Lập luận xấp xỉ với Modus Ponens trên cơ sở đại số gia tử

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 25, 2004<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> LẬP LUẬN XẤP XỈ VỚI MODUS PONENS<br /> TRÊN CƠ SỞ ĐẠI SỐ GIA TỬ<br /> Nguyễn Thế Dũng<br /> Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế<br /> <br /> I. MỞ ĐẦU<br /> Xét cơ sở tri thức bao gồm các câu gồm hai phần cơ bản: phần rõ ràng và phần mơ hồ <br /> được biểu diễn dưới dạng các luật If . . . then . . .  khi đó cơ sở tri thức của ta bao gồm các  <br /> luật có dạng như sau:<br /> If "The student is more young" and "He is a very good student" then "The student is quite <br /> a good candidate".<br /> Ở đây các sự kiện "X is hA" (với h là các từ nhấn như more, very...) có thể viết lại là:  <br /> "X (is h) A" hay h là cấp độ đúng (true degree) của câu "X is A". <br /> Nói cách khác, câu "X is hA" is true  "X is A" is h true.<br /> Ở đây h true thể hiện cấp độ đúng của câu "X is A". <br /> Chẳng hạn "He is a very good student" có thể viết lại là: "(He is a good student) is very  <br /> true", hay “Robert is old” được viết lại "(Robert is old) is true". Các câu phức tạp hơn như:  <br /> "It  is quite likely that the snow is almost white" có thể biểu diễn ở dạng "(The snow is white)  <br /> is almost true) is quite true". <br /> Trong bài này, một câu S chứa thông tin mơ  hồ  được tách biệt ra bởi một trạng từ <br /> (adverb)   và một mệnh đề P, ở đây   diễn tả cấp độ câu S thỏa mãn tính chất P là  , chúng <br /> ta sẽ gọi   là cấp độ đúng (true degree) của câu S. Bên cạnh đó với một câu S, chúng ta quan  <br /> tâm đến mức độ tin cậy hay còn gọi là độ chắc chắn của ta về câu S đó. Trong bài này sẽ ký  <br /> hiệu   là cấp độ thể hiện sự tin cậy ­ chắc chắn (certain degree) của câu S. <br /> Ví dụ: Trong câu "(The snow is white) is almost true) is quite true" trên thì P="The snow  <br /> is white",  ="almost" còn  ="quite". <br /> Việc quan tâm đến mức độ  tin cậy của một câu S vẫn thường thấy khi thu thập tri <br /> thức trong các hệ  chuyên gia. Khi thu nhận một tri thức từ  các chuyên gia, chúng ta vẫn <br /> thường đặt vấn đề mức độ tin cậy ­ chắc chắn về tri thức ấy.<br /> Trong [2][4][12] đã biểu diễn các câu trên  ở  dạng S(x,u) với x là biến còn u là khái <br /> niệm mơ hồ và một khẳng định A=(S(x,u),t) với t thể hiện cấp độ  đúng của câu S. Như thế <br /> cách biểu diễn trong bài này là tương tự cách biểu diễn câu khẳng định trong [2][4] [12],  ở <br /> đây câu S  hiểu theo nghĩa trên sẽ là một khẳng định S=(S(x,u),  true) với x là biến còn u là <br /> khái niệm mơ hồ, còn   true chính là t trong cách biểu diễn trong [2][4] [12].  <br /> 53<br />  Lưu ý, trong bài này chúng ta tách biệt khái niệm mơ hồ u trong câu thông qua trạng từ <br />  và mệnh đề P.<br /> Ví dụ: Với câu S="Lan học rất chăm chỉ  là có thể  đúng" với cách biểu diễn trong [4]<br /> [12] sẽ là S(học(Lan, rất chăm chỉ), có thể đúng). Còn với cách biểu diễn trong bài này sẽ là  <br /> S(học(Lan, chăm chỉ), rất đúng, có thể đúng).  ở đây  ="rất đúng" còn   ="có thể đúng".