Luận văn: Một số nội dung của lý thuyết xác suất trong chương trình Toán THPT

Chia sẻ: Bfvhgfff Bfvhgfff | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

239
lượt xem 58
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn: Một số nội dung của lý thuyết xác suất trong chương trình Toán THPT nhằm hệ thống hóa một số nội dung của lý thuyết xác suất trong chương trình Toán THPT, xây dựng, chọn lọc và tìm hiểu mối liên hệ giữa nội dung xác suất thống kê trong chương trình Toán đại học với chương trình toán THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Một số nội dung của lý thuyết xác suất trong chương trình Toán THPT

më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò t i Thêi ®¹i ng y nay l thêi ®¹i c«ng nghÖ th«ng tin hiÖn ®¹i cïng víi sù ph¸t triÓn nh− vò b o cña c¸c ng nh khoa häc kü thuËt v× vËy sù nghiÖp gi¸o dôc cÇn ph¶i ®¸p øng nh÷ng ®ßi hái cña c¸ch m¹ng khoa häc c«ng nghÖ. §ãng gãp cho sù ph¸t triÓn ®ã cã mét phÇn kh«ng nhá cña to¸n häc. To¸n häc n¶y sinh tõ thùc tiÔn v øng dông réng r i trong thùc tiÔn nhÊt l to¸n øng dông, trong c¸c lo¹i to¸n øng dông ph¶i kÓ ®Õn x¸c suÊt thèng kª. Nã ®−îc b¾t ®Çu tõ nh÷ng th− tõ trao ®æi gi÷a hai nh to¸n häc vÜ ®¹i ng−êi ph¸p l Pa-xcan(1623-1662) v Phec-ma(1601-1665) xung quanh c¸ch gi¶i ®¸p mét sè vÊn ®Ò r¾c rèi n¶y sinh trong c¸c trß ch¬i cê b¹c m nh quý téc ph¸p §êmª-rª ®Æt ra cho Pa-xcan. N¨m 1812 nh to¸n häc ph¸p La- plax¬ ® dù b¸o r»ng: “M«n khoa häc b¾t ®Çu tõ viÖc xem xÐt c¸c trß ch¬i may rñi n y sÏ høa hÑn trë th nh mét ®èi t−îng quan träng nhÊt cña tri thøc lo i ng−êi”. §Æc biÖt l v o n¨m 1933 Kolmogrov ® ®−a ra mét hÖ tiªn ®Ò ®Ó x©y dùng x¸c suÊt thèng kª th nh mét khoa häc chÝnh x¸c v trõu t−îng. KÓ tõ ®ã x¸c suÊt thèng kª trë th nh ng nh to¸n häc ®a diÖn gåm c¶ chiÒu s©u lÝ luËn lÉn néi dung øng dông. Ng y nay lÝ thuyÕt x¸c suÊt ® trë th nh ng nh to¸n häc ®−îc øng dông trong rÊt nhiÒu lÜnh vùc cña khoa häc tù nhiªn, khoa häc x héi, c«ng nghÖ, kinh tÕ, y häc, sinh häc, ... Kh«ng nh÷ng thÕ nã cßn ®ãng gãp cho sù h×nh th nh v ph¸t triÓn thÕ giíi quan khoa häc v× vËy x¸c suÊt thèng kª ® ®−îc ®−a v o d¹y cho häc sinh THPT ë líp 10, líp 11. ViÖc hiÓu v vËn dông nh÷ng kiÕn thøc ®−îc trang bÞ trong tr−êng §¹i häc v o c«ng t¸c gi¶ng d¹y sau khi ra tr−êng l mét trong nh÷ng yªu cÇu v l nhiÖm vô cña ng−êi sinh viªn khi ®ang ngåi trªn ghÕ tr−êng ®¹i häc. Ngo i viÖc ®−îc häc nh÷ng kiÕn thøc do gi¶ng viªn cung cÊp, b¶n th©n mçi sinh viªn cÇn ph¶i tù t×m hiÓu, tù nghiªn cøu ®Ó thÊy ®−îc mèi liªn hÖ gi÷a kiÕn thøc ë bËc häc ®¹i häc v nh÷ng kiÕn thøc ®−îc gi¶ng d¹y sau n y ë tr−êng phæ th«ng. Tõ c¸c tÝnh chÊt, ®Þnh lý ®−îc häc trong tr−êng phæ th«ng tæng qu¸t lªn cßn ®óng hay kh«ng? hay c¸c tÝnh chÊt, ®Þnh lý ®−îc häc ë tr−êng ®¹i häc ®Æc biÖt ho¸ sÏ cho ta c¸i g×? ViÖc liªn hÖ gi÷a kiÕn thøc ë tr−êng THPT víi kiÕn thøc ë tr−êng ®¹i häc ®Ó phôc vô cho c«ng t¸c gi¶ng 5
