Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Mô hình hóa trong dạy học định lí côsin ở hình học lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Vũ Thị Thu Hiền

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC

ĐỊNH LÍ CÔSIN Ở HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Vũ Thị Thu Hiền

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC

ĐỊNH LÍ CÔSIN Ở HÌNH HỌC LỚP 10

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số

: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. TRẦN ANH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những kết quả

trong luận văn là trung thực.

Vũ Thị Thu Hiền

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới người thầy của tôi: thầy Trần Anh

Dũng. Thầy đã cho tôi những hướng dẫn quý báu về luận văn, góp ý cho tôi cách diễn

đạt, luôn tâm lí và động viên tôi. Thầy là sứ giả truyền cảm hứng và nguồn năng

lượng để tôi vững tin hoàn thành luận văn này!

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô: cô Lê Thị Hoài Châu, thầy Tăng Minh

Dũng, cô Vũ Như Thư Hương, cô Nguyễn Thị Nga, thầy Lê Văn Tiến, thầy Lê Thái

Bảo Thiên Trung, thầy Trần Lương Công Khanh, cô Annie Bessot và thầy Hamid

Chaachoua đã cho chúng tôi những kiến thức quan trọng trong ngành Didactic Toán

cũng như góp ý của các thầy cô cho luận văn của tôi.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin và Ban Giám

hiệu của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho

chúng tôi được học tập ở đây.

Tôi xin tri ân với lớp Didactic toán khóa 27, những kỉ niệm và năm tháng chúng

ta đã đi cùng nhau. Tôi sẽ rất nhớ mọi người khi chúng ta ra trường!

Xin được cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT chuyên Lương Thế Vinh tỉnh

Đồng Nai cùng các em HS lớp 10 Lí khóa 2018 – 2021. Nhà trường đã tạo mọi thuận

lợi cho tôi trong thời gian thực nghiệm và các em HS rất dễ thương, hoạt động tích

cực.

Xin chân thành cảm ơn người bạn đồng hành với tôi trong suốt thời gian làm

luận văn: bạn Trần Thị Hương.

Và cuối cùng, con xin cảm ơn ba mẹ đã cho con được học những gì mà con

thích, con theo đuổi. Luôn ủng hộ con và yêu thương con!

Con yêu ba mẹ!

Vũ Thị Thu Hiền

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

Chương 1. MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ CÔSIN

Ở VIỆT NAM VÀ MỸ ................................................................ 16

1.1. Dạy học định lí côsin ở Việt Nam ....................................................... 16

1.1.1. Mô hình hóa trong hình học 10 cơ bản ....................................... 16

1.1.2. Mô hình hóa trong hình học 10 nâng cao ................................... 28

1.1.3. Kết luận ....................................................................................... 39

1.2. Dạy học định lí côsin ở Mỹ ................................................................. 39

1.2.1. Lý thuyết ..................................................................................... 40

1.2.2. Bài tập ......................................................................................... 48

1.2.3. Kết luận ....................................................................................... 57

1.3. Kết luận ............................................................................................... 58

Chương 2. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ............................................. 60

2.1. Giới thiệu thực nghiệm ........................................................................ 60

2.1.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................ 60

2.1.2. Đối tượng thực nghiệm ............................................................... 60

2.1.3. Các bài toán thực nghiệm ........................................................... 60

2.1.4. Dàn dựng và phân tích kịch bản ................................................. 65

2.2. Phân tích tiên nghiệm .......................................................................... 67

2.2.1. Bài toán mở đầu .......................................................................... 67

2.2.2. Bài toán 1 .................................................................................... 74

2.2.3. Bài toán 2 .................................................................................... 78

2.3. Phân tích hậu nghiệm .......................................................................... 82

2.3.1. Những ghi nhận tổng quát .......................................................... 82

2.3.2. Phân tích chi tiết ......................................................................... 83

2.4. Kết luận ............................................................................................. 103

KẾT LUẬN. .................................................................................................. 104

TÀI LIỆU THAM KHẢO. .......................................................................... 105

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HS : Học sinh

GV : Giáo viên

KNV : Kiểu nhiệm vụ

SBT : Sách bài tập

SGK : Sách giáo khoa

SGV : Sách GV

Tr. : Trang

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng Nội dung Trang

1.1 Các tổ chức toán học trong SGK hình học 10 cơ bản 23

1.2 Số lượng các KNV trong SGK và SBT hình học 10 cơ bản 27

Tỉ lệ giữa KNV thuộc bài toán thực tế và KNV thuộc bài toán toán 1.3 27 học trong chương trình hình học 10 cơ bản

1.4 Số lượng các KNV trong SGK và SBT hình học 10 nâng cao 37

Tỉ lệ giữa KNV thuộc bài toán thực tế và KNV thuộc bài toán toán 1.5 37 học trong chương trình hình học 10 nâng cao

1.6 Số lượng các KNV trong Precalculus (Demana) 54

Phân bố các KNV trong Precalculus (Demana) thuộc bài toán ngoài 1.7 55 toán học

Tỉ lệ giữa bài toán loại 1 và loại 2; KNV thuộc bài toán toán học và 1.8 55 ngoài toán học trong Precalculus (Demana)

2.1 Mục đích câu hỏi trong bài toán thực nghiệm 64

2.2 Đáp số các nhóm trong bài toán 1 83

2.3 Bảng đánh giá tỉ lệ chất lượng các nhóm 102

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Nội dung Hình Trang

Các chương trong sách Precalculus (Demana) 1.1 40

2.1 Nội dung bài toán mở đầu 60

2.2 Nội dung bài toán 1 61

2.3 Nội dung bài toán 2 62

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Nội dung Sơ đồ Trang

Mối quan hệ giữa các tổ chức toán học trong SGK hình học 10 1.1 26 cơ bản

MỞ ĐẦU

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chúng tôi chọn đề tài này vì các lí do sau đây:

1.1. Chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo

Từ một tham luận tại hội thảo về định hướng chương trình giáo dục phổ thông

của nước ta sau 2015, chúng tôi ghi nhận được những ý kiến chung của Bộ Giáo dục

– Đào tạo:

Lựa chọn nội dung giáo dục là những tri thức cơ bản của nhân loại, những

thành tựu khoa học công nghệ và những giá trị lịch sử, tinh hoa văn hóa dân tộc phải

đảm bảo vừa hội nhập quốc tế, vừa gắn kết với thực tiễn nước ta trong giai đoạn

công nghiệp hóa, hiện đại hóa. Nội dung được thiết kế theo hướng giảm tính hàn lâm,

tăng tính thực hành và ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn để tạo

điều kiện phát triển các năng lực chung, năng lực riêng biệt cho HS; dung lượng học

tập phải phù hợp với thời lượng học tập.

Như vậy, Toán học với tư cách là một môn học cơ bản, xuyên suốt ở các cấp

học, có vai trò nền tảng trong hình thành năng lực của HS tất yếu phải đảm bảo những

đặc trưng quan trọng đó.

Những yêu cầu này cũng đã được nhấn mạnh từ trước, trong chương trình 2008.

Cụ thể, sách GV Đại số 10 (tr. 3, 4) có đưa ra ba định hướng nhằm đáp ứng nhu cầu

1. Tăng cường tính thực tiễn và tính sư phạm, giảm nhẹ yêu cầu quá chặt

chẽ về lí thuyết. […]

2. Xây dựng nội dung chương trình đáp ứng mục tiêu môn học, đồng thời

chú ý đáp ứng yêu cầu của một số môn học khác như Vật lí, Sinh học. […]

3. Hội nhập. […].

đổi mới giáo dục như sau:

(Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, và Nguyễn Tiến

Tài, 2013)

1.2. Bản thân đối tượng nghiên cứu

Mô hình hóa toán học với những thế mạnh trong việc rèn luyện năng lực khám

phá, suy luận, sáng tạo và giải quyết vấn đề của HS là sự lựa chọn rất tốt cho chúng

tôi để xây dựng những tình huống dạy học đáp ứng những tiêu chí trên.

