Khai thác những cách tạo tình huống gợi vấn đề trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông

Chia sẻ: Minh Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trên cơ sở những cách tạo tình huống gợi vấn đề, bài báo này sẽ phân tích và đưa ra những gợi ý cụ thể hơn để có thể thiết kế được những tình huống gợi vấn đề, phân tích góc độ sư phạm của việc sử dụng những tình huống này trong dạy học môn Toán ở trung học phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khai thác những cách tạo tình huống gợi vấn đề trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci. 2011, Vol. 56, No. 4, pp. 13-23 KHAI THÁC NHỮNG CÁCH TẠO TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Lê Tuấn Anh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội E-mail: letuananh11@hotmail.com Tóm tắt. Thực tế cho thấy giáo viên toán thường gặp khó khăn khi vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào thực tiễn dạy học. Trên cơ sở những cách tạo tình huống gợi vấn đề, bài báo này sẽ phân tích và đưa ra những gợi ý cụ thể hơn để có thể thiết kế được những tình huống gợi vấn đề, phân tích góc độ sư phạm của việc sử dụng những tình huống này trong dạy học môn Toán ở trung học phổ thông. 1. Mở đầu Thực tế cho thấy giáo viên toán thường gặp nhiều khó khăn khi vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề (DHPHVGQVĐ) vào thực tiễn dạy học: Trình độ học sinh (HS) trong một lớp không đồng đều; Thời gian dạy học khi vận dụng phương pháp DHPHVGQVĐ cần nhiều hơn so với khi sử dụng những phương pháp truyền thống; Một số giáo viên chưa thành thạo khi thiết kế tình huống gợi vấn đề (THGVĐ), chưa nắm vững về DHPHVGQVĐ... Trên cơ sở những cách tạo THGVĐ [5; 197-199], chúng tôi sẽ phân tích và đưa ra những gợi ý cụ thể hơn để có thể thiết kế được những THGVĐ, phân tích góc độ sư phạm và xây dựng những ví dụ về những cách tạo THGVĐ trong dạy học môn Toán trung học phổ thông (THPT). 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề THGVĐ thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện: tồn tại một vấn đề, gợi nhu cầu nhận thức và khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân [5; 186-187]. Những cách thường dùng để tạo THGVĐ: dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc. . . ), lật ngược vấn đề, xem xét tương tự, khái quát hóa, giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải, tìm sai lầm trong lời giải, phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm [5; 197-199]. 13
Lê Tuấn Anh 2.2. Một số lưu ý về những cách tạo tình huống gợi vấn đề - Việc phân loại những cách tạo THGVĐ nói trên chỉ mang tính chất tương đối, chẳng hạn một THGVĐ có thể vừa xem như được thiết kế nhờ dự đoán từ nhận xét trực quan, thực nghiệm, đồng thời dựa vào khái quát hóa. - Những cách tạo THGVĐ nói trên là những gợi ý, định hướng để giáo viên có thể thiết kế những THGVĐ phù hợp với điều kiện cho phép, từ đó có thể vận dụng DHPHVGQVĐ trong thực tiễn dạy học. Giáo viên nên căn cứ vào trình độ HS, thời gian dạy học, phương tiện dạy học. . . để thiết kế, lựa chọn và sử dụng những THGVĐ phù hợp (chú ý tới điều kiện gợi nhu cầu nhận thức và khơi dậy niềm tin ở khả năng). - Khai thác hợp lý những cách tạo THGVĐ nói trên trong dạy học, giáo viên có thể đạt được nhiều mục đích: vừa tạo ra THGVĐ để dạy học một nội dung nào đó theo phương pháp DHPHVGQVĐ, vừa