Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ảnh hưởng của tán sắc và biến điệu tần số đối với xung secant hyperbolic trong thông tin quang sợi

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:117

Thêm vào BST

Báo xấu

78
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này, tác giả tập trung nghiên cứu sự ảnh hưởng của hiện tượng tán sắc và chirp tần số với sự tiến triển của xung laser dạng secant hyperbolic, khảo sát tương tác của hai - ba soliton khi lan truyền trong sợi quang.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ảnh hưởng của tán sắc và biến điệu tần số đối với xung secant hyperbolic trong thông tin quang sợi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- ĐẶNG THỊ HÀ ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC VÀ BIẾN ĐIỆU TẦN SỐ ĐỐI VỚI XUNG SECANT HYPERBOLIC TRONG THÔNG TIN QUANG SỢI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ HỘI- 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- ĐẶNG THỊ HÀ ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC VÀ BIẾN ĐIỆU TẦN SỐ ĐỐI VỚI XUNG SECANT HYPERBOLIC TRONG THÔNG TIN QUANG SỢI Chuyên ngành: Quang học Mã số: 60 440109 Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trịnh Đình Chiến LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung của bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trịnh Đình Chiến. Các số liệu, kết quả trong bản luận văn là hoàn toàn trung thực và chưa ai công bố trong bất cứ luận văn nào hoặc các công trình nào khác. Học viên Đặng Thị Hà
LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Trịnh Đình Chiến, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, người đã đặt đề tài, dẫn dắt tận tình và động viên học viên trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Học viên xin được chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo, và các bạn học viên cao học bộ môn Quang Học, Khoa Vật lý, phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã đóng góp những ý kiến khoa học bổ ích cho nội dung luận văn, tạo điều kiện và giúp đỡ học viên trong thời gian học tập và nghiên cứu Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân trong gia đình đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Học viên Đặng Thị Hà
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC VIẾT TẮT……………………………………………………………i DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ BẢNG BIỂU………………………………………ii MỞ ĐẦU…………………………………………………………………………….1 CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH SÓNG VÀ SỰ LAN TRUYỀN XUNG SÁNG TRONG SỢI QUANG………………………………………………………………4 1.1 Hệ phương trình Maxwell………………………………………………………4 1.2 Các mode sợi……………………………………………………………………6 1.2.1 Phương trình trị riêng………………………………………..………………6 1.2.2 Điều kiện đơn mode……………………………………….…………………8 1.2.3 Các đặc trưng của mode cơ bản………………………….………………….9 1.3 Phương trình lan truyền xung sáng………………………….…………………10 1.3.1 Sự lan truyền xung phi tuyến……………………………...………………...11 1.3.2 Các hiệu ứng phi tuyến bậc cao……………………………..