Hướng dẫn giải bài tập lũy thừa và logarit

Chia sẻ: Duongvan Gioi | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

798
lượt xem 138
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một số bài tập đại số về lũy thừa và logarit giúp các bạn học sinh rèn luyện kĩ năng làm bài tập và học bài thi tốt hơn, qua đó cũng một phần nào giúp các bạn ôn lại công thức và rút kinh nghiệm trong quá trình làm bài.Chúc các bạn ôn và làm bài tốt

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn giải bài tập lũy thừa và logarit

HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN I. Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa ) 1 3y ( x − y ) � − � 2 2 3 a. D = � +2x y + xy + y 4 3 3 4 x ( x + y) + � : ( x + y) −1 ( đáp số : D=1 ) x ( x − y) � −1 � x + 2 xy + y 2 � � 2 �4a − 9a −1 a − 4 + 3a −1 � B=� 1 � +1 b. 1 1 �2 � − − �a − 3a 2 a2 − a 2 � 2 Giải a/ 1 1 3 y ( x 2 − y 2 ) �3 �x 3 + y 3 ) ( x + y ) 2 ( − − ( x + y ) ( x − y ) �3 1 = �4 + x3 y + xy 3 + y 4 x ( x + y) + 1 � : ( x + y) = � −1 � D=� 2 + 3 xy x ( x − y) � ( x − y) � ( x + y) � ( x + y) � x + 2 xy + y 2 2 � � � � 1 − = �x + y ) �3 : ( x + y ) = 1 ( −1 3 � � 2 � � �2 �� 2 2 �4a − 9a −1 −1 � 2a + 3 ) + ( a − 3 ) � ( a − 4 + 3a � � 4a − 9 a − 4a + 3 � � 2 b/ B = � 1 � = 9a +1 =� + �= � ( 2a − 3) a ( a − 1) � � 1 1 1 �2 � � − − a2 − a 2 � � �a − 3a 2 � a 2 a2 1 1 � � �a � a 2 2 Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa ) a − n + b− n a − n − b− n ( ab 0; a b ) a. A = − a−n − b−n a−n + b−n a −1 − x −1 a −1 + x −1 � -1 � 1 b. B = ( xa − ax ) � −1 −1 + −1 −1 � −1 � +x a −x � 4 a Giải ( a n + b n ) − ( b n − a n ) = 4a n b n 2 2 a − n + b− n a − n − b− n a n + bn bn − an A = −n − = − = � n n � n + b n � ( a n + bn ) ( bn − a n ) a. a − b−n a−n + b−n b2n − a 2n � n − an b a a nb n � n n ab � n n � � �a b �a b � � 1 � 2 − a2 � x − a x + a � 1 2 ( x + a ) 1 x2 + a 2 2 2 � −1 − x −1 a −1 + x −1 � 1 a x � b/ B = ( xa −1 − ax -1 ) � −1 −1 + −1 −1 � = + = = � � � � � +x a −x � 4 � ax � x + a x − a � 4 4 a ax 2 ax � LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ Bài 1. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau 1 9 1 3 2 − � a b �� 1 � 1 a4 − a4 − b2 b 2 a. �− 2 + �� − b 2 � − 1 :a b. 2 � b a �� 1 5 1 1 � − � � a −a b2 + b 4 4 2 Giải Trang 1 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT ( ) 2 2 b− a 2 � a b �� 1 � � a� 1 ( ) 1 1 2 a. �− 2 + �� 2 − b 2 �= �− a− b = = 1 :a � b �: 1 . . ( ) � b a �� 2 b b �� a− b � � � 1 1 a 4 ( 1 − a2 ) ( 1− b ) = 1+ a +1 = a + 2 1 9 1 3 − − 2 b 2 a −a −b b 4 4 2 2 − = − b/ 1 5 1 1 1 1 ( b − 1) − − a ( 1− a) a −a b +b 2 b 4 4 2 2 4 2 Bài 2. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau : �� a 3b� �2 � �1 2 1 ( ) a + 3 b � 3 + b 3 − 3 ab � b. � 3 + b 3 �� + 3 + 3 a a :�2 a. � a� b � � � �� Giải � � 2 2 ( ) ( )( ) ( b) ( a) +( b) a + 3 b �3 a � 2 2 3 3 a + 3 b � + b − 3 ab �= −3 a3b+ = = a+b 3 3 3 3 3 a a/ 3 3 � � � � � � �1 �1 1 �1 �1 1 1 1 a 3 + b 3 � 3b 3 � 3 + b 3 � 3b 3 a a a 11 � �� a 3b� � �1 1 a 3b 3 � � � b/ � + b �� + 3 b + a � 1 1 = = =1 a3 :�2 3 � 2 2 12 1 �1 � � �� 2a 3 b 3 + a 3 + b 3 a3 + b3 � +b � a 3 3 � � Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa ) a2 + 4 �3 2� 3 B= � b � � a �� 1 � 1 �a 2 A = � 3 �+ � : �4 + b4 � 2 a a. b. �� 2 −4 � a �b a � � b3 � � �+ 4 a� a �� 2a � � � Giải a/ �31 �1 �3 2� 3 � � �a b � + � a �� 4 + b 4 � �a 2 b 2 � a 2b 2 + 1 � a �� 4 + b 4 � � + 1 �� 4 + b 4 � 1 1 1 1 1 a 2 =� A = �3 � � + 2 3 �� = = �: a :a :�a �b a � � b3 �� 3 1 �� 3� � � �ab � ab3 � 4 + b 4 � 1 1 � � ab �� b a �� b 2 a 2 � � �� a � � � � � � � � � � a2 + 4 a +4 2: a 0 2a 2 B= = = = −2 : a < 0 ( ) a 2 2 �2 −4 � a2 + 4 a �+ 4 a� a � 2a � 2 4a Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa ) −1 �+ x + x2 1 − x + x2 � 1 2 �( 5 − 2 x 2 ) . Với x = 3,92 a. A = � +2− �2 x + x 2x − x � 2 5 �3 �� 2 3 �2 + 27 y 5 + 310 32 y 2 − 2 � −2 � � b. B = � � �. Với y = 1,2 .3 � 2 + 35 y � �� Giải Trang 2 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT ( 4 − x2 ) 2 ( 5 − 2 x2 ) = 8 − 2 x2 −1 −1 � 4 x 3 + 10 � �+ x + x2 1 − x + x2 � − 1 � ( 5 − 2x ) = � � ( 5 − 2x ) = a/ A = � +2− 2 2 �( 4 − x ) � ( 5 − 2x2 ) �2 x + x 2x − x2 � 2 2 x � � Với x= 3,92 � x = 3,92 � 4 − x = 0, 08 � 2 ( 4 − x ) = 0,16 2 2 2 5 �� 1 � � 1 � �� 3 3 5 �� 2 �+ � y 5 � �� 2 3. �2 �� 3 3 2 + 27 y 5 11 �� B=� + 310 32 y 2 − 2 � −2 �= � � + 3.2 2 y 5 − 2 �−2 �= .3 � � 3 � 2 + 35 y � � 1 1 � � � � 22 + 3y 5 �� 5 5 � � � �2 � �11 2 11 = �2 − 2 2.3 y 5 + 32 y 5 + 3.2 2 y 5 − 2 �−2 �= � 5 �= y 2 . Với y=1,2 suy ra y 2 = 1, 44 3 y � � �� Bài 5. Rút gọn biểu thức sau : 4 1 −1 � b� a − 8a b 2 3 3 a. A = 2 . �− 2 � − a 3 ĐS: A=0 1 2� 3 a� a 3 + 2 3 ab + 4b 3 � � � 11 � 1 1 8b − a � a b a − 2b 3 33 3 � b. B = + � −1 −� 1 2 1 1 2 6�3 − − − 4a 3 + 2a 3 b 3 + b 3 � �a − b 2 3 � Giải 1 4 1 1 −1 a 3 ( a − 8b ) � b� a − 8a b 2 2 a3 3 3 a/ A = 2 . �− 2 3 � − a 3 = 2 − a3 1 .1 2� a� 11 2 1 a 3 + 2 3 ab + 4b 3 � � a 3 + 2a 3 b 3 + 4b 3 a 3 − 2b 3 2 2 ( a − 8b ) ( a − 8b ) − a 2 = 0 2 a a 3 3 = −a =3 3 a − 8b 2 1 1 2 2 1 1 2 a + 2a b + 4a b − 2a b − 4a b − 8b 3 3 3 3 3 3 3 3 � �3 2 � �1 1 2 � − 2b � b � a a3 3 3 � � � 1 1 1 1 22 8b − a � a b a − 2b 8b − a � a 3 b 3 3 3 3 3 + �2 � � � b/ B = + = = 6 � −3 � 6 �1 2� 1 1 2 1 1 2 1 �3 � 11 � a − b − 3 4a − 3 + 2a 3 b − 3 + b − 3 � �b − a �b + 2a b + a � 2 2 3� 3 3 4 33 � � � � � � � � �2 1 2� �1 � 11 2 � b + 2a b + a − � − 2b 3 �� 2 2 4 a 3 33 3 3 8b − a � �� 3 b 3 = 8b − a �6ab � ab � = = a � � � � 6 �b − a � 3 3 6� 8 � 1 � �1 � � �b �− � � 23 a3 � � � �� Bài 6. Rút gọn biểu thức sau 1 ��3 5 � − 7 �� 1 1 1 �� 2 a. A= ��2 .5 3 �2 4 �� : �3.2 4.3 2 �� ( đáp số : A= 15/2 ) �3 : : 16 5 � �� Trang 3 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 1 −1 � 1 �2 b. B = ( 0,5 ) − 6250,25 − � � + 19. ( −3 ) −4 −3 2 �4� Giải 1 1 ��3 � − 7 �� 1 1 �� 2 5 3 2 4.5 3 2 4 3 4 � 357 111 1 2 � �� 5 1 2 � 252 � 15 3 3 �2 � 2 �= a/ A= �� .5 �2 4 �� : � .2 4.3 2 �� = = �3 : : 16 5 3 3 �� 22 � 2 24 � � �� b/ 1 3 −1 −4 −2. 1 � 1 �2 1 3 1 8 19 �� 2 − � � + 19. ( −3) = � � − ( 54 ) 4 − B = ( 0,5 ) −4 −3 − 625 − � � + 19 = 16 − 5 − − = 10 0,25 2 ( −3) 3 �4� 2 2 27 27 �� Bài 7 . Rút gọn biểu thức sau : �3 � �4 �3 �4 � 3 3 � a − b �a + b 4 � 4 � � �1 1 1 � � −1 � a − b − a − b �� 4 � 1 2 2 � �� ab � � a. A = � 3 − b � b. B = − :a 4 1 �� 11 1 1 1 � 4 + a 2 b 4 a 4 + b 4 �� a2 − b2 a � � � � � � Giải a/ � � � �1 � � 1 1 1 1 11 a −b a 2 − b 2 �� 4 � � a −b a 2 − b 2 �� 1 � a − b − a + a 2b 2 1 1 1 A = �3 −1 : a − b4 � 1 1 = −1 : a4 − b4 �=11 = .1 1 �� 1 �� 2 � 4 + b 4 � a 4 + b 4 �� 11 � a2 �4 + b4 � �4 − b4 � 1 1 1 � � +a b a +b � a �� 4 24 4 4 aa a a � � �� 1 1 1 b2 � 2 − b2 � b a =1 = �1 1� � 2 − b2 � a a2 �a � �3 � �3 � � �3 � � �1 � �1 � 3 3 3 11 1 1 � � 2 − b 2 − a 2 b 2 � 2 − b 2 � � 2 − b 2 �a − b ) ( � a 4 − b 4 �a 4 + b 4 � a a �a � � � � � � ab � � � �= � � � � = ( a − b) b/ B = � − = �� 1 1 1 1 �1 � 1 a −b a −b � −b � � �� 2 2 2 2 a 2 2 � �� 3 �1 �2 � 3 1 x2 − a2 x − a2 � 1 � �� + ( ax ) 2 Bài 8 .a. Rút gọn các biểu thức sau : C = � 1 (đáp số C=1) � x−a � � 1 x2 − a2 � �� ) ( 3 b. Chứng minh : a 2 + 3 a 4b2 + b 2 + 3 b 4 a 2 = a2 + 3 b2 . 