intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức

Chia sẻ: Bobietbay | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST
Báo xấu
34
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là hướng dẫn học sinh khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức. Rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức

  1. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH TRƯỜNG THPT HOA LƯ A SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC HAI TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc Học vị: Thạc sỹ khoa học Toán học Chức vụ: Tổ phó tổ Toán – Tin Đơn vị: Trường THPT Hoa Lư A Ninh Bình, tháng 5 năm 2014 Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 1/30
  2. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU................. ..................................................................................................2 1. Lý do chọn đề tài ................. .................................................................................. 1 2. Giả thuyết khoa học.................................................................................. …….. 1 3. Mục đích của đề tài ............................................................................................. 1 4. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................. 1 5. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 1 6. Cấu trúc của đề tài .................................................................................... …….. 2 Chương I. Phương pháp tiếp tuyến ........................................................... …….. 3 1.1 Kiến thức chuẩn bị ................................................................................. …….. 3 1.2 Một số ví dụ minh họa............................................................................ …….. 3 1.3 Bài tập tự luyện ............................................................................................... 18 Chương II. Khai thác tính chất của hàm số y = ax+b trong CM BĐT ............. 19 2.1 Kiến thức chuẩn bị ................................................................................…….. 19 2.2 Một số ví dụ minh họa............................................................................ …….. 6 2.3 Bài tập tự luyện ............................................................................................... 26 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 2/30
  3. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển trong toán học sơ cấp đang ngày càng phát triển, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp hay, khó và rất đa dạng về phương pháp. Bất đẳng thức thường xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, các đề thi học sinh giỏi và thường gây khó khăn đối với học sinh. Hiện nay, trong chương trình phổ thông, thời lượng cho phần bất đẳng thức còn ít, phương pháp chứng minh bất đẳng thức thì lại vô cùng đa dạng. Trong sách giáo khoa chỉ trình bày một số cách chứng minh rất cơ bản: ở lớp 10 có trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức (biến đổi tương đương, phản chứng, sử dụng các bất đẳng thức cổ điển như TBC – TBN, Bunhia…), ở lớp 11 giới thiệu phương pháp chứng minh qui nạp, đặc biệt trong chương trình 12 có ứng dụng của đạo hàm để đi chứng minh bất đẳng thức. Từ thực tiễn và kinh nghiệm của bản thân trong các năm luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán tôi lựa chọn đề tài: “Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức” với mong muốn giúp đỡ các em học sinh có thêm một cách nhìn mới đối với bất đẳng thức, qua đó rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. 2. Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa … các bài toán với sự trợ giúp thích hợp sẽ giúp các em nắm bắt được cách giải dạng toán này đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT. 3. Mục đích của đề tài - Hướng dẫn học sinh khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức. - Rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh THPT. 4. Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung môn Toán trong chương trình THPT. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài. Nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành dự giờ, quan sát, lấy ý kiến của học sinh, giáo viên về thực trạng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông. Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 3/30
  4. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức Thực nghiệm sư phạm: - Dạy thử nghiệm ở lớp 10 ở chương chứng minh bất đẳng thức và lớp 11 sau khi học xong ý nghĩa hình học của đạo hàm hoặc đầu năm lớp 12 khi học ứng dụng của đạo hàm. - Đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các hệ thống bài tập minh họa cho các phương pháp thông qua điều tra, kiểm tra và bài thu hoạch của học sinh. - Đánh giá, thống kê kết quả học sinh thi học sinh giỏi theo từng năm học. 6. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung đề tài gồm 2 chương Chương I trình bày về phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức. Chương II khai thác tính chất của hàm số y  ax  b trong chứng minh bất đẳng thức. Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 4/30
  5. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức Chương I. PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN Trong khuôn khổ sáng kiến, tôi chỉ đề cập đến một ứng dụng nhỏ của đạo hàm trong việc chứng minh bất đẳng thức, đó chính là phương pháp tiếp tuyến. Ý tưởng chính của phương pháp tiếp tuyến là sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến của một đồ thị hàm số để tìm một biểu thức trung gian trong các đánh giá bất đẳng thức. 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trước hết ta nhắc lại một bài toán sau: Cho hàm số f  t  liên tục và có đạo hàm trên D . Khi đó, nếu tiếp tuyến tại một điểm t0  D (giả sử có phương trình y  a  t  t0   b ) luôn nằm trên (nằm dưới) đồ thị hàm số f trên một lân cận D0  D nào đó của t0 thì hiển nhiên ta có f  t   a  t  t0   b  hay f  t   a  t  t0   b  , t  D0 . Từ tính chất này ta thấy với mọi t1 , t2 ,..., tn  D0 thì f  t1   f  t2   ...  f  tn   a  t1  t2  ...  tn  nt0   nb . Như vậy, nếu một bất đẳng thức có dạng “tổng hàm” như ở vế trái của bất đẳng thức trên và có giả thiết t1  t 2  ...  tn  nt0 với đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến ti đều bằng nhau và bằng t0 thì ta có thể thử chứng minh nó bằng phương pháp tiếp tuyến, nghĩa là ta sẽ tìm phương trình tiếp tuyến y  a  t  t0   b tại điểm t0 của đồ thị hàm số y  f  t  , rồi sau đó tiến hành kiểm chứng BĐT f  t   a  t  t0   b  hay f  t   a  t  t0   b  , t  D0 . 1.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho a, b, c, d  0 thỏa mãn a  b  c  d  4 . Chứng minh a b c d 1 2  2  2  2  . 5  3a 5  3b 5  3c 5  3d 2 Lời giải + Từ giả thiết suy ra a, b, c, d  0;4 . Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  d  1 . t  1 1 + PTTT của đồ thị hàm số f  t   2 tại điểm M 1;  là y   t  3 . 5  3t  8 32 2 t 1   t  5 t  1 + Ta có   t  3   0, t   0; 4 (*) 32  5  3t 2  2 5  3t 32 + Thay a, b, c, d vào t trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm.  Nhận xét: Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 5/30
