Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo viên về khái niệm tích phân

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:146

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung nghiên cứu đề tài gồm 4 chương, được trình bày như sau: Các cách tiếp cận khái niệm tích phân; Mối quan hệ của thể chế dạy học toán 12 đối với khái niệm tích phân; Nghiên cứu thực hành dạy học khái niệm tích phân của giáo viên; Nghiên cứu thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo viên về khái niệm tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trương Thị Oanh NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC CỦA GIÁO VIÊN VỀ KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trương Thị Oanh NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC CỦA GIÁO VIÊN VỀ KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ NGA Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Nga, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy. Tác giả Trương Thị Oanh
LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến những người đã cho tôi cơ hội, dẫn dắt và đồng hành với tôi suốt hai năm qua: - TS. Nguyễn Thị Nga, người luôn động viên và có những góp ý quý báu giúp cho tôi có thể hoàn thành luận văn này. - PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh Dũng, bằng sự nhiệt huyết và tận tâm, các thầy cô dẫn dắt tôi và các bạn đi vào thế giới Didactic Toán. Và hơn thế nữa, đó là tình thân trong gia đình Didactic. - GS.TS. Annie Bessot và GS.TS. Hamid Chaachoua, hai giáo sư đã cho tôi những góp ý quan trọng cho luận văn của mình. - TS. Trần Huyên, người thầy mà tôi học hỏi được nhiều điều về phương pháp tư duy trong toán học. - Anh Ngô Minh Đức đã cho tôi những lời khuyên hữu ích. - Các bạn trong lớp Didactic K26, những người cho tôi một lần nữa được sống với thời đi học đầy sôi nổi và tràn ngập yêu thương. Đặc biệt là chị Bích Siêng và Minh Yến, hai người bạn luôn đồng hành với tôi trong suốt quá trình học, chia sẻ vui buồn và đã hết lòng hỗ trợ tôi thực nghiệm thành công. - Ban Giám Hiệu và các thầy cô thuộc Tổ Toán – Tin, trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận đã tạo mọi điều kiện để tôi tham gia học tập và hoàn thành tốt luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn vô hạn đến các thành viên trong gia đình tôi, họ đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện để tôi có thể chuyên tâm học tập. Trương Thị Oanh
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các chữ viết tắt Danh mục các bảng Danh mục các hình MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 1 Chương 1. CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN ....................... 7 1.1. Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển khái niệm tích phân .............................. 7 1.2. Các cách tiếp cận khái niệm tích phân và đặc trưng của các cách tiếp cận .......10 1.2.1. Cách tiếp cận thứ nhất – Tiếp cận dựa trên bài toán là nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân: Tích phân là diện tích của hình phẳng (thể tích của vật thể) ...............................................................................................................................10 1.2.2. Cách tiếp cận thứ hai - Tiếp cận dựa trên việc chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và chuyển qua giới hạn tổng các xấp xỉ đó: Tích phân là giới hạn của tổng vô hạn các vô cùng bé. ................................................10 1.2.3. Cách tiếp cận thứ ba - Tiếp cận dựa trên mối quan hệ giữa tích phân và vi phân: Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm. ..............................................12 1.3. Kết luận...............................................................................................................14 Chương 2. MỐI QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN 12 ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN ................................................................. 15 2.1. Khái niệm tích phân được trình bày trong SGK12.............................................15 2.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản..............................................................15 2.1.2. Hai phương pháp tính tích phân ..................................................................18 2.1.3. Ứng dụng hình học của tích phân ................................................................19 2.2. Các praxéologies được SGK12 và SBT12 đề cập ..............................................21 2.2.1. Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức tự luận ..........................................21 2.2.2. Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc nghiệm ..................................35 2.3. Phân tích các Đề minh họa và đề chính thức của Bộ GD-ĐT trong năm học 2016 – 2017 liên quan đến khái niệm tích phân ........................................................37
