Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức Cô-si

Chia sẻ: Tai Viet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

394
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức cô-si', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức Cô-si

Ch n đi m rơi trong B t Đ ng Th c Cô-Si Trong khi h c Bàn v ki n th c v m ng b t đ ng th c thì b t đ ng th c Cô-Si là m t trong nh ng b t đ ng th c cơ b n nh t .Tuy nhiên trong khi gi i bài t p đ dùng đư c b t đ ng th c này m t cách linh ho t hơn thì ta ph i dùng đ n m t phương pháp g i là phương pháp ch n đi m rơi trong b t đ ng th c Cô-Si. Khi áp d ng bđt côsi trong các bài toán tìm c c tr thì vi c l a ch n tham s đ t i đó d u = x y ra là đi u quan tr ng và khó khăn nh t. Đôi lúc trong các bài toán khi các bi n b gi i h n b i m t đi u ki n nào đó thì khi áp d ng tr c ti p s d n đ n nhi u sai l m. Vì th trong chuyên m c nh này tôi mu n trình bày nh ng phương pháp c th đ b n có th tìm đư c tham s phù h p. Bài toán 1: Cho các s dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá tr nh nh t: a. b. c. d. Gi i: a.Bài này khá đơn gi n ch c b n nào cũng đ u bi t nó. Tuy nhiên dùng bài này minh h a cho vi c l a ch n tham s theo mình là phù h p nh t. Vì vai trò các bi n x,y,z là như nhau nên ta có th d đoán đư c d u = x y ra t i x=y=z=1/3. Nên ta có như sau: (d u = x y ra khi ) Như v y ta áp d ng như sau: c ng d n l i r i suy ra. b. Như bài trên mình đã nói lên m t ý tư ng là thêm vào các bi t s ph như ch ng h n. Và phương pháp thêm này nói chung r t hi u qu và tri t đ cho các bài toán d ng này. Ta th y vai trò c a x,y là như nhau nên ta có th d đoán đư c d u = x y ra x=y. Ta c n ch n các bi t s ph sao: (d u = x y ra khi ) (d u = x y ra khi ) (d u = x y ra khi ) Và m c đích c a các bi t s ph sao cho khi ta c ng d n l i ch xu t hi n x+y+z. Nên ta có suy ra: (*) Đ ng th i v i các đi u ki n d u b ng và (*) các b n s tìm đư c các bi t s ph như ý mu n.
c.Đ th y thêm s hi u qu thì câu c đi u ki n các tham s đó kô ràng bu c. Ta ch n các bi t s ph sao cho: (d u = x y ra t i ) (d u = x y ra t i ) (d u = x y ra t i ) Và m c đích c a các bi t s ph khi ta c ng d n l i ch xu t hi n x+y+z V y ta suy ra d dàng: (*) Đ ng th i v i d u = x y ra và đk (*) b n có th tìm đư c bi t s . d.Sang câu d đây là m t d ng t ng quát c a bài toán này. Tuy nhiên khi gi i mà làm theo các bư c trên thì th t là khó ch i và m t th i gian nhi u. Nay mình xin nói thêm đây là m t cách r t hay ch c n 1 hay 2 dòng là ra các bi t s ph li n. Tuy nhiên các b n ph i hi u rõ các cách trên vì đây ch là m t cách suy ra t pp trên mà thôi. như v y b n ch c n rút x,y,z theo r i th vào đi u ki n là có th ra đư c đi m rơi. Ngoài ra v i bài toán trên nó kô ch gi i h n m c đ nh đó đâu mà nó còn nâng lên b c cao m,n,k c a x,y,z b t kì c ng v i đi u ki n có th t ng quát hơn: . Mà cách gi i v n không m y thay đ i (tuy nhiên đ u là s nguyên) Bài toán 2: Cho x,y,z là các s dương thõa xy+yz+zx=1. Tìm giá tr l n nh t: a. b. c. d. Gi i: Nh ng bài này chúng ta cũng s và có chung m t hương đi gi i quy t đó: a.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các s s tìm đư c) Ta có: d u = x y ra khi: Suy ra: Và m c đích c a các bi t s này là có th đưa v d ng xy+yz+zx. Nên khi đó: Như v y ta đư c h phương trình sau: abd=cef a+b=1 c+d=1 e+f=2
