Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học khái niệm hàm số với phần mềm Cabri II Plus - Nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng khái niệm hàm số

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:113

Thêm vào BST

Báo xấu

166
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học khái niệm hàm số với phần mềm Cabri II Plus - Nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng khái niệm hàm số nêu lên sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong lịch sử hình thành và phát triển khái niệm hàm số; khái niệm hàm số và sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong chương trình và SGK phổ thông và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học khái niệm hàm số với phần mềm Cabri II Plus - Nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng khái niệm hàm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Ngọc Sương DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ VỚI PHẦN MỀM CABRI II PLUS: NGHIÊN CỨU SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN NHƯ GIAI ĐOẠN ĐẦU TIÊN CỦA VIỆC XÂY DỰNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Ngọc Sương DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ VỚI PHẦN MỀM CABRI II PLUS: NGHIÊN CỨU SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN NHƯ GIAI ĐOẠN ĐẦU TIÊN CỦA VIỆC XÂY DỰNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ NGA Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. 1
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Thị Nga, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Sau, tôi xin gửi lời cảm ơn đến: Phó Giáo sư – Tiến sĩ Lê Văn Tiến, Phó Giáo sư – Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh, Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung và Tiến sĩ Vũ Như Thư Hương vì những bài giảng về didactic Toán sinh động, cụ thể và đầy ý nghĩa. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến: Ban Giám hiệu, các thầy cô và các em học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Huân – Tp.HCM đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Các bạn và các anh chị cùng khóa học cao học 22 chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học Toán vì những sẻ chia trong học tập. Gia đình tôi vì những lời động viên và những điều kiện cho tôi hoàn thành tốt khóa học. Nguyễn Thị Ngọc Sương 2
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1 LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 2 MỤC LỤC .................................................................................................................... 3 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................ 5 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 6 1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát ......................................................................... 6 2. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................................... 10 3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu ................................................... 10 4. Cấu trúc của luận văn .................................................................................................. 11 CHƯƠNG 1: SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TRONG LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM HÀM SỐ ........................... 13 1.1. Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số....................................................... 13 1.2. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm ..... 16 số. 16 1.2.1. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong các giai đoạn phát triển khái niệm hàm số ............................................................................................................................. 16 1.2.2. Quan niệm động và quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số.................................. 17 1.3. Các hệ thống biểu đạt của hàm số và đặc trưng đồng biến thiên của hai đại lượng. ................................................................................................................................. 