Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm – điện phi tuyến trong dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài có cấu trúc gồm 3 chương trình bày dây lượng tử và hiệu ứng âm - điện trong hố lượng tử; biểu thức giải tích của dòng âm – điện phi tuyến trong dây lượng tử; tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm – điện phi tuyến trong dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Trần Thị Duyên LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ HÌNH CHỮ NHẬT CAO VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Trần Thị Duyên LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ HÌNH CHỮ NHẬT CAO VÔ HẠN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU Hà Nội - Năm 2013
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới GS.TS. Nguyễn Quang Báu, thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Thứ đến, em xin trân trọng cảm ơn thầy Nguyễn Văn Nghĩa, hiện đang giảng dạy tại trường Đại học Thuỷ Lợi, người đã giúp đỡ em rất nhiều trong những buổi đầu làm luận văn. Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật lý, bộ môn Vật lý lý thuyết trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cô đã giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập tại Trường. Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn. Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài nghiên cứu khoa học NAFOSTED (103.01 – 2011.18) và QGTD.12.01. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn. Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, 12 – 2013 Học viên: Trần Thị Duyên
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1. DÂY LƢỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ .................................................................................................................... 4 1.1 Dây lƣợng tử. ............................................................................................................. 4 1.1.1 Khái niệm dây lƣợng tử .......................................................................................... 4 1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của dây lƣợng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn. ....................................................................................................................... 4 1.2 Tính toán dòng âm - điện trong hố lƣợng tử. ............................................................ 5 CHƢƠNG 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA DÒNG ÂM - ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN. ........ 8 2.1 Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong dây lƣợng tử với thế hình chữ nhật cao vô hạn. ............................................................................................... 8 2.2 Tính toán dòng âm - điện trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn. ... 17 CHƢƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO DÂY LƢỢNG TỬ GaAs/GaAsAl ............................................................................... 34 3.1.Sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào tần số sóng âm. ........................................... 34 3.2. Sự phụ thuộc của dòng âm – điện vào nhiệt độ và số sóng .................................... 35 Thảo luận kết quả .......................................................................................................... 36 KẾT LUẬN ................................................................................................................... 39 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................. 40 PHỤ LỤC
DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3.1: Đồ thị sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào tần số sóng Trang 34 âm trong dây lƣợng tử. Hình 3.2. Đồ thị sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào nhiệt độ và Trang 35 số sóng trong dây lƣợng tử. Hình 3.3. Đồ thị sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào tần số sóng Trang 36 âm trong hố lƣợng tử. Hình 3.4. Đồ thị sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào nhiệt độ và Trang 38 mức năng lƣợng Fermi trong hố lƣợng tử.
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Trong hai thập niên vừa qua, tiến bộ của vật lý chất rắn cả lý thuyết và thực nghiệm đƣợc đặc trƣng bởi sự chuyển hƣớng đối tƣợng nghiên cứu chính từ các khối tinh thể [1-6] sang các màng mỏng và các cấu trúc thấp chiều [7-25]. Những cấu trúc thấp chiều nhƣ các hố lƣợng tử (quantum wells), các siêu mạng (superlattices), các dây lƣợng tử (quantum wires) và các chấm lƣợng tử (quantum dots) … đã đƣợc tạo nên nhờ sự phát triển của công nghệ vật liệu mới với những phƣơng pháp nhƣ kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCDV), epytaxi chùm phân tử (MBE)… Trong các cấu trúc nano nhƣ vậy, chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hƣớng tọa độ với một vùng có kích thƣớc đặc trƣng vào cỡ bậc của bƣớc sóng De Broglie, các tính chất vật lý của điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số tính chất mới khác, gọi là hiệu ứng kích thƣớc. Ở đây, các quy luật của cơ học lƣợng tử bắt đầu có hiệu lực, khi đó đặc trƣng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lƣợng bị biến đổi. Phổ năng lƣợng bị gián đoạn dọc theo hƣớng tọa độ giới hạn. Do các tính chất quang, điện của hệ thấp chiều biến đổi, đã mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện điện tử, ra đời nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Ví dụ nhƣ: các đi-ốt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mạch… Trong các cấu trúc thấp chiều đó, cấu trúc dây lƣợng tử thu hút đƣợc rất nhiều sự quan tâm của các nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm. Khi nghiên cứu các tính chất vật lý các nhà khoa học chú ý nhiều đến sự ảnh hƣởng của sóng âm đến các tính chất của vật liệu, hay còn gọi là sự tƣơng tác của sóng âm với các cấu trúc thấp chiều nói chung và dây lƣợng tử nói riêng. Hiệu ứng âm - điện là sự xuất hiện của một trƣờng điện một chiều dọc theo chiều truyền một sóng âm lan truyền trong một môi trƣờng chứa điện tích linh động. Giả sử có một mẫu bán dẫn đặt trong một điện trƣờng E và có sóng âm truyền qua khối bán dẫn đó. Khi đó, điện tử dẫn đƣợc truyền xung lƣợng sóng âm và kết quả là xuất hiện dòng âm điện j ac khi mạch điện kín và một hiệu điện thế nếu mạch điện hở. 1
Vậy, hiệu ứng âm - điện là sự truyền xung lƣợng sóng âm cho điện tử dẫn mà kết quả là có thể tạo ra dòng âm - điện nếu mạch điện kín hoặc tạo ra một điện trƣờng không đổi nếu mạch điện hở. Nghiên cứu về hiệu ứng âm - điện trong bán dẫn khối đã khá hoàn thiện [11, 13,19, 21]. Trong hệ hai chiều các hiệu ứng âm - điện - từ đã đƣợc nghiên cứu [6, 24]. Ngoài ra ngƣời ta cũng đo đạc hiệu ứng âm - điện bằng phƣơng pháp thực nghiệm, ví dụ nhƣ: đo đạc trong dây lƣợng tử [20], trong ống nano cacbon [21], trong hố lƣợng tử [22]. Mặc dù vậy, dòng âm - điện trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn lại chƣa đƣợc nghiên cứu lý thuyết. Vì vậy, bài khóa luận này chúng tôi sẽ đi tính toán dòng âm - điện trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử. 2. Phƣơng pháp nghiên cứu. Để giải những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phƣơng pháp lý thuyết khác nhau nhƣ lý thuyết nhiễu loạn, lý thuyết hàm Green, phƣơng pháp tích phân phiến hàm, phƣơng trình động lƣợng tử… Mỗi phƣơng pháp đều có những ƣu nhƣợc điểm của nó, nên việc sử dụng phƣơng pháp nào tốt hơn chỉ có thể đƣợc đánh giá tùy vào từng bài toán cụ thể. Để tính toán hiệu ứng âm điện trong dây lƣợng tử từ góc độ lƣợng tử ta sử dụng phƣơng trình động lƣợng tử. Đây là phƣơng pháp đƣợc sử dụng nhiều trong nghiên cứu bán dẫn khối, trong siêu mạng, trong bán dẫn thấp chiều rất có hiệu quả 3. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận đƣợc chia làm 3 chƣơng: Chương 1: Dây lượng tử và hiệu ứng âm - điện trong hố lượng tử. Chương 2: Biểu thức giải tích của dòng âm – điện phi tuyến trong dây lượng tử. Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl Các kết quả chính của khóa luận đƣợc chứa đựng trong chƣơng 2 và chƣơng 3. Chúng tôi đã thu đƣợc biểu thức giải tích của dòng âm - điện trong dây lƣợng tử hình 2
chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Việc khảo sát số cũng đƣợc thực hiện và cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến của dòng âm - điện vào nhiệt độ của hệ T, số sóng q và tần số sóng âm ωq. Kết quả thu đƣợc là mới, có những điểm khác biệt so với trƣờng hợp dòng âm – điện trong hố lƣợng tử. Các kết quả mới thu đƣợc trong luận án đóng góp vào báo cáo Khoa học ở Hội nghị Khoa học Vật lý chất rắn và Khoa học Vật liệu, 10/2013, tại Thái Nguyên. 3
CHƢƠNG 1. DÂY LƢỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ. 1.1 Dây lƣợng tử. 1.1.1 Khái niệm dây lƣợng tử. Dây lƣợng tử ( quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều. Trong đó, chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều ( kích thƣớc cỡ 100 nm ), chỉ có một chiều đƣợc chuyển động tự do ( trong một số bài toán chiều này thƣờng đƣợc gọi là vô hạn); vì thế hệ điện tử còn đƣợc gọi là khí điện tử chuẩn một chiều. Trên thực tế chúng ta đã chế tạo đƣợc khá nhiều dây lƣợng tử có các tính chất khá tốt. Dây lƣợng tử có thể đƣợc chế tạo nhờ phƣơng pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD. Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trƣờng, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều. 1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của dây lƣợng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lƣợng tử hình chữ nhật cũng hay đƣợc đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết. Để tìm phổ năng lƣợng và hàm sóng điện tử trong dây lƣợng tử có thể tìm đƣợc kết quả nhờ việc giải phƣơng trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều  h2 2 r r  H      V(r)  U(r)    E (1.1)  2m *  Trong đó, U(r) là thế năng tƣơng tác giữa các điện tử, V(r) là thế năng giam giữ điện tử do sự giảm kích thƣớc. Với mô hình dây lƣợng tử hình chữ nhật có kích thƣớc ba trục đƣợc giả thiết lần lƣợt là a, b, L; L >> a, b. Ta luôn giả thiết z là chiều không bị lƣợng tử hóa ( điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều này), điện tử bị giam giữ trong hai chiều còn lại( x và y trong hệ tọa độ Descarte); khối lƣợng hiệu dụng của điện tử là m*. 0 khi 0  x  a;0  y  b V   khi x  0  x  a; y  0  y  b 4
Khi đó hàm sóng có thể viết là:  1 ikzr 2  n x  2  N y   e sin   sin   khi 0  x  a;0  y  b  n,N x , y , z   L a  a  b  b  0 khi x  0  x  a; y  0  y  b;  Và phổ năng lƣợng của điện tử: h2 k 2  2 h2  n2 N 2    r En,N k      2m* 2m*  a 2 b 2  Trong đó n, N là các số lƣợng tử của hai phƣơng bị lƣợng tử hoá x và y; k= (0,0,kz) là véc tơ sóng của điện tử. 1.2 Tính toán dòng âm điện trong hố lƣợng tử [20]. Hố lƣợng tử là một cấu trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều, đƣợc cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc tinh thể tƣơng đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất bán dẫn khác nhau có độ rộng vùng cấm khác nhau nên tại các lớp tiếp xúc sẽ xuất hiện độ lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của hai chất bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử, làm cho chúng không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh (tức là không có hiệu ứng đƣờng ngầm). Do vậy, trong cấu trúc hố lƣợng tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách li lẫn nhau trong các giếng thế năng hai chiều. Đặc điểm chung của các hệ điện tử trong cấu trúc hố lƣợng tử là chuyển động của điện tử theo một hƣớng nào đó (thƣờng chọn là hƣớng z) bị giới hạn rất mạnh, phổ năng lƣợng của điện tử theo trục z khi đó bị lƣợng tử hoá, chỉ còn thành phần xung lƣợng của điện tử theo hƣớng x và y biến đổi liên tục. Hiệu ứng âm - điện là sự xuất hiện của một trƣờng điện một chiều dọc theo chiều truyền một sóng âm lan truyền trong một môi trƣờng chứa điện tích linh động. Giả sử có một mẫu bán dẫn đặt trong một điện trƣờng E và có sóng âm truyền qua khối bán dẫn đó. Khi đó, điện tử dẫn đƣợc truyền xung lƣợng sóng âm và kết quả là xuất hiện dòng âm điện j ac khi mạch điện kín và một hiệu điện thế nếu mạch điện hở. 5
Vậy, hiệu ứng âm - điện là sự truyền xung lƣợng sóng âm cho điện tử dẫn mà kết quả là có thể tạo ra dòng âm - điện nếu mạch điện kín hoặc tạo ra một điện trƣờng không đổi nếu mạch điện hở. Để tính toán đƣợc mật độ dòng âm điện trong hố lƣợng tử trƣớc hết chúng ta thiết lập phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử. Phƣơng trình động cho trung bình thống kê của toán tử số hạt trong hố lƣợng tử : f n, pr   an, pr  an, pr  t f n, pr   an, pr  an, pr  i( )ac  i t  an, pr  an, pr  , H  . (1.2) t t t Với Hamiltonian của hệ điện tử-phonon âm trong hố lƣợng tử cao vô hạn : H  H 0  H e ph , (1.3) trong đó H 0 là năng lƣợng của các điện tử và phonon không tƣơng tác r H 0    n ( p )an, pr  an, pr    r kr bkrbkr , (1.4) r n , p k và H e  ph là Hamiltonian tƣơng tác điện tử - phonon Cqr U n , n' (q )an, pr   qr  an ', pr  cqr exp  iqr t   r H e  ph   r r n , n ' , p , q r (1.5)   r r Dkr I n , n' ( k z ) an, pr r   k an ', pr  (bkr  bkr ), n , n ' , p , k Giải phƣơng trình động lƣợng tử (1.2) với Hamiltonian (1.3)-(1.5), ta tìm đƣợc mật độ dòng âm – điện trong hố lƣợng tử [20]:  2 n2  2 n2 j ac  A1  U n,n ' exp( )( B  B )  A2  I n,n ' exp( 2 2 )(C  C ), (1.6) n,n ' 2mL2 kBT n,n ' 2mL2 k BT ở đây: (2 ) 2 e 2 cl4qr2  e 2 (2mkBT  )1/2  A1  exp( ); A2  exp( ), 0cs kBT (2 ) 0cs mqr 3 k BT D2 D2 m n,n ' m(kr  q ) B  (1  ) exp( ); D  q / 2   , mkBT 2mkBT q q 6
(m n,n '  kr )2  1/2 exp[  2(b c)1/2 ] b K5/2 [2(b c)1/2 ] C   [2c  2a (b c)1/2  a ]  , 4c3/2 4c mk BT   n ,n '  kr  n ,n '  kr (m n ,n '  mkr )2 a  exp( ); b  , m n ,n '  mkr 2k BT 2mK BT 1 2 c ;  n,n '  2 (n 2  n '2 ). 8mk BT 2mL Với kB là hằng số Boltzmann, μ là thế hóa học, Kn(x) hàm Bessel bậc hai. Phƣơng trình (1.8) là biểu thức giải tích mật độ dòng âm điện trong hố lƣợng tử phục hồi. Từ biểu thức mật độ dòng âm điện ta có thể thấy rằng mật độ dòng âm điện phụ thuộc không tuyến tính vào tần số sóng âm ngoài, nhiệt độ của hệ, độ rộng của hố lƣợng tử và các chỉ số năng lƣợng đặc trƣng cho hố lƣợng tử. 7
