Khai thác tính chất hàm số bậc nhất, bậc hai trong giải bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - Cầm Thanh Hải

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Khai thác tính chất hàm số bậc nhất, bậc hai trong giải bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất" được biên soạn bởi giáo viên Cầm Thanh Hải đề cập đến cách khai thác tính chất đơn điệu của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai một ẩn để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một loại biểu thức cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khai thác tính chất hàm số bậc nhất, bậc hai trong giải bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - Cầm Thanh Hải

Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI TRONG GIẢI BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT I. Đặt vấn đề - Có nhiều cách tiếp cận để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. - Chuyên đề này chỉ đề cập đến cách khai thác tính chất đơn điệu của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai một ẩn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số loại biểu thức cơ bản. II. Các tính chất của hàm số bậc nhất, bậc hai một ẩn được khai thác và sử dụng 1. Hàm số bậc nhất một ẩn Xét hàm số y = ax + b = f(x) với x là ẩn; a, b là các tham số, a≠0. Ta có: - Nếu a > 0 thì, với α≤ x≤β có: f(α)≤f(x)≤f(β); min f(x) = f(α); max f(x) = f(β); - Nếu a 0 thì: ∆ - với ∀ ℝ => f(x)≥f( ) = ; min f(x) = f( ); - với ∀ / ≤ α≤ x≤β => f(α)≤f(x)≤f(β); min f(x) = f(α); max f(x) = f(β); - với ∀ /α≤ x≤β≤ => f(β)≤f(x)≤f(α); min f(x) = f(β); max f(x) = f(α); - với α≤ ≤β, ∀ /α≤ x≤β => f( )≤f(x)≤ max {f(α); f(β)}; min f(x) = f( ); max f(x) = max {f(α); f(β)}; - Một cách tổng quát: với ∀ / α≤ x≤β => min f(α); f(β); f( ) ≤ f(x) ≤ max {f(α); f(β)}; 1
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 min f(x) = min f(α); f(β); f( ) ; max f(x) = max {f(α); f(β)}. * Chứng minh: - Ta có các biến đổi sau: ∆ i) f(x) = a +bx+c = a + - với ∀ ℝ; ii) f(x) = (x- α)(ax+aα+b) + f(α); f(x) = (x- β)(ax+aβ +b) + f(β) với ∀ , ℝ; Một cách tổng quát: f(x) = (x- m)(ax+am+b) + f(m) với ∀ ℝ; ∆ - Từ i) suy ra f(x)≥f( ) = với ∀ ℝ (đpcm!) - Với a > 0, ∀ / ≤ α≤ x≤β thì: (x- α)>0, (ax+aα+b)>(2aα+b)>0; (x- β)(2aα+b)>0 nên từ ii) suy ra f(α)≤f(x)≤f(β) (đpcm!); - Với a > 0, ∀ / α≤x≤β≤ thì: (x- α)>0, (ax+aα+b)
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 III. Các thí dụ Thí dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của E(x) = x + | − 1|+| − 2|+| − 3|+| − 4| với ℝ * Tóm tắt lời giải: 10 − 3 ớ ≤1 ⎧ ⎪8 − ớ 1< khó tìm ra lời giải hơn. Thí dụ 3. Cho biểu thức f(x) = x2 + 4x – 6 với ℝ/ x≥1. Tìn minf(x). * Tóm tắt lời giải: - Viết f(x) = (x-1)(x+5) – 1 ; suy ra f(x) ≥ -1 với ∀x≥1 ; f(x) = -1 x = 1 - Vậy với ∀x≥1 minf(x) = -1. 3
