intTypePromotion=1

Hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5 trang 82,83 SGK Đại số và giải tích 11

Chia sẻ: Vaolop10 247 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
135
lượt xem
1
download

Hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5 trang 82,83 SGK Đại số và giải tích 11

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tóm tắt lý thuyết về Phương pháp quy nạp toán học và hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5 trang 82,83 SGK Đại số và giải tích 11 có đáp án và gợi ý chi tiết nhằm giúp các em nắm được nội dung cốt lõi của bài học trong SGK. Mời các em cùng tham khảo

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5 trang 82,83 SGK Đại số và giải tích 11

Để nắm bắt nội dung của tài liệu một cách chi tiết, mời các em cùng tham khảo đoạn trích “Hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5 trang 82,83 SGK Đại số và giải tích 11: Phương pháp quy nạp toán học” dưới đây. Ngoài ra, các em có thể xem lại bài tập "Hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5,6,7 trang 74, 75 SGK Đại số và giải tích 11" 

Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức:

Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:

a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng
(3+1) / 2 = 2

Vậy VT = VP hệ thức a) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là 

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: 

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ∈ N*

b) Với n = 1, vế trái bằng 1/2, vế phải bằng 1/2, do đó hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là


Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

 (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ∈ N*

c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1) / 6 = 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là 

Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n ∈ N*


Bài 2 Phương pháp quy nạp toán học trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:

a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;

b) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9;

c) n+ 11n chia hết cho 6.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:

a) Đặt Sn = n+ 3n2 + 5n

Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) ⋮ 3

Ta phải chứng minh rằng Sk+1 ⋮ 3

Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)+ 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k+ 6k + 3 + 5k + 5

= k3 + 3k+ 5k + 3k2 + 9k + 9 hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk⋮3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) ⋮3 nên Sk+1 ⋮ 3.

Vậy (n3 + 3n2 + 5n) ⋮ 3 với mọi n ∈ N* .

b) Đặt Sn = 4n + 15n – 1

Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 ⋮9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k – 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh Sk+1 ⋮ 9.

Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1

= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 9 nên 4S1 ⋮ 9, mặt khác 9(5k – 2) ⋮ 9, nên Sk+1 ⋮ 9

Vậy (4n + 15n – 1) ⋮ 9 với mọi n ∈ N*

c) Đặt Sn = n3 + 11n

Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 ⋮ 6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S= k3 + 11k ⋮ 6

Ta phải chứng minh Sk+1 ⋮ 6

Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)+ 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)

THeo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4) ⋮ 6, do đó Sk+1 ⋮ 6

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*


Bài 3 Phương pháp quy nạp toán học trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3n > 3n + 1; b) 2n + 1 > 2n + 3

Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:

a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

3k > 3k + 1 (1)

Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:

3k + 1 > 9k + 3 ⇔ 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k – 1 > 0 nên

3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.

tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

2k + 1 > 2k + 3 (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh

2k + 2 > 2(k + 1) + 3 <=> 2k + 2 > 2k + 5

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:

2k + 2 > 4k + 6 ⇔ 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.


Bài 4 Phương pháp quy nạp toán học trang 83 SGK Đại số và giải tích lớp 11

 

Cho tổng  với n ∈ N*

a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:

a) Ta có:

b) Từ câu a) ta dự đoán Sn=n/(n+1) (1), với mọi n ∈ N* .

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là S1 =1/2, vế phải bằng 1/(1+1)=1/2. Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = ≥ 1, tức là 
Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh 
Ta có 

tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.


Bài 5 trang 83 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là 

 Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ∈ N* , n ≥ 4.

Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: 4(4-3)/2 = 2

Vậy khẳng định là đúng với n= 4.

Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có số đường chéo là k(k – 3)/2

Ta phải chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1. Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi k + 1cạnh có số đường chéo là Xét đa giác lồi k + 1 cạnh
Nối A1 và Ak, ta được đa giác k cạnh A1A2…Ak có k(k-3)/2 đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối Ak+1 với các đỉnh A2, A3, …, Ak-1, ta được thêm k -2 đường chéo, ngoài ra A1Ak cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là 

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh. Vậy bài toán đã được chứng minh.

Các em có thể đăng nhập tài khoản trên trang TaiLieu.VN và tải “Hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5 trang 82,83 SGK Đại số và giải tích 11: Phương pháp quy nạp toán học” về máy để tiện tham khảo hơn. Bên cạnh đó, các em có thể xem cách giải bài tập tiếp theo "Hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5 trang 92 SGK Đại số và giải tích 11"

ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2