2.3.1. Các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016 - 2017 37 2.3.2. Đề thi chính thức của Bộ GD-ĐT ngày 22/06/2017 ...................................46 2.4. Kết luận...............................................................................................................50 Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN CỦA GIÁO VIÊN .......................................................................... 53 3.1. Nghiên cứu thực hành dạy học của GV1 dạy chương trình Nâng cao ...............53 3.1.1. Những praxéologie quan sát được ...............................................................53 3.1.2. Tổ chức dạy học được GV1 sử dụng để đưa vào các praxéologie ..............54 3.1.3. Kết luận về nghiên cứu thực hành dạy học của GV1 ..................................61 3.2. Nghiên cứu thực hành dạy học của GV2 dạy chương trình Chuẩn....................61 3.2.1. Những praxéologie quan sát được và các tổ chức dạy học được GV2 sử dụng để đưa vào các praxéologie này....................................................................62 3.2.3. Kết luận về nghiên cứu thực hành dạy học của GV2 ..................................64 3.3. Kết luận...............................................................................................................65 Chương 4. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM..................................................... 67 4.1. Giới thiệu nội dung thực nghiệm ........................................................................67 4.2. Phân tích tiên nghiệm .........................................................................................69 4.2.1. Biến tình huống ...........................................................................................69 4.2.2. Giải thích sự lựa chọn và cái có thể quan sát ..............................................69 4.3. Phân tích hậu nghiệm .........................................................................................76 4.3.1. Phần 1 ..........................................................................................................76 4.3.2. Phần 2 ..........................................................................................................78 4.4. Kết luận...............................................................................................................94 KẾT LUẬN ............................................................................................................ 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 97 PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu Từ viết tắt Bộ GD-ĐT Bộ Giáo dục và Đào tạo CH Câu hỏi KNV Kiểu nhiệm vụ MTBT Máy tính bỏ túi GT Giả thuyết SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên SBT Sách bài tập SGK11 Sách giáo khoa giải tích 11 SGK12 Sách giáo khoa giải tích 12 SGKHH Sách giáo khoa hiện hành SGVĐSCB10 Sách giáo viên đại số cơ bản 10 SGKCB12 Sách giáo khoa giải tích cơ bản 12 SGVCB12 Sách giáo viên giải tích cơ bản 12 SBTCB12 Sách bài tập giải tích cơ bản 12 SGKNC12 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12 SGVNC12 Sách giáo viên giải tích nâng cao 12 SBTNC12 Sách bài tập giải tích nâng cao 12 THPT Trung học phổ thông TCN Trước công nguyên Tr Trang
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1.Thống kê các nhiệm vụ của 7 KNV được SGKHH đề cập............................34 Bảng 2.2. Thống kê số lượng nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc nghiệm của SGKHH .........................................................................................................................36 Bảng 2.3. Thống kê số lượng nhiệm vụ trong các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016 - 2017 ................................................................................... 38 Bảng 3.1. Thống kê những praxéologie quan sát được của GV1..................................54 Bảng 3.2. Thống kê những praxéologie quan sát được của GV2..................................62 Bảng 4.1. Thống kê số lượng GV từng trường và chương trình GV dạy năm học 2016 - 2017 ...............................................................................................................................76 Bảng 4.2. Thống kê số năm dạy 12 và số năm công tác ...............................................77 Bảng 4. 3. Thống kê mục đích sử dụng kết quả thi môn toán của HS ..........................77 Bảng 4.4. Thống kê câu trả lời câu hỏi 1.......................................................................78 Bảng 4.5. Thống kê về số lượng chiến lược được nêu ở câu hỏi 2 ...............................79 Bảng 4.6. Thống kê chiến lược ưu tiên ở câu hỏi 2.......................................................80 Bảng 4.7. Thống kê số lượng GV dạy các ứng dụng của tích phân ..............................92
DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 4.1. Câu hỏi 1 – Trả lời của GV2 ................................................................... 78 Hình 4.2. Câu hỏi 1 – Trả lời của GV6 ................................................................... 79 Hình 4.3. Câu hỏi 2 - Câu 1 - Trả lời của GV9 ...................................................... 80 Hình 4.4. Câu hỏi 2 - Câu 2 - Trả lời của GV13 ..................................................... 80 Hình 4.5. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV3.................................................................... 83 Hình 4.6. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV8.................................................................... 83 Hình 4.7. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV16.................................................................. 83 Hình 4.8. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV2.................................................................... 83 Hình 4.9. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV4.................................................................... 84 Hình 4.10. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV2.................................................................. 84 Hình 4.11. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV15................................................................ 84 Hình 4.12. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV4.................................................................. 85 Hình 4.13. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV22................................................................ 85 Hình 4.14. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV17................................................................ 85 Hình 4.15. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV8.................................................................. 86 Hình 4.16. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV3.................................................................. 89 Hình 4.17. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV15................................................................ 89 Hình 4.18. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV5.................................................................. 90 Hình 4.19. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV13................................................................ 91 Hình 4.20. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV2.................................................................. 91 Hình 4.21. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV13................................................................ 92 Hình 4.22. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV1.................................................................. 93 Hình 4.23. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV19................................................................ 93
1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát Bộ SGKHH nằm trong bộ chương trình THPT môn Toán được ban hành theo quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 05/5/2006 của Bộ GD-ĐT. Bộ sách này được biên soạn theo một số định hướng sau: 1. Hỗ trợ việc đổi mới phương pháp dạy và học 2. Trong phạm vi cho phép cố gắng giới thiệu văn hóa Toán học, làm cho Toán học gần đời sống và vui hơn 3. Bước đầu giới thiệu cách sử dụng máy tính bỏ túi và đưa ra các bài kiểm tra trắc nghiệm. … [SGVĐSCB10, tr.4 – 5] Kể từ năm 2009, đề thi của các kì thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Cao đẳng, Đại học, kì thi THPT quốc gia, được viết dựa trên nội dung của bộ SGKHH. Thống kê các bài tập liên quan đến khái niệm tích phân trong các kì thi trên tính đến năm 2016, chúng tôi nhận thấy: 𝑏 + Có 22/23 bài được phát biểu dưới dạng Tính tích phân ∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 , ví dụ: “Tính 2 