MẶ  PH  N  OX    ÌN IẢ ÍC RN ẲN XY Thầy Trần Phương PHƯƠ NG TRÌNH Ư N G TH N G TRONG M T P H N G I. VÉCTƠ C TRƯNG C A Ư NG TH NG: 1. Véctơ v = ( a1 ; a 2 ) là véc tơ c h phươ ng (VTCP) c a (∆) ⇔ (∆) // giá c a v 2. Véctơ n = ( a; b ) là véc tơ pháp tuy n (VTPT) c a (∆) ⇔ (∆) ⊥ giá c a n 3. N h n x ét: (∆) có vô s véctơ c h phươ ng và vô s véctơ pháp tuy n ng th i v ⊥ n . I I. PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG 1. P hươ ng trình tham s : PT t (∆) i qua M0(x 0, y0) và có VTCP v = ( a1 ; a 2 ) :  x = x 0 + a1t  (t ∈ » )   y = y 0 + a 2t  2. P hương trình chính t c : PT t (∆) i qua M0(x 0, y0) và có VTCP v = ( a1 ; a 2 ) : x − x0 y − y0 = a1 a2 3. P hương trình h s góc: PT t (∆) v i h s góc a là: y = ax + b. 4. P hương trình t ng quát: PT t (∆) t ng quát: Ax + By + C = 0 v i A 2 + B 2 > 0 N h n x ét: (∆): Ax + By + C = 0 v i A 2 + B 2 > 0 có VTCP v = ( B; − A ) và VTPT n = ( A; B ) 5. P hương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i h s góc k là: y = k ( x − x 0 ) + y 0 6. P hương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i VTPT n = ( A; B ) là: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 7. P hương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i VTCP v = ( A; B ) là: B ( x − x0 ) − A ( y − y 0 ) = 0 x − x1 y − y1 8. P hương trình t (∆) i qua 2 i m M1(x1, y1), M2(x2, y2): = x 2 − x1 y 2 − y1 y 9. P hương trình o n ch n i qua A(0; a), B(0; b) là: x + = 1 ab 10. P hươ ng trình chùm ư ng th ng: Cho 2 ư ng th ng c t nhau ( ∆ 1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; ( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0 v i I = ( ∆1 ) ∩ ( ∆ 2 ) . ư ng th ng (∆) i qua I là: p ( a1 x + b1 y + c1 ) + q ( a 2 x + b2 y + c2 ) = 0 v i p 2 + q 2 > 0 11
  2. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương I II. V TRÍ TƯƠNG IC A2 Ư NG TH NG  x = x1 + a1t  1. D n g tham s : (t ∈ ») , (∆1) i qua M1(x 1; y1):   y = y1 + b1t  x = x2 + a2t  (t ∈ ») (∆2) i qua M2(x 2; y2):   y = y 2 + b2 t  N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v 2 = ( a 2 ; b2 ) ⇔ a1b2 − a 2 b1 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) ∩ ( ∆ 2 ) = i m I. a1b2 − a 2 b1 = 0  N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v 2 = ( a 2 ; b2 ) // M 1 M 2 ⇔  a1 ( y 2 − y1 ) − b1 ( x 2 − x1 ) ≠ 0  thì (∆1) // (∆2). a1b2 − a 2 b1 = 0  N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v 2 = ( a 2 ; b2 ) // M 1 M 2 ⇔  a1 ( y 2 − y1 ) − b1 ( x 2 − x1 ) = 0  thì (∆1) ≡ (∆2). ( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; n1 = ( a1 ; b1 )  2. D n g t n g quát:  ; ( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0; n 2 = ( a 2 ; b2 )  a b1 b c1 c a1 D= 1 ; Dx = 1 ; Dy = 1 a 2 b2 b2 c 2 c2 a2  D Dy  N u D ≠ 0 ⇔ a1b2 − a 2 b1 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) ∩ ( ∆ 2 ) = i m I  x ;  D D a1 a 2 c1 2 2 N u D = 0 và D x + D y > 0 ⇔ = ≠ thì (∆1) // (∆2). b1 b2 c 2 a1 a 2 c1 = = N u D = Dx = D y = 0 ⇔ thì (∆ 1) ≡ (∆2). b1 b2 c 2 I V. GÓC GI A 2 Ư NG TH NG: 1. D n g h s g óc: ( ∆ 1 ) : y = a1 x + b1  a − a2 . Góc ( ∆ 1 , ∆ 2 ) = α ∈ [ 0; 90°] : tg α = 1 C ho  1 + a1 a 2 ( ∆ 2 ) : y = a 2 x + b1  2. D n g t n g quát: ( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; n1 = ( a1 ; b1 )  a1 a 2 + b2 b2 C ho  ; cos α = ( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0; n 2 = ( a 2 ; b2 ) a1 + b12 a 2 + b2 2 2 2  12
  3. Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t p h ng V. KHO NG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH Ư NG PH N GIÁC ax0 + by0 + c n (∆): ax + by + c = 0 là: d ( M , ( ∆) ) = 1. Kho ng cách t M0(x0, y0) a 2 + b2 ( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0  2. C ho  c t nhau thì phươ ng trình 2 ư ng phân giác ( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0  a1 x + b1 y + c1 a x + b2 y + c 2 =± 2 2 2 2 2 a1 + b1 a 2 + b2 D u hi u Phân giác góc nh n Phân giác góc tù a1 x + b1 y + c1 a 2 x + b2 y + c2 a1 x + b1 y + c1 a 2 x + b2 y + c 2 = =− a1a2 + b1b2 > 0 a12 + b12 2 2 a12 + b12 2 2 + b2 a2 + b2 a2 a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c 2 a1 x + b1 y + c1 a 2 x + b2 y + c 2 =− = a1a2 + b1b2 < 0 a12 + b12 2 2 a12 + b12 2 2 a 2 + b2 a 2 + b2 V I. CÁC BÀI T P M U MINH H A B ài 1. Trên m t ph ng Oxy c ho i m A(2;−2). Vi t phươ ng trình ư ng th ng ∆ i qua i m M ( 3;1) và c t tr c Ox, Oy t i B và C sao cho tam giác ABC cân Gi i y G i B ( b; 0 ) = ∆ ∩ Ox và C ( 0; c ) = ∆ ∩ Oy suy ra (∆): x + = 1 ( bc ≠ 0 ) bc M (3;1) ∈ ( ∆) ⇒ 3 + 1 = 1 , (1). Tam giác ABC cân t i A ⇔ AB 2 = AC 2 bc b − 2 = c + 2 b = c + 4 2 2 ⇔ (b − 2) + 4 = 4 + ( c + 2) ⇔  ⇔ b − 2 = −c − 2 b = −c c = 2, b = 6 y y ⇒ (∆ 1 ) : x + = 1; (∆ 2 ) : x + V i b = c + 4 : (1) ⇔ c 2 = 4 ⇔  =1 2 −2 62 c = −2, b = 2 V i b = −c : (1) ⇔ b = 2 ⇒ c = −2 (lo i, do trùng v i ( ∆ 2 ) ) B ài 2. Cho tam giác ABC có nh A(–1; –3) a. Gi s hai ư ng cao (BH): 5 x + 3 y − 25 = 0 , (CK): 3x + 8 y − 12 = 0 . Hãy vi t phươ ng trình c nh BC. b . Gi s ư ng trung tr c c a AB là (∆): 3x + 2 y − 4 = 0 và G(4; – 2) là tr ng tâm c a tam giác ABC. Xác nh t a c ác nh B và C . 13
  4. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương Gi i a. (AB) ⊥ (CK) nên (AB) có phươ ng trình là 8 x − 3 y + c = 0 i m A ∈ ( AB ) ⇔ c = −1 ⇒ ( AB ) : 8 x − 3 y − 1 = 0 . ( AC ) ⊥ ( BH ) nên ( AC ) có phươ ng trình 3x − 5 y + m = 0 i m A ∈ ( AC ) ⇒ m = −12 ⇒ ( AC ) : 3 x − 5 y − 12 = 0 8 x − 3 y − 1 = 0 B ≡ ( BH ) ∩ ( AB ) ⇒ T a ⇒ B ( 2;5 ) c a B th a m ãn h :  5 x + 3 y − 25 = 0 3 x − 5 y − 12 = 0 C ≡ (CK ) ∩ ( AC ) ⇒ T a ⇒ C ( 4; 0 ) c a C th a m ãn h :  3 x + 8 y − 12 = 0 y−5 Phươ ng trình c nh BC là (BC): x − 2 = ⇔ 5 x + 2 y − 20 = 0 4−2 0−5 b . (AB) ⊥ ( ∆ ) : 3x + 2 y − 4 = 0 và ch a A(− 1;−3) ⇒ ( AB ) : 2( x + 1) − 3( y + 3) = 0 hay ( AB) : 2x − 3 y − 7 = 0 . G i M là trung i m AB suy ra t a c a M th a h : x B = 2xM − x A = 5 3 x + 2 y − 4 = 0 ⇒ B ( 5;1) ⇒ M ( 2; −1) , khi ó:    yB = 2yM − y A =1 2 x − 3 y − 7 = 0  x A + x B + xC = 3xG  i m G(4;− 2) là tr ng tâm ∆ ABC nên:   y A + y B + yC = 3yG  −1 + 5 + x C = 12  xC = 8   ⇒ C ( 8; −4 ) . V y B ( 5;1) , C ( 8; 4 ) ⇔ ⇔ −3 + 1 + y C = −6  y C = −4   B ài 3. Cho (d 1 ) : x + y + 5 = 0; (d 2 ) : x + 2 y − 7 = 0 và i m A ( 2;3) . Tìm B ∈ (d 1 ) và C ∈ (d 2 ) sao cho ∆ ABC có tr ng tâm G ( 2; 0 ) . Gi i t B ( t1 ; −t1 − 5 ) ∈ (d 1 ) và C ( 7 − 2t 2 ; t 2 ) ∈ (d 2 )  x A + x B + x C = 3xG  i m G(2; 0) là tr ng tâm ∆ ABC nên:   y A + y B + yC = 3 yG  2 + t1 + 7 − 2t 2 = 6 t1 − 2t 2 = −3 t1 = −1 . V y B ( −1; 4 ) , C ( 5;1) ⇔ ⇔ ⇔ 3 − t1 − 5 + t 2 = 0 t1 − t 2 = −2 t 2 = 1 14
  5. Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t p h ng B ài 4. Cho (∆ 1 ) : x − y + 1 = 0 ; (∆ 2 ) : 2 x + y + 1 = 0 và i m M(2;1). Vi t phươ ng trình ư ng th ng (d) i qua i m M và c t (∆ 1 ), ( ∆ 2 ) l n lư t t i A, B sao cho M là trung i m c a o n th ng AB. Gi i i m A ∈ ( ∆ 1 ) ⇒ A ( t1 ; t1 + 1) ; i m B ∈ ( ∆ 2 ) ⇒ B ( t 2 ; −2t 2 − 1) x + xB = 2xM t1 + t 2 = 4 M(2; 1) là trung i m AB nên:  A ⇔  y A + yB = 2 yM t1 − 2t 2 = 2 )( ) ( ⇔ t1 = 10 , t 2 = 2 . Suy ra A 10 ; 13 , B 2 ; − 7 ⇒ AB = − 4 ( 2;5 ) 3 3 33 33 3 y −1 (d) qua M và nh n AB làm VTCP có PT là: x − 2 = ⇔ 5x − 2 y − 8 = 0 2 5 B ài 5. Cho (∆ 1 ) : 2 x − y + 5 = 0 ; (∆ 2 ) : x + y − 3 = 0 và i m M(–2; 0). Vi t phươ ng trình ư ng th ng (d) i qua i m M và c t (∆ 1 ), ( ∆ 2 ) l n lư t t i A và B sao cho MA = 2 MB Gi i i m A ∈ ( ∆ 1 ) ⇒ A ( t1 ; 2t1 + 5 ) ; i m B ∈ ( ∆ 2 ) ⇒ B (t 2 ; 3 − t 2 ) Suy ra: MA = ( t1 + 2; 2t1 + 5 ) , MB = ( t 2 + 2; 3 − t 2 ) t = 1 t1 + 2 = 2 ( t 2 + 2 ) t − 2t 2 = 2  1 ⇔ 1 1 ⇒ MA = ( 3; 7 ) MA = 2 MB ⇔  ⇔  2 t1 + 5 = 2 ( 3 − t 2 )  2t1 + 2t 2 = 1 t 2 = − 2   y (d) qua M và nh n MA làm VTCP có PT là: x + 2 = ⇔ 7 x − 3 y + 14 = 0 3 7 B ài 6. Cho ∆ ABC có nh A(2;− 7) phươ ng trình m t ư ng cao và m t trung nh khác nhau l n lư t là: 3x + y + 11 = 0, x + 2 y + 7 = 0 . tuy n v t hai Vi t phươ ng trình các c nh c a tam giác ABC. Gi i Nh n xét: Do A(2; − 7) có t a không th a m ãn phươ ng trình m t trong hai ư ng th ng ã cho nên các ư ng cao và trung tuy n không i qua A(2; −7). t (BH): 3x + y + 11 = 0 và (CM): x + 2 y + 7 = 0 . Ta có: B ∈ ( BH ) ⇒ B ( t ; − 3t − 11) . G i M là trung i m AB khi ó t a M là 15
