intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải số phương trình vi phân đại số bằng phương pháp đa bước

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST
Báo xấu
178
lượt xem 22
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này, tác giả trình bày một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân chỉ số 1 và phương trình vi phân chỉ số 2, cụ thể là phương pháp Euler ẩn và phương pháp BDF k bước. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải số phương trình vi phân đại số bằng phương pháp đa bước

  1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HẢI DUNG GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TSKH. VŨ HOÀNG LINH Hà Nội - 2014
  2. Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời nói đầu iii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 Giới thiệu 1 1.1 Phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . 1 1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao . . . . . . 2 1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân . . . . . 5 1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước . . 5 1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể . . . . . . . 6 2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 19 2.1 Sự hội tụ của phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Phương pháp Euler ẩn . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Phương pháp BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 2 30 3.1 Sự tồn tại duy nhất của lời giải số . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Ảnh hưởng của nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Sai số địa phương. Sự hội tụ của phương pháp BDF . . 35 i
  3. MỤC LỤC 3.3.1 Sai số địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2 Sự hội tụ của BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Phương pháp đa bước tổng quát . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phép lặp Newton . 42 3.6 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ii
  4. Lời nói đầu Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trong khi đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình vi phân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây. Phương trình vi phân đại số là bài toán đặt không chỉnh, vì vậy có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình vi phân thường. Ví dụ như ma trận hệ số là ma trận suy biến, sự tồn tại và duy nhất nghiệm phụ thuộc vào vế phải,..., khiến việc nghiên cứu những vấn đề định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại số trở nên phức tạp hơn nhiều so với phương trình vi phân thường. Phương trình vi phân đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi, chúng mô phỏng các hệ động lực có ràng buộc, chẳng hạn như hệ cơ học, hệ mạch điện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực học chất lỏng và nhiều lĩnh vực khác. Động thái chuyển động của một đối tượng vật lý thường được mô hình hóa qua hệ phương trình vi phân. Nhưng nếu các trạng thái của hệ thống vật lý chịu một số ràng buộc (về vị trí, năng lượng,...) thì các hạn chế đó được mô tả bởi các phương trình (ràng buộc) đại số. Những hệ như vậy bao gồm các phương trình vi phân và phương trình đại số, được gọi là hệ phương trình vi phân đại số. Khái niệm chỉ số được sử dụng trong lý thuyết phương trình vi phân đại số để đo độ phức tạp của một phương trình vi phân đại số đối với phương trình vi phân thường. Chỉ số là một số nguyên không âm, cung cấp thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và sự phức tạp trong việc phân tích hệ phương trình vi phân đại số. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân chỉ số 1 và phương trình vi phân chỉ số 2, cụ thể là phương pháp Euler ẩn và phương pháp BDF k bước. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương: iii
  5. MỤC LỤC Chương 1: Giới thiệu Trình bày phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình vi phân đại số chỉ số cao. Trình bày một số phương pháp đa bước cụ thể giải phương trình vi phân và điều kiện ổn định của phương pháp đa bước. Chương 2: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 1, phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, sự hội tụ của bài toán nhiễu suy biến. Lấy ví dụ minh họa và thử nghiệm số. Chương 3: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 2 Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 2, phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, ảnh hưởng của nhiễu, sự hội tụ của phương pháp BDF và phương pháp đa bước nói chung. Lấy ví dụ minh họa và thử nghiệm số. iv
  6. Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giảng dạy tận tình và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt luận văn. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS Vũ Hoàng Linh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn. Nhân dịp này, tôi cũng xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và động viên trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả các bạn, các anh, các chị, em trong lớp cao học Toán khóa 2010 - 2012 và khóa 2011 - 2013 đã tận tình giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Hải Dung
  7. Chương 1 Giới thiệu 1.1 Phương trình vi phân đại số 1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Xét phương trình εz 00 + (z 2 − 1)z 0 + z = 0. (1.1) Ta thay đồng nhất thức 3   d z εz 00 + (z 2 − 1)z 0 = εz 0 + ( − z) dx 3 | {z } :=y vào (1.1), ta có y 0 = −z =: f (y, z), 3 (1.2) εz 0 = y − ( z3 − z) =: g(y, z). Đặt ε = 0 trong (1.2) ta được một bài toán đơn giản y 0 = −z =: f (y, z), z3 (1.3) 0 = y − ( 3 − z) =: g(y, z). Trong khi việc giải (1.2) không đơn giản thì (1.3) dễ dàng giải được y 0 = −z = (z 2 − 1)z 0 , 1
  8. Chương 1. Giới thiệu 2 từ đó suy ra ln |z| − z2 = x + C. Phương trình (1.3) được gọi là phương trình vi phân đại số. Ta có thể thấy, phương trình vi phân đại số là sự kết hợp giữa phương trình vi phân và phương trình đại số. 1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao Dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số là phương trình vi phân ẩn F (x, u, u0 ) = 0, (1.4) ∂F trong đó u : R → Rm là lời giải, F : R × Rm × Rm → Rm là hàm số, ∂u0 suy biến. Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân đại số (1.4) có chỉ số vi phân d = m nếu m là số nhỏ nhất của các vi phân dF (u0 , u) dm F (u0 , u) F (u0 , u) = 0, = 0, . . . , = 0, (1.5) dx dxm sao cho từ phương trình (1.5) chúng ta rút ra được hệ phương trình vi phân thường u0 = ϕ(u). Hệ chỉ số 1. Xét phương trình vi phân đại số y 0 = f (y, z), (1.6) 0 = g(y, z). (1.7) (không có z 0 ). Ta lấy đạo hàm (1.7), thu được gy (y, z)f (y, z) + gz (y, z)z 0 = 0, suy ra z 0 = −gz−1 (y, z).gy (y, z)f (y, z), 2
