Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Khối đa diện trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006 đến 2017: sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến dạy và học

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:100

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung nghiên cứu đề tài gồm 3 chương, được trình bày như sau: Các tổ chức toán học về khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài tập lớp 12;Tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện qua các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông từ 2006 đến 2017; Quan sát thực hành giảng dạy của giáo viên và sản phẩm của giáo viên và học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Khối đa diện trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006 đến 2017: sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến dạy và học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Ngọc KHỐI ĐA DIỆN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT TỪ 2006 ĐẾN 2017: SỰ TIẾN TRIỂN CỦA CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VÀ TÁC ĐỘNG ĐẾN DẠY VÀ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Ngọc KHỐI ĐA DIỆN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT TỪ 2006 ĐẾN 2017: SỰ TIẾN TRIỂN CỦA CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VÀ TÁC ĐỘNG ĐẾN DẠY VÀ HỌC Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 8140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài: “Khối đa diện trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006 đến 2017: sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến dạy và học” là kết quả công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, dưới sự hướng dẫn của Thầy Trần Lương Công Khanh, những trích dẫn trong luận văn, cũng như các kết quả nghiên cứu từ các công trình nghiên cứu của các tác giả khác đều được trích dẫn đầy đủ theo đúng quy định. Nguyễn Thanh Ngọc
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin đặc biệt gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS. Trần Lương Công Khanh, người đã hướng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi xin vô cùng cảm ơn:  PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh Dũng, các Thầy Cô đã rất nhiệt tình giảng dạy chúng tôi.  Các thầy cô ở Pháp đã góp ý, tư vấn cho chúng tôi có được hướng đi tốt trong nghiên cứu của mình. Tôi cũng rất cảm ơn:  Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau Đại học, Khoa Toán - Trường đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi.  Các thầy cô và học sinh trường THPT Trịnh Hoài Đức, trường THPT Huỳnh Văn Nghệ, Trung tâm GDNN - GDTX Thuận An, đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình thực nghiệm của luận văn.  Ban giám đốc, các thầy cô và học sinh của Trung tâm GDNN - GDTX Tân Uyên đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi rất nhiều trong quá trình tôi đi học và thực nghiệm của luận văn.  Các bạn lớp Didactic 27 vì sự đồng hành cùng nhau trong suốt khóa học. Cuối cùng, là sự biết ơn vô vàn đến gia đình tôi, đặc biệt là mẹ tôi, đã động viên và hỗ trợ hết lòng trong suốt quãng thời gian tôi đi học. Nguyễn Thanh Ngọc
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các từ viết tắt Danh mục các bảng MỞ ĐẦU.............................................................................................................. 1 Chương 1. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VỀ KHỐI ĐA DIỆN TRONG SÁCH GIÁO KHOA VÀ SÁCH BÀI TẬP LỚP 12 .................. 5 1.1. Các tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài tập hình học 12 cơ bản............................................................... 6 1.1.1. Tổ chức toán học hỗ trợ ...................................................................... 6 1.1.2. Tổ chức toán học phức hợp .............................................................. 10 1.1.3. Tổ chức toán học tức thời ................................................................. 17 1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài tập hình học 12 nâng cao ......................................................... 19 1.2.1. Tổ chức toán học hỗ trợ .................................................................... 20 1.2.2. Tổ chức toán học phức hợp .............................................................. 21 1.2.3. Tổ chức toán học tức thời ................................................................. 27 Kết luận chương 1 .............................................................................................. 30 Chương 2. TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI ĐA DIỆN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (2006 – 2017) ................................................................. 30 2.1. Những kiểu nhiệm vụ về khối đa diện luôn xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp thpt từ năm 2006 đến năm 2017 ............................................................ 31 2.2. Những kiểu nhiệm vụ về khối đa diện mới xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT 2017 ............................................................................................ 31 2.2.1. Biến thể của kiểu nhiệm vụ t4 .......................................................... 32 2.2.2. Biến thể của kiểu nhiệm vụ t4 .......................................................... 37