3 Giải Trang 4 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 2 �1 �� 2 �� 11 � 1 2 x − a 2 �x + x 2 a 2 + a � 1 1 � �2 �2 � �� 3 3 1 1 1 1 � � � − a + ( ax ) 2 � x − a � = � x2 − a2 x 1 2 2 � �� x2a2 � � � � a/ C = � 1 1 + � x−a � � � �� 1 � 1� 1 1 �2 �1 � 1 �2 − a 2 x2 − a2 �� 2 − a 2 � x + a 2 � x �� x � � � �� 2 �1 � 1 � +a � x 2 2 =� �= 1 12 �2 � 1 � +a � x 2 � � ) ( 3 b. Chứng minh : a 2 + 3 a 4b 2 + b 2 + 3 b 4 a 2 = a2 + 3 b2 3 )( ) ( � a 2 + 3 a 4b 2 + b 2 + 3 a 2b 4 + 2 2a 2b 2 + a 2 3 a 2b 4 + b 2 3 a 4b 2 = a 2 + 3 3 a 4b 2 + 3 3 a 2 b 4 + b 2 � 2 a 2 b 2 + a 2 3 a 2 b 4 + b 2 3 a 4 b 2 = 3 a 2 b 4 + 3 a 4 b 2 � 2 a 2 b 2 + 3 a 8 b 4 + 3 a 4 b 8 = 3 a 8b 4 + 2 3 a 6 b 6 + 3 a 4 b 8 Bài 9. 847 3 847 a. Không dùng bảng số và máy tính hãy tính : 3 6 + + 6− ( đáp số : =3 ) 27 27 ( )( )( ) 1 = 3−8 2 3+ 4 2 3+ 2 8 4 b. Chứng minh rằng : 3+ 8 2 8 Giải �� 847 3 847 � � + 847 �6 + 847 � = 12 + 3 y 3 36 − 847 = � 6+ + 6− � y = 12 + 3 y � 3 36 a/ Đặt y= � 3 27 � � 27 � �� 27 27 27 � � � � � 125 = 12 + 5 y � y 3 − 5 y − 12 = 0 � ( y − 3 ) ( y 2 + 3 y + 4 ) = 0 � y = 3 12 + 3 y 3 27 ( )( )( )( ) ( )( )( ) b/ � 1 = 3+8 2 3−8 2 3+4 2 3 + 2 ; VP � 3−4 2 3+ 4 2 3+ 2 8 8 4 4 4 ( )( ) 3− 2 3 + 2 = 3 − 2 = 1 = VT � Bài 10 .Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau : 11 ( a > 0) a. A = 5 2 3 2 2 . b. B = a a a a : a 16 b3a ( x > 0) ( ab > 0 ) c. C = 4 x 2 3 x d. D = 5 ab Giải � � 1 1 �� 1 � �� 3 � � � 1 � 3 1 � 1 1 1 5 5 3 �2 3 � �2 �2 .2 .2 �� 2 3 5 a. A = 2 2 2 = �� =� .2 = 2 .2 = 2 = 2 5 3 2 25 10 �� Trang 5 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 1 � � 1 1 2 � 3 1 � � 11 � 3 1 � 11 1 15 2 2 �� 2 2 � � 16 � 4 +1 � � 6 � 8 +1 � 16 a 16 11 7 11 � 1 2 2 �a b/ B = a a a a : a 16 = �� a .a � : a = � �.a : a = � �: a = 11 = a 4 a a � � �� a 16 � � � � � � LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ Bài 1. Đơn giản các biểu thức : 2 −1 () 1 a. a . � � 3 3 b. aπ . 4 a 2 : a 4π c. a d. a 2. .a1,3 : 3 a3 2 2 �� a �� Giải 1 2 −1 1 a. a . � � (a ) 1 2 −1 = a . b/ aπ . 4 a 2 : a 4π = aπ a = a 2 = a 2 −1 1− 2 =a =a a 2 2 2 �� a �� aπ () a 2 ..a1,3 3 d/ a 2. .a1,3 : 3 a 3 2 = =a = a3 = a1,3 3 3. 3 c/ a 2 a Bài 2. Đơn giản các biểu thức : (a )( ) − b2 a2 2 3 −1 a2 3 + a + a3 23 3 3 +1 (đáp số : a 3 + 1 ) a. b. ( ) 2 −b 2 3 a −a 43 3 a −b π 5 7 a �1 � (a ) 2 5 7 π π − �π ab � (đáp số : a − b π π (đáp số : a +b c. ) d. 4 −b 25 3 7 27 3 3 � � +a b +b a 3 3 3 3 Giải (a )(a ) +1 = a −b +b 2 3 2 3 − b2 +b 3 +a −b a2 2 3 2 2 3 2 2a +1 = = a/ ( a −b ) ( ) ( ) 2 2 −b 2 3 a 2 3 −b −b 2 3 2 3 a a (a )( + a ) ( a − 1) ( a + 1) a ( a + 1 + a ) −1 a2 3 + a 23 3 33 3 3 3 3 23 =(a ) = +1 3 b/ a ( a − 1) ( a + 1 + a ) −a 43 3 a 3 3 3 23 �5 � 25 � � 7 3 7 27 � 3 −b �a 3 + a 3 b +b a � � 3 3 3 � � � � −b 5 7 5 7 a c/ =� � � �a = −b 3 3 25 3 7 27 25 3 7 27 +a b +b +a b +b a a 3 3 3 3 3 3 3 3 π �1 � (a + bπ ) − �π ab � = a 2π + b 2π + 2aπ bπ − 4aπ bπ = (a − bπ ) = aπ − bπ 2 2 π π d/ 4 � � DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ • Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số , sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha . • Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạng bất đẳng thức . Trang 6 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Bài 1. Hãy so sánh các cặp số sau : a. 3 30 b. 4 5 c. 17 5 3 3 20 7 28 3 2 1 1 e. � � �� d. 4 13 f. 4 5 7 5 23 4 �� 3 3 �� Giải 30 = 15 305 = 15 243.105 3 � 3 30 > 5 20 a/ 20 . Ta có 3 5 30 20 = 20 = 8.10 15 3 15 3 5 5 = 12 53 = 12 125 4 �37>45 b/ 5 7 . Ta có : 3 4 7 = 12 7 4 = 12 2401 3 17 = 6 173 = 6 4913 � 17 > 3 28 c/ 17 28 . Ta có : 3 28 = 28 = 784 6 2 3 6 13 = 20 135 = 20 371.293 4 � 4 13 > 5 23 d/ 13 23 . Ta có : 5 4 23 = 20 234 = 20 279.841 5 3 2 3 2 1 1 1 1 e/ � � �� 3 > 2 �� 5�4 0,8 � 2 > 2 . 1,7 0,8 1,7 0,8 b/ 1, 7 > 0,8 1,7 0,8 1,7 0,8 1 1 1 1 �� < � � � � �� ; do : 1 0 < � � c/ � � �� ; do : 3 �2 � �2 � �� < 1 �2 � �2 � 0< �� 2 5 − � �= 1 ; d/ � � � do : 1; 7 7 7 �� 5 0 <