  9. Chương 1. Giới thiệu nếu gz là khả nghịch trong lân cận của lời giải. Vì vậy bài toán (1.6), (1.7) có chỉ số vi phân là 1 nếu gz khả nghịch. Hệ chỉ số 2. Xét phương trình vi phân đại số y 0 = f (y, z), (1.8) 0 = g(y). (1.9) Trong đó z không có mặt trong ràng buộc đại số. Lấy đạo hàm (1.9) ta thu được "ràng buộc ẩn" 0 = gy (y)f (y, z). (1.10) Nếu gy (y)fz (y, z) khả nghịch trong lân cận của lời giải thì phương trình (1.8), (1.10) là phương trình chỉ số 1. Lấy vi phân phương trình (1.10) cho ta phương trình vi phân của z, vì thế phương trình (1.8), (1.9) là phương trình vi phân chỉ số 2. Nếu giá trị ban đầu thỏa mãn 0 = g(y0 ) và 0 = gy (y0 )f (y0 , z0 ) thì ta gọi chúng là "tương thích". Chỉ trong trường hợp này, phương trình (1.8) và (1.9) có lời giải duy nhất địa phương. Chỉ số nhiễu Quan niệm thứ hai về chỉ số, giải thích chỉ số như là tiêu chuẩn (đơn vị đo) về độ nhạy cảm của lời giải đối với nhiễu của bài toán cho trước. Định nghĩa 1.2. Phương trình (1.4) có chỉ số nhiễu p = m dọc theo lời giải u(x) trên [0, x), nếu m là số nguyên nhỏ nhất sao cho mọi lời giải u b(x) của phương trình có nhiễu F (x, u b0 ) = δ(x), b, u (1.11) tồn tại trên [0, x) và có đánh giá  (m−1) kb u(x) − u(x)k ≤ C kb u(0) − u(0)k + max kδ(ξ)k + . . . + max δ (ξ) , 0≤ξ≤x 0≤ξ≤x (1.12) với biểu thức vế phải là đủ nhỏ, C là hằng số. 3
  10. Chương 1. Giới thiệu Hệ chỉ số 1. Để tính toán chỉ số nhiễu của phương trình (1.6), (1.7), ta xét hệ bị nhiễu yb0 = f (b y , zb) + δ1 (x), (1.13) 0 = g(b y , zb) + δ2 (x). (1.14) Ta thấy hiệu zb−z có thể được đánh giá nhờ định lý hàm ẩn mà không cần bất kỳ đạo hàm nào của lời giải. Vì gz là khả nghịch, từ phương trình (1.14), (1.7), ta có kb z (x) − z(x)k ≤ C1 (kb y (x) − y(x)k + kδ2 (x)k) , (1.15) với vế phải của (1.15) là đủ nhỏ. Trừ (1.13) cho (1.6), lấy tích phân từ 0 → x, sử dụng điều kiện Lips- chitz cho f và ước lượng trên cho zb(x)−z(x) cho ta e(x) = kb y (x) − y(x)k thỏa mãn x Zx Zx Z e(x) ≤ e(0) + C2 e(t)dt + C3 kδ2 (t)k dt + δ1 (t)dt . 0 0 0 Trong ước lượng này, lấy chuẩn phần trong tích phân cho δ2 , phần ngoài tích phân cho δ1 . Điều này là đúng trong trường hợp nhiễu của phương trình đại số (1.7) quan trọng hơn nhiễu của phương trình vi phân (1.6). Cuối cùng ta áp dụng Bổ đề Gronwall Rx Rξ kb y (x) − y(x)k ≤ C4 (kb y (0) − y(0)k + kδ2 (t)k dt + max δ1 (t)dt ) 0 0≤ξ≤x 0 ≤ C5 (kb y (0) − y(0)k + max kδ2 (ξ)k + max kδ1 (ξ)k). 0≤ξ≤x 0≤ξ≤x Bất đẳng thức này cùng với bất đẳng thức (1.15) chỉ ra chỉ số nhiễu của bài toán là 1. Hệ chỉ số 2. Xét nhiễu của phương trình (1.8), (1.9) như sau: yb0 = f (b y , zb) + δ(x), (1.16) 4
