Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về đa thức Jones của nút

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bố cục luận văn gồm có ba chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về Lý thuyết nút và link trong không gian ba chiều, tập trung vào khía cạnh tổ hợp của nút và link. Chương 2 trình bày về Đa thức Jones. Chương 3 - Đa thức Jones của link thay phiên, chương này là giải quyết một giả thuyết cổ điển trong Lý thuyết nút đã tồn tại gần 100 năm: Giả thuyết Tail thứ nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về đa thức Jones của nút

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** DƯ THÀNH HƯNG VỀ ĐA THỨC JONES CỦA NÚT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** DƯ THÀNH HƯNG VỀ ĐA THỨC JONES CỦA NÚT Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ THẾ KHÔI Hà Nội - 2012
Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Lời mở đầu iii Chú dẫn lịch sử v 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Nút và Link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Đẳng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Biểu đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Các phép dịch chuyển Reidemeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Sự nhân tử hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Đồ thị phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Đa thức Jones 18 2.1 Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Đa thức Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Đa thức Jones của link thay phiên 33 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 i
Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Vũ Thế Khôi (Viện Toán Học). Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Tôi xin cảm ơn phòng Hình học và Tô pô, Viện Toán học, đã giúp đỡ tạo điều kiện rất nhiều cho tôi hoàn thành khoá học này. Và tôi cũng xin cám ơn nhóm seminar của phòng Hình học và Tô pô, Viện toán học, đã giúp tôi bổ sung, củng cố các kiến thức về Lý thuyết nút. Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2007-2009, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Hà nội, tháng 7 năm 2012 Người viết luận văn Dư Thành Hưng. ii
Lời mở đầu Các nút (tổng quát hơn là các link) là những thứ hết sức phổ biến trong cuộc sống hằng ngày, được quan sát và nghiên cứu ở các mức độ và góc nhìn khác nhau. Chúng có thể được ngắm nhìn như là những sản phẩm tinh xảo của các nghệ nhân, hoặc như là giới hạn cuối cùng của sự phức tạp hình học, những cái mà có lẽ chẳng bao giờ gặp trong cuộc sống. Nghiên cứu các nút cũng có thể được gán cho những mục đích ứng dụng, chẳng hạn như trong sinh học phân tử, trong Vật lý thống kê, hay trong Lý thuyết trường lượng tử Tôpô. Nhưng cơ bản nhất, Lý thuyết nút thuộc về Tôpô hình học. Mục đích của các nghiên cứu Tôpô của các nút xuất phát từ cố gắng tìm hiểu các tính chất hình học của không gian ba chiều thông qua các cấu hình thắt nút ở bên trong nó. Điều này dẫn tới một số việc như nghiên cứu các tính chất hình học của nút, tìm hiểu sự liên quan giữa các nút với lĩnh vực Tôpô và hình học ba chiều, và đặc biệt là xây dựng các bất biến để phân biệt hai nút cho trước. Đối tượng của Luận án này là một trong những bất biến quan trọng nhất trong Lý thuyết nút: Đa thức Jones của link định hướng. Bố cục luận văn gồm có ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về Lý thuyết nút và link trong không gian ba chiều, tập trung vào khía cạnh tổ hợp của nút và link. Ngoài ra, một số khái niệm sơ cấp về đồ thị phẳng cũng được đưa vào mục cuối cùng. Chương 2: Đa thức Jones. Chương này gồm hai phần. Phần đầu là về ngoặc Kauffman của biểu đồ không định hướng và dạng hiểu chỉnh của chúng: Đa thức Kauffman của link định hướng. Một số tính toán với các biểu đồ quan trọng được trình bày. Phần hai là về Đa thức Jones, thu được từ đa thức Kauffman bằng một phép đổi biến. Các tính chất cơ bản của Đa thức Jones được chứng minh chi tiết. Trong phần này chúng tôi cũng nhấn mạnh việc đa thức Jones có thể tính toán mà không cần thông qua ngoặc Kauffman. Chương 3: Đa thức Jones của link thay phiên. Mục đích của chương này là giải quyết một giả thuyết cổ điển trong Lý thuyết nút đã tồn tại gần 100 năm: Giả thuyết Tail thứ nhất. Đây được xem là một trong những ứng iii
