intTypePromotion=1

Luận văn: Một số bất đẳng thức hình học

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

0
261
lượt xem
108
download

Luận văn: Một số bất đẳng thức hình học

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bên cạnh các Đẳng thức và Bất đẳng thức Hình học cũ như Các Bất Đẳng thức Erdos-Mordell, Bất đẳng thức Ptolemy, tài liệu giới thiệu các Đẳng thức Bretschneider, đẳng thức Casey, Bất đẳng thức dạng Hayashi, Bất đẳng thức Weizenbock, Bất Đẳng thức Klamkin, Bất Đẳng thức Jian Liu còn khá mới.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Một số bất đẳng thức hình học

  1. www.VNMATH.com Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C Hoàng Ng c Quang M TS B T Đ NG TH C HÌNH H C Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P MÃ S : 60.46.40 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. Nguy n Văn Ng c Thái Nguyên - 2011
  2. www.VNMATH.com Công trình đư c hoàn thành t i Trư ng Đ i h c Khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. Nguy n Văn Ng c Ph n bi n 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................... Ph n bi n 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................... Lu n văn s đư c b o v trư c h i đ ng ch m lu n văn h p t i: Trư ng Đ i h c Khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên Ngày .... tháng .... năm 2011 Có th tìm hi u t i Thư vi n Đ i h c Thái Nguyên
  3. www.VNMATH.com 1 M cl c M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 M đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Các b t đ ng th c trong tam giác và t giác 6 1.1. Các b t đ ng th c đ i s cơ b n . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Các đ ng th c và b t đ ng th c cơ b n trong tam giác . 8 1.2.1. Các đ ng th c cơ b n trong tam giác . . . . . . . 8 1.2.2. Các b t đ ng th c cơ b n trong tam giác . . . . . 10 1.3. B t đ ng th c trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. B t đ ng th c v đ dài các c nh . . . . . . . . . 11 1.3.2. B t đ ng th c v các đ i lư ng đ c bi t . . . . . 14 1.4. Các b t đ ng th c sinh ra t các công th c hình h c . . 17 1.5. B t đ ng th c trong các tam giác đ c bi t . . . . . . . . 23 1.5.1. Các b t đ ng th c trong tam giác đ u . . . . . . 23 1.5.2. Các b t đ ng th c trong tam giác vuông và tam giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6. Các b t đ ng th c khác trong tam giác . . . . . . . . . . 29 1.7. Các b t đ ng th c trong t giác . . . . . . . . . . . . . . 40 1.7.1. Các b t đ ng th c cơ b n trong t giác . . . . . . 41 1.7.2. Các b t đ ng th c khác trong t giác . . . . . . . 45 Chương 2. B t đ ng th c Ptolemy và các m r ng 48 2.1. Đ nh lí Ptolemy . . . . . . . . . .......... . . . . 48 2.2. B t đ ng th c Ptolemy . . . . . .......... . . . . 53 2.3. Đ nh lí Bretschneider . . . . . . .......... . . . . 63 2.4. Đ nh lí Casey . . . . . . . . . . .......... . . . . 63 2.5. M r ng b t đ ng th c Ptolemy trong không gian . . . . 68
  4. www.VNMATH.com 2 Chương 3. B t đ ng th c Erdos-Mordell và các m r ng 70 3.1. B t đ ng th c Erdos-Mordell trong tam giác . . . . . .. 70 3.2. B t đ ng th c Erdos-Mordell trong tam giác m r ng .. 79 3.3. M r ng b t đ ng th c Erdos-Mordell trong t giác . .. 85 3.4. M r ng b t đ ng th c Erdos-Mordell trong đa giác . .. 87 3.5. M r ng b t đ ng th c Erdos-Mordell trong t di n . .. 90 Chương 4. Các b t đ ng th c có tr ng 92 4.1. B t đ ng th c d ng Hayashi và các h qu . . . . . . . . 92 4.1.1. B t đ ng th c Hayashi . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.1.2. Các h qu c a b t đ ng th c hyashi . . . . . . . 94 4.1.3. Bài toán áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2. B t đ ng th c Weizenbock suy r ng và các h qu . . . 96 4.2.1. B t đ ng th c Weizenbock suy r ng . . . . . . . 96 4.2.2. Các h qu c a b t đ ng th c Weizenbock suy r ng101 4.3. B t đ ng th c Klamkin và các h qu ........ . . 105 4.3.1. B t đ ng th c Klamkin . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3.2. Các h qu c a b t đ ng th c Klamkin . . . . . . 106 4.4. B t đ ng th c Jian Liu và các h qu ........ . . 108 4.4.1. B t đ ng th c Jian Liu . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4.2. Các h qu c a b t đ ng th c Jian Liu . . . . . . 110 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
