Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Đặc tính của Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/μ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là giới thiệu mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/μ; tìm khối lượng Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiếtkiệm 3-3-1 với số hạng B/μ. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Đặc tính của Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/μ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 Vũ Thị Thái ĐẶC TÍNH CỦA HIGGS MANG ĐIỆN TRONG MÔ HÌNH SIÊU ĐỐI XỨNG TIẾT KIỆM 331 với số hạng B/µ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Huy Thảo LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Hà Nội - 2017
Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội II, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Huy Thảo. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Huy Thảo, người thầy đã tận tình truyền dạy, hướng dẫn động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ chia sẻ các tài liệu bổ ích và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tôt luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn lớp cao học đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu của mình. Tôi rất biết ơn gia đình, người thân, bạn bè và các đồng nghiệp luôn động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 9 năm 2017 Học viên Vũ Thị Thái
Lời cam đoan Tôi xin đảm bảo số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các luận văn khác. Cụ thể, chương một và chương hai là phần tổng quan giới thiệu những vấn đề cơ sở có liên quan đến luận văn. Chương ba tôi đã sử dụng kết quả tính toán mà tôi đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn TS. Nguyến Huy Thảo. Cuối cùng tôi xin khẳng định các kết quả có trong luận văn:"Đặc tính của Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1, với số hạng B/µ" là kết quả mới không trùng lặp với các kết quả của các luận văn và công trình đã có. Hà Nội, tháng 9 năm 2017 Học viên Vũ Thị Thái
Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Các kí hiệu chung Mở đầu 1 1 Mô hình chuẩn và mô hình tiết kiệm 3-3-1 5 1.1 Giới thiệu về mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Những thành công và hạn chế của mô hình chuẩn 8 1.2 Mô hình tiết kiệm 3-3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Lý Thuyết siêu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Đại số Poincare và các spinor . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Siêu không gian và siêu trường . . . . . . . . . . 17 1.3.4 Một số qui tắc xây dựng Lagrangian siêu đối xứng 23 1.3.5 Phân loại các đóng góp vào Lagrangian SUSY. . . 28 2 Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm
3-3-1 với số hạng B/µ 31 2.1 Mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ . 31 2.2 Thế vô hướng của Higgs và phần Higgs . . . . . . . . . . 34 3 Khối lượng của Higgs mang điện đơn trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1, với số hạng B/µ 38 3.1 Phần Higgs mang điện đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Khối lượng của các Higgs mang điện . . . . . . . . . . . 42 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48
Các kí hiệu chung Trong luận văn này tôi sử dụng các kí hiệu sau: Tên Kí hiệu Mô hình chuẩn SM Mô hình siêu đối xứng (nói chung) SUSY Mô hình 3-3-1 tiết kiệm E331 Mô hình siêu đối xứng tối thiểu MSSM Mô hình 3-3-1 tiết kiệm siêu đối xứng SUSYE331 Mô hình siêu đối xứng tối thiểu rút gọn 3-3-1 SUSYRM331 Đối xứng chẵn lẻ và liên hợp điện tích CP Máy gia tốc năng lượng cao LHC Vi phạm số lepton thế hệ LFV