d¹y sau n y l viÖc l m cÇn thiÕt cña mçi sinh viªn. Do ®ã t«i quyÕt ®Þnh chän ®Ò t i “Mét sè néi dung cña lÝ thuyÕt x¸c suÊt trong ch−¬ng tr×nh To¸n THPT". 2. Môc ®Ých nghiªn cøu - Môc tiªu khoa häc c«ng nghÖ: + HÖ thèng ho¸ mét sè néi dung cña lý thuyÕt x¸c suÊt thèng kª ë tr−êng ®¹i häc. + X©y dùng, chän läc v t×m mèi liªn hÖ gi÷a néi dung x¸c suÊt thèng kª trong tr−êng ®¹i häc víi tr−êng THPT. - S¶n phÈm khoa häc c«ng nghÖ: §Ò t i cã thÓ l t i liÖu tham kh¶o cho häc sinh, gi¸o viªn to¸n tr−êng THPT v sinh viªn to¸n tr−êng §¹i häc Hïng V−¬ng . 3. §èi t−îng v ph¹m vi nghiªn cøu - Nghiªn cøu mét sè néi dung lÝ thuyÕt cña x¸c suÊt thèng kª v sù thÓ hiÖn cña nã trong ch−¬ng tr×nh to¸n THPT. - Nghiªn cøu mét sè b i tËp c¬ b¶n v n©ng cao . 4. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu - Nghiªn cøu lÝ luËn: §äc c¸c t i liÖu, gi¸o tr×nh, s¸ch gi¸o khoa, s¸ch tham kh¶o vÒ x¸c suÊt thèng kª . - Ph−¬ng ph¸p lÊy ý kiÕn chuyªn gia: T×m hiÓu kinh nghiÖm gi¶ng d¹y cña gi¸o viªn h−íng dÉn v c¸c gi¶ng viªn bé m«n to¸n khoa To¸n - C«ng nghÖ. - Ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm 5. ý nghÜa khoa häc v thùc tiÔn §Ò t i cã thÓ l t i liÖu tham kh¶o cho häc sinh, gi¸o viªn to¸n THPT nhÊt l víi sinh viªn s− ph¹m to¸n thÊy ®−îc mèi liªn hÖ gi÷a kiÕn thøc ë ch−¬ng tr×nh §¹i häc víi kiÕn thøc ë tr−êng Phæ th«ng phôc vô cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y sau n y. Víi b¶n th©n viÖc nghiªn cøu gióp em bæ sung ho n thiÖn nh÷ng kiÕn thøc ® häc vÒ x¸c suÊt thèng kª ® häc ®ång thêi n©ng cao kh¶ n¨ng kiÕn thøc nghiÖp vô s− ph¹m trong qu¸ tr×nh häc tËp. 6
6. Bè côc cña kho¸ luËn Ngo i lêi c¶m ¬n, më ®Çu, môc lôc, t i liÖu tham kh¶o, néi dung cña ®Ò t i gåm cã 3 ch−¬ng: Ch−¬ng I: BiÕn cè v x¸c suÊt cña biÕn cè 1.1. BiÕn cè 1.1.1. Mét sè kh¸i niÖm më ®Çu 1.1.2. C¸c phÐp to¸n vÒ biÕn cè 1.2. X¸c suÊt cña biÕn cè 1.2.1. Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc vÒ tæ hîp 1.2.2. C¸c ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt 1.2.3. TÝnh chÊt cña x¸c suÊt 1.2.4. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn 1.2.5. Liªn hÖ gi÷a x¸c suÊt v sù ®éc lËp cña c¸c biÕn cè 1.2.6. C¸c quy t¾c tÝnh x¸c suÊt Ch−¬ng II: BiÕn ngÉu nhiªn 2.1. BiÕn ngÉu nhiªn 2.1.1. Kh¸i niÖm vÒ biÕn ngÉu nhiªn 2.1.2. H m ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn 2.2. C¸c sè ®Æc tr−ng cña biÕn ngÉu nhiªn 2.2.1. Kú väng 2.2.2. Ph−¬ng sai 2.2.3. B¶n chÊt v ý nghÜa cña kú väng v ph−¬ng sai 2.2.4. Mét sè sè ®Æc tr−ng kh¸c 2.3. C¸c bÊt ®¼ng thøc moment 2.3.1 §Þnh nghÜa moment 2.3.2. C¸c bÊt ®¼ng thøc moment Ch−¬ng III: B i tËp 3.1. X¸c suÊt c¬ b¶n 3.2.C¸c qui t¾c tÝnh x¸c suÊt 3.3. §¸nh gi¸ x¸c suÊt, sè lÇn 3.4. X¸c suÊt ®iÒu kiÖn 3.5. X¸c suÊt më réng 3.6. BÊt ®¼ng thøc x¸c suÊt 3.7. BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c 7
Ch−¬ng I biÕn cè vµ x¸c suÊt cña biÕn cè 1.1. biÕn cè 1.1.1. Mét sè kh¸i niÖm më ®Çu 1.1.1.1. PhÐp thö ngÉu nhiªn PhÐp thö ngÉu nhiªn ®−îc hiÓu l thùc hiÖn mét nhãm ®iÒu kiÖn n o ®ã ®Ó quan s¸t mét hiÖn t−îng n o ®ã cã thÓ x¶y ra hay kh«ng x¶y ra. C¸c kÕt qu¶ cña phÐp thö ®−îc gäi l c¸c kÕt qu¶ cã thÓ. TËp hîp tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ cã thÓ trong phÐp thö ngÉu nhiªn l kh«ng gian c¸c biÕn cè s¬ cÊp øng víi mçi phÐp thö ngÉu nhiªn ®ã. Mçi kÕt qu¶ cã thÓ gäi l mét biÕn cè s¬ cÊp. NhËn xÐt: ë tr−êng THPT, kh«ng gian c¸c biÕn cè s¬ cÊp chÝnh l kh«ng gian mÉu, kÝ hiÖu l : . 1.1.1.2. BiÕn cè a, BiÕn cè ngÉu nhiªn: BiÕn cè ngÉu nhiªn l biÕn cè cã thÓ x¶y ra còng cã thÓ kh«ng x¶y ra khi phÐp thö ngÉu nhiªn ®−îc thùc hiÖn. KÝ hiÖu: A, B, C.... b, BiÕn cè ch¾c ch¾n: BiÕn cè ch¾c ch¾n l biÕn cè nhÊt ®Þnh x¶y ra khi phÐp thö ®−îc thùc hiÖn. KÝ hiÖu: . c, BiÕn cè kh«ng thÓ cã: BiÕn cè kh«ng thÓ cã l biÕn cè nhÊt ®Þnh kh«ng x¶y ra khi phÐp thö ®−îc thùc hiÖn. KÝ hiÖu: Ø. d, Mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÕn cè: - BiÕn cè thuËn lîi: BiÕn cè A ®−îc gäi l thuËn lîi (thÝch hîp) ®èi víi biÕn cè B nÕu A x¶y ra th× B x¶y ra. KÝ hiÖu: A ⊂ B. - BiÕn cè b»ng nhau: Hai biÕn cè A v B ®−îc gäi l b»ng nhau nÕu biÕn cè A l thuËn lîi ®èi víi biÕn cè B v biÕn cè B l thuËn lîi ®èi víi biÕn cè A: A ⊂ B A=B ⇔  B ⊂ A 8