dụng đẹp nhất của đa thức Jones. Cuối chương là một ví dụ minh họa cho ý nghĩa của giả thuyết Tait thứ nhất trong việc phân loại các link thay phiên. Vì thời gian và trình độ có hạn, chúng tôi đã không thể trình bày các chủ đề rất lý thú và sâu sắc của đa thức Jones như mối liên hệ của nó với bất biến Arf, với đa thức Conway, định nghĩa đa thức Jones thông qua biểu diễn nhóm bện, các sự tổng quát hóa khác nhau của đa thức Jones và ứng dụng, ... . Đó là những chủ đề mà chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu trong tương lai. iv
Chú dẫn lịch sử Về mặt lịch sử, các câu hỏi thô sơ về nút đã xuất hiện từ thời Hy Lạp cổ đại. Đến thế kỉ 19, do những yêu cầu trong vật lý, Gauss, Kelvin, Listing, và một số người khác đã có những nghiên cứu nghiêm túc về các nút, nhưng tất cả chỉ dừng ở mức trực giác. Nói riêng, Gauss đã tìm ra số liên kết giữa các thành phần của link khi nghiên cứu lý thuyết điện từ. Cuối thế kỉ 19, một học trò của Kelvin là Tait đã đưa ra hai giả thuyết nhằm phân loại các nút thay phiên. Từ đầu thế kỉ 20 cho đến đầu những năm 1980, cùng với sự ra đời và phát triển của Tôpô, Lý thuyết nút đã có những thành tựu đáng kể theo các hướng đã nói trong Lời mở đầu. Ở khía cạnh phân loại, các bất biến như đa thức Alexander, đa thức Conway, bất biến Arf ... đã được tìm ra. Tuy nhiên, họ vẫn không thể chứng minh được các giả thuyết của Tait, dù nó được phát biểu khá đơn giản. Năm 1984, Vaughan Jones tạo ra một cuộc cách mạng trong Lý thuyết nút bằng việc tìm ra một bất biến đa thức mới mà ngày nay mang tên ông (công bố năm 1985). Sử dụng bất biến này, các nhà toán học nhanh chóng chứng minh được giả thyết Tait thứ nhất (giả thuyết thứ hai được chứng minh sau đó ba năm, nhưng không sử dụng đến đa thức Jones). Sự thực, lĩnh vực nghiên cứu của Jones không phải là Tôpô, mà là Lý thuyết các đại số toán tử. Ông tìm ra bất biến đa thức mang tên mình một cách khá tình cờ và phức tạp, dựa vào các đại số Von Neumann và Lý thuyết biểu diễn nhóm bện. Sau đó không lâu, một chuyên gia về Lý thuyết nút là Kauffman tìm ra một cách định nghĩa đơn giản đa thức Jones dựa vào cấu trúc tổ hợp của biểu đồ, công bố năm 1987 ([3]). Ý tưởng của Kauffman đến từ Vật lý thống kê. Sự đơn giản của cách định nghĩa này khiến cho việc xuất hiện muộn màng của đa thức Jones trở nên đáng ngạc nhiên, vì những nhà toán học khác đã bỏ công tìm nó trong hơn 50 năm, và một số bất biến họ tìm thấy như đa thức Conway, đa thức Alexander, bất biến Arf, ... có mối liên hệ mật thiết với nó. Với việc tìm ra bất biến đa thức mang tên mình, Jones được trao huy chương Fields năm 1990. Như vây, đa thức Jones liên quan đến khá nhiều lý thuyết trong Toán học và Vật lý: Tôpô hình học, Đại số toán tử, Lý thuyết biểu diễn, Vật lý thống kê. Nhưng vẫn chưa hết, khi xét sự tương giao giữa Lý thuyết nút với Tôpô ba chiều và Lý thuyết trường lượng tử, đa thức Jones trở thành điểm xuất phát của một Lý thuyết có tên là v