……………...16 1.4 Kết luận………………………………………………………………………...20 CHƯƠNG II: LÝ THUYẾT VỀ TÁN SẮC VẬN TỐC NHÓM VÀ TỰ BIẾN ĐIỆU PHA…………………………………………………………………………22 2.1 Lý thuyết về tán sắc vận tốc nhóm…………………………………………….22 2.1.1 Các chế độ lan truyền khác nhau……………………………..……………...22 2.1.2 Sự mở rộng xung do tán sắc .......................................................................... 24 2.1.2.1 Xung Gauss…………………………………………….…………………..25 2.1.2.2 Xung Gauss có chirp …………………………………….………………...27 2.1.2.3 Xung Secant-Hyperboli ……………………………………..……………..29 2.1.2.4 Xung super Gauss………………………………………….………………30
2.2 Lý thuyết tự biến điệu pha - sự mở rộng xung do SPM…………....…………...31 2.2.1 Sự dịch pha phi tuyến………………………………………..……………….31 2.2.2 Những thay đổi trong phổ xung…………………………………..………….34 2.2.3 Ảnh hưởng của dạng xung và chirp ban đầu………………………………37 2.3. Ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm và tự biến điệu pha đến sự tiến triển của xung………………………………………………………………………………..38 2.4. Kết luận………………………………………………………………………..41 CHƯƠNG III: KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC VẬN TỐC NHÓM VÀ CHIRP TẦN SỐ LÊN XUNG SÓNG DẠNG SECANT HYPERBOLIC……42 3.1 Các soliton sợi………………………………………………………………….42 3.1.1 Phương pháp tán xạ ngược…………………………………………………42 3.1.2 Soliton cơ bản………………………………………………………………..45 3.2 Khảo sát ảnh hưởng của tham số tán sắc và chirp tần số lên xung sóng dạng secant hyperbolic…………………………………………………………………..47 3.2.1 Ảnh hưởng của tham số tán sắc ……………………………....…………..47 3.2.2 Ảnh hưởng của tham số chirp C………………………………..…………....51 3.2.3 Ảnh hưởng của chiều dài tán sắc Lao động……………………....………….53 3.2.4 Ảnh hưởng độ rộng xung ban đầu To……………………………...………...54 3.3 Tương tác soliton………………………………………………………………56 3.3.1 Phương trình Schrodinger phi tuyến……………………………...………….57 3.3.2 Các kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước………………..……………....58 3.3.3 Tương tác hai soliton……………………………………………….………..60 3.3.3.1 Tương tác của hai soliton cùng pha – khảo sát tương tác của hai soliton phụ thuộc vào khoảng phân cách ban đầu…………………………..........…………….62 3.3.3.2 Tương tác của hai soliton khác pha – khảo sát tương tác của hai soliton phụ thuộc vào độ lệch pha ban đầu……………………………………........………….65 3.3.3.3 Tương tác của hai soliton khác biên độ – khảo sát tương tác của hai soliton phụ thuộc vào tỉ lệ biên độ ban đầu………………………………..............………72 3.3.3.4 Thảo luận………………………………………………………………….83
3.3.4 Tương tác ba soliton………………………………………………………...86 3.3.4.1 Tương tác ba soliton phụ thuộc vào khoảng phân cách ban đầu……….86 3.3.4.2 Tương tác ba soliton phụ thuộc vào pha ban đầu………………………..89 3.3.4.3 Tương tác ba soliton phụ thuộc vào các biên độ ban đầu…………………93 3.5 Kết luận………………………………………………………………………...96 KẾT LUẬN CHUNG……………………………………………………..………..99 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………....………...101 PHỤ LỤC……………………………………………………………………………
DANH MỤC VIẾT TẮT NLS Nonlinear Schrodinger GVD Group Velocity Dispersion CW Continuous wave SPM Self - Phase Modulation RMS Root mean square SRS Stimulated Raman Scattering SBS Stimulated Brillouin Scattering XPM Cross - Phase Modulation FWHM Full Width at Half Maximum i