1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta biết rằng việc nghiên cứu sự tương tác của các hạt cơ bản có tồn tại 4 loại tương tác: Tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện từ và tương tác hấp dẫn. Tương tác mạnh gắn kết quark trong hạt nhân nguyên tử và làm cho vật chất vững bền. Tương tác điện từ diễn tả electron tương tác với proton trong hạt nhân nguyên tử để tạo nên nguyên tử và phân tử của các hóa chất trong bảng tuần hoàn Mendeleef cũng như các tế bào và gen sinh vật. Tương tác yếu chi phối toàn diện sự vận hành của neutrino, làm cho một số hạt nhân nguyên tử phân rã và phát tán neutrino. Ba tương tác"phi hấp dẫn": mạnh, yếu, điện từ đã được mô tả thống nhất trong một lý thuyết tái chuẩn hóa được, việc giải thích các loại tương tác này đã được xây dựng lí thuyết thống nhất tương tác là nội dung chính của nghiên cứu vật lí hạt cơ bản. Hai tương tác cơ bản điện từ và hạt nhân yếu tuy có cường độ tương tác hiệu dụng quá khác biệt nhưng vì nhận thấy chúng có nhiều đặc tính chung nên S.Glashow, A.Salam và S.Weiberg đã kết hợp tương tác điện từ và tương tác hạt nhân yếu trong
2 một lý thuyết duy nhất mà Salam đặt tên là điện-yếu (electroweak), kết hợp với lý thuyết tương tác mạnh, lý thuyết này gọi là mô hình chuẩn (Standard Model). Mô hình chuẩn tiên đoán nhiều hiện tượng và hạt mới lạ cũng như tính chất của chúng mà sau đó đều được thực nghiệm kiểm chứng với độ chính xác cao: Như dòng trung hòa của tương tác hạt nhân yếu, các quark charm, top, bottom, hai boson chuẩn W, Z, và gần đây nhất là hạt cơ bản vô hướng Higgs được phát hiện vào năm 2012. Việc tiên đoán sự có mặt của Higgs trong thế giới đã được bắt đầu xuất hiện từ thấp kỉ 60. Nhưng chưa đưa ra được bằng chứng thực nghiệm, mãi tới năm 2012 đã được các nhà Vật lí học trên thế giới tìm ra từ thực nghiệm và công bố điều này. Mặc dù là lý thuyết rất thành công, nhưng mô hình chuẩn còn nhiều vấn đề còn tồn tại. Như vấn đề phân bậc năng lượng, khối lượng neutrino, vật chất tối, năng lượng tối...Mô hình SUSYE 3-3-1 là một trong những mô hình khắc phục được những nhược điểm của mô hình chuẩn. Trong luận văn chúng tôi dự kiến sẽ tập trung vào nghiên cứu Higgs mang điện đơn trong mô hình SUSYE 3-3-1 với số hạng B/µ, vì hai lí do: Thứ nhất mô hình SUSYE 3-3-1 có phần Higgs đơn giản nhất trong các mô hình 3-3-1, đã được nghiên cứu một cách rộng rãi. Thứ hai sự xuất hiện của Higgs trong mô hình SUSYE 3-3-1 có ảnh hưởng rất lớn trong vùng không gian tham số của các mô hình hiện nay, bao gồm cả mô hình SUSY 3-3-1. Do đó việc nghiên cứu Higgs mang điện đơn trong mô hình SUSYE 3-3-1 mở rộng là rất cần thiết. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài "Đặc tính của Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ" để nghiên cứu.
3 2. Mục đích nghiên cứu • Giới thiệu mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ. • Tìm khối lượng Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu về mô hình chuẩn và các mở rộng. • Tìm hiểu về mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ. • Đánh giá khối lượng Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Khối lượng của Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ. • Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, chúng tôi tính toán và tìm khối lượng Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ. 5. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử. • Khảo sát, tính toán kết quả bằng phần mềm mathematica.
