Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ước lượng Gradient địa phương cho các hàm p-điều hòa trên đa tạp Riemann

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toàn bộ nội dung của luận văn này là để làm rõ cách chứng minh của định lý kể trên của Wang-Zhang. Luận văn được viết lại dựa trên bài báo và bao gồm hai chương. Trong phần chương một, nhắc lại các kiến thức cơ bản về hình học vi phân và toán tử Laplace trên đa tạp Riemann. Chương hai phân tích kỹ và trình bày một cách chi tiết các bước chứng minh của định lý Wang-Zhang.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ước lượng Gradient địa phương cho các hàm p-điều hòa trên đa tạp Riemann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN SƠN ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội- 2014
Mục lục Mở đầu 5 1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 8 1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Liên thông Affine và liên thông Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Tensor độ cong, độ cong Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA 22 2.1 Ước lượng chuẩn L b1 cho gradient của hàm p-điều hòa . . . . . . . 22 2.2 Phương pháp lặp Moser và ước lượng gradient của các hàm p-điều hòa. Các ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 2
Lời cám ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Thạc Dũng, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Qua đây tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô của Viện Toán, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, năm 2014 3
Danh mục ký hiệu C∞ Tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn. C0k Tập hợp tất cả các hàm khả vi cấp k có giá compact. W k,p Không gian Sobolev chứa các hàm và các đạo hàm yếu của nó tới bậc k có chuẩn Lp hữu hạn, với p ≥ 1 cho trước. W0k,p Không gian định chuẩn là bao đóng của C0k trong W k,p . k,p Wloc Không gian các hàm khả tích địa phương trong W k,p . 4
Mở đầu Việc nghiên cứu các hàm điều hòa trên đa tạp Riemann là một trong những đối tượng chính trong hình học vi phân. Việc nghiên cứu này là cần thiết vì lý thuyết các hàm điều hòa có liên hệ chặt chẽ đến hình học và tôpô của đa tạp. Một trong các bài toán được quan tâm trong lý thuyết này là tìm các ước lượng gradient cho các hàm này. Trong bài báo nổi tiếng của mình, Cheng-Yau [12] đã chứng minh ước lượng gradient cho hàm điều hòa dương trên đa tạp Riemann như sau. Định lý 0.1. ([12]) Cho M là một đa tạp Riemann đầy đủ n-chiều với Ric ≥ −(n − 1)κ, với κ ≥ 0 là một hằng số. Giả sử u là một hàm điều hòa dương trên hình cầu trắc địa B(o, R). Khi đó √ |∇u| 1+R κ sup ≤ Cn (1) B(o,R/2) u R trong đó Cn là một hằng số chỉ phụ thuộc vào n. Điều quan trọng trong ước lượng của Cheng-Yau là vế phải của Định lý 0.1 chỉ phụ thuộc vào n, κ và R. Có hai phần chính trong chứng minh của định lý trên. Phần quan trọng đầu tiên là công thức Bochner được sử dụng để ước lượng cận dưới của toán tử Laplace tác động lên |∇u|2 của một hàm điều hòa u bởi các số hạng chỉ phụ thuộc vào cận dưới của độ cong Ricci. Phần quan trọng thứ hai là một kỹ thuật thông minh về nguyên lý cực đại. Kỹ thuật này là nhân |∇u|2 với một hàm cut-off được xây dựng bằng cách sử dụng hàm khoảng cách. Kết quả là, bất đẳng thức vi phân mới liên quan đến Laplace của hàm khoảng cách. Như đã biết, hàm khoảng cách trên đa tạp Riemann là Lipschitz đều và toán tử Laplace tác động lên hàm khoảng cách có một cận trên chỉ phụ thuộc vào cận dưới của tensor Ricci. Cách tiếp cận của Cheng-Yau là rất hữu ích và một số kết quả quan trọng 5