𝑥 2 −1 tích phân ∫1 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥” [Đề tuyển sinh đại học năm 2013, khối A và A1], 𝑥2 + Có duy nhất một bài về tính diện tích hình phẳng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 + 3 và đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 + 1” [Đề tuyển sinh đại học năm 2014 khối A và A1] So sánh với các đề thi tương ứng trước năm 2009, chúng tôi không thấy có sự thay đổi các dạng bài tập liên quan đến khái niệm tích phân. Nếu có, sự thay đổi chỉ ở độ khó của đề thi giảm so với trước đây. Như vậy, mặc dù chương trình và SGKHH đã được đổi mới so với trước năm 2006 nhưng đề thi lại không có sự đổi mới tương ứng. Trong khi đó kết quả thi cử lại được xem là mục đích đào tạo. Do đó chúng ta có thể dự đoán việc dạy học của GV Toán 12 sẽ khó có những thay đổi đáng kể. Khái niệm tích phân có thể chỉ được khai
2 thác ở các kĩ thuật đại số, còn việc hiểu rõ bản chất và các ứng dụng có thể bị xem nhẹ. Dẫn đến những đổi mới trong SGK chưa thực sự đem lại hiệu quả. Kì thi THPT quốc gia 2017 đánh dấu sự thay đổi lớn về hình thức kiểm tra môn Toán. Lần đầu tiên môn Toán được tổ chức thi bằng hình thức trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng. Với hình thức trắc nghiệm, nội dung đề thi sẽ rộng hơn, không còn bó hẹp trong một số dạng toán quen thuộc. Đây là cơ hội để bộ SGKHH được GV khai thác triệt để và theo đó những kiến thức liên quan đến khái niệm tích phân được đề cập trong bộ sách này cũng được GV quan tâm thích đáng. Khi đó câu hỏi đặt ra là khái niệm tích phân đã thực sự được SGKHH trình bày thỏa đáng chưa? SGKHH có chuẩn bị những nền tảng cho việc thay đổi hình thức thi hay không? Tuy nhiên, hình thức thi đột ngột thay đổi (ngày 8/9/2016 Bộ GD-ĐT công bố dự thảo, ngày 28/9/2016 chốt phương án). Bên cạnh đó, đề thi trắc nghiệm chỉ cần chọn đáp án đúng, MTBT lại có chức năng tính tích phân nên câu hỏi tính tích phân như trước đây sẽ nhanh chóng tìm được đáp án mà không cần dùng đến các kiến thức về tích phân. Những điều trên đặt ra nhiều thách thức cho GV dạy toán 12 và chắc chắn buộc họ phải thay đổi cách dạy học của mình. Vậy thực tế những thay đổi đó là gì? GV có chú trọng giảng dạy đầy đủ các nội dung được SGK đề cập không? Họ có đề cao vai trò và xem MTBT như một công cụ hữu hiệu để giải toán trắc nghiệm tích phân không? Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài Nghiên cứu thực hành dạy học của GV về khái niệm tích phân. 2. Tổng quan về các công trình liên quan tới vấn đề nghiên cứu Liên quan đến khái niệm tích phân đã có nhiều công trình nghiên cứu: Về nghiên cứu tri thức luận: Trong luận văn của tác giả Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn chính của HS khi tiếp thu khái niệm tích phân, tác giả đã trình bày lịch sử hình thành khái niệm tích phân: Tích phân xuất phát từ nhu cầu tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể. Các phương pháp tính tích phân xuất phát từ thời Archimerdes và định nghĩa hoàn chỉnh bởi Riemann. Tuy nhiên, SGKHH chọn định nghĩa theo công thức Newton-Leibniz, công thức về
3 mối liên hệ giữa tích phân và đạo hàm, lại là nội dung chưa được chú ý khai thác trong luận văn này. Nhưng điều thiếu hụt đó phần nào được tác giả Lê Thị Hoài Châu bổ sung trong bài báo Phép tính tích phân và vi phân trong lịch sử đăng trên Tạp chí Khoa học ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh, số 4 năm 2004. Bài báo đã không những chỉ ra những bài toán gắn liền với phép tính tích phân, vi phân mà còn làm rõ mối quan hệ giữa chúng. Từ hai công trình này, chúng tôi có thể thấy rằng, về cơ bản các yếu tố tri thức luận của khái niệm tích phân đã được làm rõ. Chúng tôi có thể kế thừa chúng trong đề tài của mình và có thể chắt lọc lại những nội dung cần thiết theo hướng nghiên cứu đã chọn. Về nghiên cứu mối quan hệ của thể chế dạy học toán 12 của Việt Nam đối với khái niệm tích phân cũng đã có nhiều đề tài đề cập như luận văn của các tác giả: - Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn chính của HS khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. - Phạm Lương Quý (2009), Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy toán ở trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. - Nguyễn Hoàng Vũ (2012), Nghiên cứu thực hành của GV trong dạy học tính diện tích hình phẳng ở lớp 12, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. - Nguyễn Thị Phượng Linh (2013), Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích phân ở trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. - Đậu Thanh Huyền (2016), Dạy học khái niệm tích phân ở THPT theo quan điểm liên môn, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Tuy nhiên, do mục đích nghiên cứu khác nhau nên mỗi luận văn khai thác việc phân tích theo những hướng khác nhau: Đối với luận văn của Trần Lương Công Khanh (2002), tác giả phân tích sự chuyển hóa sư phạm và các hợp đồng dạy học trong 3 bộ SGK trước bộ SGKHH nên