<br /> Như vậy cấp độ ngữ nghĩa t theo cách biểu diễn trong [4][12] tương  ứng chính là true <br /> degree "  true" trong cách biểu diễn của bài này. Cách biểu diễn của chúng ta tách biệt được <br /> phần rõ ràng và phần mơ hồ của câu, bên cạnh đó thể hiện được độ tin cậy (certain degree)  <br /> của một câu. Ví dụ với câu "Lan học rất chăm chỉ là có thể đúng" nói trên thì phần rõ ràng là: <br /> "Lan học chăm chỉ" và phần mơ hồ là: "rất chăm chỉ" nói cách khác là "Lan học chăm chỉ là <br /> rất đúng" thì phần rất đúng là mơ hồ, còn câu phát biểu "(Lan học chăm chỉ là rất đúng) là có  <br /> thể đúng” thì “có thể đúng” thể hiện độ chắc chắn của phát biểu này. <br /> Trong bài này các cấp độ đúng  true và cấp độ tin cậy  true nói trên được xét trên đại <br /> số  gia tử của biến chân lý true  AX=(X, ,G,LH) với G={True, False}, LH là dàn phân phối <br /> sinh bởi các gia tử. Như đã biết AX là một dàn đầy đủ, nên có thể định nghĩa các phép và (<br /> ­cận trên) , hoặc (  ­cận dưới) giữa hai phần tử bất  kỳ của AX, hơn nữa như trong [1] cũng <br /> đã bổ sung các phần tử  kí hiệu bởi  I, O, W được định nghĩa như sau:  I > x > W > y > O với  <br /> mọi x   LH(True), y LH(False) và hI =I, hO=O, hW=W với mọi h LH. Các phần tử  I, O, <br /> W có thể được hiểu như các giá trị ngôn ngữ tương ứng là: completely true, completely false  <br /> và unknown. Từ đó không mất tính tổng quát có thể giả thiết rằng AX được sinh bởi tập các <br /> phần tử sinh G={I, true, W,false,O}. <br /> Trong [1] cũng đã xây dựng các toán tử joint ( ), toán tử meet ( ) trong dàn AX, bên <br /> cạnh đó toán tử concept­implication x=>y cũng được định nghĩa:<br /> x=>y =  x y với mọi x, y  AX. Ở đây,  x= x­ (phần tử đối nghịch của x trong AX).  <br /> Khi đó AX cùng với các toán tử hai ngôi  ,  , =>; tập các toán tử một ngôi LH và { } cùng 5 <br /> toán tử  0 ngôi true, false, O, W,  I   trở  thành một đại số  De­Morgan. AX bao hàm đại số <br /> Lukasiewicz ba phần tử  {O,W,  I  } như  một đại số  con, hơn nữa AX cũng là một đại số <br /> Kleen. Lúc này toán tử  concept implication là một mở  rộng của toán tử  kéo theo kinh điển  <br /> trong đại số Bool hai phần tử {O, I }. <br /> Bên cạnh đó trong [1] cũng đã xây dựng toán tử giả  bù ~ và giả  bù tương đối   cũng <br /> như  đưa ra các kết quả  tính toán cho toán tử  giả  bù tương đối. Lúc đó X'= là đại số Heyting và   là một mở rộng của toán tử kéo theo, theo  <br /> nghĩa kinh điển. Do đó có thể nói rằng AX là một cơ sở logic tốt cho việc lập luận xấp xỉ. <br /> Để lập luận trên các luật If ... then ... một qui tắc suy diễn thường được sử dụng đó là <br /> modus ponens. <br /> Với cơ sở tri thức có dạng trên qui tắc này sẽ là:<br /> If A then B is true;  If A is true <br /> B is true <br /> 54<br />  Trong bài này, phần II chúng ta sẽ mở rộng qui tắc trên trong một số trường hợp mà  <br /> các mệnh đề  A, B trong các luật được hiểu là có các cấp độ  đúng và cấp độ  tin cậy khác  <br /> nhau trên đại số gia tử AX vừa nói trên.