Bất biến lượng tử. Theo hướng này, năm 1988, Witten đã tìm ra một sự tổng quát hóa cho đa thức Jones dựa vào tích phân đường Feynman. Công trình này góp phần đem lại huy chương Fields cho Witten năm 1990. Đa thức Jones không chỉ có một sự tổng quát hóa của Witten, mà còn có nhiều sự tổng quát hóa khác. Sớm nhất là khoảng bốn tháng sau khi Jones công bố công trình về đa thức Jones, sáu nhà toán học là Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, và Yetter độc lập với nhau công bố một sự tổng quát hóa tự nhiên của đa thức Jones. Đó là một đa thức hai biến, được gọi là đa thức HOMFLY theo chữ cái đầu tiên của tên của sáu nhà toán học. Đến năm 2000, Khovanov đưa ra một tổng quát hóa đại số cho đa thức Jones, gọi là đối đồng điều Khovanov. Với mỗi link định hướng, ông xây dựng được một phức đối xích phân bậc có đặc trưng Euler phân bậc chính là đa thức Jones chuẩn hóa. Nếu hai link giống nhau thì hai phức tương ứng sẽ đồng luân. Sau đó Bar-Natan đơn giản hóa đáng kể Lý thuyết của Khovanov vào năm 2002. Năm 2007, lại là Khovanov, cùng với Rozansky, mở rộng lý thuyết của mình lên cho một trường hợp đặc biệt của đa thức HOMFLY, gọi là đối đồng điều Khovanov-Rozansky. Và rất gần đây, năm 2010, Peter Kronheimer và Tomas Mrowka đã chứng minh đối đồng điều Khovanov hệ số nguyên phân biệt được nút tầm thường. Với đa thức Jones, điều tương tự vẫn là một câu hỏi mở quan trọng. Chứng minh của Kronheimer và Mrowka được công bố trong một bài báo dài 125 trang, sử dụng những công cụ Toán học có nguồn gốc trong Vật lý, cụ thể là Lý thuyết Gauge. Hiện nay, cùng với việc cố gắng giải quyết bài toán trên trong trường hợp đa thức Jones, người ta đang tìm kiếm một chứng minh đại số hoặc tổ hợp cho định lý của Kronheimer và Mrowka. vi
CHƯƠNG 1 Kiến thức chuẩn bị Mục đích của chương này trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản của Lý thuyết nút. Các chứng minh dài và khó sẽ được bỏ qua kèm theo trích dẫn tài liệu tra cứu cho nó. Ngoài ra, một vài khái niệm trong Lý thuyết đồ thị, những thứ cần thiết cho chương ba, cũng được trình bày vắn tắt. Cuối mục 6 là một bảng các nút nguyên tố có số điểm cắt không lớn hơn 8. Ngoài trừ mục cuối, nội dung chương này chúng tôi chủ yếu dựa vào ba tài liệu [2], [8] và [9]. 1.1 Nút và Link Các nút là những thứ hết sức quen thuộc trong cuộc sống chúng ta. Nó xuất hiện khi chúng ta buộc những kiện hàng, thắt dây giầy, hay các công việc tương tự khác. Các nút có thể tháo ra, buộc lại theo các cách giống nhau hoặc khác nhau. Để nghiên cứu tính thắt nút, phần bị thắt nút của sợi dây cần được làm nổi bật. Một cách làm điều đó là phần bên ngoài chỗ thắt nút là một đoạn dây dài thẳng. Một cách tốt hơn là ta gắn hai đầu của phần bên ngoài nút đó để tạo thành một vòng dây. Lý thuyết nút nghiên cứu các tính chất Tôpô của các vòng bị nhúng vào trong không gian ba chiều. Ta cho phép một nút có thể làm cho bị biến dạng giống như ta tác động lên một sợi dây mảnh, mềm mại, co giãn với hai đầu dính liền nhau. Bây giờ là định nghĩa chính xác của nút: Định nghĩa 1.1 Một nút là ảnh của một phép nhúng trơn S1 vào trong R3 . Như vậy một nút là một đa tạp con một chiều trong R3 vi phôi với S1 , do đó có hai phép định hướng trên nó. Một nút cùng với một phép định hướng được gọi là nút định hướng. Nếu K là nút định hướng thì ta kí hiệu −K là nút định hướng nhận được từ K bằng cách đảo hướng. Hiển nhiên −(−K ) = K.
1.2. Đẳng luân Định nghĩa 1.2 Một m-link (m ∈ N) là một tập con của R3 có đúng m thành phần liên thông, mỗi thành phần liên thông là một nút. Một m-link định hướng là một m-link với mỗi thành phần là một nút định hướng. Như vậy, các nút là các link một thành phần. Với mỗi m-link, ta có cả thảy 2m cách định hướng trên nó. Một số ví dụ về các nút và link quan trọng được cho trong hình 1.1. Hình 1.1: Vài ví dụ về nút và link. Với mỗi link L cho trước, ta có thể xây dựng một link mới bằng phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy. Cụ thể ta ký hiệu L là ảnh của L qua ánh xạ: ( x, y, z) → ( x, y, −z). Rõ ràng L cũng là một m-link và được gọi là link gương của L. 1.2 Đẳng luân Trong mục này chúng ta định nghĩa thế nào là hai nút tương đương. Một cách trực giác, hai nút là tương đương nếu chúng có thể biến đổi thành nhau mà không cần phải tháo nút ra rồi thắt nút lại theo một kiểu khác. Định nghĩa toán học của hình ảnh trên như sau: 2
