ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƢU THỊ PHƢỢNG CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA
SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HÀ NỘI - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------
LƢU THỊ PHƢỢNG
CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA
SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP
Chuyên ngành
: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số
: 60.44.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn
HÀ NỘI, 2015
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào.
Tác giả luận văn
Lƣu Thị Phƣợng
i
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, tôi luôn
nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện từ gia đình, thầy cô và bạn bè. Xin
được lưu vào trang đầu tiên của luận văn sự tri ân và lời cảm ơn chân thành nhất.
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng tới thầy, GS.TSKH
Nguyễn Văn Liễn, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Thầy
đã tận tình hướng dẫn và tạo cho tôi những điều kiện tốt nhất để tôi học tập và
nghiên cứu khoa học.
Đặc biệt tôi xin cảm ơn bạn Phạm Công Huy, bạn đã trực tiếp hướng dẫn tôi
phần tính toán của luận văn và kiểm tra lại các kết quả tính toán đó.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý trường Đại học Khoa học
Tự nhiên – Đaị học Quốc Gia Hà Nội, thầy cô phòng sau đại học,…những người đã
trực tiếp giảng dạy, truyền đạt các kiến thức về vật lý và xác nhận các thủ tục hành
chính trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn bố mẹ, chồng và em trai luôn nhắc nhở động viên
và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể học tập.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Tác giả
ii
Lƣu Thị Phƣợng
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. ii
DANH SÁCH HÌNH VẼ ................................................................................. iv
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ...................................................................................... 4
1.1.Cấu trúc vùng năng lượng .................................................................................. 4
1.2.Phương trình Dirac . ........................................................................................... 7
1.3.Giả spinor và Chirality. .................................................................................... 12
1.4. Truyền dẫn ballistic. ........................................................................................ 14
1.4.1.Chui ngầm Klein ........................................................................................ 14
1.4.2 Giới hạn độ dẫn lượng tử ........................................................................... 17
1.5. Hiệu ứng Hall lượng tử khác thường............................................................... 19
1.6. Một số cấu trúc nano graphene. ....................................................................... 22
1.7. Ứng dụng Graphene. ....................................................................................... 22
CHƢƠNG 2. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA GRAPHENEHAI LỚP .. 27
2.1. Cấu trúc tinh thể .............................................................................................. 27
2.2.Cấu trúc vùng năng lượng ................................................................................ 28
2.3. Sự khác biệt giữa graphene đơn lớp và graphene hai lớp ............................... 32
CHƢƠNG 3. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU MẠNG
GRAPHENE HAI LỚP: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN ....................................... 38
3.1. Siêu mạng bán dẫn........................................................................................... 38
3.2. Phương pháp T-ma trận. .................................................................................. 40
3.3. Siêu mạng Graphene hai lớp ........................................................................... 43
3.4.Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp............................ 47
3.4.1. Mô hình thế điện dạng Kronig- Penney. ................................................... 47
3.4.2. Kết quả và thảo luận: ................................................................................ 50
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 56
iii
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 59
DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1.1. Các vecto cơ sở của vùng Brillouin của Graphene ...................................... 7
Hình 1.2.(a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic. ........ 14
Hình 1.3. Mô hình chui ngầm Klein .......................................................................... 15
Hình 1.4: Hệ số truyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với
mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp và
đường màu xanh lá cây ứng với bán dẫn thông thường có vùng cấm. ...................... 16
Hình 1.5. Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L. Đường liền nét biểu diễn
độ dẫn theo công thức (1.4.43) , các điểm hình tròn và hình vuông là số liệu thực
nghiệm tương ứng của nhóm Miao( 2007) và nhóm Danneau (2008). ..................... 19
Hình 1.6. Hiệu ứng Hall lượng tử cho (a) hệ bán dẫn hai chiều thông thường (b)
graphene đơn lớp, (c) graphene hai lớp, (d) graphene đơn lớp ở nhiệt độ T= 4K,
B=14 T. ...................................................................................................................... 21
Hình 2.1 : Cấu trúc tinh thể Graphene đơn lớp và Graphene hai lớp ..................... 27
Hình 2.2 : Cấu trúc vùng năng lượng của graphene đơn lớp ................................... 33
Hình 2.3. (a) Cấu trúc vùng năng lượng của graphene hai lớp .................................. 34
Hình 2.3 (b): Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp không đối xứng. ..... 34
Hình 2.4.Sự xuất hiện khe vùng khi có điện trường ngoài trong lớp kép graphene. . 36
Hình 3.1.Mô hình thế điện Kronig- Penney cho graphene hai lớp. ........................... 44
Hình 3.2. Hệ thức tán sắc với 3 siêu mạng khác nhau cho ta thấy mối liên hệ giữa E
với kx, ky. .................................................................................................................... 46
Hình 3.3.Mô hình siêu mạng điện .............................................................................. 47
Hình 3.4. Cấu trúc vùng của siêu mạng điện Graphene trong không gian 3D với: ... 48
Hình 3.5. Vận tốc nhóm phụ thuộc vào góc tới trong trường hợp độ lớn tĩnh điện đặt vào
iv
là khác nhau: (đường chấm gạch), (đường liền đỏ), (đường gạch xanh)50
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn luận văn
Công nghệ bán dẫn hiện đại với transistor truyền thống đã phát triển hết sức
mạnh mẽ trong nửa cuối thế kỷ 20. Bằng chứng cho sự phát triển đó chính là định
luật Moore với sự tăng theo hàm mũ của mật độ transistor trên chip điện tử silicon.
Tuy nhiên, mật độ transistor sẽ đạt đến giới hạn mà tại đó các nguyên lý hoạt động
của transistor cổ điển không còn đúng nữa, đó chính là vấn đề mà các nhà vật lý và
công nghệ lo ngại khi tiếp tục giảm kích thước của „bóng bán dẫn‟.
Carbon, nguyên tố cơ bản của sự sống, với những tính chất độc đáo của nó được
kỳ vọng là vật liệu cơ sở cho nền công nghệ trong tương lai. Nhiều người tin rằng,
carbon có thể thay thế silic, công nghệ bán dẫn truyền thống sẽ được thay thế bằng
công nghệ nano dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới. Các cấu trúc nano của nguyên
tố carbon như quả cầu Fullerenes C60 (Fullerenes carbon ball C60 ), ống nano carbon
(carbon nanotube), dải nano carbon ( carbon nanoribbon ), đã và đang được nghiên
cứu sôi nổi trong lĩnh vực vật lý nano, mấy thập kỷ qua. Mà, Graphene có thể xem
là cơ sở cấu thành các cấu trúc đó.
Graphene có nhiều tính chất đặc biệt so với các vật liệu thông thường.
Thứ nhất, ở năng lượng thấp các electron biểu hiện như những hạt tương đối tính
không khối lượng, mặc dù vận tốc của nó chỉ khoảng 1/300 lần vận tốc ánh sáng.
Hàm sóng của electron có cấu trúc spinor hai thành phần và hướng của spinor có
liên quan đến hướng của xung lượng là nguyên nhân tính chirality.
Thứ hai, khả năng truyền dẫn đặc biệt tốt của Graphene. Độ linh động của electron
trong Graphene ( tiêu chí để xác định một vật liệu dẫn điện tốt) có thể đạt tới
𝟏𝟎𝟓𝒄𝒎𝟐/𝑽𝒔 cao hơn hẳn so với độ linh động của electron trong silicon ( cỡ
𝟏𝟑𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐/𝑽𝒔) hay GaAs( cỡ 𝟖𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐/𝑽𝒔). Ngoài ra, graphene là vật liệu dẫn
cực mỏng, trong suốt, rất bền về mặt cơ học, dẫn nhiệt rất tốt. Do đó, Graphene
được kỳ vọng sẽ thay thế cho các vật liệu bán dẫn thông thường trong nhiều ứng
1
dụng, từ sản xuất bộ vi xử lý tốc độ cao đến cảm biến sinh học.
Việc nghiên cứu ứng dụng graphene được bắt đầu bằng nghiên cứu tính chất
electron trong các cấu trúc khác nhau của Graphene : carbon nanoribbon, quantum
dot, p-n junction, hay siêu mạng...Thông thường người ta chế tạo siêu mạng bằng
cách điều chỉnh thế gian cầm đối với electron bằng công nghệ tương tự như công
nghệ hút bám nguyên tử trên một bề mặt Graphene. Ngày nay công nghệ hiện đại
hơn được sử dụng đó là kính hiển vi quét đường ngầm STM để quan sát cấu trúc bề
mặt của vật rắn với độ phân giải lên tới cấp độ nguyên tử, người ta có thể đặt vào và
điều chỉnh tạp chất hợp lý để tạo ra những cấu trúc siêu mạng như ý muốn, với độ
chính xác cực cao. Bên cạnh đó, có một phương pháp đơn giản đã từng làm là tạo ra
những điện áp địa phương ( tức là đặt vào những điện áp không đổi với một chu kỳ
tuần hoàn nào đó), do vậy đối với electron thế là tuần hoàn như một siêu mạng.
Ngoài ra, một phương pháp rất độc đáo cũng được sử dụng, đó là ban đầu người ta
tạo một lớp chất nền có hình dạng như một thế siêu mạng muốn tạo thành. Sau đó,
người ta cấy lên trên những bề mặt này những lớp graphene bằng cách này cũng tạo
ra được siêu mạng graphene.
Ngày nay, người ta sử dụng kính hiển vi quét đường ngầm STM để điều chỉnh
tạp chất trong graphene được đặt lên trên một lớp chất tạo nền và có thể đạt được
cấu trúc siêu mạng như mong muốn. Với công nghệ này, người ta có thể tạo được
các siêu mạng graphene có chu kỳ nhỏ hơn 5nm. Mô hình siêu mạng phổ biến hay
được quan tâm nhất là mô hình thế Kronig- Penney ( tức là mô hình thế gồm các bờ
thế vuông góc sắp xếp tuần hoàn theo một phương nào đó). Với mô hình Kronig-
Penny cho siêu mạng điện Bai và Zhang [6] đã khảo sát sự phụ thuộc hệ số truyền
qua vào góc tới và năng lượng tới của hạt, đồng thời đã tính độ dẫn của hệ. Nhóm
của Abedbour cũng đã tính độ dẫn của hệ siêu mạng mất trật tự graphene. Nhóm
của Park đã chỉ ra rằng với mô hình Kronig- Penney vận tốc nhóm có tính dị hướng
cao do tính chirality. Trong khi vận tốc nhóm theo phương tuần hoàn của thế vẫn
không đổi( bằng vận tốc Fermi), thì vận tốc nhóm xét theo phương vuông góc với
nó nhỏ hơn vận tốc Fermi. Với một siêu mạng graphene sử dụng thế có dạng hàm
sin, Brey và Fertig [10] chỉ ra rằng tính chirality dẫn tới điều đặc biệt là sự xuất hiện
2
những trạng thái năng lượng không trong phương trình Dirac, đây chính là sự xuất
hiện thêm của nhiều điểm Dirac nằm đối xứng qua điểm Dirac chính theo phương
xung lượng ngang. Ngoài ra siêu mạng còn có thể tạo thành bằng các bờ thế từ. Siêu
mạng từ graphene có thể được cấu thành bằng cách áp các thanh sắt từ lên bề mặt
tấm graphene theo một phương nhất định tạo thành một thế tuần hoàn.
Trong luận văn này sử dụng phương pháp Transfer (T) matrix quen thuộc,
chúng tôi bước đầu tìm hiểu cấu trúc năng lượng của siêu mạng graphene hai lớp (
bilayer graphene) với thế tĩnh điện tuần hoàn dạng Kronig- Penney. Vì vậy tôi chọn
tên luận văn: “Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp”.
2. Mục tiêu luận văn
Tìm hiểu các tính chất vật lý của graphenevà bước đầu học cách tính toán cấu trúc
vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu của luận văn
Luận văn chủ yếu sử dụng lý thuyết bloch kết hợp với phương pháp T-ma trận .
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của luận văn
-Đối tượng nghiên cứu : Graphene hai lớp dưới tác dụng của thế tĩnh điện tuần hoàn
dạng Kronig- Penney.
- Phạm vi nghiên cứu : Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp.
5. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn chia làm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan các tính chất điện tử của Graphene đơn lớp
Chương 2: Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp
Chương 3: Trình bày kết quả và thảo luận về cấu trúc vùng năng lượng của siêu
3
mạng Graphene 2 lớp với thế điện dạng Kronig - Penney.
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
CÁC TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ CƠ BẢN CỦA GRAPHENE ĐƠN LỚP
Để làm rõ hơn các tính chất đặc biệt của graphene được giới thiệu ở phần mở
đầu, đồng thời làm cơ sở cho những tính toán và giải thích các hiện tượng vật lý ở
trong siêu mạng graphene sẽ trình bày ở phần tiếp theo, tôi xin giới thiệu một vài
đặc trưng cơ bản nhất của graphene như cấu trúc vùng năng lượng và các tính chất
điện tử.
1.1. Cấu trúc vùng năng lƣợng
Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene được tính toán bằng phương pháp
gần đúng liên kết mạnh và so sánh kết quả nhận được với phương pháp ab- initio.