4 chỉ có thể dùng làm căn cứ so sánh. Bên cạnh đó, do yếu tố lịch sử, tác giả không phân tích các tổ chức toán học. Luận văn của tác giả Phạm Lương Quý quan tâm đến các điều kiện sinh thái liên quan đến khái niệm tích phân: diện tích hình phẳng, khái niệm hàm số hợp, khái niệm nguyên hàm. Và tác giả rút ra kết luận là các điều kiện này không đủ cho sự tồn tại của tích phân. Các tổ chức toán học cũng không được đề cập. Đi sâu hơn về điều kiện sinh thái, xét vai trò của đạo hàm hàm hợp đối với việc học tập phương pháp đổi biến số khi tính tích phân là nội dung của luận văn Nguyễn Thị Phượng Linh. Tác giả kết hợp phân tích SGK và phân tích tiết dạy của GV từ đó chỉ ra do khái niệm đạo hàm hàm hợp được SGK định nghĩa hình thức khiến cho việc chọn ẩn trong phép đổi biến số phụ thuộc vào một số dạng mẫu mà GV cung cấp. Luận văn của tác giả Nguyễn Hoàng Vũ chỉ quan tâm đến diện tích hình phẳng và như vậy chỉ phân tích các nội dung và các KNV liên quan đến nó; kết hợp phân tích thực hành dạy học và phiếu khảo sát GV, tác giả chỉ ra rằng cho dù việc biểu diễn hình phẳng bằng đồ thị có nhiều lợi ích và được hai bộ SGK chú trọng nhưng trong thực hành thì GV hiếm khi dùng. Còn tác giả Đậu Thanh Huyền chỉ quan tâm đến liên môn giữa toán và vật lí nên chỉ tập trung phân tích các KNV làm rõ sự liên môn này. Tuy nhiên, mặc dù tác giả dựa trên nghĩa “tích phân là phép toán ngược của đạo hàm” nhưng việc nghiên cứu các nghĩa của đạo hàm không được tác giả làm rõ dẫn tới đồ án dạy học của tác giả cũng chỉ gói gọn trong 3 đại lượng quen thuộc: quãng đường, vận tốc, thời gian. Như vậy chúng ta có thể thấy rằng các phân tích về chương trình, SGK, thực hành GV liên quan đến khái niệm tích phân đều đã có, tuy nhiên lại chưa có một phân tích tổng thể về chương trình, SGKHH. Cũng chưa có một nghiên cứu nào chỉ ra tất cả các KNV liên quan đến khái niệm tích phân xuất hiện trong SGKHH. Do đó, để phục vụ cho nghiên cứu của mình, chúng tôi phải thực hiện lại việc phân tích quan hệ thể chế đối với khái niệm tích phân, đặc biệt làm rõ các KNV được thể chế đề cập. 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
5 Chúng tôi vận dụng thuyết nhân học và lý thuyết tình huống của didactic toán, đặc biệt là các công cụ quan hệ thể chế, praxéologies, tổ chức didactic để nghiên cứu đề tài của mình. 4. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu Trong khuôn khổ phạm vi lí thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi ban đầu thành hệ thống các câu hỏi nghiên cứu sau: CH1: Khái niệm tích phân có những cách tiếp cận nào và đặc trưng của những cách tiếp cận này? CH2: Trong thể chế dạy học toán 12 ở Việt Nam, những cách tiếp cận khái niệm tích phân nào được trình bày? Trình tự và cách thức giới thiệu các kiến thức liên quan đến khái niệm tích phân như thế nào? Có những praxéologies nào được thể chế đề cập? MTBT tác động như thế nào lên các kĩ thuật của các praxéologies này? CH3: Trước sự thay đổi hình thức thi của Bộ GD-ĐT, trong thực hành dạy học, GV có thực hiện theo tiến trình giới thiệu các kiến thức tích phân trong SGK không? Có những điểm gì khác? Các praxéologies nào được GV đưa vào trong thực tế giảng dạy? Các praxéologies này có gì giống và khác so với các praxéologies được trình bày trong SGK và các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016-2017? Việc trả lời các câu hỏi trên là mục tiêu của luận văn. 5. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, chúng tôi tiến hành các phương pháp sau: Trước hết, chúng tôi thực hiện việc nghiên cứu tri thức luận. Do tích phân đã có các công trình nghiên cứu tri thức luận từ trước nên chúng tôi chỉ tham khảo các công trình đó và rút ra các cách tiếp cận tích phân và các đặc trưng của từng cách tiếp cận. Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu thể chế dạy học toán 12 của Việt Nam thông qua việc phân tích chương trình, SGK toán 12 để làm rõ cách tiếp cận khái niệm tích phân mà thể chế lựa chọn. Chỉ ra những praxéologies liên quan đến khái niệm tích phân. Đặc biệt quan tâm đến cách phát biểu, kĩ thuật giải quyết các praxéologies này. Nghiên cứu những ảnh hưởng của việc lựa chọn cách tiếp cận lên các praxéologies được đề cập cũng như sự tác động của MTBT lên kĩ thuật giải quyết chúng.