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 2,5 − 12 < − 6, 25 1 �� ( 2,5) 2 < ( 2) = ( 2) − − 6,25 − � 2− 12 12 � � ; do : e/ 2 � 2 >1 2� � 2 2 � 5 � 5 � �� 4 1 5 1 5 1 � �= > � �� = �6 � 36 � �� 36 3 < 0, 7 3 �� 0, 7 ; do : � 0, 7 6 f/ 0, 7 6 3 0 < 0, 7 < 1 Bài 3. Chứng minh : 2 + 30 3 > 2 20 Giải 2 > 1 =1 20 20 � 20 2 + 30 3 > 2 Ta có : 3 > 1 =1 30 30 Bài 4. Tìm GTLN của các hàm số sau . b. y = ( 0,5 ) sin 2 x a. y = 3− x + x Giải − x+ x a/ y = 3 . 1 �� 1 1 Đặt t = x �� y = − x + x = −t + t ( t �� 0) y ' = −2t + 1 = 0 � t = = 2 � maxy=y � � 0 2 �� 4 2 1 Do vậy : y = 3− x+ 34 = 4 3 GTLNy = 4 3 x 1 1 b/ y = ( 0,5 ) sin 2 x 2 2 . Vì : 0 =sin� =��0�� 2 x 1 0,5sin x 0,51 0,5sin x y GTLNy 2 2 Bài 5. Tìm GTNN của các hàm số sau “ x b. y = 2 x −1 + 23− x a. y = 2 x + 2 x 2 2 c. y = 5sin x + 5cos x e. y = e1+ x 2 Giải GTNNy = 2 � 2− x = a/ y =2 − =� + 2 x x x x 0 � 2 x = 2− x 2 x −1 = 23− x y = 2 x −1 + 23− x � 2 x −1+3− x = 2 22 = 4 � min y = 4 �� x=2 2 b/ x −1 = 3 − x 2 2 π π = 5cos x 5sin x sin 2 x cos 2 x sin 2 x + cos 2 x c/ y = 5 �= �= �+ 5 + 5 2 2 min y 2 cos2x=0 x= k 4 2 sin 2 x = cos 2 x x x 1 e/ y = e1+ x � 2 x = e 2 = e � { x = 1 2 e VẼ ĐỒ THỊ Bài 1. Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục 1 1 b. y = x 5 �y = x −5 a. y = x 4 �y = x 4 c. y = x 2 �y = x 2 ( Học sinh tự vẽ đồ thị ) Trang 8 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Bài 2. Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu : 2 x − 2− x y= . Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ? 2 Giải ( 1) 2 >2x1 x2 � x1 > 2 x2 ( 1) � x1 > 2 x2 ( 1) 2 2 � � Giả sử : x1 > x2 �� x1 x2 �1 � − x1 � − x1 1 � �2 ) < ( 2 ) ( � ( 2) > − ( 2) ( 2) − x2 − x2 � � x2 2 x1 − 2− x1 2 x2 − 2− x2 > � � . Vậy hàm số luôn đồng biến trên R . y ( x1 ) > y ( x2 ) 2 2 Bài 3. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ? x x x x π �3 � −x � � 1 2 �� c. y = � d. y = 3 � a. y = � � b. y = � � � � �3+ 2� �3− 2� 3 e �� Giải x x π π π �� a/ y = � �. Do > 1 � y = � �. Là một hàm số đồng biến 3 3 3 �� x x 2 2 2 �� b/ y = � �. Do 0 < < 1 � y = � � Là một hàm số nghịch biến e e e �� x x ( ) �3 � �3 � 3 c/ y = � =3 3 − 2 3 ) ( ) 3− 2 � � 3 � �3− 2� � 3 � � � � BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT I. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau : x −1 x2 + 1 � x2 + 2 � � � x−3 a. y = log 1 b. y = log 1 � 5 f. y = log 0,3 � 3 � c. y = log 2 log log � x+5 x+3 � x+5 � x +1 5� � 2 x −1 1 x −1 e. y = lg ( − x + 3x + 4 ) + 2 d. y = log 1 − log 2 x 2 − x − 6 g. y = log x +1 2x − 3 x − x−6 2 2 Giải x −1 a/ y = log 1 . Điều kiện : x+5 2 x −1 x −1 � −1 �−2 log 1 0 x 1 −1 0 0 x −1 � 2 x +1 � +1 � � x �� +1 � � +1 x x � � −1 > 0 x � −1 > 0 x � < −1 �x > 1 � < −1 �x > 1 x x � � x +1 x +1 Trang 9 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Vậy D= ( 1; + ) � x2 + 1 � x2 − x − 2 log 1 � 5 log �0 0 x+3 � x+3 3� x2 + 1 1 x2 + 1 x 2 − 5 x − 14 � x2 + 1 � � +3 � x y = log 1 � 5 0 �� log 5 1 0 � Điều kiện : � log b/ . � � x+3 x+3 x+3 � � < x +1 5 2 5� � � 0 � > −3 � x2 + 1 � x+3 x �< 0 5 � x+3 −3 < x < −1 �x > 2 � x � −3; −2 ) �( 2;7 ) ( � −�< x < −3 � 2 < x < 7 − Phần còn lại học sinh tự giải Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau : � 1 − 1 log9 4 � 1 + 25log125 8 � log7 2 81 .49 a. � 4 2 b. 161+ log4 5 + 4 2 log2 3+ 3log5 5 � � � 1 log7 9 −log7 6 − log 3 4 � 36log6 5 + 101− lg2 − 3log9 36 +5 c. 72 � 2 49 d. � � � Giải � � log7 2 � 4�1 − 1 log9 4 � 2log53 23 � 2log7 2 11 − log 9 4 = �3) �4 2 �+ 5 (� + 25 log125 8 81 .49 7 42 a/ � � � � � � � � �1−log3 4 �log7 4 � 1 3 � 2 .3log5 2 +5 = � + 4 � = 19 3 7 4 =� 3 � 4 � � � � 1 b/ 161+ log4 5 + 4 2 log2 3+ 3log5 5 = 42( 1+ log4 5) + 2log2 3+ 6log5 5 = 16.25 + 3.26 = 592 � 1 log7 9−log7 6 − log � 9 1� ( ) � 4 log7 9 − 2log 7 6 + 5−2log5 4 = 72 � + � 18 + 4,5=22,5 +5 = = 72 � 2 49 � 72 7 c/ 5 � 16 � 36 � � d/ 36log6 5 + 101− lg 2 − 3log9 36 = 6log6 25 + 10log5 = 25 + 5 = 30 II. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau : 1 b. B = 2 log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 45 a. A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 3 2 3 3 3 1 d. D = log 1 ( log 3 4.log 2 3) c. C = log 36 2 − log 1 3 2 4 6 Giải 15.18 1 3 a/ A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 = log 9 = log 9 33 = log 3 33 = 10 2 2 1 36.45 � � b/ B = 2 log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 45 = log 1 � � log 1 9 = − log 3 3 = −4 = 2 4 3 2 3 � 20 � 3 3 3 3 Trang 10 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 1 1 1 1 1 c/ C = log 36 2 − log 1 3 = log 6 2 + log 6 3 = log 6 2.3 = 2 2 2 2 2 6 1 1 d/ D = log 1 ( log 3 4.log 2 3) = − log 4 ( log 2 3.log 3 4 ) = − log 4 ( log 2 4 ) = − log 2 2 = − 2 2 4 Bài 2. Hãy tính π� π ( ) ( ) � a. A = log 2 � + b. B = log 4 7 − 3 3 + log 4 49 + 3 21 + 3 9 3 3 2sin � log 2 cos 12 � 12 � 1 c. log10 tan 4 + log10 cot 4 d. D = log 4 x = log 4 216 − 2 log 4 10 + 4 log 4 3 3 Giải π� π π π� � π� 1 � � a/ A = log 2 � � log 2 cos = log 2 � + = sin � log 2 = −1 = 2sin 2sin .cos � log 2 � 12 � 12 � 12 12 � � 6� 2 � ( ) ( ) ( )( ) b/ B = log 4 3 7 − 3 3 + log 4 3 49 + 21 + 3 9 = log 4 �3 7 − 3 3 3 49 + 21 + 3 9 � log 4 ( 7 − 3 ) = 1 = 3 3 � � c/ C= log10 tan 4 + log10 cot 4 = log ( tan 4.cot 4 ) = log1 = 0 6.34 35 1 1 d/ log 4 x = log 4 216 − 2 log 4 10 + 4 log 4 3 = log 4 63 − log 4 102 + log 4 34 = log 4 �x= 102 3 3 50 Bài 3. Hãy tính : 1 1 1 1 ( x = 2011!) a. A = + + + .......... + log 2 x log 3 x log 4 x log 2011 x b. Chứng minh : log a b + log a x • log ax ( bx ) = 1 + log a x k ( k + 1) 1 1 1 + + ......... + = • log a x log a 2 x log ak x 2 log a x Giải 1 1 1 1 a/ A = + + + .......... + = log x 2 + log x 3 + ... + log x 2011 = log x 1.2.3...2011 log 2 x log 3 x log 4 x log 2011 x = log x 2011! . Nếu x=2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = 1 log a b + log a x b/ Chứng minh : log ax ( bx ) = 1 + log a x log a bx log a b + log a x ( dpcm ) Vế trái : log ax bx = = = VP 1 + log a x log a ax k ( k + 1) 1 1 1 + + ......... + = Chứng minh : log a x log a 2 x log ak x 2 log a x k ( 1+ k ) VT= log x a + log x a + ...log x a = ( 1 + 2 + 3 + ... + k ) log x a = = VP 2 k 2 log a x Bài 4. Tính : Trang 11 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT a 5 a3 3 a 2 a. A = log a a3 a 5 a b. B = log a a 3 a 2 5 a a c. log 1 a4 a a d. log tan1 + log tan 2 + log tan 3 + .... + log tan 89 0 0 0 0 e. A = log 3 2.log 4 3.log5 4......log15 14.log16 15 Giải � 3+ 1 + 1 � 1 1 37 a/ A = log a a a a = log a � 2 5 � 3 + + = = 3 5 a 2 5 10 � � �1+� + 1 + 2 � � 1 1 1 3 27 3 3 �� b/ B = log a a a 5 a a = log a � � 5 � � 1 + � � = 1 + 3 � � = 32 a2 � � 10 10 �� 1+ 5 + 2 � 3 a 5 a3 3 a 2 a 3� � 34 3 � 91 = − log a � 1 1 = − � − � − = c/ log 1 �+�� 15 4 � 60 a4 a �a 2 4 � a � � d/ log tan1 + log tan 2 + log tan 3 + .... + log tan 89 = log � = tan10 tan 890.tan 20.tan 87 0...tan 450 � 0 0 0 0 0 � � ( vì : tan 890 = cot10 � tan10 tan 890 = tan10 cot10 = 1 ; Tương tự suy ra kết quả 1 e/ A = log 3 2.log 4 3.log5 4......log15 14.log16 15 = log16 15.log15 14....log5 4.log 4 3.log 3 2 = log16 2 = − 4 Bài 5. Chứng minh rằng : a.Nếu : a 2 + b 2 = c 2 ; a > 0, b > 0, c > 0, c b 1 , thì : log c +b a + log c −b a = 2 log c +b a.log c −b a b. Nếu 0