<br /> Đồng thời  chúng ta cũng sẽ mở rộng các luật trong lập luận xấp xỉ trên các biến ngôn  <br /> ngữ trong [12], tập trung thảo luận các trường hợp liên quan đến modus ponens. <br /> Các qui tắc lập luận của chúng ta trong bài này được phân chia ra các trường hợp (9  <br /> trường hợp) có thể có khi vận dụng modus ponens. Qua các trường hợp được phân chia trong <br /> phần sau, chúng ta sẽ  thấy rằng các qui tắc lập luận sử  dụng trong bài này tuân theo bản <br /> chất lập luận dựa trên khoảng cách và tính sắp thứ tự của đại số gia tử như trong [4][12]. Vì  <br /> một số qui tắc RT1, RT2... trong [12] về qui tắc modus ponens là một trong các trường hợp  <br /> của bài này. Trong các trường hợp 3 và 4, chúng ta sử dụng hàm modus ponens tổng quát như <br /> trong logic mờ, nhưng cách tính toán của chúng ta bỏ  qua được các bước xây dựng hàm  <br /> thuộc, khử mờ... của logic mờ, nhưng cho kết quả hợp lý.<br /> Bên cạnh đó một heuristic để  lựa chọn luật cháy (fire rule) khi lập luận trên cơ  sở tri  <br /> thức có dạng nói trên cũng được đưa ra trong bài, ở cuối phần II. <br /> <br /> II. LẬP LUẬN XẤP XỈ TRÊN CƠ SỞ ĐẠI SỐ GIA TỬ<br /> Một câu hỏi thường được đặt ra trong lập luận xấp xỉ là:<br /> Giả sử đã biết {A is    true and (A  B) is   true} lúc đó có kết luận gì về B? Hoặc đã  <br /> biết {(A  B)is  true and  B is   true}, có kết luận về A? Trường hợp đầu là modus ponens, <br /> còn trường hợp sau chính là modus tollens mở rộng cho lập luận xấp xỉ. Trong bài này chúng  <br /> ta tập trung quan tâm đến modus ponens. <br /> Để cho tiện ký hiệu chúng ta sẽ viết  A thay cho "A is   True", còn nếu viết A được <br /> hiểu là "A is true" và  ( A) được hiểu "A is  True" với cấp độ chắc chắn (certain degree) là <br /> True. Như vậy khi viết A thì hiểu true degree và certain degree của câu A đều là True.<br /> Ví dụ: Với câu "The student is more intelligent is very true" có thể  viết thành "(((The  <br /> student   is   intelligent)   is   more   true)   is   very   true)",   lúc   này   A="The   sudent   is   intelligent", <br /> ="more" và  ="very".<br /> Trước hết ta thấy rằng giữa true degree và certain degree có thể chuyển đổi như sau:<br /> ( A)   (A)   A<br /> Ví dụ:<br /> Câu "(Lan rất chăm chỉ) là có thể đúng" được viết lại là:<br /> "((Lan chăm chỉ) rất đúng) là có thể  đúng"     "((Lan chăm chỉ) đúng) là rất có thể <br /> đúng"  "((Lan chăm chỉ) rất có thể đúng) là đúng".<br /> Câu "(Quả cà chua đỏ) rất đúng) là ít đúng"  "((Quả cà chua đỏ), đúng) là rất đúng" <br />  "((Quả cà chua đỏ), rất ít đúng) là đúng).<br /> Với quan niệm trên thì cơ sở tri thức của chúng ta sẽ bao gồm các luật If then có dạng <br /> như sau:<br /> <br /> 55<br />  [If [[X is  A] is  true] then [[Y is  'B] is  'true]] is  true. Ở đây   là certain degree  của <br /> luật, còn  ' chính là true degree của luật.<br /> Dưới đây chúng ta sẽ xem xét các trường hợp mở rộng của modus ponens cho lập luận  <br /> xấp xỉ  trên cơ sở tri thức có dạng trên.<br /> Chúng ta sẽ ký hiệu modus ponens ở dạng: <br /> A  B<br /> A'<br /> B'<br /> Vấn đề  đặt ra là với các trường hợp khác nhau của A, B, A' hãy tính true degree và <br /> certain degree của B'. Ta có các trường hợp sau:<br /> TH 1:<br /> A  B<br /> A<br /> B<br /> Đây chính là trường hợp modus ponens thông thường.<br /> TH 2:<br /> A  B<br /> A<br /> B.