1.1.2. C¸c phÐp to¸n vÒ biÕn cè 1.1.2.1. C¸c phÐp to¸n vÒ biÕn cè a, PhÐp giao: Giao cña n biÕn cè A1, A2, ..., An l mét biÕn cè nã x¶y ra khi n A1 , A 2 , ..., A n ®ång thêi x¶y ra. KÝ hiÖu: ∩A i =1 i §Æc biÖt: Khi n = 2, giao cña hai biÕn cè A v B l mét biÕn cè x¶y ra khi A v B cïng x¶y ra. KÝ hiÖu: AB hoÆc A ∩ B b, PhÐp hîp: Hîp cña n biÕn cè A1, A2,..., An l mét biÕn cè nã x¶y ra khi Ýt n nhÊt mét trong n biÕn cè A1, A2, ..., An x¶y ra. KÝ hiÖu: ∪A i =1 i §Æc biÖt: Khi n=2, hîp cña hai biÕn cè A v B l mét biÕn cè x¶y ra khi A hoÆc B x¶y ra. KÝ hiÖu: A ∪ B c, HiÖu cña hai biÕn cè: HiÖu cña hai biÕn cè A v B l mét biÕn cè x¶y ra khi A x¶y ra v B kh«ng x¶y ra. KÝ hiÖu: A \ B d, BiÕn cè xung kh¾c: Hai biÕn cè A, B ®−îc gäi l xung kh¾c nÕu A, B kh«ng cïng x¶y ra khi phÐp thö ®−îc thùc hiÖn. Hay A ∩ B = Ø e, BiÕn cè ®èi lËp: A, B l hai biÕn cè xung kh¾c v hîp cña hai biÕn cè A v B l biÕn cè ch¾c ch¾n th× A ®−îc gäi l biÕn cè ®èi lËp cña biÕn cè B. A ∩ B = ∅ A, B ®èi lËp ⇔  A ∪ B = Ω Ký hiÖu biÕn cè ®èi lËp cña biÕn cè A l Ac hoÆc A 1.1.2.2. Mét sè tÝnh chÊt cña phÐp to¸n vÒ biÕn cè a, (Ac)c = A. b, A ∩ Ac = Ø. c, A ∩ B = B ∩ A. d, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). e, A ∪ B = B ∪ A. f, ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). g, A ∪ Ac = Ω. h, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 9
i, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). j, A ⊂ B ⇒ Bc ⊂ Ac. k, A ∪ B = A ∪ (B ∩ Ac). n n l, ( ∩A ) = ∪ i =1 i c i =1 ( Ai)c. n n m, ( ∪A ) = ∩ i =1 i c i=1 (Ai)c. §Æc biÖt Khi n = 2 ta cã : (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc. 1.2. X¸c suÊt cña biÕn cè 1.2.1. Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc vÒ tæ hîp 1.2.1.1. Ho¸n vÞ: Cho tËp hîp X gåm n phÇn tö. Mét d y tÊt c¶ n phÇn tö cña X s¾p xÕp theo mét thø tù nhÊt ®Þnh, gäi l mét ho¸n vÞ cña X. Sè c¸c ho¸n vÞ cña X l : Pn = n!. 1. 2.1.2. ChØnh hîp lÆp : Cho tËp hîp X gåm n phÇn tö. Mçi d y cã ®é d i k c¸c phÇn tö cña X, trong ®ã mçi phÇn tö cã thÓ lÆp l¹i nhiÒu lÇn, s¾p xÕp theo mét thø tù nhÊt ®Þnh, gäi l mét chØnh hîp lÆp chËp k cña n phÇn tö cña X. Sè c¸c chØnh hîp lÆp chËp k cña n phÇn tö l : Fnk = nk. 1.2.1.3. ChØnh hîp kh«ng lÆp: Cho tËp hîp X gåm n phÇn tö. Mçi d y gåm k phÇn tö kh¸c nhau cña X ( k ≤ n ) s¾p xÕp theo mét thø tù nhÊt ®Þnh gäi l mét chØnh hîp kh«ng lÆp chËp k cña n phÇn tö cña X. (Ta qui −íc gäi chØnh hîp kh«ng lÆp l chØnh hîp). n! Sè chØnh hîp (kh«ng lÆp ) chËp k cña n phÇn tö l : A k = . (n − k)! n 1.2.1.4. Tæ hîp: Cho tËp hîp X gåm n phÇn tö v sè tù nhiªn k ( k ≤ n ). Ta gäi mçi tËp con gåm k phÇn tö cña X l mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö n! cña X. Sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö cña X l : Ck = . k!(n − k)! n 10