Khi tìm kiếm những kiến thức toán học có khả năng gắn với mô hình hóa, chúng

tôi thấy định lí côsin với ứng dụng rộng rãi của nó trong thực tế là đối tượng toán học

thích hợp để lựa chọn.

1.3. Ghi nhận từ thăm dò HS và GV

Trong tháng 4/2018, chúng tôi thực hiện một cuộc phỏng vấn nhỏ với 10 HS

lớp 11 trường THPT Nguyễn Trãi, Đồng Nai để tìm hiểu suy nghĩ của HS về tính ứng

dụng thực tế của định lí côsin. Dưới đây thống kê một số câu trả lời:

Theo em định lí côsin dùng để làm gì? Em có nhớ bài toán thực tế nào

trong SGK có sử dụng định lí côsin

 Tính cạnh trong tam giác, tính góc  Tính cạnh của tam giác bất kì  Tính mấy bài trong tam giác, để

không?

 Không ạ  Mấy bài cho vài cạnh, vài góc rồi yêu cầu xác định tam giác  Bài tính khoảng cách từ bờ sông

 Em không biết

xây nhà, công trình đến cù lao

Chúng tôi cũng phỏng vấn 4 GV đang giảng dạy: 2 GV trường THPT Nguyễn

Trãi, Đồng Nai, 1 GV trường THPT Bà Rịa và 1 GV trường THPT Châu Thành với

câu hỏi:

Theo thầy cô, khi cho một bài toán thực tế cần phải vận dụng định lí côsin để

giải quyết thì HS lớp 11 có làm được không?

Ý kiến chung nhận được là: Đa số HS không còn nhớ đến công thức của định lí,

chưa nói đến chuyện vận dụng giải quyết vấn đề. Chỉ một số ít HS giỏi là còn

nhớ.

Từ những ghi nhận trên ở 1.1, 1.2, 1.3, chúng tôi nảy sinh ra những câu hỏi ban

đầu:

1. SGK hình học 10 đã trình bày ứng dụng của định lí côsin trong thực tế như

thế nào?

2. Chúng ta có thể xây dựng một tiến trình dạy học tích cực, cụ thể là mô hình

hóa nhằm rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn, mở rộng hiểu biết của HS

về vai trò của định lí côsin không?

1.4. Tổng quan về một số công trình nghiên cứu liên quan

Chúng tôi bắt đầu tìm kiếm những kết quả liên quan đến mô hình hóa và định lí

 Mô hình hóa:

côsin trong chuyên ngành Didactic Toán:

Nguyễn Thị Tân An (2014). Sử dụng toán học hóa để phát triển các năng lực

hiểu biết định lượng của HS lớp 10. Luận án tiến sĩ. Trường đại học Sư phạm thành

phố Hồ Chí Minh:

Luận án đã:

Xây dựng một cách phân loại các tình huống toán học

Xây dựng quá trình toán học hóa phù hợp và khả thi với chương trình

Hướng dẫn cụ thể các bước của quá trình mô hình hóa cho HS

Làm rõ mối liên hệ giữa năng lực hiểu biết định lượng và quá trình toán học

hóa.

Thiết kế và phân loại theo mức độ 19 tình huống toán học hóa có trong ba chủ

đề của lớp 10 nâng cao: hàm số bậc hai, bất phương trình và hệ bất phương trình bậc

nhất, hệ thức lượng trong tam giác.

Xây dựng riêng một thang đánh giá để đo năng lực hiểu biết định lượng của HS

khi đang xử lí một tình huống toán có yếu tố định lượng.

Qua công trình, chúng tôi thu thập được một vài kinh nghiệm về cách chọn bài

 Định lí côsin:

 Lê Thị Bích Liễu (2012). Định lý hàm số côsin trong chương trình toán

toán cũng như xây dựng bài toán thực nghiệm sao cho đúng mục đích của mình.

– hình học 10 ở trường phổ thông. Luận văn tốt nghiệp đại học. Trường

đại học Cần Thơ:

Luận văn đã nêu một số thông tin về định lí côsin, trình bày sáu cách chứng

minh định lí này. Sau đó đã phân tích định lí côsin trong sách giáo khoa hình học 10

hiện hành, ứng dụng định lí côsin vào giải các bài toán cụ thể, chủ yếu về các bài toán

toán học. Đối với bài toán ngoài toán học thì đề bài chỉ là ngữ cảnh thực tế được lồng

ghép vào. Vì ngay trong đề bài đã cho thấy HS cần phải vẽ mô hình gì. Ví dụ: “Một

tấm bìa hình thang cân có đường chéo là d, đáy nhỏ là a. Tính các cạnh còn lại và

diện tích tấm bìa.” (Bài tập 2 trang 41). Và cuối cùng, tác giả xây dựng các giáo án

đề nghị sử dụng trong giảng dạy định lí này.

Phạm vi lí thuyết tham chiếu của luận văn không thuộc trường phái Didactic

Toán nhưng luận văn vẫn có thể hữu ích cho chúng tôi về mặt nào đó.

Đối tượng khảo sát ở luận văn tiếp theo dưới đây thuộc chương trình thí điểm

 Nghiêm Thị Xoa (2006). Máy tính bỏ túi và lượng giác trong chủ đề

THPT trở về trước, nhưng chúng có thể liên quan đến chủ đề của chúng tôi:

dạy học “Giải tam giác”. Luận văn thạc sĩ. Trường đại học Sư phạm

thành phố Hồ Chí Minh:

Kết quả luận văn cho thấy máy tính bỏ túi trong các chương trình toán ở trường

phổ thông Việt Nam vẫn chủ yếu giữ vai trò là công cụ tính toán; các quy tắc hợp

đồng được tìm thấy liên quan đến đối tượng lượng giác trong hoạt động giải tam giác;

từ nghiên cứu thực hành dạy học của GV, quy tắc hợp đồng đã được thể hiện rõ; cuối

cùng qua nghiên cứu nảy sinh ra giả thuyết và đã kiểm chứng được.

Những nhận xét của tác giả có liên quan đến định lí côsin có thể sẽ giúp ích cho

chúng tôi sau này.

Như vậy, chúng tôi nghĩ rằng giới hạn trong chuyên ngành didactic toán Việt

Nam thì trước đó có thể chưa có công trình nào khai thác về mô hình hóa định lí côsin

và tất cả những lí do trên đưa chúng tôi đến quyết định nghiên cứu đề tài: “Mô hình

hóa trong dạy học định lí côsin ở hình học lớp 10”.

2. PHẠM VI LÍ THUYẾT THAM CHIẾU (DIDACTIC TOÁN)

Để có cơ sở lí luận cho câu hỏi ban đầu, chúng tôi chọn các lí thuyết sau với

mục đích:

 Thuyết nhân học

 Mô hình hóa trong dạy học

Biết quan hệ thể chế đối với định lí (quan hệ thể chế, côsin trong mối liên hệ với mô hình tổ chức toán học) hóa

 Lí thuyết tình huống

Xây dựng thực nghiệm

Các lí thuyết này phần lớn có trong Những yếu tố cơ bản của Didactic toán, Sách

song ngữ Việt – Pháp.

Theo Lê Văn Tiến (2005), một số thuật ngữ liên quan khác có trong phương

 Tình huống có vấn đề: Tình huống trong đó tồn tại một vấn đề, với vấn đề

pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông là:

ở đây là những khó khăn trong nhận thức, được chủ thể ý thức một cách rõ

 Tình huống gợi vấn đề: Thỏa mãn 3 điều kiện: Tồn tại một vấn đề, gợi nhu

ràng hoặc mơ hồ, chưa có phương pháp mang tính thuật toán để giải quyết.