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 Thí dụ 4. Cho biểu thức g(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) với ℝ. Tìn min g(x). * Tóm tắt lời giải: - Có g(x) =(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = (x2+5x+4)( x2+5x+6); - Đặt x2+5x+4 = t => t =(x+ )2 - ≥ - với ∀ ℝ ; khi đó g = t(t+2) với t ≥ - ±√ - g = (t+1)2 -1=> g ≥ -1 ; g = -1 t = -1 x2+5x+4 = -1 x= . Thí dụ 5. Cho h(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 với ℝ . Tìm min h(x) * Tóm tắt lời giải: - Viết h(x) = (x2+x+1) = t2. - với ℝ thì t= x2+x+1 = (x+ )2 + ≥ => h(x) = t2 ≥ - Từ đó có min h(x) = , đạt khi x = Thí dụ 6. Cho k(x) = 2|x − 5x + 4| - x2 + 5x với ℝ. Tìm min k(x) * Tóm tắt lời giải: −5 +8 ớ ≤1 - Với ℝ có: k(x) = −3 + 15 − 8 ớ 1 < < 4 −5 +8 ớ ≥4 - Với ≤ 1, có k(x)= − 5 + 8=(x-1)(x-4)+4 ≥ 4 ; - Với 1 < < 4, k(x)= −3 + 15 − 8 =(x-1)(12-3x)+4 ≥ 4; - Với ≥ 4, k(x)= − 5 + 8=(x-1)(x-4)+4 ≥ 4. - Từ đó suy ra min k(x) = 4, đạt khi x = 1 hoặc x = 4. * Nhận xét: - Nếu xét chẳng hạn 0≤x≤5, sẽ có cả maxk(x) => có bài toán hay và phức tạp hơn; - Có thể chuyển sang bài toán với nội dung phương trình: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 2|x − 5x + 4| - x2 + 5x = a 4
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 Thí dụ 7. Cho p(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a với ế ℝ/-2≤x≤0, a là tham số. Tìm giá trị của a để min p(x) = 2. * Tóm tắt lời giải: - Nếu > 0 hay a>0, có p(x) = 4x(x-a) + a2 – 2a nên p(x) ≥ a2 – 2a với -2≤x≤0; suy ra min p(x) = a2 – 2a; min p(x) = 2 a2 – 2a = 2; a>0 a = 1+√3; - Nếu -2≤ ≤0 hay -4≤a≤0 , có p(x) = (2x-a)2 -2a nên p(x) ≥ -2a với -2≤x≤0; suy ra min p(x) = – 2a; min p(x) = 2 -2a = 2 a = -1; - Nếu
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 * Tóm tắt lời giải: −2 +1 =0 - Xét hệ (1) ; hệ (1) có nghiệm ... a ≠ - 4. 2 + +5 = 0 - Nếu a ≠ - 4, có I(x, y) ≥ 0 với ∀ , ℝ; I(x, y) = 0 (x, y) là nghiệm của hệ (1); vậy min I(x, y) = 0. - Nếu a = - 4, có I(x, y) = (x – 2y +1)2 + (2x - 4y + 5)2 - Đặt x-2y+1=t => I = 5t2+12t+9; I = 5( + ) + ; t ℝ. - Từ đó tìm được min I(x, y) = ; đạt khi x, y là nghiệm của ph/trình: x-2y = Thí dụ 10. Cho , ℝ / x, y ≥ 0; x+y=2 (*). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức K(x, y) = (4x2+3y)(4y2+3x) + 25xy (Đề TS ĐH khối D năm 2009) * Tóm tắt lời giải: - Đặt t =xy; áp dụng BĐT Côsi và cùng với điều kiện (*) suy ra 0≤t≤ ; - Biến đổi được K = 16t2 – 2t + 12 = f(t) với 0≤t≤ ; - Tính được f(0) = 12; f( ) = ; f( ) = ; - Có f(t) = 16(t - )2 + => f(t)≥ = f( ) với ∀t/ 0≤t≤ => K(x,y) ≥ ; √ √ √ √ t= xy= ; x+y=2; x,y≥0 (x;y)= ; hoặc (x; y)= ; - Lại có: f(t) = (t- )(16t+2) + ≤ với ∀t/ 0≤t≤ => K(x,y) ≤ với , ℝ/(*); t= xy= ; x+y=2; x,y≥0 (x;y) = ( ; ) √ √ √ √ - KL: min K(x,y) = = f( ); khi (x;y)= ; hoặc (x; y)= ; ; max K(x,y) = = f( ), đạt khi (x;y) = ( ; ). * Nhận xét: 6