giúp học sinh rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản (trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hoá, tương tự hóa,. . . ), những hoạt động trí tuệ phức hợp (lật ngược vấn đề. . . ); phát triển tư duy (tư duy hàm, tư duy biện chứng, tư duy sáng tạo. . . ); phát triển khả năng suy đoán; phát hiện và sửa chữa những sai lầm khi học toán; hình thành những phẩm chất trí tuệ (tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo),. . . - Trong bài báo này, chúng tôi cố gắng lựa chọn những bài toán minh họa không phức tạp, không cần nhiều thời gian từ những phân môn khác nhau của môn Toán (số học, đại số, hình học, giải tích...) nhằm khẳng định rằng có nhiều cơ hội để tạo THGVĐ trong dạy học môn Toán ở trường THPT. 2.3. Khai thác một số cách tạo tình huống gợi vấn đề trong dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông Phần này sẽ trình bày việc khai thác một số cách tạo THGVĐ dựa vào nhận xét trực quan và thực nghiệm, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa và phát hiện, sửa chữa sai lầm trong lời giải. 2.3.1. Dựa vào trực quan, thực nghiệm - Tạo THGVĐ dựa vào nhận xét nhờ trực quan và thực nghiệm có thể góp phần giải quyết hợp lý mối quan hệ giữa phương diện thực nghiệm và phương diện suy diễn trong dạy học môn Toán ở trường THPT. Theo [5; 38], “Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn Toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện”. Thực tế cho thấy, một số giáo viên chưa chú ý đúng mức đến phương diện thực nghiệm khi dạy học môn Toán ở trường THPT. - Tạo THGVĐ dựa vào nhận xét nhờ trực quan và thực nghiệm tạo nhiều cơ hội cho học sinh rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản: trừu tượng hóa, khái quát hóa, phân tích, tổng hợp, so sánh,... 14
Khai thác những cách tạo tình huống gợi vấn đề trong dạy học môn Toán... - Giáo viên cần có những ví dụ, bài tập giúp học sinh thấy rằng những nhận xét dựa vào thực nghiệm có thể đúng hoặc sai. Từ đó cần chứng minh hoặc bác bỏ một dự đoán dựa vào trực quan và thực nghiệm: - Từ nhận xét 1 = 12 ; 1 + 3 = 22 ; 1 + 3 + 5 = 32 đến dự đoán 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 (∀n ∈ N ∗ ) là một kết quả đúng (có thể chứng minh bằng phương pháp qui nạp toán học). 1 - Với bài toán “Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x + . Tìm hai điểm M, N x trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài MN nhỏ nhất”, nhiều học sinh sau khi vẽ (C) đã khẳng định (dựa vào√trực quan) là giá trị nhỏ nhất của MN là khoảng cách giữa hai điểm cực trị AB = 2 5 , với A(1; 2) và B(−1; −2) (Tuy nhiên kết quả này không đúng) [7; 11]. - Có thể dựa vào qui trình sau để tạo THGVĐ nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm: Bước 1. Kiểm tra bằng thực nghiệm hoặc trực giác (hình vẽ, dùng máy tính bỏ túi hoặc những phần mềm máy tính, chẳng hạn những phần mềm hình học động (Dynamic Computer Software) hoặc những chương trình đại số máy tính (Computer Algebra System) để kiểm tra. Bước 2. Hình thành dự đoán. Bước 3. Chứng minh dự đoán hoặc bác bỏ dự đoán. - Với hầu hết các bài toán, phương diện thực nghiệm chỉ thể hiện khi học sinh suy nghĩ, tìm tòi lời giải của bài toán (thường chỉ được trình bày trong giấy nháp). Tuy nhiên, phương diện này cũng xuất hiện khi học sinh trình bày lời giải một bài toán (ví dụ về lớp các bài toán