  6. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức - Khi xét hiệu f  t    a  t  t0   b  , ta thường tách được nghiệm kép t  t0 (điểm dấu đẳng thức xảy ra). - Khi trình bày lời giải, có thể ta không cần viết ra các giai đoạn tìm tiếp tuyến mà đưa ra luôn bất đẳng thức đặc trưng cho bài toán cần chứng minh. Tương tự, ta yêu cầu học sinh lên trình bày Ví dụ 2 và Ví dụ 3. Ví dụ 2. Cho a, b, c, d  0 thỏa mãn a  b  c  d  4 . Chứng minh rằng 3 3 3 3  a   b   c   d  4          .  a  2   b  2   c  2   d  2  27 Lời giải + Từ giả thiết suy ra a, b, c, d   0;4  . Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  d  1 . 3  t   1  2 1 + PTTT của đồ thị hàm số f  t     tại điểm M 1;  là y  t  . t2  27  27 27 3  t  2t  1 2 + Ta chứng minh    , t   0;4  (*)  2  t  1  t 2  6t  4   0 t   0;4  t 2 27 (luôn đúng vì t 2  6t  4  t  t  4   2t  4  0, t   0;4  ) + Thay a, b, c, d vào t trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm. Ví dụ 3. Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng a b c 9 2  2  2  . 1  a 1  b 1  c 10 Hướng dẫn t + Xét hàm f  t   trên  0;1 1 t2 1 3  18 3 + PTTT của đồ thị hàm số f  t  tại điểm M  ;  là y  t  .  3 10  25 50 t 18 3 + Ta chứng minh 2  t  , t   0;1 . 1 t 25 50 Ví dụ 4. Cho a, b, c, d  0 thỏa mãn a  b  c  d  1 . Chứng minh 1 6  a3  b3  c3  d 3   a 2  b 2  c 2  d 2  . 8 Lời giải + Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 6/30
  7. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức 1  6a 3  a 2    6b3  b 2    6c3  c 2    6d 3  d 2   . 8 1 1  5t  1 + PTTT của đồ thị hàm số f  t   6t 3  t 2 tại điểm M  ;  là y  .  4 32  8 5t  1 1 2 5t  1 + Ta có  6t 3  t 2     4t  1  3t  1  0, t   0;1  f  t   , t   0;1 (*). 8 8 8 + Thay a, b, c, d vào t trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm. Qua Ví dụ 4, yêu cầu học sinh tương tự làm Ví dụ 5. Ví dụ 5. Cho a , b, c  0 thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh a2  9 b2  9 c2  9 2  2  2  5. 2a 2   b  c  2b 2   c  a  2c 2   a  b  Hướng dẫn + Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2  9 b2  9 c2  9 2  2  2  5. 2a 2   3  a  2b2   3  b  2c 2   3  c  t2  9  5 t4 + PTTT của đồ thị hàm số f  t   2 tại điểm M 1;  là y  . 2t 2   3  t   3 3 t2  9 t4 + Ta đi chứng minh 2  , t   0;3 2t 2   3  t  3 t2  9 t2  9 1 2t  6 1 2t  6 t  4 Thật vậy 2  2   2    . 2t 2   3  t  3t  6t  9 3 3  t  1  6 3 6 3  Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy việc xác định dấu của biểu thức f  t    a  t  t0   b  trên D có thể làm như sau: - Dựa vào dấu của bất đẳng thức cần chứng minh. - Dự đoán bằng cách thay một giá trị bất kì của t  D vào biểu thức f  t    a  t  t0   b  . 2 - Phân tích f  t    a  t  t0   b    t  t0  .h  t  và xác định dấu của h  t  trên D . Trong các ví dụ trên ta đều sử dụng cách 3. Tuy nhiên trong một số bài toán việc phân tích như trên gặp khó khăn vì bài toán chứa căn thức. Do đó, ta có thể gợi ý cho học sinh sử Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 7/30