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ BẢNG BIỂU Hình 1.1: Sự thay đổi của tham số độ rộng mode w với V thu được bằng cách khớp các mode sợi cơ bản với một phân bố Gauss. Đường bên phải hiển thị độ phù hợp cho V = 2.4…………………………………………………………………………………..10 Hình 1.2: Thay đổi theo thời gian của hàm đáp ứng Raman R (t) thu được bằng cách sử dụng phổ khuếch đại Raman thực tế của sợi silica…………….…………….18 Hình 2.1: Sự mở rộng xung do tán sắc cho một xung Gauss bên trong sợi tại z=2LD, và 4LD. Đường nét đứt là xung tới tại z=0………………….……………26 Hình 2.2: Hệ số mở rộng cho một xung Gauss có chirp như một hàm của khoảng cách. Đường cong nét đứt tương ứng với trường hợp của một xung Gauss không chirp. Đối với < 0 nếu dấu của C bị đảo ngược, ta sẽ thu được các đường cong như vậy…………………………………………………………………….........…………..28 Hình 2.3: Hình dạng xung tại z = 2LD và z = 4LD của một xung tại z = 0 (đường đứt nét) được mô tả bằng một xung dạng "sech". So sánh với hình 3.1chỉ ra trường hợp của một xung Gaussian……………………………………………..............…30 Hình 2.4: Dạng xung tại z = LD và z = 2LD của một xung dạng Super Gauss tại z =0…………………………………………………………………………………..31 Hình 2.5: Thay đổi theo thời gian của SPM gây ra sự dịch pha và chirp tần số δω cho xung Gauss (đường đứt nét) và super Gaussian (đường cong liền).............34 Hình 2.6: Phổ SPM-mở rộng cho một xung Gauss có chirp……………...……….35 Hình 2.7: Các quan sát thực nghiệm phổ [9] xung gần như xung Gauss T0 ≈ 90 thu được từ laser ion argon tại đầu ra của một sợi dài 99m với đường kính lõi 3.35 ……………………………………………………………..............………35 Hình 2.8: So sánh phổ mở rộng SPM cho xung Gauss có chirp và Super Gaussian ở năng lượng đỉnh tương ứng với = 4.5 ………………….......................….36 Hình 2.9: Ảnh hưởng của chirp tần số ban đầu vlên sự mở rộng phổ SPM của một xung Gauss có chirp cho C = 5 và C = -5 với trường hợp = 4: 5π…..........37 Hình 2.10: Sự tiến triển của các hình dạng xung (hình trên) và phổ (hình thấp hơn) ii
trên một khoảng cách 5LD cho một xung Gauss ban đầu có chirp lan truyền trong chế độ tán sắc thường của sợi quang (β2> 0) với các thông số với N = 1...............39 Hình 2.11: Sự phát triển của các hình dạng xung (hình trên) và phổ quang (hình thấp hơn) trong điều kiện giống hệt với hình. 4.7 ngoại trừ việc lan truyền xung Gauss trong chế độ tán sắc dị thường (β2
Hình 3.18: Tương tác hai soliton cùng biên độ, độ phân cách ban đầu phụ thuộc theo độ lệch pha………………………………………………………….………...68 Hình 3.19: Tương tác hai soliton cùng biên độ, cùng pha ban đầu phụ thuộc độ phân tách ban đầu………………………………………………………….………69 Hình 3.20: Sự phụ thuộc chu kỳ tương tác vào độ lệch pha tại một vài giá trị khoảng phân cách ban đầu………………………………………………….……..70 Hình 3.21: Độ tách xung của hai soliton tại = 2.2 pw theo khoảng cách truyền z tại một vài giá trị độ lệch pha………………………………………………...……72 Hình 3.22: Tương tác của hai soliton phụ thuộc vào tỉ lệ biên độ ban đầu…......75 Hình 3.23: Khảo sát sự biến đổi dạng xung theo tỉ lệ biên độ ban đầu……....……77 Hình 3.24: Khảo sát sự biến đổi dạng xung theo tỉ lệ biên độ ban đầu r=1.05 đến r=1.15……………………………………………………………...