Hàm sóng của electron trong gần đúng liên kết mạnh được viết dưới dạng:
𝑀 𝑚 =1
(𝑘, 𝑟)(1.1.1) 𝛹𝑗 𝑘, 𝑟 = 𝛹𝑗 ,𝑚 𝑘 𝜙𝑚
𝛹𝑗 ,𝑚 là hệ số khai triển. Có M dãy năng lượng khác nhau và năng lượng của trạng
thái điện tử E của dãy thứ j được tính :
𝐸𝑗 𝑘 = 𝛹𝑗 𝐻 𝛹𝑗 / 𝛹𝑗 𝛹𝑗
Dưới dạng đơn giản nhất, năng lượng 𝐸𝑗 với hệ số khai triển 𝛹𝑗 tạo thành :
𝑇 = (𝛹𝑗 1, 𝛹𝑗 2, … , 𝛹𝑗𝑀 ) (1.1.2)
𝐻𝛹𝑗 = 𝐸𝑗 𝑆𝛹𝑗
Trong đó: 𝛹𝑗 là vecto cột, 𝛹𝑗
Ma trận tích phân chuyển đổi H và ma trận tích phân chéo S là MxM với các nhân
tố được xác định như sau :
(1.1.3) 𝐻𝑚 𝑚 ′ = 𝜙𝑚 𝐻 𝜙𝑚′ 𝑆𝑚𝑚 ′ = 𝜙𝑚 𝜙𝑚′
Dãy năng lượng 𝐸𝑗 được xác định bởi phương trình giá trị riêng suy rộng
(1.1.2) bằng cách giải phương trình :
(1.1.4) 𝑑𝑒𝑡 𝐻 − 𝐸𝑗 𝑆 = 0
Ở đây „det‟ được gọi là định thức của ma trận.
1
Các yếu tố ma trận sẽ được tính trực tiếp theo định nghĩa :
𝑁 𝑖=1
𝑁
4
(1.1.5) 𝐻𝐴𝐴= 𝜙𝐴(𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖) 𝐻 𝜙𝐴(𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖)
tổng của các tham số 𝜖𝐴. 𝜖𝐴mang giá trị như nhau trong mỗi ô đơn vị.
Đặt tham số 𝜖𝐴= 𝜙𝐴(𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖) 𝐻 𝜙𝐴(𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖) . Đây được coi như phép
Do đó nguyên tố ma trận có thể có thể được diễn đạt là =.є Tương tự
như vậy, ma trận chéo đối với orbital ở vị trí B được viết là є . Trong
khi với Graphene tinh khiết є = є khi hai mạng con giống nhau. Việc tính toán
những phần tử chéo trong ma trận tích phân chéo S thì phương trình (1.1.4) được
thực hiện theo cách tương tự như đối với ma trận H với nghịch đảo của một orbital
với phần tử đơn vị của nó.
Do đó : .
Phần tử ngoài đường chéo góc của ma trận tích phân chuyển đổi H mô tả khả
1
năng di chuyển linh hoạt giữa những orbital ở các vị trí A và B. Thay hàm Bloch
𝑁 𝑖=1
𝑁
𝑒𝑖𝑘 .𝑅𝑚 .𝑖 𝜙𝑚 𝑘, 𝑟 = 𝜙𝑚 𝑟 − 𝑅𝑚 ,𝑖 vào ma trận (1.1.3) tạo ra phép toán của
những vị trí tại A và những phép toán của những vị trí tại B.
Ta giả sử những vị trí phát sinh từ sự linh hoạt giữa các điểm lân cận . Nếu ta xem
xét vị trí A được cho trước sau đó tính toán khả năng di chuyển đến 3 vị trí gần B
nhất , kí hiệu l= 1, 2, 3:
x
Ở đây, là vị trí của 3 nguyên tử B gần nhất so với nguyên tử A cho trước
Phép toán đối với 3 vị trí gần điểm B nhất thì giống hệt điểm A , tham số này được
tính như sau:
(1.1.6)
5
với . Do đó phần tử ma trận được viết lại thành :
(1.1.7)
Phần tử ma trận ngoài đường chéo góc còn lại được tính:
Hàm chỉ sự dịch chuyển của điểm gần nhất ,phương trình (7) được viết :
cos( (1.1.8)
là vecto sóng .
Việc tính toán những phần tử ngoài đường chéo góc của ma trận tích phân
chéo S tương tự như ma trận H. Hàm số mô tả các khả
năng của các phần tử chéo có thể >0 hoặc < 0 giữa các orbital trên những vị trí lân
cận. Khi đó
Tập hợp các phần tử ma trận , các ma trận tích phân và của Graphene đơn
lớp được viết như sau :
(1.1.9) 𝐻𝑚 = −𝛾0𝑓(𝑘) 𝜖𝐵 𝜖𝐴 ∗(𝑘) −𝛾0
(1.1.10)
Năng lượng tương ứng được xác định bằng cách giải phương trình (4) . Ví dụ đối
với Graphene tinh khiết є = є =0 , ta có :
(1.1.11)
Ở phương trình (1.1.8) tại góc của vùng Brillouin, hai trong số chúng
không
6
tương đương nhau.
Hình 1.1. Các vecto cơ sở của vùng Brillouin của Graphene
Ví dụ : góc với vecto sóng được kí hiệu trong bảng
1(b). Những vị trí như vậy được gọi là điểm lồi và lõm K và ta sẽ sử dụng chỉ số
lõm để phân biệt những điểm . Tại những điểm này , các kết quả của
phương trình (15) có cùng mức năng lượng, đánh dấu điểm chéo nhau và năng
lượng vùng cấm bằng 0 giữa vùng hoá trị và vùng dẫn. Ma trận chuyển đổi gần
giống với phương trình Dirac- Hamilton ở lân cận của điểm K, mô tả các hạt không
có khối lượng với mối tương quan về độ tán sắc dài. Các điểm này đặc biệt quan
trọng vì mức fermi được đặt gần chúng trong lớp Graphene tinh khiết.
1.2. Phƣơng trình Dirac
a) Phương trình tựa Dirac
Thực tế trong các bài toán truyền dẫn, ta chỉ quan tâm đến các electron gần bề
mặt Fermi, như thông thường, ta sẽ dùng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu
dụng. Kết quả phép gần đúng khối lượng hiệu dụng đối với Graphene chính là
phương trình tựa Dirac hai chiều cho electron trong mạng Graphene.
Sử dụng khai triển K.P tại lân cận điểm K. Bằng cách viết hàm song đầy đủ
(là tích của hàm vỏ và hàm lõi), thay vào phuwogn trìng Schr𝑜 dinger, khai triển
và giữ lại hạng bậc nhất của sẽ thu được phương trình tựa Dirac cho electron
trong Graphene. Việc này đã được DI Vincenzo và Mele thực hiện năm 1984 [9].
Ở đây tôi tóm tắt lập luận nguyên văn của các tác giả để rút ra phương tình tựa
7
Dirac hai chiều.
“… Khi không có thế tạp, khai triển gần đúng khối lượng hiệu dụng tương
đương với khai triển K.P tại lân cận điểm . Trong lý thuyết khai triển K.P hàm
song của electron tại vector song được cho bởi:
𝑒𝑖 𝛹(𝐾, 𝑟 ) = 𝑓1(𝐾 )𝑒𝑖
Thế vào phương trình Schrodinger, giữ lại số hạng cáp một của và
11
12
lấy EF =0 ta đượpc phương trình trị riêng:
22
21
= E (1.2.12)
ij =
Trong đó (K, ) j(K, )d . Có thể chỉ ra bằng lý thuyết nhóm
hoặc trực tiếp từ phương trình gần đúng liên kết mạnh, rằng ma trận của toán tử
0
xung lượng có dạng:
−𝑖 𝑦 0
+𝑖 𝑦
(1.2.13)
Trong đó la hệ số liên quan đến cấu , y là vector đơn vị của mặt phẳng,
trúc vùng của Graphene. Từ đó có ta có thể chéo hóa dễ dàng ma trận trên và thu
được:
E ׀ (2.1) với . =±𝑃׀
Như vậy thực chất của kết quả của phép khai triển K.P là thay thế câu trúc
vùng Graphene bằng hệ thức tán sắc hình nón tại mặt Fermi.
Khi đặt trường ngoài liên hệ, đối xứng tịnh tiến nói chung bị phá vỡ va trạng
thái lượng tử của electron không còn được đặc trưng bởi . Do đó chúng ta sẽ dùng
đến một sự mở rộng nhỏ của hàm thử:
( , (K, ) 𝑒𝑖 𝑒𝑖 = 𝑑 (K, )+ 𝑑
8
(1.2.14)
0
𝐾𝑥 −𝑖𝐾𝑦
Đặt hàm thủ vào phương trình Schrodinger ta đi đến phương trình tích phân:
‟U(
‟)
0
𝐾𝑥 +𝑖𝐾𝑦
P - =E ( 1.2.15) + 𝑑
Trong đó : chính là biến đổi Fourier của thế tạp
U( lấy trung bình theo trục Oz. Để rút ra phương trình này chúng ta đã áp dụng
gần đúng tiêu chuẩn của lý thuyết khối lượng hiệu dụng là thế tạp biến thiên chậm
so với khoảng cách đặc trưng của ô mạng.
Để hoàn tất việc rút ra phương trình Dirac ta thực hiện biến đổi Fourier phương
tình trên, kết quả là phương trình tích phân chuyển thành phương trình vi phân:
𝑃
0
𝑖
𝑥
(1.2.16) = 𝐸 − 𝑈(𝑟) ( ) 𝐹1(𝑟) 𝐹2(𝑟 ) 𝐹1(𝑟) 𝐹2(𝑟 ) + 𝑖 0
Và phương trình sóng trong biêủ diễn tọa độ là:
1(𝐾, 𝑟 ) + 𝐹2(𝑟 )
(1.2.17) 𝐹1(𝑟 )
Phương trình sóng có dạng tích của hàm vỏ (envelope- function) biến đổi
chậm và hàm Bloch như quen thuộc trong vật lý chất rắn….”
Hàm sóng thu được ở trên chính là nghiệm của phương trình tựa Dirac ( sở dĩ
gọi là phương trình tựa Dirac vì trong phương trình vo là vận tốc Fermi, có giá trị v0 106). Hai trạng thái của electron trên hai mạng thành phần đóng vai trò là thành
phần Spin và tên gọi giả Spin (pseudo-spin)( gọi là giả spin vì chúng không liên
quan đến spin thật của electron).
Khi các điểm Dirac bị tách suy biến như đề cập đến trước đây, tức là có
một khe năng lượng nhỏ giữa vùng dẫn và cùng hóa trị, như đã nói việc hiệu
9
chỉnh phương trình tựa Dirac chỉ đơn giản là thêm vào số hạng khối lượng nghỉ
của electron. Kết quả là ta có dạng đầy đủ của phương trình Dirac sẽ được sử
dụng như sau:
=
(1.2.18)
HD
z là các ma trận Pauli quen thuộc trong cơ
Trong đó ,
học lượng tử.
Một vấn đề khác cần nói đến là trong Graphene ta có một mặt Fermi sáu
điểm với hai điểm không tương đương K và K‟. Khai triển K.P tại điểm K và K‟
là tương đương nhau, qua một phép biến đổi biểu diên, điểm này có thể biến đổi
thành điểm kia.
b) Lời giải với thế không đổi trên từng đọan
Thông thường trong các bài toán ta chỉ xét trường hợp là electron chỉ chịu tác
dụng của thế không đổi trên từng đoạn. Khi đó phương trình Dirac sẽ có lời giải giải
tích đơn giản.
=
(1.2.19)
Như đã nói ở trên ,phương trình Dirac có dạng:
và
Ta viết lại hàm sóng dưới dạng hai thành phần spinnor và thay vào
phương trình trên ta được:
(1.2.20)
Hay
10
(1.2.21)
Đặt (2.8)
2 từ phương trình
(thực chất đây là một phép đổi đơn vị), đồng thời rút thế
thứ hai vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:
(1.2.22)
Quay trở lại trường hợp riêng của ta: thế u(x,y) không đổi dọc theo trục Oy,
khi đó nghiệm có thể tìm dưới dạng hàm riêng của xung lượng theo trục Oy:
=
ta có phương trình cho :
(1.2.23)
Mặt khác ta xét Phương trình trên từng đoạn không đổi của thế trên trục Ox,
khi đó phương trình đơn giản thu về: )
(1.2.24)
Đặt
ta có:
(1.2.25)
1 đơn giản là phương trình kiểu dao động điều hòa,
Phuơng trình cho ta
nghiệm tổng quát được cho duới dạng:
(1.2.26)
11
Và do đó:
(1.2.27)
Trong trường hợp các giá trị ,un, o là thực, ta có thể đơn giản hóa công thức bằng
(1.2.28)
cách đặt các tham số mới:
Như vậy:
2 =
(1.2.29)
Vậy nghiệm đầy đủ là hàm song spinor 2 thành phần:
1=
(1.2.30)
2=
(1.2.31)
1.3. Giả spinor và Chirality
Trong giới hạn liên tục và gần đúng khối lượng hiệu dụng, Hamiltonian cho
electron trong graphene ở lân cận điểm K và K‟:
(1.3.32)
Trong đó là các ma trận Pauli.