  5. www.VNMATH.com 3 M đu Các bài toán v b t đ ng th c và c c tr hình h c thu c lo i nh ng bài toán khó, làm cho h c sinh ph thông, nh t là ph thông cơ s k c h c sinh gi i lúng túng khi g p các bài toán lo i này. Th c s nó là m t ph n r t quan tr ng c a hình h c và nh ng ki n th c v b t đ ng th c trong hình h c cũng làm phong phú hơn ph m vi ng d ng c a toán h c. So v i các b t đ ng th c đ i s , các b t đ ng th c hình h c chưa đư c quan tâm nhi u. M t trong nh ng nguyên nhân gây khó gi i quy t v n đ này là vì phương pháp ti p c n không ph i là các phương pháp thông thư ng hay đư c áp d ng trong hình h c và càng không ph i là phương pháp đ i s thu n túy. Đ gi i m t bài toán v b t đ ng th c hình h c c n thi t ph i bi t v n d ng các ki n th c hình h c và đ i s m t cách thích h p và nh y bén. Lu n văn này gi i thi u m t s b t đ ng th c hình h c t cơ b n đ n nâng cao và m r ng. Các bài toán v b t đ ng th c hình h c đư c trình bày trong lu n văn này có th t m phân thành các nhóm sau: I. Nhóm các bài toán mà trong l i gi i đòi h i nh t thi t ph i có hình v . Phương pháp gi i các bài toán nhóm này ch y u là "phương pháp hình h c", như v thêm đư ng ph , s d ng tính ch t gi a đư ng vuông góc và đư ng xiên, gi a đư ng th ng và đư ng g p khúc, quan h gi a các c nh, gi a c nh và góc trong m t tam giác, hay t giác v.v.. B t đ ng th c và c c tr trong hình h c ph ng thu c nhóm này là n i dung thư ng g p trong các kì thi ch n h c sinh gi i toán hay thi vào các trư ng chuyên. II. Nhóm th hai g m các bài toán mà khi gi i chúng c n ph i s d ng các h th c lư ng đã bi t, như các h th c lư ng giác, h th c đư ng trung tuy n, đư ng phân giác, công th c các bán kính, công th c
  6. www.VNMATH.com 4 di n tích c a tam giác v.v.. Các bài toán này đã đư c quan tâm nhi u và chúng đư c trình bày khá phong phú trong các tài li u [4,7], vì th lu n văn này s không đ c p nhi u đ n các b t đ ng th c trong tam giác có trong các tài li u trên m c dù chúng r t hay mà ch nêu ra m t s b t đ ng th c cơ b n nh t đ ti n s d ng sau này. III. Nhóm th ba g m các bài toán liên quan đ n các b t đ ng th c hình h c n i ti ng, đ c bi t là b t đ ng th c Ptolemy và b t đ ng th c Erdos-Mordell và các b t đ ng th c có tr ng như b t đ ng th c Hayshi, b t đ ng th c Weizenbock, b t đ ng th c Klamkin v.v.. Các b t đ ng th c này còn ít đư c gi i thi u b ng Ti ng Vi t và thư ng g p trong các đ thi Olympic Qu c t . B n lu n văn "M t s b t đ ng th c hình h c" g m có m đ u, b n chương n i dung, k t lu n và tài li u tham kh o. Chương 1. Các b t đ ng th c trong tam giác và t giác. Chương này trình bày m t s b t đ ng th c thu c nhóm I và nhóm II. Chương 2. B t đ ng th c Ptolemy và các m r ng. Chương này trình bày đ ng th c Ptolemy, b t đ ng th c Ptolemy và các bài toán áp d ng. Các bài toán này ch y u đư c trích ra t các đ thi vô đ ch các nư c, đ thi vô đ ch khu v c và đ thi IMO, m t s là do tác gi sáng tác. Ngoài ra, còn trình bày m t s m r ng b t đ ng th c Ptolemy trong t giác và trong t di n. Chương 3. B t đ ng th c Erdos - Mordell và các m r ng. Chương này trình bày b t đ ng th c Edos-Mordell và các bài toán liên quan. Ngoài ra, còn trình bày m t s m r ng b t đ ng th c này trong tam giác, trong t giác và trong đa giác [11-13]. Chương 4. Các b t đ ng th c có tr ng. Chương này trình bày m t s b t đ ng th c liên quan đ n t ng kho ng cách t m t hay nhi u đi m c a m t ph ng đ n các đ nh ho c các c nh c a tam giác v i các tham s dương tùy ý đư c g i là tr ng s hay g i t t là tr ng. Đó là các b t đ ng th c Hyashi, Weizenbock, Klamkin, Jian