2.2.3. Kiểu nhiệm vụ t12.............................................................................. 40 2.2.4. Kiểu nhiệm vụ t1 ............................................................................... 41 2.2.5. Kiểu nhiệm vụ t6 ............................................................................... 41 2.3. Những kiểu nhiệm vụ về khối đa diện bị vắng bóng trong đề thi tốt nghiệp THPT 2017 ............................................................................................ 43 Kết luận chương 2 .............................................................................................. 44 Chương 3. QUAN SÁT THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN VÀ SẢN PHẨM CỦA HỌC SINH..................................................... 45 3.1. Quan sát thực hành giảng dạy của giáo viên ........................................... 45 3.1.1. Quan sát thực hành giảng dạy của g1 ............................................... 46 3.1.2. Quan sát thực hành giảng dạy của g2 ............................................... 50 3.1.3. Kết luận ............................................................................................ 54 3.2. Phân tích sản phẩm của học sinh và ý kiến giáo viên ............................. 54 3.2.1. Đối tượng .......................................................................................... 55 3.2.2. Hình thức .......................................................................................... 55 3.2.3. Bộ câu hỏi thực nghiệm .................................................................... 55 Kết luận chương 3 .............................................................................................. 69 KẾT LUẬN ....................................................................................................... 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................ 73 PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Từ viết tắt Nghĩa của từ viết tắt THPT Trung học phổ thông GDTX Giáo dục thường xuyên GDĐT Giáo dục và đào tạo HS Học sinh GV Giáo viên SGK Sách giáo khoa SBT Sách bài tập HH12CB Hình học 12 cơ bản HH12NC Hình học 12 nâng cao BTHH12CB Sách bài tập hình học 12 cơ bản BTHH12NC Sách bài tập hình học 12 nâng cao KNV Kiểu nhiệm vụ TCTH Tổ chức toán học
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ có trong HH12CB, BTHH12CB ................. 18 Bảng 1.2. Thống kê các kiểu nhiệm vụ có trong HH12NC, BTHH12NC ................. 28
1 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Hình học không gian là một trong những phân môn khó đối với HS Việt Nam, nhất là trong việc thực hành giải toán. Để giải một bài toán hình học không gian, HS không những phải biết huy động công thức, tính chất phù hợp, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mà còn phải biết vẽ hình biểu diễn vật thể trên mặt phẳng và đọc hình vẽ. Trong chương trình THPT hiện hành, HHKG được bắt đầu giảng dạy ở lớp 11 và tiếp tục ở lớp 12. Từ năm 2006 đến nay, một trong những chủ đề HHKG thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT là các KNV liên quan đến khối đa diện. Đây là một KNV khó đối với HS, đặc biệt khi kết quả thi tốt nghiệp THPT được dùng để xét tuyển đại học, cao đẳng (từ 2015) và khi đề toán chuyển sang hình thức trắc nghiệm (từ 2017). Những bài toán nào liên quan đến khối đa diện đã xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông từ 2006 đến 2017? Sự tiến triển của các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khối đa diện qua các đề thi này? Tác động của sự tiến triển này đối với giáo viên và học sinh? Những câu hỏi này đưa chúng tôi đến đề tài Khối đa diện trong các đề thi trung học phổ thông (2006-2017): Sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến dạy và học. 2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết Chúng tôi nghiên cứu đề tài của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán đó là thuyết nhân học và phân tích thực hành dạy học của giáo viên theo quan điểm Didactic, đặc biệt là khái niệm tổ chức toán học. 2.1. Quan hệ thể chế đối với một tri thức Lý thuyết nhân học sư phạm dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định nghĩa đó là đối tượng, cá thể, thể chế. Khi một cá thể X thâm nhập vào một thiết chế I mà trong đó tồn tại một đối tượng tri thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình thành. Cá thể X và hệ