tính đạo hàm cấp n (n ∈ N ∗ ) của một hàm số). Trong một số trường hợp, giáo viên nên chuyển một số bài toán chứng minh sang bài toán tìm tòi, tạo cơ hội cho học sinh tìm tòi kiến thức toán học. Có thể áp dụng cách này đối với nhiều bài toán chứng minh bằng phương pháp qui nạp toán học. Ví dụ 1. (Hướng dẫn học sinh lớp 11 tìm lời giải bài toán bằng cách tạo THGVĐ dựa vào nhận xét trực quan, thực nghiệm khi học dãy số) Trong một tài liệu, có bài toán và lời giải sau đây: “Cho dãy số ( xn ) được xác 1 + xn định như sau x1 = 2003, xn+1 = , ∀n ∈ N ∗ . Hãy tính x2005 . 1 − xn Lời giải 1. π π π tan + tan yn π Đặt xn = tan yn (− < yn < ) ⇒ tan yn+1 = 4 = tan (yn + ). 2 2 π 4 1 − tan tan yn 4 π Từ đó suy ra yn+1 = yn + , nên yn+4 = yn + kπ(k ∈ Z). 4 Dãy (yn ) có yn+4 = yn + kπ(k ∈ Z), ∀n ∈ N ∗ Suy ra: xn+4 = tan yn+4 = tan (yn + kπ) = tan yn = xn ∀n ∈ N ∗ . Suy ra x2005 = x1 = 2003.” Lời giải trên là lời giải hay, độc đáo, nhưng không tự nhiên. Có thể hướng dẫn 15
Lê Tuấn Anh học sinh giải bài toán trên bằng cách tạo THGVĐ dựa vào nhận xét thực nghiệm như sau: Lời giải 2: Bước 1: Hãy tính x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ,... theo x1 . 1 + x1 1 + x2 −1 1 + x3 x1 − 1 1 + x4 x2 = ; x3 = = ; x4 = = ; x5 = = x1 ... 1 − x1 1 − x2 x1 1 − x3 x1 + 1 1 − x4 Bước 2: Dự đoán kết quả. x1 = x5 = x9 =...= x4k+1 ; x2 = x6 = x10 =...= x4k+2 x3 = x7 = x11 =...= x4k+3 ; x4 = x8 = x12 =...= x4k+4 (∀k ∈ N). Bước 3: Chứng minh dự đoán. Dự đoán này có thể chứng minh bằng phương pháp qui nạp toán học. Lời giải 2 là lời giải tự nhiên có được nhờ tạo THGVĐ dựa vào nhận xét trực quan, thực nghiệm. Có thể áp dụng cách giải này cho nhiều bài toán liên quan tới tính chất của dãy số. Ví dụ 2. (Chuyển từ bài toán chứng minh sang bài toán tìm tòi dành cho học sinh lớp 11 khi học phương pháp qui nạp toán học) Với bài toán “Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 3, ta luôn có 2n > 2n + 1” [11; 101], có thể tạo THGVĐ bằng cách ra đề toán như sau: Tùy theo giá trị của số nguyên dương n, hãy so sánh 2n và 2n + 1. Để tìm lời giải của bài toán, học sinh có thể tiến hành theo các bước: Bước 1. Cho n những giá trị cụ thể 1, 2, 3, 4, 5. . . và so sánh 2n với 2n + 1. Bước 2. Dự đoán với mọi số nguyên dương n ≥ 3, ta luôn có 2n > 2n + 1. Bước 3. Chứng minh bài toán bằng phương pháp qui nạp toán học. 2.3.2. Dựa vào lật ngược vấn đề - Muốn khẳng định kết quả có được từ lật ngược vấn đề là đúng thì cần chứng minh, kết quả là sai thì phải đưa ra được một phản ví dụ. Một dạng thường gặp của lật ngược vấn đề trong dạy học môn Toán là xét mệnh đề đảo của một định lí. Tuy nhiên, lật ngược vấn đề không đồng nhất với xét mệnh đề đảo của một định lí (xem ví dụ 2 trong [8; 134]). Khái niệm mệnh đề đảo và các dạng mệnh đề đảo của một định lí được trình bày đầy đủ trong [3;46-53]. Giáo viên nên tạo cho học sinh thói quen lật ngược vấn đề và đưa ra những trường hợp đa dạng để học sinh thấy rằng kết quả có được từ lật ngược vấn đề có thể đúng hoặc sai, do đó cần chứng minh hoặc đưa ra phản ví dụ. Tạo THGVĐ dựa vào lật ngược vấn đề giúp học sinh nắm vững kiến thức, hiểu kĩ hơn về mệnh đề đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ... - Trong dạy học môn Toán ở trường THPT, giáo viên có nhiều cơ hội tạo ra THGVĐ nhờ lật ngược vấn đề. Sau đây là một số ví dụ về tạo THGVĐ bằng lật ngược vấn đề: Ví dụ 3. (Dành cho học sinh lớp 10 khi học về bất đẳng thức) a) Nếu a, b và c là độ dài 3 cạnh của tam giác thì a + b > c. 16