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT c/ Nếu : log x a, log y b, log z c tạo thành cấp số cộng thì log x a + log z c = 2 log y b 2 log a x.log c z 1 1 2 + = � log b y = � log a x + log c z log a x log c z logb y 2 � +b� a d/ Nếu : a + b = 7ab � ( a + b ) = 9ab � � 2 �= ab . Lấy lê be 2 vế ta có : 2 2 �3 � � +b� � + b � ln a + ln b a a � ln a + ln b � ln � = = 2 ln � � �3 � �3 � 2 III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài 1. Tính a. A = log 6 16 . Biết : log12 27 = x b. B = log125 30 . Biết : log 3 = a;log 2 = b c. C = log 3 135 . Biết: log 2 5 = a;log 2 3 = b d. D = log 6 35 . Biết : log 27 5 = a;log 8 7 = b;log 2 3 = c e. Tính : log 49 32 . Biết : log 2 14 = a Giải 3− x 3− x log 3 27 3 3 a/ A = log 6 16 . Từ : log12 27 = x � = = x � log 3 4 = − 1 = � log 3 2 = log 3 12 1 + log 3 4 x x 2x (*) 2 ( 3 − x ) .2 x 12 − 4 x log 3 24 4 log 3 2 = Do đó : A = log 6 16 = = . Thay từ (*) vào ta có : A= x ( x + 3) x+3 log 3 6 1 + log 3 2 a + 3b log 2 5 a c/ Từ : C = log 3 135 = log3 5.3 = log 3 5 + 3 = +3= +3= 3 log 2 3 b b 1 1 d/ Ta có : a = log 27 5 = log 3 5 � log 3 5 = 3a; b = log8 7 = log 2 7 � log 2 7 = 3b (*) 3 3 log 5.7 log 2 5 + log 2 7 log 2 3.log 3 5 + log 2 7 b.3a + 3b 3b ( a + 1) Suy ra : D = log 6 35 = 2 = = = = 1 + log 2 3 1 + log 2 3 1+ b b +1 log 2 2.3 e/ Ta có : log 2 14 = a � 1 + log 2 7 = a � log 2 7 = a − 1 log 2 25 5 5 Vậy : log 49 32 = = = 2 log 2 7 2 ( a − 1) 2 log 2 7 Bài 2. Rút gọn các biểu thức a. A = ( log a b + log b a + 2 ) ( log a b − log ab b ) logb a − 1 1 b. B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) x log ( log x +1) + log 2 x 4 x 2 2 2 c. C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p Giải 2 � b +1 � log a/ A = ( log a b + log b a + 2 ) ( log a b − log ab b ) log b a − 1 = � a �( 1 − log ab a ) − 1 = � log a b � 2 2 2 � a b + 1 �� log a a � � a b + 1 �� a b + 1 �� log a b � � log log log 1 ��− �1= � − ��− �1= � − − 1 1 �1 � �� log a b �� 1 + log a b � � log a b �� + log a b � � log a b �� log a ab � 1 log a b + 1 1 = −1 = = log b a log a b log a b Trang 13 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 1 1 b/ B = log 2 2 x + ( log 2 x ) x + log 2 x 4 = 1 + 2 log 2 x + ( log 2 x ) ( log 2 x + 1) + ( 4 log 2 x ) = log ( log x +1) 2 2 x 2 2 2 2 1 + 3log 2 x + ( log 2 x ) + 8 ( log 2 x ) = 9 ( log 2 x ) + 3log 2 x + 1 2 2 2 ( log a p + 1) 2 � log a p � c/ C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p = � a p− � log a p = log 1 + log a p � 2 log p � a ( log a p + 1) � log 2 p � ( ) 3 = � log a p = a log a p � 1 + log a p � log a p � Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính log a x , biết log a b = 3;log a c = −2 : a 2 4 bc 2 a4 3 b c. x = a. x = a 3b 2 c b. x = ab 4 c c3 3 Giải ( ) 1 a/ Ta có : log a x = log a a 3b 2 c = 3 + 2 log a b + log a c = 3 + 2.3 − 1 = 8 = 23 2 �4 3 b � a 1 1 2 28 b/Ta có : log a x = log a � 3 � 4 + log a c − 3log a c = 4 + ( −2 ) + 6 = 10 − = = �c � 3 3 33 � � c/ Ta có : � 2 4 bc 2 � a 1 1 1 3 1 161 log a x = log a � 4 � ab c � 2 + 4 log a b + 2 log a c − 3 − 4 log a b − 2 log a c = 2 + 4 − 4 − 3 − 12 + 1 = 12 = � 3 � � Bài 4. Chứng minh 1 a. log ( a − 3b ) − log 2 = ( log a + log b ) với : a > 3b > 0; a 2 + 9b 2 = 10ab 2 b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có : b c log a b.log b c.log c a = 1 = log 2 • log 2 ; a a c b c a b 2 2 2 Trong ba số : log a b ;log b c ;log c a luôn có ít nhất một số lớn hơn 1 • b c a Giải a/ Từ giả thiết : a > 3b > 0; a + 9b = 10ab � a 2 − 6ab + 9b 2 = 4ab � ( a − 3b ) = 4ab 2 2 2 1 Ta lấy log 2 vế : 2 log ( a − 3b ) = 2 log 2 + log a + log b � log ( a − 3b ) − log 2 = ( log a + log b ) 2 b c = log 2 . b/ Chứng minh : log 2 a a c b −1 2 b c c 2b c� 2c �� * Thật vậy : log a = log a � � = − log a � log a = � log a �= log a − c b b c� b� b �� * log a b.logb c.log c a = 1 � log a b.log b a = log a a = 1 * Từ 2 kết quả trên ta có : 2 b� b a� c a c log log 2 log 2 = � a .log b log c �= 1 Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn 2 log a b c b cc aa � bc ca a