Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Các quá trình rã có sự tham gia của hạt tựa axion

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận văn trình bày về quá trình rã một hạt tựa axion thành 2 photon nhằm mục đích tính được tốc độ phân rã trong quá trình rã của hạt tựa axion. Đề tài đưa ra một số kiến thức chung về tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã, trình bày về các hạt tựa axion trong các mô hình... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Các quá trình rã có sự tham gia của hạt tựa axion

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------------- MAI XUÂN DŨNG CÁC QUÁ TRÌNH RÃ CÓ SỰ THAM GIA CỦA HẠT TỰA AXION LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------------- MAI XUÂN DŨNG CÁC QUÁ TRÌNH RÃ CÓ SỰ THAM GIA CỦA HẠT TỰA AXION Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Hà Huy Bằng Hà Nội - 2014
Lời Cảm Ơn Đầu tiên em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS.TS. Hà Huy Bằng, giảng viên trường Đại hoc khoa học Tự Nhiên. Thầy đã hết lòng dẫn dắt, chỉ bảo cho em có được những kiến thức, cách tiếp cận giải quyết vấn đề một cách khoa học và động viên em rất nhiều trong suốt thời gian em hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong trường và các thầy ở bộ môn vật lý lý thuyết. Các thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức về chuyên ngành hết sức bổ ích và cần thiết, cũng như đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong quá trình học tập. Các thầy đã cho em thấy được lòng nhiệt huyết, sự say mê trong công tác giảng dậy cho các thế hệ sau. Cuối cùng em xin được nói lời cảm ơn tới những thành viên trong gia đình và bạn bè đã luôn động viên, sát cánh bên em trong suốt thời gian làm khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà nội, ngày 04 tháng 12 năm 2014 Học viên Mai Xuân Dũng Mai Xuân Dũng
MỤC LỤC MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1: TỐC ĐỘ PHÂN RÃ TRONG VẬT LÍ HẠT CƠ BẢN ...................... 5 1.1. Ma trận tán xạ S ................................................................................................... 5 1.1.1. Khái niệm: ........................................................................................................ 5 1.1.2. Ý nghĩa vật lí của ma trận tán xạ S: ................................................................. 6 1.2.Tiết diện tán xạ ..................................................................................................... 7 1.2.1.Khái niệm : ........................................................................................................ 7 1.2.2.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân :.................................................................... 8 CHƯƠNG 2: CÁC HẠT TỰA AXION TRONG MÔ HÌNH.................................. 17 CHUẨN MỞ RỘNG ................................................................................................ 17 2.1. Axion trong mô hình PQWW ............................................................................ 