  7. www.VNMATH.com 5 Liu, v.v.. Các b t đ ng th c này còn ít đư c gi i thi u b ng Ti ng Vi t, m t s là k t qu nghiên c u c a các chuyên gia Qu c t trong lĩnh v c b t đ ng th c hình h c [9,13-14]. Lu n văn này đư c hoàn thành t i trư ng Đ i h c Khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên v i s hư ng d n c a TS. Nguy n Văn Ng c. Tác gi xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c đ i v i s quan tâm hư ng d n c a Th y, t i các th y cô trong Ban Giám hi u, Phòng Đào t o và Khoa Toán-Tin Trư ng Đ i h c Khoa h c. Đ ng th i tác gi xin c m ơn t i S GD - ĐT t nh Yên Bái, Ban Giám đ c, các đ ng nghi p Trung tâm GDTX - HNDN H Tùng M u huy n L c Yên đã t o đi u ki n cho tác gi h c t p và hoàn thành k ho ch h c t p. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 6 năm 2011. Tác gi Hoàng Ng c Quang
  8. www.VNMATH.com 6 Chương 1 Các b t đ ng th c trong tam giác và t giác Chương này trình bày các b t đ ng th c trong tam giác và t giác t cơ b n đ n nâng cao. N i dung ch y u đư c hình thành t các tài li u [1-7], [10], [12] và [15]. Kí hi u ∆ABC là tam giác ABC v i các đ nh là A, B, C . Đ thu n ti n, đ l n c a các góc ng v i các đ nh A, B, C cũng đư c kí hi u tương ng là A, B, C . Đ dài các c nh c a tam giác: BC = a, CA = b, AB = c. a+b+c N a chu vi c a tam giác: p = . 2 Đư ng cao v i các c nh: ha , hb , hc . Đư ng trung tuy n v i các c nh: ma , mb , mc . Đư ng phân giác v i các c nh: la , lb , lc . Bán kính đư ng tròn ngo i ti p và đư ng tròn n i ti p: R và r. Bán kính đư ng tròn bàng ti p các c nh: ra , rb , rc . Di n tích tam giác ABC : S, SABC hay [ABC ]. Đ gi i đư c các bài toán b t đ ng th c hình h c, trư c h t ta c n trang b nh ng ki n th c cơ s đó là các b t đ ng th c đ i s cơ b n và các đ ng th c, b t đ ng th c đơn gi n trong tam giác. 1.1. Các b t đ ng th c đ i s cơ b n Đ nh lý 1.1. (B t đ ng th c AM-GM) Gi s a1 , a2 , · · · , an là các s th c không âm. Khi đó √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 ...an . (1.1) n Đ ng th c x y ra khi và ch khi a1 = a2 = · · · = an .
  9. www.VNMATH.com 7 H qu 1.1. V i m i b s dương a1 , a2 , · · · , an ta có √ n a1 a2 ...an ≥ 1 . (1.2) n + a2 + · · · + a1n 1 a1 Đ ng th c x y ra khi và ch khi a1 = a2 = · · · = an . H qu 1.2. V i m i b s dương a1 , a2 , · · · , an ta có n2 1 1 1 + ··· + ≥ + . (1.3) a1 + a2 + · · · + an a1 a2 an Đ ng th c x y ra khi và ch khi a1 = a2 = ... = an . H qu 1.3. V i m i b s không âm a1 , a2 , · · · , an và m = 1, 2, · · · ta có m am + am + · · · + am a1 + a2 + · · · + an 1 2 n ≥ . (1.4) n n Đ ng th c x y ra khi và ch khi a1 = a2 = · · · = an . Đ nh lý 1.2. (B t đ ng th c Cauchy - Schwarz) Cho hai dãy s th c a1 , a2 , · · · , an và b1 , b2 , · · · , bn . Khi đó (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ a2 + a2 + · · · + a2 b2 + b2 + · · · + b2 . (1.5) 1 2 n 1 2 n a1 a2 an = ··· = = Đ ng th c x y ra khi và ch khi bn . b1 b2 Đ nh lý 1.3. (B t đ ng th c Jensen) Cho f (x) là hàm s liên t c và có đ o hàm c p hai trên I (a, b) và n đi m x1 , x2 , · · · , xn tùy ý trên đo n I (a, b). Khi đó i, N u f (x) > 0 v i m i x ∈ I (a, b) thì x1 + x2 + · · · + xn f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ nf . n ii, N u f (x) < 0 v i m i x ∈ I (a, b) thì x1 + x2 + · · · + xn f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≤ nf . n đây I (a, b) nh m ng m đ nh là m t trong b n t p h p (a, b) , [a, b) , (a, b] , [a, b].