………………79 Hình 3.25: Khảo sát độ đối xứng của hai soliton theo khoảng phân cách ban đầu tại các tỉ lệ biên độ khác nhau……………………………………….......…………….80 Hình 3.26: Độ tách xung của hai soliton tại = 3.2 pw theo khoảng cách truyền z tại một vài giá trị tỉ lệ biên độ……………………………………...………………83 Hình 3.27: So sánh tương tác hai soliton với sự khác nhau tỉ lệ biên độ r=1 và r=1.025…………………………………………………………………………….83 Hình 3.28: So sánh tương tác hai soliton với sự khác nhau tỉ lệ biên độ và pha ban đầu tại khoảng phân cách ban đầu là 2.2pw…………………….........…………...85 Hình 3.29: So sánh tương tác hai soliton với sự khác nhau tỉ lệ biên độ và pha ban đầu tại khoảng phân cách ban đầu là 3.2pw………………….........……………...86 Hình 3.30: So sánh tương tác ba soliton cùng pha và tỉ lệ biên độ ban đầu thay đổi theo khoảng phân cách ban đầu của chúng……………………….........………….88 Hình 3.31: Tương tác ba soliton cùng khoảng phân cách và biên độ ban đầu thay đổi theo pha ban đầu của chúng………………………………..………………….92 Hình 3.32: Tương tác ba soliton cùng khoảng phân cách và pha ban đầu thay đổi theo tỉ lệ biên độ ban đầu của chúng…………………………………..…………..95 Bảng 1: Sự phụ thuộc của chu kỳ tương tác vào khoảng phân cách ban đầu…...64 iv
Bảng 2: Giá trị chu kỳ tương tác phụ thuộc vào độ lệch pha tại một số giá trị khoảng phân cách ban đầu………………………………………………………………..69 Bảng 3: Độ tách xung của hai soliton tại = 2.2 pw theo khoảng cách truyền z tại một vài giá trị độ lệch pha………………………………………………………………...70 Bảng 4: Độ đối xứng của hai soliton theo khoảng phân cách ban đầu tại các tỉ lệ biên độ khác nhau……………………………………………………...……………................……..79 Bảng 5: Giá trị độ tách xung của hai soliton tại = 3.2 pw theo khoảng cách truyền z tại một vài giá trị tỉ lệ biên độ………………………………………………….80 v
MỞ ĐẦU Ngay từ xa xưa loài người đã biết sử dụng ánh sáng để báo hiệu cho nhau. Từ việc sử dụng lửa, khói… Theo chiều dài của lịch sử phát triển nhân loại, các hình thức thông tin trở nên phong phú dần và ngày càng được phát triển thành hệ thống thông tin hiện đại như ngày nay. Dù bạn ở nơi đâu trên trái đất này, bạn vẫn có thể liên lạc với bạn bè người thân một cách thuận lợi và nhanh chóng. Ở trình độ phát triển cao về thông tin như hiện nay, các hệ thống thông tin quang đã nổi lên và là hệ thống thông tin tiên tiến bậc nhất, nó đã được triển khai nhanh trên mạng lưới viễn thông của các nước trên thế giới với đủ mọi cấu hình linh hoạt, ở các tốc độ và các cự ly truyền dẫn phong phú, bảo đảm chất lượng dịch vụ viễn thông tốt nhất. Sự phát minh ra sợi quang – môi trường phi tuyến có chiết suất thay đổi theo cường độ của ánh sáng mạnh lan truyền trong nó. Sự ra đời của laser năm 1960 tạo nguồn phát quang đặc biệt đã mở ra một thời kỳ mới có ý nghĩa to lớn trong lịch sử kỹ thuật thông tin sử dụng dải tần số ánh sáng. Bức tranh của quá trình tiến triển xung laser ngắn, cực ngắn trong sợi quang dưới tính chất tán sắc và phi tuyến của sợi quang đã giải thích cho hàng loạt hiện tượng quan trọng trong thực tế. Theo lý thuyết xung laser khi lan truyền trong sợi quang cho phép con người thực hiện thông tin với lượng kênh rất lớn vượt gấp nhiều lần các