Hamilton này có dạng giống với Hamiltonian Dirac hai chiều cho hạt không khối
lượng . Do đó hàm sóng của điện tử trong graphene có cấu trúc spinor hai thành
phần, với điểm K
(1.3.33)
Còn với điểm K‟
12
(1.3.34)
Dấu tương ứng với năng lượng cho vùng dẫn và vùng hóa trị và
Tuy nhiên cần lưu ý không phải đặc trưng cho spin thật mà nó
chỉ xuất hiện một cách đơn thuần khi tính đến sự đóng góp của hai mạng con nên
được gọi là giả spin. Hai thành phần trên và dưới của hàm sóng liên quan đến
biên độ xác suất tìm thấy hạt ở một trong hai mạng con tương ứng, do đó hàm sóng
được gọi là các giả spinor.
Một đặc trưng thú vị của graphene đó là hướng của các giả spin có liên quan
tới xung lượng của hạt. Điều này có nghĩa là hàm sóng của các electron trong
graphene ở lân cận điểm Dirac có tính chirality hay helicity (tính chất cho biết hình
chiếu của toán tử spin dọc theo hướng của xung lượng. Toán tử đặc trưng cho tính
chất này là toán tử helicity
(1.3.35)
Theo định nghĩa này thì các trạng thái cũng là vector riêng của toán tử
Do đó, toán tử chỉ có hai trị riêng là , điều này có nghĩa: Trong các
trạng thái riêng của năng lượng ở lân cận điểm Dirac, giả spin thì song song hoặc
đối song với xung lượng. Ở lân cận điểm K,electron có helicity dương và lỗ
trống có helicity âm, dấu helicity ngược lại khi electron electron ở gần K‟. Tính
chất này thể hiện tính đối xứng giữa electron và lỗ trống tương tự như đối xứng liên
hợp điện tích trong điện động lực học lượng tử.
Bản chất chirality của electron trong graphene là nguồn gốc cho hàng loạt các hiện
tượng thú vị thể hiện sự khác biệt so với các electron trong vật liệu thông thường. Ở
đây chúng tôi xin nêu ra hai hiện tượng đặc trưng nhất của tính chirality là chui
13
ngầm Klein và hiệu ứng Hall lượng tử trong graphene.
Trong các hệ nano, quãng đường tự do trung bình
(quãng đường
trung bình electron di chuyển được mà chưa bị va chạm) là một tham số rất
quan trọng. Khi kích thước của hệ L nhỏ hơn
, electron có thể chuyển động
hết chiều dài của hệ mà moomen động lượng của nó vẫn giữ nguyên. Chuyển
động như vậy gọi là truyền dẫn ballistic, ngược lại được gọi là truyền dẫn
khuếch tán. Với graphene ,
có thể rất lớn (cỡ 1
) nên cơ chế ballistic
đóng vai trò quan trọng.
1.4. Truyền dẫn ballistic
1.4.1. Chui ngầm Klein
Hình 1.2.(a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic
Hiện tượng chui ngầm Klein được đề xuất năm 1929 bởi O.Klein dựa
trên phương trình Dirac. Chui ngầm là hiện tượng electron chuyển động vào
miền có bờ thế rất cao so với năng lượng của electron), mà theo quan điểm cơ
học cổ điển lẽ ra phải là miền cấm đối với electron. Trong cơ học lượng tử,
chui ngầm lượng tử là quá trình mà hàm sóng của hạt không tương đối tính có
thể lọt vào vùng cấm cổ điển với xác suất truyền qua giảm theo hàm e mũ theo
chiều cao và độ rộng của bờ thế.
Đối với hạt Dirac, xác suất truyền qua phụ thuộc rất yếu vào chiều cao
bờ thế và 1 khi bờ thế cao vô hạn. Điều này có thể giải thích dựa trên tính
chất của phương trình Dirac là phương trình nhận cả trạng thái năng lượng âm
14
(electron) và trạng thái năng lượng dương (lỗ trống). Do đó với một bờ thế bất
kỳ thì trạng thái bên ngoài bờ thế (electron) và trạng thái bên trong bờ thế (lỗ
trống) được nối với nhau (Hình 1.8). Chiều cao bờ thế càng lớn thì việc nối hai
trạng thái này càng dễ dàng, do đó xác suất càng tăng. Với trường hợp bờ thế
cao vô hạn thì xác suất truyền qua bằng một được gọi là chui ngầm Klein.
Hình 1.3. Mô hình chui ngầm Klein
Khi nghiên cứu sự phản xạ và truyền qua trong chuyển tiếp p-n và p-n-p,
người ta nhận thấy rằng xác suất chui ngầm của electron trong graphene phụ thuộc
trực tiếp vào góc tới của electron và hình dạng của bờ thế. Cụ thể nếu bờ thế
dạng bậc thang, xác suất truyền qua có dạng:
(1.4.37)
Nếu bờ thế có dạng nghiêng như trong chuyển tiếp p-n được tạo ra bởi thế
tĩnh điện thì dạng của xác suất truyền qua:
(1.4.38)
Trong đó d là độ rộng của bờ thế lớp chuyển tiếp.
Từ các công thức (1.3.16) và (1.3.17) ta nhận thấy rằng khi góc tới bờ thế
15
, hay xung lượng ngang bằng không thì xác suất chui ngầm của electron luôn
bằng một, không phụ thuộc vào độ cao độ rộng cũng như hình dạng của bờ thế. Kết
quả này có được là do tính chất chirality trong graphene. Trên hình 1.8 mô tả chui
ngầm của điện tử có xung lượng ngang bằng không trong graphene qua bờ thế có độ
cao V, độ rộng là D. Hình vẽ mô tả phổ năng lượng, màu xanh và màu đỏ của các
nhánh năng lượng tương ứng với hai trạng thái giả spin cho hai mạng con A và B.
Một electron với giả spin , xung lượng đang ở nhánh máu đỏ, chuyển động tới
gặp bờ thế, năng lượng tới E của electron (đường chấm chấm) nằm trong vùng dẫn
khi ở ngoài bờ thế và vùng hóa trị khi ở bên trong bờ thế. Do tính chất chirality của
hàm sóng, trạng thái electron (𝜎, 𝑘)khi vào bờ thế chuyển thành trạng thái lỗ trống
(σ,-k), cùng ở nhánh màu đỏ (không thể chuyển sang trạng thái ở nhánh màu xanh
vì trạng thái này yêu cầu giả spin phải đổi hướng). Sự liên tục về trạng thái giả spin
dẫn tới xác suất truyến qua bờ thế của electron luôn bằng một mà không phụ thuộc
vào độ cao, độ rộng cũng như hình dạng của bờ thế.
Hình 1.4: Hệ số truyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với
mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp và
Chui ngầm Klein trong graphene do tính chirality của hàm sóng ở lân cận
đường màu xanh lá cây ứng với bán dẫn thông thường có vùng cấm.
16
điểm Dirac , được kiểm chứng thông qua so sánh chui ngầm Klein của ba mẫu: hình
1.9 mẫu 1 là graphene đơn lớp xác suất chui ngầm luôn bằng 1; mẫu 2 là graphene 2
lớp, xác suất này giảm theo hàm mũ với độ rộng của bờ thế; và mẫu 3 là bán dẫn
thông thường không có vùng cấm, truyền qua hoàn toàn chỉ trong trường hợp có
cộng hưởng (chui ngầm cộng hưởng). Sự khác biệt của 3 vật liệu này ở chỗ:
graphene đơn lớp có tính chirality, không có vùng cấm trong phổ năng lượng;
graphene 2 lớp có tính chirality, có xuất hiện vùng cấm; cuối cùng là bán dẫn
thường không có vùng cấm và không có tính chirality. Tính chirality giữa graphene
đơn lớp và hai lớp cũng khác nhau vì có sự khác nhau về giả spin trong hai mẫu
tương tự như sự khác nhau giữa hạt spin ½ và 1, do đó trong graphene đơn lớp có 2
mạng con còn graphene 2 lớp thì có 4 mạng con.
Chui ngầm Klein là một trong những hiện tượng quan trọng trong điện động
lực học lượng tử,tuy đã được nghiên cứu lý thuyết khá lâu nhưng vẫn chưa có khả
năng kiểm chứng. Do đó,sự phát hiện chui ngầm Klein trong graphene có một ý
nghĩa quan trọng, mở ra một hướng mới cho việc nghiên cứu các hiện tượng vật lý
trong lý thuyết trường lượng tử mà không cần đến máy gia tốc cỡ lớn để gia tốc cho
electron có được vận tốc tương đối tính.
1.4.2. Giới hạn độ dẫn lượng tử
Do chui ngầm Klein nên việc giam cầm electron trong graphene gặp khó
khăn. Vì thế chúng ta quan tâm đến độ dẫn suất giới hạn lượng tử tổng quát. Ở đây
chỉ xét trường hợp không có tương tác giữa các electron ở nhiệt độ 0K và không có
mất trật tự (nghĩa là xét quá trình truyền dẫn qua vùng này là ballistic), khi đó mẫu
đo có độ dẫn suất ballistic. Đối với kim loại thông thường theo phương pháp bán cổ
điển trong trường hợp không có tán xạ sẽ không có gì cản trở chuyển động của
electron và độ dẫn điện là vô hạn. Nếu mật độ hạt tải bằng không thì độ dẫn bằng
không. Nhưng đối với graphene thì không phải như vậy, nếu xét mô hình chuyển
tiếp n-p-n trong graphene, ta điều chỉnh điện áp đặt vào vùng giữa để thay đổi vị trí
17
của mức fecmi tương đối so với điểm dirac khi đó vùng dẫn loại p được điều chỉnh
để trở thành vùng dẫn loại n‟ (nghĩa là n-n‟-n). Nghiên cứu về chui ngầm klein cho
cả 2 chuyển tiếp này đều có hệ số truyền qua hữu hạn.
Bằng cách sử dụng phương trình tựa Dirac cho điện tử trong graphene ta đi
tìm độ dẫn suất giới hạn lượng tử của graphene tại điểm Dirac.