1.2. Đẳng luân Định nghĩa 1.3 Link L1 được gọi là đẳng luân không gian với link L2 nếu tồn tại một vi phôi trong R3 biến L1 thành L2 , và vi phôi này phải đồng luân trơn với ánh xạ đồng nhất theo lớp các vi phôi trong R3 . Một vi phôi như thế được gọi là một phép đẳng luân từ L1 tới L2 . Từ đây về sau, ta sẽ dùng từ "đẳng luân" thay cho cụm từ "đẳng luân không gian". Theo định nghĩa, link L1 đẳng luân với link L2 khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ trơn F : R3 × [0, 1] 7→ R3 thỏa mãn hai điều kiện: i) Với mỗi t ∈ [0, 1], ánh xạ f t := F ( , t) : R3 7→ R3 là vi phôi. ii) f 0 = idR3 và f 1 ( L1 ) = L2 Một họ vi phôi f t như thế được gọi là một dải đẳng luân từ L1 đến L2 . Mệnh đề 1.4 Quan hệ đẳng luân là quan hệ tương đương trên tập các link. CHỨNG MINH. Hiển nhiên mọi link đều đẳng luân với chính nó. Giả sử ta có một link L1 đẳng luân với một link L2 . Theo định nghĩa, tồn tại dải đẳng luân f t từ L1 tới L2 . Ta sẽ chứng minh họ f t−1 là một dải đẳng luân từ L2 tới L1 . Muốn thế ta chỉ cần chứng minh f t−1 trơn theo biến t. Xét ánh xạ G : R3 × [0, 1] 7→ R3 × [0, 1] cho bởi công thức: G ( x, t) = ( f t ( x ), t). Vì f t là vi phôi với mọi t nên G là một song ánh trơn với ánh xạ ngược G −1 (y, t) = ( f t−1 (y), t). Tại một điểm ( p, t) ∈ R3 × [0, 1] bất kì, đạo hàm D( p, t) G có ma trận chính tắc là ma trận: ∂f ∂ f 1,t ∂ f 1,t  1,t ( p ) ( p ) ( p ) 0  ∂∂xf2,t1 ∂x2 ∂ f 2,t ∂x3 ∂ f 2,t    1∂x ( p ) ∂x 2 ( p ) ∂x 3 ( p ) 0    ∂ f3,t ∂f ∂f  ∂x1 ( p) ∂x1,t2 ( p) ∂x3,t3 ( p) 0  0 0 0 1 ( f i,t là hàm tọa độ thứ i của f t ) Vì f t là vi phôi với mọi t nên det( D( p, t) G ) = det( D p f t ) 6= 0, tức là đạo hàm tại ( p, t) là song ánh. Theo định lý hàm ngược, ánh xạ ngược G −1 (y, t) = ( f t−1 (y), t) phải là ánh xạ trơn trong một lân cận của G ( p, t) = (q, t). Từ đó ta có f t−1 là ánh xạ trơn trong một lân cận của (q, t), và vì q chạy trên toàn bộ R3 nên f t−1 là ánh xạ trơn trên R3 × [0, 1]. Cuối cùng, giả sử L1 , L2 , L3 là ba link tùy ý sao cho L1 đẳng luân với L2 , L2 đẳng luân với L3 . Khi đó, theo định nghĩa, tồn tại các dải đẳng luân f t , gt từ L1 tới L2 và từ L2 tới L3 . Khi đó ánh xạ H : R3 × [0, 1] 7→ R3 xác định bởi:  1  F ( x, 2t) t ∈ [0, 2] H ( x, t) = (1.1)  G [ F ( x, 1), 2t − 1] t ∈ [ 12 , 1] 3
1.3. Biểu đồ là một dải đẳng luân từ L1 tới L3 . Do đó quan hệ đẳng luân có tính chất bắc cầu. Dựa vào khái niệm đẳng luân, ta gọi các phần tử thuộc lớp đẳng luân của link gồm m đường tròn đồng phẳng và đôi một rời nhau là các m-link tầm thường. Dễ thấy một m-link là tầm thường khi và chỉ khi tất cả m thành phần của nó đều đẳng luân với đường tròn và với hai thành phần bất kì đều tồn tại một hình cầu chứa một thành phần và không giao với cái còn lại. Với một tập hợp "quen biết" X có một quan hệ tương đương ∼ trên nó, ta gọi ánh xạ I : {tập các link} → X là một bất biến đẳng luân của link nếu I ( L) ∼ I ( L0 ) nghiệm đúng với mọi cặp link đẳng luân với nhau. Nếu bất biến I cũng là điều kiện đủ để hai link (nói riêng là hai nút) đẳng luân thì nó được gọi là một bất biến (nút) hoàn hảo. Như thế, để chứng minh hai link L và L0 không đẳng luân, cần và đủ là xây dựng một bất biến I sao cho I ( L) và I ( L0 ) không tương đương. Bất biến thô sơ nhất chính là số thành phần của link. Một bất biến khác ít thô sơ hơn một chút là phần bù của link. Hiển nhiên hai link đẳng luân thì phần bù