  6. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương  x A + xB t + 2 A xM = =  2 2   y = y A + y B = −3 t − 18 H M  M 2 2 ) ( M ∈ ( CM ) ⇒ t + 2 + 2 −3t − 18 + 7 = 0 2 2 C B ⇔ t = −4 ⇒ B ( −4;1) y+7 Phươ ng trình ư ng th ng ch a c nh AB là: x − 2 = ⇔ 4 x + 3 y + 13 = 0 −4 − 2 1 + 7 (AC) ⊥ (BH): 3x + y + 11 = 0 và (AC) i qua i m A(2; −7) nên phươ ng trình (AC) là: ( x − 2) − 3( y + 7) = 0 ⇔ ( AC ) : x − 3 y − 23 = 0  x − 3 y − 23 = 0 ⇒ C ( 5; −6 ) i m C ≡ (AC) ∩ (CM) suy ra t a C th a h :  x + 2 y + 7 = 0 y −1 Phươ ng trình c nh BC là (BC): x + 4 = ⇔ 7 x + 9 y + 19 = 0 5 + 4 −6 − 1 B ài 7. Cho ∆ ABC có nh A(1; 2), ư ng trung tuy n (BM): 2 x + y + 1 = 0 và phân giác trong (CD): x + y − 1 = 0 .Vi t phươ ng trình ư ng th ng BC. A Gi i i m C∈(CD): x + y − 1 = 0 ⇒ C ( t ;1 − t ) I D M ) ( ⇒ trung i m M c a AC là M t + 1 ; 3 − t 2 2 i m M∈(BM): 2 x + y + 1 = 0 B C K () ⇒ 2 t + 1 + 3 − t + 1 = 0 ⇔ t = −7 ⇒ C ( −7;8 ) 2 2 T A(1;2) k ( AK) ⊥ (CD): x + y − 1 = 0 t i I ( i m K ∈ ( BC ) ) Suy ra (AK): ( x − 1) − ( y − 2) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0 x + y − 1 = 0 ⇒ I ( 0;1) . Tam giác ACK cân t i C nên c a I th a h :  Ta x − y + 1 = 0  x = 2 x I − x A = −1 c a K:  K I là trung i m c a AK ⇒ T a ⇒ K ( −1; 0 )  yK = 2yI − y A = 0 y ư ng th ng BC i qua C, K nên có phươ ng trình: x + 1 = ⇔ 4 x + 3 y + 4 = 0 −7 + 1 8 16
  7. Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t p h ng B ài 8. Vi t phươ ng trình ư ng th ng (∆) i qua M(4; 1) và c t c ác tia Ox , Oy l n lư t t i A và B theo các trư ng h p s au: a. Di n tích ∆ OAB nh nh t. b . T ng O A + O B n h nh t. Gi i Gi s (∆) c t tia Ox t i A( a; 0) và Oy t i B(0; b) (v i a, b > 0) y suy (∆): x + = 1 . Do M(4; 1) ∈( ∆) nên 4 + 1 = 1 ⇒ b = a ⇒ a > 4 a−4 ab ab a. Ta có: 1 = 4 + 1 ≥ 2 4 = 4 ⇒ S OAB = 1 OA.OB = ab ≥ 8 2 2 ab ab ab D u b ng x y ra ⇔ 4 = 1 = 1 ⇔ a = 8; b = 2 ⇒ (∆): x + 4 y − 8 = 0 ab2 a = a − 4 + 4 + 5 ≥ 2 ( a − 4) ⋅ 4 + 5 = 9 b . OA + OB = a + b = a + a−4 a−4 a−4 4 = 2 ⇔ a = 6 ⇒ b = 3 ⇒ (∆) : x + 2 y − 6 = 0 D u b ng x y ra ⇔ a − 4 = a−4 B ài 9. L p phươ ng trình ư ng th ng (∆) i qua i m M(2; 1) và t o v i ư ng th ng (d): 2 x + 3 y + 4 = 0 m t góc 45 o Gi i Phươ ng trình (∆) i qua i m M c ó d ng: A ( x − 2 ) + B ( y − 1) = 0 ( A 2 + B 2 ≠ 0 ) ⇔ Ax + By − 2 A − B = 0 và có vectơ pháp tuy n n1 = ( A; B ) (∆) h p v i (d) m t góc 45 o thì: ư ng th ng (d) có VTPT là n 2 = ( 2; 3) . n1 .n 2 2 A + 3B 2 ⇔ 2 ( 2 A + 3B ) 2 = 13 ( A 2 + B 2 ) = cos 45 o ⇔ = 2 A2 + B 2 . 4 + 9 n1 . n 2  (∆ 1 ) : 5 x + y − 11 = 0  A = 5B ⇒ ⇔ 5B 2 + 24 AB − 5 A 2 = 0 ⇔   B = −5 A  (∆ 2 ) : x − 5 y + 3 = 0 V y c ó hai ư ng th ng c n tìm là (∆ 1 ) : 5 x + y − 11 = 0 ; (∆ 2 ) : x − 5 y + 3 = 0 B ài 10. C ho hình bình hành ABCD có di n tích b ng 4. Bi t A(1; 0), B(0; 2) và giao i m I c a hai ư ng chéo n m trên ư ng th ng y = x . Tìm t a nh C và D. Gi i 17
  8. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương Ta có: AB = ( −1; 2 ) ⇒ AB = 5 C D Phươ ng trình (AB) là: 2 x + y − 2 = 0 y=x I I ∈ ( d ) : y = x ⇒ I ( t; t ) I là trung i m c a AC và BD nên ta có: C ( 2t − 1; 2t ) , D ( 2t ; 2t − 2 ) A B H M t khác: S ABCD = AB.CH = 4 (CH: chi u cao) ⇒ CH = 4 5 ( )( ) t = 4 ⇒ C 5 ; 8 , D 8 ; 2 6t − 4 = 4 ⇔ 3t − 2 = 2 ⇔  3 Ngoài ra: d ( C, ( AB ) ) = CH ⇔ 33 33  5 5 t = 0 ⇒ C ( −1;0) , D ( 0; −2) ( )( ) c a C và D là C 5 ; 8 , D 8 ; 2 ho c C ( −1; 0 ) , D ( 0; −2 ) V yt a 33 33 B ài 11. C ho A ( 0; 6 ) , B ( 2; 5 ) . Tìm trên ( d ) : x − 2 y + 2 = 0 i m M s ao cho: a. MA + MB có giá tr nh nh t. b . MA − MB có giá tr l n nh t. Gi i B t f ( x, y ) = x − 2 y + 2 . A  f ( A ) = −10  ⇒ f ( A) . f ( B ) > 0 Ta có:  (d)  f ( B ) = −6 M0 H  M Suy ra hai i m A và B n m c ùng phía A′ i v i ư ng th ng (d) 1. G i A′ là i x ng c a A qua (d) Ta có: MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B (c nh) min ( MA + MB ) = A′B , t ư c khi ba i m A′, M , B th ng hàng ⇔ M = ( A′ B ) ∩ ( d ) ( AA′ ) ⊥ ( d ) ⇒ ( AA′ ) : 2 x + y + C = 0 A ∈ ( AA′ ) ⇒ C = −6 ⇒ ( AA′ ) : 2 x + y − 6 = 0 2 x + y − 6 = 0 ⇒ H ( 2; 2 ) G i H = ( AA′ ) ∩ ( d ) thì t a c a H th a mãn h :  x − 2 y + 2 = 0 x ′ = 2xH − x A = 4 i x ng v i A qua (d) nên ta có:  A ⇒ A′ ( 4; −2 ) A′  y A′ = 2 y H − y A = −2 18