của nhiều bài toán khác nhau được ảnh hưởng sâu sắc bởi định lý trên. Lấy ví dụ, năm 1979, P.Li [4] thu được một ước lượng cận dưới chặt cho giá trị riêng thứ nhất của toán tử Laplace trên một đa tạp, kết quả này sau đó được tổng quát bởi Li-Yau [5]. Các kết quả tương tự cho phương trình nhiệt cũng thu được bởi Li-Yau. Ngoài ra, S.Y.Cheng [10], H.I.Choi [3] đã chứng minh các ước lượng gradient cho ánh xạ điều hòa,... Mặt khác, các hàm p-điều hòa (p > 1) được xem là mở rộng tự nhiên của các hàm điều hòa từ quan điểm biến phân. Nó đã được nghiên cứu rộng rãi vì có nhiều đặc trưng và ứng dụng thú vị. So với lý thuyết hàm điều hòa, các nghiên cứu về các hàm p-điều hòa nói chung là khó khăn hơn vì phương trình này mặc dù là elliptic, nhưng là suy biến và các kết quả về tính chính quy là yếu hơn. Gần đây, các hàm p-điều hòa được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. Đặc biệt, năm 2007, R.Moser [11] đã thiết lập một liên hệ giữa các hàm p-điều hòa và bài toán ngược cho dòng độ cong trung bình. Trong một bài báo gần đây vào năm 2009, Kotschwar và Ni [2] đã chứng minh được nhiều kết quả cho hàm p-điều hòa, một trong số đó là một ước lượng gradient địa phương cho các hàm p-điều hòa với giả thiết rằng độ cong nhát cắt bị chặn hạn dưới. Đáng chú ý là hằng số trong tính toán của họ không bị tăng vọt khi p → 1, dẫn đến kết quả thú vị về bài toán ngược cho dòng độ cong trung bình. Phương pháp chứng minh của họ là tương tự với phương pháp được phát triển bởi Cheng và Yau năm 1975 cho các hàm điều hòa (tức là p = 2). Kotschwar và Ni đã dự đoán rằng ước lượng của họ có thể giữ nguyên nếu chỉ giả thiết về cận dưới của tensor Ricci. Năm 2011, X. D. Wang và L. Zhang [13] đã chứng minh phỏng đoán của Kotschwar và Ni bằng cách thiết lập định lý sau. Định lý 0.2. Cho (M n , g) là một đa tạp Riemann đầy đủ với Ric ≥ −(n − 1)k . Giả sử v là một hàm p-điều hòa dương trong hình cầu B(o, R) ⊂ M . Khi đó, tồn tại một hằng số Cp,n (chỉ phụ thuộc vào p và n) sao cho √ |∇v| Cp,n (1 + kR) ≤ v R trên B(o, R/2). Chú ý rằng khi p = 2, các hàm p-điều hòa chính là hàm điều hòa. Do đó 6
ước lượng gradient này có thể xem là tổng quát hóa của ước lượng gradient của Cheng-Yau như đã đề cập đến trong phần đầu của lời giới thiệu. Toàn bộ nội dung của luận văn này là để làm rõ cách chứng minh của định lý kể trên của Wang-Zhang. Luận văn được viết lại dựa trên bài báo [13] và bao gồm hai chương. Trong phần chương một, tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản về hình học vi phân và toán tử Laplace trên đa tạp Riemann. Trong chương hai, tôi phân tích kỹ và trình bày một cách chi tiết các bước chứng minh của định lý Wang-Zhang. Trong đó, chúng ta sử dụng một phiên bản của công thức Bochner cho hàm p-điều hòa, công thức này được sử dụng cho toán tử tuyến tính hóa của toán tử phi tuyến ∆p và được giới thiệu trong bài báo của Kotschwar-Ni. Nhờ công thức này, chúng ta thu được một ước lượng chuẩn trong không gian Lb1 của grandient của hàm p-điều hòa với b1 phù hợp. Phần tiếp theo là chứng minh một ước lượng cận trên của chuẩn sup theo chuẩn Lb1 này bằng cách sử dụng phép lặp Moser, kết quả là chứng minh được Định lý 0.2. Tôi cũng đưa ra chứng minh của hai kết quả liên quan đến ước lượng gradient này. Kết quả đầu tiên là định lý kiểu Harnack và kết quả thứ hai là định lý Liouville cho hàm p-điều hòa. 7