<br /> Khi giả thiết A và kết luận B của luật là True và nếu ta có đầu vào là  A thì đầu ra là <br /> B, tức ta gán cấp độ đúng của đầu vào cho đầu ra.<br /> TH 3:<br /> A   B<br /> A<br /> B<br /> Với   được tính như sau:  True =  True    (True,  True). <br /> Ở  đây  ,   tương  ứng là toán tử meet và toán tử giả bù tương đối trên đại số  gia tử <br /> AX đã nói ở mục trên [1]. Các tính toán liên quan đến toán tử   xin xem thêm trong [1].<br /> Cách tính    ở  trên dựa trên ý tưởng của modus ponens tổng quát (generalized modus  <br /> ponens ­ GMP) trong logic mờ. Với cơ sở RH đại số gia tử AX nói trên, chúng ta có đầy đủ <br /> công cụ để  tính toán GMP, nhưng ở đây chúng ta không phải tính toán thông qua hàm thuộc  <br /> (membership function). Hơn nữa lập luận của chúng ta cũng rất tự nhiên trên ngôn ngữ như <br /> cách lập luận thông thường của con người.<br /> Như  vậy, khi giả  thiết A của luật là không mờ  và kết luận B của luật là   true, còn <br /> đầu vào là A is   true, khi đó cấp độ đúng của đầu ra được tính toán theo công thức trên và ta <br /> thấy chúng là hoàn toàn hợp lý trong thực tiễn.<br /> Để làm rõ hơn cách tính kết luận  B, ta chứng minh mệnh đề dưới đây.<br /> Mệnh đề 1<br /> <br /> 56<br />  Toán tử    M(x, y)=x y với   x,y   AX thỏa mãn các tính chất của một hàm modus  <br /> ponens tổng quát (modus ponens generating function). Tức là:<br /> a) M(0, I ) = M(I ,O) = M(O,O) =O và M(I, I)= I.<br /> b) M(x,y) không tăng theo x và theo y.<br /> c) M(x, (x,y) y; M(I,y)=y và  (I,y)=y.<br /> Chứng minh:<br /> a) và b) là hiển nhiên theo định nghĩa toán tử meet   trong AX. Hơn nữa, theo định lý <br /> 3.5 trong [1] trang 78, ta có (x    (x,y))   y và  (I,y)=y với mọi x, y AX. Còn I y=y là dễ <br /> thấy, nên c) được chứng minh. Mệnh đề chứng minh xong.<br /> Các vấn  đề  liên  quan đến hàm  modus  ponens  tổng  quát   (modus  ponens  generating <br /> function) xin xem thêm trong [12].<br /> TH 4:<br /> A   B<br /> ( A)<br /> ( B)<br /> Với   được tính theo công thức sau:  True =  True (True, True). <br /> Tóm lại, khi giả thiết A của luật là true và kết luận B là   true, còn đầu vào là (A is <br /> true) is   true. Khi đó ta gán certain degree  True cho đầu ra, còn true degree  True của đầu ra <br /> được tính theo công thức tương tự trường hợp 3.<br /> TH 5:<br /> A   B<br /> ( A)<br /> ( B)<br /> Ví dụ: <br /> Nếu cà chua khá đỏ thì rất ngon<br /> Nếu cà chua khá đỏ là có thể đúng.<br /> Khi đó theo qui tắc trên dễ thấy rằng kết luận thu được sẽ là:  Cà chua rất ngon là có  <br /> thể đúng.<br /> Khi giả thiết A của luật là   true và kết luận B là   true, còn đầu vào là (A is   true) is <br />  true ­ cấp độ đúng của giả thiết và đầu vào là như nhau. Khi đó ta gán certain degree  True <br /> cho đầu ra và gán true degree  True của kết luận B cho đầu ra.<br /> Lưu ý rằng, khi cấp độ  đúng của giả  thiết và đầu vào là khác nhau ta không thể  suy  <br /> luận được gì trong trường hợp này.<br /> TH 6:<br /> A   B<br /> ( A) với       <br /> Không thể suy diễn được gì thêm.<br /> Ví dụ: <br /> <br /> 57<br />  Nếu cà chua khá đỏ thì rất ngon<br /> Nếu cà chua rất đỏ là đúng.<br /> ="Khá";  ="Rất", trong thực tiễn ta thấy ở đây không thể suy diễn được gì thêm.