  10. www.VNMATH.com 8 Đ nh lý 1.4. (B t đ ng th c Chebyshev) Cho hai dãy s th c đơn đi u cùng chi u a1 , a2 , · · · , an và b1 , b2 , · · · , bn . Khi đó ta có 1 a1 b1 + a2 b2 · · · + an bn ≥ (a1 + a2 + · · · + an ) (b1 + b2 + · · · + bn ) . (1.6) n N u hai dãy s th c a1 , a2 , · · · , an và b1 , b2 , · · · , bn đơn đi u ngư c chi u thì b t đ ng th c trên đ i chi u. Đ nh lý 1.5. (B t đ ng th c Nesbitt) Cho a, b, c là các s th c dương. B t đ ng th c sau luôn đúng a b c 3 ≥. + + (1.7) b+c c+a a+b 2 Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. 1.2. Các đ ng th c và b t đ ng th c cơ b n trong tam giác 1.2.1. Các đ ng th c cơ b n trong tam giác Đ nh lý 1.6. (Đ nh lý hàm s sin) Trong tam giác ABC ta có a b c = = = 2R. sin A sin B sin C Đ nh lý 1.7. (Đ nh lý hàm s cosin) Trong tam giác ABC ta có a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = c2 + a2 − 2ca cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. Đ nh lý 1.8. (Các công th c v di n tích) Di n tích tam giác ABC đư c tính theo m t trong các công th c sau 1 1 1 S = aha = bhb = chc (1.8) 2 2 2 1 1 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C (1.9) 2 2 2 = pr (1.10) abc = (1.11) 4R = (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc (1.12) p (p − a) (p − b) (p − c). = (1.13) Công th c (1.13) đư c g i là công th c Hê-rông.
  11. www.VNMATH.com 9 Đ nh lý 1.9. (Đ nh lý đư ng phân giác) Trong m t tam giác, đư ng phân giác c a m t góc chia c nh đ i di n thành hai đo n th ng t l v i hai c nh k hai đo n y . Đ nh lý 1.10. (Công th c đư ng phân giác) Trong tam giác ABC ta có 2bc A 2ca B 2ab C la = cos , lb = cos , lc = cos . b+c 2 c+a 2 a+b 2 Đ nh lý 1.11. (Đ nh lý đư ng trung tuy n) Trong m t tam giác, ba đư ng trung tuy n g p nhau t i m t đi m đư c g i là tr ng tâm c a tam giác. Trên m i đư ng trung tuy n, kho ng cách t tr ng tâm đ n đ nh b ng hai l n kho ng cách tr ng tâm đ n chân đư ng trung tuy n. Đ nh lý 1.12. (Công th c đư ng trung tuy n) Trong tam giác ABC ta có b2 + c2 a2 c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 m2 m2 m2 −, −, −. = = = a b c 2 4 2 4 2 4 Đ nh lý 1.13. (Công th c bán kính đư ng tròn n i ti p) Trong tam giác ABC ta có A B C r = (p − a) tan = (p − b) tan = (p − c) tan . 2 2 2 Đ nh lý 1.14. (Công th c bán kính đư ng tròn bàng ti p) Trong tam giác ABC ta có A B C ra = p tan , rb = p tan , rc = p tan . 2 2 2 Đ nh lý 1.15. (Các h th c lư ng giác cơ b n) V i m i tam giác ABC ta luôn có các h th c sau A B C sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos , (1.14) 2 2 2 sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C, (1.15) A B C cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin , (1.16) 2 2 2 cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C, (1.17)
  12. www.VNMATH.com 10 sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 (1 + sin A sin B sin C ) , (1.18) cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C, (1.19) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C, (1.20) A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot , (1.21) 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 1, (1.22) 2 2 2 2 2 2 cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1. (1.23) Riêng v i h th c (1.20) thì tam giác ABC c n gi thi t không vuông. 