(1.4.39)
Với V(x<0)=V(x>L)=V ;V(x)=Vg với 0 độ dẫn ballistic tương ứng. Với trường hợp và tại điểm Dirac thì xác suất truyền qua sẽ là: (1.4.40) Xác suất này hoàn toàn khác so với điện tử không tương đối tính thường tuân theo .. Trong công thức trên hệ thức tán sắc parabol với một giá trị qn xác định thì Tn thì vector sóng ngang qn được xác định từ điều kiện biên (1.4.41) (1.4.42) Khi đó .Theo công thức Landauer ta có giá trị cho độ dẫn là: (1.4.43) Từ (1.3.22) ta thấy độ dẫn trong vật liệu Graphene phụ thuộc vào tỉ số ;giới hạn 18 giá trị độ dẫn cực tiểu (1.4.44) Hình 1.5. Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L. Đường liền nét biểu diễn độ dẫn theo công thức (1.4.43) , các điểm hình tròn và hình vuông là số liệu thực nghiệm tương ứng của nhóm Miao( 2007) và nhóm Danneau (2008). Kết quả này thu được phù hợp với thực nghiệm (Hình 1.5), giải thích nguồn gốc của độ dẫn suất cực tiểu tổng quát là do sự truyền dẫn lượng tử thông qua các trạng thái mờ(các trạng thái với vector sóng có dạng ảo ik (ứng với miền cấm trong cổ điển)). 1.5. Hiệu ứng Hall lƣợng tử khác thƣờng Đây là một trong những hiện tượng quan trọng,xuất phát từ bản chất Dirac các kích thích năng lượng thấp của fermion không khối lượng trong graphene. Khi có một từ trường vuông góc với mẫu đo,electron và lỗ trống bị cầm tù trong một mặt phẳng buộc phải chuyển động trên các quỹ đạo cyclotron kín. Sự lượng tử hóa các quỹ đạo cyclotron dẫn đến sự lượng tử hóa các mức năng lượng (mức Landau). Mỗi mức Landau có N=BA/ trạng thái suy biến (a là diện tích 19 mẫu đo, là thông lượng từ lượng tử) và hiệu ứng Hall xảy ra khi N có giá trị so sánh được với tổng số giả hạt có trong hệ. Khi đó các bình nguyên trong đồ thị của điện dẫn suất ngang cho phép đo nồng độ electron. Tại đó các mức Landau được lấp đầy,tương ứng với các bình nguyên này vị trí cực tiểu(bằng không) của điện trở suất dọc . Trong hiệu ứng Hall lượng tử nguyên thông thường các số nguyên lần của (hình 1.11(b).(c)) và hiện tượng có thể xảy ra ở nhiệt độ phòng (Hình 1.12). Thêm vào đó, sự xuất hiện một cực đại của tại vị trí nồng độ hạt tải bằng 0 (tại điểm Dirac) (Hình 1.11d), có nghĩa sự tồn tại một mức Landau tại năng lượng E=0. Sự khác biệt trên được giải thích dựa trên phổ năng lượng electron trong từ trường bán dẫn và graphene. Với khí điện tử bán dẫn hai chiều,phổ năng lượng của các mức Landau là: (1.5.45) trong đó n=0,1,2... và là tần số cyclotron,m là khối lượng hiệu dụng của electron. Nhưng trong graphene không thể áp dụng công thức này do hệ thức tán sắc tuyến tính, khối lượng hiệu dụng bằng không dẫn đến tần số cyclotron tính theo công thức trên sẽ vô hạn. Thực chất, việc giải phương trình tựa Dirac trong từ trường cho biết các mức Landau trong graphene có dạng: (1.5.46) Trong đó, n là nồng độ hạt tải. Dấu tương ứng cho electron hay lỗ trống.Sự xuất hiện mức Landau năng lượng không tại điểm Dirac là do đóng góp 20 của mức Landau đầu tiên. Hình 1.6. Hiệu ứng Hall lượng tử cho (a) hệ bán dẫn hai chiều thông thường (b) graphene đơn lớp, (c) graphene hai lớp, (d) graphene đơn lớp ở nhiệt độ T= 4K, B=14 T. Trong vùng dẫn của electron và mức Landau cao nhất trong vùng hóa trị của lỗ trống.Điều này làm cho các mức Landau thay đổi ½ so với thông thường và kết quả là Một cách giải thích khác cho hiệu ứng Hall trong graphene dựa trên sự xuất hiện của pha Berry bằng do tính chirality của hàm sóng trong graphene. Cụ thể , electron trong graphene có hàm sóng dạng giả spinor hai thành phần, hàm sóng này sẽ đổi dấu khi electron chuyển động trên một quỹ đạo kín trong từ trường, do đó pha của hàm sóng có thêm một lượng bằng gọi là pha Berry. Kết quả của hiện tượng này là là điện trở Hall xuất hiện phần bán nguyên so với giá trị thông thường quan sát được trong bán dẫn. Một điều quan trọng nữa là hiệu ứng Hall lượng tử trong graphene có thể 21 quan sát được ở nhiệt độ phòng. Mà trong graphene do vận tốc fermion cỡ 1/300 vận tốc ánh sáng nên khoảng cách giữa các mức Landau trong graphene là rất lớn. Khoảng cách giữa mức N=0 với mức N= vào khoảng , B có đơn vị là Tesla, khoảng cách này đảm bảo quan sát được hiệu ứng Hall xảy ra với graphene ở nhiệt độ phòng. 1.6. Một số cấu trúc nano graphene Các cấu trúc nano của nguyên tố carbon như quả cầu Fullerenes C60 (Fullerenes carbon ball C60), ống nano carbon (carbon nano-tube), dải nano carbon (carbon nano-ribbon) đã và đang được nghiên cứu sôi nổi trong lĩnh vực vật lý nano trong mấy thập kỷ qua. Về nguyên tắc, các cấu trúc đó đều có một nền cấu trúc chung là cấu trúc Graphene. Graphene đơn giản là một lớp đơn nguyên tử của mạng tinh thể than chì. Mặc dù vậy, mới chỉ gần đây, năm 2004, người ta mới tạo được một lớp đơn nguyên tử như vậy trên một đế SiO2 phục vụ cho nghiên cứu. Cũng cần nói rằng, điều đó không có nghĩa là sự tồn tại của Graphene trong tự nhiên là một hiện tượng nặng về nhân tạo: chính khi ngòi bút chì của họa sĩ mài trên giấy, các lớp nguyên tử than chì bị tách ra đã hình thành các cấu trúc Graphene ngay trên trang giấy. Như đã nói, cấu trúc Graphene chính là cơ sở của các cấu trúc nano carbon. Từ mặt phẳng Graphene ta có thể hình thành nên các ống nano carbon bằng cách cuộn mặt phẳng mạng theo một chiều nào đó, với một chu kỳ nào đó, để thu được các ống nano carbon khác nhau. Hoặc có thể cắt mặt Graphene theo một đường nào đó, với độ rộng nào đó, để thu được các dải nano carbon khác nhau. Dạng đường biên cuốn cũng như đường biên cắt phân biệt các ống nano carbon và dải nano carbon khác nhau với các tính chất điện tử khác nhau. 1.7. Ứng dụng Graphene Dây dẫn và điện cực trong suốt: Các nhà nghiên cứu thuộc Đại học California-Mỹ đã phát triển một phương pháp mới sản xuất ống thép nano cacbon- graphene có tiềm năng dùng làm dây dẫn trong suốt trong các tấm pin mặt trời và các thiết bị gia dụng khác. Các ống ghép nano-cacbon này sẽ là vật liệu rẻ hơn và mềm dẻo hơn rất nhiều so với các vật liệu hiện đang sử dụng trong các tấm pin mặt 22 trời và các thiết bị điện tử dẻo khác. Tiềm năng của ống ghép nano-graphene không chỉ giới hạn trong những cải tiến sắp xếp linh kiện mà với các nghiên cứu sâu hơn ống ghép nano cacbon –graphene có thể tạo ra các khối liên kết cho các khối kết cấu cho các linh kiện điện tử quang học trong tương lai. FET Graphene: Transistor hiệu ứng trường (FET) được chế tạo bằng cách làm nóng một bánh xốp silicon carbide(SiC) để tạo ra một lớp mặt gồm những nguyên tử cacbon ở dạng Graphene. Các cực phát và thu sóng được cho lắng lên trên graphene để lại những rãnh graphene bị bóc trần ở giữa chúng. Tiếp theo cho lắng một màng mỏng cách điện lên trên graphene bị bóc trần mà không làm ảnh hưởng bất lợi đến những tính chất điện tử của nó. FET có tần số ngưỡng cao hơn MOSFET silicon tốt nhất có cùng chiều dài cổng, nó được chế tạo bằng những kĩ thuật sử dụng trong công nghiệp bán dẫn nhưng vẫn có một thiếu sót đó là nó không thể sử dụng trong các mạch kĩ thuật số. Là vì graphene có khe năng lượng bằng không giữa các electron dẫn và electron hóa trị của nó. Chíp máy tính: Các nhà nghiên cứu đã tạo ra được chiếc bóng bán dẫn nhỏ nhất trên thế giới- có bề dày chỉ bằng một nguyên tử và rộng 10 nguyên tử từ Graphene. Chiếc bóng bán dẫn này về bản chất là một công tắc bật tắt. Chiếc bóng bán dẫn là thiết bị quan trọng của một bảng vi mạch và là nền tảng của bất cứ thiết bị điện tử nào. Bóng bán dẫn Graphene càng nhỏ lại càng hoạt động tốt. Bóng bán dẫn được chế tạo bằng cách lắp Graphene vào một mạch điện siêu nhỏ . Chiếc bóng bán dẫn đầu tiên được chế tạo bởi các nhà khoa học tại Manchester (Tiến sĩ Kostya Novoselov và giáo sư Andre Geim). Trong thời gian gần đây, graphene nhanh chóng thu hút được sự chú ý của giới khoa học và công nghệ. Được ca ngợi như một “siêu vật liệu” của tương lai, graphene có thể tạo ra các tấm vật liệu không những vô cùng mỏng, nhẹ mà còn siêu bền và gần như trong suốt. Cụ thể, Graphene là một kiểu tấm cấu tạo từ các 23 nguyên tử carbon liên kết với nhau theo kiểu hình lục giác tuần hoàn. Đây được coi là mảnh vật chất mỏng và bền nhất thế giới hiện nay với độ bền đã từng được kiểm chứng là hơn thép tới 300 lần. Đồng thời, Graphene còn được công nhận là linh hoạt hơn rất nhiều so với silicon. Tốt hơn silicon, độ linh hoạt cao trong khi còn bền hơn thép và dẫn nhiệt tốt, graphene hiện đang được coi là loại chất liệu lý tưởng cho các thiết bị đeo trên người. Tuy nhiên, cũng vì những đặc tính hiếm có như vậy mà loạt vật chất này có giá thành sản xuất rất đắt đỏ. Các nhà khoa học dự đoán siêu vật liệu graphene sẽ tạo bước đột phá lớn trong nhiều ngành khoa học, công nghệ điện tử và y học. Chế tạo pin Có lẽ vấn đề lớn nhất đối với hầu hết các thiết bị di động hiện nay là việc chúng cần sạc lại liên tục. Nhưng kể từ năm 2011, khi mà các kĩ sư trường đại học Northwestern phát hiện ra rằng các cực dương của graphene giữ điện tốt hơn cực dương của than chì – với thời lượng nạp nhanh hơn đến 10 lần – các nhà nghiên cứu đang tích cực thí nghiệm với hợp chất graphene để có thể áp dụng vào công nghệ pin. Cuối tháng 5 vừa qua, các nhà khoa học tại đại học Rice của Mỹ đã phát hiện 24 ra rằng graphene trộn lẫn với vanadi oxit (một giải pháp tương đối rẻ tiền) có thể tạo ra cực âm pin, có thể sạc tới 90% dung lượng chỉ trong 20 giây, và giữ khả năng đó ngay cả sau 1000 chu kì sử dụng. Sản xuất vi mạch máy tính Năm ngoái, các kĩ sư học viện công nghệ MIT và Harvard đã thành công trong việc sử dụng các mẫu DNA để mô hình hóa graphene thành các cấu trúc nano, mà cuối cùng có thể được chế tác thành các mạch điện.Mặc dù vậy, các nhà khoa học vẫn cần cải thiện thêm sự chính xác trong vận hành trước khi nó có thể thay thế silicon trong các con chip máy tính. Các phương pháp này vẫn còn đang được thử nghiệm và rất tốn kém, nhưng với những tính năng của graphne thì tiềm năng cho các thiết bị điện tử làm từ vật liệu này là quá lớn. Linh kiện smartphone Graphene là chất liệu tổng hợp có rất nhiều điểm vượt trội so với các chất liệu thông thường: siêu bền nhưng cũng siêu mỏng. Nhờ có các đặc tính này, graphene được coi là một loại chất liệu "trong mơ" cho cả ngành công nghiệp điện 25 tử lẫn các lĩnh vực khác. Theo một tuyên bố của Samsung, hãng này cho biết đã