Khai thác những cách tạo tình huống gợi vấn đề trong dạy học môn Toán... Xét xem mỗi mệnh đề sau đây đúng hay sai: + Nếu a, b và c là các số thực thỏa mãn điều kiện a + b > c thì a, b và c là độ dài 3 cạnh của một tam giác (Mệnh đề đảo sai, có thể đưa ra một phản ví dụ, chẳng hạn a = 1, b = 2 và c = −3). + Nếu a, b và c là các số thực dương và a + b > c thì a, b và c là độ dài 3 cạnh của một tam giác (Mệnh đề đảo sai, có thể đưa ra một phản ví dụ, chẳng hạn a = 2, b = 4, c = 1). b) Nếu a, b và c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì a + b > c, b + c > a, c+a > b. Xét xem mệnh đề sau đây đúng hay sai: Nếu a+b > c, b+c > a, c+a > b thì a, b và c là độ dài 3 cạnh của một tam giác (kết quả này đúng vì cộng từng vế của hai trong ba bất đẳng thức nói trên thì ta sẽ suy ra được a, b và c là các số dương). Ví dụ 4. (Dành cho học sinh lớp 12 khi học khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số) a) Từ định lí: Nếu một hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng I và f ′ (x) > 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng I. Tạo THGVĐ: Phải chăng một hàm số f (x) có đạo hàm và đồng biến trên khoảng I thì f ′ (x) > 0 với mọi x ∈ I. Kết quả này không đúng, chẳng hạn hàm số f (x) = x3 đồng biến và có đạo hàm trên mọi khoảng I có dạng (−a; a) (với a > 0) chứa 0, nhưng f ′ (0) = 0. b) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm. Tạo THGVĐ: Phải chăng một hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm tại một điểm thì đạt cực trị tại điểm đó Kết quả này không đúng, có thể đưa ra một phản ví dụ: chẳng hạn hàm số y = x3 có đạo hàm bằng 0 tại điểm x = 0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm đó. 2.3.3. Dựa vào tương tự hóa - Phép suy luận tương tự được sử dụng rất đa dạng trong môn Toán và thường được đề cập dưới những góc độ sau: hai phép chứng minh tương tự, hai hình tương tự và hai tính chất tương tự [2; 12-13]. - Theo Polya ([10]), tương tự thuộc về những suy luận có lí, những kết luận rút ra do tương tự hóa thường có tính chất giả thuyết, dự đoán. Trong lịch sử toán học, suy luận tương tự là nguồn gốc của nhiều phát minh. Có thể tham khảo thêm về suy luận tương tự trong các tài liệu [2, 10]. - Trong dạy học môn Toán ở trường THPT, thông qua những ví dụ, những bài tập cụ thể, giáo viên cần giúp học sinh thấy rằng mặc dù kết quả rút ra từ tương tự thường có tính giả thuyết, dự đoán, tuy nhiên nó có vai trò quan trọng trong việc tìm lời giải bài toán và khám phá ra kiến thức. Nếu muốn khẳng định kết quả 17
Lê Tuấn Anh rút ra từ suy luận tương tự đúng thì cần chứng minh, nếu muốn khẳng định không đúng thì cần đưa ra phản ví dụ. Tương tự hóa có thể không cho kết quả đúng, chẳng hạn trong một tam giác thì 3 đường cao đồng qui, nhưng trong một tứ diện thì 4 đường cao không đồng qui (điều đó chỉ đúng với một lớp tứ diện đặc biệt: tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc); mặc dù trong một tam giác, các trung tuyến đồng qui tại trọng tâm của tam giác và trong một tứ diện thì 4 đường trọng tuyến (nối đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện) cũng đồng qui tại trọng tâm của tứ diện. - Một số ví dụ về tạo THGVĐ dựa vào tương tự hóa: Sự tương tự trong môn Toán ở