1.2.2. Các b t đ ng th c cơ b n trong tam giác Đ nh lý 1.16. (B t đ ng th c tam giác) Trong tam giác ABC ta có |b − c| < a < b + c, |c − a| < b < c + a, |a − b| < c < a + b. Đ nh lý 1.17. (Các b t đ ng th c lư ng giác cơ b n) V i m i tam giác ABC ta luôn có các b t đ ng th c sau √ 33 sin A + sin B + sin C ≤ , (1.24) 2 3 cos A + cos B + cos C ≤ , (1.25) 2√ A B C 33 cos + cos + cos ≤ , (1.26) 2 2 2 2 A B C 3 sin + sin + sin ≤ , (1.27) 2 2 2 2 A B C 1 sin sin sin ≤ , (1.28) 2 2 2 8 1 cos A cos B cos C ≤ , (1.29) 8 9 sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ , (1.30) 4 C√ A B tan + tan + tan ≥ 3, (1.31) 2 2 2 √ tan A + tan B + tan C ≥ 3 3, (1.32) √ cot A + cot B + cot C ≥ 3. (1.33)
  13. www.VNMATH.com 11 Riêng v i b t đ ng th c (1.32) thì tam giác ABC c n gi thi t không vuông. Đ ng th c x y ra trong các b t đ ng th c trên khi và ch khi ABC là tam giác đ u. 1.3. B t đ ng th c trong tam giác Tam giác là hình đơn gi n nh t trong các đa giác, m i đa giác b t kì đ u có th chia thành các tam giác và s d ng tính ch t c a nó. Vì v y, nghiên c u các b t đ ng th c trong tam giác s h u ích trong vi c gi i quy t các b t đ ng th c trong đa giác. Trư c h t, chúng ta nghiên c u các b t đ ng th c cơ b n sau đây: 1.3.1. B t đ ng th c v đ dài các c nh Đ nh lý 1.18. Cho hai đư ng tròn có bán kính l n lư t là R và R (R ≥ R ), kho ng cách gi a tâm c a chúng b ng d. Đi u ki n c n và đ đ hai đư ng tròn đó c t nhau là R − R ≤ d ≤ R + R . Ch ng minh. Hình 1.1 Hai đư ng tròn không c t nhau. Rõ ràng n u hai đư ng tròn ngoài nhau (hình 1.1 A) thì ta có R + R < d. N u hai đư ng tròn ch a nhau (hình 1.1 B) thì ta cũng có ngay d < R − R . N u hai đư ng tròn c t nhau t i m t đi m M thì theo b t đ ng th c v ba c nh c a tam giác OO M , v i O và O l n lư t là tâm c a đư ng tròn bán kính R và R , ta có R − R ≤ d ≤ R + R . Đ o l i, n u R − R ≤ d ≤ R + R thì hai đư ng tròn đã cho không th ngoài nhau ho c ch a nhau đư c (n u không ph i có R + R < d ho c d < R − R ). Do đó chúng ch có th c t nhau.
  14. www.VNMATH.com 12 Đ nh lý 1.19. Các s dương a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác khi và ch khi a + b > c, b + c > a, c + a > b. Ch ng minh. N u a, b, c là đ dài 3 c nh c a tam giác thì theo b t đ ng th c v 3 c nh c a tam giác ta có a + b > c, b + c > a, c + a > b. Ngư c l i, n u có a, b và c là 3 s th c dương th a mãn a+b > c, b+c > a, c + a > b, thì ta có th ch n hai đi m A và B trên m t ph ng cách nhau m t kho ng c. L y A và B làm tâm d ng hai đư ng tròn bán kính tương ng là a và b. T các b t đ ng th c a + b > c, b + c > a, c + a > b ta có |a − b| < c < a + b. Theo đ nh lý 1.18 thì hai đư ng tròn tâm A và B ph i c t nhau t i m t đi m C . V y a, b, c là đ dài các c nh c a tam giác ABC theo cách d ng trên. Đ nh lý 1.20. Cho trư c tam giác ABC và m t đi m M trong tam giác. Khi đó ta có M B + M C < AB + AC. Ch ng minh. Kéo dài BM v phía M c t c nh AC t i đi m N . Theo đ nh lý 1.19 ta có MB + MC < MB + MN + NC =BN + N C < AB + AN + N C =AB + AC. Hình 1.2 Bài toán 1.1. Cho M là m t đi m n m trong tam giác ABC . Ch ng minh r ng p < M A + M B + M C < 2p. Trong đó p là n a chu vi c a tam giác ABC . Gi i. Áp d ng đ nh lý 1.19 cho các tam giác M AB, M BC và M CA ta có AB < M A + M B, BC < M B + M C, CA < M C + M A. C ng theo v ba b t đ ng th c trên r i chia c hai v cho 2 ta đư c p < M A + M B + M C . M t khác, theo đ nh lý 1.20 ta có M A+M B < CA+CB, M B +M C < AB + AC, M C + M A < BC + BA. C ng theo v ba b t đ ng th c trên và đem chia c hai v cho 2 ta đư c AM + BM + CM < 2p.