  8. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức dụng phương pháp hàm số, tận dụng luôn kết quả mà các em tính đạo hàm của hàm f  t  khi lập phương trình tiếp tuyến và chú ý đạo hàm của hàm số f  t    a  t  t0   b  vẫn có nghiệm t  t0 . Ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ 6. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  1. Chứng minh rằng x y z 6    1 x 1 y 1 z 2 Hướng dẫn x 1 1  3 + PTTT của đồ thị hàm số f  x   tại điểm M  ;  là y  15x  1 . 1 x 3 6  12 2 x 3 + Ta đi chứng minh  15 x  1 , x   0;1 1  x 12 2 x 3 Xét hàm số g  x    15 x  1 trên  0;1 1  x 12 2 1 g '  x   0  x  . Từ bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh. 3 Bài tập tương tự. Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh 1 1 1 a2  2  b2  2  c 2  2  82 . a b c Hướng dẫn 1 + Xét hàm số f  t   t 2  trên  0;1 . t2  1 82  40 82 27 82 + PTTT của đồ thị hàm số f  t  tại điểm M  ;  là y   t .  3 3  41 41 1 40 82 27 82 + Ta chứng minh t2  2  t , t   0;1 (sử dụng bảng biến thiên). t 41 41 Các ví dụ trên đều cần có giả thiết a1  a2  ...  an  n , để sử dụng phương pháp tiếp tuyến. Tuy nhiên trong các bài toán, có sự đồng bậc của tử và mẫu trong từng số hạng hoặc đồng bậc của hai vế bất đẳng thức cần chứng minh, ta vẫn có thể nghĩ đến phương pháp tiếp tuyến nhờ việc chuẩn hóa bài toán. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 7. Cho a, b, c  0 . Chứng minh Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 8/30
  9. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức 2 2 2  2a  b  c    2b  c  a    2c  a  b   8. 2 2 2 2a 2   b  c  2b 2   c  a  2c 2   a  b  Lời giải + Do mỗi số hạng có tử và mẫu là các biểu thức đẳng cấp nên không mất tính tổng quát ta giả sử a  b  c  3 . Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh là a 2  6a  9 b 2  6b  9 c 2  6c  9    24 . a 2  2 a  3 b 2  2b  3 c 2  2c  3 t 2  6t  9 + PTTT của đồ thị hàm số f  t   tại điểm M 1;8  là y  4t  4 . t 2  2t  3 t 2  6t  9 + Ta đi chứng minh  4t  4, t   0;3 . t 2  2t  3  a b c  9 Ví dụ 8. Cho a, b, c  0 . Chứng minh  a  b  c      .   b  c 2  c  a 2  a  b 2  4   Lời giải + Do mỗi số hạng có tử và mẫu là các biểu thức đẳng cấp nên không mất tính tổng quát ta giả sử a  b  c  3 . Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh có dạng a b c 3 2  2  2  3  a  3  b  3  c  4 t  1 2t  1 + PTTT của đồ thị hàm số f  t   2 tại điểm M  1;  là y  . 3  t   4 4 2 t 2t  1 , t   0;3   t  1  9  2t   0, t  0;3 (luôn đúng). + Ta chứng minh 2  2   3  t  4 4 3  t  Ví dụ 9. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh 1 1 1 9  1 1 1      4   . a b c a bc ab bc ca Lời giải + Vì vai trò của a, b, c như nhau và sự đồng bậc của hai vế nên không mất tính tổng quát ta giả  1 sử a  b  c  1 . Mặt khác, a, b, c là ba cạnh tam giác nên a, b, c   0;  . Bất đẳng thức cần  2  4 1  4 1  4 1 chứng minh trở thành         9. 1 a a  1 b b  1 c c  Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 9/30
  10. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức 4 1 1  + PTTT của đồ thị hàm số f  t    tại điểm M  ;3  là y  18t  3 . 1 t t 3   4 1 2  1 + Ta có     18t  3   3t  1  2t  1  0, t   0;  (*). 1 t t   2 + Thay a, b, c vào t trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh. Bài tập tương tự: a b  c b c  a c a  b 6 1) Cho a, b, c  0 . Chứng minh 2 2  2 2  2 2  . b  c  a c  a b a  b c 5 2 2 2 2) Cho a, b, c  0 . Chứng minh b  c  a    c  a  b    a  b  c   3 2 2 2 b  c   a 2  c  a   b2  a  b   c 2 5 Hướng dẫn: Nếu đem các số hạng của vế trái bất đẳng thức trừ đi 1 thì ta có được các số hạng của bất đẳng thức ở bài 1. a b c 3 3) Cho a, b, c  0 . Chứng minh    . bc ca ab 2 Hướng dẫn Bất đẳng thức trên có rất nhiều có cách chứng minh ngắn gọn. Tuy nhiên trong chuyên đề này chúng ta hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tiếp tuyến. Không mất tính tổng quát ta chứng minh bất đẳng thức cho trường hợp a  b  c  3 . Khi đó, bất đẳng a b c 3 thức cần chứng minh có dạng    . Ta đi chứng minh 3 a 3b 3c 2 t 3t  1  , t   0;3 . 