hệ thống viba hiện có. Những sợi quang ban đầu có hệ số hấp thụ cao, nhược điểm này đã tạo tiền đề cho một sợi quang có cấu trúc đơn mode ra đời khi áp dụng các phương trình toán lý - Maxwell. Song song với quá trình tính toán tạo ra sợi quang có suy giảm thấp, quá trình nghiên cứu các bước sóng ít bị hấp thụ trong sợi quang cũng được tính toán. Việc nghiên cứu này đã tạo nên các thế hệ thông tin quang với thành tựu vượt bậc. Thế giới bước vào thời đại cạnh tranh trong lĩnh vực thông tin. Việc gia tăng nhanh chóng của ứng dụng trên internet, đa phương tiện, truyền hình, xử lý ảnh đòi hỏi băng thông ngày càng cao với khoảng cách xa, mật độ cao, độ rủi ro thấp. Càng phát triển những yêu cầu cần được đáp ứng càng nhiều, do vậy nhiều bài toán cần có lời giải và phương pháp cho thế hệ thông tin quang thứ năm mà ở đó, xung soliton được coi như “bit” của thông tin quang sợi với những lợi thế ưu việt. Thuật ngữ Soliton được đưa ra từ năm 1965 để mô tả tính chất giống như hạt 1
của một xung trong một môi trường phi tuyến. Dưới những điều kiện xác định, xung không những không bị méo dạng trên đường truyền mà còn có thể va chạm với nhau như các hạt. Bên cạnh những ưu điểm vượt bậc, ứng cử viên vàng của thế hệ thông tin thứ năm này cũng còn rất nhiều bài toán chưa được giải quyết để đưa thông tin soliton phổ biến. Sự va chạm của xung, ảnh hưởng của chirp tần số, sự tương tác của các soliton liền kề…làm giảm khả năng truyền dẫn cũng như tăng tốc độ bit. Trong giới hạn của bài khóa luận này, chúng tôi chọn một phần của các bài toán đặt ra ở trên để làm đề tài cho luận văn của mình là: “ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC VÀ BIẾN ĐIỆU TẦN SỐ ĐỐI VỚI XUNG SECANT HYPERBOLIC TRONG THÔNG TIN QUANG SỢI” Mục đích của luận văn: Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu sự ảnh hưởng của hiện tượng tán sắc và chirp tần số với sự tiến triển của xung laser dạng secant hyperbolic, khảo sát tương tác của hai - ba soliton khi lan truyền trong sợi quang. Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các công cụ lý thuyết đưa ra các phương trình mô tả quá trình truyền xung ngắn trong môi trường tán sắc. Sử dụng phương pháp số, phần mềm tính toán để mô phỏng các quá trình tiến triển, tương tác của xung sáng. Cấu trúc của luận văn: Bố cục của luận văn như sau: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm có 3 chương: Chương I: Phương trình sóng và sự lan truyền xung sáng trong sợi quang. Bắt đầu với hệ phương trình nổi tiếng của sóng điện từ - hệ phương trình Maxwell, chúng tôi giải quyết bài toán về mode trong sợi quang, điều kiện để có chế độ đơn mode cũng như các đặc trưng của mode cơn bản. Cuối cùng là áp dụng phương trình tìm được nghiên cứu sự lan truyền xung sáng trong sợi quang, giải quyết bài toán lan truyền xung phi tuyến và các hiệu ứng phi tuyến bậc cao, từ đó đưa ra phương trình NSL để chương sau áp dụng cho lý thuyết tán sắc và chirp tần số cũng như ảnh hưởng của chúng lên xung sáng. Chương II: Lý thuyết tán sắc vận tốc nhóm và sự tự biến điệu pha. Chương này sẽ tập trung đi sâu về lý thuyết của hiện tượng tán sắc vận tốc nhóm tại các chế 2