tìm ra một biện pháp sản xuất mới có thể giúp đẩy mạnh quá trình thương mại hóa graphene, cho phép sử dụng loại vật liệu hoàn hảo này trên "màn hình dẻo, các thiết bị thời trang công nghệ và các sản phẩm điện tử tân tiến". Trong tương lai, có thể chúng ta sẽ được thấy những chiếc smartphone có màn hình uốn cong được, hay những thiết bị thông minh mới màn hình dẻo có thể đeo trên người như một chiếc vòng tay. Các tế bào năng lượng Graphene có thể giúp chúng ta khai thác năng lượng tốt hơn. Ngoài pin cho điện thoại và đồng hồ thông minh, loại vật liệu này còn mang tới nhiều lợi ích cho điện năng và quang năng. Năm ngoái, đại học công nghệ Michigan của Mỹ đã phát hiện ra rằng graphane có thể thay thế platinum, một thành phần quan trọng có giá thành rất đắt (khoảng 1500 USD/ounce) trong các tế bào năng lượng mặt trời. Nhờ vào cấu trúc phân tử của mình, graphene có độ dẫn và hoạt động xúc tác cần thiết để khai thác và 26 chuyển đổi năng lượng từ mặt trời với hiệu suất cao. Tinh thể Graphene là một mạng hai chiều trong đó các nguyên tử carbon sắp xếp tại các đỉnh các ô lục giác của mặt phẳng giống như bề mặt tổ ong. Trong cả hai trường hợp này các vector (mạng tinh thể ) cơ sở và được xác định : Trong đó: a= = là hằng số mạng. Khoảng cách giữa hai đơn vị liền kề . Chú ý hằng số mạng khác so với khoảng cách giữa hai nguyên tử carbon (b) gần nhau nhất là khoảng cách giữa các phân tử cacbon liền kề. 27 Hình 2.1: Cấu trúc tinh thể Graphene đơn lớp và Graphene hai lớp Trong đơn lớp Graphene , mỗi ô đơn vị chứa hai nguyên tử cacbon , đặt là A và B. Vị trí của A và B là không tương đương nhau vì không thể nối chúng với vecto mạng dưới dạng trong đó là các số nguyên. Graphene đa lớp gồm hai đơn lớp theo cặp với 4 nguyên tử trong mỗi ô đơn vị, kí hiệu ở lớp thấp và ở lớp cao hơn. Các lớp được sắp xếp sao cho mỗi nguyên tử của lớp ở ngay dưới một nguyên tử ở lớp cao hơn. Ta gọi hai vị trí nguyên tử này là „dimer‟ bởi vì obitan điện tử trên chúng được tạo thành cặp cùng nhau bởi sự mắc nối đa lớp tương đối mạnh. Hai nguyên tử còn lại không có sự tương ứng với lớp ngay phía trên hay phía dưới chúng và chúng được gọi là „ non- dimer „. Hình 2.1 (a) Cấu trúc tinh thể của đơn lớp Graphene với nguyên tử A(B) được biểu diễn trên vòng tròn trắng (đen) . Hình thoi mờ là ô đơn vị qui ước. là các vecto cơ sở. 2.1(b) tinh thể nghịch đảo của Graphene đơn và đa lớp với các điểm tinh thể được đánh dấu hình chữ thập, là các vecto mạng đảo. Hình b cạnh mờ là vùng Brillouin với Γ chỉ tâm , là hai góc không tương đương nhau. Do đó tinh thể có tính đối xứng so với đối xứng nghịch (x,y,z) .Các vecto mạng đảo của Graphene đơn và đa lớp , ở đó Theo hình 2.1(b) tinh thể mạng đảo là tinh thể Bravais lục giác và vùng Brillouin đầu tiên là hình lục giác. 2.2. Cấu trúc vùng năng lƣợng Từ những hiểu biết về cấu trúc tinh thể của Graphene ta tiến hành khảo sát cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp. Việc tính toán cấu trúc vùng sẽ chỉ ra sự đồng nhất về cấu trúc của hai mạng thành phần dẫn đến hệ quả là sự suy biến của trạng thái electron trong tinh thể tại các đỉnh của vùng Brillouin. 28 (scan) Trong phần giới thiệu về tight- binding của Graphene hai lớp ta tính toán trên các orbital tại 4 điểm nguyên tử trong ô đơn vị , đặt là . Do đó ma trận tích phân chuyển đổi của Graphene hai lớp là một ma trận dạng 4x4 (2.2.1) Trong đó hàm liên kết mạnh được xác định : (2.2.2) (2.2.3) (2.2.4) (2.2.5) Ở đây, ta sử dụng kí hiệu theo phương pháp SWM [ 64, 67] mô tả gra-phit, lưu ý rằng những định nghĩa của các hàm được sử dụng bởi các tác giả khác nhau thì có thể khác nhau, cụ thể là với dấu. Khối vuông 2 x 2 phía trên bên trái và phía dưới bên phải của Hb mô tả các số hangj thuộc 1 lớp tổng quát của H trong Graphene đơn lớp trong phương trình , phương trình (2.2.1). Tuy nhiên đối với grapheme hai lớp ta sẽ đưa vào các tham số mô tả năng lượng tại các nútbao gồm các hàm mô tả những mức năng lượng bên trong єA1, єB1,єA2, єB2 trên 4 nút mà không tương đương trường hợp thông thường. 29 Bởi có 4 điểm nên sự khác nhau giữa chúng được mô tả qua 3 tham số: (2.2.6) (2.2.7) Trong đó: U= Ba hàm độc lập là U để mô tả sự bất đối xứng giữa 2 lớp AB là hiệu giữa 2 vị trí A và B ở mỗi lớp . ∆‟ khác không mô tả sự khác nhau về năng lượng giữa các nút Khối vuông 2 x 2 phía trên bên phải và phía dưới bên trái của Hb mô tả các SH bên trong.Hàm , mô tả sự liên kết giữa các cặp orbital ở 2 địa điểm B1 và A2. Bởi vì đấy là liên kết theo chiều dọc nên số hạng tương ứng của Hb ( ví dụ HA2, B1 = HB1, A2 = 3 mô ) không chứa f(k), các mô tả sự di chuyển trong mạng tinh thể. Hàm số 3 và 4 là “ đối xứng lệch”: tả sự di chuyển giữa các orbital non-dimer A1 và B2 và Chúng không theo đường thẳng nhưng liên quan đến một của mặt tinh thể đang di chuyển và mỗi nguyên tử trên mỗi lớp ( ví dụ: A1 với 3) có 3 nguyên tử liền kề gần nhất với khoảng cách bằng nhau ( ví dụ: B2 với 3) trên lớp kia. Thực tế, thành phần mạng tinh thể của sự di chuyển các tinh thể bên cạnh với một lớp đơn, được kí hiệu hàm 0. Do đó năng lượng hopping giữa các đối xứng lệch (ví dụ HA1 B2= - f*(k) chứa hệ số f(k). (2.2.8) Dưới đây ma trận tích phân đảo đối với grapheme đa lớp được viết: Theo dạng phản ánh Hb . Ở đây, ta chỉ bao gồm hai hàm So= A1/ ,)= A2/ B2) Mô tả S1= A2/ B1) tả của các orbital trên 2 Vị trí A1 và B2 3và 4 Theo nguyên lý, có thể trình bày các hàm cho thêm tương ứng với 30 nhưng nhìn chung, chúng thì rất nhỏ và không quan trọng. Thực tế xu hướng chung là bỏ qua ma trận tích phân đảo hoàn toàn, ví dụ thay thế So với một ma trận đơn vị vì ảnh hưởng của các hàm So và S1 lên các 1. orbital là rất nhỏ với năng lượng thấp Sau đó, phương trình giá trị riêng mở rộng (S) biến đổi thành phương trình giá trị riêng Hb4 =E4 với Homiltonian Hb. AB luôn luôn gắn liền với các Sự khác nhau về mức năng lượng giữa nhân tố bên ngoài như mạng, chất nền hay các chất kích thích. Do đó, có 5 hàm độc 1. 2. 3. 4 và ΄. Cấu trúc vùng năng lượng được dự đoán theo phương pháp gần lập trong phương trình Homiltonian (2.2.1) của Graphene đa lớp bên trong, lần lượt đúng liên kết mạnh được so sánh với những quan sát từ hiệu ứng quang điện ngoài và hiệu ứng Raman va hồng ngoại quang phổ học. Những vùng năng lượng có thể truyền qua ( the energy bards) được vẽ trong bảng theo trục Kx trong mạng đảo cắt các góc K-, K+ và tâm điểm của vùng Brillvuin. Các biểu đồ được thực hiện bằng việc sử dụng Hamiltonian Hb, phương 0= trình (2.2.1) với các giá trị hàm được xác định bởi hồng ngoại quang phổ học 3,16eV, 1= 0,381Ev, 3= 0,38eV, 4= 0,14eV, A1= B2= V= AB = 0 [80]. Có 4 vùng năng lượng bởi phương pháp này xem xét một orbital 2p2 trên mỗi một vị trí trong 4 vị trí nguyên tử ; một cặp của vùng dẫn và 1 cặp của vùng hóa trị. Trong hầu hết các vùng Brillouin, mỗi cặp được chia bởi năng lượng theo thứ tự 1 0,4eV . Gần các điểm K, một vùng dẫn và một vùng hóa trị được mạng đa lớp tách ra khỏi vùng năng lượng = 0 bởi vùng năng lượng theo trình tự dịch chuyển đa lớp 1, trong khi cả hai vùng chạm ở mức Vùng năng lượng thấp của graphene 2 lớp liên quan tới các quỹ đạo phát sinh từ các orbital 2p2 được vẽ theo dọc trục kx theo mạng đảo cắt các góc k-, k+ và trung điểm T của vùng Brillouin. Điểm nối cho thấy các vùng lân cận của điểm k+. Các 0 biểu đồ được thựa hiện = việc sử dụng Hamiltonium Hb, với các giá trị hàm: 1= 0,381Ev, 3= 0,38eV, 4= 0,14eV, A2= B1= A1= B2 = V = AB = 0 [80]. Các vùng được tách ra là 1 cặp liên kết và không liên =3,16 Ev, = 22eV và 31 kết phát sinh từ sự tương quan mạnh với các quỹ đạo ở các nút B1 và A2. Trong graphane 2 lớp mới, mức Fermi nằm tại các điểm nơi mà hai vùng năng lượng thấp chạm nhau và do đó vùng này có liên quan đến việc nghiên cứu về các đặc tính điện tử. Nó tập trung nghiên cứu các phần sau: Ở các vùng năng lượng thấp, hình dạng của các vùng được xác định theo phương pháp gần đúng liên kết mạnh (tight – binding) thì nhất quán so với khi được tính theo thyết hàm mật độ xác suất và có thể đạt được giá trị cho các hàm theo phương pháp gần đúng liên kết mạnh theo cách này. Phương pháp gần đúng liên kết mạnh Hamiltonian Hb, được sử dụng chung với các hàm được liệt kê trong các công thức (2.2.2) tới (2.2.5),và không chính xác so với toàn bộ vùng Brillouin bởi vì việc lắp các hàm theo phương pháp tight – binding thông thường được thực hiện trong các vùng lân cận của các góc trong vùng Brillouin K+ và K- ( Khi mức Fermi nằm gần vùng năng lượng bằng 0). Ví dụ, 0 – trong phương trình (2.2.2) mô tả non-orthogonality của các orbital lân cận đã được phản ánh tại đây nhưng cũng góp phần vào sự không đối xứng của các rổ điện tử( electron – hole) phổ biến gần điểm tại tâm của vùng Brillouin 2.3. Sự khác biệt giữa graphene đơn lớp và graphene hai lớp Graphene đơn lớp là một mạng tinh thể hai chiều dạng tổ ong có kích thước nguyên tử tạo thành từ các nguyên tử cacbon 6 cạnh. Mỗi nguyên tử cacbon liên kết với các nguyên tử xung quanh bằng liên kết cộng hóa trị rất chặt chẽ tạo ra màng mỏng có cấu trúc 2D gồm các nguyên tử cacbon xếp theo các ô lục giác rất bền vững. Lá graphene này chỉ dày 1 nguyên tử. Nó mang đặc tính của chất bán dẫn và kim loại. Sơ đồ cấu trúc vùng năng lượng của nó có độ rộng vùng cấm bằng 0. Đỉnh 32 vùng hóa trị và đáy vùng dẫn trùng nhau. Hình 2.2: Cấu trúc vùng năng lượng của graphene đơn lớp Graphene đơn lớp là một dạng tinh thể hai chiều của cacbon,có độ lưu động của electron phi thường và có đặc điểm kỳ lạ duy nhất khiến cho nó là vật liệu hứa hẹn đối với lĩnh vực điện tử và quang điện tử cỡ nano.Nhưng chúng có nhược điểm là không có khe vùng,làm hạn chế việc sử dụng graphene trong lĩnh vực điện tử.Vì không có khe vùng nên màng đơn lớp Graphene không được xem là chất bán dẫn.Nếu có khe vùng các nhà khoa học có thể tạo ra các transistor hiệu ứng trường bằng Graphene rất hiệu quả. Graphene hai lớp gồm 2 lá Graphene đơn xếp chồng lên nhau có chiều dày bằng kích thước 2 lớp nguyên tử. Khi xếp 2 lớp Graphene chồng lên nhau sẽ xảy ra 2 trường hợp: - Đối xứng: Các nguyên tử cacbon ở hai màng đối xứng nhau qua mặt phẳng 33 phân cách giữa hai lớp. Hình 2.3. (a) Cấu trúc vùng năng lượng của graphene hai lớp - Không đối xứng:Các nguyên tử cacbon ở hai màng không đối xứng nhau qua mặt phẳng phân cách giữa hai lớp. 34 Hình 2.3 (b): Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp không đối xứng. Lớp kép này là chất bán dẫn vùng cấm thẳng,khác với đơn lớp lớp kép có khe vùng năng lượng.