HÌNH HỌC TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Chia sẻ: Paradise10 Paradise10 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

331
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'hình học tóm tắt lý thuyết', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HÌNH HỌC TÓM TẮT LÝ THUYẾT

HÌNH HỌC TÓM TẮT LÝ THUYẾT I) PHÉP CỘNG – TRỪ CÁC VÉC TƠ 1) Một số quy tắc – Tính chất áp dụng trong phép công trừ các véc tơ  Quy tắc ba điểm : với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có :       AB  BC  AC * * BC  BA  AC       AB  AD  AC  Quy tắc hình bình hành : ABCD là hbh ta có :  Trung điểm của đoạn thẳng : I là trung điểm của đoạn AB , với điểm M tuỳ ý ta luôn có : * IA  IB  0 * MA  MB  2 IM  Trọng tâm của tam giác :        G là trọng tâm của ABC  GA  GB  GC  0  G là trọng tâm của ABC với điểm M tuỳ ý ta luôn có :
     MA  MB  MC  3MG   2) Tính chất : Cho ba véc tơ a , b và c ta có :   a + 0 = 0 + a = a (Tính chất của véc tơ – không )   a + b = b + a (Tính chất giao hoán )      ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( tính chất kết hợp ) II) PHÉP NHÂN MỘT VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ  1) Định nghĩa : Tích số k với một véc tơ a là một véc tơ là một số thực  kí hiệu : k a thỏa :   Cùng hướng với véc tơ a nếu k  0   Ngược hướng với véc tơ a nếu k > 0   Có độ dài bằng k a   2) Tính chất : Với mọi véc tơ a và mọi số thực k. l ta có :    k(l a ) = (k.l) a     (k + l) a = k a + l a
     k( a + b ) = k a + k b     1. a = a ; 0. a = 0 ; k. 0 = 0    3) Véc tơ cùng phương : hai véc tơ a và b cùng phương ( a  0 ) thì   có một số thực k duy nhất sao cho b = k a 4) Ba điểm thẳng hàng : Ba điểm A , B , C thẳng hàng   k : AB  k AC 5) Phân tích 1 véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương :   Cho a và b không cùng phương . luôn có duy nhất cặp số thực k , l sao cho x  k a  lb III) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐÊCAC VUÔNG GÓC 1) Tọa độ của véc tơ :    u = (x ; y)  u = x i + y j  Định nghĩa:    Tính chất: Trong mp(Oxy) cho u = (x ; y) , v = (x’; y’) ta có : x  x'  uv  y  y'
   u + v = (x + x’ ; y + y’)   u - v = (x – x’ ; y – y’)   k u = (kx ; ky) 2) Tọa độ của một điểm :     M(x ; y)  OM = x i + y j  Định nghĩa:  Tính chất: Trong mp(Oxy) cho hai điểm A(xA ; yA) và B(xB; yB) ta có :    Véc tơ : AB = (xB– xA ; yB– yA) x  xB  xI  A   2  Trung điểm I của đoạn AB :   y  y A  yB I  2 x  x B  xC  xG  A   Toạ độ trọng tâm G của ABC :  3   y  y A  y B  yC G 3  IV).GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ 1) ĐỊNH NGHĨA :
y  sin = y0 M(x0 ; y0) B  cos = x0 y0 y  tg = 0 ( x0  0 ) x0 x0   cotg = ( y0  0 ) y0 A’ x0 O A x 2) TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ GÓC THƯỜNG DÙNG : 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o Độ HSLG Sin 0 1 0 1 1 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 Cos 1 0 -1 1 1 3 2 2 3    2 2 2 2 2 2 Tg 0 1 -1 0 1 1  3 -3  3 3
cotg 1 0 -1 1 1   3 -3  3 3 3) CÁC HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC Tỉ số lượng giác của hai góc bù nhau : (180o - ) và   sin(180o - ) = sin  cos(180o - ) = - cos  tg(180o - ) = - tg  cotg(180o - ) = - cotg Bi tập: A. Vecto cùng phương, hai vecto bằng nhau: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O     a) Bằng vectơ AB ; OB   b) Có độ dài bằng  OB  Bài 2 : Cho tam giác ABC. Ba điểm M,N và P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC. CMR:       MN  BP ; MA  PN .