3t 4 Việc sử dụng tính chất của logarit log a  bc   log a b  log a c ( a, b, c  0, a  1 ), ta có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bài toán bất đẳng thức với giả thiết a1.a2 ...an   n nhờ sử dụng ẩn phụ. Ví dụ 10. Cho a, b, c  0 thỏa mãn abc  1 . Chứng minh a2  1 b2  1 c2  1    a  b  c. 2 2 2 Lời giải Ta có abc  1  ln a  ln b  ln c  0 . Đặt x  ln a, y  ln b, z  ln c . Khi đó ta có bài toán Cho các số thực x , y, z thỏa mãn x  y  z  0 . Chứng minh Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 10/30
  11. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức  e2 x  1 x   e2 y  1 y   e2 z  1 z   e  e   e   0.  2   2   2        e2t  1 t + Xét hàm số f  t    e trên  . 2 1 + PTTT của đồ thị hàm số f  t  tại điểm O  0;0  là y   t 2 e2t  1 t 1 + Ta đi chứng minh  e   t , t   . 2 2 e2t  1 t 1 e2t 1 Xét hàm g  t    e  t  g 't    et  0  t 0. 2 2 2  e 2t  1 2 Bài tập tương tự: a b c 3 2 1) Cho a, b, c  0 thỏa mãn abc  1 . Chứng minh    . 1 a 1 b 1 c 2 Hướng dẫn Đặt x  ln a, y  ln b, z  ln c . Ta có bài toán Cho các số thực x , y, z thỏa mãn x  y  z  0 . Chứng minh ex ey ez 3 2    1  ex 1 ey 1  ez 2 et  2 3 2 2 PTTT của đồ thị hàm số f  t   tại điểm M  0;  là y  t 1  et  2  8 2 et 3 2 2 Ta chứng minh  t , t   1 e t 8 2 et 3 2 Xét hàm g  t    t , lập bảng biến thiên suy ra đpcm. 1 e t 8 1 1 1 2) Cho a, b, c  0 thỏa mãn abc  1 . Chứng minh 2  2  2  1. a  a 1 b  b 1 c  c 1 Trong một số bài toán việc xét hiệu f  x    a  x  x0   b  mặc dù tách được nghiệm bội x  x0 , nhưng hiệu đó không giữ nguyên một dấu trên D . Trong trường hợp đó, ta có thể chia trường hợp để chứng minh. Ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 11. Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 11/30
  12. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 2  2  2  a 2  b2  c 2 . a b c Lời giải 1 2 Nhận xét: Nếu xét hàm số f  t    t trên  0;3 thì phương trình tiếp tuyến tại điểm t2 M 1;0  là y  4t  4 1 Khi đó 2  t 2   4t  4   2    t  1 t  2  1 1  2  t  lúc âm, lúc dương trên  0;3 . Do đó t t2 ta cần chia khoảng giá trị cho các biến a, b, c . Lời giải Cách 1. 2 + Nếu 3  a  2, 4 thì b  c  0,6 . Khi đó, VP  a 2  b2  c 2   a  b  c   9 . 1 1 1 1 2 1 2 1 2 VT   2 2 2   2    9. a 2 b c 3 bc 9  b  c  9  0,3 2    2  + Ta chỉ xét các số a, b, c   0;2,4  . Khi đó, sử dụng phương trình tiếp tuyến ta có 1 2  t    4t  4   2    t  1 t  2  1 1  2  t   0, t   0;2,4  . t2 t2 Cách 2. 1 Ta thấy nếu có một số trong ba số a, b, c nhỏ hơn khi đó 3 1 1 1 2 2  2  2  9   a  b  c   a 2  b 2  c 2 , bất đẳng thức luôn đúng. a b c 1 1 7  Vậy ta chỉ xét a , b, c  . Vì a  b  c  3  a, b, c   ;  . 3 3 3  2 2 1 2  t  1  2   t  1  1 7  Khi đó 2  t   4t  4   2  0, t   ;  . t t 3 3 a2 b2 c2 3 Ví dụ 12. Cho a, b, c  0 . Chứng minh 2 2  2 2  2 2  . a  b  c  b   a  c c  b  a  5 Hướng dẫn Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 12/30