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 Thí dụ 11. ( ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức L(x,y) = với , ℝ * Tóm tắt lời giải: - Biến đổi được L(x,y) = ; => L(x,y) ≤ với ∀ , ℝ; L=2 x=0; ∀ ℝ; - Tìm được minL(x,y) = . Đạt khi x=0; ∀ ℝ. * Nhận xét: Thí dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M(x,y) = (8+x2+x)(20-x2-x) với ℝ * Tóm tắt lời giải: - Đặt t = (8+x2+x) => M(x,y) = - t2 + 28t với t ≥ ; - Có M(x,y) = -(t-14)2+196≤196 với t ≥ ; M(x,y)=196 t=14x=2; x=-3; - Từ đó có max M(x,y) = 196. Đạt khi x=2 hoặc x=-3. * Nhận xét: Lựa chọn các dạng thức khác của t, sẽ được các biểu thức phức tạp và khó tìm lời giải hơn. Thí dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N(x,y) = - x2 - 26y2 + 10xy – 14x + 76y – 59 với , ℝ. * Tóm tắt lời giải: - Biến đổi: N(x,y) = -x2 + (10xy – 14x) - 26y2 + 76y – 59 = -(x - (5y-7))2 + (5y-7))2 - 26y2 + 76y – 59 = -(x - (5y-7))2 - y2 + 6y – 10 = -(x - (5y-7))2 – (y – 3)2 – 1. Suy ra N(x,y) ≤ -1 với , ℝ. - N(x,y) = -1 (x - (5y-7))2 = (y – 3)2 = 0 y=3; x=8 - Vậy max N(x,y) = -1, đạt khi x=8 và y=3. * Nhận xét: 7
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 + Xuất phát từ biểu thức F = A2 + B2 + k, bằng cách chọn A theo 2 biến x, y và B theo y thích hợp, ta được biểu thức F(x,y) và có bài toán tìm min F ! + Nếu xuất phát từ biểu thức F = A2 + B2 + C2 + k, rồi chọn A theo 3 biến x, y, z; chọn B theo 2 trong 3 biến x, y, z và C 1 trong 3 biến, ta được biểu thức F(x,y,z) và có bài toán tìm min F ! Chẳng hạn: từ biểu thức F = A2 + B2 + C2 + k, chọn A = (-2x-3y+4z); B=√15(x+y) và C =√30 , k = 2015; được F = (-2x-3y+4z)2+(x+y)2+30z 2+ 2015 Hay: F(x,y,z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 – 16xz – 24yz + 36xy + 2015 Khi đó có bài toán: Với , , ℝ, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x,y,z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 – 16xz – 24yz + 36xy + 2015 (đáp số: min F(x,y,z) = 2015, đạt khi x=y=z=0). + Một cách tổng quát, từ biểu thức F = aA2 + bB2 + cC2 + k, (với a, b, c là các hằng số dương), bằng cách chọn A=(mx+ny+pz)2, B=(rx+sy)2, C=tz2, và k thích hợp, sẽ có bài toán tìm GTNN của biểu thức F theo ý muốn ! Thí dụ 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức O(x,y) = √ −2 +2 + √ + 2 + 2 với , ℝ. * Tóm tắt lời giải: - Nhận thấy O(x,y) tồn tại và O(x,y) > 0 với ∀ ℝ nên O(x,y) đạt min O2(x,y) đạt min. - Có (√ −2 +2+√ + 2 + 2)2 =2x2 + 2 + 2√ − 2 + 2. √ +2 +2 = 2x2 + 4 + 2 ( + 2) − 4 = 2x2 + 4 + 2√ +4 => O2(x,y) ≥ 8 với ∀ ℝ; => O(x,y) ≥ 2√2 với ∀ ℝ; dấu đẳng thức x = 0; - Vậy min O(x,y) = 2√2. * Nhận xét: Thí dụ 15. Cho biết , ℝ/ x2 + y2 = 1. Tìm GTNN và GTLN của M(x,y) = x4 + y4 + mxy * Tóm tắt lời giải: 8