18 CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK PHỔ THÔNG .................. 21 2.1. Ở Việt Nam ................................................................................................................. 21 2.1.1. Giai đoạn trước năm lớp 7 .................................................................................... 21 2.1.2. Lớp 7..................................................................................................................... 23 2.1.3. Lớp 9..................................................................................................................... 31 2.1.4. Lớp 10................................................................................................................... 37 2.1.5. Kết luận ................................................................................................................ 40 2.2. Ở Mỹ ........................................................................................................................... 41 2.2.1. Phần lý thuyết ....................................................................................................... 41 2.2.2. Phần bài tập .......................................................................................................... 47 2.3. So sánh cách đưa vào khái niệm hàm số ở Việt Nam và Mỹ ................................. 50 2.3.1. Giống nhau ........................................................................................................... 50 2.3.2. Khác nhau ............................................................................................................. 50 CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................... 53 3
3.1. Các lựa chọn của đồ án dạy học ............................................................................... 53 3.1.1. Sự đồng biến thiên là giai đoạn đầu tiên của việc hình thành khái niệm hàm số 53 3.1.2. Sử dụng phần mềm hình học động Cabri ............................................................. 53 3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................... 54 3.2.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm ................................................................ 54 3.2.2. Dàn dựng kịch bản................................................................................................ 54 3.3. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................................ 55 3.3.1. Biến và các giá trị của chúng................................................................................ 55 3.3.2. Các chiến lược và cái có thể quan sát................................................................... 56 3.4. Phân tích chi tiết kịch bản ........................................................................................ 70 3.4.1. Buổi 1: Khái niệm hàm hình học và sự đồng biến thiên của các điểm. ............... 70 3.4.2. Buổi 2 ................................................................................................................... 71 3.5. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................................ 73 3.5.1. Buổi làm quen với Cabri ...................................................................................... 73 3.5.2. Tình huống 1 ........................................................................................................ 74 3.5.3. Tình huống 2 ........................................................................................................ 78 3.5.4. Tình huống 3 ........................................................................................................ 83 3.5.5. Kết luận ................................................................................................................ 86 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 91 PHỤ LỤC ................................................................................................................... 93 4