trường phổ thông rất phong phú: sự tương tự giữa hình học phẳng (HHP) và hình học không gian (HHKG), giữa tam giác và tứ giác (giữa hai trường hợp riêng của một trường hợp tổng quát), giữa cấp số cộng và cấp số nhân, sin x và cos x, tan x và cot x... Ví dụ 5. (Dành cho học sinh lớp 11 khi học HHKG) Sự tương tự giữa HHP và HHKG rất phong phú. Giáo viên có thể khai thác sự tương tự này để tạo THGVĐ khi dạy HHKG. Cách làm này giúp học sinh thấy được liên hệ giữa HHP (được học chủ yếu ở trung học cơ sở (THCS)) và HHKG (được giới thiệu ở cuối cấp THCS và học chủ yếu ở THPT), tạo cơ hội cho học sinh ôn lại kiến thức hình học ở THCS và áp dụng những kiến thức này khi học HHKG, đồng thời giúp học sinh phát hiện ra những kiến thức về HHKG từ những kiến thức về HHP. Sau đây là sự tương tự giữa một số yếu tố trong HHP và yếu tố tương ứng trong HHKG: Bảng 1. Các yếu tố tương tự giữa HHP và HHKG Phương pháp Hình học phẳng Hình học không gian Đường thẳng Đường thẳng Đường thẳng Mặt phẳng Tam giác Tứ diện Phương pháp “tổng hợp” - Tam giác vuông - Tứ diện vuông - Tam giác đều - Tứ diện đều Hình bình hành Hình hộp - Hình chữ nhật - Hình hộp chữ nhật - Hình vuông - Hình lập phương Đường tròn (hình tròn) Mặt cầu (hình cầu) Phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng trong không gian Phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong không gian Phương trình đường tròn Phương trình mặt cầu trong mặt phẳng trong không gian 18
Khai thác những cách tạo tình huống gợi vấn đề trong dạy học môn Toán... Do khuôn khổ của bài báo, chúng tôi chỉ xin minh họa một phần nhỏ trong những nội dung nói trên: sự tương tự giữa tam giác vuông và tứ diện vuông. Trong bảng dưới đây, giáo viên có thể tạo THGVĐ bằng suy luận tương tự để hướng dẫn học sinh lớp 11 THPT tìm ra những kết quả trong tứ diện vuông (ở cột bên phải) từ những tính chất tương tự đối với tam giác vuông (HS được học từ THCS). Bảng 2. Các yếu tố tương tự giữa tam giác vuông và tứ diện vuông Tính chất của tam giác vuông Tính chất của tứ diện vuông Cho tứ diện ABCD có góc tam diện đỉnh Cho △ABC có Aˆ = 900 . A có ba góc ở đỉnh đều vuông. H là chân đường cao hạ từ A xuống H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt cạnh BC. phẳng (BCD). 1 1 Diện tích tam giác bằng AB.AC Thể tích tứ diện bằng AB.AC.AD 2 6 1 1 1 1 1 1 1 = + = + + AH 2 AB 2 AC 2 AH 2 AB 2 AC 2 AD 2 Bình phương diện tích △BCD (mặt huyền của tứ diện) bằng tổng bình phương diện BC 2 = AB 2 + AC 2 (Định lí Pitago) tích của các tam giác ABC, ACD và ADB (các mặt vuông của tứ diện) Bình phương diện tích △ACD bằng diện AC 2 = BC.CH; AB 2 = BC.BH tích △BCD nhân với diện tích của △CHD cos 2 (ABC, BCD) + cos 2 (ABD, BCD)+ cos 2 B + cos 2 C = 1 cos 2 (ACD, BCD) = 1 sin 2 (ABC, BCD) + sin 2 (ABD, BCD)+ sin 2 B + sin 2 C = 1 sin 2 (ACD, BCD) = 1 ... ... 2.3.4. Dựa vào khái quát hóa Khái quát hóa là một hoạt động trí tuệ cơ bản. Theo Kơ-ru-tec-xki, khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan hệ và các phép toán là một thành phần cốt lõi của cấu trúc năng lực toán học ([6]). Năng lực khái quát hóa được Hiệp hội quốc tế về đánh giá kết quả học tập IEA của UNESCO chọn là một trong 10 chỉ tiêu cơ bản của năng lực toán học. Giống như suy luận tương tự, kết quả cho được từ khái quát hóa thường có tính giả thuyết dự đoán. Muốn khẳng định được kết quả có được từ khái quát hóa là đúng thì phải chứng minh, muốn khẳng định là sai thì cần đưa ra phản ví dụ. Có thể tìm hiểu thêm về khái quát hóa trong các tài liệu [4, 5, 10]. Ví dụ 6. (Dành cho học sinh khá giỏi lớp 10 khi học phương trình bậc cao quy về bậc 2) 19