  9. Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t p h ng y+2 Phươ ng trình ư ng th ng ( A′B ) là x − 4 = ⇔ 7 x + 2 y − 24 = 0 2−4 5+2  x = 11 x − 2 y + 2 = 0  ) ( 9 ⇒ M 11 ; 19 c a M th a h :  ⇔ Ta 48 7 x + 2 y − 24 = 0  19 y =  8 2. Ta có: MA − MB ≤ AB (c nh) ⇒ max MA − MB = AB , t ư c khi ba i m M, A, B th ng hàng ⇔ M = ( AB ) ∩ ( d ) . Phươ ng trình ư ng th ng (AB) là: x + 2 y − 12 = 0 c a M là nghi m c a h phươ ng trình: Ta x = 5 x − 2 y + 2 = 0  () 7 7 ⇒ M 5; 2  ⇔ y = 2  x + 2 y − 12 = 0  B ài 12. C ho ( D1 ) : kx − y + k = 0 và ( D2 ) : (1 − k ) x + 2ky − (1 + k 2 ) = 0 2 a. C h ng minh khi k thay i ( D1 ) luôn luôn qua m t i m c nh. b . Tìm giao i m c a ( D1 ) và ( D 2 ) suy ra qu tích giao i m này khi k thay i. Gi i a. Ta có ( D1 ) t: k ( x + 1) − y = 0 . T a nh mà ( D1 ) luôn i qua là i mc x + 1 = 0 ⇒ x = −1, y = 0 . V y ( D1 ) luôn qua i m A(–1, 0). nghi m c a  y = 0 b. T a giao i m c a ( D1 ) và ( D 2 ) là nghi m c a h phươ ng trình kx − y = − k  2 gi i h ta ư c x = 1 − k 2 , y = 2 k 2  2 2 (1 − k ) + 2ky = 1 + k 1+ k 1+ k  2 2     2 2 ý x + y =  1 − k 2  +  2k 2  = 1  = M  1 − k 2 , 2k 2  V y ( D1 ) ∩ ( D 2 ) 2 2  1+ k 1+ k  1+ k  1 + k  Do ó qu tích c a M là ư ng tròn tâm O bán kính R = 1. Bài 13. Trong m t ph ng Oxy, cho các i m A(0; 1), B(2; 1) và các ư ng th ng d 1 : ( m − 1) x + ( m − 2 ) y + 2 − m = 0 ; d 2 : ( 2 − m ) x + ( m − 1) y + 3m − 5 = 0 a. C h ng minh d 1 và d 2 luôn c t nhau. b . G i P là giao i m c a d 1 và d 2 , tìm m sao cho PA + PB l n nh t. 19
  10. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương Gi i ( m − 1) x + ( m − 2 ) y + 2 − m = 0  m −1 m−2 a. Xét  = 2m 2 − 6 m + 5 có: D = ( 2 − m ) x + ( m − 1) y + 3m − 5 = 0 2−m m −1  m−2 2−m 2−m m −1 = 4m 2 − 14m + 12 ; D y = = −2m 2 + 4m − 1 Dx = m −1 3m − 5 3m − 5 2−m 2 ) ( Do D = 2 m − 3 + 1 > 0, ∀∈ » nên h phươ ng trình có nghi m duy nh t. 2 2 V y d 1 và d 2 luôn luôn c t nhau t i i m P ( pcm) b . Tìm m P A + PB l n nh t  D x 4m 2 − 14m + 12 2 − 2m x = D = =2+  2m 2 − 6m + 5 2m 2 − 6m + 5 c a P là:  Ta  y = D y = −2m 2 + 4m − 1 = −1 + 4 − 2m   2 2 D 2m − 6m + 5 2m − 6m + 5   2m − 2 2m − 4 4  ⇒ PA = 8 − 2 Ta có: PA =  −2 + ; 2+  2m − 6m + 5  2 2 2 2m − 6m + 5 2m − 6m + 5   2m − 2 2m − 4 4  ⇒ PB = 2 PB =  ;  2m 2 − 6m + 5 2 m 2 − 6 m + 5  2m 2 − 6m + 5 Suy ra: PA 2 + PB 2 = 8 . Theo b t ng th c Bunhiacôpski, ta có: ( PA + PB ) ≤ 2 ( PA 2 + PB 2 ) = 16 ⇒ PA + PB ≤ 4 ⇒ max ( PA + PB ) = 4 , 2 t ưc m = 1 4 4 PA = PB ⇔ PA2 = PB 2 ⇔ 8 − ⇔ m 2 − 3m + 2 = 0 ⇔  = 2 2 m = 2 2m − 6m + 5 2m − 6m + 5 C ách 2: d 1 và d 2 có vectơ pháp tuy n là: n1 = ( m − 1; m − 2 ) , n 2 = ( 2 − m; m − 1) Ta có n1 .n 2 = ( m − 1) ( 2 − m ) + ( m − 2 ) ( m − 1) = 0 nên d 1 ⊥ d 2 t i i m P. ý r ng A ∈ d 1 , B ∈ d 2 và AB = 2 2 nên theo b t ng th c Bunhiacôpski thì ( PA + PB ) 2 ≤ 2 ( PA 2 + PB 2 ) = 2 AB 2 = 16 ⇒ PA + PB ≤ 4 ⇒ max ( PA + PB ) = 4 , ( ) t ư c khi PA = PB ⇒ ∆PAB vuông cân t i P ⇒ d 1 , AB = 45 o n AB .n1 2m − 3 = 1 ; ( n AB = (1,1) ) Ta có: cos 45 o = ⇔ 2 2 2 n AB . n1 2. ( m − 1) + ( m − 2 ) 2 ⇔ ( 2m − 3) = 2m 2 − 6m + 5 ⇔ m 2 − 3m + 2 = 0 ⇔ m = 1 ∨ m = 2 20