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT GTLN : Giá trị lớn nhất GTNN : Giá trị nhỏ nhất GV : Giáo viên HS : Học sinh SGK : Sách giáo khoa SGK9-1 : Sách giáo khoa Toán 9, tập một SGK9-2 : Sách giáo khoa Toán 9, tập hai SBT : Sách bài tập SGV : Sách giáo viên Tp.HCM : Thành phố Hồ Chí Minh tr. : trang CNTT : công nghệ thông tin 5
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát Ghi nhận 1: Khái niệm hàm số từ lâu đã là đối tượng của một số lượng lớn các nghiên cứu. Điều này không có gì là ngạc nhiên bởi hàm số là một khái niệm quan trọng và giữ vị trí trung tâm trong chương trình toán phổ thông. Nó được khẳng định dựa trên nội dung trình bày trong các sách giáo khoa (SGK) trải dài từ lớp 7 đến lớp 12 và sự cần thiết của hàm số trong việc giải quyết những bài toán thực tế. Tuy nhiên khi được hỏi khái niệm hàm số là gì, thì liệu rằng có bao nhiêu HS trả lời được đúng bản chất của khái niệm này hay HS chỉ biết đến hàm số thông qua những biểu thức giải tích của nó? Có rất nhiều luận văn nói về vấn đề hàm số. Cụ thể:  Luận văn thạc sĩ của Đặng Minh Hải (2009) về “Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ thông” . Chỉ ra một số tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu – liên tục, đơn điệu – khả vi, khả vi – liên tục ở cấp độ tri thức khoa học. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về mối liên hệ đơn điệu – liên tục, mối liên hệ giữa tính đơn điệu của một hàm khả vi trên khoảng với dấu của đạo hàm. Chỉ ra những ràng buộc của thể chế đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến mối quan hệ cá nhân của HS: + Hầu hết HS cho rằng “hàm số đơn điệu trên K thì liên tục trên K”. + Phần lớn HS có quan niệm “hàm số đơn điệu trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo hàm không âm (không dương) trên khoảng đó”.  Luận văn thạc sĩ của Đinh Quốc Khánh về “Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông” Nghiên cứu quá trình chuyển từ đồ thị sang hàm số đồng thời ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy để thấy rõ mục đích và kỹ thuật của việc chuyển đổi nói trên. Chỉ ra được các ràng buộc của thể chế dạy học ở trường phổ thông với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức đặt ra trên hai đối tượng hàm số bậc nhất và bậc hai. Trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam, vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số và vấn đề mô hình hóa trong toán có xuất hiện. Nhưng xét về “mức độ quan tâm” thì đây không phải là các vấn đề được thể chế coi là trọng tâm nhất. 6
Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc tồn tại giả thuyết nghiên cứu: “Kỹ năng chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số chưa thực sự được hình thành ở HS”. Làm rõ quan hệ của HS với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức và vấn đề mô hình hóa nhằm hợp thức giả thuyết nghiên cứu được trình bày ở trên.  Luận văn thạc sĩ của Đỗ Thị Thúy Vân (2010) về “Casyopée và việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số” Luận văn đã chỉ ra được đồ thị là một phương tiện biểu diễn thể hiện rõ 3 đặc trưng cơ bản của hàm số (phụ thuộc, tương ứng, biến thiên), tính chất của đồ thị được suy ra từ tính chất của hàm số và ngược lại. Làm rõ tiến trình và cách tổ chức đưa vào khái niệm hàm số gắn với các cách biểu diễn hàm số (bằng bảng, đồ thị, biểu thức giải tích), mối quan hệ cá nhân giữa HS và khái niệm hàm số dựa trên cách biểu diễn hàm số bằng biểu thức giải tích: “Thể chế không tạo điều kiện cho việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số, cũng như không trình bày tường minh cách biểu diễn hàm số bằng đồ thị.” Sử dụng môi trường giấy bút và môi trường máy tính để củng cố lại kiến thức về khái niệm hàm số thông qua việc giải một bài toán cụ thể, trong đó với môi trường máy tính thì có thể đơn giản hóa các kĩ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trong bài toán, đồng thời để thấy rõ khái niệm hàm số bằng hình ảnh trực quan thể hiện đủ ba đặc trưng của hàm số. Hạn chế và hướng mở của luận văn: + Hạn chế: Thực nghiệm được đưa ra nhằm mục đích tận dụng tối đa các tính năng của phần mềm Casyopee, nhưng chưa đáp ứng hoàn toàn cho việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số. + Hướng mở của luận văn: Trên cơ sở của những kết quả đạt được, có thể tiếp tục nghiên cứu theo hướng xây dựng một hệ thống tình huống dạy học khái niệm hàm số nhằm giúp HS nhận rõ các đặc trưng hàm số trên mô hình động (môi trường máy tính).  Luận văn thạc sĩ “Bài toán diện tích và phần mềm Cabri 2D” Luận văn chỉ rõ mối quan hệ thể chế của đối tượng hàm số và bài toán diện tích, từ đó đã cho thấy được tầm quan trọng của việc dạy học mô hình hóa đặc biệt mô hình hóa hàm số bằng bài toán diện tích chiếm số lượng khá lớn. 7