<br /> Từ trường hợp 2 và trường hợp 4 ta có:<br /> TH 7:<br /> A  B<br /> ( A)<br /> ( B)<br /> Kết hợp với qui tắc RMP và qui tắc RT1 trong [12] ta có:<br /> TH 8:<br /> (A B)<br /> A<br /> (B)<br /> Đây chính là qui tắc liên quan đến modus ponens RMP trong [12].<br /> TH 9:<br /> ( (A B))<br /> A<br /> ( B).<br /> Đây chính là sự kết hợp giữa qui tắc chuyển đổi gia tử RT1 trong [12] và trường hợp  <br /> TH7 ở trên và cũng chính là qui tắc RPI1 trong [12].<br /> Tóm lại ta có:<br /> Nếu kết luận B của luật là true thì gán true degree và certain degree của đầu vào cho  <br /> đầu ra.<br /> Ngược lại, <br /> Nếu giả thiết A của luật là true thì tính toán các cấp độ  true degree  và certain <br /> degree cho đầu ra theo các công thức trong các trường hợp 2, 3, 4.  <br /> Ngược lại,<br /> Nếu true degree của giả thiết A bằng true degree của đầu vào thì gán certain  <br /> degree   của đầu vào cho đầu ra và gán true degree   của kết luận B cho đầu ra.<br /> Ngược lại, không thể suy diễn gì thêm.<br /> Hơn nữa cũng lưu ý rằng khi lập luận xấp xỉ trên cơ sở tri thức bao gồm các câu như <br /> đã xét  ở các phần trên nếu xảy ra trường hợp đụng độ  khi lựa chọn luật để  suy diễn ­ luật <br /> cháy (fire rule), trong trường hợp này một heuristic để lựa chọn luật là: lựa chọn luật cháy là  <br /> luật có certain degree lớn nhất, khi có nhiều luật như  thế  ta chọn luật có true degree lớn  <br /> nhất.<br /> Ví dụ 1:<br /> Giả sử ta có các luật sau:<br /> R1: If A then C<br /> R2: If B then C <br /> 58<br />  Cùng các sự  kiện sau:  A và  B với  ="Khá" và  ="Rất". Áp dụng heuristic ta thấy <br /> luật R2 sẽ được chọn để lập luận và thu được kết luận là:  C.<br /> Ví dụ 2:<br /> Giả sử ta có các luật sau:<br /> R1: (If A then B  is very true) is very true<br /> R2: (If A then C is more true) is very true<br /> Cùng sự kiện  A, khi đó cả  2 luật R1, R2 đều có thể chọn để cháy, tuy vậy áp dụng  <br /> heuristic trên, ta thấy luật R1 được chọn và ta thu được kết luận là:  B.<br /> <br /> III. KẾT LUẬN<br /> Trong các phần trên chúng ta đã mở  rộng và tính toán cho các trường hợp của modus  <br /> ponens. Các mở  rộng trên cùng với các qui tắc RT1,RT2, RMP, RE... trong [12] tạo cơ  sở <br /> vững chắc cho việc lập luận xấp xỉ trên biến ngôn ngữ. <br /> Hơn nữa cách biểu diễn câu của chúng ta làm tách biệt được hai phần cơ bản của tri  <br /> thức con người là: phần rõ ràng và phần mơ  hồ. Đồng thời thể  hiện được độ  tin cậy của <br /> câu, điều này thường gặp khi lập luận trên cơ sở tri thức thu thập từ các chuyên gia trong các  <br /> hệ chuyên gia. <br /> Bên cạnh đó cách kí hiệu  ( A) tạo điều kiện dễ dàng khi cài đặt một mô tơ suy diễn <br /> trên cơ sở tri thức có dạng nói ở phần I.<br /> Cũng cần nói thêm với cơ sở là đại số gia tử chúng ta có thể định nghĩa các toán tử giả  <br /> bù tương đối, qua đó xét toán tử M trong mệnh đề  1 thỏa mãn các tính chất của hàm modus <br /> ponens tổng quát, nhưng việc lập luận xấp xỉ ở trên của chúng ta không phải thông qua việc  <br /> tính toán dựa vào hàm thuộc trong logic mờ mà lập luận trên biến ngôn ngữ  như  cách suy  <br /> nghĩ thông thường của con người.   <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> 1. Huỳnh Văn Nam, Một cơ  sở  đại số  cho logic mờ  Zadeh và tính toán trên các  <br /> từ, Luận án Tiến sĩ Toán học, Hà nội (1999). <br /> 2. Lê Xuân Việt, Thuật toán suy diễn trên thông tin không chắc chắn , Luận văn <br /> thạc  sĩ   khoa  học,   Đảm   bảo  toán  học   cho  máy  tính  và   hệ   thống   tính  toán,  <br /> Trường ĐHKHTN, Hà Nội ( 2001).<br /> 3. N.C Ho, T.D Khang, H.V Nam, N.H Chau,  Hedge Algebras, Linguistic­Valued  <br /> and Their Application to Fuzzy Reasoning, Inter. J. of Uncertainty, Fuzziness and <br /> Knowledge­Based System 7 (4) (1999) 347 ­ 361.<br /> 4. Nguyen Cat Ho, Tran Thai Son, Tran Đinh Khang and Le Xuan Viet, Fuzziness  <br /> Measure,   Quantified   Semantic   Mapping   and   Interpolative   Method   of  <br /> Approximate Reasoning in Medical Expert Systems,  Tạp chí Tin học và Điều <br /> khiển học, T.18, S.3 (2002) 237 ­ 252.<br /> 59<br />  5. Trần Thái Sơn, Nguyễn Thế Dũng, Một số vấn đề về lập luận xấp xỉ trên cơ  <br /> sở Đại số gia tử, Báo cáo Hội nghị Tin học Toàn quốc, Đà Nẵng (2004).<br /> 6. Nguyễn Thanh Thuỷ. Trí tuệ nhân tạo, NXBGD (1997).<br /> 7. Phan Xuân Minh, Nguyễn Doãn Phước, Lý thuyết điều khiển mờ, NXBKH và <br /> KT (1999)<br /> 8. Trần Đình Khang, Ứng dụng đại số gia tử  đối sánh các giá trị ngôn ngữ, Tạp <br /> chí Tin học và điều khiển học, T.14, S.3  (1998) 35 ­ 41.<br /> 9. Trần Đình Khang. So sánh suy diễn mờ và suy luận ngôn ngữ, Tạp chí Tin học <br /> và điều khiển học, T.12, S.1, (1996) 29 ­ 40.<br /> 10. Trần Đình Khang. Tích hợp các đại số gia tử cho suy luận ngôn ngữ,  Tạp chí <br /> Tin học và điều khiển học, T.1, S.3, (1997) 63 ­ 80.<br /> 11. Trần Đình Khang, Xây dựng hàm đo trên đại số gia tử và ứng dụng trong lập  <br /> luận ngôn ngữ, Tạp chí Tin học và điều khiển học, T.13, S.1 (1997)16 ­ 30.<br /> 12. Trần Thái Sơn. Lập luận xấp xỉ với các giá trị  của biến ngôn ngữ,  Tạp chí <br /> Tin học và Điều khiển học, Tập 15, S.2 (1999) 6 ­ 10.<br /> 13. E.  Trillas,  L.  Valverde.  On  modus  ponens  in fuzzy  logic, Proceeding of  the <br /> fifteenth   international   symposium   of   moltiple   valued   logics,   0915 <br /> ­623X/85/0000/0294$01.00 IEEE (1985).<br /> 14. Akdag  H,  Khoukhi   F,  Sercoun C.  Approimative   Reasoning  using Linguistic  <br /> Valuations, The eigth International  Symposium  on Computer  and Information <br /> Sciences, Istanbul  (1993).<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Trong bài báo này chúng tôi trình bày việc mở rộng modus ponens trên cơ sở tri thức  <br /> được biểu diễn dưới dạng luật If ... then ... với cấp độ đúng (true ­ degree) và cấp độ tin cậy  <br /> (certain­degree) trên cơ sở đại số gia tử. <br /> <br /> APPROXIMATE REASONING WITH MODUS PONENS <br /> BASED ON HEDGE ALGEBRA<br /> Nguyen The Dung<br /> College of Pedagogy, Hue University<br /> SUMMARY<br /> In this paper, we introduce about expending modus ponens   on knowledge base which  <br /> present by If ... then rules with true ­degree and certain­degree based on hedge algebra.  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 60<br />