  11. Bài 3. ư ng tròn Ư N G TRÒN I. PH ƯƠ NG TRÌNH: 2 2 1. D ng chính t c: ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 ⇒ Tâm I(a, b) ; bán kính R. 2. D ng khai tri n: ( C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 ⇒ Tâm I(a, b) ; bán kính R = a 2 + b 2 − c v i a 2 + b 2 − c > 0 II. TI P TUY N : 2 2 1. ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 ⇒ Ti p tuy n t i M 0 ( x0 , y 0 ) ∈ ( C ) : ( x0 − a )( x − x0 ) + ( y0 − b )( y − y0 ) = 0 2. ( C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 ⇒ Ti p tuy n t i M 0 ( x0 , y 0 ) ∈ ( C ) : x0 x + y 0 y − a ( x + x0 ) − b ( y + y 0 ) + c = 0 3. ( D ) : Ax + By + C = 0 ti p xúc (I, R) ⇔ d ( I , ( D ) ) = R III. PH ƯƠ NG TÍCH: ( C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 ; i m M( m, n)  > 0 : M n»m ngo i  P ( M ( C ) ) = m 2 + n 2 − 2am − 2bn + c < 0 : M n»m trong ⇒  = 0 : M ∈ (C )  IV. TR C N G PH ƯƠ NG: ( C1 ) : f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2a1 x − 2b1 y + c1 = 0   ( C 2 ) : g ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2a 2 x − 2b2 y + c2 = 0  P ( M C ) =P ( M C ) ⇔ f ( x, y) = g ( x, y) ⇔ 2 ( a − a ) x + 2 (b − b ) y + ( c − c1 ) = 0 1 2 1 2 2 1 2 V . CÁC D N G BÀI T P C Ơ B N A . XÁC N H PH ƯƠ NG TRÌNH Ư N G TRÒN THEO CÁC Y U T H ÌNH H C C HO TR Ư C 1. VPT ư ng tròn ư ng kính AB bi t A(4, − 1); B(3, 5) 2. VPT ư ng tròn i qua A(2, 0); B(0, 1); C(− 1, 2) 3. VPT ư ng tròn i qua A(2, 3); B(− 1, 1) và tâm ∈ x − 3 y − 11 = 0 4. VPT ư ng tròn tâm I(1, 2) và ti p xúc ( D ) : x − 2 y − 2 = 0 5. VPT ư ng tròn i qua A(1, 2) và ti p xúc ( D ) : 3 x − 4 y + 2 = 0 t i (− 2, − 1) 21
  12. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương 6. VPT ư ng tròn i qua A(6, 3); B(3, 2) và ti p xúc ( D ) : x + 2 y − 2 = 0 7. VPT ư ng tròn tâm ∈ ( ∆) : x + y − 5 = 0 ; R = 10 và ti p xúc ( D) :3x + y − 3 = 0 8. VPT ư ng tròn tâm I(3, 1) và c t ( ∆ ) : x − 2 y + 4 = 0 m t o n c ó dài = 4 9. Vi t phươ ng trình ư ng tròn tâm ∈ ( ∆ ) : 4 x + 3 y − 2 = 0 và ti p xúc v i ( D1 ) : x + y + 4 = 0 v à ( D2 ) : 7 x − y + 4 = 0 10. Vi t phươ ng trình ư ng tròn i qua O(0, 0) và ti p xúc v i 2 ư ng th ng ( D1 ) : 2 x + y − 1 = 0; ( D2 ) : 2 x − y + 2 = 0 11. Vi t phươ ng trình ư ng tròn i qua A(4, 2) và ti p xúc v i 2 ư ng th ng ( D1 ) : x − 3 y − 2 = 0; ( D2 ) : x − 3 y + 18 = 0 12. Vi t phươ ng trình ư ng tròn i qua A(1, − 2) và các giao i m c a ( D ) : x − 7 y + 10 = 0 v i ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 = 0 B. S T ƯƠ NG GIAO GI A Ư N G TH N G VÀ Ư N G TRÒN ( C ) : x + y − 2 x − 4 y = 0  ( C ) : x + y + 6 x + 4 y + 9 = 0 2 2 2 2  1.  2.   ( D ) : x − y + 2 = 0 ( D ) : x + y − 1 = 0  ( C ) : x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 1 = 0  3.  ( D ) : 2 x − y + 1 = 0  C. S T ƯƠ NG GIAO GI A 2 Ư N G TRÒN  R1 − R2 < d < R1 + R2 : (C1 ), (C 2 ) c¾t nhau   d = R1 + R2 : tiÕp xóc ngo i  (C1 ) : ( I1 , R1 )   d = I1 I 2 ⇒  d = R1 − R2 : tiÕp xóc trong  (C 2 ) : ( I 2 , R2 )    d > R1 + R2 : ngo i nhau   d < R1 − R2 : trong nhau    2 2 2 2 (C1 ) : x + y − 4 x − 6 y + 4 = 0 (C1 ) : x + y − 2 x − 6 y − 15 = 0 1.  2.  (C 2 ) : x 2 + y 2 − 10 x − 14 y + 70 = 0 (C 2 ) : x 2 + y 2 − 6 x − 2 y − 3 = 0     2 2 2 2 (C1 ) : x + y + 6 x − 10 y + 24 = 0 (C1 ) : x + y + 2 x − 4 y − 5 = 0 3.  4.  (C 2 ) : x 2 + y 2 − 6 x − 4 y − 12 = 0 (C 2 ) : x 2 + y 2 − x − 5 y + 4 = 0   22
  13. Bài 3. ư ng tròn D . QU TÍCH TÂM Ư N G TRÒN 1. ( C m ) : x 2 + y 2 + 4mx − 2my + 2m + 3 = 0 2 . ( C m ) : x 2 + y 2 − 2 e − m x + 4 e m y − 1 + e −2 m = 0 3. ( Cα ) : x 2 + y 2 − 2 ( cos α − 2 ) x − ( 2 sin α ) y + 1 = 0 4. ( Cα ) : x 2 + y 2 − 2 (1 + cos α ) x + 2 (1 − sin α ) y + sin α − 2 = 0 E. Ư N G TH N G TI P X ÚC Ư N G TRÒN C NH 1. Dα : ( x − 1) cos α + ( y − 1) sin α − 4 = 0 2. Dα : x cos α + y sin α + 2 cos α + 1 = 0 3. Dα : x sin α − y cos α + 3sin α + 2 cos α − 6 = 0 4. Dα : x cos α + y sin α − 2 cos α − sin α − 9 = 0 5. Dα : x cos 2α − y sin 2α + cos 2 α − 3 = 0 F. TI P T UY N V I Ư N G TRÒN 1. VPT ti p tuy n t i giao i m ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 5 = 0 v i Ox. 2. VPT ti p tuy n t i giao i m ( C ) : x 2 + y 2 − x − 7 y = 0 v i 3x + 4 y − 3 = 0 3. VPT ti p tuy n c a ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 8 y + 1 = 0 // v i 5 x + 12 y − 6 = 0 4. VPT ti p tuy n c a ( C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 5 = 0 // v i 2 x + y + 4 = 0 5. VPT ti p tuy n c a ( C ) : x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 5 = 0 ⊥ v i 2 x − y − 1 = 0 6. VPT ti p tuy n c a ( C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y = 0 ⊥ v i 3x − y + 6 = 0 7. VPT ti p tuy n c a ( C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 8 y − 19 = 0 (45° ) v i 2 x − y + 1 = 0 8. VPT ti p tuy n a. n: ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 = 0 i qua A(1, −1) b. n: ( C ) : x 2 + y 2 − x − 7 y = 0 i qua A(− 3, 3) c. n: ( C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0 i qua A(1, 3) d . i qua A(3, 4) n: ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 e. n: ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 5 = 0 i qua A(5, 7) g. i qua A(4, 7) n: ( C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 0 f. n: ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 3 y = 0 i qua A( −3, − 1) 23
  14. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương 9. C ho ( C m ) : x 2 + y 2 + 2 ( m − 1) x − 2 ( m − 2 ) y + m 2 − 8m + 13 = 0 a. Tìm qu tích tâm I c a h b. VPT ti p tuy n i qua A(1, 5) ư ng tròn. n ư ng tròn (C4) 10. VPT ti p tuy n c hung c a 2 ư ng tròn: (C1 ) : x 2 + y 2 − 4 x − 8 y + 11 = 0 (C1 ) : x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 2 = 0     (C 2 ) : x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 2 = 0 (C 2 ) : x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 9 = 0   (C1 ) : x 2 + y 2 − 10 x + 24 y − 56 = 0 (C1 ) : x 2 + y 2 − 6 x + 5 = 0     (C 2 ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0  2 2 (C 2 ) : x + y − 12 x − 6 y + 44 = 0  11. ( C ) : x 2 + y 2 − 1 = 0; ( C m ) : x 2 + y 2 − 2 ( m + 1) x + 4my − 5 = 0 ư ng tròn ( C m ) a. Tìm qu tích tâm I c a h (Cm ) b. CMR: Có 2 ư ng tròn c a h ti p xúc v i (C). Vi t PTTT chung khi ó. G. NG D NG TH Ư N G TRÒN TRÒN CÁC BÀI TOÁN IS 1. C ho 8a + 6b = a 2 + b2 + 16 . Tìm Max, Min S = 4a + 3b 2. C ho a 2 + b 2 + 1 = 2 ( a + b ) và c 2 + d 2 + 36 = 12 ( c + d ) . 2 2 Ch ng minh r ng: 5 2 − 7 ≤ ( a − c ) `+ ( b − d ) ≤ 5 2 + 7 3. C ho a 2 + b 2 = 1 và c + d = 6 . Ch ng minh r ng: c 2 + d 2 − 2ac − 2bd ≥ 18 − 6 2  x 2 + y 2 = 2 ( m + 1)  4. Tìm m h sau có úng 2 nghi m  ( x + y ) 2 = 4   x + my − m = 0  5. Tìm m h sau có 2 nghi m phân bi t  x2 + y2 − x = 0  2 2 C h ng minh r ng: ( x2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) ≤ 1  x + y =1  6. Tìm m h sau có nghi m  x2 + y 2 < m    x −1 + y +1 =1 7. Tìm m h c ó nhi u nghi m nh t  x2 + y 2 = m  24
  15. Bài 3. ư ng tròn V I. M T S BÀI T P M U MINH H A V PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TRÒN B ài 1. Vi t phươ ng trình ư ng tròn (C) có tâm I(3; 1) và ch n trên ư ng th ng (∆): x − 2 y + 4 = 0 m t dây cung có dài b ng 4. Gi i I Gi s (C) ch n trên ∆ m t dây cung có dài b ng 4. T I k IH ⊥ AB t i H thì H là trung i m c a AB. (∆ ) H Khi ó: HA = 1 AB = 2 và IH = d ( I , ∆ ) = 5 A B 2 G i R là bán kính c a (C) ta có: R = IH 2 + HA 2 = 5 + 4 = 3 2 2 Phươ ng trình c a (C) là: ( x − 3) + ( y − 1) = 9 B ài 2. Vi t phươ ng trình ư ng tròn (C) i qua hai i m A(2; 3), B(–1, 1) và có tâm n m trên ư ng th ng ∆ : x − 3 y − 11 = 0 . Gi i C ách 1: G i I, R l n lư t là tâm và bán kính c a (C). Ta có: i m I ∈ (∆ ) ⇒ I ( 3t + 11; t ) . i m A, B ∈ ( C ) ⇒ IA = IB = R ⇔ IA 2 = IB 2 ) ( ⇔ ( 3t + 9 ) + ( 3 − t ) = ( 3t + 12 ) + (1 − t ) ⇔ t = − 5 ⇒ I 7 ; − 5 , R = 65 2 2 2 2 2 22 2 2 2 ) + ( y + 5) ( Phươ ng trình c a (C) là: x − 7 = 65 ⇔ x 2 + y 2 − 7 x + 5 y − 14 = 0 2 2 2 C ách 2: Gi s (C) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 . Tâm c a (C) là I(a; b) ∈ (∆ ) −4a − 6b + c = −13 ( 2 )  suy ra: a − 3b − 11 = 0 (1). Ta có: A, B ∈ ( C ) ⇒  2a − 2b + c = −2 ( 3)  T ( 1), (2), (3) ta có: a = 7 , b = − 5 , c = −14 . V y (C): x 2 + y 2 − 7 x + 5 y − 14 = 0 2 2 B ài 3. Trong m t ph ng Oxy cho hai i m A(0; 5), B(2; 3). Vi t phươ ng trình ư ng tròn (C) i qua hai i m A, B và có bán kính R = 10 . Gi i G i I ( a; b ) là tâm c a (C). T gi thi t, ta có: IA = IB = R = 10 2 2 2 2  IA 2 = IB 2  a + ( 5 − b ) = ( 2 − a ) + ( 3 − b ) b = a + 3  ⇒ 2 ⇔ ⇔ 2  a − 2a − 3 = 0 2  IA = 10  2 a + ( 5 − b ) = 10   25