1.2.2. C¸c ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt 1.2.2.1. §Þnh nghÜa 1: X¸c suÊt l mét con sè kh«ng ©m biÓu thÞ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn kh¸ch quan cña biÕn cè ®ã. KÝ hiÖu: P(A). 1.2.2.2. §Þnh nghÜa 2 (theo quan ®iÓm thèng kª): Gi¶ sö A l biÕn cè liªn quan tíi phÐp thö ngÉu nhiªn ®ang xÐt. Khi ®ã nÕu ta tiÕn h nh n lÇn phÐp m thö, biÕn cè A xuÊt hiÖn m lÇn th× ng−êi ta gäi tØ sè l tÇn suÊt xuÊt n hiÖn biÕn cè A. Víi mçi biÕn cè ngÉu nhiªn A, sè p gäi l x¸c suÊt cña biÕn cè A khi v chØ khi c¸c tÇn suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A sai kh¸c p kh«ng ®¸ng kÓ, nã c ng gÇn p khi sè lÇn thö nghiÖm c ng lín. 1.2.2.3. §Þnh nghÜa 3 (theo quan ®iÓm h×nh häc): Gi¶ sö mét ®iÓm r¬i ngÉu nhiªn v o mét miÒn D, A l miÒn con cña D. Khi ®ã x¸c suÊt ®Ó ®iÓm r¬i v o miÒn A l : sè ®o A P(A) = sè ®o D “ Sè ®o” ®−îc hiÓu: D l ®o¹n th¼ng th× sè ®o l ®é d i D l h×nh ph¼ng th× sè ®o l diÖn tÝch D l h×nh kh«ng gian th× sè ®o l thÓ tÝch 1.2.2.4. §Þnh nghÜa 4 (theo quan ®iÓm cæ ®iÓn): NÕu A l biÕn cè cã n(A) biÕn cè s¬ cÊp thÝch hîp víi nã trong mét kh«ng gian biÕn cè s¬ cÊp gåm n(A) n( Ω ) biÕn cè cïng kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn th× tØ sè P(A) = ®−îc gäi l n(Ω) x¸c suÊt cña A. NhËn xÐt - Trong ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng gian biÕn cè s¬ cÊp chÝnh l kh«ng gian mÉu Ω , n( Ω ) = Ω v n(A) = Ω A . Khi ®ã x¸c suÊt cña A ®−îc x¸c ΩA ®Þnh bëi: P(A) = Ω 11
- §Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt cã −u ®iÓm cho phÐp ta t×m ®−îc mét c¸ch chÝnh x¸c gi¸ trÞ cña x¸c suÊt. - §Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt cã h¹n chÕ chØ ¸p dông ®−îc khi sè kÕt côc trong phÐp thö l h÷u h¹n. - §Þnh nghÜa h×nh häc vÒ x¸c suÊt cã thÓ xem sù më réng t−¬ng øng cña ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt, kh¾c phôc h¹n chÕ ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt. - §Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸c suÊt cã −u ®iÓm lín nã kh«ng ®ßi hái nh÷ng ®iÒu kiÖn ¸p dông nh− ®èi víi ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn, nã ho n to n dùa trªn c¸c quan s¸t thùc tÕ ®Ó l m c¬ së kÕt luËn vÒ x¸c suÊt x¶y ra cña mét biÕn cè. - §Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸c suÊt cã h¹n chÕ chØ ¸p dông ®−îc ®èi víi c¸c hiÖn t−îng ngÉu nhiªn m tÇn suÊt cña nã cã tÝnh æn ®Þnh v ta ph¶i tiÕn h nh trªn thùc tÕ mét sè ®ñ lín c¸c phÐp thö . Song trong thùc tÕ nhiÒu b i to¸n rÊt khã hoÆc kh«ng thÓ tiÕn h nh nhiÒu phÐp thö ®Ó dùa v o ®ã m tÝnh x¸c suÊt cña mét biÕn cè. §Ó kh¾c phôc h¹n chÕ cña c¸c ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt ng−êi ta sö dông ®Þnh nghÜa x¸c suÊt theo tiªn ®Ò cña Kolmogorov. 1.2.2.5. §Þnh nghÜa 5: §Þnh nghÜa theo hÖ tiªn ®Ò cña Kolmogorov. a, HÖ tiªn ®Ò * Cã tËp Ω ≠ Ø gäi l kh«ng gian biÕn cè s¬ cÊp. Mçi ω ∈ Ω ®−îc gäi l biÕn cè s¬ cÊp. * Cã mét б - ®¹i sè A c¸c tËp con cña . Mçi A ∈ A ®−îc gäi l mét biÕn cè ngÉu nhiªn. * Víi mçi A ∈ A cã mét sè thùc P(A) ≥ 0 gäi l x¸c suÊt cña A. * P( ) = 1. * NÕu {A i ;i ≥ 1} l hä v« h¹n c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn tõng ®«i mét xung ∞ ∞ kh¾c th×: P ( ∑ Ai ) = ∑ P(A ) (tiªn ®Ò б - céng tÝnh) i i =1 i =1 Bé ba ( , A , P) ®−îc gäi l kh«ng gian x¸c suÊt Kolmogorov. 12