  13. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức + Không mất tính tổng quát ta giả sử a  b  c  3 . Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh có a2 b2 c2 3 dạng 2  2  2  . 2 a  6a  9 2b  6b  9 2c  6c  9 5 t2  1 12t  7 + PTTT của đồ thị hàm số f  t   2 tại điểm M 1;  là y  2t  6t  9  5 25 2 t2 12t  7 3  t  1  21  8t   21  + Xét 2    0, t   0;  (*) 2t  6t  9 25 25  2t  6t  9  2  8  21  + Vậy nếu a, b, c   0;  thì thay t lần lượt bởi a, b, c trong (*) và cộng các bất đẳng thức  8  theo vế ta có điều cần chứng minh. 21 21 + Nếu có 1 số nào đó trong ba số a, b, c lớn hơn hoặc bằng . Giả sử a  8 8 a2 1 1 49 3 Ta có  2    . 2a 2  6a  9 3  9 1 2 50 5 1    1 21 a  21 3 24 3 3 (Vì 3  a  1   0   1  ). 8 a 21 a 21 Trong các bài toán trên dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại điểm các biến bằng nhau. Tuy nhiên có những bài toán dấu bằng còn xảy ra tại những điểm khác nữa hoặc có một dấu bằng nhưng không phải tại các biến bằng nhau, ta phải đánh giá như thế nào. Khi đó, phương pháp tiếp tuyến có giải quyết được không ? Những bài toán như vậy thường là những bài toán khó, việc sử dụng tiếp tuyến tưởng như không thể. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta vẫn có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến theo từng trường hợp đẳng thức. Cụ thể ta xét ví dụ sau: Ví dụ 13. Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh a2 b2 c2 1 2 2  2 2  2 2  . 5a   b  c  5b   c  a  5c   a  b  3 Lời giải a2 b2 c2 + Viết lại bất đẳng thức dưới dạng   1 2a 2  2a  3 2b 2  2b  3 2c 2  2c  3 3 + Ta thấy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 hoặc a  b  , c  0 (cùng các 2 hoán vị). Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 13/30
  14. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức t2  1 4t  1 + PTTT của đồ thị hàm số f  t   2 tại điểm M 1;  là y  . 2t  2t  3  3 9 2 t2 4t  1  3  8t  t  1 + Khi đó 2   2t  2t  3 9 9  2t 2  2t  3 3 + Nếu cả ba số a, b, c  thì ta có điều phải chứng minh. 8 3 3 + Nếu có 1 số nhỏ hơn . Giả sử c  thì điểm rơi của bài toán không còn là a  b  c  1 và 8 8 3 3 a  b  , c  0 mà chỉ còn a  b  , c  0 . Do đó, rất tự nhiên ta nghĩ đến lập phương trình 2 2 t2 3 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  t   2 tại điểm M  ;  . Phương trình đó là 2t  2t  3 2 2 4t  3 y . 18 2 t2 4t  3  2t  1 2t  3 + Ta có 2    0, t   0;3 (*) 2t  2t  3 18 18  2t 2  2t  3 + Ta sử dụng (*) cho a , b ta có a2  2 b2   4a  3   4b  3  1  2c 2 2a  2a  3 2b  2b  3 18 9 c2 2c + Từ đây ta chỉ cần chứng minh 2   c  4c 2  13c  6   0 . Bất đẳng thức này 2c  2c  3 9 3 hiển nhiên đúng với c  . 8 Ta đã biết có nhiều bất đẳng thức liên quan đến tổng các số dương. Ví dụ như 3 2 abc a  b  c  3  a 2  b 2  c 2  hoặc abc    . Do đó, trong một số bài toán giả thiết  3  có thể không cho dưới dạng tổng a  b  c hay kết luận của bài toán các số hạng chứa đồng thời các biến (nghĩa là chưa xác định được hàm đặc trưng cho bất đẳng thức) ta vẫn có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 14. Cho a, b, c  0 thỏa mãn a 2  b2  c 2  1. Chứng minh 1 1 1    a  b  c  2 3 . a b c Lời giải Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 14/30
  15. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức 1  1 2 3 + PTTT của đồ thị hàm số f  t    t tại điểm M  ;  là y  4t  2 3 . t  3 3  2 + Ta có 1  t  4t  2 3, t   0;1   3t  1   0, t   0;1 (luôn đúng). t t 1 1 1 + Do đó, ta có     a  b  c   4  a  b  c   6 3  2 3 a b c 2 (Vì  a  b  c   3  a 2  b 2  c 2   3    a  b  c    3 ). Ví dụ 15. Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh a b c 9    1  bc 1  ac 1  ab 10 Lời giải 1 Nhận xét: Trong bài toán trên dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  . Tuy nhiên trong kết 3 luận của bài toán ta chưa xác định được hàm đặc trưng. a a a 4a + Ta có  2  2  2 1  bc bc 1 a  a  2a  5 1   1    2   2  4a 4b 4c 9 + Ta đi chứng minh 2  2  2  a  2 a  5 b  2b  5 c  2c  5 10 4t 1 3  99t  3 + PTTT của đồ thị hàm số f  t   2 tại điểm M  ;  là y  . t  2t  5  3 10  100 2 4t 99t  3  3t  1 15  11t  + Ta có 2    0, t   0;1 (*). t  2t  5 100 100  t 2  2t  5 + Thay a, b, c bởi t trong (*) và cộng các bất đẳng thức theo vế ta có đpcm. Bài tương tự: Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh 1 1 1 3    . 