của chúng sẽ đồng phôi. Điều ngược lại là không đúng trong trường hợp tổng quát. Nhưng với trường hợp các nút thì khẳng định ngược lại cũng đúng, tức là "hai phần bù đồng phôi" là điều kiện cần và đủ để hai nút đẳng luân (đây là một định lý với chứng minh rất khó). Như thế, phần bù là một bất biến nút hoàn hảo. Trong chương sau, ta sẽ trình bày một trong những bất biến quan trọng nhất trong Lý thuyết nút là Đa thức Jones. Tuy không phải bất biến nút hoàn hảo, nó vẫn cho phép ta chứng minh một nút và nút gương của nó nói chung không đẳng luân với nhau. Cuối cùng, với hai link định hướng, quan hệ đẳng luân giữa chúng được định nghĩa hoàn toàn giống như trường hợp không định hướng, chỉ thêm yêu cầu phép đẳng luân phải là vi phôi phù hợp với định hướng trên chúng. Tất cả các định sự kiện về link không định hướng vừa trình bày bên trên đều dễ dàng chuyển sang cho trường hợp link định hướng. 1.3 Biểu đồ Một trong những cách thông dụng nhất để biểu diễn nút và link là chiếu chúng lên mặt phẳng. Dù có cung cấp một số thông tin về link, các phép chiếu là không đủ để ta khôi phục lại link từ nó: chẳng hạn các thông tin về độ cao bị mất đi và ta không biết sợi nào ở bên trên hay dưới một sợi dây khác. Hơn nữa, có một số phép chiếu là tốt hơn so với các phép chiếu khác. 4
1.3. Biểu đồ Cho một link L và một phép chiếu song song từ R3 xuống R2 = Oxy. Với mong muốn thu được nhiều thông tin nhất có thể, ta cần phép chiếu thỏa mãn bốn điều kiện sau: (i) Tiếp tuyến tại mọi điểm trên L qua phép chiếu vẫn phải là đường thẳng (tức là không suy biến thành một điểm). (ii) Với n > 2, không tồn tại n điểm phân biệt của L qua phép chiếu trở thành một điểm. (iii) Tại hai điểm phân biệt của L được chiếu thành một điểm, hai tiếp tuyến qua phép chiếu không được trùng nhau. Nói cách khác, nếu hai cung rời nhau của L qua phép chiếu trở thành hai cung giao nhau thì phép giao phải là giao hoành. (iv) Tập các điểm trên mặt phẳng là ảnh của hai điểm phân biệt trên L phải hữu hạn. Định nghĩa 1.5 Một phép chiếu song song từ không gian xuống mặt phẳng Oxy thỏa mãn bốn điều kiện trên được gọi là phép chiếu chính quy đối với link L. Trong định nghĩa phép chiếu chính quy theo một link cho trước, nói riêng, có hai tình huống không được phép xảy ra: Thứ nhất ba điểm phân biệt của link được chiếu lên cùng một điểm (hình 1.2 a), thứ hai là hai cung rời nhau của link trở thành tiếp xúc nhau qua phép chiếu (hình 1.2 b). Hình 1.2: Hai tình huống vi phạm tính chính quy của phép chiếu. Nếu p là một phép chiếu chính quy đối với link L, thì các điểm trong p( L) là ảnh của hai điểm trong L được gọi là các điểm cắt. Theo định nghĩa phép chiếu chính quy, tập điểm cắt phải là hữu hạn. Khi phép chiếu p thay đổi, số lượng điểm cắt của p( L) nói chung cũng thay đổi, nhưng dĩ nhiên luôn bị chặn dưới bởi 0. Đại lượng c( L) := min p {số lượng các điểm cắt của p( L)| p là phép chiếu chính quy theo L} 5
1.3. Biểu đồ được gọi là số điểm cắt của L. Trong một lân cận mỗi điểm cắt, ta có hai cung giao nhau tại điểm cắt. Hai cung này là ảnh của hai cung rời nhau trong L chứa hai điểm bị chiếu lên điểm cắt. Ảnh của cung chứa điểm có tọa độ z lớn hơn gọi là cung trên tại điểm cắt, ảnh của cung còn lại gọi là cung dưới tại điểm cắt. Định nghĩa 1.6 Ảnh của link L qua một phép chiếu chính quy cùng với sự phân biệt cung trên, cung dưới tại mỗi điểm cắt được gọi là một biểu đồ của L. Nếu L là link định hướng thì ảnh của nó qua phép chiếu chính quy cũng có một định hướng cảm sinh. Biểu đồ với hướng cảm sinh đó được gọi là biểu đồ của link định hướng của L. Nhận xét 1.7 Như vậy link là một đối tượng hình học trong không gian ba chiều, còn biểu đồ của link là một đối tượng trong không gian hai chiều, mặc dù nhìn chúng khá giống