  16. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương  a = −1  a = 3 ⇔ ∨ . V y c ó hai ư ng tròn c n tìm là: b = 2 b = 6 2 2 2 2 ( C1 ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) = 10; ( C 2 ) : ( x − 3) + ( y − 6 ) = 10 B ài 4. Vi t phươ ng trình ư ng tròn (C) có tâm I ∈ ( ∆ ) : x + y − 5 = 0 ; bán kính R = 10 và ti p xúc v i ư ng th ng ( d ) :3 x + y − 3 = 0 Gi i ư ng tròn (C) ti p xúc v i ( d ) ⇔ d ( I , ( d ) ) = R Tâm I ∈ ( ∆ ) ⇒ I ( t ;5 − t ) .  t = 4 ⇒ I ( 4;1) 2t + 2 ⇔ = 10 ⇔ t + 1 = 5 ⇔   t = − 6 ⇒ I ( − 6;11) 10 V y c ó hai ư ng tròn c n tìm là: 2 2 2 2 ( C1 ) : ( x − 4 ) + ( y − 1) = 10 ; ( C 2 ) : ( x + 6 ) + ( y − 11) = 10 B ài 5. Vi t phươ ng trình ư ng tròn (C) có tâm I ∈ ( ∆ ) :2 x + y = 0 và ti p xúc v i ư ng th ng ( d ) : x − 7 y + 10 = 0 t i i m A(4; 2). Gi i C ách 1: Ta có tâm I ∈ ( ∆ ) ⇒ I ( t ; −2t ) ⇒ IA = 5t 2 + 20 . 3t + 2 ư ng tròn (C) ti p xúc v i (d) t i A ⇔ d ( I , ( d ) ) = IA ⇔ = 5t 2 + 20 2 ⇔ ( 3t + 2 ) = 2 ( 5t 2 + 20 ) ⇔ t 2 − 12t + 36 = 0 ⇔ t = 6 ⇒ I ( 6; −12 ) , R = 10 2 2 2 2 V y phươ ng trình ư ng tròn (C) là: ( x − 6 ) + ( y + 12 ) = 200 C ách 2: G i I, R l n lư t là tâm và bán kính c a ( C). G i ( d′) là ư ng th ng vuông góc v i ( d) t i A ⇒ ( d ′ ) :7 x + y + c = 0 A ∈ ( d ′ ) ⇒ c = −30 ⇒ ( d ′ ) :7 x + y − 30 = 0 (∆ ) Do (C) ti p xúc v i (d) t i A nên I ∈ ( d ′ ) I M t khác I ∈ ( ∆ ) nên t a I th a m ãn h 7 x + y − 30 = 0 (d) ⇒ I ( 6; −12 ) ⇒ IA = 10 2  2 x + y = 0 A 2 2 V y phươ ng trình c a (C) là: ( x − 6 ) + ( y + 12 ) = 200 . 26
  17. Bài 3. ư ng tròn B ài 6. Vi t phươ ng trình ư ng tròn (C) có bán kính R = 5 và ti p xúc v i ư ng th ng ( ∆ ) :3 x − 4 y − 31 = 0 t i i m A(1; –7). Gi i  x = 1 + 3t ư ng th ng (d) ⊥ (∆) t i A(1; –7) có phươ ng trình tham s ( d):   y = −7 − 4t Do (C) ti p xúc v i (∆) t i A nên có tâm I ∈ ( d ) ⇒ I (1 + 3t , −7 − 4t ) t = −1 ⇒ I = ( −2, −3) 25t M t khác: d ( I , ( ∆ ) ) = R ⇔ = 5 ⇔ t =1⇔  t = 1 ⇒ I ( 4, −11) 5 V y c ó hai ư ng tròn c n tìm là: 2 2 2 2 ( C1 ) : ( x + 2 ) + ( y + 3) = 25 ; ( C 2 ) : ( x − 4 ) + ( y + 11) = 25 B ài 7. Vi t phươ ng trình ư ng tròn (C) i qua i m A(6; 4) và ti p xúc v i ư ng th ng ( ∆ ) : x + 2 y − 5 = 0 t i i m B(3; 1). Gi i G i I, R l n lư t là tâm và bán kính c a (C); ư ng th ng (d)⊥(∆) t i B(3;1) ⇒ ( d ) :2( x − 3) − ( y − 1) = 0 ⇔ ( d ) : 2 x − y − 5 = 0 Do (C) ti p xúc v i (∆) t i B nên tâm I ∈ ( d ) ⇒ I ( t; 2t − 5 ) 2 2 2 2 M t khác: IA = IB ⇔ IA 2 = IB 2 ⇔ ( 6 − t ) + ( 9 − 2t ) = ( 3 − t ) + ( 6 − 2t ) ⇔ t = 4 2 2 ⇒ I ( 4;3) ; R = IA = 5 . Phươ ng trình ư ng tròn (C) là: ( x − 4 ) + ( y − 3) = 5 . B ài 8. Vi t phươ ng trình ư ng tròn (C) có tâm I ∈ ( ∆ ) :4 x + 3 y − 2 = 0 ; ti p xúc v i hai ư ng th ng ( d 1 ) : x + y + 4 = 0 và ( d 2 ) :7 x − y + 4 = 0 . Gi i  x = −1 − 3t Phươ ng trình tham s c a (∆) là:   y = 2 + 4t Ta có: I ∈ ( ∆ ) ⇒ I ( −1 − 3t; 2 + 4t ) . G i R là bán kính c a (C) (C) ti p xúc v i ( d 1 ) và ( d 2 ) ⇔ d ( I , ( d 1 ) ) = d ( I , ( d 2 ) ) = R t = 1 ⇒ I ( −4; 6 ) , R = 3 2 t + 5 5t + 1 ⇔ t + 5 = 5t + 1 ⇔  ⇔ = t = −1 ⇒ I ( 2; 2 ) , R = 2 2 2 2  2 2 2 2 V y ( C ) : ( x + 4 ) + ( y − 6 ) = 18 ho c ( C ) :( x − 2 ) + ( y + 2 ) = 8 27
  18. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương B ài 9. Vi t phươ ng trình ư ng tròn (C) ti p xúc v i tr c hoành t i A(2; 0) và kho ng cách t tâm c a ( C) n i m B(6; 4) b ng 5. Gi i G i I(a; b) và R l n lư t là tâm và bán kính c a ( C) Do (C) ti p xúc v i tr c Ox t i A nên ta có: x I = x A = 2 ⇒ I ( 2; b ) và R = b 2 2 2 M t khác: IB = 5 ⇔ IB 2 = 25 ⇔ ( 6 − 2 ) + ( 4 − b ) = 25 ⇔ ( b − 4 ) = 9 b = 7 ⇒ I ( 2;7 ) , R = 7 ⇔ . V y c ó hai ư ng tròn c n tìm là: b = 1 ⇒ I ( 2;1) , R = 1  2 2 2 2 ( C1 ) : ( x − 2 ) + ( y − 7 ) = 49; ( C 2 ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) = 1 B ài 10. Trong m t ph ng Oxy cho ư ng th ng ( d ) : x − 7 y + 10 = 0 và ư ng tròn ( C ′ ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 = 0 . Vi t phươ ng trình ư ng tròn (C) i qua i m A(1; –2) và các giao i m c a ư ng th ng d và ư ng tròn (C'). Gi i ư ng tròn (C) qua giao i m c a ( d) và (C') nên phươ ng trình có d ng: x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 + m ( x − 7 y + 10 ) = 0 A ∈ ( C ) ⇒ m = 1 ⇒ ( C ) : x 2 + y 2 − x − 3 y − 10 = 0 B ài 11. Trong m t ph ng Oxy, cho ư ng tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 12 x − 4 y + 36 = 0 . Vi t phươ ng trình ư ng tròn ( C1 ) ti p xúc v i hai t a Ox, Oy ng th i ti p xúc ngoài v i ư ng tròn (C). Gi i ư ng tròn (C) có tâm I(6; 2), bán kính R = 2. G i I 1 ( a; b ) , R1 l n lư t là tâm và bán kính c a ( C1 ) . ( C1 ) ti p xúc v i hai tr c Ox, Oy nên ta có: d ( I 1 , Oy ) = d ( I 1 , Ox ) = R1  a = b, R1 = a ⇔ a = b = R1 ⇔   a = −b, R1 = a  ( C1 ) ti p xúc v i ( C ) ⇔ II 1 = R1 + R ⇔ II 12 = ( R1 + R ) 2 ⇔ ( a − 6 ) 2 + ( b − 2 ) 2 = ( R1 + 2 ) 2 (1) Trư ng h p 1: a = b, R1 = a 28
  19. Bài 3. ư ng tròn 2 (1) ⇔ ( a − 6 ) 2 + ( a − 2 ) 2 = ( a + 2 ) ⇔ a 2 − 16a − 4 a + 36 = 0 a > 0 a < 0   ⇔ 2 ∨ 2 : vô nghi m a − 20a + 36 = 0 a − 12a + 36 = 0    a = 18 ⇒ I 1 (18;18 ) , R1 = 18 ⇔  a = 2 ⇒ I 2 ( 2; 2 ) , R 2 = 2  Trư ng h p 2: a = −b, R1 = a 2 (1) ⇔ ( a − 6 ) 2 + ( a + 2 ) 2 = ( a + 2 ) ⇔ a 2 − 8a − 4 a + 36 = 0 a > 0 a < 0   ⇔ 2 ∨ 2 : vô nghi m a − 12a + 36 = 0 a − 4a + 36 = 0   ⇔ a = 6 ⇒ I 1 ( 6; −6 ) , R1 = 6 . V y c ó ba ư ng tròn c n tìm là: ( x − 18 ) 2 + ( y − 18 ) 2 = 324; ( x − 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 4; ( x − 6 ) 2 + ( y + 6 ) 2 = 36 B ài 12. Trong m t ph ng Oxy, cho ba i m A(–1; 7), B(4; –3), C(–4; 1). Hãy vi t phương trình ư ng tròn (C) n i ti p tam giác ABC. Gi i G i I(a; b), R l n lư t là tâm và bán kính c a (C). G i M(x; y) là chân ư ng phân giác trong c a góc A trong tam giác ABC. 55 ⇒ MB = − 5 MC . Suy ra M chia o n B C theo t s Ta có: MB = AB = 3 MC AC 3 5  x B − kx C  x = 1 − k = −1  ) ( k = − 5 nên ta có t a ⇒ M −1; − 1 i m M là: M :  3 2 y B − ky C y = =−1   1− k 2 I là tâm ư ng tròn n i ti p tam giác ABC nên IA = BA = 2 ⇒ IA = −2 IM IM BM  x A − kx M  x = 1 − k = −1  k = −2 ⇒ I :  ⇒ I ( −1; 2 ) Suy ra i m I c hia o n AM theo t s  y = y A − ky M = 2   1− k Phươ ng trình c nh (AB) là: 2 x + y − 5 = 0 ⇒ R = d ( I , ( AB ) ) = 5 2 2 Phươ ng trình ư ng tròn (C) là: ( x + 1) + ( y − 2 ) = 5 . 29
  20. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương B ài 13. L p phươ ng trình ư ng th ng ( ∆ ) i qua g c t a O và c t ư n g 2 2 tròn (C): ( x − 1) + ( y + 3) = 25 theo m t dây cung có dài b ng 8. Gi i ư ng tròn (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = 5. ( a 2 + b 2 > 0) Phươ ng trình ư ng th ng qua O là: ax + by = 0 ( ∆ ) c t ( C) theo dây cung AB có Gi s dài b ng 8. K IH ⊥ ( ∆ ) t i H thì H là trung i m c a o n AB ⇒ HA = AB = 4 2 Tam giác IHA vuông t i H, ta có: IH = IA 2 − HA 2 = 25 − 16 = 3 . M t khác: a − 3b = 3 ⇔ ( a − 3b ) = 9 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 4a 2 + 3ab = 0 2 d ( I , ( ∆ ) ) = IH ⇔ 2 2 a +b  A = 0 : chon B = 1 ⇔ . Suy ra: ( ∆ 1 ) : y = 0; ( ∆ 2 ) : 3 x − 4 y = 0 .  B = − 4 A : chon A = 3, B = −4  3 B ài 14. Trong m t ph ng v i h t a cac vuông góc Oxy, cho ư ng tròn 2 2 (C) có phươ ng trình: x + y + 2 x − 4 y − 20 = 0 và i m A(3; 0). Vi t phương trình ư ng th ng ( ∆ ) i qua i m A và c t ư ng tròn (C) theo m t dây cung MN sao cho a . M N c ó b. MN có dài l n nh t. dài nh nh t. Gi i a. ư ng tròn (C) có tâm I(–1,2), bán kính R = 5 Dây MN l n nh t khi MN là ư ng kính c a (C). I Do ó ( ∆ ) là ư ng th ng i qua hai i m A, I. y M Phươ ng trình c a ( ∆ ) là: x − 3 = ⇔ x + 2 y − 3 = 0 N H A −1 − 3 2 ( ∆) b . Ta có: IA = ( 4; −2 ) ⇒ IA = 2 5 K IH ⊥ MN t i H. Dây MN nh nh t khi IH l n nh t. Ta có: IH ≤ IA = 2 5 ⇒ IH max = 2 5 khi H ≡ A ⇒ ( ∆ ) ⊥ IA t i A ( ∆ ) qua A và nh n IA làm vectơ pháp tuy n c ó phương trình: 4 ( x − 3) − 2 ( y − 0 ) = 0 ⇔ 2 x − y − 6 = 0 30
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
8=>2