Chương 1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày lại một vài khái niệm cơ bản của hình học vi phân. Đầu tiên, chúng ta nhắc lại các khái niệm đa tạp, đa tạp trơn, định nghĩa đa tạp Riemann. Tiếp sau đó, chúng ta xây dựng một vài phép toán cơ bản để đưa ra định nghĩa của toán tử Laplace. Cuối cùng, chúng ta giới thiệu khái niệm độ cong Ricci và một vài tính chất tiêu biểu của các độ cong này. 1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann A. Đa tạp trơn Định nghĩa 1.1. Cho M là một không gian tôpô Hausdorff và có cơ sở đếm được. Nó được gọi là một đa tạp tôpô n chiều nếu với mọi p ∈ M , tồn tại một bộ ba {ϕ, U, V } trong đó U là một lân cận của p trong M , V là một tập con mở của Rn , ϕ : U → V là một đồng phôi. Một bộ ba như vậy gọi là một bản đồ tại p. Hai bản đồ {ϕ1 , U1 , V1 } và {ϕ2 , U2 , V2 } được gọi là tương thích nếu hàm chuyển ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1 1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 ) là một đồng phôi. Chú ý rằng các tập ảnh ϕ1 (U1 ∩ U2 ), ϕ2 (U1 ∩ U2 ) là các tập mở thuộc Rn . Định nghĩa 1.2. Một tập A = {ϕα , Uα , Vα } trên M được gọi là một tập bản đồ S nếu các bản đồ của A đều tương thích với nhau và α Uα = M . Hai tập bản đồ trên M được gọi là tương đương nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ trên M. 8
Định nghĩa 1.3. Một đa tạp trơn n-chiều M là một đa tạp tôpô n-chiều được trang bị một lớp tương đương các tập bản đồ sao cho các hàm chuyển là các hàm trơn. Một lớp tương đương của một tập bản đồ trơn được gọi là một cấu trúc trơn trên M . Ví dụ 1.4. Một vài đa tạp trơn cùng với cấu trúc trơn • Rn là một đa tạp trơn. • Một tập con mở của đa tạp trơn cũng là một đa tạp trơn. Ví dụ 1.5. Hình cầu S n = {(x1 , · · · , xn+1 ) ∈ Rn+1 |x21 + · · · + x2n+1 = 1} là một đa tạp trơn. Cho U1 = S n − {(0, · · · , 0, 1)} và U2 = S n − {(0, · · · , 0, −1)}, ta xét các phép chiếu nổi ϕi : Ui → Rn định nghĩa bởi 1 1 ϕ1 (x) = (x1 , · · · , xn ) ϕ2 (x) = (x1 , · · · , xn ). 1 − xn+1 1 + xn+1 Khi đó {ϕ1 , U1 , Rn }, {ϕ2 , U2 , Rn } tạo thành tập bản đồ trên S n . Có thể tính toán trực tiếp rằng ánh xạ chuyển ϕ12 là ánh xạ trơn. Do đó, hình cầu là một đa tạp trơn. Định nghĩa 1.6. Một ánh xạ f : M → N giữa hai đa tạp trơn được gọi là trơn nếu với mỗi bản đồ {ϕα , Uα , Vα } bất kì của M và {ψβ , Xβ , Yβ } bất kì của N , khi đó ánh xạ ψβ ◦ f ◦ ϕ−1 α : ϕα (Uα ∩ f −1 (Xβ )) → ψβ (f (Uα ) ∩ Xβ ) là trơn. Ta nói rằng f : M → N là một vi phôi nếu nó là song ánh và f, f −1 đều là các ánh xạ trơn. Khi N = R, ta sẽ gọi f là một hàm trơn giá trị thực. Tập hợp tất cả các hàm trơn giá trị thực trên M được kí hiệu là C ∞ (M ). Bất kỳ ánh xạ trơn f : M → N đều cảm sinh một ánh xạ kéo-lùi f ∗ : C ∞ (N ) → C ∞ (M ), g 7→ g ◦ f. B. Vectơ tiếp xúc Cho M là một đa tạp trơn n-chiều. Định nghĩa 1.7. Một vectơ tiếp xúc tại một điểm p ∈ M là một ánh xạ tuyến tính Xp : C ∞ (U ) → R thỏa mãn quy tắc Leibnitz Xp (f g) = f (p)Xp (g) + Xp (f )g(p). 9