Bài 3: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh : MN  QP ; NP  MQ . Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’ là điểm đối xứng B qua O . Chứng minh : AH  B' C . Bài 5: Cho hình bình hành ABCD . Dựng AM  BA , MN  DA, NP  DC , PQ  BC . Chứng minh AQ  O B. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTO: Bài 1: Cho 4 điểm bất ḱ M,N,P,Q . Chứng minh các đẳng thức sau:                 a) PQ  NP  MN  MQ ; b) NP  MN  QP  MQ ;        c) MN  PQ  MQ  PN ; Bài 2: Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh rằng:           a) AD  BA  BC  ED  EC  0 ;          b) AD  BC  EC  BD  AE Bài 3: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh:
a) MN  PQ  MQ  PN . b) MP  NQ  RS  MS  NP  RQ . Bài 4: Cho 7 ñieåm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :           a) AB + CD + EA = CB + ED            b) AD + BE + CF = AE + BF + CD             c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF             d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0        Bài 5: Cho h́nh b́nh hành ABCD, có tâm O. CMR: OA  OB  OC  OD  0 . Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh : OA  OB  OC  OD  OE  O Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :            a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0       b) OA + OC + OE = 0       c) AB + AO + AF = AD         d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ). Bài 8: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS
      Chứng minh rằng : RF + IQ + PS = 0 Bài 9: cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD. Gọi E là          trung điểm I J . CMR: EA  EB  EC  ED  0 . Bài 10: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA. CMR:            a) AN  BP  CM  0 ; b) AN  AM  AP ;       c) AM  BN  CP  0 . Bài 11: Cho h́nh thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung điểm DB. CMR:             EA  EB  EC  ED  DA  BC . Bài 12: ( Hệ thức trung điểm) Cho 2 điểm A và B.      a) Cho M là trung điểm AB. CMR với điểm I bất ḱ : IA  IB  2 IM          b) Với N sao cho NA  2 NB . CMR với I bất ḱ : IA  2 IB  3IN           c) Với P sao cho PA  3PB . CMR với I bất ḱ : IA  3IB  2 IP Bài 13: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G:            a) CMR: GA  GB  GC  0 . Với I bất ḱ : IA  IB  IC  3IG .      1 b) M thuộc đoạn AG và MG = GA . CMR 2MA  MB  MC  0 4 c) Cho tam giác DEF có trọng tâm là G’ CMR:
      + AD  BE  CF  0 . + T́m điều kiện để 2 tam giác có cùng trọng tâm. Bài 14: ( Hệ thức h́nh b́nh hành) Cho h́nh b́nh hành ABCD tâm O. CMR:        a) OA  OB  OC  OD  0 ;       b) với I bất ḱ : IA  IB  IC  ID  4 IO . C. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI: Bài 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ BA  BC , CA  CB. Bài 2: cho h́nh thoi ABCD cạnh a. BAD  600 , gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Tính:           | AB  AD | ; BA  BC ; OB  DC . Bài 3: Cho h́nh vuông ABCD cạnh a. Tính:            AC  BD ; AB  BC  CD  DA . Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AC và BD. Hăy tính :
      IB  ID  JA  JC . D. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Bài 1. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.  1     1   b) Gọi E, F thoả mn : ME  MN , BF  BC . CMR : A, E, F thẳng hng. 3 3 Bài 2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mn AF = 2FC. a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hng. b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC v J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hng. c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hng.     Bài 3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mn : MB  3MC  O ,        PB  PA  O . CMR : M, N, P thẳng hng. AN  3NC ,   1      1   1   ( MP  CB  CA, MN  CB  CA ). 2 2 4
