Kỹ Thuật Cộng Mẫu Số Engel Của BĐT Chebychev - VIMF

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

134
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Kỹ Thuật Cộng Mẫu Số Engel Của BĐT Chebychev - VIMF " mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp học hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ Thuật Cộng Mẫu Số Engel Của BĐT Chebychev - VIMF

1 DIEN DAN BAT DANG THUC VIET NAM VietNam Inequality Mathematic Forum www.vimf.co.cc Tác Gi Bài Vi t: Admin Bài vi t này (cùng v i file ñính kèm) ñư c t o ra vì m c ñính giáo d c. Không ñư c s d ng b n ebook này dư i b t kì m i m c ñính thương m i nào, tr khi ñư c s ñ ng ý c a tác gi . M i chi ti t xin liên h : www.vimf.co.cc
2 KĨ THU T C NG M U S ENGEL C A B T ð NG TH C CHEBYCHEV Như các b n ñã bi t B t ñ ng th c Chebychev là m t công c m nh ñ gi i quy t m t l p các b t ñ ng th c. Trư c khi ñ n v i bài vi t này tôi xin nh c l i m t chút v b t ñ ng th c này I/ B t ñ ng th c Chebychev c ñi n và Chebychev d ng Engel 1a. B t ñ ng th c Chebychev trên 2 dãy ñơn ñi u cùng chi u: Cho 2 dãy h u h n các s th c , , … , và , , … , , khi ñó a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an  a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an  N u có   ho c   thì ta có b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn  b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn    ... ... …  a = a2 = ... = an D u b ng x y ra khi  1  b1 = b2 = ... = bn   B t ñ ng th c Chebychev suy r ng:   a1 ≥ a1 + a2 ≥ ... ≥ a1 + a2 + ... + an   a1 ≤ a1 + a2 ≤ ... ≤ a1 + a2 + ... + an    2 n  2 n N u  ho c   thì  b ≥ b1 + b2 ≥ ... ≥ b1 + b2 + ... + bn  b ≤ b1 + b2 ≤ ... ≤ b1 + b2 + ... + bn 1  1    2 n   2 n ... ... … 1b. B t ñ ng th c Chebychev trên 2 dãy ñơn ñi u ngư c chi u: Cho 2 dãy h u h n các s th c , , … , và , , … , , khi ñó  a ≥ a2 ≥ ... ≥ an a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an  N u có  1  ho c   thì ta có b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn  b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn    ... ... …  a = a2 = ... = an D u b ng x y ra khi  1  b1 = b2 = ... = bn   B t ñ ng th c Chebychev suy r ng:   a1 ≥ a1 + a2 ≥ ... ≥ a1 + a2 + ... + an   a1 ≤ a1 + a2 ≤ ... ≤ a1 + a2 + ... + an    2 n  2 n N u  ho c   thì  b ≤ b1 + b2 ≤ ... ≤ b1 + b2 + ... + bn  b ≥ b1 + b2 ≥ ... ≥ b1 + b2 + ... + bn 1  1    2 n   2 n ... ... … Vi c ch ng minh các b t ñ ng th c trên là khá ñơn gi n. Các b n có th tham kh o t nhi u ngu n tài li u khác nhau. Bây gi tr l i v i ch ñ chính, n u ta thay dãy , ,…, b i dãy , ,…, thì khi ñó
3  a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an  2a. N u có   ho c   thì ta có  x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn   x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn    1 1 1 a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an  a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an  2b. N u có   ho c   thì ta có  x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn   x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn    1 1 1 Tuy nhiên trong m t s trư ng h p,ta không th ñánh giá theo 2 dãy này. Khi sso ta có m t cách kh c ph c, ñó là:  a1 a2  a  a1 a2  a  ≥ ≥ ... ≥ n   ≤ ≤ ... ≤ n  3a. N u có  x1 x2  xn ho c  x1 x2  xn thì ta có   x ≥ x ≥ ... ≥ x   x ≤ x ≤ ... ≤ x  1   2 n  1   2 n Ch ng minh. theo 1a, ta có Do ñó  a1 a2  a  a1 a2  a  ≤ ≤ ... ≤ n   ≤ ≤ ... ≤ n  3b. N u có  x1 x2  xn ho c  x1 x2  xn thì ta có   x ≥ x ≥ ... ≥ x   x ≥ x ≥ ... ≥ x  1   2 n  1   2 n Ch ng minh. theo 1b, ta có Do ñó M c dù 2 b t ñ ng th c này ñư c phát bi u ñơn gi n và ñư c suy ra t b t ñ ng th c Chebychev c ñi n. Tuy nhiên trong m t s trư ng h p, vi c ñánh giá theo 2a và 2b không m y hi u qu . Vì th , 3a và 3b (k t h p v i vi c thêm bi n thích h p l i tr nên hi u qu ñ i v i các b t ñ ng th c ñ i x ng 3 bi n có ch a phân th c. ð làm rõ ñi u này chúng ta cũng xét ñ n các bài toán sau:
4 II/ Áp d ng vào gi i toán. Bài toán 1. Cho các s th c dương , , sao cho 1 1 1 1 1 1 1 Ch ng minh r ng Italia 2007 L i gi i. Ta có 1 1 1 1 1 1 Không m t tính t ng quát, gi s thì và 1 1 1 1 1 1 B t ñ ng th c trên luôn ñúng. T ñó theo 3a thì 1 1 1 1 1 1 3 2 K t h p v i gi thi t ta suy ra 3 1 2 V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi 1. Bài toán 2. Cho tam giác nh n . Ch ng minh r ng 1 1 1 3 1 1 1 1 2 √3 VIF L i gi i. Theo như ñánh giá c a bài toán 1 thì 1 1 1 1 1 1 3 2 T b t ñ ng th c 3 và ñ ng th c ∑ ∏ tan ta có 3 2 3 2 1 3 3 3 3∏ ∑ 3∏ 1 2 √3 1 2 1 2 ∑ ∑
5 V y, ta có ñi u ph i ch ng minh. ñ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ñ u Bài toán 3. Cho các s th c dương , , sao cho 3. Ch ng minh r ng 9 9 9 4 4 4 13 4 VIF L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s a b c. Ta có 1 0 nên , tương t ta suy ra L i có 9 9 4 4 3 3 0 4 B t ñ ng th c trên luôn ñúng Tương t ta suy ra 9 9 9 4 4 4 T ñó theo 3b thì 9 9 9 27 3 4 4 4 4 2 3 ∑ 9 ∑ 6 Ta c n ch ng minh 3 ∑ 9 13 ∑ 3 ∑ 6 4 B t ñ ng th c trên ñúng do 3 V y, ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi a b c 1. Bài toán 4. Cho các s th c dương , , sao cho 1. Ch ng minh r ng 9 1 1 1 2 L i gi i. B t ñ ng th c tương ñương v i 2 3 2 2 ∑ 3 0 ∑ 0 1 Không m t tính t ng quát, gi s 1 1 1 Ta ti p t c thi t l p 3 2 2 3 2 2 1 1
6 2 3 2 0 2 2 3 3 3 2 2 0 2 1 2 1 2 3 3 0 2 2 2 2 0 B t ñ ng th c trên luôn ñúng. Thi t l p tương t ta suy ra 3 2 2 3 2 2 1 1 3 2 2 1 T ñó theo 3b ta có 3 2 2 3∑ 3 2 2 ∑ 1 3 ∑ 12 ∑ ∑ 0 3 ∑ V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ñ ng th c x y ra khi và ch khi . √ Nh n xét. N u ta mu n ñánh giá theo ki u Chebychev c ñi n, t c là thi t l p thêm 3 2 2 3 2 2 b c 2b 2c a 0 ði u này th t khó gi i quy t b i 2 2 là âm hay dương?. Bài toán. Cho các s th c , , sao cho 1. Ch ng minh r ng 9 1 1 1 10 Poland 1992 L i gi i. Ta có | | | | | | 1 1 1 1 1 1 Nên ta ch c n ch ng minh b t ñ ng th c v i , , 0 Không m t tính t ng quát, gi s thì 1 1 1 Ti p t c ta có x y 1 xy 0 1 1 Do 1 2 1 nên b t ñ ng th c trên hi n nhiên ñúng Tương t ta suy ra 1 1 1 T ñó theo 3a ta có 3 3 9 1 1 1 1 3 10 3 3 V y, ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi .
7 Bài toán. Cho các s th c dương , , sao cho 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 Ch ng minh r ng 3 VIF L i gi i. Ta có 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 Không m t tính t ng quát, gi s thì 2 2 2 và 1 1 1 ab ac 2 2 2 1 2 1 2 1 2 bc B t ñ ng th c trên luôn ñúng v i T ñó theo 3a, ta có 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 3 6 K t h p v i gi thi t suy ra 3 1 3 6 V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi 1 III/ Bài t p áp d ng. Bài toán 1. Cho các s th c dương , , sao cho 1. Ch ng minh 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 Bài toán 2. Cho các s th c dương , , sao cho 1. Ch ng minh 3 √3 ∑ √3 3 √3 1 Bài toán 3. Cho các s th c dương , , sao cho 3. Ch ng minh 1 ∑ 5 2 Bài toán 4. Cho , , là ñ dài 3 c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng √ ∑ 3 √ √ √