Luận văn đã xây dựng một tình huống mô hình hóa bằng bài toán diện tích trong môi trường Cabri, từ đó giúp chúng ta có cách nhìn mới trong việc kết hợp giữa hình học động và giải tích. Đây là điều mà “bảng đen, phấn trắng” khó có thể thực hiện được. Như vậy, một loạt các luận văn về hàm số đã được công bố trong đó vấn đề chính được quan tâm là tính chất của hàm số và việc sử dụng hàm số trong quá trình giải quyết các bài toán. Ghi nhận 2: Khái niệm hàm số gắn liền với hai quan niệm cơ bản: + Quan niệm động của khái niệm hàm số: hoàn toàn dựa trên sự đồng biến thiên của hai đại lượng. + Quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số: hoàn toàn dựa trên sự tương ứng. “Một hàm số liên kết một số duy nhất với một số cho trước.” Trong đó, sự đồng biến thiên của hai đại lượng là mối liên hệ động, không đối xứng giữa hai biến nhận giá trị thay đổi trong hai tập hợp nào đó và biến này phụ thuộc vào biến kia. Trong chương trình hiện nay thì việc dạy học khái niệm hàm số hoàn toàn dựa trên quan điểm tĩnh, chính vì vậy mà nó đã làm mờ đi nghĩa của khái niệm biến và khái niệm hàm số. Do đó việc quan tâm đến dạy học khái niệm hàm số theo quan điểm động là thực sự cần thiết để HS nắm được bản chất của khái niệm hàm số. “Sự mô hình hóa một tình huống đồng biến thiên của hai đại lượng có thể cho phép mang lại nghĩa cho khái niệm biến và khái niệm hàm số.” [Annie Bessot & Nguyễn Thị Nga, 2011] Trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu xây dựng các tình huống đưa vào khái niệm hàm số trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng là giai đoạn đầu tiên của sự hình thành khái niệm hàm số. Nghiên cứu này dựa trên kết luận của Krysinska và các cộng sự (2009): “Tình huống về sự đồng biến thiên của các đại lượng có thể được xem xét như một tình huống cơ bản đối với khái niệm hàm số” Ghi nhận 3: Ngày nay CNTT đã và đang thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực. Nó ngày càng trở nên quan trọng, không thể thiếu trong lĩnh vực Giáo dục đào tạo nói chung và ngành Toán học nói riêng. Việc dạy học với các phần mềm ngày càng có sự ứng dụng rộng rãi. Hiện nay, ở các trường phổ thông, GV đã dần quan tâm đến việc sử dụng phần mềm dạy học để hỗ trợ trong việc giảng dạy của mình mặc dầu SGK phổ thông lại không có hoạt động nào dùng tới phần mềm dạy học. Tuy nhiên đa phần GV khi sử dụng phần mềm dạy học đều có dụng ý là minh họa hay kiểm chứng những gì mà khái niệm hay định lý đã nêu. 8
Trong luận văn này, chúng tôi tiến hành sử dụng phần mềm hình học động để hình thành nên khái niệm đồng biến thiên cho HS. Và HS sẽ trực tiếp thao tác với phần mềm để giải quyết các bài toán toán học và thực tế, qua đó khám phá và lĩnh hội tri thức mới. Chúng tôi dựa vào giả thuyết sau: “Môi trường hình học động có khả năng thực hiện giai đoạn đầu tiên của quá trình mô hình hóa bằng việc xây dựng một mô hình trung gian của tình huống đồng biến thiên của các đại lượng.” [Annie Bessot & Nguyễn Thị Nga, 2011] Chúng tôi chọn phần mềm Cabri II Plus để thực hiện nghiên cứu vì nó có các đặc tính sau đây: “Cabri II Plus là một trong những phần mềm hiện đại nhất trong việc dạy và học toán. Ngoài việc sở hữu một giao diện thân thiện, dễ sử dụng, Cabri II Plus còn cho phép HS có thể khám phá được những tính chất tổng quát của một loạt các hình được dựng. Trong môi trường Cabri, HS có thể tạo ra hình vẽ và đồ thị trực quan hơn các hình vẽ theo cách thông thường qua môi trường truyền thống - môi trường giấy bút - cho nên sẽ có nhiều tính chất mới được