Độ rộng khe năng lượng giữa vùng hóa trị và vùng dẫn có thể thay đổi một cách đơn giản bằng cách đặt một điện trường ngoài ở nhiệt độ phòng.Kết quả này do nhóm nghiên cứu của Antonio Castro(Đại học Boston –Hoa Kỳ) cùng các đồng nghiệp đưa ra. Khe vùng này có thể kiểm soát một cách chính xác từ 0 tới 250 mili-electron vôn. Dưới tác dụng của điện trường ngoài tạo ra một sự chênh lệch các điện tử mang điện tích âm ở một lớp và các lỗ trống mang điện tích dương ở lớp còn lại. Các điện tử và lỗ trống này cặp đôi với nhau, tạo ra một chuẩn hạt mà các hành vi của chúng khác hẳn so với từng hạt riêng lẻ. Một đặc tính riêng của các điện tử và lỗ trống trong Graphene là chúng có thể di chuyển trong vật liệu giống như là chúng, không có khối lượng nghỉ hay nói cách khác chúng tạo cho vật liệu độ dẫn tốt. Tuy nhiên các chuẩn hạt thì lại có năng lượng nghỉ, khối lượng này dẫn tới việc tạo ra khe năng lượng mà chúng phải vượt qua khi dòng điện có thể truyền qua. Ta có thể so sánh một số điểm cơ bản của graphene đơn lớp (single-layer) với graphene hai lớp ( bi-layer graphene ) như sau: 1) Cấu trúc tinh thể : Single-layer : đơn giản là chỉ có một lớp hình lục giác, có thể xem là sự lồng vào nhau của 2 mạng tam giác Bi-layer: gồm 2 single-layer xếp chồng lên nhau, lưu ý 2 lớp này lệch nhau chứ 2 lớp không phải là giống hệt nhau (một lớp đã được quay 1 góc 60 và tịnh tiến). 2) Cấu trúc vùng năng lượng: Điểm chung của cả 2 vật liệu này là đều là bán kim (tức là bán dẫn không có vùng cấm) vùng dẫn và vùng hóa trị tiếp túc nhau tại chỉ 1 điểm gọi là điểm Dirac. Cả 2 đều có tính chất đối xứng của band-structure: vùng dẫn và vùng hóa trị đối xứng với nhau qua đường E = 0. Single-layer: Hệ thức tán sắc là tuyến tính kiểu E =+- hbar * vF * sqrt(kx^2+ ky^2) Bi-layer: Hệ thức tán sắc là parabolic kiểu E =+- (hbar^2)/(2*m) (kx^2+ ky^2) Một điểm đặc biệt nữa của Bi-layer là có thể tạo được gap bằng cách đặt vào 35 điện thế giữa các lớp graphene. Hình 2.4.Sự xuất hiện khe vùng khi có điện trường ngoài trong lớp kép graphene. 3) Graphene đơn lớp có tính chirality, không có vùng cấm trong phổ năng lượng; graphene 2 lớp có tính chirality, có xuất hiện vùng cấm; cuối cùng là bán dẫn thường không có vùng cấm và không có tính chirality. Tính chirality giữa graphene đơn lớp và hai lớp cũng khác nhau vì có sự khác nhau về giả spin trong hai mẫu tương tự như sự khác nhau giữa hạt spin ½ và 1,do đó trong graphene đơn lớp có 2 mạng con còn graphene 2 lớp thì có 4 mạng con. 4) Ý nghĩa thực tiễn: Graphene đơn lớp không có khe vùng nên nó không được xem là chất bán dẫn , việc sử dụng graphene đơn lớp trong lĩnh vực điện tử bị hạn chế rất nhiều. Nhưng với graphene hai lớp khe vùng có thể thay đổi được nó được sử dụng để chế tạo ra các transistor, laser và các linh kiện khác với tính chất có thể điều 36 chỉnh cực kỳ dễ dàng, hơn rất nhiều so với các vật liệu bán dẫn như Si. Một chất bán dẫn với độ rộng vùng cấm điều chỉnh được bằng một hiệu điện thế từ bên ngoài có thể dẫn tới việc tạo ra một loạt các linh kiện điện tử kiểu mới, hay đáng kể nhất là các laser có bước sóng có thể điều chỉnh với một độ chính xác tuyệt vời. Chất bán dẫn graphene này có thể được sử dụng để tạo ra một loại transistor mới, hay các loại laser và các cảm biến phân tử mà ở đó cần sử dụng sự thay đổi độ rộng vùng cấm để điều chỉnh tính chất. Thuộc tính này khi được kết hợp với graphene có kích thước nhỏ, độ bền cơ học cao, độ dẫn điện, dẫn nhiệt tốt đã khiến cho nó trở 37 nên hết sức hấp dẫn để thay thế các chất bán dẫn kinh điển như Si. 3.1. Siêu mạng bán dẫn Khái quát về siêu mạng bán dẫn Ý tưởng đầu tiên về siêu mạng do Esaki và Tsu đưa ra năm 1970, bằng việc sử dụng công nghệ siêu mỏng, nhóm đã tạo ra được hệ cấu trúc gồm hai bờ thế, sau đó sắp xếp nhiều hệ trên theo một phương xác định tạo thành một cấu trúc mới được gọi là siêu mạng. Siêu mạng là một cấu trúc nhân tạo có tính chất tuần hoàn giống các cấu trúc mạng tinh thể.Tuy nhiên, độ rộng của bờ thế và hố thế tạo nên siêu mạng phải đủ mỏng để hiện tượng chui ngầm cộng hưởng có thể xảy ra. Từ tính chất tuần hoàn của vật liệu, định lý Bloch và các hệ quả của nó, ta có thể khảo sát các tính chất đặc trưng của vật liệu siêu mạng tương tự mạng tinh thể bình thường. Ưu thế của siêu mạng là khả năng tạo ra một số rất lớn cấu hình vật liệu mới với những tính chất dự đoán trước được, không bị giới hạn bởi nguồn vật liệu hữu hạn trong tự nhiên. Với hai loại vật liệu khác nhau, ta có thể chế tạo được siêu mạng bằng cách chồng hai lớp vật liệu này xen kẽ theo một quy tắc nào đó, mỗi cách sắp sếp cho ta cấu hình của một siêu mạng với tính chất xác định. Bài toán tìm vật liệu mới trở lên đơn giản và có triển vọng hơn, mà vấn đề tìm ra những vật liệu mới thay thế vật liệu thông thường là một yêu cầu quyết định đối với sự phát triển của công nghệ nano ngày nay. Ý tưởng về siêu mạng rất đơn giản, tuy nhiên việc chế tạo nó thì không dễ dàng. Điều kiện đầu tiên siêu mạng phải có chu kỳ mạng đủ nhỏ để các tính chất lượng tử thể hiện được. Điều này gắn với khả năng tạo ra vật liệu mới với bề dày 38 chính xác cỡ nanomet (nm), thậm chí angstrom ( ). Điều kiện thứ hai là sự tương thích giữa hai lớp vật liệu. Để có thể xếp chồng các lớp vật lên nhau thì chúng phải có cùng hằng số mạng,trong nhiều trường hợp thì phải có cùng cấu trúc tinh thể. Điều kiện này làm hạn chế rất nhiều khả năng tạo ra siêu mạng, nó là một thách thức rất lớn với nghành thực nghiệm. Vì trên thực tế hằng số mạng của hợp chất phụ thuộc rất nhiều vào điều kiện tạo mẫu. Một điều kiện quan trọng nữa là độ tinh khiết của vật liệu. Với những vật liệu khối, độ tinh khiết là một tiêu chí quan trọng, thì với siêu mạng tiêu chí này càng quan trọng hơn, chỉ một chút tạp chất hay sai lệch mạng có thể phá hủy tính tuần hoàn của siêu mạng. Do giới hạn kỹ thuật mà cho đến nay đa số cũng chỉ chế tạo được siêu mạng một chiều, tức là cấu trúc tuần hoàn theo một phương. Việc chế tạo các siêu mạng hai chiều và ba chiều là rất khó khăn mặc dù những tính chất 2D, 3D là rất hấp dẫn. Căn cứ vào thành phần cũng như cách chế tạo, người ta có thể chia siêu mạng làm hai loại: loại có chứa tạp chất (doping) và loại cấu trúc (compositional). Loại chứa tạp chất bao gồm các lớp bán dẫn n và p xen kẽ nhau của cùng một chất bán dẫn. Loại compositional bao gồm hai lớp xen kẽ của hai chất bán dẫn khác nhau. Thường thì hai chất bán dẫn này chỉ khác nhau rất ít về thành phần cấu tạo. Ngày nay, với sự phát triển vượt bậc của công nghệ nano, người ta đã chế tạo thành công các lớp vật liệu siêu mạng với độ chính xác cao. Một số tính chất nổi trội của siêu mạng bán dẫn được biết đến trong công nghệ chế tạo các linh kiện điện tử. Hiện tượng điện trở vi phân âm: trong vật dẫn thông thường, dòng điện là dòng chuyển rời có hướng của các hạt mang điện tích, thường là các electron dưới tác dụng của điện trường đặt vào 2 cực. Dọc theo quỹ đạo chuyển động, các electron thường xuyên bị cản trở bởi các ion và các tạp chất do va chạm, đó là lý do xuất hiện điện trở làm cho hệ mất năng lượng. Vì thế có thể giải thích điện trở vi phân âm là điện trở xuất hiện trong hệ khi có sự thăng giáng của đường đặc trưng I- 39 V (Voltage-Ampe) khi điện thế đặt vào tăng mạnh. Trong trường hợp này, năng lượng bằng cách nào đó lại được cung cấp cho các điện tử và làm cho chúng chuyển động nhanh hơn (Hình 2.1). Tỷ số đỉnh và đáy của đường đặc trưng I-V cho biết vi phân âm xảy ra mạnh hay yếu. Một trong những ứng dụng tiêu biểu của hiện tượng điện trở vi phân âm là Diode Esaki được sử dụng rộng rãi trong các mạch điện. Ngoài ra điện trở vi phân âm có thể được khai thác để làm ra các nguồn phát bức xạ terahezt. Hiện tượng dao động Bloch Hiện tượng này được Bloch và Zener dự đoán năm 1928.Trong tinh thể tuần hoàn hệ thức tán sắc đặc trưng bởi vector sóng Bloch và các trạng thái năng lượng tương ứng gọi là trạng thái Bloch. Nếu đặt thêm vào hệ một điện trường đều thì một cách đơn giản có thể xem như vector sóng Bloch khi đó phụ thuộc thời gian. Ta thấy electron dao động tuần hoàn trong cả không gian xung lượng và không gian thực. Hạt sẽ được gia tốc, vận tốc hạt sẽ tăng cho đến khi nó tới biên vùng Brillouin (the Brillouin band edge). Hiện tượng vận tốc đạt giá trị 0 tại biên vùng, sau đó đổi dấu gọi là dao động Bloch (Bloch oscillation). Hiện tượng này chỉ quan sát được trong siêu mạng. Ngoài ra người ta còn thấy một hiện tượng lý thú khác đó là sự mở rộng của khe năng lượng tại biên vùng Brillouin (mini Brillouin zone boundary). Trong nghiên cứu các tính chất của siêu mạng bán dẫn, phương pháp T-ma trận tỏ ra rất đơn giản và hiệu quả. 3.2. Phƣơng pháp T-ma trận Trong các bài toán về truyền dẫn, nhiệm vụ quan trọng nhất của chúng ta là khảo sát hệ số truyền. Từ hệ số truyền có thể tính được các đại lượng khác đặc trưng cho hệ như độ dẫn,đặc trưng Volt-Ampe hay shot noise...Trong mục này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp T-ma trận [8] để tính sấp xỉ hệ số truyền qua một bờ thế. Xét trường hợp electron chuyển động trong một thế có dạng bất kỳ, chỉ phụ thuộc vào tọa độ X. Một cách gần đúng có thể chia ra thành N+1 đoạn không đổi từ 0 đến N ngăn cách nhau bởi N bước nhảy từ 1 đến N, thế tương ứng trên đoạn thứ n ký hiệu là Un, tọa độ các bước nhảy là dn. Phép chia N càng lớn thì gần đúng trên 40 càng chính xác. Đặt điều kiện liên tục cho hàm sóng ở vùng biên giữa đoạn thế không đổi thứ n-1 và thứ n. Ta có: (3.2.1) Hay viết lại dưới dạng ma trận: (3.2.2) (3.2.3) từ đó suy ra: (3.2.4) Đặt Như vậy T(n,n-1) là ma trận biên độ của sóng truyền theo hai chiều của xung lượng trên hai miền là n-1 và n. Ma trận liên hệ biên độ giữa miền 0 và miền N có thể tính được bằng cách nhân các ma trận giữa các miền liên tiếp nhau theo thứ tự từ phải sang trái: (3.2.5) Mặc dù nói rằng tính toán trên có thể áp dụng cho bờ thế có hình dạng bất kỳ. Tuy nhiên thực tế do có liên quan đến sự ổn định và tính hội tụ của nghiệm nên trong tính