17 2.2. Các hạt tựa Axion .............................................................................................. 19 2.3. Một số tương tác cơ bản để tạo hạt tựa axion.................................................... 21 2.4. Tương tác điện từ trong nền của hạt tựa axion lạnh .......................................... 22 2.4.1. Phương trình Euler – Lagrangian: ................................................................ 22 2.4.2. Véc tơ phân cực và quan hệ phân tán: ........................................................... 24 2.5. Quá trình tương tác của hạt tựa Axion với photon trong trường điện từ .......... 26 CHƯƠNG 3: QUÁ TRÌNH RÃ HẠT TỰA AXION THÀNH 2 PHOTON ......... 29 3.1. Sự chuyển của photon thành hạt tựa axion trong trường từ tĩnh có dạng a  b  c ..29 3.1.1. Tiết diện tán xạ vi phân: ................................................................................. 29 3.1.2. Nhận xét chung: .............................................................................................. 31 3.2. Tương tác giữa photon và hạt tựa axion trong trường từ tĩnh có dạng a  b  c 31 3.3. Quá trình rã hạt tựa axion thành 2 photon ......................................................... 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 41 PHỤ LỤC ................................................................................................................. 42 Mai Xuân Dũng
MỞ ĐẦU Vật lí hạt cơ bản là một nhánh của vật lí nghiên cứu các thành phần hạ nguyên tử cơ bản, bức xạ và các tương tác của chúng. Lĩnh vực này cũng được gọi là vật lí năng lượng cao bởi nhiều hạt cơ bản không xuất hiện ở điều kiện thông thường. Chúng chỉ có thể được tạo ra qua các va chạm trong máy gia tốc năng lượng cao. Những hiểu biết của chúng ta về thế giới tự nhiên phần lớn là nhờ lý thuyết về vật lí hat. Các hạt cơ bản là cơ sở của sự tồn tại của vũ trụ nhưng cũng còn khá nhiều bí ẩn liên quan tới chúng. Nhờ cơ học lượng tử chúng có thể được coi là các điểm không có cấu trúc, không kích thước hoặc là sóng. Tất cả các hạt khác là phức hợp của các hạt cơ bản. Các nghiên cứu về vật lí hạt hiện đại đang tập trung vào các hạt hạ nguyên tử, các thành phần cấu tạo nên nguyên tử như: điện tử, proton, neutron (proton và neutron thực chất là các hạt phức hợp cấu thành bởi hạt quark và gluon), các hạt sinh ra từ hoạt động phóng xạ như: photon, neutrino, muon, và các “hạt lạ” (ví dụ về một “hạt lạ” là tachyon – một loại hạt lý thuyết di chuyển nhanh hơn ánh sáng). Mô hình chuẩn Con người luôn đặt cho mình nhiệm vụ tìm hiểu thế giới vật chất được hình thành từ thứ gì, cái gì gắn kết chúng với nhau. Trong quá trình đi tìm lời giải đáp cho những câu hỏi đó, càng ngày chúng ta càng hiểu rõ hơn về cấu trúc của vật chất từ thế giới vĩ mô qua vật lí nguyên tử và hạt nhân cho tới vật lí hạt. Các quy luật của tự nhiên được tóm tắt trong Mô hình chuẩn (standard model). Mô hình này đã mô tả thành công bức tranh hạt cơ bản và các tương tác, góp phần quan trọng vào sự phát triển của vật lí hạt. Theo mô hình chuẩn, vũ trụ cấu trúc từ 6 hạt quark và 6 hạt nhẹ (lepton) chia đều thành 3 nhóm. Các hạt đó kết nối nhau nhờ 4 tương tác cơ bản. Thêm nữa, 4 tương tác được thực hiện qua các boson (graviton cho hấp dẫn, photon ảo cho điện từ, 3 boson trung gian cho tương tác yếu và 8 gluon tương tác mạnh). Tất cả các hạt cấu trúc và hạt mang tương tác đó đã được thấy trong máy gia tốc, trừ graviton. Mai Xuân Dũng 1