  11. Chương 1. Giới thiệu 0 = g(b y ) + θ(x). (1.17) Đạo hàm (1.17) ta được 0 = gy (b y )f (b y )δ(x) + θ0 (x). y , zb) + gy (b (1.18) Nếu gy (y)fz (y, z) là khả nghịch ta có thể sử dụng ước lượng cho trường hợp chỉ số 1 (với δ2 (x) thay bởi gy ((x))δ(x) + θ0 (x)) thu được Rx   kb y (0) − y(0)k + (kδ(x)k + kθ0 (x)k) dξ , y (x) − y(x)k ≤ C kb  0 (1.19) 0 kb z (x) − z(x)k ≤ C kb y (0) − y(0)k + max kδ(ξ)k + max kθ (ξ)k . 0≤ξ≤x 0≤ξ≤x Do ước lượng này phụ thuộc vào đạo hàm bậc nhất của θ nên chỉ số nhiễu của bài toán là 2. 1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân 1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước Phương pháp đa bước tổng quát áp dụng cho bài toán giá trị ban đầu y 0 = f (x, y) , y (x0 ) = y0 , có dạng αk ym+k + αk−1 ym+k−1 + . . . + α0 ym = h(βk fm+k + . . . + β0 fm ), (1.20) trong đó fi = f (xi , yi ) , i = 0, 1, . . .. Áp dụng cho phương trình thử y 0 = Jy, (1.21) ta được αk ym+k + αk−1 ym+k−1 + . . . + α0 ym = hJ(βk ym+k + . . . + β0 ym ).(1.22) 5
  12. Chương 1. Giới thiệu Đưa vào một cơ sở mới các vectơ ym+i là các vectơ riêng của J tương ứng với giá trị riêng λ ta có (αk − µβk )ym+k + . . . + (α0 − µβ0 )ym = 0, µ = hλ. (1.23) Miền ổn định Giải (1.23) ta sử dụng phương pháp Lagrange. Đặt yj = ζ j , chia 2 vế cho ζ m và xét phương trình đặc trưng (αk − µβk )ζ k + . . . + (α0 − µβ0 ) = %(ζ) − µσ(ζ) = 0, (1.24) k k αj ζ k−j , σ(ζ) = βj ζ k−j . P P với %(ζ) = j=0 j=0 Phương trình (1.23) có lời giải ổn định nếu tất cả các nghiệm của (1.24) nhỏ hơn hoặc bằng 1, ( cụ thể | ζi |≤ 1 và | ζj |< 1 nếu ζj là nghiệm bội. Định nghĩa 1.3. Tập hợp S = {µ ∈ C, mọi nghiệm ζj (µ) của (1.24) thỏa mãn | ζj (µ) |≤ 1, nghiệm bội thỏa mãn | ζj (µ) |< 1} được gọi là miền ổn định của phương pháp (1.20). S được gọi là miền ổn định A nếu S ⊃ C¯ (C ¯ là nửa trái đóng của mặt phẳng phức). - Nếu S ⊃ C, ¯ µ −→ ∞ thì từ nghiệm của phương trình (1.24) suy ra σ(ζ) = 0. - Nếu µ = 0, từ phương trình (1.24) suy ra %(ζ) = 0. Do đó 0 ∈ S. 1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể Phương pháp Adams Kí hiệu xi = x0 + ih là các điểm lưới, yn , yn−1 , . . . , yn−k+1 là các xấp xỉ của các nghiệm chính xác y (xn ) , y (xn−1 ) , . . . , y (xn−k+1 ) của phương trình vi phân y 0 = f (x, y) , (1.25) y (x0 ) = y0 . Lấy tích phân (1.25) trong khoảng từ xn đến xn+1 ta được x Zn+1 y (xn+1 ) = y (xn ) + f (t, y (t)) dt. (1.26) xn 6
  13. Chương 1. Giới thiệu Vế phải của phương trình (1.26) xuất hiện lời giải chưa biết y (x), nhưng từ các xấp xỉ yn , yn−1 , . . . , yn−k+1 đã biết, giá trị fi = f (xi , yi ) , i = n − k + 1, . . . n có thể tìm được và nó thay hàm f (t, y (t)) trong phương trình (1.26) bởi đa thức nội suy tại các điểm {(xi , yi ) , i = n − k + 1, . . . n}. Đa thức này có thể được biểu diễn bằng sai phân lùi ∇0 fn = fn , ∇j+1 fn = ∇j fn − ∇j fn−1 như sau k−1   X j −s p (t) = p (xn + sh) = (−1) ∇j f n . (1.27) j j=0 Khi đó phương trình (1.26) dẫn đến x Zn+1 yn+1 = yn + p (t) dt xn hoặc được đưa về dạng (sau khi thay phương trình (1.27) vào) k−1 X yn+1 = yn + h γj ∇j fn (1.28) j=0 trong đó γj thỏa mãn Z1   j −s γj = (−1) ds. j 0 Với k = 1, 2, 3, 4 ta thu được các công thức sau: k=1: yn+1 = yn + hfn (Phương pháp Euler hiển) k=2: yn+1 = yn + h 2 fn − 12 fn−1 3 yn+1 = yn + h 23 16 5  k=3: f 12 n − f 12 n−1 + f 12 n−2 yn+1 = yn + h 55 59 37 9  k=3: 24 f n − 24 f n−1 + 24 f n−2 − 24 f n−3 . Phương pháp Adams hiển áp dụng cho công thức y 0 = λy có dạng k−1 X yn+1 = yn + µ γj ∇j fn j=0 7