4 6. Dự kiến đóng góp mới 7. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 nội dung chính sau: • Mô hình chuẩn và mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ. • Đặc tính của Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ. • Khối lượng Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
5 Chương 1 Mô hình chuẩn và mô hình tiết kiệm 3-3-1 1.1 Giới thiệu về mô hình chuẩn 1.1.1 Giới thiệu Mô hình chuẩn được xây dựng dựa trên nhóm chuẩn SU (3)C ⊗SU (2)L ⊗ U (1)X của phép biến đổi chuẩn unitary. SU (3)C là nhóm đối xứng không Abel của tương tác mạnh. Các trường chuẩn gluon liên kết với các tích màu theo cách thức được mô tả trong QCD. SU (2)L là nhóm spin đồng vị điện yếu không Abel. Siêu tích Y liên hệ với điện tích Q và spin đồng vị I3 theo hệ thức Y = 2(Q − I3 ). Trường B liên hệ với nhóm U (1)Y trộn với thành phần trung hoà W ba thành phần tạo nên trường photon A và trường điện yếu Z. Lí thuyết chuẩn về tương tác điện yếu dựa trên nhóm đối xứng SU (2)L ⊗U (1)Y được gọi là lý thuyết Glashow-Salam-Weinberg (GWS). Các quan sát thực nghiệm cho kết quả phù hợp với mô hình chuẩn ở độ chính xác rất cao. Mô hình chuẩn cho ta một cách thức mô tả tự
6 thế hệ I II III quark u c t d s b Lepton νe νµ ντ e µ τ Bảng 1.1: Các quark và lepton của mô hình chuẩn [6] nhiên từ kích thước vi mô cỡ 10−16 cm cho tới các khoảng cách vũ trụ cỡ 1028 cm và được xem là một trong những thành tựu lớn nhất của loài người trong việc tìm hiểu tự nhiên. Mô hình chuẩn được tóm tắt ở 3 điểm cơ bản: 1.Vật chất được cấu tạo từ các yếu tố cơ bản là lepton và các quark. Các quark và lepton được chia thành 3 thế hệ có cấu trúc giống nhau (bảng 1.1), là thành viên của một nhóm các hạt được gọi là fermion (hạt có spin bán nguyên). Cả quark và lepton đều được phân thành từng cặp. Ví dụ, quark được chia thành u (up) và d (down), c (charm) và s (strange), t (top) và b (bottom). Các quark kết hợp thành tam tuyến để tạo ra baryon hoặc kết hợp thành các cặp quark - phản quark để tạo ra meson. Lepton cũng kết hợp thành từng cặp. Các hạt electron, muon và tau đều có một neutrino tương ứng không mang điện, có khối lượng bé. Electron giống như proton và neutron, là một hạt bền và dường như có mặt trong tất cả các dạng vật chất. Các hạt muon và tau không bền và được tìm thấy chủ yếu trong các quá trình rã. Tất cả lepton và quark nói trên đều đã được phát hiện trong thực nghiệm. Bảng (1.2) trình bày khối lượng và điện tích của chúng.
7 Fermion các thành phần vật chất Spin = 21 , 32 , 52 ... 1 1 Lepton Spin = 2 Quark Spin = 2 Vị Khối lượng Điện tích Vị Khối lượng Điện tích ' GeV/c2 ' GeV/c2 νe < 7.10−9 0 u 0, 005 2 3 e 0, 000511 -1 d 0.01 − 13 2 νµ < 0, 0003 0 e 1, 5 3 µ 0, 106 −1 s 0, 2 − 13 2 ντ < 0, 03 0 t 170 3 τ 1, 7771 −1 b 4, 7 − 13 Bảng 1.2: Điện tích và khối lượng của các Quark và Lepton [18] 2. Các lepton và quark tương tác với nhau thông qua 4 loại lực khác là điện từ, mạnh, yếu và hấp dẫn. Các tương tác được thực hiện thông qua các boson vector trung gian hay hạt truyền tương tác. • Photon γ là hạt truyền tương tác điện từ - lực chi phối quỹ đạo của electron và các quá trình hoá học. • Gluon g là hạt truyền tương tác của các loại lực có cường độ lớn nhất - lực tương tác mạnh. Lực này giữ các quark trong photon và neutron cũng như các hạt trong hạt nhân nguyên tử lại với nhau. • W và Z boson là hạt truyền tương tác yếu, thể hiện trong các quá trình rã phóng xạ. Lực yếu đóng vai trò rất quan trọng trong việc quan sát các phản ứng neutrino, vì neutrino trơ đối với lực điện từ (do chúng không mang điện) và không bị ảnh hưởng bởi lực mạnh nên chỉ có lực yếu là giúp ta xác định được đặc tính của neutrino. • Cuối cùng, tương tác hấp dẫn được thực hiện thông qua hạt truyền