6 Chúng tôi tiếp tục nghiên cứu thực tiễn bằng việc phân tích các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT công bố trong năm học 2016 - 2017 để làm rõ ảnh hưởng của việc làm bài môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm và chức năng tính tích phân của MTBT lên các praxéologies. Đồng thời, chúng tôi tiến hành dự giờ, ghi âm, viết biên bản và từ đó phân tích một số tiết dạy của hai GV dạy chương trình Chuẩn và chương trình Nâng cao để chỉ ra những thay đổi của họ trong dạy học khái niệm tích phân. Cuối cùng, chúng tôi phát biểu các giả thuyết về sự thay đổi trong dạy học của GV khi Bộ GD – ĐT thay đổi hình thức thi. Từ đó, chúng tôi thực hiện khảo sát trên khoảng 20 GV để kiểm chứng những thay đổi này có đúng cho số đông GV không. Luận văn được trình bày theo cấu trúc như sau: Mở đầu Chương 1. Các cách tiếp cận khái niệm tích phân Chương 2. Mối quan hệ của thể chế dạy học toán 12 đối với khái niệm tích phân Chương 3. Nghiên cứu thực hành dạy học khái niệm tích phân của giáo viên. Chương 4. Nghiên cứu thực nghiệm Kết luận
7 Chương 1. CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN CH1: Khái niệm tích phân có những cách tiếp cận nào và đặc trưng của những cách tiếp cận này? Trả lời câu hỏi trên là mục tiêu của chương này. Để thực hiện điều đó, chúng tôi rút ra các kết quả dựa trên việc nghiên cứu các tài liệu sau: 1. Trần Bình (2006), Giải tích I: Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến (Dùng cho sinh viên kĩ thuật, cao đẳng, đại học, sau đại học), Nxb Khoa học và Kĩ thuật. 2. Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004), “Phép tính tích phân và vi phân trong lịch sử”, Tạp chí khoa học ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh, số 4, tr.14 – 26. 3. Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. 4. Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn chính của HS khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. 5. Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. 6. Lê Văn Tiến (2000), “Một số quan điểm khác nhau về giảng dạy giải tích ở trường phổ thông”, Nghiên cứu giáo dục, số chuyên đề (338), tr.23 – 25. 1.1. Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển khái niệm tích phân Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, bài toán tính diện tích của các hình phẳng, thể tích của các vật thể đã được đặt ra từ thời cổ đại. Công thức tính của các hình đơn giản đã sớm được tìm ra và xuất hiện nhu cầu tìm cơ sở lý thuyết cho các công thức này cũng như một quy tắc tổng quát để tính diện tích, thể tích của những hình phức tạp hơn. Nhà bác học Democrite (thế kỉ 5 TCN) đã vận dụng thuyết nguyên tử của ông tính được diện tích của một số hình bằng cách chia nhỏ chúng. Tuy nhiên các lý luận của ông không thỏa mãn các đòi hỏi về tính chặt chẽ toán học.
8 Mặc dù Eudoxe (410 – 356 TCN) là người đầu tiên xây dựng phương pháp vét cạn, phương pháp thỏa mãn các đòi hỏi về tính chặt chẽ toán học, nhưng Archimedes (khoảng 287 – 212 TCN) được xem là người đã dùng thành công phương pháp này để tính diện tích, thể tích. Để tính diện tích một hình B, Archimedes xây dựng một dãy các hình 𝐴𝐾 nội tiếp nó. Dãy 𝐴𝐾 được xây dựng sao cho diện tích chúng tính được, tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn, dần vét cạn hình B. Bằng việc tính tổng của n hình 𝐴𝐾 đầu tiên cộng với một lượng dư, ông tìm ra giới hạn A của dãy các hình nội tiếp và dùng phản chứng chứng minh A là diện tích của B. Cách làm này đã được một số nhà toán học đời sau kế thừa và một số tích phân đặc biệt đã được tính. Cuối cùng, Valerio (1552 – 1618) đã sửa đổi và tổng quát hóa phương pháp vét cạn, chuỗi tính tổng không dừng lại ở n hình mà có thể bổ sung cho đến khi sự khác biệt giữa hình phẳng và đa giác nội tiếp nó là đủ bé. Vào đầu thế kỉ XX, người ta khám phá ra rằng thực chất Archimedes đã dùng phương pháp “cơ học” để tìm diện tích rồi sau đó mới dùng phương pháp vét cạn để chứng minh kết quả. Tư tưởng chính của phương pháp “cơ học” là cắt hình ra thành một số rất lớn các dải mỏng song song (hoặc lớp mỏng song song). Phương