  15. www.VNMATH.com 13 Đ nh lý 1.21. Trong m t tam giác ng v i góc l n hơn là c nh dài hơn và ngư c l i. Ch ng minh. Xét tam giác ABC . Ta ch ng minh n u ABC > ACB thì AC > AB và ngư c l i. Th t v y, trong góc ABC ta k tia Bx t o v i c nh BC góc b ng góc ACB . Do ABC > ACB , nên Bx c t c nh AC t i đi m D và t o thành tam giác cân DBC , do đó DB = DC . M t khác, trong tam giác ABD ta có AD + DB > AB . Do đó Hình 1.3 AC = AD + DC = AD + DB > AB . Ph n ngư c l i c a đ nh lý là hi n nhiên. Vì n u ABC < ACB thì ta ph i có AC < AB là đi u vô lí. Bài toán 1.2. Ch ng minh r ng đư ng vuông góc AH h t đi m A xu ng đư ng th ng d cho trư c luôn nh hơn đư ng xiên AB . Gi i. Tam giác AHB là tam giác vuông t i H , do đó AHB = 900 > ABH . Theo đ nh lý trên, ta có AB > AH . S tương ng gi a đ l n c nh và góc còn đúng cho c nh c a hai tam giác khác nhau. Dùng đ nh lý 1.21 ta d dàng ch ng minh k t qu sau. Đ nh lý 1.22. Cho trư c hai tam giác ABC và A B C có hai c p c nh b ng nhau AB = A B và AC = A C . Ta có b t đ ng th c B AC > B A C khi và ch khi BC > B C . Ch ng minh. Trư c h t, gi s r ng B AC > B A C , ta s ch ng minh BC > B C . Không m t tính t ng quát gi s AB ≥ AC . Ta đem hình tam giác ABC đ t ch ng lên hình tam giác A B C sao cho A ≡ A , C ≡ C Hình 1.4 và đ nh B , B n m cùng phía so v i đư ng th ng đi qua AC .
  16. www.VNMATH.com 14 Do AB = A B , nên ta có ABB = AB B . Vì C BB < ABB và C B B > AB B , nên ta có C BB < C B B . Theo đ nh lý 1.21, ta có CB > CB , hay là CB > C B . N u như B AC = B A C thì ta cũng d dàng th y r ng BC = B C , do ∆ABC và ∆A B C (c.g.c). V y ta có B AC > B A C khi và ch khi BC > B C . Bài toán 1.3. Cho tam giác ABC và AM là trung tuy n. Ch ng minh 1 r ng B AC ≥ 900 khi và ch khi AM ≤ 2 BC . Gi i. G i A là đi m đ i x ng v i A qua trung đi m M c a c nh BC . T giác ABA C là t giác có hai đư ng chéo c t nhau t i trung đi m c a m i đư ng nên ABA C là hình bình hành. Xét hai tam giác ABA và ABC có c nh AB là c nh chung và có c p c nh A B và AC b ng nhau. Theo đ nh lý 1.22, ta có BC ≥ AA khi và ch khi B AC ≥ ABA . Do B AC + ABA = 1800 , cho nên B AC ≥ ABA khi và ch khi B AC ≥ 900 . Tóm l i, AM = 1 1 2 AA ≤ 2 BC khi và ch khi B AC ≥ Hình 1.5 900 . Đ nh lý 1.23. Trong nh ng đư ng xiên n i m t đi m M cho trư c v i đi m N trên m t đư ng th ng d cho trư c, đư ng xiên nào có hình chi u dài hơn thì dài hơn. 1.3.2. B t đ ng th c v các đ i lư ng đ c bi t Trong m t tam giác, m i quan h gi a các c nh d n đ n m i quan h v i các đ i lư ng đ c bi t. V i đư ng cao ta d th y là đư ng cao tương ng v i c nh l n hơn thì ng n hơn. Đ i v i đư ng trung tuy n và đư ng phân giác ta cũng s ch ng minh r ng ng v i c nh dài hơn là đư ng trung tuy n và đư ng phân giác ng n hơn. Đ nh lý 1.24. Trong tam giác ABC ng v i c nh dài hơn là đư ng cao, đư ng trung tuy n và đư ng phân giác ng n hơn.