khám phá từ đấy. Cabri có chức năng tạo vết (công cụ “Vết”) của một đối tượng khi nó chuyển động. Với chức năng này, Cabri hỗ trợ cho việc tạo ra hình ảnh liên tục của đối tượng khi di chuyển. Cái nổi bật hơn hẳn so với các phần mềm khác đó là hầu như tất cả các đối tượng toán học đều đã được mô phỏng trên máy tính một cách "động" theo nghĩa người dùng có thể can thiệp, tương tác trực tiếp với các đối tượng toán học trên màn hình. Cabri hỗ trợ cho GV trong việc giải quyết những bài toán liên quan đến thực tế đời sống mà trong môi trường giấy bút GV rất khó để HS hiểu được vấn đề. Như vậy, có thể nói phần mềm Cabri II Plus luôn gắn liền với quá trình mô hình hóa và đóng một vai trò quan trọng không thể thiếu.” [Nguyễn Chí Thành, 2008] Đặc biệt, nhờ tính chất di chuyển điểm mà phần mềm Cabri hỗ trợ rất tốt cho việc hình thành khái niệm đồng biến thiên – tiền đề của khái niệm hàm số. Việc sử dụng môi trường hình học động Cabri mang lại nhiều lợi ích: “Trong môi trường hình học động Cabri, sự mô hình hóa các đại lượng biến thiên được thực hiện bởi việc tạo ra các điểm chuyển động. Một điểm di động có thể mô hình hóa các đại lượng biến thiên khác nhau (khoảng cách, diện tích, thời gian). Vì thế, việc thiết lập mô hình trung gian nhờ vào hình học động cho phép cụ thể hóa các đại lượng biến thiên bằng 9
việc chuyển giao cho HS trách nhiệm lựa chọn các đại lượng thích đáng trong tình huống được nghiên cứu. Chúng ta có thể đưa vào khái niệm điểm điều khiển một điểm khác – tiền đề của các khái niệm biến độc lập và biến phụ thuộc…” [Annie Bessot & Nguyễn Thị Nga, 2011] Với những ghi nhận trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học khái niệm hàm số với phần mềm Cabri II Plus: Nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng khái niệm hàm số.” 2. Câu hỏi nghiên cứu Chúng tôi đặt ra những câu hỏi ban đầu để định hướng cho nghiên cứu như sau: Q1: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng hiện diện và tiến triển như thế nào trong lịch sử hình thành và phát triển khái niệm hàm số? Q2: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng được đề cập như thế nào trong SGK Việt Nam? Có những tổ chức toán học nào trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng được nhấn mạnh? Có sự khác biệt nào so với SGK Mỹ? Q3: Liệu có thể xây dựng tiểu đồ án didactic cho HS tiếp cận với khái niệm hàm số, trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng là bước đầu tiên của quá trình này? 3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu 3.1 Nghiên cứu khoa học luận Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời cho câu hỏi Q1. Như chúng ta biết, nghiên cứu khoa học luận về khái niệm hàm số đã có trong các công trình khác. Ở đây, chúng tôi tiến hành tóm tắt và đặc biệt bổ sung sự hiện diện của sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong khái niệm hàm số. 3.2 Nghiên cứu thể chế Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời câu hỏi Q2. Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào lý thuyết nhân chủng học. Lý thuyết này nghiên cứu và chỉ ra tầm quan trọng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức, đưa vào khái niệm tổ chức toán học để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức đã chọn. 10
Phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số và các tổ chức toán học liên quan giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức này và lý do của các lựa chọn của thể chế. Như vậy chúng tôi tiến hành phân tích SGK Việt Nam và Mỹ, từ đó nghiên cứu so sánh 2 thể chế để thấy rõ đặc trưng của mỗi thể chế. Cụ thể, chúng tôi xem xét sự đồng biến thiên của 2 đại lượng xuất hiện như thế nào trong khái niệm hàm số và những bài tập liên quan trong mỗi thể chế. 3.3 Đồ án dạy học Dựa vào khái niệm đồ án dạy học, chúng tôi sẽ xây dựng các tình huống hình thành nên khái niệm hàm số trong đó sự đồng biến thiên là giai đoạn đầu của quá trình này. Đồ án đó chúng tôi tiến hành xây dựng trong môi trường hình học động Cabri – môi trường tích hợp nhiều yếu tố hình thành nên sự đồng biến thiên của hai đại lượng. Mặt