CHƢƠNG 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA DÒNG ÂM - ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ HẠN 2.1 Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong dây lƣợng tử với thế hình chữ nhật cao vô hạn. *) Ta có phƣơng trình Hamilton điện tử trong dây lƣợng tử khi có mặt sóng siêu âm: H  H 0  H e ph Với H 0   r n ',N', p 'z  n ',N', pr ' a  n ',N', pr ' an ',N', pr '   z z z r hkr bkrbkr k H e ph   r n ',n'1 ,N',N'1 ,k I n ',n '1 ,N',N'1 Ckr a  n ',N', pr ' z r k an ' ,N' , pr ' 1 1 z r k (bkr  bkr )  r   r n ',n'1 ,N',N'1 , q CqrU n ',n '1 ,N',N'1 (q )a  n ',N', pr 'z  qr an '1 ,N'1 , pr 'z bqr exp(iqr t ) Từ đó ta có: H  r n ',N', p 'z  n ',N', pr ' a  n ',N', pr ' an ',N', pr '   z z z r hkr bkrbkr  k  n ', n '1 ,N',N'1 I n ', n '1 ,N',N'1 Ckr an ', N ', pr ' an1 ',N1', pr ' z (bkr  b   kr )  z r   r n ',n '1 ,N',N'1 , q CqrU n ',n '1 ,N',N'1 (q )a  n ',N', pr 'z qr an '1 ,N'1 , pr 'z bqr exp(iqr t ) (2.1) Trong đó: a  n,N, pr z , an,N, pr z : lần lƣợt là toán tử sinh, hủy điện tử. b  kr , bkr : Lần lƣợt là toán tử sinh hủy hạt phonon r k là vecto sóng Cqr  icl2 hq3r /  2 FS  : Hằng số tƣơng tác giữa điện tử và phonon ngoài. Ckr   hq /  2 vaV  : Hằng số tƣơng tác giữa điện tử và phonon quang. 1   l   1   t2  Với F  q    l  2  ;  l  (1  cR / cl ) ;  t  (1  cR / ct ) ; S = ab: diện 2 2 1/2 2 2 1/2  2 l  t  2 t  tích bề mặt. I n ',n' ,N',N'  32 4 (qx ann ') 2 1  (1) n n cos(qx a   '  2 1 1 (qx a)  2 (qx a) (n 2  n' 2 )   4 (n 2  n' 2 )2  4 2 2 8
32 4 (q y bNN ' )2 1  (1) N  N ' cos(q y b   2 (q y b) 4  2 2 (q y b) 2 ( N 2  N ' 2 )   4 ( N 2  N ' 2 ) 2  thừa số đặc trƣng phụ thuộc vào bản thân vật liệu và đối với dây lƣợng tử hình chữ nhật. r U n, ,n , , N , , N , (q )   *n, , N , , pr U *n, , N , , pr dV  : là yếu tố ma trận của toán tử 1 1 1 4 n x N y iP iP ' = abL  sin 2 ( a )sin 2 ( b ) exp( z z ) exp(kl z0 ) exp( z z )dV h h   4 n x n ' x N y N ' y i   sin ( )sin ( )dx  sin ( )sin ( )dy exp  ( pz  pz' ) z  exp(kl z0 )dz abL  a a  b b h  n x n ' x N y N ' y a 4  exp(kl z0 ) p p'  sin ( )sin ( )dx  sin ( )sin ( )dy abL z, z 0 a a  b b 4 a a b b  exp(kl z0 )(  sin(2n ))((  sin(2 N )) p p' abL 2 4n 2 4 N z, z 2  exp(kl z0 ) L *) Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong sự có mặt của sóng siêu âm và từ trƣờng ngoài Chúng ta xét phƣơng trình cho trạng thái trung bình điện tử an, N ,kr an, N ,kr : hàm t phân bố lƣợng tử tổng quát. Phƣơng trình đối với an, N ,kr an, N ,kr có dạng: t a  n,N,kr an,N,kr f n,N,kr ih  ih t  a  n,N,kr an,N,kr , H t t t (2.2) Sử dụng hệ thức giao hoán của toán tử sinh, hủy điện tử và toán tử sinh hủy boson: a r n ,N,p z  , a  n ',N',p'r z  an,N,pr z a  n ',N',p'r z  a  n ',N',p'r z an,N,pr z   n, n ' N,N' pr , pr 'z ; a r n ,N, pz   , an,N, pr z  a  n,N, pr z , a  n,N, pr z  0  b r n ,N, pz b , b n ',N', pr 'z r n,N, pz b n ',N', pr 'z  b n ',N', pr ' z bn,N, pr z   n, n ' N,N' pr z , pr ' z ; bn,N, pr z , bn,N, pr z   b n,N, pr z , b n,N, pr z   0 9
Số hạng 1:     an, N , pr z an , N , pr z ,   n ', N ', pz' an ', N ', pr 'z an ', N ', pr 'z     n ', N ', pz'   an, N , pr z an, N , pr z an', N ', pr 'z an ', N ', pr 'z  an', N ', pr 'z an ', N ', pr 'z an, N , pr z an, N , pr z  an, N , pr z ( nn ' NN ' pr z pr 'z  an', N ', pr 'z an, N , pr z )an ', N ', pr 'z  an', N ', pr 'z ( nn ' NN ' pr z pr 'z  an, N , pr z an ', N ', pr 'z )an, N , pr z =0 (2.3) Số hạng 2:     a n,N, pr z an,N, pr z ,  hqr bqrbqr   0   r k t (2.4) Vì a, b là các toán tử độc lập nên giao hoán tử giữa chúng bằng 0). Số hạng 3:  a  n,N, pr an,N, pr , a  r r an ',N ', pr ' (br  b  r )   z z n ',N', p 'z  k 1 1 z k k  t  an, N , pr z an, N , pr z an', N ', pr ' kr an '1 , N '1 , pr 'z (bkr  b kr )  an', N ', pr ' kr an '1 , N '1 , pr 'z (bkr  b kr )an, N , pr z an, N , pr z z z z z z z z z  an, N , pr z ( n ,n ' N , N ' pr r r  an', N ', pr ' r an , N , pr z )an '1 , N '1 , pr 'z (bkr  b kr )  z , pz  k z z  kz z z   a r r n ', N ', p 'z  k z an '1 , N '1 , pr 'z (bkr  b kr )a r n , N , pz an , N , pr z z z  an, N , pr z an '1 , N '1 , pr 'z  