toán người ta chỉ xét những trường hợp đơn giản là thế với các bờ vuông góc và thế hình thang với thành nghiêng tuyến tính. Trong luận văn này tôi chỉ xét trường hợp các bờ thế là vuông góc. Cuối cùng dựa trên T-ma trận, chúng ta rút ra biểu thức cho hệ số truyền qua rào thế của electron. Không giống như trong trường hợp cổ điển, trong graphene chiều của mật độ 41 dòng xác suất của hạt tải tương quan với chiều xung lượng phụ thuộc vào dấu của năng lượng. Tùy vào dấu của năng lượng mà nó sẽ quyết định hạt tải ở đây là lỗ trống hay electron. Ở đây chúng ta phân biệt 4 trường hợp tương ứng là sự tới và ra của electron hoặc lỗ trống. Sự phụ thuộc này được khảo sát thông qua và a) Giả sử hạt đi tới bờ thế là electron (t1>0), khi đó tùy theo hạt tải ở miền ra là electron hay lỗ trống mà chúng ta chỉ có 2 công thức để tính hệ số truyền như sau: 1. Trường hợp 1: t2>0 thì hạt tải trong miền này là electron, khi đó tương tự như bán dẫn thường: A1= 1,B1= r,A2= t,B2= 0. Ta có: T cũng có: và hệ số truyền qua là: (3.2.6) 2. Trường hợp 2: t2<0 thì hạt tải trong miền này là lỗ trống, khi đó để tính hệ số truyền qua ta đặt: A1=1,B1= r , A2 = 0, B2 =t. Ta có : Giải ra ta dễ dàng có : r =-T11/T12 và hệ số truyến qua là (3.2.7) b) Giả sử hạt đi tới bờ thế là lỗ trống (hole) (t1<0 ),tương tự khi đó tùy theo hạt tải ở miền ra là electron hay lỗ trống ta có các công thức khác nhau cho hệ số truyền qua. 1. Trường hợp 1 : t2>0 thì hạt tải trong miền này là electron, khi đó ta có : A1 =r ,B1 =1, A2=t ,B2= 0.Ta có : 42 Giải ra ta dễ dàng có : r =-T22/T21 và hệ số truyến qua là: (3.2.8) 2. Trường hợp 2: t2<0 thì hạt tải trong miền này là lỗ trống,khi đó để tính hệ số truyền qua ta đặt: A1=r,B1= 1 , A2 = 0, B2 =t. Ta có : Giải ra ta dễ dàng có : r =-T12/T11 và hệ số truyến qua là : (3.2.9) Do đó, khi tính hệ số truyền qua từ các yếu tố của T- ma trận, chúng ta phải khảo sát xem hạt tải điện trong đó là electron hay lỗ trống để sử dụng công thức cho hợp lý. Trên đây chúng ta đã khảo sát phương pháp T ma trận để áp dụng cho các hệ Graphene trong các trường hợp cụ thể. Thực ra đây là một phương pháp đơn giản đã được sử dụng nhiều trong các bài toán Schrodinger. Điểm khác biệt ở đây chỉ là chỗ ta giải phương trình tựa Dirac để tìm hàm sóng thay cho phương trình schrodinger. Một điều chú ý nữa là trong các bài toán Schrodinger thì yêu cầu sự liên tục của cả hàm sóng và đạo hàm bậc nhất của nó, còn đối với electron Dirac thì hai thành phần của spinor của hàm sóng phải là liên tục, ngược lại đạo hàm bậc nhất của nó là không liên tục. Điều này không có gì là kỳ lạ vì yêu cầu thực sự là sự liên tục của hàm sóng đầy đủ tức là tích của hàm “vỏ” và hàm “lõi”. 3.3. Siêu mạng Graphene hai lớp Mô hình được sử dụng trong siêu mạng Graphene được mô tả trên hình 43 vẽ sau : Hình 3.1. Mô hình thế điện Kronig- Penney cho graphene hai lớp Sơ đồ trên cho thấy quang phổ electron là kết quả từ thế tuần hoàn nó có thể đạt được bằng các kết quả của các trạng thái giả spinor và áp dụng điều kiện liên tục với hàm số sóng tại các mức điện thế. Trong các bờ thế và trong các hố thế kết quả được áp dụng với các điện thế không đổi , các hàm số sóng trong hai vùng . Với điện thế tuần hoàn,lý thuyết Bloch 44 được áp dụng với chu kỳ tuần hoàn l=a+b .Suy ra Thu được : Viết các hệ số ma trận trong vùng bờ thế là A1 và trong vùng của hố thế là A2 và áp dụng điều kiện cần ở trên ta thu được: G1A1=G2A2 G1A1(-a)A1=G2M2(b) Ta có thể viết lại thành Cho =0 det Ta tìm được nghiệm bằng phương pháp Niuton,tìm được hệ thức tán sắc. Thu được : Viết các hệ số ma trận trong vùng dào cản là A1 và trong vùng của giếng thế là A2 và áp dụng điều kiện cần ở trên ta thu được: G1A1=G2A2 45 G1A1(-a)A1=G2M2(b) Hình 3.2. Hệ thức tán sắc với 3 siêu mạng khác nhau cho ta thấy mối liên hệ giữa E với kx, ky Bây giờ chúng ta sẽ đi biểu diễn hệ thức tán sắc với kx, ky cho 3 siêu mạng khác nhau. Trong siêu mạng (1) Năng lượng giới hạn cao 50 meV và đáy sâu -50meV Trong siêu mạng (2) Năng lượng giới hạn lệch một khoảng 𝚫=50 meV và đáy không lệch 𝚫=0. Trong siêu mạng (3) Năng lượng giới hạn lệch một khoảng 𝚫=50 meV và đáy lệch 46 𝚫=25meV Cột trái năng lượng với kx,ky cho a=b=0 nm và t= 390 meV. Dòng năng lượng tiếp tục phụ thuộc vào các dòng nhỏ thấp hơn được chiếu theo mặt tinh thể (kx,ky) Cột giữa (a) kx lien tục bằng 0 (đường cong màu đỏ tía) và kx=π/l đường cong xanh lá cây gạch ngang (b) ky lien tục bằng 0 (đường cong màu đỏ liền) và k y=0.2 nm (đường cong gạch xanh) Chỉ một nửa vùng Brillouin được nhìn rõ Cột phủ DOS cho siêu mạng tương ứng. Đối với siêu mạng không lệch (1) ta trình bày DOS chỗ màu đỏ cho một siêu mạng với các hàm giống nhau trên một Graphene đơn lớp. Đường cong liền cho thấy DOS 2 LỚP với sự xuất hiện của điện thế siêu mạng. 3.4. Cấu trúc vùng năng lƣợng của siêu mạng Graphene hai lớp 3.4.1. Mô hình thế điện dạng Kronig- Penney. Mô hình nghiên cứu là đơn lớp Graphene trong thế tĩnh điện tuần hoàn với thế dạng Kronig – Penney được mô tả trên Hình 3.3. Ma trận truyền qua hệ được tính bằng cách nhân ma trận truyền qua các bờ thế theo thứ tự từ phải sang trái. Mô hình này có thể được biểu diễn như Hình 3.3 sau khi chọn gốc tọa độ. Hình 3.3. Mô hình siêu mạng điện (a). Giản đồ minh họa phổ của giả hạt trong các miền khác nhau 47 (b). Mô hình thế tĩnh điện dạng Kronig- Penney Ma trận qua toàn hệ được tính theo công thức: (3.4.10) Với Ta thu được hệ thức tán sắc: (3.4.11) Trong đó : + là độ rộng chu kỳ tuần hoàn + là thành phần vector sóng theo phương y + là năng lượng tới trong đơn vị Hệ thức (3.2) cho thấy rằng mối liên hệ E-k phụ thuộc vào sự thay đổi của các tham số như vecto sóng k,độ lớn thế đặt vào .Trong trường hợp ⏀𝑤 = −⏀𝑏 = −⏀thu được những kết quả trình bày như hình vẽ: Hình 3.4. Cấu trúc vùng của siêu mạng điện Graphene trong không gian 3D với và( e) ( : chỉ xuất hiện một điểm Dirac giống như (a) Graphene tinh khiết. và (d) ( : xuất hiện hai điểm Dirac phụ nằm đối (b) 48 xứng hai bên điểm Dirac chính theo phương Ф Mối liên hệ được biểu diễn ở (c) và (f): các tham số như ở (a), (b), (d), (e). 2𝜋 Số điểm Dirac thay đổi theo qui luật 1,3,5,…,2N+1. Với N= phụ thuộc vào 𝑑𝑏
𝑑𝑤 hoặc tỉ số . Hành vi của điện tử ở lân cận điểm Dirac được khảo sát rõ hơn ở vận tốc nhóm.Hệ thức tán sắc có thể viết dưới dạng 𝑓 𝐸, 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 = 0 ,từ đây vận tốc nhóm theo phương k được tính bằng công thức : 𝑣𝑘 = 𝑣𝑥 cos 𝜃 + 𝑣𝑦 sin 𝜃 Trong đó: 𝜕𝑓
𝜕 𝑘𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝐸 là vận tốc thành phần theo phương x 𝑣𝑥 = − 𝜕𝑓
𝜕 𝑘𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝐸 là vận tốc thành phần theo phương y 𝑣𝑦 = − Một kết quả rất thú vị là vận tốc nhóm tại lân cận điểm Dirac trong siêu mạng điện thì bất đẳng hướng rất mạnh (𝑣𝑥 ≠ 𝑣𝑦 ). Vận tốc nhóm đạt giá trị cực đại
=𝑣𝑓 khi góc tới bằng 00, 1800, 3600,cực tiểu khi góc tới bằng 900, 2700. Sự bất đẳng hướng còn phụ thuộc vào độ lớn của thế điện đặt vàoễ=18 (đường gạch xanh) thì sự thăng giáng của vận tốc nhóm mạnh hơn so với ễ=4 (đường chấm gạch ). Các kết quả trên được biểu diễn trên hình 3.4 ở đây độ lớn thế điện được tính 𝑣𝑓
𝑑 49 trong đơn vị Hình 3.5. Vận tốc nhóm phụ thuộc vào góc tới trong trường hợp độ lớn tĩnh điện đặt vào là khác nhau: (đường chấm gạch), (đường liền đỏ), (đường gạch xanh) 3.4.2. Kết quả và thảo luận *) TÝnh cÊu tróc vïng n¨ng l îng cña siªu m¹ng Graphene Năng lượng E của trạng thái điện tử là trị riêng của hàm Hamilton H: Trong đó: (3.4.12) : là toán tử mô men xung lượng. : là mô men xung lượng. : là vận tốc Fermi. : là điện thế của lớp 1 và 2. 50 : mô tả sự liên kết giữa các lớp. Hàm sóng của grapheme trong gần đúng liên kết mạnh được viết dưới dạng: (3.4.13) Từ (3.4.2.1), (3.4.2.2) giải phương trình Schrodinger 𝐻𝛹 = 𝐸𝛹. Nhân hàng 1 của phương trình (3.4.2.1)với cột 1 của (3.4.2.2) ta lần lượt được 4 phương trình sau: *) Phương trình 1: Thay 𝜋 = 𝜈𝐹(𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦 ),𝑝𝑥,𝑦 = −𝑖ℏ𝜕𝑥,𝑦 ta có: 𝜋 𝑒𝑖𝑘𝑥 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 = −𝑖ℏ 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 + 𝑖 𝜈𝐹. 𝜋. 𝐵. 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 + 𝑡⊥. 𝐵′ 𝑒𝑖𝑘𝑥 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 = 𝐸. 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 (3.4.14)
𝜕
𝜕𝑥 𝜕
𝜕𝑦 = −𝑖ℏ 𝑖𝑘 + 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 Từ đó ta suy ra được: −𝑖ℏ 𝑖𝑘 + 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 . 𝜈𝐹. 𝐵 + 𝑡⊥. 𝐵′ = 𝐸. 𝐴(3.4.2.4) *) Phương trình 2 : 𝜈𝐹. 𝜋 +. 𝐴. 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 = 𝐸. 𝐵. 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 Trong đó: 𝜋 +. 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 = −𝑖ℏ − 𝑖 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 𝜕
𝜕𝑥 𝜕
𝜕𝑦 =−𝑖ℏ 𝑖𝑘 − 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 Từ đó ta suy ra được: −𝑖ℏ 𝑖𝑘 − 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 . 𝜈𝐹. 𝐴 = 𝐸. 𝐵 (3.4.2.5) Phương trình 𝑖𝑘 −𝑖.𝑖.𝑘𝑦
𝐸 (3.4.15) Từ phương trình (3.4.2.5) ta rút được 𝐵 = 𝐴. ℏ. 𝜈𝐹 Thay (3.2.4.5) vào phương trình (3.4.2.3) ta có: 51 ℏ. 𝜈𝐹 2 + 𝑡⊥. 𝐵′ = 𝐸. 𝐴 −𝑖 𝑖𝑘 + 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 (−𝑖) 𝑖𝑘 − 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦
𝐸 2
ℏ.𝜈𝐹 2 𝑘 2+𝑘𝑦
𝐸 → 𝐴 − 𝐸 + 𝑡⊥. 𝐵′ = 0 (3.4.16) *) Phương trình 3 : 𝑡⊥. 𝐴. 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 + 𝜈𝐹. 𝜋 +. 𝐴′ . 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 = 𝐸. 𝐵′ . 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 𝜋 +. 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 = −𝑖ℏ 𝑖𝑘 − 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 (3.4.17) → 𝑡⊥. 𝐴 − 𝑖ℏ 𝑖𝑘 − 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 𝜈𝐹. 𝐴′ = 𝐸. 𝐵′ *) Phương trình 4: 𝜈𝐹. 𝜋. 𝐵′ . 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 = 𝐸. 𝐴′. 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 ′ 𝜋. 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 = −𝑖ℏ 𝑖𝑘 + 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 (3.4.18) →−𝑖ℏ 𝑖𝑘 + 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 𝜈𝐹. 𝐵′ = 𝐸. 𝐴′ −𝑖 𝑖𝑘 +𝑖.𝑖.𝑘𝑦