2 thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân. Thông qua mối quan hệ cá nhân R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của thiết chế I. Khi một cá nhân thâm nhập vào một thể chế sư phạm, mối quan hệ của cá nhân với một đối tượng tri thức O nào đó được thiết lập dưới những ràng buộc của mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức này. Theo quan điểm này, truyền đạt một tri thức là quá trình thiết lập hoặc thay đổi quan hệ cá nhân của người học với tri thức dưới những ràng buộc của quan hệ thể chế đối với tri thức. 2.2. Tổ chức toán học Theo quan điểm của Chevallard (1998): một praxéologie là một bộ bốn [T, , , ]. trong đó T là kiểu nhiệm vụ gồm ít nhất một nhiệm vụ,  là kỹ thuật giúp giải quyết T,  là công nghệ biện minh cho  và  là lý thuyết biện minh cho . Trong một praxéologie, khối [T/ ] thuộc về thực hành và khối [/ ] thuộc về lý thuyết, lập luận. Nếu T là một kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên quan sẽ gọi là một tổ chức toán học. Từ đây, chúng ta phát biểu lại một số câu hỏi ban đầu như sau: Các tổ chức toán học nào liên quan đến khối đa diện được trình bày trong SGK cơ bản và nâng cao? Với mỗi KNV, các kỹ thuật có thể có trong mỗi giai đoạn? Các kỹ thuật được ưu tiên? Những KNV về khối đa diện trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông? Việc chuyển đề toán sang hình thức trắc nghiệm làm nảy sinh những KNV mới nào về khối đa diện? Các kỹ thuật có thể có? 2.3. Chuyển hóa sư phạm “Mọi tri thức S đều gắn với ít nhất một thể chế I mà trong đó tri thức được vận dụng vào một lĩnh vực thực tiễn D nào đó. Điều chủ yếu là một tri thức không tồn tại một cách riêng lẻ bên lề xã hội: mọi tri thức đều xuất hiện vào một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định như đã ăn sâu vào một hoặc nhiều thể chế” (Chevallard 1989). Để có thể tồn tại trong một thể chế, mọi tri thức đều phải chịu một số điều kiện ràng buộc nhất định. Sự chuyển hóa sư phạm có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây:
3 Tri thức bác học  Tri thức cần dạy (Thể chế chuyển hóa)  Tri thức được giảng dạy (Thể chế dạy học) Sự chuyển hóa sư phạm nội tại có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây (có 2 giai đoạn): Tri thức cần dạy (Tri thức chương trình)  Dự án dạy học  Tri thức được giảng dạy (Thể chế dạy học) Từ đây, chúng tôi xin phát biểu lại các câu hỏi ban đầu dựa trên những lý thuyết đã tham chiếu như sau: Q1. Các tổ chức toán học nào liên quan đến khối đa diện được trình bày trong SGK cơ bản và nâng cao? Với mỗi KNV, các kỹ thuật có thể có trong mỗi giai đoạn? Các kỹ thuật được ưu tiên? Q2. Những KNV về khối đa diện trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông? Việc chuyển đề toán sang hình thức trắc nghiệm làm nảy sinh những KNV mới nào về khối đa diện? Các kỹ thuật có thể có? Q3. Các kỹ thuật được giáo viên và học sinh ưu tiên chọn để giải quyết các KNV? Các yếu tố công nghệ - lý thuyết biện minh cho các kỹ thuật được ưu tiên? 3. Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện mục tiêu và trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu, thì nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu được tiến hành như sau:
4 + Xác định tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong SGK 12 hiện hành. + Xác định KNV liên quan đến khối đa diện trong trong các đề thi từ 2006 đến 2017. + Quan sát thực hành dạy học của GV. + Phân tích sản phẩm của GV và HS. 4. Cấu trúc của luận văn Luận văn này gồm 3 phần: phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương như sau: Chương 1: Các tổ chức toán học về khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài tập lớp 12. Chương 2: Tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện qua các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông từ 2006 đến 2017. Chương 3: Quan sát thực hành giảng dạy của giáo viên và sản phẩm của giáo viên và học sinh.
5 Chương 1 CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VỀ KHỐI ĐA DIỆN TRONG SÁCH GIÁO KHOA VÀ SÁCH BÀI TẬP LỚP 12 Ngày 05/5/2006, bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT về chương trình giáo dục phổ thông. Từ năm học 2006-2007, hai bộ sách toán THPT được sử dụng trong cả nước: bộ nâng cao dành cho ban khoa học tự nhiên, bộ cơ bản dành cho ban khoa học xã hội và cơ bản. Trong quá trình thực hiện chương trình, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Công văn số 5842/BGDĐT-VP ngày 01 tháng 9 năm 2011 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, công văn về giảm tải chương trình toán THPT, cụ thể vấn đề liên quan đến khối đa diện được trình bày ở chương I được áp dụng giảm tải như sau:  Bài 1: Khái niệm khối đa diện đều, phần bài tập giảm tải bài 1, 2 trang 12.  Bài 2:  Mục II trang 16, 17 và HĐ 4 trang 18 chỉ giới thiệu định lý và minh họa qua hình 1.20. Các nội dung còn lại của trang 16 – 17 và HĐ 4 trang 18 không dạy. Điều này đồng nghĩa với việc bảng tóm tắt 5 loại khối đa diện không được chú trọng.  Phần luyện tập: Giảm tải bài 4 trang 18 (giảm tải việc chứng minh các đường vuông góc).  Bài 3: Phần luyện tập giảm tải bài 3 trang 25 (giảm tải việc tính tỉ số thể tích của khối hộp, đồng thời giảm tải việc tính thể tích tứ diện thông qua tỉ số khối hộp).  Ôn chương I: làm bài phần tự luận (6,8,9,10,11 trang 26). Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sẽ không nghiên cứu rộng về khái niệm khối đa diện mà tập trung phân tích sâu các TCTH có liên quan trong SGK, SBT. Dựa trên khối logos (công nghệ, lý thuyết), Chevallard phân biệt 4 loại TCTH: TCTH điểm (organisation mathématique ponctuelle): TCTH xoay quanh một kiểu nhiệm vụ. TCTH địa phương (organisation mathématique locale): TCTH xoay quanh một công nghệ.