9  ab 9  bc 9  ca 8 Ví dụ 16. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a 4  b4  c 4  3 . Chứng minh 1 1 1    1. 4  ab 4  bc 4  ca Lời giải Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 15/30
  16. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức 1 2 + Ta có  4  ab 8   a 2  b2  1 1 1 2 2 2 + Tương tự, ta có      4  ab 4  bc 4  ca 8   a  b  8   b  c  8   c 2  a 2  2 2 2 2 2 2 2      + Để vận dụng giả thiết a 4  b4  c 4  3 , ta đặt x  a 2  b2 , y  b2  c 2 , z  c 2  a 2 .  Khi đó  x, y, z  0  2 2 2 2 2 2  x  y  z   a  b    b  c    c  a   2  a  b   2  b  c   2  c  a   12 2 2 2 4 4 4 4 4 4  x, y, z   0;12  1 1 1 1 + Ta đi chứng minh    8 x 8 y 8 z 2 + Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại x  y  z  4 . 1  1 1 5 + PTTT của đồ thị hàm số f  t   tại điểm M  4;  là y  t . 8 t  6 144 36 1  1 5  + Ta có  t   , t   0;12  (*). 8  t  144 36  + Thay x, y, z bởi t trong (*) và cộng các bất đẳng thức theo vế ta có đpcm. Tuy nhiên trong bài toán sau (nhìn tương tự như Ví dụ 14) thì phương pháp tiếp tuyến không giải quyết được.  Ví dụ 17. Cho a, b, c  0 thỏa mãn a 2  b2  c 2  3 . Chứng minh 1 1 1    3. 2a 2b 2c Nhận xét: Ta thấy, phương pháp tiếp tuyến cũng chỉ là trường hợp riêng của bài toán sau: Cho các số thực a1 , a2 ,..., an  D thỏa mãn điều kiện g  a1   g  a2   ...  g  an   ng   với   D . Chứng minh f  a1   f  a2   ...  f  an   nf   (  nf   ) Để giải bài toán trên ta thường nghĩ đến một phương án là biểu diễn f  ai  qua g  ai  , nên ta xét hàm số h  t   f  t   m.g  t  với t  D . Ở đây, m là số được xác định sao cho  là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm số đồng thời h   là giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của hàm số trên D . Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 16/30
  17. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức f '   Vì  là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm số nên h    0  m  g '   Vì h   là giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của hàm số trên D nên h  t   f  t   m.g  t   h     h    , t  D (*) Khi đó thay a1 , a2 ,..., an vào t trong (*) và cộng theo vế các bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh. Ta giải bài toán theo phương pháp trên 1 f ' 1 1 + Xét hàm g  t   t 2 , f  t   . Chọn m   . 2t g ' 1 2 1 1 + Xét hàm số h  t    t 2 trên 0; 3 . 2t 2   1 + Từ bảng biến thiên ta thấy h  t   , t  0; 3 (*). 2   + Thay a, b, c vào t trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh. Yêu cầu học sinh thử giải lại các ví dụ theo phương pháp trên. Không chỉ trong các bất đẳng thức đại số, mà ngay cả trong một số bất đẳng thức lượng giác, phương pháp tiếp tuyến còn có nhiều áp dụng. Ta xét ví dụ sau:  Ví dụ 18. Chứng minh rằng 3 3 1) sin A  sin B  sin C  , ABC . 2 3 2) cos A  cos B  cos C  , ABC . 2 3) tan A  tan B  tan C  3 3, ABC nhọn. Lời giải 1) Nhận xét: Đây là một trong những bất đẳng thức cơ bản của tam giác. Học sinh hoàn toàn có thể giải quyết theo kiến thức lớp 11 nhờ sử dụng bất đẳng thức sin x  sin y x y  sin , x, y   0;   . 2 2 Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 17/30