8 tương tác là graviton G. • Các hạt γ, g, W và Z đều có spin bằng 1 còn G có spin bằng 2. • Tương tác giữa các trường lực điện từ, mạnh và yếu với thành phần fermion của vật chất cũng như tương tác giữa chúng được mô tả bởi các lí thuyết chuẩn SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y . Phần hấp dẫn được gắn với các phần khác của mô hình chuẩn bằng tay chứ không được mô tả như một hiện tượng lượng tử. 3. Cơ chế Higgs là thành phần quan trọng thứ 3 của Mô hình chuẩn. theo cơ chế này, các trường vô hướng tương tác với nhau sao cho trạng thái cơ bản thu được cường độ trường khác không, phá vỡ đối xứng điện từ một cách tự phát. Năng lượng tương tác của các boson chuẩn điện yếu, các lepton và các quark với trường Higgs thể hiện như là khối lượng của các hạt này. Theo tiên đoán của Mô hình chuẩn thì hạt vô hướng Higgs có khối lượng lớn hơn 115 GeV. 1.1.2 Những thành công và hạn chế của mô hình chuẩn Trong hơn 30 năm qua kể từ khi Mô hình chuẩn ra đời, chúng ta được chứng kiến những thành công nổi bật của nó. Mô hình này đã đưa ra một số tiên đoán mới có ý nghĩa quyết định như sự tồn tại của dòng yếu trung hoà, và các vector boson trung gian, cùng những hệ thức liên hệ khối lượng đã được thực nghiệm xác nhận. Gần đây, một loạt phép đo kiểm tra các giá trị các thông số điện yếu đã được tiến hành trên các máy gia tốc Tevatron, LEP và SLC với độ chính xác rất cao, đạt tới 0, 1% hoặc bé hơn. Điều này chứng tỏ rằng ngay cả cấu trúc lượng tử của mô hình cũng đã thành công với các dữ
9 liệu thực nghiệm. Người ta đã xác nhận rằng W và Z với lepton và quark có giá trị đúng như mô hình chuẩn đã dự đoán. Mô hình chuẩn hạt cơ bản đã giải thích được rất nhiều các hiện tượng vật lý trong thang năng lượng khoảng 200 GeV. Việc quan sát hạt boson Higgs với khối lượng khoảng 125.09 GeV bởi các thí nghiệm tại Large Hadron Collider (LHC) một lần nữa khẳng định sự thành công của SM ở mức năng lượng thấp dưới vài trăm GeV [5, 4, 6] Như vậy, Mô hình chuẩn đã mô tả thành công bức tranh hạt cơ bản và các tương tác đồng thời có vai trò quan trọng trong sự phát triển của vật lí hạt. Mô hình này đã được công nhận rộng rãi, tên gọi "Mô hình chuẩn của Vật lí hạt" xứng đáng nói lên vai trò của nó. Bên cạnh những thành tựu nổi bật, Mô hình chuẩn vẫn còn một số hạn chế sau [10, 3, 17]: • Mô hình chuẩn không giải quyết được những vấn đề có liên quan đến số lượng và cấu trúc các thế hệ fermion như: Tại sao trong Mô hình chuẩn số thế hệ quark - lepton phải là 3? Có thể tồn tại bao nhiêu thế hệ quark - lepton? Giữa các thế hệ có sự liên hệ với nhau như thế nào? • Mô hình chuẩn cho rằng neutrino chỉ có phân cực trái, tức là neutrino không có khối lượng. Nhưng các số liệu đo neutrino khí quyển do nhóm Super - Kamiokande công bố năm 1998 đã cung cấp những bằng chứng về sự dao động của neutrino, khẳng định rằng các neutrino có khối lượng. • Mô hình chuẩn không giải thích được tại sao quark t lại có khối lượng quá lớn so với dự đoán. Về mặt lí thuyết, dựa theo Mô hình chuẩn thì khối lượng quark t vào khoảng 10 GeV, trong khi đó, năm 1995, tại Fermilab người ta đo được khối lượng của nó là 175 GeV.