Lê Tuấn Anh Tạo THGVĐ để học sinh khá giỏi khám phá ra dạng phương trình tổng quát hơn cả phương trình ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (1) và ax4 + bx3 + cx2 − bx + a = 0 (2) (x là ẩn số, a, b, c là các hệ số và a 6= 0; giả sử rằng học sinh đã biết cách giải hai phương trình này). Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh so sánh cách giải của hai phương trình để từ đó tìm ra dạng tổng quát của chúng: Bảng 3. So sánh hai cách giải hai phương trình Cách giải phương trình (1) Cách giải phương trình (2) - Xét x = 0 không là nghiệm của phương - Xét x = 0 không là nghiệm của phương trình trình - Xét x 6= 0, chia cả hai vế của (1) cho - Xét x 6= 0, chia cả hai vế của (2) x , ta có: 2 cho x2 , ta có: 1 1 1 1 a(x2 + 2 ) + b(x + ) + c = 0 (1’) a(x2 + 2 ) + b(x − ) + c = 0 (2’) x x x x 1 1 Đặt t = x + (điều kiện |t| ≥ 2), khi đó Đặt t = x − , khi đó (2’) có dạng: x x (1’) có dạng: at2 + bt + (c − 2a) = 0 (1”) at2 + bt + (c + 2a) = 0 (2”) Giáo viên có thể tạo THGVĐ bằng cách đưa ra yêu cầu: căn cứ vào lời giải các phương trình (1) và (2), hãy xác định dạng phương trình tổng quát của (1) và 1 1 (2). Ở đây, học sinh có thể được hướng dẫn để phát hiện ra rằng x + và x − x x k là các trường hợp riêng của x + . Từ đó phương trình tổng quát của (1’) và (2’) x 2 k k là a(x2 + 2 ) + b(x + ) + c = 0. Vậy phương trình tổng quát của (1) và (2) sẽ là x x ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak 2 = 0(3)(a 6= 0). Ta đã hướng dẫn học sinh tìm ra dạng tổng quát của phương trình (1) và (2) là phương trình (3). Cách giải phương trình (3) tương tự như cách giải các phương trình (1) và (2). Ví dụ 7. (Dành cho học sinh lớp 10 khi học bất đẳng thức) Bất đẳng thức tam giác: nếu a, b và c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì a + b > c. Tạo THGVĐ: + Xem tam giác là trường hợp riêng của đa giác (lồi) n cạnh (n ∈ N, n > 2), phải chăng tổng độ dài của n − 1 cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại (Kết quả đúng, có thể chứng minh dựa vào bất đẳng thức tam giác). + Xem a1 , b1 và c1 lần lượt là các trường hợp riêng của an , bn và cn (n ∈ N, n > 0), phải chăng an + bn > cn (Kết quả này không đúng, chẳng hạn với n = 2 và a, b và c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với cạnh huyền c thì a2 + b2 = c2 ). 2.3.5. Giúp học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải - Các yêu cầu cơ bản đối với lời giải một bài toán: kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian, lập luận chặt chẽ (luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp lôgic), ngôn ngữ chính xác và trình bày rõ ràng, đảm bảo tính mỹ thuật [5; 390]. 20