  14. Chương 1. Giới thiệu hoặc đặt yn = ζ n và chia cho ζ n ta có       1 2 1 ζ − 1 = µ γ0 + γ1 1 − + γ2 1 − + 2 + . . . . ζ ζ ζ Khi đó đường cong quỹ tích nghiệm trở thành ζ −1 µ= k−1 , ζ = eiθ . γj (1 − ζ1 )j P j=0 Với k = 1 ta thu được đường tròn của phương pháp Euler, tâm là −1. Các đường cong trong hình 1.1 là đồ thị với k = 2, 3, . . . , 6 và ta thấy miền ổn định có kích thước giảm. Do đó phương pháp này không thích hợp giải bài toán cương. Hình 1.1: Miền ổn định của phương pháp Adams hiển Hình 1.2: Miền ổn định của phương pháp Adams ẩn Phương pháp Adams ẩn Công thức (1.28) thu được bằng cách lấy tích phân các đa thức nội suy (1.27) từ xn đến xn+1 , tức là bên ngoài khoảng nội suy (xn−k+1 , xn ). 8
  15. Chương 1. Giới thiệu Điều đó cho thấy, một đa thức nội suy thường là xấp xỉ yếu bên ngoài khoảng này. Do đó, Adams nghiên cứu phương pháp trong đó phương trình (1.27) được thay thế bằng các đa thức nội suy mà sử dụng thêm điểm (xn+1 , fn+1 ), tức là k   ∗ ∗ X j −s + 1 p (t) = p (xn + sh) = (−1) ∇j fn+1 . j j=0 Thay vào phương trình (1.26) ta được phương pháp ẩn sau k X yn+1 = yn + h γj∗ ∇j fn+1 , j=0 trong đó γj∗ thỏa mãn Z1   ∗ j −s + 1 γj = (−1) ds. j 0 Do đó, các công thức thu được thường có dạng yn+1 = yn + h (βk fn+1 + . . . + β0 fn−k+1 ) . Với k = 0, 1, 2, 3 ta có các công thức  k =0: yn+1 = yn + hfn+1 = yn + hf xn+1 , yn+1 = yn + h 21 fn+1 + 12 fn  k =1: yn+1 5 8 1  k =2: yn+1 = yn + h 12 fn+1 − 12 fn − 12 fn−1 9 fn+1 − 19 5 1  k =3: yn+1 = yn + h 24 24 fn − 24 fn−1 + 24 fn−2 . Phương pháp Adam ẩn áp dụng cho phương trình thử y 0 = λy có dạng k X yn+1 = yn + µ γj∗ ∇j fn+1 . j=0 Đặt yn = ζ n và chia hai vế cho ζ n+1 ta được       1 1 2 1 1 = + µ γ0∗ + γ1∗ 1 − + γ2∗ 1 − + 2 + . . . . ζ ζ ζ ζ 9
  16. Chương 1. Giới thiệu Khi đó đường cong quỹ tích nghiệm trở thành 1 − ζ1 µ= k j , ζ = eiθ . P ∗ 1 γj 1 − ζ j=0 Với k = 1, đây là quy tắc hình thang ẩn và có ổn định - A. Với k = 2, 3, . . . , 6 miền ổn định mặc dù rộng hơn so với phương pháp hiển nhưng không chứa C ¯ (Hình 1.2). Do đó phương pháp này không ổn định - A. Công thức dự báo hiệu chỉnh Thông thường để tính yn+1 trong phương trình ẩn ta sử dụng kết ∗ quả yn+1 của phương pháp Adams hiển như một biến độc lập trong βk f (xn+1 , yn+1 ). Nó phá hủy tính ổn định của phương pháp. Điều kiện ổn định thay đổi như sau: Công thức ∗ yn+1 = yn + µ(γ0 yn + γ1 (yn − yn−1 ) + γ2 (yn − 2yn−1 + yn−2 ) + . . .). (1.29) Thay vào trong công thức hiệu chỉnh ∗ yn+1 = yn + µ(γ0∗ yn+1 + ∗ ∗ γ1 (yn+1 − yn )+ (1.30) γ2∗ (yn+1 ∗ − 2yn + yn−1 )+ ∗ ∗ γ3 (yn+1 − 3yn + 3yn−1 − yn−2 ) + . . .). Đó chính là µ trong (1.25) và (1.26). Đặt yn = ζ n và chia cho ζ n , ta được phương trình bậc hai cho µ Aµ2 + Bµ + C = 0, (1.31) với ! j ! k k−1  X X 1 A= γj∗ γj 1 − , j=0 j=0 ζ k k j X X 1 B = (1 − ζ) γj∗ + ζ γj∗ 1 − , j=0 j=0 ζ C = 1 − ζ. 10