  17. www.VNMATH.com 15 Ch ng minh. Gi s c < b, ta s ch ng minh r ng hb < hc , mb < mc và lb < lc . S S Vì c < b nên suy ra hb = 2b < 2c = hc . Đ ch ng minh mb < mc , ta g i M, N và P là trung đi m c a các c nh AB, AC và BC , tương ng (hình 1.6). Áp d ng đ nh lý 1.22 cho ∆P AB và ∆P AC là hai tam giác có hai c p c nh b ng nhau (AP chung và BP = CP ), ta có AP B < AP C . G i G Hình 1.6 là tr ng tâm c a tam giác ABC . Xét hai tam giác GP B và GP C là hai tam giác có hai c p c nh b ng nhau (GP chung và P B = P C ). Do có AP B < AP C , nên BG < CG. V y 3 3 mb = BG < CG = mc . 2 2 G i phân giác c a góc B là BL và phân giác xu t phát t C là CK . Theo đ nh lý đư ng phân giác ta có LC = a ⇒ CL = LA c ab . Tương t KB = a ⇒ BK = aacb . a+c KA b + Do c < b, nên BK < CL. D ng hình bình hành BKCT (hình 1.7), ta có B T C = B KC = A + C và ta có B T C < B LC . 2 M t khác, vì T C = BK , và BK < CL nên T C < CL. Trong tam giác T LC , ng Hình 1.7 v i c nh l n hơn là góc l n hơn theo đ nh lí 1.21, cho nên C LT < C T L. T các b t đ ng th c B LC > B T C và C LT < C T L, ta có B LT < B T L. Theo đ nh lý 1.21 ta có BT > BL mà CK = BT suy ra CK > BL. Đ nh lý 1.25. Trong tam giác ABC ta luôn có ma ≥ la ≥ ha . Ch ng minh. G i H là chân đư ng cao, L là chân đư ng phân giác và M là chân đư ng trung tuy n xu t phát t đ nh A. Ta ch ng minh r ng L n m trên đo n th ng n i HM , và áp d ng đ nh lý 1.23 đ có b t đ ng th c c n ch ng minh.
  18. www.VNMATH.com 16 Đ nh lí hi n nhiên đúng cho trư ng h p tam giác ABC cân t i đ nh A. Đ ti n ch ng minh trong trư ng h p tam giác không cân t i A, không m t tính t ng quát ta gi s AB < AC . G i A đ i x ng v i A qua M , ta có BACA là hình bình hành. Trong tam giác AA C ta có AC > A C = AB và do đó theo đ nh lý 1.21 ta Hình 1.8 có B AM = M A C > C AM và đó đi m L n m trong góc B AM . M t khác, do B AH ph v i góc B và C AH ph v i góc C , cho nên B AH < C AH . Do đó L ph i n m trong góc C AH . Tóm l i, đi m L n m gi a đi m H và đi m M và ta có HM > HL. Theo đ nh lý 1.23, ta có AH < AL < AM . Đ nh lý 1.26. Đư ng trung tuy n AM c a tam giác ABC nh hơn n a t ng các c nh AB và AC cùng xu t phát t m t đ nh A. Ch ng minh. G i A là đi m đ i x ng v i đi m A qua đi m M , ta có 1 1 ABA C là hình bình hành. Do đó AM = AA < (A C + AC ) = 2 2 1 (AB + AC ). 2 Bài toán 1.4. Ch ng minh r ng n u M là đi m n m trên đư ng phân giác ngoài c a góc C c a tam giác ABC (M khác C ) thì M A + M B > CA + CB . Gi i. Gi s A là đi m đ i x ng v i đi m A qua đư ng phân giác ngoài c a góc C . Khi đó các đi m A , C, B th ng hàng và M A = M A. Do đó M A + M B = M A + M B > A B = CA + CB = CA + CB . Hình 1.9