      1  Bài 4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mn LB  2 LC, MC  MA , 2      NB  NA  O . CM : L, M, N thẳng hng.     Bài 5. Cho tam gic ABC với G l trọng tm. I, J thoả mn : 2 IA  3IC  O ,     2 JA  5 JB  3 JC  O . a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC. b) CMR J là trung điểm BI.     c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mn AE  k AB . Xác định k để C, E, J thẳng hng.        Bài 6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mn : IA  2 IB, 3 JA  2 JC=O . CMR : Đường thẳng IJ đi qua G. Bài 7: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và 1 K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK = AC. Chứng minh ba điểm B, 3 I, K thẳng hàng Bài 8: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BC  MA  O; AB  NA  3 AC  O . Chứng minh MN // AC. E. Phân tích vecto theo các vecto khác phương. Xác định vị trí một điểm thoả mn một đẳng thức Vectơ: Bài 1: Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho :           a) MB  MC  AB b) 2 MA  MB  MC  O
          c) MA  2 MB  MC  O d) MA  MB  2 MC  O           e) MA  MB  MC  O f) MA  2 MB  MC  O Bài 2: Cho tam giac ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB . 2 G là trọng tâm tam giác ABC . D, E xác định bởi : AD = 2 AB và AE = AC . 5 Tính DE và DG theo AB và AC . Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng F. Hệ trục tọa độ 1.Trong mpOxy cho 4 điểm A (1 ;–2) B(0 ; 3) C(–3; 4) D(–1 ; 8) . Bộ ba trong 4 điểm trên bộ nào thẳng hàng ĐS: A ; B ;D 2.Trong mpOxy cho 3 điểm A(1 ;–2) B(3 ; –1) C(–3 ; 5) a.Chứng minh ABC l một tam gic . b.Tìm tọa độ trọng tâm của tam gia1cABC . c)Gọi I(0 ; 2) .Chứng minh A ; G; M thẳng hng. d) Gọi D(-5;4) .Chứng minh ABCD l hình bình hnh. 1 3.Cho cc vecto a   2; 0 b    1;  c   4 ;6  . Tìm tọa độ vecto   2  u  2a  4b  5c DS : u  (28;32) 4.Cho tam giác ABC , G là trọng tâm của tam giác . Tính tọa độ vecto u  3GA  2GC  4GB ĐS: (1 ; -14)
5.Cho 3 7 a   1; 2  b    3 ;1 c    4 ;2 .Phaân vecto a theo 2 vecto b vaøc tích ÑS : a  b c 5 10 6.Cho a   5 ; 2  b   4 ;1  c    2 ;7  a.Chứng minh a ; b không cùng phương. B.Phân tích vecto c theo 2 vecto a ; b ÑS : c  2a  3b 7.Cho 3 điểm A(2;1) B(2;–1) C(–2 ;–3) . a.Chứng minh A,B,C không thẳng hàng . Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành . ĐS: D(–2;–1) 8.Cho tam giác ABC với A(–1;–2) B(3;2) C(4 ; -1) . a.Tìm trung điểm I của AC .b.Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành 33 ĐS: I  ;  D(0;5)   2 2 9.Trong mpOxy cho 3 điểm M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; –2) lần lượt là trung điểm của 3 cạnh BC ; CA và AB của tam giác ABC. a.Tìm A ; B ;C ĐS: A(8;1) B(-4;-5) C(-4;7) b.Chứng minh 2 tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. 10.Cho tam giác ABC với A(–3;6) B(9;–10) C(-5;4) . a.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . ĐS:
b.Tìm D sao cho BGCD là hình bình hành. 11.Cho 4 điểm A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) và D(-4 ; -5) . a.Chứng minh AB //CD b. Tìm giao điểm I của AD và BC ĐS (-12;-13) Hướng dẫn:  Tính AI ; BI ; AD ; BC  AI cuønghöôngAD vaø I cuøng höôngBC p B p - Suy ra heä höôngtrình p - Giaûi eä toïañoä h tìm I