b, M« h×nh rêi r¹c cña lý thuyÕt x¸c suÊt Gi¶ sö = ( ω 1, ω 2, ..., ω n) l tËp hîp bÊt kú cã kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc c¸c phÇn tö, lÊy A l tËp gåm mäi tËp con cña LÊy mét d y sè kh«ng ©m p1, p2, ..., pn tho¶ m n: p1 + p2 + ... + pn = 1 §Æt P(A )= ∑ pi (1) i∈I Khi ®ã ( , A , P) tho¶ m n c¸c tiªn ®Ò cña hÖ tiªn ®Ò Kolmogorov Kh«ng x¸c suÊt ®ã ®−îc gäi l m« h×nh rêi r¹c cña lý thuyÕt x¸c suÊt c, Mèi liªn quan gi÷a ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn cña x¸c suÊt v ®Þnh nghÜa tiªn ®Ò cña x¸c suÊt §Æc biÖt, gi¶ sö = ( ω 1, ω 2, ..., ω n) l tËp h÷u h¹n LÊy A l tËp gåm mäi tËp con cña , A∈ A ®−îc gäi l biÕn cè 1 §Æt p1 = p2 = ... = pn = (2) n 1 n(A) Khi ®ã theo (1), P(A) = ∑ pi = n(A) = (3) i∈I n n §©y chÝnh l ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn cña x¸c suÊt H¬n n÷a tõ (2) v (3) suy ra : 1 P( ω 1) = P( ω 2) = ... = P( ω n) = n §iÒu ®ã nãi r»ng c¸c kÕt qu¶ cña phÐp thö l ®ång kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn. Nh− vËy ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn cña x¸c suÊt l tr−êng hîp riªng cña ®Þnh nghÜa tiªn ®Ò cña x¸c suÊt 1.2.3. TÝnh chÊt cña x¸c suÊt 1.2.3.1. MÖnh ®Ò 1 Cho kh«ng gian x¸c suÊt ( , A , P) ta cã: i, P(Ø) = 0. ii, NÕu A1, A2, ..., An l hä h÷u h¹n c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn ®«i mét xung kh¾c th×: n n P ( ∑ Ai ) = ∑ P(A ) i i =1 i =1 13
§Æc biÖt Khi n = 2: A, B l hai biÕn cè xung kh¾c th×: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Khi n = 3: A, B, C l ba biÕn cè ®«i mét xung kh¾c th×: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) §©y chÝnh l qui t¾c céng x¸c suÊt trong ch−¬ng tr×nh THPT 1.2.3.2. MÖnh ®Ò 2 Cho kh«ng gian x¸c suÊt ( , A , P): i, Ai l hä biÕn cè bÊt k× th×: n n n P ( ∪ A i ) = ∑ P(Ai ) - i =1 i =1 ∑ P(A 1≤i, j≤ n i ∩ A j ) + ...+ (-1) P( ∩ A i ). n-1 i =1 ii, NÕu A ⊂ B th× P(A) ≤ P(B). iii, 0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀ A ∈ A ; P( ) = 1, P(Ø) = 0, v P( Α ) = 1 - P(A) Trong tÝnh chÊt i, víi n = 2 ta cã : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB). (*) Ta cã thÓ chøng minh trùc tiÕp tÝnh chÊt (*) ThËt vËy víi A,B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A ⇒ A ∪ B = A ∪ B Α Suy ra: P(A ∪ B) = P(A) + P(B Α ). M : B = B ∩Ω = B ∩ ( A ∪ Α ) = BA ∪ B Α . Suy ra: P(B) = P(BA) + P(B Α ) ⇒ P(B Α ) = P(B) - P(AB) ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB). §Æc biÖt Khi A, B xung kh¾c, tøc AB = Ø ⇒ P(AB) = 0. Suy ra: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 1.2.3.3. MÖnh ®Ò 3 Trong kh«ng gian x¸c suÊt ( , A , P) cho hä biÕn cè ngÉu nhiªn {A n ;n ≥ 1} tho¶ m n ®iÒu kiÖn: i, A1 ⊃ A 2 ⊃ ... ⊃ A n ⊃ ... ∞ ii, ∩A k =1 k =Ø Khi ®ã: P(An) → 0 ( n → ∞ ), ( tÝnh liªn tôc cña x¸c suÊt). 14
1.2.4. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn 1.2.4.1. §Þnh nghÜa - XÐt kh«ng gian x¸c suÊt ( , A , P). Gi¶ sö B l biÕn cè ngÉu nhiªn cã P(A ∩ B) P(B)> 0, A∈ A. §¹i l−îng: P(A/B) = A. ®−îc gäi l x¸c suÊt cña A P(B) víi ®iÒu kiÖn B - Nhãm ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè: TËp c¸c biÕn cè: A1, A2, ..., An ®−îc gäi l nhãm (hÖ) ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè nÕu chóng tho¶ m n ®ång thêi hai ®iÒu kiÖn: +) Ai ∩ Aj = Ø ( i≠j, i, j = 1,n ) n +) ∪ A i = ( Tõ ®Þnh nghÜa ta lu«n cã A, A l nhãm ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè). i =1 1.2.4.2. NhËn xÐt