Trong hơn 30 năm qua, kể từ khi Mô hình chuẩn ra đời, chúng ta đã được chứng kiến những thành công nổi bật của nó. Mô hình này đã đưa ra một số tiên đoán mới và có ý nghĩa quyết định. Sự tồn tại của dòng yếu trung hòa và các véc-tơ bosson trung gian cũng những hệ thức liên hệ về khối lượng của chúng đã được thực nghiệm xác nhận. Gần đây, một loạt phép đo kiểm tra giá trị của các thông số điện yếu đã được tiến hành trên các máy gia tốc Tevatron, LEP và SLC với độ chính xác rất cao, đạt tới 0,1% hoặc bé hơn. Người ta xác nhận rằng các hệ số liên kết giữa W và Z với lepton và quark có giá trị đúng như Mô hình chuẩn đã dự đoán. Hạt Higgs bosson, dấu vết còn lại của sự phá vỡ đối xứng tự phát, những thông tin quan trọng được rút ra từ việc kết hợp số liệu tổng thế có tính đến các hiệu ứng vòng của hạt Higgs đảm bảo sự tồn tại của hạt này. Số liệu thực nghiệm cũng cho thấy rằng khối lượng của hạt Higgs phải bé hơn 260 GeV, phù hợp hoàn toàn với dự đoán theo lý thuyết. Như vậy, có thể kết luận rằng các quan sát thực nghiệm cho kết quả phù hợp với Mô hình chuẩn ở độ chính xác rật cao. Mô hình chuẩn cho ta một cách thức mô tả tự nhiên kích thước vi mô cỡ 10-16 cm cho tới các khoảng cách vũ trụ cỡ 1028 cm và được xem là một trong những thành tựu lớn nhất của loài người trong việc tìm hiểu tự nhiên. Bên cạnh đó, có đến hơn 10 lý do để Mô hình chuẩn - lý thuyết vật lí tốt nhất lịch sử khoa học - không thể là mô hình cuối cùng của vật lí học, trong đó nổi bật là:  Mô hình chuẩn không giải quyết được các vấn đề có liên quan đến số lượng và cấu trúc các thế hệ fermion. Cụ thể, người ta không giải thích được tại sao trong Mô hình chuẩn số thế hệ quark – lepton phải là 3 và mối liên hệ giữa các thế hệ như thế nào?  Theo Mô hình chuẩn thì neutrino chỉ có phân cực trái, ngĩa là không có khối lượng. Trong thực tế, các số liệu đo neutrino khí quyển do nhóm Super – Kamiokande công bố năm 1998 đã cung cấp những bằng chứng về sự dao động của neutrino khẳng định rằng các hạt neutrino có khối lượng  Mô hình chuẩn không giải thích được các vấn đề sự lượng tử hóa điện tích, sự bất đối xứng giữa vật chất và phản vật chất, sự bền vững của proton. Mai Xuân Dũng 2
 Để phù hợp với các sự kiện thực nghiệm, khi xây dựng Mô hình chuẩn, người ta phải dựa vào một số lượng lớn các tham số tự do. Ngoài ra, lực hấp dẫn với các cấu trúc khác biệt so với các lực mạnh và điện yếu, không được đưa vào mô hình  Mô hình chuẩn không tiên đoán được các hiện tượng vật lý ở thang năng lượng cao cỡ TeV, mà chỉ đúng ở thang năng lượng thấp vào khoảng 200 GeV  Mô hình chuẩn không giải thích được tại sao quark lại có khối lượng quá lớn so với dự đoán. Về mặt lý thuyết, dựa theo Mô hình chuẩn thì khối lượng của quark t vào khoảng 10 GeV, trong khi đó, năm 1995, tại Fermilab, người ta đo được khối lượng của nó là 175GeV