n ,n ' N , N ' pr r r (bkr  b kr )  an, N , pr z an', N ', pr ' r an , N , pr z an '1 , N '1 , pr 'z (bkr  b kr )  z , pz  k z z z z kz z z   a r r n ', N ', p 'z  k z an '1 , N '1 , pr 'z (bkr  b kr )a r n , N , pz an , N , pr z z z  an, N , pr z an '1 , N '1 , pr 'z  n ,n ' N , N ' pr r r (bkr  b kr )  an', N ', pr ' r an, N , pr z an '1 , N '1 , pr 'z an , N , pr z (bkr  b kr ) z , pz  k z z z z  kz z z   a r r n ', N ', p 'z  k z an '1 , N '1 , pr 'z a r n , N , pz an, N , pr z (bkr  b kr ) z z  an, N , pr z an '1 , N '1 , pr 'z  n ,n ' N , N ' pr r r (bkr  b kr )  an', N ', pr ' r ( n ,n1 ' N , N1 ' pr z , pr 'z  an '1 , N '1 , pr 'z an, N , pr z ) z , pz  k z z z z kz an, N , pr z (bkr  b kr )  an', N ', pr ' r  kz an '1 , N '1 , pr 'z an, N , pr z an, N , pr z (bkr  b kr ) z z z z z  an, N , pr z an '1 , N '1 , pr 'z  n ,n ' N , N ' pr r r (bkr  b   kr )  an', N ', pr ' r an ', N ', pr z  n ,n1 ' N , N1 ' pr z , pr 'z (bkr  b   kr ) z , pz  k z z z z kz z z       a r r n ', N ', p 'z  k z an '1 , N '1 , pr 'z a r n , N , pz an , N , pr z (bkr  b r  kz )a r r n ', N ', p 'z  k z an '1 , N '1 , pr 'z a r n , N , pz an, N , pr z (bkr  b r  kz ) z z  an, N , pr z an '1 , N '1 , pr 'z  n,n1 ' N , N ' pr r r (bkr  b  kr )  an', N ', pr ' r an, N , pr z  n,n1 ' N , N1 ' pr z , pr 'z (bkr  b  kr ) z , pz  k z z z z kz z z (2.5) 10
    an, N , pr z an, N , pr z , ' ' r Ck I n ',n '1 , N ' , N '1 ,an', N ', pr 'z krz an1' , N1' , pr 'z (bkrz  bkrz )  n ', n '1 , N , N 1 , p 'z  t   Ck I n, ,n, , N ' , N ' , (an, N , pr z an ' , N ' , pr ' bkr  an, N , pr z an '1 , N '1 , pr 'z bkr )  1 1 1 1 z z z n,1 , N1' , k CI ' k n, , n, , N , N ' (an', N ', pr '  kr an , N , pr z bkr  an', N ', pr '  kr an , N , pr z bkr ) z z z z z z t n ', N , k  CI k n , N , n ', N ' (an, N , pr z an ', N ', pr kr bkr )  (an', N ', pr kr an , N , pr z bkr )*  (an', N ', pr  kr an , N , pr z bkr )  z z z z z z z z z n' , N ' , k (an, N , pr z an ', N ', pr  kr bkr )* z z z     Ck I n , N ,n ', N '  Fn ', N ', pr  kr ,n, N , pr ,kr (t)  Fn*,N, pr ,n ', N ', pr  kr , kr (t)  Fn,N, pr ,n ', N ', pr kr ,kr (t)  n ',N',k  z z z z z z z z z z z z  Fn*',N', pr kr ,n,N, pr , kr (t)  z z z z  Trong đó: Fn1 , N1 , pr1 ,n2 , N2 , pr 2 ,qr1 (t)  an1 , N1 , pr1 an2 , N2 , pr 2 bqr1 t Số hạng 4:   r    a n,N, pr z an,N, pr z ,  CqrU n,n ', N , N ' (q)a n ',N', pr 'z  kr an1 ',N1', pr 'z bqr exp(iqr t )    r n , n1' , k , N , N1' , q r   r n ',N', n ' ,N' , q CqrU n ',n',N,N' (q )  a  n,N, pr z an,N, pr z , a  n ',N', pr z qr an ',N' , pr ' bqr exp(iqr t )   1 1 z  1 1 t   r r n ,n1',k,N,N'1 , q r  CqrU n ,n',N,N' (q ) a  n,N, pr z an ',N', pr 'z  n,n ' N,N' pr z , pr z qr bqr a  n ',N', pr ' z qr a  n,N, pr z  n, n1 ' N,N1' pr z , pr 'z bqr  exp(iqr t ) t  r  r      r C rU q n ',n',N,N' ( q ) a r a r br  n ,N, pz n1 ',N1', pz q r q n ',n',N,N' C rU ( q ) a r ra r br  exp( i r t ) n ',N', pz  q n ,N, p z q  q  n,n '1 ,k,N,N'1 ,q  r n ',l ', q t     r r  Cq rU n ,n',N,N' ( r  q ) a n ,N, r a p n ',N', p  r r br   q q  r r C rU q n  ,n',N,N' ( r  q ) a n ',N', r ra p  q n ,N, r br  p q n ,n ',N,N',k, q   z z z z n , n ',N,N',k, q exp(iqr t ) t   r r r  CqrU n,n',N,N' (q ) Fn ',N', pr z qr ,n,N, pr z ,qr (t )  Fn,N, pr z ,n ',N', pr z qr ,qr (t ) exp(iqr t )  (2.6) n ,n ',N,N',k, q 11