n(A ∩ B) - Trong ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn, ta cã: P(A/B) = nghÜa l x¸c suÊt n(B) ®iÒu kiÖn P(A/B) cã thÓ xem nh− x¸c suÊt cña A xÐt trong kh«ng gian B. P(A ∩ B) P(A) §Æc biÖt + A ⊂ B ⇒ P(A/B) = = . P(B) P(B) P(A ∩ B) P(B) + B ⊂ A ⇒ P(A/B) = = = 1. P(B) P(B) MÖnh ®Ò 1 ( C«ng thøc nh©n x¸c suÊt ) Gi¶ sö {A1, A2, ..., An}l hä c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn sao cho: P(A1A2...An) > 0, khi ®ã: P(A1A2...An) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1A2)... P(An/ A1A2...An-1). MÖnh ®Ò 2 ( C«ng thøc x¸c suÊt to n phÇn ) Gi¶ sö {B1, B2, ..., Bn} l hä ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn cã x¸c suÊt d−¬ng. Khi ®ã: Víi mäi A ∈ A , ta cã: n P(A) = ∑ P(B )P(A / B ) i =1 i i 15
MÖnh ®Ò 3 ( C«ng thøc Bayes ) NÕu A l biÕn cè cã x¸c suÊt d−¬ng, { Bi, i = 1,n } l hÖ ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè cã x¸c suÊt d−¬ng th× víi mçi j (j =1,n ), ta cã: P(B j )P(A / B j ) P(Bj /A) = n ∑ P(B )P(A / B ) i =1 i i 1.2.5. Liªn hÖ gi÷a x¸c suÊt v sù ®éc lËp cña c¸c biÕn cè 1.2.5.1. §Þnh nghÜa: XÐt kh«ng gian x¸c suÊt ( , A , P). Gi¶ sö B l líp n o ®ã c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn (B ⊂ A Ta nãi líp B ®éc lËp nÕu x¸c suÊt B A). cña mét giao h÷u h¹n bÊt kú c¸c biÕn cè trong B b»ng tÝch c¸c x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®ã. 1.2.5.2. NhËn xÐt - C¸c biÕn cè A1, A2, ..., An ®−îc gäi l ®éc lËp tõng ®«i nÕu: P(AiAj) = P(Ai)P(Aj) , ∀ i,j = 1,n ; i ≠ j - §Ó xÐt tÝnh ®éc lËp cña c¸c biÕn cè nhiÒu khi ng−êi ta kh«ng c¨n cø v o biÓu thøc ®Þnh nghÜa m c¨n cø v o ®iÒu kiÖn thùc tÕ cña b i to¸n. - Trong ch−¬ng tr×nh THPT sù ®éc lËp cña hai biÕn cè ®−îc ®Þnh nghÜa: Hai biÕn cè A v B ®−îc gäi l ®éc lËp víi nhau nÕu viÖc x¶y ra cña biÕn cè n y kh«ng l m ¶nh h−ëng tíi x¸c suÊt x¶y ra cña biÕn cè kia. Thùc chÊt néi dung chÝnh l A, B l hai biÕn cè ®éc lËp víi nhau nÕu: P(A / B) = P(A)   P(B / A) = P(B) MÖnh ®Ò 1: NÕu {A1, A2, ..., An} l hä biÕn cè ®éc lËp, {j1, j2, ..., jn} l mét ho¸n vÞ bÊt kú cña (1, 2, ..., n). Khi ®ã hä {A’j1, A’j 2, ..., A’jn } ë ®©y A’ji = Aji hoÆc Acji còng l hä ®éc lËp. 16
§Æc biÖt: Khi n=2 nÕu {A, B} ®éc lËp th× {A, B }; { A , B}; { A , B } còng ®éc lËp Khi n=3 nÕu {A, B, C} ®éc lËp th× { A , B, C}; {A, B , C}; {A, B, C }; { A , B , C}; {A, B , C }; { A , B, C }còng ®éc lËp MÖnh ®Ò 2: Gi¶ sö {ζ i, i=1,n } l hä c¸c ®¹i sè con ®éc lËp cña A , B = б(ζi), i= 1,n l hä c¸c б - ®¹i sè c¶m sinh t−¬ng øng, khi ®ã hä {B i , i = 1,n } l B ®éc lËp. 1.2.6. C¸c quy t¾c tÝnh x¸c suÊt 1.2.6.1. Quy t¾c céng (§Þnh lý céng x¸c suÊt): X¸c suÊt cña hîp c¸c biÕn cè xung kh¾c tõng ®«i A1, A2, ..., An b»ng tæng n n x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®ã: P ( ∪ A i ) = i =1 ∑ P(A ) . i =1 i §Æc biÖt: Khi n=2 A, B l hai biÕn cè xung kh¾c ( A ∩ B = Ø) th×: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Khi n=3 A, B, C l ba biÕn cè ®éc lËp to n phÇn th×: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) +P(C) Ta lu«n cã: A, A xung kh¾c nªn: P( ) = P(A ∪ A ) = P(A) + P( A ) ⇔ P( A ) = 1 - P(A) 1.2.6.2. Quy t¾c nh©n ( §Þnh lý nh©n x¸c suÊt) X¸c suÊt cña giao n biÕn cè ®éc lËp to n phÇn b»ng tÝch c¸c x¸c suÊt th nh n n phÇn: P( ∩ Pi ) = i =1 ∏ P(A ) . i =1 i §Æc biÖt: Khi n=2 A, B l hai biÕn cè ®éc lËp th×: P(A ∩ B) = P(A)P(B). Khi n=3: A, B, C l ba biÕn cè ®éc lËp th× : P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C). §©y chÝnh l qui t¾c nh©n x¸c suÊt trong ch−¬ng tr×nh THPT 17