pháp này rất gần với phương pháp “bất khả phân” do Cavalieiri (1598 – 1647) xây dựng. Theo Cavalieiri, hình phẳng được xem là tổng vô hạn các đoạn thẳng cùng song song với một đường thẳng nào đó làm chuẩn. Những đoạn thẳng này, nằm giữa hai tiếp tuyến song song với chuẩn, được gọi là các bất khả phân. Chúng hoàn toàn không có bề rộng. Diện tích của hình phẳng được xem là tổng diện tích của các bất khả phân được lấy đồng thời. Phương pháp của Cavalieiri có nhiều hạn chế về lí luận và tính toán. Nhà toán học Kepler (1571 – 1630) lựa chọn phương pháp trực giác hơn – tính tổng trực tiếp trên các đại lượng vô cùng bé. Ông chia một vật thành vô hạn các phần tử vô cùng bé có cùng kích thước rồi tính tổng. Mặc dù ông đã tính được nhiều diện tích, thể tích các hình nhưng các lập luận của ông thiếu tính chặt chẽ, còn mang nặng sự hình dung trực quan. Như vậy từ thời cổ đại đến đầu thế kỉ XVII, khái niệm tích phân đã được các nhà toán học nghiên cứu. Nhiều phương pháp đã được đưa ra, một số diện tích, thể tích đã
9 được tính. Phương pháp của họ phần nhiều mang yếu tố trực quan, phạm vi thuần túy là hình học. Tích phân càng được phát triển thì các nhà toán học càng không thể tránh khỏi phải làm việc với các đại lượng vô hạn và vô cùng bé, đó là một trở ngại lớn. Các khái niệm cần thiết như giới hạn, tổng vô hạn,… chưa được định nghĩa. Do đó họ chưa thành công trong việc xây dựng lý thuyết tích phân tổng quát. Tuy nhiên, tư tưởng chính khi tính tích phân đã hình thành: chia hình thành từng miếng nhỏ, xấp xỉ trên (hoặc dưới) từng miếng nhỏ rồi lấy tổng các xấp xỉ đó. Đến thế kỉ XVII, dựa trên quan điểm của hình học giải tích, kế thừa phương pháp của trường phái Archimedes, Fermat (1601 – 1665) đã phát triển và xây dựng một phương pháp tổng quát để cầu phương tất cả các parabol và hyperbol nhờ cấp số nhân. Để tính diện tích một hình, Fermat chia hình đó ra thành những dải hẹp bằng các tung độ cách đều, tính các tổng trên, tổng dưới, rồi tăng số điểm chia ra vô hạn và tiến hành cầu phương. Phương thức của Fermat cho phép phát triển khía cạnh thuật toán của giải tích các vô cùng bé. Pascal (1623 – 1662) đã hoàn thiện các phương pháp cầu phương của những người đi trước, đánh giá cao tầm quan trọng của phương pháp giải tích và so sánh phần tử “Không thể phân chia được” trong hình học với số 0 trong số học, từ đó đối chiếu quan điểm hình học và số học. Một bước đánh dấu quan trọng trong tiến trình phát triển và hoàn thiện khái niệm tích phân khi mối liên hệ giữa bài toán tiếp tuyến và bài toán diện tích được tìm ra. Barrow (1630 – 1677) là người đầu tiên nhận rõ mối liên hệ này nhưng Newton (1642- 1727) mới là người thành công trong việc thiết lập mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân. Ông đã liên hệ giữa tích phân và đạo hàm, coi tích phân là phép toán ngược của đạo hàm. Newton chỉ dùng tích phân bất định và dùng tỉ số biến thiên của diện tích, thể tích để tính chúng. Ông phát triển tích phân dựa trên nghiên cứu các chuyển động và các biến là các đại lượng biến thiên, các kết quả của ông dùng để ứng dụng trong vật lý và thiên văn học,… Song song đó, Leibniz (1646 – 1716) cũng là người phát hiện mối liên hệ này, đưa ra những kí hiệu ngắn gọn và hiệu quả để kí hiệu tích phân. Khác với Newton, Leibniz sử dụng tích phân xác định và xem diện tích lẫn thể tích như tổng các phần tử vô cùng bé.
10 Tuy nhiên phải đợi đến thế kỉ XIX, vào năm 1823, Cauchy (1789-1857) mới là người đầu tiên đưa ra định nghĩa tích phân nhờ hai khái niệm hàm số và khái niệm giới hạn đã được định nghĩa, đặc biệt ông nhấn mạnh sự cần thiết phải chứng minh sự tồn tại của tích phân trước khi làm rõ các tính chất của chúng. Và Riemann (1826-1866) đã hoàn thiện và xây dựng một lý thuyết tích phân tổng quát. Ngày nay, khái niệm tích phân đã rất phát triển, lý thuyết tích phân hiện đại gồm hai phần chính: Tích phân của các hàm số và độ đo của các tập hợp. Giới hạn trong đề tài này, chúng tôi chỉ quan tâm đến các tích phân đối với các hàm số nhận giá trị thực và không đề cập đến yếu tố độ đo. 1.2. Các cách tiếp cận khái