Ở đây U là một lân cận của p như trong Định nghĩa 1.1. Tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc của M tại p lập thành một không gian vectơ và được gọi là không gian vectơ tiếp xúc của M tại p, ký hiệu là Tp M . Không gian đối ngẫu của Tp M được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại p và ký hiệu là Tp∗ M . Cả hai không gian Tp M và Tp∗ M đều là không gian vectơ n-chiều. Hơn nữa, người ta đã chỉ ra rằng cho {ϕ, U, V } là một bản đồ tại p với ϕ(p) = 0. Khi đó các ánh xạ ∂f ◦ ϕ−1 ∂i : C ∞ (U ) → R, f 7→ (0), i = 1, 2, · · · , n ∂xi là các vectơ tiếp xúc tại p. Chúng độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của Tp M . Để mô tả không gian đối tiếp xúc Tp∗ M , chúng ta cần đưa ra định nghĩa sau. Định nghĩa 1.8. Cho f : M → N là một ánh xạ trơn. Khi đó, với mỗi p ∈ M , vi phân của f là một ánh xạ tuyến tính dfp : Tp M → Tf (p) N được định nghĩa bởi dfp (Xp )(g) = Xp (g ◦ f ), ∀Xp ∈ Tp M, ∀g ∈ C ∞ (N ). Trong trường hợp đặc biệt, f : M → R là một ánh xạ trơn, chúng ta có thể đồng nhất Tf (p) R với R. Khi đó ta có Xp (f ) = dfp (Xp ). Nói cách khác, dfp ∈ Tp∗ M là một vectơ đối tiếp xúc tại p. Cho {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương tại p. Từ bây giờ, chúng ta sẽ viết ϕ = (x1 , · · · , xn ) với mỗi xk là một hàm tọa độ thứ k trên U và ký hiệu bởi {U, x1 , · · · , xn }. Khi đó, cơ sở đối ngẫu của {∂1 , · · · , ∂n } trong Tp∗ M là {dx1p , · · · , dxnp } và dfp = (∂1 f )dx1p + · · · + (∂n f )dxnp . Quy ước tổng Einstein: Nếu trong một biểu thức xuất hiện chỉ số trên và chỉ số dưới tương tự nhau, khi đó, biểu thức sẽ được hiểu là tổng của tất cả các giá trị có thể có của chỉ số đó (thường là từ 1 đến số chiều). Vì vậy, biểu thức trên có thể viết lại thành dfp = ∂k f dxkp . 10
Định nghĩa 1.9. Một trường vectơ X trên đa tạp trơn M là một phép tương ứng mỗi điểm p ∈ M với một vectơ tiếp xúc Xp ∈ Tp M . Nó được gọi là trơn nếu với mỗi f ∈ C ∞ (M ), hàm Xf (p) = Xp (f ) là trơn trên M . Tập hợp các trường vectơ trơn trên M ký hiệu là Γ∞ (T M ). C. Phân thớ vectơ Định nghĩa 1.10. Cho E, M là các đa tạp trơn và π : E → M là một toàn ánh trơn. Chúng ta nói rằng (π, E, M ) là một phân thớ vectơ hạng k nếu với mọi p ∈ M, 1. Ep = π −1 (p) là một không gian vectơ k -chiều. 2. Tồn tại một lân cận mở U của p và vi phôi ΦU : π −1 (U ) → U × Rk sao cho ΦU (π −1 (p)) = {p} × Rk . 3. Nếu U, V là hai tập mở với p ∈ U ∩ V , và ΦU , ΦV là các vi phôi xác định như trên, khi đó ánh xạ gU V (p) = ΦU ◦ Φ−1 k V : {p} × R → {p} × R k là tuyến tính và phụ thuộc trơn vào p ∈ U ∩ V Chúng ta thường gọi E là không gian tổng, M là cơ sở, π −1 (p) là một thớ trên p, và ΦU là tầm thường địa phương. Một phân thớ vectơ hạng một thường được gọi là phân thớ đường thẳng. Ví dụ 1.11. Ta đặt T M = ∪p Tp M là hợp rời của các không gian vectơ tiếp xúc. Khi đó, với ánh xạ chiếu π : T M → M, (p, Xp ) 7→ p, T M là một phân thớ vectơ hạng n trên M . Chúng ta sẽ gọi T M là phân thớ vectơ tiếp xúc trên M . Một ánh xạ tầm thường địa phương của T M cho bởi T ϕ = (π, dϕ) : π −1 (U ) → U × Rn trong đó {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương của M . Ví dụ 1.12. Phân thớ vectơ T ∗ M = ∪p Tp∗ M cũng là một phân thớ vectơ hạng n trên M . Nó là phân thớ đối ngẫu của T M . 11