6 TCTH vùng (organisation mathématique régionale): TCTH xoay quanh một lý thuyết. TCTH tổng thể (organisation mathématique globale): TCTH xoay quanh nhiều lý thuyết. Trong luận văn này, với mục đích hướng đến kỳ thi trung học phổ thông, chúng tôi tạm đưa ra một cách phân loại khác, dựa trên vai trò của TCTH trong thực hành dạy học của giáo viên: TCTH tức thời: TCTH phục vụ cho việc hiểu, áp dụng một khái niệm, một tính chất đơn giản, xuất hiện vào thời điểm đưa vào khái niệm, tính chất đó, không xuất hiện vào những thời điểm sau. TCTH hỗ trợ: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng sẽ đóng vai trò kiểu nhiệm vụ con trong tổ chức toán học phức hợp. TCTH phức hợp: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu nhiệm vụ của TCTH hỗ trợ, và việc giải quyết nhiều kiểu nhiệm vụ tương ứng cần huy động rất nhiều công nghệ, lý thuyết. 1.1. Các tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 12 cơ bản Quyển sách HH12CB được trình bày theo ba chương: Khối đa diện; Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu; Phương pháp toạ độ trong không gian. Mỗi chương trình bày thành nhiều bài, có cả phần bài học và bài tập. Cuối mỗi chương có bài tập ôn gồm phần tự luận và phần trắc nghiệm. Sách HH12CB cũng dành khoảng 5 trang gần cuối quyển sách để trình bày ngắn gọn đáp án phần tự luận. Đề tài chúng tôi nghiên cứu được thể hiện ở chương 1: Khối đa diện, trong chương này được chia thành ba bài. 1.1.1. Tổ chức toán học hỗ trợ Khi tiến hành nghiên cứu HH12CB chúng tôi nhận thấy có các TCTH sau đây: 1.1.1.1. Tổ chức toán học O1: Phân chia, lắp ghép khối đa diện Kiểu nhiệm vụ tương ứng T1: Phân chia khối đa diện thành hữu hạn khối đa diện thỏa điều kiện cho trước hoặc lắp ghép hữu hạn khối đa diện cho trước thành khối đa diện thỏa điều kiện cho trước.
7 Dưới đây, chúng tôi trình bày ba ví dụ tiêu biểu để rút ra kỹ thuật, công nghệ, lý thuyết tương ứng. Ví dụ 1 (bài 4, tr 12, HH12CB): Chia một khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau. Lời giải mong đợi (booktoan.com): Chia khối lập phương thành hai hình lăng trụ bằng nhau ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’ vì chúng đối xứng qua (BDD’B’). Trong lăng trụ ABD.A’B’D’ ta xét ba khối tứ diện: D’A’AB, D’A’B’B, D’ADB. Ta có: D’A’AB, D’A’B’B bằng nhau vì đối xứng qua (A’D’CB). D’A’AB, D’ADB bằng nhau vì đối xứng qua (ABC’D’). Tương tự, chia hình lăng trụ BCD.B’C’D’ thành ba khối tứ diện D’B’BC, D’B’C’C, D’BDC, các khối tứ diện này bằng nhau và bằng ba khối tứ diện đã chia. Vậy ta có: D’A’AB, D’A’B’B, D’ADB, D’B’BC, D’B’C’C, D’BDC bằng nhau. Ví dụ 2 (bài 1.3, tr 11, BTHH12CB): Chia hình chóp tứ giác đều thành tám hình chóp bằng nhau. Lời giải mong đợi (BTHH12CB): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Hai đường chéo AC, BD và hai đường thẳng nối trung điểm các cặp đối diện của hình vuông ABCD chia hình vuông ABCD thành tám tam giác bằng nhau. Xem mỗi tam giác đó là đáy của một hình chóp đỉnh S ta sẽ được tám hình chóp bằng nhau. Ví dụ 3 (tr 11, BTHH12CB): Cho hình chóp tứ giác F.ABCD có đáy là hình vuông. Cạnh bên FC vuông góc với đáy và có độ dài bằng AB. Chứng minh rằng có thể dùng ba hình chóp bằng hình chóp trên để ghép lại thành một hình lập phương.
