Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2009-2010 môn Toán (Vòng 2)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ PLEIKU<br /> ***<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> VÒNG 2<br /> <br /> KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9<br /> NĂM HỌC 2009- 2010<br /> <br /> Môn Toán<br /> Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề<br /> <br /> Đề bài:<br /> BÀI 1: (2 điểm) Rút gọn: M =<br /> <br /> 2 3  5  13  48<br /> 6 2<br /> <br /> BÀI 2: (2 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm<br /> nguyên:<br /> mx  2y  m  1 1<br /> <br /> <br /> <br /> 2x  my  2m 1 2<br /> <br /> <br /> BÀI 3:<br /> a/ (1 điểm) Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a3  b3<br /> b/ (1 điểm) Chứng minh rằng, nếu:<br /> có:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />   7<br /> a2 b2 c2<br /> <br /> 1 1 1<br />    3 và a + b + c = abc thì ta<br /> a b c<br /> <br /> BÀI 4: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I; E là giao<br /> điểm của DI và CB; J là giao điểm của AE và CI. Chứng minh: BJ  DE.<br /> BÀI 5: (2 điểm) Cho AB và AC là 2 tiếp tuyến của đường tròn tâm O. Gọi E và<br /> F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Trên đường thẳng FE lấy một điểm M<br /> bất kỳ. Từ M kẽ tiếp tuyến MT tới đường tròn (O). Chứng minh rằng MA = MT.<br /> <br /> Họ và tên thí sinh: ....................................................................................................<br /> Số báo danh:........................................phòng thi:…………………………..<br /> <br /> Đáp án – biểu điểm môn Toán lớp 9 (vòng 2)<br /> Đáp án<br /> <br /> điểm<br /> <br /> BÀI 1: (2 điểm)<br /> 13 +<br /> <br /> 48 =<br /> <br />  3+<br />  M=<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 12  1<br /> <br /> 3 -1 =2+<br /> 2 2 3<br /> <br /> 2<br /> <br />  5 - 13  48 = 4 - 12 =<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,75 đ<br /> 0,25 đ<br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 4 2 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 6 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> =<br /> =<br /> = 1.<br /> 6 2<br /> 6 2<br /> 6 2<br /> (học sinh dùng máy tính để tính: không cho điểm bài này)<br /> 1<br /> BÀI 2: (2 điểm) Từ (1)  y = m  1 mx  Thay vào (2) được:<br /> 2<br /> 1<br /> 2<br /> 2x  m m  1 mx = 2m – 1  m x – 4x = m 2  3m  2<br /> 2<br /> 2<br />  x(m - 4) = (m - 2)(m - 1)<br /> Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta phải có: m 2  4  0  m  2<br />  m  2 m 1 m 1<br /> 2m  1<br /> Khi đó: x <br /> =<br /> ; và y <br /> 2<br /> m 2<br /> m 2<br /> m 4<br /> Vậy với m  2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất:<br /> <br /> m 1 m  2  3<br /> 3<br /> <br /> x <br /> <br />  1<br /> <br /> <br /> m2<br /> m 2<br /> m 2<br /> <br /> <br /> <br /> y  2m  1  2 m  2  3  2  3<br /> <br /> <br /> m2<br /> m 2<br /> m 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,5 đ<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> Để x, y là những số nguyên thì m + 2 phải là ước của 3. Ước của 3 gồm: 1; 3<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> m  2  1<br /> <br /> Vậy <br />  m  1; 3;1; 5<br /> <br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> m  2  3<br /> <br /> <br /> BÀI 3:<br /> a/ (1 điểm)<br /> Từ a + b = 1  b = 1 – a. Do đó:<br /> 3<br /> M = a3  1 a = 3a2  3a  1 = 3a2  a  1<br /> <br /> <br /> <br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> = 3a2  a    = 3a    <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 4<br /> 2<br /> 4<br /> 4<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> min M =  a  ; khi đó b <br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> b/ (1 điểm)<br /> 2<br />  1 1 1<br /> 1 1 1<br />     9<br /> Từ    3  <br /> <br /> <br />  a b c<br /> <br /> a b c<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  2  2  2  2     9<br /> <br /> <br /> <br />  ab bc ca <br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> a  b  c<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  9<br />  2  2  2  2<br /> <br /> <br /> <br />  abc <br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> a bc<br /> Theo giả thiết: a  b  c  abc <br /> 1<br /> abc<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  2  2  2 2 9  2  2  2  7<br /> a<br /> b<br /> c<br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> 0,25đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> BÀI 4: (2 điểm)<br /> <br /> Giải:<br /> Lấy điểm F thuộc tia đối của tia AB sao cho<br /> AF = BE. Gọi K là giao điểm của FC và<br /> DE, H là giao điểm của FC và EA.<br /> <br /> E<br /> 1<br /> <br /> J<br /> A<br /> <br /> F<br /> 1<br /> <br /> H<br /> <br /> B<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> I<br /> <br />  FAD  EBA (cgc)<br />  <br />  DFA  AEB<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Mà A1  A 2 (đđ) và A1  AEB  90 0<br /> <br /> k<br /> <br />  <br />  DFA  A2  900<br /> D<br /> C<br />  AE  FD (1)<br /> Chứng minh tương tự, ta có: FBC  ECD (cgc)  FC  DE (2)<br /> Từ (1), (2)  H là trực tâm của FDE  DH  FE (3)<br /> Tương tự: I là trực tâm của FCE  CI  FE (4)<br /> JE IE<br /> IE BE<br /> Từ (3), (4)  DH // CI <br /> <br /> ; BI // CD <br /> <br /> JH ID<br /> ID BC<br /> JE BE<br /> <br /> <br />  JB // HC (5)<br /> JH BC<br /> Từ (2), (5)  JB  DE<br /> Bài 5 : (2 điểm)<br /> B<br /> E<br /> M<br /> A<br /> <br /> H<br /> <br /> K<br /> <br /> O<br /> <br /> Giải:<br /> Gọi K và H lần lượt là giao điểm của<br /> OA với EF và BC.<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> OMT : MT = OM – OT (1)<br /> AMK : AM2 = AK2 + MK2 (2)<br /> <br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> <br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> <br /> (1) – (2):<br /> <br /> MT2 - AM2 = OK2 – OT2 – AK2<br /> = (OK2 – AK2) – OT2.<br /> C<br /> = (OK - AK)(OK + AK) – OT2.<br /> = (OK - KH)OA – OT2 (Do EF // BC  AK = KH)<br /> = OH.OA – OC2 = OC2 - OC2 = 0 ( OAC : OH.OA = OC2 )<br />  MT = AM<br /> F<br /> <br /> T<br /> <br /> (Các cách giải khác đúng và phù hợp với chương trình vẫn cho điểm tối đa)<br /> <br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> <br />