khác, những tình huống mà chúng tôi đưa ra đều là những tình huống mô hình hóa – tức là những bài toán đều xuất phát từ thực tế cuộc sống. Điều này nhằm kích thích nhu cầu giải quyết bài toán và khám phá tri thức mới của HS. 4. Cấu trúc của luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau: Chương 1: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong lịch sử hình thành và phát triển khái niệm hàm số. 1.1 Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số 1.2 Sự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm số. 1.3 Các hệ thống biểu đạt của hàm số và đặc trưng đồng biến thiên của hai đại lượng. Chương 2: Khái niệm hàm số và sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong chương trình và SGK phổ thông 2.1 Ở Việt Nam 2.1.1 Giai đoạn trước năm lớp 7 2.1.2 Lớp 7 2.1.3 Lớp 9 11
2.1.4 Lớp 10 2.1.5 Kết luận 2.2 Ở Mỹ 2.3 So sánh cách đưa vào khái niệm hàm số ở Việt Nam và Mỹ Chương 3: Thực nghiệm (Tiểu đồ án dạy học) 3.1 Các lựa chọn của đồ án 3.2 Nội dung thực nghiệm 3.3 Phân tích tiên nghiệm 3.4 Phân tích hậu nghiệm 3.5 Kết luận 12
CHƯƠNG 1: SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TRONG LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM HÀM SỐ Mục tiêu của chương này là tìm các câu trả lời cho câu hỏi Q1 sau: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng hiện diện và tiến triển như thế nào trong lịch sử hình thành khái niệm hàm số? Để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tôi sẽ tiến hành tóm tắt lại phần lịch sử hình thành khái niệm hàm số thông qua một số công trình nghiên cứu đã có, rồi từ đó chúng tôi sẽ đi sâu vào phân tích phần trọng tâm mà luận văn đang hướng đến. 1.1. Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số Trong lịch sử, thuật ngữ “hàm số” ra đời từ việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến đo đạc, vận tốc, thời gian,…Lý thuyết hàm số thực sự được hình thành và phát triển trong khoảng 4 thế kỉ, trong đó mầm móng của lý thuyết hàm số đã có từ những năm 2000 trước công nguyên với những bài toán vật lý. Chúng tôi sẽ tổng kết lại những giai đoạn chủ yếu của sự hình thành và phát triển lý thuyết hàm số thông qua công trình nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2003) về “Dạy học hàm số ở trường phổ thông”. Bảng 1.1 Tóm tắt sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số qua các thời kì. GIAI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM HÀM SỐ ĐOẠN Từ nhu cầu thực tế cuộc sống là nhằm giải quyết những bài toán liên quan đến đo đạc hình học, nghiên cứu các đường cong…, toán học Babylon và Hy Lạp đã hình thành nên các bảng số mà bản thân nó đã ẩn chứa những quan niệm về hàm số: bảng bình phương của Cổ đại các số tự nhiên, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay bảng căn bậc ba trong hệ thập lục phân, bảng liên hệ giữa dây và cung của đường tròn (tiền thân của bảng sin ngày nay). Tuy nhiên thuật ngữ hàm số chưa một lần xuất hiện trong thời kì này. Các nhà toán học quan tâm đến sự phụ thuộc giữa hai đại lượng Trung đại không những trên các bảng số mà còn thể hiện ở các hình hình học, chủ yếu là trong lĩnh vực vật lí. Họ được xem như là đã đến gần với 13
khái niệm hàm số thế nhưng thuật ngữ hàm số vẫn chưa xuất hiện. Một trong số đó là Oresme. Trong lý thuyết của ông, một số ý tưởng chung về khái niệm biến độc lập và phụ thuộc dường như có mặt. “Ông đã biểu diễn cường độ của chất điểm chuyển động (vận tốc) theo thời gian bằng một hình hình học mà ta có thể mô tả như sau: Vận tốc …… Thời gian [Nguyễn Thị Nga, 2003] Tiếp sau Oresme ở giai đoạn trung đại là Galileo Galilei (1564- 1642) với các công trình nghiên cứu các đại lượng bên vật lí như vận tốc, gia tốc và khoảng cách. Sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên chính thức Thế kỉ được xuất hiện: “Bằng cách lấy lần lượt và vô hạn các đại lượng 16 - 17 khác nhau đối với đường y (line y) ta cũng có vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường x, và như vậy ta có vô hạn các điểm khác nhau, như là điểm được đánh dấu C, nhờ vào đó ta mô tả được đường cong mong muốn.” [René Descartes (1596-1650)] Đây là giai đoạn mà hàm số xuất hiện dưới dạng biểu thức giải tích và lần đầu tiên xuất hiện ngầm ẩn trong định nghĩa của J.Bernoulli công bố năm 1718: “Ta gọi hàm số của một đại lượng biến, một đại lượng tạo thành một cách nào đó từ đại lượng biến Thế kỉ 18 này và từ các hằng số”. Khái niệm hàm số được hoàn thiện dần thông qua các công trình nghiên cứu khác như D’Alembert, Condorcer (1743-1794), Lagrange (1736-1813). 14