8 Lời giải mong đợi (BTHH12CB): Từ hình chóp trên ta dựng hình lập phương HEFG.ABCD. Ta thấy hai hình chóp F.ABCD và F.ABEH đối xứng với nhau qua mặt phẳng (ABF), hai hình chóp F.ABCD và F.AHGD đối xứng với nhau qua mặt phẳng (ADF). Do đó ba hình chóp F.ABCD, F.ABEH và F.AHGD bằng nhau. Như vậy có thể chia được hình lập phương HEFG.ABCD thành ba hình chóp bằng hình chóp F.ABCD. Từ đó suy ra có thể ghép ba hình chóp bằng hình chóp F.ABCD để thành một hình lập phương. Ba ví dụ trên giúp rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T1.  Kỹ thuật 1: + Đối với phân chia khối đa diện: Chọn hữu hạn mặt phẳng thích hợp để phân chia khối đa diện thành hữu hạn khối đa diện con. Chứng minh các khối đa diện con thỏa điều kiện đã cho và có thể ghép thành khối đa diện ban đầu. + Đối với lắp ghép khối đa diện: Dựng khối đa diện thỏa điều kiện cho trước và chứa ít nhất một trong các khối đa diện cho trước. Chứng minh phần còn lại của khối đa diện đã dựng cũng chứa các khối đa diện đã cho còn lại.  Công nghệ 1 + Định nghĩa của HH12CB: Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H). + Tính chất của các hình trong mặt phẳng và trong không gian, các hệ thức lượng trong không gian, các phép biến hình trong không gian, các tính chất.
9  Lý thuyết 1: Hình học Euclid trong mặt phẳng và trong không gian. Chúng tôi cho rằng kiểu nhiệm vụ T1 được tác giả sách giáo khoa đưa vào nhằm chuẩn bị cho việc giải quyết kiểu nhiệm vụ tính thể tích khối đa diện (sẽ đề cập ở phần sau). 1.1.1.2. Tổ chức toán học O2: Tính tỉ số diện tích Kiểu nhiệm vụ tương ứng T2: Tính tỉ số diện tích toàn phần của hai hình đa diện Tính tỷ số diện tích hai đa giác (đặc biệt là hai tam giác) là một KNV đã xuất hiện ở THCS và kỹ thuật được ưu tiên là tính bình phương tỷ số đồng dạng. Với trường hợp T2 đang xét, hình đang xét không còn là hình phẳng và không nhất thiết đồng dạng. Kỹ thuật “bình phương tỷ số đồng dạng” không còn phù hợp. Ví dụ 4 (bài 2, tr18): Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’). Lời giải mong đợi (booktoan.com) Ta xét khoảng cách giữa O1, O2, với O1 là tâm của (ABCD), O2 là tâm của (BCC’B’). 1 Dễ thấy O1O2//AB’ và O1O2= AB’. Gọi a là 2 𝑎 √2 cạnh của lập phương thì O1O2= . 2 Vì (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H) nên (H’) có 8 mặt 𝑎 √2 là tam giác đều cạnh là . 2 2 𝑎 √2 √3 𝑎 2 √3 S(H’)=8.( ) . = 2 4 8 S(H)=6a2 𝑆(𝐻) Vậy = 2√3 𝑆(𝐻′ ) Ví dụ 4 giúp rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T2 như sau:  Kỹ thuật 2: Bước 1: Tính diện tích toàn phần của từng đa diện bằng các công thức đã biết. Bước 2: Tính tỉ số hai diện tích.