b� b hơn 1 Trang 14 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT IV. BÀI TẬP VỀ SO SÁNH • Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1) và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau • Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn một số b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b . Từ đó suy ra kết quả 1 • Ví dụ 1: so sánh hai số : log 3 4 log 4 . Ta có : 3 1 1 log 3 4 > log 3 3 = 1;log 4 < log 4 4 = 1 � log 3 4 > log 4 3 3 • Ví dụ 2. So sánh : 3 log6 1,1 log 6 0,99 7 . Ta có : >3 = 1; 7 7log 6 0,99 log6 1,1 log 6 1 log 6 0,99 log 6 1 3 Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính .Hãy so sánh : 3 2 1 b. log 5 log 3 d. log 3 2 log 2 3 log5 a. log 0,4 2 log 0,2 0,34 c. 2log 3 3 2 5 4 5 3 4 2log 2 5+ log 1 9 5 2 3 + log 4 e. log 2 3 log 3 11 g. 4log f. 2 8 18 11 2 1 log6 2 − log 5 8 1 k. � � 6 log 3 2 + log 1 2 h. 9 3 18 9 �� 5 9 6�� Giải 2 >1 log 0,4 2 < log 0,4 1 = 0 � log 0,2 0,3 > log 0,4 2 a/ log 0,4 2 log 0,2 0,34 . Ta có : 0,3 < 1 log 0,2 0,3 > log 0,2 1 = 0 5 3 3 >1 0< log 5 b/ log 5 log 3 � log 3 . Ta có : 4 5 3 2 2 5 34 0< < 1, 0 < < 1 > log 3 1 = 0 3 4 log 3 4 4 5 5 4 4 log 5 3 > log5 1 � 2 >2 = 20 = 1 log5 3 log5 1 1 1 � log 5 3 > log 5 log 5 c/ 2log . Ta có : 1 53 1 3 2 log 5 2 log 5 < log5 1 � 3 2 < 3log5 1 = 30 = 1 2 log 3 1 < log 3 2 < log 3 3 � 0 < log 3 2 < 1 � log 2 3 > log3 2 d/ log 3 2 log 2 3 . Ta có : log 2 2 < log 2 3 < log 2 4 1 < log 2 3 < 2 1 < log 2 3 < 2 � log 3 11 > log 2 3 e/ log 2 3 log 3 11 . Ta có : log 3 11 > log 3 9 = 2 25 2log 2 5 + log 1 9 25 25 log 2 2log 2 5+ log 1 9 8 . Ta có : 2 log 2 5 + log 1 9 = log 2 25 − log 2 9 = log 2 =2 9 = �2 f/ 2 2 2 9 9 2 2log 2 5 + log 1 9 2 25 25 625 648 Nhưng : = = < = 8�2
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 5 81.11 891 90 log 2 3+ log 4 = > = 18 � 4 > 18 Nhưng : 11 5 5 5 8 log 3 2 + log 1 h/ 9 5 . Ta có : 9 9 8 �� 2.3 8 log 3 2 + log 1 8 6 36 40 log 3 � � log3 2− log3 2log3 2 − log 9 9 =3 =3 =3 = = < =5 �8� 9 9 9 9 8 8 8 1 log 2 − log 5 16 k/ � � 6 2 18 . 3 �� 6 �� 1 log 2 − log 5 1 16 1 31 Ta có : � � 6 2 log 6 = 6− log6 2 −log6 5 = 6− log6 10 = 6 = = < 3 18 10 �� 6 10 1000 �� Bài 2. Hãy so sánh : 1 c. 2 ln e3 �8 − ln a. log 2 10 log 5 30 b. log 3 5 log 7 4 e Giải log 2 10 > log 2 8 = 3 � log 2 10 > log 5 30 a/ log 2 10 log 5 30 . Ta có : log 5 30 < log 5 36 = 3 log 3 5 > log 3 3 = 1 � log 3 5 > log 7 4 b/ log 3 5 log 7 4 . Ta có : log 7 4 < log 7 7 = 1 2 ln e3 = 2.3 = 6 1 1 � 8 − ln > 2 ln e3 c/ 2 ln e �8 − ln . Ta có : 3 1 8 − ln = 8 + 1 = 9 e e e Bài 3. Hãy chứng minh : 1 a. log 1 3 + log 3 < −2 c. log 3 7 + log 7 3 > 2 b. 4log 7 = 7log 54 5 2 2 1 5+ 7 log 5 + log 7 + log 3 �log19 − log 2 d. 3log 5 = 5log e. f. log 23 2 2 2 2 Giải 1 1 1 ( *) log 1 3 = � log 3 + 1 �2 a/ log 1 3 + log 3 < −2 . Ta có : 1 1 2 log 3 log 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 log 3 < 0 � − log 3 − > 2 � log 3 + < −2 Nhưng : 2 log 1 2 log 1 2 3 3 2 2 b/ 4log 7 = 7log 4 . Ta có : 4log 7 = ( 7log ) 4 log 5 7 = 7log5 7.log7 4 = 7log5 4 . Vậy 2 số này bằng nhau 5 7 5 5 1 c/ log 3 7 + log 7 3 > 2 . Ta có : log 3 7 > 0 � log 3 7 + log 7 3 = log 3 7 + >2 log 3 7 d/ 3log 5 = 5log 3 . Ta có : 3log 5 = ( 5log 3 ) log 2 5 = 5log2 5.log5 3 = 5log 2 3 2 5 2 2 Trang 16 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 1 + log 3 = log 10 + log 3 = log 3 10 = log 900 2 1 e/ + log 3 �log19 − log 2 . Ta có : 2 19 361 log19 − log 2 = log = log 2 4 361 1 � log 900 > log � + log 3 > log19 − log 2 4 2 5+ 7 log 5 + log 7 5+ 7 5+ 7 log 5 + log 7 = 5. 7 f/ log . Ta có : � log log 5. 7 2 2 2 2 2 Bài 4. Hãy so sánh : 6 5 c. log 1 e log 1 π b. log 1 9 log 1 17 a. log 3 log 3 d. 5 6 3 3 2 2 5 3 log 2 log 2 2 2 Giải 6 5 > log 3 = 0 65 log 3 > 6 5 6 5 5 5 � log 3 > log 3 . Hoặc : 5 6 � log 3 > log 3 a/Ta có : 5 6 5 6 5 6 3 >1 log 3 < log 3 = 0 6 6 1 0 < log 1 17 b/ . Ta có : 3 3 3 9 < 17 3 3 1 0