H trên 6 phương trình tương ng v i 6 n s các b n hoàn toàn có th gi i đư c có đi u hơi dài. Tuy nhiên trong trư ng h p bài toán a,b,c chúng ta th y r ng các bi n x,y có tính đ i x ng nay nên vi c phân tích s đơn gi n hơn th này a=c, b=d, e=f. Như v y thì đơn gi n hơn đúng không? Còn trư ng h p bài cu i cùng khá t ng quát thì vi c gi i nó s khó khăn đôi chút. Nhưng có m t phương pháp r t hay và m i: Xét bi u th c: V i Như v y ta đư c h phương trình b c 3 theo trong đó là nghi m dương nh nh t. T đây b n có th tính ra suy ra giá tr nh nh t c a bi u th c mà kô c n ph i gi i a,b,c,d,e,f. Bài toán 3: Cho x,y,z là các s dương, thõa: x+y+z=1. Tìm giá tr l n nh t c a: V i các d ng bài này thì phương pháp cũng tương t nhau nên dành cho các b n v y! Xem như đây là m t bài luy n t p Ngoài ra đôi lúc trong vi c tìm c c tr c a bài toán không ph i là ta nhìn đã th y đư c đó là đi m rơi trong côsi mà nó còn k t h p v i phương pháp khác như đ ng nh t th c, đ o hàm, v.v... Và chính đi u này nó làm tăng thêm ph n hay và đ p c a đi m rơi trong Cô-Si.Qua bài vi t này mong các b n s hi u rõ hơn v b t đ ng th c Cô-Si. K thu t ch n đi m rơi trong các bài toán BĐT và c c tr Th i gian qua mình đã nh n đư c nhi u yêu c u c a các b n hư ng d n cách làm bài t p v BĐT và c c tr .Đây cũng là m ng ki n th c sâu r ng và tương đ i khó.Bài vi t này s hư ng d n các b n nh ng hư ng suy nghĩ và gi i quy t các bài t p d ng này thông qua PP ch n "đi m rơi"-t c là nh ng đi m ta d đoán đư c đ t đó có hư ng gi i quy t phù h p nh t. Ký hi u sqrt là căn b c 2 và cbb là căn b c 3 Ta hãy b t đ u t 1 bài toán đơn gi n: Bài 1: Cho .Tìm Min c a: Gi i: Rõ ràng ko th áp d ng Cosi ngay đ vì d u = x y ra khi a=1, mâu thu n v i đk Ta d đoán t đ bài r ng P s nh nh t khi a=3 và đây chính là "đi m rơi" c a bài toán.Khi a=3 thì và
Ta áp d ng Cosi như sau: ta có Khi đó k t h p v i đk ta có D th y khi a=3 thì .V y khi a=3 Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR: Gi i: D đoán d u đ ng th c x yra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp d ng Cosi như sau: Tương t cho 2 BĐT còn l i.Khi đó ta có .Ti p t c áp d ng Cosi cho 3 s ta có .Thay vào ta có Bài 3: Cho 3 s dương x,y,z tho mãn x+y+z=1.CMR: P= + + >= Gi i: Đ u tiên ta th y trong căn có d ng nên nghĩ ngay đ n s d ng Bunhi d ng . đây d th y .V y còn a và b.Ta s s d ng PP "đi m rơi". Ta hãy c vi t và d u "=" đ t đư c khi .Ta chú ý ti p đk x+y+z=1 và "d đoán" d u = x y ra bài toán khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 và b=9 ta đư c ngay: Tương t cho y và z.Cu i cùng ta s có 1 bài toán đơn gi n hơn r t nhi u và ch là TH đ c bi t c a bài toán 1. Cu i cùng là 1 bài toán mình xin dành l i gi i cho các b n: Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min: P= + +