Từ những thành công và hạn chế của Mô hình chuẩn, có thể nhận định rằng đóng góp lớn nhất của mô hình này đối với vật lý học là nó đã định hướng cho việc thống nhất các tương tác trong vật lí học hiện đại bằng một nguyên lý chuẩn. Theo đó, các tương tác được mô tả một cách thống nhất bởi đối xứng chuẩn, còn khối lượng các hạt được giải thích bằng cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát ( cơ chế Higgs). Mô hình chuẩn mở rộng Để khắc phục khó khăn hạn chế của mô hình chuẩn các nhà vật lí lý thuyết đã xây dựng khá nhiều lý thuyết mở rộng hơn như lý thuyết thống nhất (Grand unified theory - GU) , siêu đối xứng (supersymmtry), sắc kỹ (techou - color), lý thuyết Preon, lý thuyết Acceleron….. Mỗi hướng mở rộng Mô hình chuẩn đều có ưu nhược điểm riêng. Ví dụ, các mô hình mở rộng đối xứng chuẩn không thể trả lời vấn đề phân bậc. Các mô hình siêu đối xứng có thể giải thích vấn đề này tuy nhiên lại dự đoán vật lí mới ở thang năng lượng thấp ( cỡ TeV ). Ngoài siêu đối xứng, có một hướng khả quan để mở rộng Mô hình chuẩn là lý thuyết mở rộng thêm chiều không gian (gọi là Extra Dimension). Lý thuyết đầu tiên theo hướng này là lý thuyết Kaluza – Klein (1921) mở rộng không gian bốn chiều thành không gian năm chiều, nhằm mục đích thống nhất tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ. Lý thuyết này đã gặp một số khó khăn về mặt hiện tượng luận, tuy Mai Xuân Dũng 3
nhiên ý tưởng của nó là cơ sở cho các lý thuyết hiện đại sau này như: thống nhất Higgs – Gauge, lý thuyết mở rộng với số chiều không gian lớn (large extra dimension), lý thuyết dây (string theory). Để khắc phục khó khăn hạn chế của mô hình chuẩn, đặc biệt để giải quyết vấn đề CP mạnh (đối xứng liên hợp điện tích và tính chẵn lẻ) thì cần phải đưa ra các hạt axion hay các hạt tựa axion đối với lý thuyết dây là lý thuyết mở rộng quan trọng của mô hình chuẩn. Chính vì lí do đó tôi đã chọn đề tài “Các quá trình rã có sự tham gia của hạt tựa axion” Nội dung luận văn trình bày về quá trình rã một hạt tựa axion thành 2 photon nhằm mục đích tính được tốc độ phân rã trong quá trình rã của hạt tựa axion. Bài luận văn này bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo. Chương 1.Đưa ra một số kiến thức chung về tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã. Chương 2.Trình bày về các hạt tựa axion trong các mô hình. Chương 3.Xét quá trình rã của một hạt tựa axion thành 2 photon. Từ đó thu được biểu thức cụ thể để tính được tốc độ phân rã. Mai Xuân Dũng 4
CHƯƠNG 1: TỐC ĐỘ PHÂN RÃ TRONG VẬT LÍ HẠT CƠ BẢN 1.1. Ma trận tán xạ S 1.1.1. Khái niệm: Phương trình chuyển động trong biểu diễn tương tác là: (t ) (1.1) i  H (t )  (t ) t trong đó H(t) là Hamiltonien tương tác,  (t ) là véc tơ trạng thái tương tác. Giả sử ban đầu đã cho véc tơ trạng thái  (t o ) , ta cần xác định véc tơ trạng thái tại các thời điểm t > to. Ta thấy phương trình (2.5) là tuyến tính nên nghiệm viết dưới dạng:  (t )  S (t , to ) (t o ) (1.2) S(t,to) là toán tử tuyến tính, ta xác định được dạng của toán tử này:  S(t,to) =  S ( n) (t , t (1.3) o) n 0 trong đó S(o)(t, to) = 1 t S (t, to) =  i  dt1Hˆ (t1 ) (1) to t t1 2 S (t, to) = (i )  dt1  dt 2 Hˆ (t1 )Hˆ (t 2 ) (1) to to t t1 tn n S (t, to) = (i )  dt1  dt 2 ...  dt n Hˆ (t1 )...Hˆ (t n ) (n) to to to Nhận xét: Toán tử S(t, to) là một toán tử unita: S’(t, to)S(t, to) = 1 (1.4) Mai Xuân Dũng 5