độ lan truyền xung khác nhau, nghiên cứu sự ảnh của hiện tượng này đối với sự mở rộng xung của các dạng xung khác nhau: xung Gauss, xung Gauss có chirp, xung Secant hyperbolic, xung Super Gauss. Lý thuyết tự biến điệu pha với bài toán mở rộng xung và ảnh hưởng của dạng xung cũng như chirp tần số ban đầu. Cuối cùng là sự ảnh hưởng của cả hai yếu tố tán sắc và tự biến điệu pha đến sự lan truyền xung sáng. Chương III: Khảo sát ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm và chirp tần số lên xung sóng dạng Secant Hyperbolic. Bắt đầu với một soliton quang học, bằng phương pháp tán xạ ngược, chúng ta sẽ tìm được nghiệm dạng xung Secant hyperbolic cho sóng sáng soliton. Bằng phương pháp số chúng tôi khảo sát ảnh hưởng của tham số tán sắc và chirp tần số lên xung secant hyperbolic. Phương pháp tán xạ ngược cho phép chúng tôi khảo sát tương tác của hai soliton cùng lan truyền trong sợi phụ thuộc vào các thông số đặc trưng là khoảng phân cách ban đầu, mối quan hệ về pha và biên độ. Cuối cùng là những khảo sát ban đầu về tương tác của ba soliton trong sợi quang. 3
CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH SÓNG VÀ SỰ LAN TRUYỀN XUNG SÁNG TRONG SỢI QUANG Khi ánh sáng hay trường điện từ bất kỳ truyền trong môi trường dẫn quang (sợi quang), nó sẽ chịu tác dụng của nhiều hiệu ứng khác nhau, đặc biệt hiệu ứng phi tuyến đối với xung ngắn và cực ngắn. Hệ phương trình Maxwell cho các trường điện từ sẽ đưa ra phương trình tổng quát và được xem xét trong các bài toán cụ thể là: phương trình tổng quát cho bài toán mode sợi và điều kiện tồn tại đơn mode trong sợi quang - những đặc trưng của mode cơ bản. Phương trình tổng quát cho bài toán lan truyền xung sáng nói chung và xung phi tuyến nói riêng - những điều kiện đặc biệt của môi trường sợi quang giúp chúng ta đơn giản hóa phương trình tổng quát phức tạp - các hiệu ứng phi tuyến bậc cao. 1.1 Hệ phương trình Maxwell Giống như tất cả các trường điện từ, ánh sáng với bản chất là một sóng điện từ nên sự lan truyền của nó bị chi phối bởi hệ phương trình Maxwell. Trong hệ thống đơn vị quốc tế [2] hệ phương trình Maxwell có dạng: ∇× =− (1.1.1) ∇× = + (1.1.2) ∇. = (1.1.3) ∇. =0 (1.1.4) Trong đó E và H là hai véc tơ cường độ điện trường và cường độ từ trường, D và B là véc tơ cảm ứng điện và cảm ứng từ. Véc tơ mật độ dòng J và véc tơ mật độ điện tích đại diện cho nguồn phát của trường điện. Trong môi trường điện tích tự do như sợi quang thì J=0 và =0. Mật độ thông lượng D và B phát sinh tương ứng với trường điện, E và H tương ứng với trường từ lan truyền bên trong môi trường. Mối liên hệ giữa chúng là: D= E+P (1.1.5) B= H +M (1.1.6) 4