 Bài toán thực tiễn (bài toán thực tế): Được hiểu theo nghĩa rộng. Tức có

cầu nhận thức và gây niềm tin ở khả năng.

thể là bài toán với các yếu tố thực tiễn “thực” hoặc mô phỏng thực tiễn

“thực” (các số liệu đã được làm đẹp, kết quả tính ra không phức tạp …)

Theo Y. Chevallard (1984) và L. Coulange (1997) thì bài toán được

chia làm ba loại: Bài toán thực tiễn, bài toán phỏng thực tiễn và bài toán

toán học. Vì vậy, với việc hiểu theo nghĩa rộng trên, chúng tôi đồng nhất

các khái niệm bài toán ngoài toán học với bài toán thực tiễn để sử dụng sau

này.

 Tiến trình bài toán – định lí:

 Pha 0: Tạo động cơ

 Pha 1: Giải các bài toán

 Pha 2: Phát biểu định lí

 Pha 3: Củng cố, vận dụng

 Tiến trình suy diễn:

Một vài tiến trình dạy học định lí:

 Pha 0: Tạo động cơ

 Pha 1: Phát biểu định lí

 Pha 3: Chứng minh hay công nhận định lí

 Pha 4: Củng cố, vận dụng.

Sơ lược về mô hình hóa toán học:

Theo Nguyễn Thị Nga (2016) thì:

Mô hình toán học có thể hiểu là một cấu trúc toán học (đồ thị, bảng biểu, phương

trình, hệ phương trình, biểu thức đại số, hàm số, hình hình học, …) gồm các kí hiệu

và các quan hệ toán học mà nó biểu diễn, mô tả đặc điểm một tình huống.

Mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học

nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này.

Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề ngoài toán

học sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học,

thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải

quyết không thể chấp nhận.

Có nhiều sơ đồ trình bày quá trình mô hình hóa một vấn đề thực tiễn khác nhau.

Trong đó chúng tôi chọn sơ đồ của Coulange (1997) để trình bày:

Sơ đồ quá trình mô hình hóa toán học (Coulange, 1997)

Quá trình này gồm 4 bước:

Bước 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành mô hình trung gian (xây dựng

mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố quan trọng nhất và xác lập

những quy luật mà chúng phải tuân theo).

Bước 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học (khi có mô hình

trung gian, ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét. Từ đó

dẫn đến việc lập mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham

số của tình huống).

Bước 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học (sử dụng các công cụ toán

học để khảo sát và giải quyết mô hình toán học hình thành ở bước 2).

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3. Trở lại tình

huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu trả lời

của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn được mô hình hóa.

Trong bước này có hai khả năng:

- Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế thì ta chấp

nhận

- Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế.

Khi đó cần xem xét các nguyên nhân như:

+ Tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy trình

+ Mô hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét

+ Tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng

+ Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế

Trong trường hợp này, cần phải thực hiện lại quy trình trên cho đến khi tìm

được mô hình toán học thích hợp cho tình huống.

 Dạy học mô hình hóa là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn. Quy trình dạy học mô hình hóa:

Theo Lê Văn Tiến (2005) thì:

Dạy học tri thức toán học lí thuyết → Vận dụng tri thức này vào giải bài toán

thực tiễn: xây dựng mô hình toán học, giải mô hình toán học, trả lời cho bài toán

thực tiễn.

 Dạy học bằng mô hình hóa: Là dạy học thông qua dạy học mô hình hóa. Tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài toán thực tiễn. Quy trình giống quy trình trên nhưng thêm giai đoạn nảy sinh ra tri thức mới trước đó:

Bài toán thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán

thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng tri thức này vào giải bài toán thực

tiễn.

Quy trình dạy học bằng mô hình hóa cho phép khắc phục khiếm khuyết: tri thức

toán học không còn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn mà nó tồn

tại trong quy trình dạy học mô hình hóa.

3. MỤC TIÊU VÀ CÂU HỎI NGHIÊN CỨU

Mục tiêu của luận văn là:

Xây dựng một tiến trình dạy học bằng mô hình hóa nhằm dạy ứng dụng của

định lí côsin cho HS, giúp HS tham gia vào quá trình mô hình hóa toán học.

Từ lí thuyết tham chiếu, mục tiêu được chúng tôi cụ thể hóa thành các câu hỏi

nghiên cứu như sau:

1. Định lí côsin ra đời như thế nào? Có vai trò gì trong thực tiễn?

2. Quan hệ của thể chế dạy học hình học 10 đối với định lí côsin trong mối liên

hệ với mô hình hóa ra sao?

3. Cùng tri thức này thì thể chế dạy học Việt Nam và thể chế dạy học một nước

khác có những tương đồng và khác biệt gì?

4. Xây dựng một tiểu đồ án dạy học bằng mô hình hóa định lí côsin cụ thể ra

sao để giúp HS có cơ hội làm việc với mô hình hóa toán học, đồng thời mở rộng hiểu

biết của HS về vai trò của định lí côsin?

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp luận nghiên cứu có thể được sơ đồ hóa như sau:

Vậy nhiệm vụ nghiên cứu của chúng tôi là:

1. Tìm hiểu một số yếu tố về định lí côsin.

2. Rà soát, phân tích chương trình và SGK Việt Nam, Mỹ.

3. Từ 1, 2 hình thành ý kiến, quan điểm dạy học để xây dựng thực nghiệm sát

với mục tiêu.

4. Xây dựng tiến trình dạy học, nghiên cứu các bài toán thực nghiệm, phân tích

tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm.

5. CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn gồm các phần chính như sau: Mở đầu, hai chương và kết luận, trong

đó:

Mở đầu: Sơ lược một số yếu tố về định lí côsin

Chương 1: Mô hình hóa đối với định lí côsin trong dạy học ở Việt Nam và Mỹ

Phân tích và so sánh hai thể chế nhằm tìm ra những mặt tích cực và hạn chế,

phục vụ cho việc xây dựng thực nghiệm.

Chương 2: Nghiên cứu thực nghiệm

Nhằm xây dựng tiểu đồ án dạy học bằng mô hình hóa, thực nghiệm và rút ra kết

luận.

6. SƠ LƯỢC MỘT SỐ YẾU TỐ VỀ ĐỊNH LÍ CÔSIN

Mục này giúp giải đáp câu hỏi 1: Định lí côsin ra đời như thế nào, có vai trò gì trong thực tiễn?

Định lí côsin ở đây được nói đến trong phạm vi hình học Euclid (không phải hình học

 Về sự xuất hiện

phi Euclid).

Theo Pickover (2009) thì từ thế kỉ III trước công nguyên, định lí côsin đã ngầm

xuất hiện trong công trình Những nguyên lí của Euclid. Để cụ thể hơn, chúng tôi dịch

ở mệnh đề 12, quyển 2 (thể loại thuộc đại số hình học) trong bản tiếng Anh của

Trong các tam giác tù, hình vuông trên cạnh đối diện góc tù lớn hơn (tổng

của) các hình vuông trên hai cạnh chứa góc tù hai lần hình chữ nhật gồm một

trong các cạnh là cạnh kề góc tù – cạnh mà có đường thẳng vuông góc hạ xuống,

và đoạn thẳng bị chặn lại bên ngoài tam giác bởi đường vuông góc hướng về góc

tù.