Bây giờ, cho (π1 , E1 , M ) và (π2 , E2 , M ) là hai phân thớ vectơ hạng k1 , k2 trên M . Chúng ta xác định phân thớ từ tensor (π1 ⊗ π2 , E1 ⊗ E2 , M ) là phân thớ vectơ có hạng k1 k2 trên M với thớ sau (π1 ⊗ π2 )−1 (p) = (E1 )p ⊗ (E2 )p = span{ei1 ⊗ ej2 }, trong đó ei1 , ej2 tương ứng là cơ sở của (E1 )p và (E2 )p , ei1 ⊗ ej2 có thể coi như một ánh xạ song tuyến tính ei1 ⊗ ej2 : E1∗ × E2∗ → R, (v1 , v2 ) 7→ ei1 (v1 )ej2 (v2 ). Định nghĩa 1.13. Một lát cắt trơn của phân thớ vectơ (π, E, M ) là một ánh xạ trơn s : M → E thỏa mãn π ◦ s = IdM . Tập hợp các lát cắt trơn của E được ký hiệu là Γ∞ (E). D. Gradient Định nghĩa 1.14. Cho M là một đa tạp trơn n-chiều. Một metric Riemann g trên đa tạp M là một ánh xạ cho tương ứng với mỗi p ∈ M , một tích vô hướng gp (., .) = h., .ip trên Tp M mà phụ thuộc trơn vào p. Cặp (M, g) khi đó được gọi là một đa tạp Riemann. Người ta thường ký hiệu g(., .) = h., .i. Ví dụ, tích vô hướng chuẩn tắc trên Rn định nghĩa một metric Riemann g0 trên Rn với g0 = hei , ej i = δij . Ta có thể mô tả một cấu trúc metric g sử dụng tọa độ địa phương như sau: Cho U, x1 , . . . , xm là một hệ tọa độ địa phương và {∂1 , . . . , ∂m } là trường véctơ tọa độ tương ứng. Ta ký hiệu: gij (p) = h∂i , ∂j ip Với bất kỳ véctơ trơn X = X i ∂i và Y = Y j ∂j trên U ta có hXp , Yp ip = X i (p)Y j (p)h∂i , ∂j ip = gij (p)X i (p)Y j (p) Ta có thể viết g = gij dxi ⊗ dxj , hoặc gọn hơn là g = gij dxi dxj . Dễ thấy, gij có các tính chất sau • gij (p) là trơn với mọi p ∈ M , với mọi i, j . • gij = gji , ma trận (gij (p)) là đối xứng với mọi p. • Ma trận (gij (p)) xác định dương với mọi p. 12
Chú ý rằng, ma trận (gij ) không suy biến và ta ký hiệu (g ij ) là ma trận nghịch đảo của (gij ). Cho (M, g) là một đa tạp Riemann. Ta có một phép đẳng cấu giữa các trường vectơ trên M và các dạng vi phân trên M [ : Γ∞ (T M ) → Γ∞ (T ∗ M ), [(X)(Y ) := g(X, Y ). Trong tọa độ địa phương, nếu ta ký hiệu X = X i ∂i và cho Y = ∂j với mỗi j ta có [(X)(∂j ) = g(X, ∂j ) = gij X i . Vì vậy [(X i ∂i ) = gij X i dxj Ta ký hiệu ánh xạ ngược của [ bởi ] : Γ∞ (T ∗ M ) → Γ∞ (T M ). Khi đó ](wi dxi ) = g ij wi ∂j , với (g ij ) là ma trận nghịch đảo của (gij ) , [ và ] xác định theo từng điểm và ] cảm sinh trên T ∗ M một tích vô hướng 0 hw, w ip := gp (]w, ]w0 ). Giả sử f là một hàm trơn trên M . Khi đó df là một dạng vi phân trên M . Định nghĩa 1.15. Vectơ gradient của f là ∇f = ](df ). Định nghĩa trên là tương đương với mọi X ∈ Γ(T M ) g(∇f, X) = Xf. Trong tọa độ địa phương, ta có ∇f = g ij ∂i f ∂j . E. Toán tử divergence Giả sử X là một trường vectơ trơn trên M . xét hệ tọa độ (U, x1 , · · · , xn ) trên M , phần tử √ dVol = Gdx1 ∧ · · · ∧ dxn là một dạng vi phân dương trên U , trong đó G = det(gij ) và dx1 ∧ · · · ∧ dxn là độ đo Lebesgue trên Rn . Cho w là một n-dạng vi phân w = f dx1 ∧ ... ∧ dxn , xét ánh xạ ιX : ∧n (M ) → ∧n−1 (M ). 13
xác định bởi (ιX w)(Y1 , . . . Yn−1 ) = w(X, Y1 , . . . , Yn−1 )p với Y1 , . . . Yn−1 ∈ Tp M với mọi p ∈ M . Định nghĩa 1.16. Toán tử divergence của X là hàm div(X) trên M định nghĩa bởi (divX)dV ol = d {ιX dV ol} . n X i ∂i , dễ dàng tính toán được, P Giả sử X = i=1 (ιX dV ol)(Y1 , ..., Yn−1 )
X 1 dx1 (Y1 ) ··· dx1 (Yn−1 )
√