Thay (2.3), (2.4), (2.5), (2.6) vào biểu thức (2.2). Ta thu đƣợc: a  n,N, pr z an ',N', pr 'z  i r  t   C rI r k n ,N, n ',N' h n ',N',k ( k z ) Fn ',N', pr z  k z , n ,N, pr z , k z (t )  Fn ,N, pr z , n ',N', pr z  k z ,  k z (t )  r r * r r  Fn,N, pr ,n ',N', pr kr ,kr (t )   Fn*',N', pr kr ,n,N, pr kr (t )  z z z z z z z z   i  h n,n ',N,N',q z ,q r r CqrU n,n',n,N' (q ) F% r r  n ',N', pz  q, n ,N, pz , q (t )  Fn ,N, pz , n ',N', pz q, q (t ) r r % r r r r  (2.7) Tìm biểu thức Fn,N, pr z ,n ',N', pr 'z ,qr z bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử F a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr ih  ih t   a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr , H  (2.8) t t t Ta có:  a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr , a  n '',N'', pr ''z an '',N'', pr ''z   a  n,N, pr z an '',N'', pr ''z bqr  n ',n '' N ', N '' pr ' , pr ''  a  n '',N'', pr '' z an ',N', pr ' z bqr  n ', n '' N ', N '' pr ' , pr '' z z z z Suy ra      a n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr , r  n '',N'', pr ''z a n '',N'', pr '' z an '',N'', pr '' z     n,N, pr z   n '',N'', pr ''z   a  n ,N, pr z an ',N', pr 'z bqr   t t n '',N'', p '' z (2.9) *) Ta có:     an, N , pr z an ',N', pr 'z bqr ,  r hkr bkr bkr   r hkr an, N , pr z an ',N', pr 'z bqr bkr bkr  bkr bkr an, N , pr z an ',N', pr 'z bqr  z     z z z z z z z kz k z t  r k z z z  z z z  hkr  a  n,N, pr z an ',N', pr 'z  qr ,kr  bkr bqr bkr  bkr bkr a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr  z    r hkr a  n,N, pr z an ',N', pr 'z  qr ,kr bkr   hqr a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr z z z t r t kz q r r (  kr qr  1 khi k z  q ) (2.10) z, 12
*) Ta có:  a  n,N, pr an ',N', pr ' bqr , a  ra r (br  b r )    k  r z z n '',N'', p ''z  k n1 '',N1'', p ''z k  a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr a  n '',N'', pr '' kr an1 '',N1'', pr ''z (bkr  bkr )  a  n '',N'', pr '' kr an1 '',N1'', pr ''z (bkr  bkr )a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr z z  a  n,N, pr z an ',N', pr 'z an'',N'', pr '' kr an1 '',N1'', pr ''z bqr bkr  a  n,N, pr z an ',N', pr ' a  n",N", pr " kr an ''1 ,N''1 , pr ''z bqr bkr z z z    a r r a r n '',N'', p ''z  k n ''1 ,N''1 , p ''z (bkr  b )a k r r ar r n ,N, pz n ',N', p 'z q b  a  n,N, pr z ( n ',n '' N ', N " pr ' r" r  a n'',N'', pr '' kr a n ',N', pr ' )an1 '',N1'', pr ''z bqr bkr  a  n,N, pr z ( n ',n '' N ', N " pr ' r" r  z , pz  k z z z , pz  k a  n",N", pr " kr an ',N', pr ' )an1 '',N1'', pr ''z ( qr , kr  bkr bqr )  an'',N'', pr '' kr an ''1 ,N''1 , pr ''z (bkr  b kr )a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr z z z  a  n,N, pr z an1 '',N1'', pr ''z bqr (bkr  b kr ) n ',n '' N ', N " pr ' r" r  an'',N'', pr '' kr an ',N', pr 'z (bkr  b kr )bqr  n,n1 '' N , N1 " pr r"  z , pz  k z z , pz a  n,N, pr z a n'',N'', pr '' kr a n ',N', pr ' an1 '',N1'', pr ''z  qr , kr z z     a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr ,  r Ckr I n '',N'',n1 '',N1''a  n '',N'', pr z'' an1 '',N1'', pr "z (bkrz  bkrz )  n '',N'', n1 '',N1'', k z  t  CI r r k n ',N',n'',N'' a  n,N, pr z an '',N '', pr " bqr (bkr  bkr )  1 1 z z z t CI r r k n '',N'',n,N a  n",N", pr  kr an ',N', pr ' (bkr  bkr )bqr z z z z t n '',N'',k n '',N'',k   r r Cqr I n ',N',n" ,N" a  n,N, pr z an'',N'', pr "  kr an ', N ', pr ' an" , N " , pr " 1 1 z z 1 1 z t n ", N ", n1 '',N1'',p"z , q (2.11) *) Ta có:  a  n,N, pr an ',N', pr ' bqr , a  r ra r br   z z n '',N'', p"z  k n1" ,N1" , p"z q1   a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr a  n '',N'', pr " kr an" ,N" , pr " bqr1  a  n '',N'', pr " kr an" ,N" , pr " bqr1 a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr z 1 1 z z 1 1 z  a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr bqr1 n ',n '' N ', N " pr ' , pr " kr  a  n '',N'', pr " kr an ',N', pr ' z bqr bqr1 n" ,n N " ,N pr " , pr z z z 1 1 z z a  n,N, pr z a  n '',N'', pr "  kr an ',N', pr 'z an" ,N" , pr "  qr ,kr z 1 1 z 1 Khi lấy tổng ta cần lƣu ý: r r r r r r r r pz'  p"z  k  p"z  pz'  k ,( pr , pr "  kr  1); q1  k ,( qr ,kr  1) z z 1 13