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 - Có M(x,y) = -2t2 + mt + 1 với t = xy; do x2 + y2 = 1 và x2 + y2 ≥ 2|xy| suy ra |t| ≤ ; - So sánh giá trị với - và với => xét 3 trưởng hợp: ≤- ;- < < ; ≥ Từ đó tìm được min M(x,y) và maxM(x,y). - Nếu m≤-2 hoặc m≥2, có min M(x,y) = ; maxM(x,y) = ; - Nếu -2 |t| ≥2; p = t2 – 3t + 3. - Với t ≥2, có p = (t-2)(t-1) + 1 => p ≥1; p = 1 t = 2 x = y ≠ 0; - Với t ≤ -2, có p = (t+2)(t-5) +13 => p ≥13 > 1; - Vậy min p(x, y) = 1, đạt khi x = y ≠ 0. 9
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 IV. Bài tập tham khảo Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q = với x [1; 2] Với x [1; 2] thì f(x) = x2+2x thỏa mãn 3≤f(x)≤8, suy ra 1≤ ≤ Đáp số : min Q = 1, đạt khi x = 1 ; max Q = , đạt khi x = 2. * Nhận xét : có bài toán hay và khó hơn: Tìm m để phương trình mx2+2mx -3 = 0 có nghiệm x [1; 2]; hoặc Tìm m để phương trình = m có nghiệm x [1; 2]. Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 16x3 – x6 với ℝ Đáp số: max P = 64; đạt khi x = 2. Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 28 + 3x- x 2 + 5 + 4 x- x 2 . Gợi ý giải: làm như với thí dụ 4; đáp số: min P  3 2 , đạt khi x  5. với , ℝ. Bài 4. Biết , , , ℝ; x, y, z, t ≥ 0 thỏa mãn hệ ràng buộc sau: x+7y=50; x+z=60; y+1=15. Tìm giá trị lớn nhất của F(x, y, z ) = 2x+y+z+t Đáp: max F = 125; đạt khi x=50, y=0, z=0, t=15 Bài 5. Với ℝ, tìm min G(x) biết G(x) = x(1-x)(x-3)(4-x) Bài 6. Cho , ℝ/ 5(x2 + y2) = 2015 – 8xy. Tìm GTLN của N(x,y) = x2 + y2 Đáp số: maxN(x,y) = 2015, đạt khi x=± ; y= -x. Bài 7. 10
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 Với ℝ, cho f(x) = 2x + |x − 2| + |2x + 1|. Tìm min f(x) Đáp số: min f(x) = , đạt khi x = - . Bài 8. Cho , , ℝ / x+y+z=3; h(x) = x2 + y2+z2+xy+yz+zx. Tìm min h(x,y,z) ? * Tóm tắt lời giải: Đặt x=1+a; y=1+b => z=1-a-b; h =(1+a)2+(1+b)2+(1-a-b)2+(1+a)(1+b)+(1+b)(1-a-b)+(1+a)(1-a-b) = a2+b2+ab+6; h=(a+ )2+ b2+6; g≥6 với ∀a, b; g=6a=b=0x=y=z=1. Vậy min h(x,y,z)=6 Bài 9. Cho , ℝ / x≤1; x+y≥3; đặt k(x, y) = 3x2 + y2 + 3xy. Tìm min k(x, y) ? * Tóm tắt lời giải: Đặt x=1-a; x+y=3+b => a, b ≥0; k = (1-a)2 + (2+a+b)2 + 3(1-a)(2+a+b); k = a2 + b2 – 5a – ab + 7b + 13 = (a – )2 + b2 + b + ;k≥ với ∀a, b ≥0; k= a = ; b = 0. Vậy min k(x, y) = , đạt khi a = ; b = 0. --------------------------------------------- 11