10 • Mô hình chuẩn không tiên đoán được các hiện tượng vật lí ở thang năng lượng cao cỡ TeV, mà chỉ đúng ở vùng năng lượng thấp vào khoảng 200GeV. 1.2 Mô hình tiết kiệm 3-3-1 Trong mục này chúng tôi giới thiệu một số đặc điểm chính của mô hình tiết kiệm 3-3-1 [7, 13]. Đa tuyến các hạt trong mô hình này được sắp xếp như sau: 1 ψiL = (νi , ei , νic )TL ∼ 3, − , eiR ∼ (1, −1) , i = 1, 2, 3. 3 1 QiL = (u1 , d1 , U )TL ∼ 3, , QαL = (dα , uα , Dα )TL ∼ (3∗ , 0) , α = 2, 3. 3 2 1 2 1 uiR ∼ 1, , diR ∼ 1, − , UR ∼ 1, , DαR ∼ 1, − 3 3 3 3 Nhóm đối xứng chuẩn SU (3)L ⊗ U (1)X bị phá vỡ theo hai giai đoạn. Trước tiên sẽ phá vỡ xuống nhóm đối xứng của mô hình chuẩn thông qua tam tuyến vô hướng. 0 T 1 χ = χ01 , χ− 2 , χ3 ∼ 3, − . 3 Tam tuyến này có giá trị chân không hχi = √1 2 (u, 0, ω)T . Cuối cùng là phá vỡ từ mô hình chuẩn xuống U(1)Q thông qua tam tuyến Higgs. T 2 φ = φ+ 0 + 1 , φ2 , φ3 ∼ (3, ) 3
11 Tam tuyến này có chân không như sau: 1 hφi = √ (0, v, 0)T 2 Khối lượng của fermion được cho bởi Lagrangian Yukawa và có dạng tổng quát như sau: LY = LχY + LφY + Lmix Y Trong phần luận văn này chúng tôi quan tâm đến Lgrangian sau: LχY + LφY = h,11 Q ¯ 1Lχ UR + h, Q ¯ ∗ e ¯ αβ αL χ DβR + hij ψiL φejR +hεij εpmn (ψ¯iL c ¯ 1L φdiR + hdαi Q )p (ψjL )m φn + hd1i Q ¯ αL φ∗ uiR + h.c Lmix ¯ αLχ∗ diR + h,, Q ¯ 1Lχ uiR + huαi Q = hu1i Q ¯ ,, ¯ ∗ Y 1α 1L φDαR + hα1 QαL φ UR + h.c Trung bình chân không ω sinh khối lượng cho quark ngoại lai U và Dα còn u sinh khối lượng cho u1 , dα quarks trong khi đó v sinh khối lượng cho uα , d1 và lepton thông thường. 1.3 Lý Thuyết siêu đối xứng 1.3.1 Giới thiệu Lý thuyết siêu đối xứng là hướng mở rộng đối xứng không - thời gian trong thuyết tương đối hẹp. Vật lý hạt cơ bản gắn liền với việc phân loại hạt thông qua các đối xứng tương ứng với bất biến của tác dụng S. Nếu xét đến giới hạn của mô hình chuẩn chúng ta đã biết có hai loại đối xứng cơ bản sau: • Đối xứng không - thời gian (còn gọi là đối xứng ngoài): Chẳng
12 hạn như các phép biến đổi Poincare, Biến đổi Lorentz tác dụng trực tiếp lên toạ độ không - thời gian của hệ vật lý. Chính đối xứng này phân loại các hạt theo khối lượng và spin. • Đối xứng trong: Là các đối xứng biến đổi qua lại các thành phần trường xếp trong cùng một đa tuyến: Φa (x) −→ M ab Φb (x). (1.1) Trong đó các chỉ số a, b là các chỉ số thành phần của trường, Mba là biểu diễn của toán tử đối xứng. Đối xứng trong phân loại hạt theo tương tác, theo các số lượng tử như điện tích, màu..... Nhóm đối xứng trong SM là tích trực tiếp của nhóm đối xứng ngoài (đối xứng Lorentz) và nhóm đối xứng trong (nhóm chuẩn SU (3)C ⊗SU (2)L ⊗ U (1)Y ) vì tất cả các vi tử của nhóm đối xứng ngoài đều giao hoán với mọi vi tử của nhóm đối xứng