Trong công thức của S(t, to) dạng tổng quát (2.7) chứa các số hạng tích phân có cận dưới là to nhưng cận trên lại khác nhau. Điều này khá bất tiện cho việc tính toán. Vì thế bằng cách đổi cận trên trong các số hạng chứa tích phân của S(t, to), ta đưa các cận trên về cùng một giá trị ta có: n t t0 t0 S(n)(t, to) = (i )  dt1  dt2 ...  dtn P  Hˆ (t1 )...Hˆ (tn )  (1.5) n   to t1 tn 1 ˆ (t )Hˆ (t )...Hˆ (t )]  Hˆ (t )Hˆ (t )...Hˆ (t ) trong đó: P[H (1.6) i1 i2 in i1 i2 in ti1  ti2  ti3 ...  tin Khi xét bài toán tán xạ, ta coi hệ ban đầu là hoàn toàn tự do. Các hạt không tương tác với nhau. Sau tương tác, các hạt ở cùng trạng thái hoàn toàn tự do. Khi đó to  -  , t   , và viết dưới dạng hàm mũ ta có:      ˆ S = S(  , -  ) = P exp i  dtH (t )  (1.7)   1   S được gọi là ma trận tán xạ. 1.1.2. Ý nghĩa vật lý của ma trận tán xạ S: Như vậy xét một hệ ban đầu ta coi hệ ở quá khứ xa xưa, to = -  . Khi đó các hạt hoàn toàn tự do và véc tơ trạng thái của hệ là:  (  )   (i ) có dạng hoàn toàn tương tự véc tơ trạng thái của hệ các trường tự do. Sau quá trình tán xạ tại thời điểm cuối ở tương lai xa xăm t =  , hệ ở trạng thái mới  ( ) liên hệ với trạng thái ban đầu bởi hệ thức:  ( )  S (  )  S (i ) (1.8) Khi đó các hạt ở xa nhau vô cùng, không tương tác lên nhau, ta cũng có thể coi  ( ) như là véc tơ trạng thái của hệ mới các hạt tự do. Nếu ký hiệu bộ đầy đủ các véc tơ trạng thái của hệ là  n thì ta có thể khai triển  ( ) theo chúng: Mai Xuân Dũng 6
 ( )   C n  n n  C n   n /  ( ) (1.9) Tại t =  , xác xuất tìm thấy hệ ở trạng thái Wn  C n 2   n / S  2 (1.10) Nếu tại thời điểm ban đầu hệ ở trạng thái  i , xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái cuối  i là: Wn  C n 2   n / S  2 (1.11) Để tìm Wif ta cần tính yếu tố ma trận Sif: Sif   f / S i (1.12)  n Hay S = S no (1.13) n  S n  i    f / P Hˆ  t1  ....Hˆ (tn ) / i Với i f  n  dt....  dt   (1.14) Khi không có tương tác : S 0  fi fi Khi có tương tác thì ta có : S = 1 + i R hay S =  fi + iR fi Từ (2.18), (2.19) trong trường hợp tổng quát ta viết được : 2 S fi    2 8  ( pi  p f 2 M fi 2 1.2.Tiết diện tán xạ 1.2.1.Khái niệm : Giả sử có một hạt bia ở trong một miền không gian A và một hạt đạn đi qua miền không gian này. Xác suất tán xạ P được định nghĩa như sau: Mai Xuân Dũng 7
= (1.15) Trong đó là xác suất tìm tán xạ trong một đơn vị thể tích và được gọi là tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình tán xạ. Xác suất tán xạ P và miền không gian A đều không phụ thuộc vào hệ quy chiếu là khối tâm hay phòng thí nghiệm. Do vậy, tiết diện tán xạ không phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn. Trường hợp tán xạ có nhiều hạt tới và nhiều hạt bia, khi đó tốc độ tán xạ R được định nghĩa như sau: = . . . (1.16) Trong đó F là số hạt tới trong một đơn vị thể tích và một đơn vị thời gian: = (1.17) Với là mật độ hạt tới, là vận tốc tương đối giữa hai hạt với nhau ( = ), là số hạt bia. Khi đó biểu thức (1.22) được viết lại như sau: = (1.18) Trong nhiều trường hợp, ta chỉ quan tâm tới sự tán xạ trong một góc khối. Ta có khái niệm: Tiết diện tán xạ riêng phần, hay tiết diện tán xạ vi phân . Do góc khối dΩ Ф phụ thuộc vào hệ quy chiếu cho nên tiết diện tán xạ vi phân phụ thuộc vào hệ quy Ω chiếu. 