nhau (hình 1.3). Hình 1.3: Nút trefoil và biểu đồ. Ta nêu ra hai tính chất đơn giản và quan trọng của biểu đồ link: + Nếu link L có một biểu đồ D thì link gương L có một biểu đồ giống hệt D, nhưng tại mỗi điểm giao thì cung trên và cung dưới đổi chỗ. Ta gọi nó là biểu đồ gương của D và ký hiệu là D + Ta gọi hai link L1 và L2 là rời nhau mạnh nếu tồn tại một hình cầu chứa L1 và không giao với L2 . Khi đó sẽ có một phép chiếu chính quy theo L1 ∪ L2 , kí hiệu là p, thỏa mãn: p( L1 ) ∩ p( L2 ) = ∅. Nói cách khác, L1 ∪ L2 sẽ có một biểu đồ là hợp rời của hai biểu đồ của L1 và L2 cùng sinh ra từ phép chiếu ban đầu. Định lý sau về sự tồn tại của các biểu đồ mà chứng minh có thể tìm trong [2] 6
1.3. Biểu đồ Định lý 1.8 Sai khác một phép đẳng luân, mọi link đều có một phép chiếu chính quy, do đó nó có một biểu đồ. Về trực giác, nếu một phép chiếu không chính quy với một linh, ta có thể sử dụng một số phép nhiễu địa phương không làm thay đổi bản chất của link để phép chiếu thỏa mãn ba yêu cầu đầu tiên trong định nghĩa phép chiếu chính quy. Yêu cầu thứ tư khó hình dung hơn, và đó là lí do vì sao người ta không chỉ đòi hỏi nút là đồng phôi với đường tròn. Đã có những ví dụ về những tập con trong R3 đồng phôi với S1 nhưng không có phép chiếu chính quy, vì yêu cầu thứ tư không thể thỏa mãn được. Từ đây về sau, khi nói đến "biểu đồ" mà không nói gì hơn, ta luôn hiểu đó là biểu đồ của một link nào đó. Hoàn toàn tương tự như với các link, ta cũng có thể định nghĩa quan hệ đẳng luân giữa hai biểu đồ (định hướng hay không định hướng) D1 và D2 , cụ thể ta chỉ việc thay R3 bằng R2 , thay L1 , L2 bằng D1 , D2 trong định nghĩa quan hệ đẳng luân của hai link. Khi đó hai biểu đồ được gọi là đẳng luân phẳng với nhau. Một cách trực giác, ta hình dung hai biểu đồ đẳng luân phẳng với nhau là hai biểu đồ có cùng một "cấu trúc tổ hợp" (hình 1.4). Hình 1.4: Các biểu đồ đẳng luân phẳng. Nhận xét 1.9 Dễ thấy nút tầm thường có thể có biểu đồ với số điểm cắt tùy ý, do đó biểu đồ link không phải là bất biến đẳng luân của link. Mệnh đề sau đây là một tính chất tổ hợp khá thú vị của biểu đồ, sẽ được sử dụng trong chương ba. Trước hết, ta cần định nghĩa sau: Định nghĩa 1.10 Với mỗi tập U trong mặt phẳng có hữu hạn thành phần liên thông là U1 , U2 , ..., Un (n > 1), ta gọi một phép tô màu kiểu bàn cờ cho U là một phép tô mỗi tập Ui bằng một trong hai màu đen hoặc trắng thỏa mãn điều kiện: Nếu (∂Ui ∩ ∂Uj ) có một thành phần liên thông gồm nhiều hơn một điểm thì chúng phải có màu khác nhau. Mệnh đề 1.11 Phần bù trong mặt phẳng của mọi biểu đồ đều có thể tô màu kiểu bàn cờ. CHỨNG MINH. Trước khi chứng minh mệnh đề, để cho gọn ta gọi một đường cong đơn đóng là một vòng (như vậy một nút là một vòng trơn trong R3 ). Trong một tập các vòng 7
1.4. Các phép dịch chuyển Reidemeister phẳng, ta gọi một vòng là loại k (k = 0, 1, 2, ...) nếu nếu nó nằm trong đúng k miền mở giới hạn bởi k vòng trong tập đang xét, và không tồn tại k + 1 miền mở giới hạn bởi k + 1 vòng trong tập đang xét chứa α. Bây giờ ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ. Nếu D là một biểu đồ không có điểm cắt, thì nó là một số hữu hạn các vòng phẳng đôi một rời nhau trên Oxy. Ta tô màu cho Oxy − D như sau: Chọn một màu bất kì bất kì, chẳng hạn màu đen, tô lên thành phần không bị chặn (có duy nhất một thành phần không bị chặn). Tiếp theo, tô màu trắng cho tất các thành phần nằm trong các miền bị giới hạn bởi các vòng loại 0. Sau đó tô đè màu đen lên tất cả các thành phần nằm trong các miền bị giới hạn bởi các vòng loại 1. Rồi lại tô đè màu trắng lên tất cả các thành phần nằm trong miền bị giới hạn bởi các vòng loại 2, ... . Cứ tiếp tục như thế ta được một cách tô màu kiểu bàn cờ cho Oxy − D. Giả sử mệnh đề đúng với mọi biểu