Fitzpatrick như sau:

(Fitzpatrick, 2008)

(Từ mệnh đề thứ 35 của quyển 1, Euclid đã mở rộng “sự bằng nhau” là “bằng

nhau về diện tích”, thay vì “trùng khít lên nhau” (Fitzpatrick, 2008). Do đó sự so sánh

lớn hơn, nhỏ hơn giữa các hình hay các thao tác thêm bớt các hình là làm việc trên

diện tích của chúng. Như vậy, hình vuông hay hình chữ nhật trong phát biểu trên tức

là diện tích hình vuông, diện tích hình chữ nhật).

Có thể hiểu định lí này theo ngôn ngữ hiện tại là:

“Trong một tam giác tù, bình phương cạnh đối diện góc tù bằng tổng bình

phương của hai cạnh bên rồi cộng thêm hai lần tích của một cạnh bên và hình chiếu

vuông góc của cạnh bên còn lại trên cạnh bên đó”.

Tóm tắt bài toán

Tam giác ABC có góc A tù. Khi đó:

𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 + 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐷

Nếu đối chứng lại với công thức định lí côsin ngày nay thì:

𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 − 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐵𝐴𝐶̂

và AD = 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐵𝐴𝐷̂ = −𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐵𝐴𝐶̂ nên hai hệ thức này là tương đương với

nhau.

Có thể thấy một sự tương ứng giữa mệnh đề 12 của Euclid và định lí côsin bây

giờ:

𝑎2

= 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑏2 tương ứng với diện tích hình vuông cạnh b, 𝑐2 tương ứng với diện tích hình

Euclid Chúng ta

vuông cạnh c và cả hạng tử chứa 𝑐𝑜𝑠𝐴 tương ứng là diện tích hai hình chữ nhật

kích thước b x m.

Vào lúc đó, đối tượng mà Euclid làm việc là các tam giác, hình vuông, hình chữ

nhật, hình bình hành, đường tròn … và sử dụng những định nghĩa, tiên đề, mệnh đề

riêng của mình để chứng minh các phát biểu của ông. Ví dụ như theo Fitzpatrick

(2008):

Tiên đề 2, quyển 1: “Nếu cùng thêm những thứ bằng nhau vào những thứ bằng

nhau khác thì những tổng thể sẽ bằng nhau”

Mệnh đề 47, quyển 1: “Trong một tam giác vuông, hình vuông trên cạnh đối

diện góc vuông bằng (tổng của) các hình vuông trên các cạnh góc vuông”

Mệnh đề 4, quyển 2: “Nếu một đoạn thẳng bị cắt ngẫu nhiên thì hình vuông trên

đoạn tổng thể (đoạn thẳng đó) bằng với (tổng của) các hình vuông trên đoạn từng

phần (của đoạn thẳng đó), và hai lần hình chữ nhật có kích thước là các đoạn từng

phần”.

Chúng tôi diễn tả lại cách chứng minh của Euclid theo cách viết bây giờ cho

gọn hơn (tức diện tích hình vuông sẽ thay bằng bình phương cạnh hình vuông, tương

tự cho hình chữ nhật):

Vì DC bị điểm A chia cắt nên theo mệnh đề 4

quyển 2 thì:

𝐷𝐶2 = 𝐶𝐴2 + 𝐴𝐷2 + 2. 𝐶𝐴. 𝐴𝐷

Thêm vào hai vế với 𝐷𝐵2, ta được:

𝐷𝐵2 + 𝐷𝐶2 = 𝐷𝐵2 + 𝐶𝐴2 + 𝐴𝐷2 + 2. 𝐶𝐴. 𝐴𝐷

(Tiên đề 2, quyển 1)

Ta có 𝐶𝐵2 = 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐵2 và 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2 + 𝐷𝐵2 do góc D vuông (Mệnh đề 47,

quyển 1).

Vì vậy 𝐶𝐵2 = 𝐶𝐴2 + 𝐴𝐵2 + 2. 𝐶𝐴. 𝐴𝐷.

Trường hợp dành cho góc nhọn cũng được phát biểu trong mệnh đề 13 tiếp theo

Trong các tam giác nhọn, hình vuông trên cạnh đối diện một góc nhọn bé

hơn (tổng của) các hình vuông trên hai cạnh chứa góc nhọn đó hai lần hình chữ

nhật gồm một trong các cạnh là cạnh kề góc nhọn đó – cạnh mà có đường vuông

góc hạ xuống, và đoạn thẳng bị chặn lại bên trong tam giác bởi đường vuông góc

hướng về góc nhọn.

của quyển 2:

(Fitzpatrick, 2008)

Minh họa bài toán:

Tam giác ABC nhọn. Xét góc nhọn B, khi đó ta có:

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 − 2. 𝐵𝐶. 𝐵𝐷

Chứng minh tương tự như trên. Và theo cách lí luận

hiện đại thì 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐵, khớp với công thức định lí

côsin 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 − 2. 𝐵𝐶. 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐵.

Tới thế kỉ XV, nhà thiên văn học, toán học người Ba Tư al – Kashi cung cấp

các bảng lượng giác chính xác và diễn đạt định lí theo một dạng phù hợp cách sử

dụng hiện đại (Pickover, 2009). Do không tìm thấy tài liệu nên chúng tôi không biết

ông đã biểu diễn định lí thế nào.

Sau đó một thế kỉ, định lí côsin được Viète tìm ra độc lập với al – Kashi

(Pickover, 2009) và Viète đã phát biểu vào năm 1593 (Sullivan, 2012). Cuối cùng,

định lí côsin có biểu thức như ngày nay nhờ vào sự đổi mới của hệ thống biểu đạt

toán học.

Như vậy, định lí côsin có mầm mống từ những bài toán hình học, qua các thời

kì phát triển của toán học mà có được cách viết này.

Các cách chứng minh định lí côsin đã có trong nhiều tài liệu nên chúng tôi không

trình bày lại. Trở lại với công thức định lí côsin:

Trong tam giác ABC cho trước, ta có

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 với 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑎

Có bốn yếu tố xuất hiện trong biểu thức: ba cạnh và một góc trong tam giác. Vì

đây là phương trình bậc hai đơn giản nên khi cho ba yếu tố trong tam giác này, ta sẽ

tìm được yếu tố còn lại: ba cạnh  góc, hai cạnh và một góc  cạnh. Như vậy, các

trường hợp khác nhau khi sử dụng đến định lí côsin có thể là:

Cho Tìm

c.c.c g

c.g.c c

c.c.g c

Tuy nhiên, với thông tin hai cạnh và một góc đối (c.c.g) tùy ý thì tam giác có

thể không tồn tại, xác định duy nhất hoặc tồn tại cả hai tam giác. Hình ảnh sau có thể

minh họa rõ hơn

(Larson, 2013)

Lúc này, khi thế các giả thiết vào công thức định lí côsin thì hệ thức trở thành phương

trình bậc hai một ẩn với ẩn là cạnh chưa biết. Vì thế mà giá trị cạnh cần tính cũng có

thể cho kết quả âm (không tồn tại tam giác), ra một nghiệm dương (tồn tại duy nhất

 Về tính ứng dụng trong thực tế

tam giác) hoặc hai nghiệm dương (có hai tam giác thỏa mãn).