Mãi đến cuối thế kỉ 18 thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng mới được nhấn mạnh và nó xuất hiện tường minh trong định nghĩa của Euler (1755) khi đề cập đến hàm nhiều biến: “Khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của các đại lượng thứ hai” Đến đầu thế kỉ 19, các nhà toán học bắt đầu định nghĩa lại khái niệm hàm số bằng sự tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên. Tư tưởng đó xuất hiện lần đầu tiên trong định nghĩa của Dirichlet (1805-1859): “y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng với một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng đó được thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan Nửa đầu trọng”. thế kỉ 19 Tuy nhiên, sự biến thiên của hai đại lượng vẫn xuất hiện ngầm ẩn trong các mô tả khác. Cụ thể, theo Lobachevsky (1792-1856): “…hàm số của x là một số được cho với mỗi x và biến thiên dần dần cùng với x. Giá trị của hàm số có thể được cho bằng một biểu thức giải tích, hoặc bằng một điều kiện làm phương tiện để thử tất cả các số và chọn một trong chúng, hoặc cuối cùng, sự phụ thuộc có thể tồn tại nhưng còn chưa được biết.” Định nghĩa hàm số ở thời kì này cũng tương tự như nửa đầu thế kỉ 19, tuy nhiên có một sự khác biệt rõ ràng đó là sự ra đời của Lý thuyết tập hợp của Cantor (1845-1918). Các nhà toán học đã bổ sung và hoàn thiện dần định nghĩa khái niệm hàm số. Đồng thời mở rộng Cuối thế thêm tập xác định của hàm số: kỉ 19 – thế “Tập xác định của hàm số được mở rộng từ một tập hợp con của R kỉ 20 thành một tập hợp con của Cn. Giải tích phức và giải tích lồi còn xét hàm số đa trị. Laurent Schwartz (1915-2002) tổng quát hóa hai khái niệm hàm số và độ đo thành khái niệm phân phối (còn gọi là hàm số suy rộng).” [Trần Lương Công Khanh 2013, Bài giảng lịch sử toán] 15
1.2. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm số. 1.2.1. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong các giai đoạn phát triển khái niệm hàm số 1.2.1.1 Thời cổ đại Quan niệm về hàm số bước đầu được hình thành và phát triển thông qua các bảng số. Những đặc tính đầu tiên về sự đồng biến thiên của hai đại lượng dần dần được thể hiện thông qua sự phụ thuộc lẫn nhau của hai đại lượng lấy giá trị trong các tập hợp hữu hạn và rời rạc. Dựa vào các bảng số, có thể nhận ra được sự thay đổi của một phần tử trong tập hợp số dẫn đến sự thay đổi của những phần tử trong tập hợp khác, đó là những hình ảnh về sự đồng biến thiên của hai đại lượng. Tuy nhiên tất cả những điều đó đều xuất hiện ngầm ẩn, chứ không được trình bày một cách tường minh. 1.2.1.2 Thời trung đại Các nhà toán học quan tâm đến sự phụ thuộc giữa hai đại lượng không những trên các bảng số mà còn thể hiện ở các hình hình học. Có thể nói, hình hình học đã mô tả được chiều biến thiên hay nói một cách khác chúng thể hiện rõ nét về sự đồng biến thiên của hai đại lượng: khi đại lượng này thay đổi (tăng hoặc giảm) sẽ dẫn đến sự thay đổi của đại lượng khác. 1.2.1.3 Thế kỉ 16 - 17 Nếu như ở thời cổ đại và trung đại, sự đồng biến thiên của hai đại lượng đều xuất hiện ngầm ẩn thông qua các bảng số và các hình hình học thì ở thời kì này nó được chính thức xuất hiện dưới dạng sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên. Hình ảnh về biến độc lập và biến phụ thuộc được xuất hiện lần đầu tiên với các “đường x”, “đường y” trong nhận xét của Descartes. Như vậy, ở thời kì này sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng cũng như từ “hàm số” chính thức được xuất hiện. Hơn thế nữa khi mà đặc trưng biến thiên của hàm số càng được nhấn mạnh thì sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng ngày càng thể hiện rõ nét. 1.2.1.4 Thế kỉ 18 Nhiều nhà toán học thời kì này đã đồng nhất hàm số với một biểu thức giải tích. Với cách định nghĩa như vậy thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng hoàn toàn vắng bóng, tức là tính 16