Khai thác những cách tạo tình huống gợi vấn đề trong dạy học môn Toán... Nhìn chung những sai lầm của học sinh khi giải toán rất đa dạng. Một lời giải có sai lầm thường là do vi phạm một trong những yêu cầu nói trên. - Để tạo THGVĐ có thể dựa vào: + Những sai lầm do giáo viên hư cấu (dựa vào kinh nghiệm của bản thân khi giải toán). + Những sai lầm của học sinh khi làm bài tập hoặc bài kiểm tra. + Giáo viên có thể căn cứ vào những sai lầm mà học sinh của mình thường gặp từ các khóa trước để tạo ra THGVĐ, qua đó giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề. + Dựa vào tài liệu tham khảo (chẳng hạn [1, 3, 5, 9]), mục “Sai lầm ở đâu?” trong Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (dành cho học sinh khá giỏi). Ví dụ 8. (Dành cho học sinh khá giỏi lớp 12 khi học tích phân) Nhận xét sau đây đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng. a) Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng có giới hạn là các đường thẳng x = a, x = b, (a < b) và các đồ thị hàm số y = f (x), y = −f (x) (f (x) liên Rb tục trên [a; b]) quay xung quanh trục Ox là: 2π a [f (x)]2 dx . b) Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng có giới hạn là các đường thẳng x = a, x = b, (a < b) và các đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) (f (x, g(x) liên tục trên [a; b]; f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a; b]) quay xung quanh trục Ox là: Rb π a [g(x) − f (x)]2 dx. Những sai lầm này là do học sinh đã dùng suy luận tương tự từ những công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân. - Giáo viên cần chú ý quan điểm biện chứng trong khi giúp học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải. Nếu có thể, trong một số trường hợp giáo viên nên hướng dẫn học sinh sửa lại lời giải sai thành lời giải đúng (bên cạnh việc đưa ra các lời giải khác của bài toán). Làm như vậy là góp phần bồi dưỡng một số yếu tố của triết học duy vật biện chứng cho HS: sửa chữa có kế thừa, chứ không phải phủ định sạch trơn. Sau đây là một ví dụ đơn giản minh họa cho ý tưởng này: Ví dụ 9. (Dành cho học sinh lớp 10 khi học bất đẳng thức) 1 Chẳng hạn khi cần tìm điều kiện của ẩn phụ t = x + (x 6= 0). Một học sinh x 1 1 đã làm như sau: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và ta có x + ≥ 2. x x Có thể tạo THGVĐ bằng cách yêu cầu học sinh tìm ra chỗ sai trong lập luận trên và sửa lại cho đúng. Ở đây, học sinh đã áp dụng bất đẳng thức Cô-si nhưng không 1 chú ý đến điều kiện của x và . Có nhiều cách tìm điều kiện của t. Tuy nhiên bên x cạnh việc hướng dẫn học sinh tìm ra các cách khác để tìm điều kiện của t, giáo viên nên hướng dẫn học sinh sửa lại lời giải trên thành lời giải đúng, chẳng hạn: 1 + Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương là x và , ta có x 1 x + ≥ 2. x 21
Lê Tuấn Anh 1 + Với x < 0, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương là −x và , ta −x 1 1 có (−x) + ≥ 2. Từ đó ta có x + ≤ −2. −x x Vậy điều kiện của ẩn phụ t là |t| ≥ 2. Làm như vậy ta đã ngầm hình thành cho học sinh tư tưởng của qui luật phủ định trong triết học duy vật biện chứng. 2.4. Thực nghiệm Những tư tưởng trong bài báo này đã được tác giả khai thác, vận dụng vào dạy chuyên đề Những xu hướng không truyền thống cho 7 lớp cao học, dạy môn Phương pháp dạy học môn Toán cho 10 khóa sinh viên sư phạm ngành Toán, hàng chục lớp thuộc hệ vừa làm, vừa học và hệ từ xa của trường Đại học Sư phạm Hà Nội và dạy môn Toán cho 8 lớp tại trường THPT Nguyễn Tất Thành, Hà Nội. Kết quả phỏng vấn, trao đổi với học viên, sinh viên, học sinh, quan sát các giờ học và kết quả các bài kiểm tra, bài thi, thu hoạch cho thấy: - Sinh viên, học viên hứng thú với bài giảng. - Sinh viên, học viên có khả năng thiết kế, khai thác những THGVĐ trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông. - Sinh