10  Công nghệ 2: tính chất của các hình trong mặt phẳng và trong không gian, hệ thức lượng trong tam giác, các công thức tính diện tích.  Lý thuyết 1: Hình học Euclid trong mặt phẳng và trong không gian. Như vậy, việc giải quyết T2 đòi hỏi phải huy động trực tiếp các công thức tính diện tích toàn phần của đa diện và các tính chất của chúng. 1.1.1.3. Tổ chức toán học O3: Chứng minh một hình là hình đa diện đều Kiểu nhiệm vụ tương ứng T3 : Chứng minh một hình là hình đa diện đều. Ví dụ 5 (Hoạt động 4/ tr18 HH12CB): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có các cạnh bằng a. Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Lời giải mong đợi (HH12CB): Do sáu mặt của hình lập phương là các hình vuông bằng nhau nên đường chéo của chúng cũng bằng nhau. Suy ra bốn tam giác AB’C, AD’B’, D’B’C, AD’C là các tam giác đều. Tứ diện AB’CD’ là một tứ diện đều. Ta rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T3:  Kỹ thuật 3: Chứng minh các mặt là hình đa giác đều  Công nghệ 3: Các công thức tính góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau  Lý thuyết 3: Lý thuyết về hình đa diện đều. 1.1.2. Tổ chức toán học phức hợp Đây là TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu nhiệm vụ của TCTH hỗ trợ. 1.1.2.1. Tổ chức toán học O4: Tính thể tích khối đa diện Chúng tôi nhận thấy rằng để giải quyết KNV T4: Tính thể tích khối đa diện, có 3 kỹ thuật được SGK lựa chọn đó là: tính trực tiếp; phải phân chia, lắp ghép; tính nhờ tỷ số.
11 HH12CB ưu tiên việc trình bày kỹ thuật phải phân chia, lắp ghép và kỹ thuật tính nhờ tỷ số. Cụ thể HH12CB đã trình bày lý thuyết như sau: “Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau: a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) =1. b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1)=V(H2). c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diên H(1) và (H2) thì V(H1)= V(H1)+ V(H2). Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H). Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị”. Từ đó, HH12CB cũng đưa ra công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối lăng trụ, và khối chóp như sau: “Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó”. “Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh”. 1 “Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh”. 3 Từ những lý thuyết được cung cấp, ta có thể rút ra những kỹ thuật giải quyết sau:  Kỹ thuật 4,1: Bước 1: Chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ bằng nhau đơn giản hơn (nếu cần). Bước 2: Tính thể tích từng khối nhỏ đã chia. Bước 3: Tính thể tích khối đa diện ban đầu. (bằng cách tính tổng các thể tích khối nhỏ). Ví dụ 6 (trang 24/ HH12CB): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và BB’. Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ tại E’. Đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ tại F’. Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. a). Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V.
12 b). Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp C.ABFE. Tính tỉ số thể tích của (H) và của khối chóp C.C’E’F’. Lời giải: Hình chóp C.A’B’C’ và hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy và đường cao bằng nhau nên: 1 1 2 VC.A’B’C’= V. Từ đó suy ra VC.ABB’A’=V- V= V. 3 3 3 Do EF là đường trung bình của hình bình hành ABB’A’ nên diện tích ABFE bằng nửa 1 1 diện tích ABB’A’. Do đó VC.ABFE = . VC.ABB’A’ = V. 2 3 1 2 b) Áp dụng câu a) ta có: V(H) = VABC.A’B’C’ – VC.ABFE = V - V = V 3 3 1 Vì EA’ song song và bằng CC’ nên theo định lý Ta-lét, A’ là trung điểm của 2 E’C’. Tương tự, B’ là trung điểm của F’C’. Do đó diện tích tam giác C’E’F’ gấp bốn 4 lần diện tích tam giác A’B’C’. Từ đó suy ra VC.E’F’C’ = 4VC.A’B’C’= V. 3 𝑉(𝐻) 1 Do đó = 𝑉𝐶.𝐸′𝐹′𝐶′ 2  Kỹ thuật 4,2: Chúng tôi tạm gọi đây là kỹ thuật tính thể tích dựa vào tỉ số các thể tích. Bước 1: Tìm và tính tỉ số các thể tích Bước 2: Tính thể tích  Công nghệ 4-2: các công thức tính thể tích, các quan hệ định tính và định lượng trong hình học phẳng, chú ý công thức.