1.2.2.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân : Xác suất cho một chuyển dời từ trạng thái i( ) đến trạng thái f( ) với ≠ là: 2 2 2 W fi  S fi  R fi  (2 )8 ( 4 ( p f  pi )) 2 M fi (1.19) Ta có ( 4 (q )) 2   4 (q) 4 (0), ( 4 (q)) 2   4 (q) 4 (0) (1.20) Trong đó Mai Xuân Dũng 8
4 4 4 1 iq x  d 4x VT  (0)  lim( (q ))  lim  d x e   (1.21) q 0 q 0 (2 ) 4 (2 ) 4 (2 ) 4 Do đó 2 W fi  (2 ) 2 ( 4 ( p f  pi )) M fi VT (1.22) Xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian là: Wfi 2 rate fi   (2 )4 ( 4 ( p f  pi )) M fi V (1.23) T Biến đổi công thức trên về dạng sau 4 4 2 n d 3 pk n 1  rate fi  (2 )   ( p f  pi ) M fi  k 1 (2  3 V (1.24) Tổng lấy theo nhiều hạt ở trạng thái cuối. Mặt khác: 1  rate fi  ni rel Nt fi   rel fi V (1.25) So sánh (1.10) với (1.11), ta có: V n2 4 4 2 n d 3 pk  fi   rel (2 )   ( p f  pi ) M fi  k 1 (2 ) 3 (1.26) ở đây : 1 V n2  n (1.27) 2 E a 2 Eb  2 E k k 1 Từ đó suy ra : (2 ) 4 2 n d 3 pk  fi    4 ( p f  pi ) M fi  (1.28) 4 E a E b rel k 1 (2 ) 3 2 E k Trong đó , là năng lượng cấc hạt tới a, b và Mai Xuân Dũng 9
Vrel  Vab  Va  Vb (1.29) Là vận tốc tương đối giữa hai hạt. Tiết diện tán xạ vi phân 2 M fi 4 4 n d 3 pk d fi  (2 )  ( p f  p i )  (1.30) 4 E a E b rel k 1 (2 ) 3 2 E k 2 M Hay d  d f (1.31) 4F Trong đó F  Ea Eb rel   i Flab  P ( k ) mb (1.32)  Fcm  P (k ) ( Ea  Eb ) 4 4 n d 3 pk d   (2 )  ( p f  p i )  (1.33) k 1 (2 ) 3 2 E k Đối với trường hợp hệ hạt đồng nhất, ta có: 2 M d  d f S (1.34) 4F Trong đó 1 S  (1.35) i li ! ở đây là số hạt đồng nhất loại I tại trạng thái cuối. Mai Xuân Dũng 10
Xét quá trình tán xạ với hai hạt ở trạng thái đầu có xung lượng là ( p1 , p2 ) , khối lượng (m1 , m2 ) , cho (n-2) hạt ở trạng thái cuối có xung lượng ( p3 , p4 ,..., pn ) , khối lượng (m3 , m4 ,..., mn ) . Phần thể tích không gian pha của trạng thái cuối là:    1 d 3 p3 d 3 p4 d 3 pn d  f ( p3 , p4 ,..., pn )  (2 )4 4 ( p3  p4  pn  pi ) ... (2 )3(n2) 2E3 2E4 2En (1.36) Với pi  p1  p2 Nếu quan tâm đến xác suất tán xạ theo một phương nào đó ( , ) trong góc khối d   d d cos  thì 2 M d   d f (1.37) d 4F Trường hợp n = 4 (quá trình tán xạ hai hạt tới, hai hạt ra): Tại góc cố định ( , ), kết quả tích phân theo không gian pha của hai hạt sau phép lấy tích phân đối với toàn và toàn là  3  2  4 4 3 1 d p3 d p4 d  p3 d p3 d  ( p ,  f 3 4 d p )  (2 )  ( p3  p4  p1  p2 )  d (2 )6 2E3 2E4 16 E3 E4 d ( E3  E4 ) (1.38) Do đó   d M2 p3 d p3  (1.39) d  64 2 F E3 E4 d ( E3  E4 )  2 Với E  p 3  m32 2 3 (1.40)  2  2  2  2 E  p 3  E4  ( p1  p 2  p 3 )  m42 2 4 2 (1.41) Mai Xuân Dũng 11