  19. www.VNMATH.com 17 1.4. Các b t đ ng th c sinh ra t các công th c hình h c Đ nh lý 1.27. (Công th c Euler) G i R và r l n lư t là bán kính c a đư ng tròn ngo i ti p và đư ng tròn n i ti p tam giác ABC , d là kho ng cách gi a tâm hai đư ng tròn đó. Ta có d2 = R2 − 2Rr. (1.34) Ch ng minh. G i O, I l n lư t là tâm đư ng tròn ngo i ti p, n i ti p ∆ABC . Bi t r ng đư ng tròn ngo i ti p tam giác BCI có tâm D là trung đi m c a cung B C . G i M là trung đi m c a BC và Q là hình chi u c a I trên OD. Khi đó OB 2 − OI 2 =OB 2 − DB 2 + DI 2 − OI 2 =OM 2 − M D2 + DQ2 − QO2 Hình 1.10 = (M O + DM ) (M O − DM ) + (DQ + QO) (DQ − QO) =DO (M O − DM + DQ + OQ) = R (2M Q) = 2Rr. V y OI 2 = R2 − 2Rr, nghĩa là d2 = R2 − 2Rr. H qu 1.4. (B t đ ng th c Euler) Kí hi u R, r l n lư t là bán kính đư ng tròn ngo i ti p và bán kính đư ng tròn n i ti p tam giác ABC . Khi đó R ≥ 2r. (1.35) Đ ng th c x y ra khi và khi tam giác ABC đ u. Bài toán 1.5. Cho tam giác ABC v i R là bán kính đư ng tròn ngo i ti p, r là bán kính đư ng tròn n i ti p và p là n a chu vi tam giác ABC . p R Ch ng minh r ng r ≤ √ ≤ . 2 33
  20. www.VNMATH.com 18 √ √ Gi i. Ta có [ABC ] = abc = pr, suy ra 2p = a + b + c ≥ 3 3 abc = 3 3 4Rrp. √ 4R Do đó 8p ≥ 27(4Rrp) ≥ 27(8r2 p), vì R ≥ 2r. V y p ≥ 3 3r. 3 √ p B t đ ng th c th hai, 3√3 ≤ R tương đương v i a + b + c ≤ 3 3R. 2 S d ng đ nh lí hàm s sin, b t đ ng th c này tương đương v i sin A + √ 33 sin B + sin C ≤ 2 . B t đ ng th c này đúng vì hàm s f (x) = sin √ là x = sin 600 = 23 . sin A+sin B +sin C A+B +C ≤ sin hàm l i trên (0, π ), do đó 3 3 Đ nh lý 1.28. (Công th c Leibniz) Cho tam giác ABC v i đ dài các c nh là a, b, c. G i G là tr ng tâm và (O, R) là đư ng tròn ngo i ti p tam giác. Khi đó 12 OG2 = R2 − a + b2 + c2 . (1.36) 9 Ch ng minh. Đ ch ng minh bài toán này ta s d ng đ nh lí Stewart "N u L là đi m n m trên c nh BC c a ∆ABC và n u AL = l, BL = m, LC = n, thì a(l2 + mn) = b2 m + c2 n". Áp d ng đ nh lí Stewart cho ∆OAA , trong đó A là trung đi m c a BC , ta đư c AA (OG2 + AG.GA ) = A O2 .AG + 2 AO2 .GA . Vì AO = R, AG = 3 AA , GA = 1 2 2 12 2 2 2 3 AA nên OG + 9 A A = 3 A O + 3 R . Hình 1.11 2(b2 +c2 )−a2 a2 2 2 2 và A O = R − 4 , ta đư c M t khác, vì A A = 4 a2 2 1 2 2 2(b2 + c2 ) − a2 2 2 OG = R − + R− 433 9 4 a2 2(b2 + c2 ) − a2 a2 + b2 + c2 =R2 − = R2 − − . 6 18 9 H qu 1.5. (B t đ ng th c Leibniz) Cho tam giác ABC v i đ dài các c nh là a, b, c. (O, R) là đư ng tròn ngo i ti p tam giác. Ta có b t đ ng th c sau 9R2 ≥ a2 + b2 + c2 . (1.37) Đ ng th c x y ra khi và ch khi O là tr ng tâm c a tam giác ABC .
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2