đồ có ít hơn n điểm cắt. Với mỗi biểu đồ D có n điểm cắt, tại lân cận đủ nhỏ của một điểm cắt bất kì, ta dựng thêm hai cung như hình bên dưới: Tạm thời bỏ qua hai cung trên dưới của điểm cắt đó và sử dụng hai cung mới, ta được một biểu đồ có n − 1 điểm cắt. Theo giả thiết quy nạp, phần bù của nó có thể tô màu kiểu bàn cờ. Thực hiện điều này, sau đó xóa màu đã tô trên hai cung trên dưới tại điểm cắt, rồi dùng màu của hai miền có biên chứa hai cung mới (hai miền này có màu giống nhau) tô lên hai cung mới và tô đè lên hai miền đối nhau giới hạn bởi hai cung mới và hai cung trên dưới tại điểm cắt. Dễ thấy đó là cách tô màu bàn cờ cho Oxy − D. Ta kết thúc mục này bằng định nghĩa sau về một loại biểu đồ đặc biệt. Định nghĩa 1.12 Một biểu đồ được gọi là liên thông nếu nó là tập liên thông trong mặt phẳng. Một biểu đồ không liên thông được gọi là biểu đồ tách. Một link tách là link có một biểu đồ tách. Từ định nghĩa ta suy ra một link là tách khi và chỉ khi một số thành phần của link và các thành phần còn lại là rời nhau mạnh. 1.4 Các phép dịch chuyển Reidemeister Bài toán cơ bản trong Lý thuyết nút là phân lại các link theo quan hệ đẳng luân. Như đã nói ở trên, để chứng minh hai link không đẳng luân với nhau, người ta sử dụng các bất biến đẳng luân của link. Việc chứng minh hai link đẳng luân với nhau nói chung là khó hơn, vì không dễ gì xây dựng được dải đẳng luân như định nghĩa. Một cách tự 8
1.4. Các phép dịch chuyển Reidemeister nhiên, người ta mong muốn thông qua biểu đồ của hai link để chứng minh chúng là đẳng luân. Công việc này đòi hỏi phải phân tích cấu trúc tổ hợp của biểu đồ một cách kĩ lưỡng. Trước hết, ta nhận thấy rằng trong quá trình đẳng luân, cấu trúc tổ hợp của biểu đồ không bị thay đổi. Cụ thể, các tình huống sau không bao giờ xuất hiện: (i) Một điểm cắt mất đi, hoặc một điểm cắt mới xuất hiện. (ii) Xuất hiện hai cung trong biểu đồ tiếp xúc với nhau. (iii) Xuất hiện ba cung trong biểu đồ giao nhau tại một điểm. Tương ứng với ba tình huống trên là ba phép dịch chuyển Reidemeister được mô tả trong hình dưới đây: Phép dịch chuyển Reidemeister thứ nhất cho phép đưa thêm vào hoặc xóa đi một điểm cắt trong biểu đồ. Phép dịch chuyển Reidemeister thứ hai cho phép thêm vào hoặc xóa đi hai điểm cắt trong biểu đồ bằng cách "trượt" hai cung lại gần nhau hay tách ra xa nhau. Trong khi dịch chuyển, sẽ có thời điểm hai cung tiếp xúc nhau. Phép dịch chuyển Reidemeister thứ ba cho phép trượt một cung trong biểu đồ từ một phía của điểm cắt sang phía bên kia. Trong khi dịch chuyển, sẽ có thời điểm cung trượt đi qua điểm cắt. Định lý Reidemeister nói rằng ba phép dịch chuyển nói trên cùng với phép đẳng luân phẳng giữa các biểu đồ chính là điều kiện cần và đủ cho tính đẳng luân của link. Chúng tôi không viết ra đây chứng minh định lý này vì nó khá phức tạp. Những ai quan tâm có thể tìm thấy chứng minh trong hầu hết các giáo trình về Lý thuyết nút, chẳng hạn như [2]. Định lý 1.13 (Reidemeister) Cho L1 và L2 là hai link không định hướng có hai biểu đồ tương ứng là D1 và D2 . Khi đó, L1 và L2 đẳng luân với nhau khi và chỉ khi D1 nhận đươc từ D2 qua một số hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister và một phép đẳng luân phẳng. Ta lấy hai ví dụ để minh họa cho định lý Reidemeister. Đầu tiên là một ví dụ đơn giản: 9