 r    a  n,N, pr z an ',N', pr 'z bqr ,  CqrU n '',N'',n" ,N" (q )a  n '',N'', pr "  qr an" ,N" , pr " bqr1 )   r r n '',N'', p"z , n1" ,N1" , q1 1 1 z 1 1 1  t r   r Cqr1U n '',N'',n" ,N" (q1 ) a  n,N, pr z an" ,N" , pr ' q bqr bqr1  1 1 1 1 z 1 t n1" ,N1" , q1 r   r r Cqr1U n '',N'',n" ,N" (q ) a  n '',N'', pr "  kr an ',N', pr 'z bqr bqr1  1 1 z t n ',N', n" ,N" ,p z , q1 r   r r Cqr1U n '',N'',n" ,N" (q ) a  n,N, pr z a  n '',N'', pr " kr an ',N', pr 'z an" ,N" , pr " 1 1 z 1 1 z (2.12) n ',N', n1" ,N1" ,p z , q1 Tìm biểu thức Fn ,l , pr ,n ',l ', pr r bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử. z ' z , qz Ta chỉ giữ lại các số hạng chứa trung bình điện tử và trung bình số phonon mà bỏ qua những giá trị chứa số hạng bậc hai của trung bình điện tử. Thay (2.9), (2.10), (2.11), (2.12) vào (2.8). Ta đƣợc: Fn, N , pr " ,n ',N',pr ' ,qr (t ) z t z  i h    n,N, pr z   n '',N'', pr ''z  hqr Fn,N, pr z ,n ',N', pr ' z ,qr (t )   i    r Ckr I n '',l '',n ''1 ,l ''1 a  n,N, pr z an" ,N" , pr " bqr (bkr  bkr )  h n '',N'',k 1 1 z t  CI r n '',N'', k r k n '',N'', n ,N a  n '',N'', pr  kr an ',N', pr 'z (bkr  bkr )bqr z z t    r n '',N'', n1" ,N1" ,p z Cqr I n ',N',n" ,N" a  n,N, pr z an", N '', pr "  kr an ',N', pr 'z an1 '',N1'', pr ''z 1 1 z t  i  r    Cqr1U n '',N'',n ''1 ,N''1 (q1 ) a  n,N, pr z an" ,N" , pr " q bqr bqr1  h n ',N',n",N",qr 1 , pr z 1 1 z 1 t r   Cqr1U n '',N'',n ''1 ,N''1 (q1 ) a n '',N'', pr kr an ',N', pr 'z bqr bqr1  r r n ',N',n",N",q1 , pz z t r     C rU q1 n '',N'', n ''1 ,N''1 (q 1 ) a  r a  r ra r a " " r" n,N, pz n '',N'', pz  k n ',N', pz n1 ,N1 , pz "  t  r r n ',N',n",N",q1 , pz (2.12*) Ta đi giải phƣơng trình (2.12*) để đi tìm Fn,N, pr z ,n ',N', pr 'z ,qr (t ) với điều kiện đoạn nhiệt của tƣơng tác Fn,N, pr z ,n ',N', pr 'z ,qr (t )()  0 . Giải phƣơng trình (2.12*) bằng phƣơng pháp biến thiên hàm số. 14
t Fn, N , pr ,n ', N ', pr ' ,qr (t )  r Ckr   I n ',N',n,N a  n '',N'', pr  kr an ',N', pr 'z (bkr  bkr )bqr  i z z h n '',N'',k1 1   z z t 1 1 z  i h z   I n ',N',n '',N'' a  n,N, pr z an" ,N" , pr " bqr (bkr  bkr )  exp   n,N, pr z   n '',N'', pr "  hqr (t  t1 ) t  dt 1 t  r Ckr  U n,N,n ",N" (q) an,N, pr z an" ,N" , pr k bkr bqr1 i r r U n ',N',n ",N" (q) an",N", pr kr an ',N', pr z bqr1bkr 2  h n '',N'',k2   1 1 z 2 2 t z 2 2 i   exp   n,N, pr z   n '',N'', pr "  hqr1  hqr 2 (t  t1 ) h z  dt1 t r (t)  r Ckr  U n,N,n",N" (q) an",N", pr  kr an ',N', pr z bkr bqr1 i Tính F * r r r  n , N , pz , n ', N ', pz' , q1 h n '',N'',k2 2   z 2 t r U n,N,n",N" (q) an,N, pr z an" ,N" , pr kr bqr1 bkr 1 1 z 2 t     exp  i  r    h n,N, pz r  hqr  hqr (t  t1 ) n '',N'', p"z 1 2  dt 1 t Fn, N , pr ,n ', N ', pr ' ,qr (t )  r Ckr   I n,N,n ",N" a  n '',N'', pr  kr an ',N', pr 'z (bkr  bkr )bqr i  z z 1 h n '',N'',k1 1   z z t 1 1 z 1 i h z   I n ',N',n '',N'' a  n,N, pr z an" ,N" , pr " kr bqr (bkr  bkr )  exp   n,N, pr z   n '',N'', pr "  hqr (t  t1 ) t   dt 1 Từ đây ta đƣợc: f n, N , pr z (t) 1 t  2  Cqr  dt ' 2 2 I n, N ,n ', N ' t h n ', N ',qr   f r n , N , pz i  N q  f n ', N ', pr z  qr z N q   exp   n ',N', pr z qr   n,N, pr z  hqr  i h  t  t '  i     f n,N, pr z N q  f n ',N', pr z  qr N q  exp   n ',N', pr z  qr   n,N, pr z  hqr  i  t  t '   h   i     f n ',N', pr z qr N q  f n,N, pr z N q  exp   n,N, pr z   n ',N', pr z qr  hqr  i  t  t '   h   i     f n ',N', pr z qr N q  f n,N, pr z N q  exp   n,N, pr z   n ',N', pr z qr  hqr  i  t  t '   h   t 1   dt ' 2 2  Ckr U n,N,n ',N' h2 r n ',N', q  15