1.2.6.3. HÖ qu¶ cña ®Þnh lý céng v nh©n x¸c suÊt a, HÖ qu¶ 1: X¸c suÊt cña hîp n biÕn cè kh«ng xung kh¾c ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: n n P ( ∪ Ai ) = i =1 ∑ P(A ) - ∑ P(A A ) + i i i〈 j i j ... + (-1)n-1P(A1A2...An). b, HÖ qu¶ 2: X¸c suÊt cña giao n biÕn cè ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: n n P( ∩ A i ) = i =1 ∑ P(A ) - ∑ P(A i =1 i i〈 j i ∪ A j ) + ... + (-1)n-1P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) c, HÖ qu¶ 3: X¸c suÊt cña hîp n biÕn cè kh«ng xung kh¾c v ®éc lËp to n phÇn víi nhau b»ng mét trõ ®i tÝch x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®èi lËp víi c¸c n n biÕn cè ®ã: P ( ∪ Ai ) = 1 - i =1 ∏ P(A ) . i =1 i §Æc biÖt: Khi n = 2: +) A, B l hai biÕn cè kh«ng xung kh¾c khi ®ã x¸c suÊt cña hîp hai biÕn cè b»ng tæng x¸c suÊt cña hai biÕn cè trõ ®i x¸c suÊt cña tÝch hai biÕn cè: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB). +) A, B l hai biÕn cè, x¸c suÊt cña biÕn cè giao ®−îc x¸c ®Þnh: P(AB) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B). +) A, B l hai biÕn cè ®éc lËp to n phÇn víi nhau. Khi ®ã: P(A ∪ B) = 1 - P( A )P( B ). Khi n =3: +) A, B, C l ba biÕn cè kh«ng xung kh¾c khi ®ã x¸c suÊt cña hîp ba biÕn cè ®−îc x¸c ®Þnh: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) 18
+) A, B, C l ba biÕn cè, x¸c suÊt cña biÕn cè giao ®−îc x¸c ®Þnh: P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A ∪ B) - P(B ∪ C) - P(A ∪ C) + P(A ∪ B ∪ C) +) A, B, C l ba biÕn cè ®éc lËp to n phÇn víi nhau. Khi ®ã: P(A ∪ B ∪ C) = 1 - P( A )P( B )P( C ) KÕt luËn ch−¬ng I Ch−¬ng 1 bao gåm c¸c kh¸i niÖm më ®Çu kh¸i niÖm vÒ biÕn cè, c¸c d¹ng ®Þnh nghÜa kh¸c nhau vÒ x¸c suÊt cña biÕn cè c¸c phÐp to¸n vÒ biÕn cè, tÝnh chÊt cña x¸c suÊt cña biÕn cè, x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn, c¸c qui t¾c tÝnh x¸c suÊt. Bªn c¹nh ®ã, t¸c gi¶ còng ® ®Æc biÖt ho¸ ra c¸c kÕt qu¶ ë phæ th«ng ®Ó ng−êi ®äc thÊy ®−îc mèi liªn hÖ gi÷a néi dung cña x¸c suÊt ë ch−¬ng tr×nh §¹i häc víi ch−¬ng tr×nh ë Phæ th«ng. Tõ ®ã cã c¸ch nh×n tæng quan h¬n vÒ kiÕn thøc, ®ång thêi gióp cho ng−êi ®äc thÊy ®−îc nh÷ng kiÕn thøc thiÕt thùc liªn quan tíi viÖc nghiªn cøu gi¶ng d¹y ë THPT sau n y, gãp phÇn n©ng cao kiÕn thøc nghiÖp vô s− ph¹m trong qua tr×nh häc tËp m«n x¸c suÊt thèng kª. 19
ch−¬ng ii BiÕn ngÉu nhiªn 2.1. biÕn ngÉu nhiªn 2.1.1. Kh¸i niÖm vÒ biÕn ngÉu nhiªn 2.1.1.1. §Þnh nghÜa Gi¶ sö ( , A , P ) l mét kh«ng gian x¸c suÊt ℝ = (- ∞ ; + ∞ ) l ®−êng th¼ng sè thùc víi σ -®¹i sè c¸c tËp borel B, ta cã kh«ng gian ®o ( ℝ , B). Khi ®ã: Mét ¸nh x¹ X: → ℝ ®o ®−îc theo (A, B) ®−îc gäi l mét biÕn A, ngÉu nhiªn ( Hay ®¹i l−îng ngÉu nhiªn) trªn ( , A , P). ë ®©y ta hiÓu X ®o ®−îc theo (A, B) nÕu ∀ B ∈ B th× X-1(B) ∈ A A, 2.1.1.2. MÖnh ®Ò Gi¶ sö X,Y l c¸c biÕn ngÉu nhiªn x¸c ®Þnh trªn lÊy gi¸ trÞ trong ℝ ; a,b∈ ℝ . Khi ®ã : aX+bY l biÕn ngÉu nhiªn XY l biÕn ngÉu nhiªn X l biÕn ngÉu nhiªn (Y ≠ 0) Y Min(X, Y) l biÕn ngÉu nhiªn Max(X, Y) l biÕn ngÉu nhiªn 2.1.1.3. Ph©n lo¹i a, BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c: BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c l biÕn ngÉu nhiªn chØ nhËn mét sè h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®Õm ®−îc c¸c gi¸ trÞ. b, BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc: BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc l biÕn ngÉu nhiªn nhËn mäi gi¸ trÞ trong kho¶ng (a; b) n o ®ã ( a cã thÓ l - ∞ ; b cã thÓ l + ∞ ). 20