Định lí côsin dễ dàng được ứng dụng trong những tình huống có mô hình gần

giống với tam giác. Trong một số giáo trình sử dụng cho bậc THPT ở một số nước

nói tiếng Anh như Precalculus 4e (Blitzer, 2007), Precalculus 9e (Larson, 2013),

Precalculus 6e: Mathematics for calculus (Stewart, Redlin, & Watson, 2010) và

Algebraic & Trigonometry (Sullivan, 2012), chúng tôi thấy định lí côsin được áp

 Tính được khoảng cách giữa hai vị trí bị cản trở, khó đo đạc

dụng cho một số trường hợp như:

 Tính góc so với một hướng cố định đã biết để tìm được hướng cần

(Stewart, Redlin, & Watson, 2010) (Stewart, 2010)

đi tới điểm đến

 Tính toán độ dài, khoảng cách thông thường

(Sullivan, 2012) (Blitzer, 2007)

 Tính toán góc, độ dài trong mô hình tam giác thay đổi

(Larson, 2013) (Larson, 2013) (Sullivan, 2012)

(Larson, 2013) (Larson, 2013)

Có thể thấy định lí côsin là biểu thức dùng tính toán các yếu tố về cạnh và góc

trong tam giác. Điều đó dẫn đến các vấn đề thực tế muốn được định lí côsin giải quyết

thì phải tồn tại mô hình tam giác tương ứng.

Như vậy, định lí côsin đã xuất hiện từ thời Euclid trong hình hài của một mệnh

đề về các hình đa giác, mà việc chứng minh chúng phải dựa vào hệ thống các tiên đề,

định đề, định nghĩa, mệnh đề do Euclid xây dựng nên. Trải qua một thời gian rất dài,

đến thế kỉ XV, al – Kashi mới công bố về định lí côsin với cách diễn đạt thuận tiện

và tổng quát hơn. Viète độc lập tìm ra định lí côsin vào thế kỉ XVI. Cuối cùng, định

lí côsin đã được sử dụng như cách viết hiện nay.

Định lí côsin có nhiều ứng dụng hữu ích trong thực tiễn, liên quan đến nhu cầu

tính toán khoảng cách, góc trong những mô hình tam giác. Pickover (2009) cũng đã

nhận xét rằng “ứng dụng của định lí trải dài từ khảo sát địa chất đến tính toán đường

bay của máy bay”.

Những ghi nhận trên cho chúng ta thấy từ thời Hy Lạp cổ đại đến nay, định lí

côsin đã được sử dụng trong những tính toán hình học và nó là công cụ không thể

thiếu được trong các đo đạc thực tế hay mô phỏng.

Với hệ thống công cụ toán học đầy đủ như bây giờ cũng như sự đa dạng của

khoa học giáo dục, chúng ta có nhiều thuận lợi trong việc xây dựng được tình huống

dạy học tích cực cho HS. Để phục vụ mục đích dạy học này, theo chúng tôi, có thể

chọn những ứng dụng thức tế trên để xây dựng một quy trình dạy học: Từ nhu cầu

giải quyết vấn đề thực tế mà giúp HS tìm ra định lí côsin.

Chương 1. MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ CÔSIN

Ở VIỆT NAM VÀ MỸ

Mục đích phân tích: Trả lời cho câu hỏi 2, 3: “Quan hệ của thể chế dạy học hình

học 10 đối với định lí côsin trong mối liên hệ với mô hình hóa ra sao? Cùng tri thức

này thì thể chế dạy học Việt Nam và thể chế dạy học một nước khác có những tương

đồng và khác biệt gì?”.

Chúng tôi chọn sách giáo khoa Mỹ. Cụ thể là sách Precalculus (gọi tắt là P) của

Franklin D. Demana và các cộng sự, xuất bản năm 2011. Giáo trình này sử dụng cho

bậc THPT, có nội dung khá phong phú về các vấn đề toán học và vận dụng nó vào

thực tế.

Việc phân tích, so sánh hai thể chế dạy học định lí côsin ở Việt Nam và Mỹ

nhằm mục đích tìm kiếm các đặc trưng của mô hình hóa, những điểm tích cực và hạn

chế. Kết quả đó có thể là cơ sở để chúng tôi xây dựng thực nghiệm.

Để tiện trình bày, chúng tôi gọi tắt SGK hình học 10 cơ bản là H1, SGK hình

học 10 nâng cao là H2.

1.1. DẠY HỌC ĐỊNH LÍ CÔSIN Ở VIỆT NAM

 Chương trình hình học 10 cơ bản:

1.1.1. Mô hình hóa trong hình học 10 cơ bản

Trích dẫn từ SGV hình học 10 tr. 18, 19:

(Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, và Trần Đức Huyên, 2006)

Định lí côsin xuất hiện trong chủ đề “Các hệ thức lượng trong tam giác”, thuộc

chương tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng. Trước đó HS đã biết đến những

kiến thức liên quan như: định lí Py – ta – go, các hệ thức lượng trong tam giác vuông

ở cấp 2.

Dựa vào chương trình trên thì bước đầu có thể thấy thể chế dạy học hình học 10

có quan tâm đến định lí côsin về cả hai mặt: giải bài toán thuần toán học (cụ thể là

vận dụng định lí côsin vào giải một số bài toán tam giác) và ứng dụng giải bài toán

thực tế. Để tìm hiểu chi tiết hơn về mối quan hệ của thể chế dạy học này đối với định

 Sách giáo khoa hình học 10 cơ bản:

 Lí thuyết

lí côsin, chúng tôi phân tích đồng thời SGK, SBT và SGV.

H1 trình bày các nội dung theo thứ tự sau: Định lí côsin, hệ quả của định lí côsin,

 Định lí côsin:

độ dài đường trung tuyến, ví dụ áp dụng.

Trước khi giới thiệu định lí côsin, một hoạt động tr. 46, 47 được đưa ra về các

hệ thức lượng trong tam giác vuông để gợi nhắc HS nhớ lại kiến thức cũ:

(Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, và Trần Đức Huyên, 2014)

Điều này cũng được khẳng định trong SGV (tr. 61):

(Trần Văn Hạo et al., 2006)

Sau đó H1 đi vào tìm hiểu định lí côsin. Sự trình bày định lí côsin đi theo tiến

trình Bài toán → Định lí, cụ thể hơn có thể minh họa như sau (tr. 47, 48):

Tình huống có vấn đề Giải quyết vấn đề Định lí

(Trần Văn Hạo et al., 2014)

Thật vậy, tình huống yêu cầu tính cạnh của một tam giác bất kì khi biết hai cạnh

và một góc xen giữa hai cạnh đó. Điều này là một sự mới mẻ với HS vì trước đó việc

tính cạnh được thực hiện trên tam giác vuông. Có thể xem đây là một vấn đề đối với

HS do chưa có một phát biểu nào về phương pháp tính trong trường hợp tam giác bất

kì này cả.

Chuyển sang bước giải quyết vấn đề, có nhiều cách chứng minh định lí côsin

nhưng H1 đã chọn phương pháp về vectơ để có thể đơn giản cách giải, gần gũi với

kiến thức tích vô hướng của HS. Đối với chúng tôi, sự lựa chọn này phù hợp.

Kết quả của việc giải quyết bài toán cho ra định lí côsin được thể chế hóa như

trên.

Hoạt động 2 tiếp theo, HS được yêu cầu phát biểu định lí bằng lời. SGV cũng

đã nói rõ cần tập cho HS phát biểu bằng lời như sau:

(Trần Văn Hạo et al., 2006)

Hoạt động này nhằm tạo ra sự ghi nhớ bằng lời ở HS, mà việc ghi nhớ có thể sẽ

hiệu quả không kém công thức và giúp hiểu định lí côsin một cách rõ ràng.

Câu hỏi “Khi ABC là tam giác vuông, định lí côsin trở thành định lí quen thuộc

nào?” ở hoạt động 3 (H1, tr. 48) tiếp tục là gợi ý để dẫn đến mạch suy luận: định lí

côsin là trường hợp mở rộng của định lí Py – ta – go, cho phép HS liên hệ giữa hai

định lí.

Như vậy, định lí côsin được trình bày theo dạng Bài toán → Định lí, có xuất

phát từ một tình huống có vấn đề và tiến hành giải quyết tình huống để tìm ra định lí.