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau : ) ( b. log 2 ( x − x + 1) a. y = x ln x2 + 1 2 2 c. y = 3 ln 2 x �− x � � −4� �2 −9 � x x 1 d. y = log 2 � e. y = log 3 � f. y = log � � � � � � � +4� �x + 5 � x �2 x � Giải ) ) ) ( ( ( x2 x x3 a/ y = x ln x + 1 � y ' = 2 x.ln x +1 + = 2 x.ln x +1 + 2 2 2 2 2 ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2x −1 b/ y = log 2 ( x − x + 1) � y ' = x 2 − x + 1 ln 2 2 ( ) �2 −1 2 � 2 1 y = 3 ln 2 x � y ' = � x ) 3 �= ( ln x ) 3 = 3 ( ln ' c/ �3 x 3 x ln x � 1 � 16 x−4� � −4� x 16 d/ y = log 2 � � y' = = � �2 : � ln 2 �x + 4 ) x + 4 � ( x − 4 ) ln 2 ( � +4� 2 x � � 1 �x ( x + 5) − x + 9 x 2 − 9 � 2 � −9� x 2 + 10 x + 9 2 2 x y = log 3 � � y' = = : � � e/ � x + 5 � ( x + 5 ) ( x 2 − 9 ) ln 3 ln 3 � ( x + 5 ) 2 �x + 5 � � � ( ) ( ) � � 1 � x +1 1− x � x +1 �− x � 1 f/ y = log � � y'= = � : ( ) �2 x � ln10 � x x 2 x � 8 x ln10 1 − x 16 � � � � II. GIỚI HẠN Bài 1. Tìm các giới hạn sau : ln ( 3x + 1) − ln ( 2 x + 1) ln ( 3x + 1) ln ( 4 x + 1) a. lim b. lim c. lim x sin 2 x x x0 x0 x 0 ln ( 1 + x 3 ) ex −1 5 x +3 −e 3 e e. lim d. lim f. lim x +1 −1 2x x0 2x x0 x 0 Giải ln ( 3x + 1) − ln ( 2 x + 1) ln ( 3x + 1) ln ( 2 x + 1) = lim − lim = 3− 2 =1 lim a/ x 0 3 2 x x0 x0 x x 3 2 ln ( 3x + 1) 3x ln ( 3x + 1) ln ( 4 x + 1) ln ( 4 x + 1) 3 3x = lim =, = lim 4 =4 b/ lim c/ lim sin 2 x sin 2 x 2 x 4x x0 x0 x0 x0 2x 2x ( e − 1) = 5e3 , 5x ex −1 ex −1 ( ) e5 x + 3 − e 3 = lim x + 1 + 1 = 1.2 = 2 = lim e3 5 e/ lim d/ lim 2. ( 5 x ) x +1 −1 x 0 x 2x 2 x0 x0 x0 Bài 2. Tìm các giới hạn sau ln ( 2 x + 1) e 2 x − e3 x e3 x − 1 a. lim b. lim c. lim tan x 5x x x 0 x 0 x 0 Trang 18 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT � � 1 1 − cos5x sin 3 x d. xlim � x − x � xe e. lim f. lim x2 x + x0 x0 � � Giải ln ( 2 x + 1) 2x ln ( 2 x + 1) 2x = lim =2 a/ lim b/ tan x tan x x0 x0 x x e −e e −1 e3 x − 1 2 3 2x 3x 2x 1 = lim − lim 3 = − =− lim x 0 5 ( 3x ) x05 5x 55 5 x0 .2 x 2 �1 � � x −1 � �1 � �1 � e e −1 e −1 3x 3x lim � x − x � lim = x �x − 1� lim � = = d/ x + xe e �1 = lim 3 =3 c/ lim �x + �1 � �x + x 3x � � x 0 x0 �x � 5x 2sin 2 1 − cos5x 2 = 25 sin 3x sin 3 x = lim f/ lim x 2 = lim 3 =3 e/ lim 2 4 �x � 2 5 x0 x0 x 3x x0 x0 �� 25 �2 � Bài 3. Tìm các giới hạn sau : � � � 2 − 2 cos x � �1 � cosx − cos3x 3 c. xlim ( x + 2 ) sin b. lim �osx − t anx � d. lim � � a. lim � �−π � πc � � sin 2 x π x � + x0 x x sin x 2 � � 4� � 4 �� Giải −2sin 2 x sin ( − x ) cosx − cos3x 4 cos x.sin 2 x = lim = lim =4 a/ lim sin 2 x sin 2 x sin 2 x x0 x0 x0 �1 � b/ lim �osx − t anx � . πc � � x 2 π π π �1 1 − cost 1 1 � t= −x�x= t � − t anx= − tan � − t � = − cot t = π� Đặ t : � 2 2 cosx 2 � sin t sint � cos � − t � 2� � t t 2sin 2 tan π t �1 2 � 2 = tan 2 =� = . Khi x � ; t � 0 � lim � − t anx � lim = t t t 2 2 π cosx t 0t � � x 2sin cos 2 2 2 2 x + ;t 0 1 3 3 lim ( x + 2 ) sin = lim ( 6t + 3) = 3 c/ xlim ( x + 2 ) sin . Đặt : t = �� 3 � 1� ( x + 2 ) = � + �t = 6t + 3 x + 2 3 x x t0 x + x � t� Trang 19 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT π π x=t+ ;x ;t 0 � � 4 4 � 2 − 2 cos x � π π� � � Đặt : x − = t 2 − 2 cos � + t � d/ lim � . 4 � 2 ( 1 − cost+sint ) � �−π � 2 − 2 cos x 4 π � � = = x sin x � � 4� � 4 � π� sin t sint �� sin � − � x � 4� t t t t t 2sin 2 + 2sin cos sin + cos 2 ( 1 − cost+sint ) 2 = 2 tan t + 2 2 2 2= 2 2 =2 Do đó : t t t sint 2 2sin cos cos 2 2 2 � � � 2 − 2 cos x � t � lim � 2 tan + 2 � 2 = = Vậy : lim � � � � �−π � t o � 2 π � � x sin x � � 4� � 4 �� Trang 20 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218