  18. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức Khi đó, ta có   C A B C   A B 3  4sin   sin A  sin B    sin C  sin   2sin  2sin 3  4sin  3 2 2 4 3 3 3 Vậy sin A  sin B  sin C  , ABC . 2 Tuy nhiên, trong phương pháp trên học sinh cần nhớ được bất đẳng phụ. Do đó, phương pháp tiếp tuyến ta thấy tương đối dễ vận dụng đối với học sinh:  3  1   3 + PTTT của đồ thị hàm số f  t   sin t , t   0;   tại điểm M  ;  là y   t    . 3 2  2 3  2 1   3 + Xét hàm số g  t   sin t   t    trên  0;   . 2 3 2   1   3 Từ bảng biến thiên  g  t   g    0, t   0;    sin t   t    , t   0;   (*). 3 2 3  2 + Thay A, B, C bởi t trong (*) và cộng các BĐT theo vế ta có đpcm. 2)  1  3   1 + PTTT của đồ thị hàm số f  t   cos t , t   0;   tại M  ;  là y   t    .  3 2 2  3 2 3   1 + Xét hàm số g  t   cos t   t    trên  0;   . 2  3 2   Từ bảng biến thiên  g  t   g    0, t   0;   3 3   1  cos t    t    , t   0;   (*). 2  3 2 + Thay A, B, C bởi t trong (*) và cộng các BĐT theo vế ta có đpcm. 3) Cách 1.       + PTTT của đồ thị hàm số f  t   tan t , t   0;  tại M  ; 3  là y  4  t    3 .  2 3   3     + Xét hàm số g  t   tan t  4  t    3 trên  0;  .  3  2         Từ bảng biến thiên  g  t   g    0, t   0;   tan t  4  t    3, t   0;  (*). 3  2  3  2 Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 18/30
  19. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức + Thay A, B, C bởi t trong (*) và cộng các BĐT theo vế ta có đpcm. Cách 2. Áp dụng đẳng thức trong tam giác ta có tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C , ABC nhọn. Áp dụng bất đẳng thức TBC-TBN tan A  tan B  tan C  3 3 tan A tan B tan C  tan A tan B tan C  3 3  đpcm. A B C 1  Ví dụ 19. Chứng minh sin sin sin  , ABC . 2 2 2 8 Lời giải Cách 1. A B C 1 + Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng ln sin  ln sin  ln sin  3ln . 2 2 2 2 t  1 + Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  t   ln sin , t   0;   tại điểm M  ;ln  là 2 3 2 3   1 y  t    ln . 2  3 2 t 3   1 + Xét hàm g  t   ln sin   t    ln trên  0;   . 2 2  3 2   + Từ bảng biến thiên  g  t   g    0, t   0;   (đpcm). 3 Cách 2. + Áp dụng đẳng thức cơ bản trong tam giác A B C cos A  cos B  cos C  1  4sin sin sin 2 2 2 3 A B C 1 + Theo chứng minh ở Ví dụ 18, ta có cos A  cos B  cos C   sin sin sin  . 2 2 2 2 8 Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 19/30
  20. Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức 1.3 Bài tập tự luyện 1 1 2a  b  c  2 2 2 1 1) Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . Chứng minh 2  2  2   5. a b c 3 2) Cho a, b, c   thỏa mãn a  b  c  6 . Chứng minh a 4  b4  c 4  2  a 2  b 2  c 2  . 3) Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . Chứng minh 2   a  b  c  9   a2  b2  c2  . 4) Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . Chứng minh 1 1 1 2  2  2  1. a bc b ca c ab 5) Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca . 6) Cho a, b, c, d  0 và a  b  c  d  4 . Chứng minh 1 1 1 1 2  2  2  2  1. 1  a  1  b  1  c  1  d  7) Cho a, b, c  0 và a  b  c  1 . Chứng minh 10  a 3  b3  c3   9  a5  b5  c5   1 . 2 2 2 8) Cho a, b, c  0 . Chứng minh  b  c  3a    c  a  3b    a  b  3c   1 . 2 2 2  b  c   2a 2  c  a   2b2  a  b   2c 2 2 a3 b3 c3 9) Cho a, b, c  0 . Chứng minh 3  3  3  1. a3   b  c  b3   a  c  c3   a  b  a b c 3 10) Cho a, b, c  0 . Chứng minh     a  b  c . bc ac a b 2 bc ca ab  a b c  11) Cho a, b, c  0 . Chứng minh    4   . a b c bc ca a b Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 20/30
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2