§Æc biÖt ë tr−êng THPT kh¸i niÖm biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c ®−îc ®Þnh nghÜa: §¹i l−îng X ®−îc gäi l mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c nÕu nã nhËn gi¸ trÞ b»ng sè thuéc mét tËp h÷u h¹n n o ®ã v gi¸ trÞ Êy l ngÉu nhiªn kh«ng dù ®o¸n tr−íc ®−îc 2.1.2. H m ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn Ta cã thÓ nghÜ r»ng chØ cÇn x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña mét biÕn ngÉu nhiªn l ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh biÕn ngÉu nhiªn Êy. Tuy nhiªn ®iÒu n y ch−a ®ñ, trong thùc tÕ cã nh÷ng ®¹i l−îng rÊt kh¸c nhau m c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña chóng l¹i gièng nhau. H¬n n÷a viÖc c¸c biÕn ngÉu nhiªn nhËn mét gi¸ trÞ n o ®ã trong kÕt qu¶ cña phÐp thö chØ l mét biÕn cè ngÉu nhiªn, do ®ã nÕu míi chØ biÕt ®−îc c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã th× ta míi n¾m ®−îc rÊt Ýt th«ng tin vÒ biÕn ngÉu nhiªn Êy. V× vËy ta cßn ph¶i x¸c ®Þnh c¸c x¸c suÊt t−¬ng øng víi c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña biÕn ngÉu nhiªn ®Ó ho n to n x¸c ®Þnh nã. Tõ ®ã ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y: 2.1.2.1. §Þnh nghÜa Trong kh«ng gian x¸c suÊt ( , A , P) cho biÕn ngÉu nhiªn X. Ta gäi h m thùc F(x) ®−îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: F(x) = FX(x) = P[X
HÖ qu¶ 1: X¸c suÊt ®Ó biÕn ngÉu nhiªn X nhËn gi¸ trÞ trong nöa kho¶ng [a;b) b»ng hiÖu sè cña h m ph©n phèi t¹i hai ®Çu kho¶ng ®ã: P(a ≤ X
i, ∑ f (x ) = 1 i∈ℕ i ii, F(x) = ∑ i∈ℕ ,x i < x f (x i ) ∀x ∈ ℝ iii, P[a ≤ X
- Gi¶ sö X l biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc tuyÖt ®èi víi h m mËt ®é fX(x), +∞ +∞ nÕu: ∫ x f X (x)dx < ∞ th× ®¹i l−îng E(X) = ∫ x f X (x)dx ®−îc gäi l kú −∞ −∞ väng to¸n cña X - §Æc biÖt khi X l biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c víi tËp gi¸ trÞ h÷u h¹n ta cã ®Þnh nghÜa ë THPT: Cho X l biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c víi tËp gi¸ trÞ l {x1, x2, ..., xn}kú väng cña X, kÝ hiÖu l E(X), l mét sè ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: n E(X) = x1p1 + x 2 p 2 + ... + x n p n = ∑x p i =1 i i Trong ®ã pi = P(X=xi) i =1, 2, ..., n 2.2.1.2. C¸c tÝnh chÊt cña kú väng to¸n TÝnh chÊt 1: Kú väng to¸n cña mét h»ng sè b»ng chÝnh h»ng sè ®ã: E(C) = C TÝnh chÊt 2: Kú väng to¸n cña cña tÝch gi÷a mét h»ng sè v mét biÕn ngÉu nhiªn b»ng tÝch gi÷a h»ng sè ®ã v kú väng to¸n cña biÕn ngÉu nhiªn Êy: E(CX) = CE(X) TÝnh chÊt 3: Kú väng to¸n cña tæng hai biÕn ngÉu nhiªn b»ng tæng c¸c kú väng to¸n th nh phÇn: E(X+Y) = E(X) + E(Y) Më réng: Kú väng to¸n cña tæng n biÕn X1, X2 ,..., Xn b»ng tæng kú väng n n to¸n th nh phÇn: E( ∑ X ) = ∑ E(X ) i =1 i i =1 i TÝnh chÊt 4: Kú väng to¸n cña tÝch hai biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp b»ng tÝch c¸c kú väng to¸n th nh phÇn: E(XY) = E(X)E(Y) Më réng: Kú väng to¸n cña tÝch n biÕn ngÉu nhiªn X1, X2 ,..., Xn ®éc lËp  n  n b»ng tÝch c¸c kú väng to¸n th nh phÇn: E  ∏ Xi  = ∏ E(X )i  i=1  i =1 24