Vì bài toán là thuần toán học nên mô hình hóa toán học không có lí do để xuất hiện

 Hệ quả định lí côsin:

ở phần này.

Từ việc biết hai cạnh và một góc xen giữa trong tam giác, tính cạnh còn lại thì

tồn tại vấn đề khác là biết ba cạnh trong tam giác, tính một trong các góc. Hệ quả

của định lí côsin cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ trên:

(Trần Văn Hạo et al., 2014)

Mặc dù SGK trình bày ngay hệ quả nhưng SGV (tr. 63) cũng gợi ý “nên cho HS

 Độ dài đường trung tuyến:

tự tìm hiểu và có thể cho HS làm các ví dụ tại lớp học”.

Đây là một mảng ứng dụng định lí côsin và hệ quả để tính được độ dài đường

trung tuyến theo ba cạnh tam giác và từ đó, kết quả tìm ra được khái quát thành công

thức độ dài đường trung tuyến. Cụ thể là:

(Trần Văn Hạo et al., 2014)

Để thực hành thì sau khi đã trình bày phần chứng minh công thức, H1 đưa ra

hoạt động 4 (tr. 49): “Cho tam giác ABC có a = 7 cm, b = 8 cm và c = 6cm. Hãy tính

 Ví dụ áp dụng:

độ dài đường trung tuyến 𝑚𝑎 của tam giác ABC đã cho”.

Có hai ví dụ được đưa ra để củng cố định lí côsin và hệ quả của nó.

Ví dụ 1 là một bài toán toán học. Nó dễ dàng được giải quyết bằng việc áp dụng

trực tiếp định lí côsin và hệ quả:

“Cho tam giác ABC có các cạnh AC = 10 cm, BC = 16 cm và góc 𝐶̂ = 110°.

Tính cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó.” (H1, tr. 49).

Ở ví dụ 2, nhiệm vụ đã được mở rộng hơn với một bài toán ngoài toán học,

⃗⃗⃗ cho trước cùng tác dụng lên một vật và tạo thuộc lĩnh vực vật lí: “Hai lực 𝑓1 ⃗⃗⃗ và 𝑓2

⃗⃗⃗ ) = 𝛼. Hãy lập công thức tính cường độ của hợp lực 𝑠 ” (H1, thành góc nhọn (𝑓1 ⃗⃗⃗ , 𝑓2

tr. 50).

Đây là một bài toán ngoài toán học song không hẳn là bài toán thực tiễn một

cách tự nhiên do chưa toát lên được nhu cầu tính toán của người sử dụng. Tuy nhiên

nó vẫn nằm trong khả năng có thể phân tích được ở phương diện mô hình hóa:

- Bước đầu cần tiến hành đó là lập mô hình trung gian, mô hình toán học

Các lực trong vật lí đã được mô hình hóa thành các vectơ trong toán học có

điểm đầu và điểm cuối. Hợp lực cần tìm chính là tổng của hai vectơ này. Mô hình tạo

thành có hình bình hành và HS cần chọn cho mình một tam giác thành phần để làm

việc với nó.

(Trần Văn Hạo et al., 2014)

- Việc kế tiếp là làm việc với mô hình toán học

Độ dài vectơ chính là độ dài

đoạn thẳng. Đoạn thẳng này được nhìn

như là cạnh trong một tam giác và áp

dụng định lí côsin để thiết lập công

thức. Sử dụng thêm kiến thức về hai

cung bù nhau để cho ra kết quả tối

giản. - Cuối cùng, cần trả lời cho câu hỏi (Trần Văn Hạo et al., 2014)

ban đầu. Do đặc điểm bài toán nên bước này rơi vào khả năng 1. Ta chỉ thấy

H1 chọn giá trị không âm để phù hợp với kiểu đại lượng về cường độ.

Mô hình hóa trong ví dụ 2 hoàn toàn đơn giản, không đòi hỏi HS phải huy động

nhiều kiến thức. Mặt khác đến thời điểm này, HS đã biết về tổng của hai vector ở

phần đầu của hình học 10, tổng hợp và phân tích lực ở đầu chương II vật lí 10 và đã

thực hành với các dạng bài này rất nhiều nên chúng tôi đánh giá đây là bài toán không

gây nhiều khó khăn cho HS.

Ngoài 4 phần chính mà chúng tôi phân ra, định lí côsin và hệ quả của nó còn

được xuất hiện trong lời giải của ví dụ 2 thuộc mục công thức tính diện tích tam

giác (tr. 55), lời giải ví dụ 2 và 3 ở phần giải tam giác (tr. 56) nhưng vẫn là các bài

toán thuần toán học.

(Trần Văn Hạo et al., 2014)

Như vậy trong phần lí thuyết, mô hình hóa chỉ xuất hiện ở một ví dụ về tính

cường độ hợp lực với thao tác lập mô hình toán học, giải mô hình toán học dễ dàng

và chưa mang nhiều tính thực tế. Những hoạt động còn lại là giải các bài toán toán

học và chỉ cần ghi nhớ công thức để giải quyết bài toán.

Tiếp nối, chúng tôi sẽ khảo sát trong hệ thống bài tập các kiểu nhiệm vụ được

đặt ra và chú ý đến những bài toán thực tiễn, để nghiên cứu các bước mô hình hóa có

 Bài tập

thể được thực hiện trong đó.

Vì tổ chức toán học là một công cụ hiệu quả để soi rõ mối quan hệ của thể chế

 Các tổ chức toán học mà chúng tôi tìm thấy được trình bày ngắn

đối với một đối tượng tri thức toán nên chúng tôi sẽ vận dụng nó vào phân tích.

gọn trong bảng sau:

Bảng 1.1. Các tổ chức toán học trong SGK hình học 10 cơ bản

Công nghệ 𝜽 – Lí

Kiểu nhiệm vụ T Kĩ thuật 𝝉 thuyết 

trị 𝐓𝟎: Tính giá 𝝉𝟎: 𝜽𝟎:

côsin của góc khi Sử dụng hệ quả định lí côsin để tính Hệ quả định lí côsin

cho trước ba cạnh côsin của góc cần tìm 𝟎:

(c.c.c) Định lí côsin

𝐓𝟏: Tính góc trong 𝝉𝟏: 𝜽𝟏:

tam giác khi cho - 𝜽𝟎 - 𝝉𝟎

trước ba cạnh - Tìm số đo góc này (dựa vào - Máy tính bỏ túi có

(c.c.c) bảng giá trị lượng giác của các chức năng này

góc đặc biệt hoặc sử dụng máy 𝟏: 𝟎

tính bỏ túi)

→ 𝐓𝟎 là KNV con của 𝐓𝟏

𝐓𝟐: Tính cạnh trong 𝝉𝟐: 𝜽𝟐:

tam giác khi cho Sử dụng định lí côsin để tính cạnh Định lí côsin

trước hai cạnh còn chưa biết 𝟐: Các yếu tố dùng

lại và một góc xen chứng minh định lí

giữa (c.g.c) côsin

𝐓𝟑: Tính góc trong 𝝉𝟑: 𝜽𝟑:

tam giác khi cho - 𝜽𝟐 - 𝝉𝟐

trước hai cạnh và - 𝜽𝟏 - 𝝉𝟏

một góc xen giữa → Từ hướng dẫn như trên của SGV, 𝟑:

(c.g.c) ta thấy 𝐓𝟐, 𝐓𝟏 là các KNV con của - 𝟐

𝐓𝟑. Để giải quyết KNV 𝐓𝟑 này đòi - 𝟏

hỏi HS không những nhớ được từng

công thức (định lí, hệ quả) mà còn

phải biết quan sát để liên kết chúng

lại

𝐓𝟒: Tính góc lớn 𝝉𝟒: 𝜽𝟒:

nhất của tam giác - Xác định góc đối diện với cạnh - 𝜽∗: Trong một tam

khi biết ba cạnh lớn nhất là góc cần tính giác, góc đối diện với

cạnh lớn hơn là góc - 𝝉𝟏

lớn hơn. → 𝐓𝟏 là KNV con của 𝐓𝟒

- 𝜽𝟏

𝟒:

- Chứng minh

cho 𝜽∗

- 𝟏

𝐓𝟓: Nhận dạng tam 𝝉𝟓: 𝜽𝟓: 𝜽𝟒

giác (tù, nhọn, 𝟓: 𝟒 - 𝝉𝟒

vuông) khi biết ba - Dựa vào số đo của góc này để

cạnh kết luận đặc điểm tam giác

→ Dựa vào đặc điểm 𝝉𝟒 ta cũng suy

ra 𝐓𝟏 là KNV con của 𝐓𝟓

Dựa vào bài toán cụ thể 𝐓𝟔: Chứng minh hệ

thức

Trình bày ở dưới 𝐓𝟕: Chứng minh

mệnh đề (tương

đương hoặc kéo

theo, …)

Đây là bài toán ngoài toán học xuất 𝐓𝟖: Tính cường độ

hiện ở ví dụ 2 tr. 50, các bước giải hợp lực khi cho

đã được nêu ở trên trước hai lực và góc

tạo bởi hai lực đó

KNV 𝐓𝟕: Cụ thể:

(Trần Văn Hạo et al., 2014)

Kĩ thuật 𝝉𝟕: Trích SGV tr. 72

(Trần Văn Hạo et al., 2006)

Công nghệ 𝜽𝟕:

- Định nghĩa côsin của cung (góc) lượng giác

- Hệ quả định lí côsin (𝜽𝟎)

Lí thuyết 𝟕: Định lí côsin (𝟎)

Qua đó chúng tôi rút ra một sơ đồ tóm tắt về mối quan hệ giữa các tổ chức toán

học này:

𝜽𝟏

𝜽𝟐

𝐓𝟐

𝐓𝟒 𝐓𝟑

𝐓𝟓 𝐓𝟏

𝜽∗

Sơ đồ 1.1. Mối quan hệ giữa các tổ chức toán học trong SGK hình học 10

cơ bản

Vậy:

- Từ KNV 𝐓𝟎 cho ra KNV 𝐓𝟏; hai KNV 𝐓𝟏 (tính góc khi biết ba cạnh) và 𝐓𝟐

(tính cạnh khi biết hai cạnh còn lại và một góc xen giữa) là hai KNV cơ bản.

Bắt nguồn từ đó để phát triển thành các KNV khác có nhiều tính chất hơn bằng

cách thêm vào công nghệ khác như 𝜽𝟏 kết hợp với 𝜽∗ cho ra hai KNV 𝐓𝟒 (tính

góc lớn nhất), 𝐓𝟓 (nhận dạng tam giác); 𝜽𝟏 kết hợp với 𝜽𝟐 cho ra KNV 𝐓𝟑

(tính góc khi biết hai cạnh và góc xen giữa). KNV khác như 𝐓𝟔 (chứng minh

hệ thức) và 𝐓𝟕 (chứng minh mệnh đề) được đặt ra giúp rèn luyện kĩ năng chứng

minh và biến đổi hệ thức cho HS.

- Riêng 𝐓𝟖 (tính cường độ hợp lực) là bài toán ngoài toán học duy nhất, nằm

trong phần ví dụ. Ngoài ra chúng tôi không tìm thấy bất cứ KNV nào khác là

bài toán ngoài toán học liên quan đến định lí côsin.

Các KNV trong SBT tương tự trong H1 là 𝐓𝟏, 𝐓𝟐, 𝐓𝟒, 𝐓𝟔, không có KNV 𝐓𝟎,

𝐓𝟑, 𝐓𝟓, 𝐓𝟕 và 𝐓𝟖. Thay vào đó SBT có thêm KNV khác là:

𝐓𝟗: Tính góc, cạnh, côsin của góc trong các bài toán hình học phẳng (đặc điểm:

Đề bài cho giả thiết liên quan đến trung tuyến, một hệ thức cho trước). Kĩ thuật giải

dựa vào từng bài toán cụ thể.

Chúng tôi thấy có KNV tính góc (c.c.c), tính cạnh (c.g.c) nhưng không có mặt

 Để đánh giá KNV nào được ưu tiên, chúng tôi liệt kê số lần có mặt

KNV tính cạnh (c.c.g) như phần mở đầu luận văn đề cập.

các KNV tổng cộng ở H1 và SBT:

Bảng 1.2. Số lượng các KNV trong SGK và SBT hình học 10 cơ bản

KNV Ví dụ, hoạt động Bài tập Tổng

0 + 0 1 + 0 1 𝐓𝟎

3 + 1 4 + 5 13 𝐓𝟏

3 + 3 2 + 5 13 𝐓𝟐

0 + 0 1 + 0 1 𝐓𝟑

0 + 0 1 + 1 2 𝐓𝟒

0 + 0 1 + 0 1 𝐓𝟓

0 + 1 0 + 1 2 𝐓𝟔

0 + 0 2 + 0 2 𝐓𝟕

𝐓𝟖 1 1 + 0 0 + 0 (ngoài toán học)

2 0 + 0 0 + 2 𝐓𝟗

Tổng 12 26 38

Bảng 1.3. Tỉ lệ giữa KNV thuộc bài toán thực tế và KNV thuộc bài toán toán

học trong chương trình hình học 10 cơ bản

KNV thuộc bài toán thực tế KNV thuộc bài toán toán học

Số lượng 1 (3%) 37 (97%)

Từ bảng 1.2 cho thấy KNV 𝐓𝟏, 𝐓𝟐 chiếm tỉ lệ vượt trội trong tất cả các KNV,

các KNV còn lại là 𝐓𝟎, 𝐓𝟑 đến 𝐓𝟗 chiếm số lượng rất ít ỏi.

Bài toán ngoài toán học duy nhất là bài toán chứa KNV 𝐓𝟖 – tính cường độ hợp

lực, tri thức sử dụng cho KNV này là định lí côsin áp dụng trong trường hợp cạnh –

góc – cạnh trong tam giác để tìm cạnh còn lại. Bảng 1.3 cho thấy số lượng hiếm hoi

 Kết luận về thể chế dạy học hình học 10 cơ bản:

của các KNV thuộc bài toán thực tế (chỉ chiếm 3%).

- Thể chế quan tâm nhiều đến các bài toán toán học với hai KNV trọng tâm là

tính cạnh và góc trong tam giác, ứng dụng của định lí côsin trong thực tế không

được chú trọng.

- Mô hình hóa toán học không được sắp xếp trong phần giới thiệu định lí côsin

và bài tập. Chỉ duy nhất một ví dụ minh họa cho định lí là có tính đến mô hình

hóa. Trong các bước giải ví dụ này thì bước 1, 2, 3 có tồn tại, bước 4 thuộc

khả năng 1.

Như vậy, vấn đề mô hình hóa đối với định lí côsin hiện diện không đáng kể

trong thể chế dạy học hình học 10 cơ bản.

1.1.2. Mô hình hóa trong hình học 10 nâng cao

Sau đây chúng tôi tiếp tục nghiên cứu thể chế dạy học hình học 10 nâng cao để

có được cái nhìn tổng thể.

Khung chương trình của hình học 10 nâng cao về định lí côsin giống khung

chương trình của hình học 10 cơ bản. Mức độ cần đạt và ghi chú được đưa ra là như

 Lí thuyết

nhau.