1.4. Các phép dịch chuyển Reidemeister Ví dụ thứ hai phức tạp hơn. Ta áp dụng định lý Reidemeister để chứng minh nút số tám đẳng luân với nút gương của nó: Định lý Reidemeister có thể viết dưới dạng ký hiệu: {tập các link }/ quan hệ đẳng luân không gian = {tập các biểu đồ link}/ quan hệ đẳng luân phẳng và ba phép dịch chuyển Reidemeister. Đẳng thức trên cho phép ta xác định các lớp đẳng luân của link thông qua các lớp đẳng luân phẳng của biểu đồ, modulo các phép dịch chuyển Reidemeister. Đối với việc nghiên cứu hình học của các link, đẳng thức trên có một vai trò quan trọng. Lý do là vế bên trái của nó có bản chất Tôpô, còn vế phải theo một nghĩa nào đó là mang bản chất Tổ hợp. Do đó nó cho phép sử dụng các kỹ thuật của Tổ hợp để thu được các hiểu biết về Tôpô của link. Đây cũng là một ý tưởng then chốt trong toàn bộ lý thuyết nút. Với những phép dịch chuyển gần gũi với ba phép dịch chuyển trên, ta có mênh đề sau: Mệnh đề 1.14 Các phép biến đổi dưới đây đều suy ra từ ba phép dịch chuyển Reide- meister. CHỨNG MINH . Với phép dịch chuyển thứ nhất ta có: Ta chứng minh phép dịch chuyển thứ hai: 10
1.5. Sự nhân tử hóa Phép dịch chuyển thứ ba chứng minh hoàn toàn tương tự như với phép dịch chuyển thứ hai nên ta bỏ qua. Tương tự, với trường hợp các link định hướng ta cũng có các phép dịch chuyển Reidemeister định hướng như trong hình 1.5, cũng như định lý Reidemeister: Hình 1.5: Các phép dịch chuyển Reidemeister định hướng. Định lý 1.15 Cho L1 và L2 là hai link định hướng có hai biểu đồ tương ứng là D1 và D2 . Khi đó, L1 và L2 đẳng luân với nhau khi và chỉ khi D1 nhận đươc từ D2 qua một số hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister định hướng và một phép đẳng luân giữa hai biểu đồ định hướng. 1.5 Sự nhân tử hóa Mục này ta sẽ trình bày một cách xây dựng các link mới từ hai link cho trước. Trong trường hợp link là nút định hướng, cách xây dựng này rất giống cách lấy tích của hai số nguyên. Với hai nút K1 , K2 bất kì, ta có thể thu được hai nút mới bằng cách xóa đi một cung khá nhỏ trên hai nút K1 , K2 rồi gắn đầu mút của chúng lại. Hiển nhiên có hai cách gắn, mỗi cách gắn cho ta một nút mới, kí hiệu là K và K 0 . Trong trường hợp tổng quát K và K 0 không đẳng luân với nhau. Rõ ràng cách xây dựng hai nút K1 và K2 không phụ thuộc vào vị trí cung bị xóa, mà chỉ phụ thuộc vào cách gắn. Thủ tục vừa trình bày được gọi là phép nhân hai nút K1 và K2 . Cả hai nút K và K 0 đều được gọi là tích của K1 với K 0 , và được kí hiệu: K = K1 #K2 ; K 0 = K1 #K2 . Để làm cho phép nhân hai nút trở thành đơn trị, ta chỉ việc định hướng cho K1 , K2 và chọn cách gắn phù hợp với định hướng của K1 và K2 . Khi đó nút tích sẽ là một nút định hướng (hình 1.6). Dễ dàng kiểm tra lúc này phép nhân là giao hoán và kết hợp. 11
1.5. Sự nhân tử hóa Tổng quát hơn, nếu L1 và L2 tương ứng là m1 -link và m2 -link, ta xây dựng hai (m1 + m2 − 1)-link, gọi là hai link tích của L1 và L2 và cũng được kí hiệu là L1 #L2 , như sau: các thành phần của hai link này gồm (m1 − 1) thành phần của L1 , (m2 − 1) thành phần của L2 , và một thành phần cuối cùng là tích của hai thành phần còn lại trong L1 và L2 . Như thế có thể sẽ có 2m1 m2 link đôi một không đẳng luân là tích của L1 , L2 . Nếu hai link L1 , L2 đều định hướng thì sẽ có thể sẽ có m1 m2 link định hướng đôi một không đẳng luân là tích củaL1 , L2 . Nếu L = L1 #L2 ta cũng nói L1 và L2 là hai nhân tử của L. Hình 1.6: Tích hai nút định hướng. Một câu hỏi tự nhiên: Làm thế nào để nhận biết một link L cho trước là tích của hai link nào đó? Để trả lời, ta lấy một mặt cầu S giao với L tại đúng hai điểm, và đều là giao hoành. Chọn một cung đơn, trơn α trên S nối hai điểm đó lại (việc chọn α không quan trọng vì những cung như thế đều đẳng luân với nhau). Đặt U1 , U2 là hai thành phần của R3 − S. Ta định nghĩa hai link mới như sau: Li = ( L ∩ Ui ) ∪ α i = 1, 2. Lúc này, rõ ràng L = L1 #L2 . Thủ tục vừa trình bày bên trên gọi là sự nhân tử hóa link L. Ta cũng dễ thấy hai link không đẳng luân vẫn có thể có cùng một khai triển thành tích các nhân tử. Một ví dụ về sự nhân tử hóa của nút được cho trong hình 1.7. Hình 1.7: Một nút phân tích được thành tích của nút trefoil và nút số tám. 12