động của khái niệm hàm số bị che mờ. Tuy nhiên, vào cuối thời kì, Euler đã đưa ra khái niệm thể hiện tính động của hàm số, thể hiện rất rõ sự thay đổi giữa các đại lượng. 1.2.1.5 Nửa đầu thế kỉ 19 Khái niệm hàm số được định nghĩa bằng sự tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng không được nhấn mạnh. 1.2.1.6 Cuối thế kỉ 19 và thế kỉ 20 Định nghĩa khái niệm hàm số từ đầu thế kỉ 19 đến nay hoàn toàn dựa trên sự tương ứng. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng chỉ hiện diện ngầm ẩn. Qua sự phát triển khái niệm hàm số, chúng tôi nhận thấy rằng hàm số thực của một biến số thực có thể biểu đạt bằng các ngôn ngữ có liên quan đến sự đồng biến thiên thuận lợi hơn hàm thực nhiều biến, hàm phức, hàm đa trị và phân phối. Vì vậy mà chúng tôi giới hạn nghiên cứu của mình ở hàm số thực một biến số thực để thấy rõ được sự đồng biến thiên của hai đại lượng xuất hiện trong định nghĩa này. 1.2.2. Quan niệm động và quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số Xem xét lịch sử xuất hiện khái niệm hàm số, chúng ta thấy rằng có hai quan niệm cơ bản gắn với khái niệm hàm số tiếp nối nhau trong lịch sử: - Quan niệm động: Quan niệm này dựa trên sự đồng biến thiên của hai đại lượng, cần thiết việc mô hình hóa theo những thuật ngữ biến phụ thuộc và/hoặc biến độc lập. Euler đã viết năm 1755 như sau: “Nếu một số đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho nếu các đại lượng khác thay đổi, các đại lượng này cũng thay đổi theo, lúc đó chúng ta gọi các đại lượng này là hàm số của các đại lượng khác”. - Quan niệm tĩnh: Quan niệm này nhấn mạnh trên sự tương ứng: một hàm số liên kết một số duy nhất với một số cho trước. Hankel (1870) định nghĩa hàm số như sau: “Ta nói y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thuộc một khoảng nào đó tương ứng một giá trị xác định của y mà không vì thế mà đòi hỏi y xác định với mọi khoảng bởi cùng một quy luật theo x, cũng không cần thiết y được xác định bởi một biểu thức toán học tường minh của x. Tôi sẽ gọi định nghĩa này theo tên Dirichlet vì định nghĩa này, định nghĩa đã loại bỏ tất cả những quan niệm cũ hơn, là cơ bản trong những công trình nghiên cứu trên chuỗi Fourier” [Hankel (1870), tr.49]. 17
1.3. Các hệ thống biểu đạt của hàm số và đặc trưng đồng biến thiên của hai đại lượng. Chúng tôi tiến hành tổng hợp các hệ thống biểu đạt của hàm số dựa trên công trình nghiên cứu của các luận văn thạc sĩ trước, sau đó phân tích và bổ sung thêm sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong các cách biểu diễn hàm số. Bảng 1.2 Bảng tóm tắt sự xuất hiện tính đồng biến thiên của hai đại lượng trong các hệ thống biểu đạt hàm số. CÁC HỆ THỐNG SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN LỢI ÍCH BIỂU ĐẠT HÀM SỐ CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG Hệ thống biểu đạt đại Với hệ thống biểu đạt này, số: Trong cách biểu diễn nghĩa thực chất của khái này, hàm số thường được + Hỗ trợ nhiều cho quá niệm hàm số và khái niệm cho bởi một biểu thức trình tính toán trong biến hoàn toàn bị lu mờ đi. dạng y = f(x). chương trình dạy học Như vậy khái niệm hàm số toán hiện nay. mất đi tính động của nó, có + Biểu đạt cô đọng và nghĩa là sự đồng biến thiên chính xác mối tương của hai đại lượng hình quan hàm. thành nên khái niệm hàm số hoàn toàn xuất hiện ngầm ẩn. Hệ thống biểu đạt hình + Phản ánh trực quan Dựa vào hệ thống biểu đạt học: Trong cách biểu dáng điệu định tính của này người ta có thể quan diễn này hàm số thường hàm số. sát tính động của khái niệm được cho bởi đồ thị, biểu + Tìm được giá trị (đúng hàm số, nghĩa là khi trực đồ. hay gần đúng) của hàm tiếp nhìn vào đồ thị người tại một điểm. ta có thể nhận thấy được sự + Tìm nghiệm gần đúng thay đổi của biến và giá trị của một phương trình, tương ứng, tức là nhận thấy bất phương trình, hệ được sự đồng biến thiên phương trình, hệ bất của hai đại lượng. 18