niệm tích phân và đặc trưng của các cách tiếp cận Dựa vào lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tích phân, chúng tôi chỉ ra được 3 cách tiếp cận khái niệm này. 1.2.1. Cách tiếp cận thứ nhất – Tiếp cận dựa trên bài toán là nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân: Tích phân là diện tích của hình phẳng (thể tích của vật thể) Cách tiếp cận này dựa trên nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân. Nhu cầu tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể đã làm xuất hiện khái niệm này. Tuy nhiên, nếu chỉ giới hạn trong phạm vi hình học thì sẽ không thể xây dựng một khái niệm tích phân tổng quát - điều mà các nhà toán học trước thế kỉ XVII đã gặp phải. Quá trình tìm lời giải tổng quát cho các bài toán trên thúc đẩy sự phát triển, hoàn thiện và xây dựng nên các cách tiếp cận còn lại của khái niệm tích phân. Cách tiếp cận này thể hiện được nghĩa hình học của khái niệm. 1.2.2. Cách tiếp cận thứ hai - Tiếp cận dựa trên việc chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và chuyển qua giới hạn tổng các xấp xỉ đó: Tích phân là giới hạn của tổng vô hạn các vô cùng bé. Tư tưởng chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và tính tổng các xấp xỉ đã xuất hiện từ thời cổ đại mà Archimedes là đại diện tiêu biểu. Tư tưởng này đóng vai trò xuyên suốt trong cách thức để giải quyết bài toán tính diện tích, thể tích. Nó trải qua quá trình lâu dài để hoàn thiện. Trước tiên là việc chấp nhận đối tượng vô hạn và vô cùng bé của các nhà toán học châu Âu trước thế kỉ XVII. Việc
11 Fermat vận dụng quan điểm hình học giải tích để tìm lời giải tổng quát cho các bài toán cầu phương parabol và hypebol giúp phát triển khía cạnh thuật toán của giải tích các vô cùng bé. Đến thế kỉ XVIII, khi khái niệm giới hạn được định nghĩa, việc chuyển qua giới hạn mới chính thức được áp dụng trong định nghĩa tích phân của Cauchy và sau đó được Riemann hoàn thiện. Phát biểu tường minh định nghĩa tích phân theo cách tiếp cận này chính là định nghĩa tích phân Riemann: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định và bị chặn trong đoạn [𝑎; 𝑏], chia [𝑎; 𝑏] ra làm n phần bất kì bởi các điểm 𝑎 = 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛+1 = 𝑏 và đặt ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛). Trong mỗi đoạn [𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1 ] (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) lấy một điểm 𝜉𝑖 tùy ý. Lập tổng 𝐼𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓( 𝜉𝑖 )∆𝑥𝑖 . Quy ước nếu 𝑛 → ∞ thì mọi ∆𝑥𝑖 → 0 hay 𝜆 = 𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑖 → 0 Nếu 𝐼𝑛 dần tới một giới hạn I xác định khi 𝜆 → 0, không phụ thuộc vào các chia đoạn [𝑎; 𝑏] và và cách chọn các điểm 𝜉𝑖 thì ta gọi I là tích phân xác định hay tích phân của hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎; 𝑏]. 𝑏 Kí hiệu 𝐼 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓( 𝜉𝑖 )∆𝑥𝑖 𝜆→0 [Trần Bình, tr.211] Theo định nghĩa được nêu ở trên thì các đoạn phân hoạch không cần đều nhau và hàm số f không cần liên tục trên [𝑎; 𝑏], giá trị của tích phân không phụ thuộc vào phép phân hoạch. Định nghĩa này thể hiện bản chất của tích phân và tiếp cận định nghĩa này có thể giúp hiểu được các kí hiệu do Leibniz nghĩ ra và được dùng đến ngày nay. Tích phân của hàm số f trên đoạn [𝑎; 𝑏] được ông định nghĩa là giới hạn của tổng tích phân 𝑙𝑖𝑚 ∑𝑛−1 𝑖=0 𝑓(𝑥𝑖 ) (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 ) (1). Thời Leibniz hiệu 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 thường được viết là 𝑑𝑥𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 do d là chữ đầu của chữ Latinh “diferentia” (hiệu số). Do đó giới hạn (1) được viết lại thành 𝑙𝑖𝑚 ∑𝑛−1 𝑖=0 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑑𝑥𝑖 . Kí hiệu ∑ (tổng số) cũng như chữ S có nguồn gốc từ chữ Latinh “summa” (có nghĩa là tổng số). Dấu tích phân ∫ là một biến 𝑏 dạng đơn giản của chữ S. Kí hiệu ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 muốn nói rằng đây là giới hạn của tổng các số hạng 𝑓(𝑥𝑖 )𝑑𝑥𝑖 . [SGKNC12, tr.157]