Đối với các hạt không có spin, sự phụ thuộc của ma trận M vào xung lượng chỉ thông qua bất biến Lorentz bởi các biến s,t và u được gọi là các biến Mandelstam được định nghĩa như sau:  s  ( p1  p2 ) 2  ( p3  p4 ) 2  2 2 t  ( p1  p3 )  ( p4  p2 ) (1.42)  2 2 u  ( p1  p4 )  ( p3  p2 ) Do đó s  t  u  m12  m22  m32  m42  2 p1[(p1 +p 2 )-(p3 +p 4 )] (1.43) Trong hệ quy chiếu khối tâm, các xung lượng 4 chiều được định nghĩa như sau     p1  ( E1 , p ), p2  ( E2 ,  p ), p3  ( E3 , p), p4  ( E4 ,  p) (1.44) Áp dụng các định luật bảo toàn năng, xung lượng ta được s  t  u  m12  m22  m32  m42 (1.45) Ta có  2  2 2  2   d m3  p  d m4  p    d ( E3  E4 ) E3 E4   E3 E4      p ( E3  E4 )  p ( E1  E2 ) d p3  d p3 d p    (1.46) Mặt khác  Fcm  p ( E1  E2 ) (1.47) s  ( E1  E2 ) (1.48) Khi đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân được viết lại như sau Mai Xuân Dũng 12
  d  1 p 2    2  M (1.49)  d  cm 64 s p Chú ý rằng  2 1 p   ( s, m12 , m22 ) (1.50) 4  2 1 p   ( s, m32 , m42 ) (1.51) 4s Với  (a, b, c)  (a  b  c)2  4abc   a  ( b  c ) 2   a  ( b  c )2  (1.52) Mà t  ( p1  p3 )2  m12  m32  2 p1 p3    m12  m32  2 E1 E3  2 p1 p3 Cos 2 2   (1.53)  m1  m3  2 E1 E3  2 p1 p Cos   Ta suy ra dt  2 p p  C os (1.54)    0,   Ta có góc khối : d   sin  d d , trong đó   0,2   d   2 dcos    dt , 0     (1.55) p p Do đó ở dạng khác, chúng ta có thể viết biểu thức tiết diện tán xạ vi phân theo các biến s và t như sau: Mai Xuân Dũng 13
2  d  M     2  dt cm 64 s p (1.56) Khi lấy tổng theo spin của các hạt ở trạng thái cuối, và lấy trung bình theo spin của các hạt ở trạng thái đầu, ta thay 2 2 1 2 M  M   M (1.57) s3 s4 (2s1  1)(2s2  1) s1 , s2 s3 , s4 Có thể biết lại (1.55) dưới dạng sau 2  d  M    2 2 (1.58)  d  cm 16 ( s, m1 , m2 ) Bây giờ ta xét bài toán trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm: p1  ( E1 , p ); p2  ( m2 , 0); p3  ( E3 , p ); p4  ( E4 , p4 ) (1.59) Ta dễ dàng thu được các hệ thức sau: E4  E1  m2  E2 p42  ( p  p) 2  p 2  p2  2 p p cos( lab ) d ( E3  E4 ) E3 E4  p ( E1  E2 )  p cos(lab ) (1.60) d p Thay (1.56) vào (1.25) ta thu được 2  d  M p 1    2  d  lab 64 m2 p p (1.61) ( E1  E2 )  cos( lab ) p Trong trường hợp: = , = Mai Xuân Dũng 14
1 2  d  M p  q2 2     1  (m2 E3  m1 )  (1.62)  d  lab 64 2 m22 p  2m22 p2   1.3. Tốc độ phân rã Xét sự phân rã của một hạt có năng lượng Ep và khối lượng M phân rã thành n hạt ở trạng thái cuối với xung lượng p1, p2, …, pn. Thông qua lý thuyết xác suất và xem xét đặc trưng của quá trình vật lý ta có công thức tính tốc độ tán xạ: 2 M fi d ( p  p1  p2  ...  pn )  d f s (1.63) 2 EP Trong đó d  f và s được xác định như sau: n d 3 pk d  (2 ) 4  4 ( p f  pi ) (1.64) k 1 (2 )3 2 Ek Đối với trường hợp hệ hạt đồng nhất, ta có: 2 M d  d f s (1.65) 4F 1 Trong đó : S   (1.66) i li ! Với li là số hạt đồng nhất loại i tại trạng thái cuối. Một trường hợp cụ thể thường gặp là một hạt m phân rã ở trạng thái nghỉ (P=0) thành hai hạt khác nhau có khối lượng m1, m2. Ta có: 1 P   (m 2 , m12 , m22 ) (1.67) 2M Tốc độ phân rã vi phân 2 M p d  ( m  p1  p 2 )  d . (1.68) 32 2 m 2 Để có biểu thức tốc độ phân rã ta lấy tích phân theo góc khối toàn phần Mai Xuân Dũng 15
p 2  ( m  p1  p 2 )   M d (1.69) 3 2 2 m 2 Với s = 1 cho trường hợp hai hạt ở trạng thái cuối khác nhau và s=1/2 khi chúng giống nhau. Mai Xuân Dũng 16