là hằng số điện môi trong chân không, là độ từ thẩm trong chân không, P và M là véc tơ phân cực điện và phân cực từ. Trong một môi trường phi từ tính như sợi quang thì M=0. Phương trình Maxwell có thể được sử dụng để tìm các phương trình sóng, mô tả sự lan truyền ánh sáng trong các sợi quang. Bằng cách lấy rota của phương trình (1.1.1), sử dụng phương trình (1.1.2), (1.1.5), (1.1.6), ta có thể bỏ qua B và D, sử dụng mối liên hệ µ0 0 =1/c2 ta thu được phương trình cho E và P là: ∇×∇× =− − (1.1.7) Trong đó c là tốc độ của ánh sáng trong chân không. Khi tần số quang học xấp xỉ tần số của môi trường cộng hưởng thì P và E liên hệ theo phương trình: ( ) ( ) ( ) = ( . + : + ⋮ + ⋯ ). Nếu chúng ta chỉ xem xét các hiệu ( ) ứng phi tuyến bậc ba được chi phối bởi thì véc tơ phân cực gây ra bởi hai thành phần là: ( , )= ( , )+ ( , ) (1.1.8) Trong đó PL là thành phần tuyến tính, thành phần phi tuyến là PNL. Hai thành phần này liên hệ với trường điện E : ( ) ( , )= ∫ ( − ). ( , ) ′ (1.1.9) ( ) ( , )= ∭ ( − , − , − ) ⋮× ( , ) ( , ) ( , ) . (1.1.10) Các phương trình (1.1.7) - (1.1.10) đưa ra một dạng thức chung để nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến bậc ba trong sợi quang. Vì sự phức tạp của các phương trình trên, chúng ta thực hiện một vài phép xấp xỉ đơn giản hóa. Xấp xỉ lớn nhất là phân cực phi tuyến PNL trong phương trình (1.1.8) được coi là một biến đổi nhỏ so với toàn bộ sự phân cực. Điều này hợp lý vì các hiệu ứng phi tuyến là tương đối yếu trong các sợi silic. Do đó bước đầu tiên ta giải phương trình (1.1.7) với PNL = 0: ∇×∇× ( , )− ( ) ( , ) (1.1.11) Trong đó ( , ) là biến đổi Fourier của ( , ) và được định nghĩa là: ( , )=∫ ( , ) exp( ) (1.1.12) 5
Các hằng số điện môi phụ thuộc vào tần số xuất hiện trong phương trình (1.1.12) được định nghĩa: ( ) ( )=1+ ( ) (1.1.13) ( ) ( ) Trong đó ( ) là biến đổi Fourier của ( ). Cũng giống như ( ), ( ) ( ) thường là số phức. Phần thực và phần ảo có thể liên hệ với chỉ số khúc xạ n( ) và hệ số hấp thụ ( ) bởi liên hệ: =( + ⁄2 ) . (1.1.14) ( ) Từ phương trình (1.1.13) và (1.1.14), n và liên hệ với bằng các phương trình: ( ) ( )=1+ ( ) (1.1.15) ( ) ( )= [ ( )] (1.1.16) Trong đó Re và Im là phần thực và phần ảo tương ứng. Có hai phép đơn giản hóa hơn nữa có thể được thực hiện trước khi giải phương trình (1.1.11): thứ nhất, vì trong vùng bước sóng sử dụng, hao phí sợi quang thấp, phần ảo của ε (ω) là nhỏ so với phần thực. Vì vậy, chúng ta có thể thay thế ε (ω) bởi ( ). Thứ hai, n ( ) thường độc lập với các tọa độ không gian trong cả lõi và lớp vỏ của sợi quang chiết suất bậc, nên ta có thể sử dụng: ∇×∇× ≡ ∇(∇. ) − ∇ = −∇ (1.1.17) Trong đó mối liên hệ ∇. = ∇. = 0 đã được sử dụng từ phương trình (1.1.3) Với những phép đơn giản hóa đó phương trình (1.1.11) có dạng đơn giản là: ∇ + ( ) = 0. (1.1.18) Phương trình này sẽ được giải sau đây trong bài toán mode sợi với những điều kiện cụ thể. 1.2 Các mode sợi Tại bất kỳ tần số ω, sợi quang có thể tạo ra một số hữu hạn các mode định hướng, có sự phân bố không gian ( , ) là một nghiệm của phương trình sóng (1.1.18) và đáp ứng tất cả các điều kiện biên thích hợp. Ngoài ra, sợi quang có thể tạo ra một chế độ bức xạ liên tục của các mode [6]. 1.2.1 Phương trình trị riêng 6