  17. Chương 1. Giới thiệu Với ζ = ei θ, phương trình (1.27) có hai nghiệm. Điều này cho thấy 2 đường cong quỹ tích nghiệm xác định miền ổn định. Đường cong này được mô tả ở Hình 1.3 và so sánh nó với phương pháp ẩn ta thấy chúng không ổn định. Đặc biệt, với k = 1, quy tắc hình thang trở thành phương pháp Runge - Kutta hiển bậc hai và miền ổn định-A bị phá hủy. Hình 1.3: Miền ổn định của công thức hiệu chỉnh so với phương pháp ẩn Phương pháp Nystrom Thay phương trình (1.26) bởi phương trình x Zn+1 y (xn+1 ) = y (xn−1 ) + f (t, y (t)) dt (1.32) xn−1 và thay thế hàm chưa biết f (t, y (t)) bởi đa thức nội suy p (t) ta thu được công thức Xk−1 yn+1 = yn−1 + h κj ∇j fn j=0 với hệ số Z1   j −s κj = (−1) ds. j −1 Phương pháp Nystrom hiển với k = 1, 2 là công thức trung điểm hiển yn+1 = yn−1 + 2hfn , và cho ta đường cong quỹ tích nghiệm eiθ − e−iθ µ= = i sin θ. 2 11
  18. Chương 1. Giới thiệu Đường cong này di chuyển lên xuống theo trục ảo giữa ±i và cho phép miền ổn định trong khoảng (−i, +i). Tất cả các giá trị riêng ở bên trong nửa trái của mặt phẳng phức cho ta tính không ổn định. Đây chính là lí do nghiệm thứ hai −1 của %(ζ) di chuyển ra ngoài vòng tròn đơn vị khi µ di chuyển về âm vô cực. Hiện tượng đặc biệt này được gọi là "tính không ổn định yếu" của quy tắc trung điểm và là "điểm đi vào" của điều kiện ổn định nhanh Dahlquist. Với k = 3 ta có công thức   7 2 1 yn+1 = yn−1 + µ fn − fn−1 + fn−2 . 3 3 3 Phương pháp Milne- Simpson Ta lại xét các phương trình tích phân (1.32) nhưng ta thay tích phân bởi các đa thức p∗ (t), trong đó ngoài fn , . . . , fn−k+1 ta cũng nội suy fn+1 . Như thường lệ, ta thu được công thức k X yn+1 = yn−1 + h κ∗j ∇j fn+1 j=0 với hệ số κ∗j được xác định Z1   j −s + 1 κ∗j = (−1) ds. j −1 Phương pháp Milne - Simpson với k = 0, 1, 2, 4 là k =0: yn+1 = yn−1 + 2hfn+1 k =1: yn+1 = yn−1 + 2hfn = yn−1 + h 31 fn+1 + 34 fn + 13 fn−1  k =2: yn+1 = yn−1 + h 29 124 24 4 1  k =4: yn+1 90 fn+1 + 90 fn + 90 fn−1 + 90 fn−2 − 90 fn−3 . Phương pháp Milne- Simpson ẩn với k = 2, 3 có đường cong quỹ tích nghiệm eiθ − e−iθ sinθ µ = 1 iθ 4 1 −iθ = 3i , 3 e + 3 + 3 e cosθ + 2 √ di chuyển lên xuống theo trục ảo giữa ±i 3 . Vì vậy nó có dáng điệu gần giống phương pháp Nystrom hiển với các khoảng ổn định to nhỏ 12
  19. Chương 1. Giới thiệu lồng vào nhau. Phương pháp Nystrom và Milne- Simpson bậc cao có đường cong quỹ tích nghiệm được định hướng xoay vòng (Hình 1.4). Vì thế miền ổn định này có thể thu gọn thành miền ổn định ban đầu. Phương pháp BDF Hình 1.4: Đường cong quỹ tích nghiệm của phương pháp Nystrom và Milne Giả sử xấp xỉ yn−k+1 , . . . , yn của lời giải chính xác của phương trình (1.25) là đã biết. Để xác định công thức của yn+1 ta xét các đa thức q (x) nội suy các giá trị {(xi , yi ) , i = n − k + 1, · · · , n + 1}. Đa thức này có thể biểu diễn bằng sai phân lùi, cụ thể k   X j −s + 1 q (x) = p (xn + sh) = (−1) ∇j yn+1 . j j=0 Giá trị yn+1 sẽ được xác định bằng cách cho đa thức q(x) thỏa mãn phương trình vi phân tại ít nhất một điểm lưới, tức là q 0 (xn+1−r ) = f (xn+1−r , yn+1−r ) . Với r = 1 ta thu được công thức hiển. Với k = 1 và k = 2 nó tương đương với phương pháp Euler hiển và công thức trung điểm hiển. Với k = 3 ta có 1 1 1 yn+1 + yn − yn−1 + yn−2 = hfn . 3 2 6 Tuy nhiên công thức này, cũng như đối với k > 3 là không ổn định và do đó không có ý nghĩa. 13
  20. Chương 1. Giới thiệu Với r = 0 ta có công thức ẩn k X δj∗ ∇j yn+1 = hfn+1 j=0 với hệ số  
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
207 tài liệu
1474 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1