𝐸 Từ phương trình 4 ta rút ra được 𝐴′ = 𝐵′ . ℏ. 𝜈𝐹. Thay vào phương trình 3 𝐸 . 𝐵′ = 𝐸. 𝐵′ (3.4.19) − 𝐸 = 0 → 𝐴 . 𝑡⊥ + 𝐵′ → 𝑡⊥. 𝐴 + ℏ. 𝜈𝐹 2 −𝑖 𝑖𝑘 −𝑖.𝑖.𝑘𝑦 −𝑖 𝑖𝑘 +𝑖.𝑖.𝑘𝑦
2
ℏ.𝜈𝐹 2 𝑘 2+𝑘𝑦
𝐸 (3.2.4.6) và (3.2.4.9) có thể viết gộp lại thành = 𝐴
𝐵′ 0
0 𝑡⊥ 𝑋
𝑋 𝑡⊥ 2
ℏ.𝜈𝐹 2 𝑘 2+𝑘𝑦
𝐸 Với 𝑋 = − 𝐸 Phương trình trên có nghiệm không tầm thường khi 2 = 0 𝑑𝑒𝑡 = 0 𝑡⊥ 𝑋
𝑋 𝑡⊥ ↔ 𝑋2 − 𝑡⊥ 2 = 0 𝑋 = 𝑡⊥ 52 →𝐸2 + 𝐸. 𝑡⊥ − ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦 2 2 − 4 ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦 𝚫= 𝑡⊥ 2 − 4 ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦
2 −𝑡⊥ ± 𝑡⊥ 𝐸 = 2 2 = 0 𝑋 = −𝑡⊥ 2 →𝐸2 − 𝐸. 𝑡⊥ − ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦 2 − 4 ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦 𝚫= 𝑡⊥ 2 − 4 ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦
2 𝑡⊥ ± 𝑡⊥ 𝐸 = 2 Với cách giải tương tự như phần tôi vừa trình bày ở trên. Giờ ta sẽ đi tìm mối liên hệ giữa E với k, ky .Từ hàm Hamilton (3.4.20) Hàm sóng (3.4.21) 𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 . Từ hàm Hamilton của phương trình (1) với hàm sóng ở phương trình (2) ta thu được phương trình : (3.4.22) 𝐻𝛹 = 𝐸𝛹 Giải phương trình (3.4.12) ta sẽ thu được mối liên hệ giữa E với k, ky. Với các giả thiết sau: 𝑉1 = 𝑉2 = 0
𝛹𝐴 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦
𝛹𝐵 = 𝐵𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦
𝛹𝐵′ = 𝐵′𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦
𝛹𝐴′ = 𝐴′𝑒𝑖𝑘𝑥 . 𝑒𝑖𝑘𝑦 𝑦 53 Từ (3.4.11) và(3.4.12) ta được hệ 4 phương trình như sau : ) 𝑉1. 𝐴 − 𝑖ђ 𝑖𝑘 + 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 . 𝑦 . 𝐵. ѵ𝐹 + 𝑡⏊. 𝐵′ = 𝐸. 𝐴(3.2.4.13) ) Ѵ𝐹 −𝑖ђ 𝑖𝑘 − 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 . 𝑦 . 𝐴 + 𝑉1. 𝐵 = 𝐸. 𝐵 (3.4.23) ) 𝑡⏊. 𝐴 + 𝑉1. 𝐵′ + ѵ𝐹 −𝑖ђ 𝑖𝑘 − 𝑖2. 𝑘𝑦 . 𝑦 . 𝐴′ = 𝐸. 𝐵′ (3.4.15) ) − 𝑖ђ 𝑖𝑘 + 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 . 𝑦 . 𝐵′ . ѵ𝐹 + 𝑉2. 𝐴′ = 𝐸. 𝐴′ (3.4.16) Tõ ph ¬ng tr×nh (3.4.14) ta suy ra ® îc: 𝐵 = −𝑖ђ ѵ𝐹. (𝑖𝑘 − 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 . 𝑦) 𝐴
𝐸 − 𝑉 2 𝑖𝑘 − 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 . 𝑦 . Thay (3.4.14) vµo (3.4.13), ta có: 2 . + 𝑡⏊. 𝐵′ = 𝐸. 𝐴 𝑉1. 𝐴 − 𝑖ђ 𝑖𝑘 + 𝑖. 𝑖. 𝑘𝑦 . 𝑦 . −𝑖ђ ѵ𝐹 𝐴
𝐸 − 𝑉 2 . 𝑉1. 𝐴 + ђѵ𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦 + 𝑡⏊. 𝐵′ = 𝐸. 𝐴 𝐴
𝐸 − 𝑉 𝐴 ђѵ𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦 + 𝑡⏊. 𝐵′ = 𝐸. 𝐴 𝐴
𝐸 − 𝑉 2 − 𝐸 − 𝑉 + 𝑡⏊. 𝐵′ = 0 (3.4.24) 𝐸−𝑉 Thay (3.4.12) vào (3.4.16) , suy ra: Thay (3.4.12) vào (3.4.15): (3.4.25) Ta có thể viết gộp: 54 (ђѵ𝐹)2 𝑘2 + 𝑘𝑦 với Phương trình trên có nghiệm không tầm thường khi: *) Nhìn vào các kết quả tính toán ở trên ta thấy được mối quan hệ giữa E,kx, ky . Nhờ vào mối liên hệ này chúng ta có thể vẽ được đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của E theo kx, ky. 55 Trong luận văn này chúng tôi đã nghiên cứu những vấn đề sau: 1. Trình bày tổng quan ngắn gọn về các tính chất điện tử của Graphene đơn lớp, các dạng cấu trúc khác nhau của Graphene và các ứng dụng của Graphene. 2. So sánh sự khác nhau cơ bản giữa Graphene đơn lớp và hai lớp đó là ở Graphene hai lớp độ rộng vùng cấm có thể thay đổi. Điều này làm cho Graphene hai lớp trở thành vật liệu hữu ích chế tạo được các transistor hay các cảm biến phân tử. Ta có thể so sánh một số điểm cơ bản của graphene đơn lớp (single-layer) với graphene hai lớp ( bi-layer graphene ) như sau: 1) Cấu trúc tinh thể : Single-layer : đơn giản là chỉ có một lớp hình lục giác, có thể xem là sự lồng vào nhau của 2 mạng tam giác Bi-layer: gồm 2 single-layer xếp chồng lên nhau, lưu ý 2 lớp này lệch nhau chứ 2 lớp không phải là giống hệt nhau (một lớp đã được quay 1 góc 60 và tịnh tiến). 2) Cấu trúc vùng năng lượng: Điểm chung của cả 2 vật liệu này là đều là bán kim (tức là bán dẫn không có vùng cấm) vùng dẫn và vùng hóa trị tiếp túc nhau tại chỉ 1 điểm gọi là điểm Dirac. Cả 2 đều có tính chất đối xứng của band-structure: vùng dẫn và vùng hóa trị đối xứng với nhau qua đường E = 0. Single-layer: Hệ thức tán sắc là tuyến tính kiểu E =+- hbar * vF * sqrt(kx^2+ ky^2) Bi-layer: Hệ thức tán sắc là parabolic kiểu E =+- (hbar^2)/(2*m) (kx^2+ ky^2) Một điểm đặc biệt nữa của Bi-layer là có thể tạo được gap bằng cách đặt vào điện thế giữa các lớp graphene. 3. Tìm hiểu về siêu mạng : siêu mạng bán dẫn, một lớp, hai lớp với các loại thế điện 56 từ khác nhau 4. Học cách tính toán cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene sử dụng phương pháp tight- binding kết hợp phương pháp ab-initio. Hình 3.4. Cấu trúc vùng của siêu mạng điện Graphene trong không gian 3D với và( e) ( : chỉ xuất hiện một điểm Dirac giống như (a) Graphene tinh khiết. (b) và (d) ( : xuất hiện hai điểm Dirac phụ nằm đối xứng hai bên điểm Dirac chính theo phương
- Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp trong trường hợp chưa có điện trường ngoài, khi này Graphene vẫn là một bán kim loại. Ta thu được hai trường hợp: 2 = 0 𝑋 = 𝑡⊥ 2 →𝐸2 + 𝐸. 𝑡⊥ − ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦 2 − 4 ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦 𝚫= 𝑡⊥ 2 − 4 ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦
2 −𝑡⊥ ± 𝑡⊥ 𝐸 = 2 2 = 0 𝑋 = −𝑡⊥ 2 →𝐸2 − 𝐸. 𝑡⊥ − ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦 2 − 4 ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦 𝚫= 𝑡⊥ 2 − 4 ℏ. 𝜈𝐹 2 𝑘2 + 𝑘𝑦
2 57 𝑡⊥ ± 𝑡⊥ 𝐸 = 2 Từ biểu thức trên ta rú ra được cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp bao gồm 4 vùng, 2 vùng tiếp xúc nhau tại mức Fecmi, hai vùng không tiếp xúc nhau tại mức Fecmi. Kết quả nhận được phù hợp với các tác giả khác. Điều này tạo cơ sở để chúng tôi tiếp 58 tục nghiên cứu sau này. Tài liệu tiếng Việt 1. Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Đỗ Quốc Hùng, Lê Tuấn (2011), Lý thuyết bán dẫn hiện đại , Nxb. Đại học Quốc Gia, Hà Nội. 2. Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2010), Vật lý bán dẫn thấp chiều, Nxb Đại học Quốc Gia, Hà Nội. 3. Nguyễn Hải Châu (2008), “Trạng thái giả liên kết trong graphene”, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại học Khoa học – Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội. 4. Nguyễn Văn Hùng (2009), Lý thuyết chất rắn, Nxb Đại học Quốc Gia, Hà Nội. 5. Lê Văn Qui (2012), “Dirac Fermion trong siêu mạng từ graphene với thế dạng Kronig- Penney”, Luận văn thạc sỹ khoa học Vật Lý, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tài liệu tiếng anh 6. Bai J., Zhong X., Jiang S., Huang Y. and Duan X. (2010), “Graphene 7. nanomesh”, Nature Nanotechnology, 5, pp. 190–194. 8. C. Huy Pham, T. Thuong Nguyen, and V. Lien Nguyen (2014), “Electronic band structure of magnetic bilayer graphene superlattices”, Journal of applied physics, 116, 123707. 9. Castro Neto A. H., Guinea F., Peres N. M. R., Novoselov K. S. and Geim A. K. (2009), “The electronic properties of graphene”, Rev. Mod. Phys. 10. 81, pp. 109. 6. E. McCann and Mikito Koshino (2013), “The electronic properties of bilayer graphene”, Rep. Prog. Phys. 76 056503. 11. E. McCann, D.S.L. Abergel, and V.I. Fal‟ko (2007), “The low energy electronic band structure of bilayer graphene”, Eur. Phys. J. Special Topics 148, 91-103. 12. E. McCann and Mikito Koshino (2013), “ The electric properties of bilayer graphene”, Rep. Prog. Phys. 76 056503. 13. Datta S. (1995), Electronic Transport in Mesoscopic Systems, Cam- 59 bridge University Press, Cambridge, UK. 14. Do V. N., Nguyen V. H., Dollfus D. and Bournel A. (2008), “Elec- tronic transport and spin-polarization effects of relativisticlike particles in mesoscopic graphene structures”, J. Appl. Phys., 104, pp. 063708. 15. Do V. N. and Dollfus P. (2009), “Effects of charged impurities and lat- tice defects on transport properties of nanoscale graphene structures”, J. Appl. Phys., 106, pp. 023719. 16. Do V. N. and Pham T. H. (2010), “Graphene and its one-dimensional patterns: from basic properties towards applications”, Adv. Nat. Sci.: Nanosci. Nanotechnol., 1, pp. 033001. 17. Evaldsson M., Zozoulenko I. V., Xu H. and Heinzel T. (2008), “Edge- disorder-induced Anderson localization and conduction gap in graphene nanoribbons”, Physics Review B, 78, pp. 161407. 18. Han M. Y., Ozyilmaz B., Zhang Y. and Kim P. (2007), “Energy Band- Gap Engineering of Graphene Nanoribbons”, Phys. Rev. Lett., 98, pp. 206805. 19. Iijima S. (1991), “Helical microtubules of graphitic carbon”, Nature, 354, pp. 56. 20. Katsnelson M. I., Novoselov K. S. and Geim A. K. (2006), “Chiral tun- nelling and the Klein paradox in graphene”, Nat. Phys., 2, pp. 620. 21. Kroto H. W., Heath J. R., O‟Brien S. C., Curl R. F. and Smalley R. E. (1985), “C60: Buckminsterfullerene”, Nature, 318, pp. 162–163. 22. Liang X. et al. (2010), “Formation of bandgap and subbands in graphene nanomeshes with sub-10 nm ribbon width fabricated via nanoimprint lithography”, Nano Lett., 10, pp. 2454. 23. Liu W., Wang Z. F., Shi Q. W., Yang J. and Liu F. (2009), “Band- gap scaling of graphene nanohole superlattices”, Phys. Rev. B, 80, pp. 233405. 24. Mazzamuto F. et al. (2011), “Enhanced thermoelectric properties in graphene nanoribbons by resonant tunneling of electrons”, Phys. Rev. 60 B, 83, pp. 235426. 25. Mucciolo E. R., Neto A. H. C. and Lewenkopf C. H. (2009), “Conduc- tance quantization and transport gaps in disordered graphene nanorib- bons”, Phys. Rev. B, 79, pp. 075407. 26. Nguyen V. H., Mazzamuto F., Saint-Martin J., Bournel A. and Dollfus P. (2011), “Giant effect of negative differential conductance in graphene nanoribbon p-n hetero-junctions”, Appl. Phys. Lett., 99, pp. 042105. 27. Nguyen V. H. (2010), Electronic transport and spin polarization effects in graphene nanostructures, Ph.D thesis, Université Paris Sud. 28. Nguyen V. H., Mazzamuto F., Saint-Martin J., Bournel A. and Dollfus P. (2012), “Graphene nanomesh-based devices exhibiting a strong neg- ative differential conductance effect”, Nanotechnology, 23, pp. 065201. 29. Novoselov K. S. et al. (2005), “Two-dimensional gas of massless Dirac 61 fermions in graphene”, Nature, 438, pp. 197.CHƢƠNG 2.
CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA GRAPHENEHAI LỚP
2.1. Cấu trúc tinh thể
CHƢƠNG 3.
CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU MẠNG
GRAPHENE HAI LỚP: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