Do tính đối xứng hình trụ của các sợi quang nên ta có thể biểu diễn phương trình sóng (1.1.18) trong tọa độ hình trụ ρ, φ và z: + + + + =0 (1.2.1) Trong đó = ⁄ = 2 ⁄ và là biến đổi Fourier của trường điện E ( , )= ∫ ( , ) exp(− ) (1.2.2) Mối quan hệ tương tự tồn tại trong trường từ H(r; t). E và H thỏa mãn phương trình Maxwell (1.1.1) - (1.1.4) và chỉ có hai trong sáu thành phần là độc lập. Đó là nguyên tắc để chọn , như các thành phần độc lập và biểu diễn , ∅, , ∅ trong số hạng cuả và . Cả , đều thỏa mãn phương trình (1.2.1). Các phương trình sóng cho được giải dễ dàng bằng cách sử dụng phương pháp tách biến, kết quả ta thu được dạng thức chung sau đây: ( , ) = ( ) ( ) exp(± ) exp( ) (1.2.3) Trong đó A là hằng số chuẩn hóa, là hằng số truyền, m là một số nguyên và ( ) là nghiệm của phương trình: + + − − =0 (1.2.4) Trong đó chỉ số chiết suất n = n1 khi ρ a). Phương trình (1.2.4) là phương trình khác biệt cho các hàm Bessel. Nghiệm tổng thể của nó bên trong lõi có thể được viết như ( )= ( )+ ( ) (1.2.5) Trong đó Jm là hàm Bessel, Nm là hàm Neumann, và ⁄ Ƙ=( − ) (1.2.6) Các hằng số C1 và C2 được xác định bằng cách sử dụng điều kiện biên. Nm(κρ) có một điểm kỳ dị tại ρ = 0, C2 = 0 cho một nghiệm rất có ý nghĩa vật lý [2]. Hằng số C1 có thể được chứa trong A khi xuất hiện trong phương trình (1.2.3). Do đó, ( )= ( ), ≤ (1.2.7) Tại vùng vỏ sợi (ρ>=a), các nghiệm F(ρ) bị phân rã theo cấp số nhân khi ρ lớn. Do đó, ( )= ( ), ≥ (1.2.8) 7
Trong đó ⁄ =( − ) (1.2.9) Theo cách như vậy ta cũng có được các thành phần từ trường . Từ điều kiện biên ta thấy rằng các thành phần tiếp tuyến của và là liên tục trên mặt cắt chéo từ lõi đến vỏ , , , ∅ và ∅ là tương tự khi ρ = a được tiệm cận từ bên trong hoặc bên ngoài lõi. Các phương trình thành phần trường tại ρ = a dẫn đến một phương trình trị riêng có nghiệm xác định hằng số truyền β của các mode sợi. Khi đó, chúng ta viết phương trình trị riêng một cách trực tiếp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + = (1.2.10) ( ) ( ) ( ) ( ) Trong đó chúng tôi sử dụng mối liên hệ quan trọng: Ƙ + =( − ) (1.2.11) Phương trình trị riêng (1.2.10) nói chung có một số nghiệm β tại mỗi giá trị nguyên của m. Nó thể hiện các nghiệm này bởi hệ số βmn, trong đó cả m và n có giá trị nguyên. Mỗi trị riêng βmn tương ứng với một mode cụ thể được phát ra trong sợi quang. Các trường phân bố tương ứng thu được từ phương trình (1.2.3). Điều đó có nghĩa là có hai loại mode sợi, được xem như HEmn và EHmn. Khi m = 0, các mode tương tự như trường điện ngang (TE) và trường từ ngang (TM), là mode của một ống dẫn sóng phẳng bởi vì thành phần trục dọc của điện trường, hoặc từ trường bằng 0 [6], [7]. Tuy nhiên, m> 0, các mode sợi trở thành hybrid, cả sáu thành phần của trường điện từ là khác không. 1.2.2 Điều kiện đơn mode Số lượng các mode phát ra bởi một sợi quang cụ thể ở một bước sóng nhất định phụ thuộc vào các thông số của nó, cụ thể là bán kính lõi a và chỉ số khác biệt giữa lõi, sợi n1 - n2. Một thông số quan trọng cho mỗi mode là tần số cut-off. Tần số này được xác định bởi điều kiện γ = 0. Giá trị của κ khi γ = 0 xác định một tần số cut- off từ phương trình (1.2.11). Định nghĩa một tần số chuẩn hóa V bằng mối liên hệ: ⁄ = = ( − ) (1.2.12) Trong đó κc thu được từ phương trình (2.2.11) bằng cách thiết lập γ = 0. Phương trình trị riêng (1.2.10) có thể được sử dụng để xác định các giá trị của V tại các mode sợi khác nhau. Một sợi đơn mode chỉ phát ra mode HE11, còn được gọi 8