viên, học viên nắm vững DHPHVGQVĐ và có khả năng vận dụng hiệu quả xu hướng này trong thực tiễn dạy học. - Học sinh hứng thú với bài giảng, tích cực học tập, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề. - Chất lượng dạy và học được nâng cao. Ngoài ra, chúng tôi cũng tiến hành một số thực nghiệm có đối chứng nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của việc khai thác những tư tưởng, ý tưởng đã nêu trong bài báo. Trong các năm học 2007 - 2008, 2008 - 2009 và 2009 - 2010, thực nghiệm được tiến hành với 3 lớp thực nghiệm (gồm 121 sinh viên) và 3 lớp đối chứng (120 sinh viên) từ sinh viên sư phạm ngành Toán năm thứ 3 của khoa Toán - Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Kết quả điểm tổng hợp như sau: Bảng 4. Kết quả thực nghiệm Tổng Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 số bài Thực 0 0 0 1 6 12 22 40 27 13 0 121 nghiệm Đối chứng 0 0 1 2 9 18 27 36 21 6 0 120 Kết quả thực nghiệm bước đầu cho thấy kết quả học tập của sinh viên ở các lớp thực nghiệm cao hơn các lớp đối chứng, chứng tỏ khả năng thiết kế và khai thác có hiệu quả những THGVĐ trong thực tiễn dạy học của sinh viên ở các lớp thực nghiệm cao hơn ở các lớp đối chứng. 22
Khai thác những cách tạo tình huống gợi vấn đề trong dạy học môn Toán... 3. Kết luận Từ những cách thông dụng để tạo THGVĐ ([5, 197-201]), bài báo đã đưa ra một số gợi ý cụ thể để thiết kế những tình huống gợi vấn đề và phân tích góc độ sư phạm của việc sử dụng những tình huống này trong dạy học môn Toán ở THPT. Hy vọng bài báo sẽ giúp ích phần nào cho việc triển khai DHPHVGQVĐ trong thực tiễn dạy học môn Toán ở trường THPT. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang, 2005. Sai lầm phổ biến khi giải toán (Dùng cho học sinh và giáo viên dạy toán PTTH). Nxb Giáo dục, Hà Nội. [2] Hoàng Chúng, 1969. Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [3] Hoàng Chúng, 1997. Những vấn đề về lôgic trong môn Toán ở trường phổ thông trung học cơ sở. Nxb Giáo dục. [4] Nguyễn Bá Kim, 1982. Tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học. Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, 5. [5] Nguyễn Bá Kim, 2007. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. [6] V.A. Kơ-ru-tec-xki, 1973. Tâm lý năng lực Toán học của học sinh. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [7] Tưởng Minh Minh, 2000. Trực quan trong giải Toán. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, số 277. [8] Bùi Văn Nghị, Vương Dương Minh, Nguyễn Anh Tuấn, 2005. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thông chu kì III (2004-2007) - Toán học. Nxb Đại học Sư phạm. [9] Bùi Văn Nghị, 2008. Giáo trình phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. [10] G. Polya, 1995. Toán học và những suy luận có lí. Nxb Giáo dục. [11] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, 2007. Đại số và Giải tích nâng cao 11. Nxb Giáo dục, Hà Nội. ABSTRACT Creating and utilizing problematic situations in teaching mathematics in upper secondary schools Generally, upper secondary mathematics teachers encounter several difficulties while Problem Solving and Posing approach is applied to teaching and learning mathematics. The main aim of this article is to discuss how to design problematic situations and apply these situations to teaching mathematics in upper secondary schools. 23