trong. Người ta gọi đây là cách mở rộng tầm thường nhóm đối xứng ngoài. Lý thuyết siêu đối xứng tương ứng với sự mở rộng không tầm thường nhóm đối xứng ngoài bằng cách xây dựng nhóm đối xứng mới bao gồm các vi tử Lorentz và các vi tử mới không giao hoán với ít nhất một các vi tử Lorentz. Người ta chia ra được các vi tử này là các vi tử phản giao hoán có các tính chất sau: 1. Không giao hoán với phép quay [Q, M µν ] 6= 0. (1.2) Như vậy vi tử này có phép quay Lorentz không sơ đẳng và có spin khác không. Nó sẽ liên hệ các hạt có spin khác nhau. Cụ thể hơn Qi biến đổi
13 fermion thành boson và ngược lai. Q | f ermion > = | boson >, Q | boson > = | f ermion >, (1.3) do vậy lý thuyết bất biến siêu đối xứng phải có bậc tự do boson và fermion bằng nhau [15]. Các fermion và boson biến đổi qua lại lẫn nhau dưới tác dụng của Q được xếp vào cùng một đa tuyến gọi là siêu đa tuyến. Siêu đối xứng thống nhất hai thành phần có đặc điểm thống kê spin khác nhau. 2. Bất biến với phép biến đổi tịnh tiến không thời gian [Q, E] = [Q, P ] = 0. (1.4) 3. Phản giao hoán tử {Q, Q+ } là toán tử năng lượng E và xung lượng P Q, Q+ = αE + βP. (1.5) Nếu ta lấy tổng theo tất cả các tổ hợp khả dĩ, thì số hạng tỷ lệ với xung lượng triệt tiêu và chỉ còn lại số hạng tỷ lệ với năng lượng. X Q, Q+ ∼ E. (1.6) Q Do các tính chất trên nên toán tử Q có tính chất của spinor. Trong siêu đối xứng người ta có thể làm việc với spinor Majorana hoặc Weyl. Tuy nhiên làm việc với spinor Weyl sẽ gọn hơn. Trong kí hiệu hai thành phần, spinor Majorana bốn chiều có dạng: Qα ˙ 2. ˙ Q = ¯ α˙ , α = 1, 2; α˙ = 1, (1.7) Q
14 Đại số siêu đối xứng tổng quát có dạng như sau: ¯ , Pµ = 0, α˙ [Qα , Pµ ] = Q ˙¯β, σµν )αβ˙˙ Q [Qα , Mµν ] = (¯ (1.8) n o ¯ ¯ {Qα , Qβ } = Qα˙ , Qβ˙ = 0, n o ¯ Qα , Qβ˙ = 2(σ µ )αβ˙ Pµ . (1.9) Trong đó σ µ = (1, σi ), σ¯µ = (1, −σi ). Đại số trên chứa cả hai loại giao hoán tử và phản giao hoán tử nên được gọi là đại số Lie phân bậc (graded Lie algebra). Chú ý rằng Qi có thể mang chỉ số i = 1, 2, ...N của nhóm đối xứng trong. Khi đó người ta gọi là N siêu đối xứng. Trong phần này chúng tôi chỉ quan tâm đến trường hợp N = 1. Từ điều kiện giao hoán ¯ tử (1.8), ta thấy đối xứng ngoài (đại số Poincare) và đối xứng trong Q, Q kết hợp một cách không tầm thường. Phần tiếp theo chúng tôi liệt kê các yếu tố cơ bản nhất cần thiết để xây dụng Lagrangian tổng quát nhất. 1.3.2 Đại số Poincare và các spinor Đại số Poincare tương ứng với đối xứng không - thời gian trong lý thuyết tương đối hẹp tác dụng lên các toạ độ không - thời gian xµ như sau xµ 7→ x0µ = Λµν xν + aµ . (1.10) Trong đó Λµν tương ứng với phép biến đổi Lorentz, thoả mãn điều kiện tensor metric ηµν = diag(1, −1, −1, −1) bất biến, cụ thể: ΛT ηΛ = η.