Sự khác biệt trong trình tự đưa vào các khái niệm ở hai SGK:

H2: Định lí côsin  Hệ quả  Ví dụ áp dụng  Độ dài trung tuyến  Công

thức Hê – rông  Ví dụ áp dụng.

 Định lí côsin:

H1: Định lí côsin  Hệ quả  Độ dài trung tuyến  Ví dụ áp dụng.

Bắt nguồn từ việc chứng minh định lí Py – ta – go theo phương pháp vectơ, tác

giả đã để lại một khuôn mẫu với dụng ý hướng HS đến cách làm tương tự nhằm tìm

được hệ thức tính cạnh đối với tam giác bất kì. Cụ thể:

(Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, và Bùi Văn Nghị, 2012)

Câu hỏi 1 đặt ra cho HS để lí giải hạng tử tích vô hướng trong biểu thức bằng 0.

Sau đó HS thực hiện hoạt động 1 để tìm ra định lí côsin:

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

Để lí giải cách biên soạn này, SGV hình học 10 nâng cao đã viết:

(Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, và Bùi Văn Nghị, 2011)

Điều này có thể cho phép HS có cái nhìn liên hệ từ tam giác vuông (ứng với

định lí Py – ta – go) mở rộng phạm vi áp dụng sang tam giác thường (ứng với định lí

côsin). Nhưng cách trình bày chứng minh trong tam giác vuông trước đó và yêu cầu

của hoạt động 1 có thể sẽ làm giảm vai trò tự chứng minh định lí ở HS.

Hoạt động 2 và câu hỏi 2 tiếp theo có cùng mục đích với hoạt động 2 và hoạt

động 3 trong SGK cơ bản (phát biểu định lí bằng lời; khi tam giác là vuông thì định

lí côsin trở thành định lí nào?).

Như vậy cách giới thiệu định lí côsin ở hai SGK có sự khác biệt:

- H1:

Hoạt động nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông → Bài toán → Giải

quyết bài toán → Định lí côsin

- H2:

Chứng minh định lí Py – ta – go bằng công cụ vectơ → Áp dụng chứng minh

này đối với tam giác thường → Định lí côsin

 Hệ quả định lí côsin:

Và hai sách không lựa chọn dạy học bằng mô hình hóa.

Hoạt động 3 tr. 54 được đưa ra: “Từ định lí côsin hãy viết công thức tính giá trị

cosA, cosB, cosC theo a, b, c” là điểm khác nhau tiếp theo giữa hai sách (H1 chỉ dùng

câu dẫn “Từ định lí côsin ta suy ra” và đưa đến hệ quả). Theo chúng tôi, nếu không

 Ví dụ áp dụng:

có hoạt động 3 này HS vẫn có thể tìm ra được hệ quả.

Kết thúc phần hệ quả, H2 đưa ra hai ví dụ trong đó ví dụ 1 là bài toán thực tế,

ví dụ 2 là bài toán toán học:

Ví dụ 1:

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

Đây là cũng là một bài toán liên môn toán – lí như bài toán tìm hợp lực ở H1 và

đòi hỏi HS phải biết lập mô hình toán học:

Quãng đường đi được của hai tàu từ vị trí xuất phát đến vị trí sau 2 giờ đã được

biểu diễn thành các đoạn thẳng AB, AC. Và để tính nó cần sử dụng công thức vật lí

trong chuyển động thẳng đều: quãng đường = vận tốc x thời gian.

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

Tiếp tục là bước giải mô hình toán

học. Theo chúng tôi, đến giai đoạn này

HS dễ dàng nghĩ đến việc sử dụng định

lí côsin để giải quyết.

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

Bước cuối cùng trả lời cho bài toán ban đầu, H2 chọn lấy căn bậc hai số học

như là tính có lí của kết quả.

Bài toán này có cho thấy được ứng dụng của định lí côsin trong thực tế và có

thể sẽ gây hứng thú hơn cho HS so với bài toán tìm hợp lực trong H1 vì đối tượng

con tàu bao giờ cũng dễ tưởng tượng hơn là lực. Nhưng xem xét về nhu cầu để nảy

sinh ra bài toán thì tình huống này chưa cho thấy được điều đó. Học sinh rất có thể tự

hỏi “tính khoảng cách giữa hai tàu để làm gì?” Về kĩ thuật giải, bài toán này không

chứa nhiều kĩ thuật phức tạp.

Ví dụ 2 tiếp theo là một bài toán toán học cơ bản áp dụng hệ quả định lí côsin

nên chúng tôi sẽ không phân tích nó:

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

H2 có phần chú ý về cách sử dụng máy tính bỏ túi: tính 𝐴̂ từ cosA. Ngược lại,

H1 không có chi tiết này. Như vậy, thể chế dạy học hình học 10 nâng cao có quan

tâm và đưa ra quan điểm về việc sử dụng máy tính bỏ túi để giải toán. Đối với thể chế

dạy học hình học 10 cơ bản, điều này không được trình bày trên H1 mà có lẽ được sử

 Độ dài đường trung tuyến:

dụng trong thực tế giải toán hay được hướng dẫn bởi GV.

Trước hết H2 đưa ra bài toán 1 và đặt ra một hoạt động (tr. 58) để gợi ý HS đến

chứng minh công thức:

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

Hoạt động 5

được giải như sau

(Đoàn Quỳnh et al.,

2011)

Sau đó từ kết quả

này, công thức trung tuyến được đưa ra trong bài toán 3:

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

Như vậy H1 lựa chọn chứng minh công thức trung tuyến theo định lí côsin kết

hợp với hệ quả của nó, còn H2 chứng minh công thức này dựa vào vectơ và tính toán

trên chúng. Điều này lí giải sự sắp xếp công thức trung tuyến không cần liền sau hệ

quả định lí côsin ở H2.

Theo chúng tôi, mỗi lựa chọn có một ưu điểm riêng. Nếu chứng minh theo định

lí côsin và hệ quả thì điều này cho thấy thêm lợi ích của định lí côsin; ngược lại dùng

 Chứng minh công thức Hê – rông:

phương pháp vectơ thì rất phổ dụng và hiệu quả, không cần phụ thuộc vào định lí.

Công thức Hê – rông được

trình bày trong phần Diện tích

tam giác và hệ quả định lí côsin

đóng vai trò là một phần trong

chứng minh công thức (cosA

𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2 2𝑏𝑐

được thay thế bởi ):

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

 Ví dụ áp dụng:

Cuối cùng những ví dụ áp dụng được giới thiệu:

Có ba ví dụ liên quan đến định lí côsin và hệ quả, lần lượt là ví dụ 6, ví dụ 7 và

ví dụ 8.

Ví dụ 6 tr. 61: “Cho tam giác ABC. Biết a = 49, 4; b = 26,4; 𝐶̂ = 47°20′. Tính

hai góc A, B và cạnh c”; ví dụ 7 tr. 62: “Cho tam giác ABC. Biết a = 24; b = 13; c =

15. Tính các góc A, B, C” là các ví dụ thuần toán học. Chúng tôi sẽ đi vào ví dụ 8 tr.

62 để phân tích.

Ví dụ 8: “Đường dây cao thế nối thẳng từ vị trí A

đến vị trí B dài 10 km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8 km,

góc tạo bởi hai đường dây trên bằng 75°. Tính khoảng

cách từ vị trí B đến vị trí C (h. 57)”.

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

Ở đây mô hình toán học đã được cho sẵn cùng đề bài nên việc giải quyết bài

toán không có gì khó khăn. Do đó nhiệm vụ tiếp theo của HS chỉ là áp dụng định lí

côsin để tìm ra khoảng cách:

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

Câu trả lời cho bài toán thực tế cũng chính là kết quả giải bài toán toán học.

Như vậy, kết thúc phần lí thuyết, H2 đã trình bày định lí côsin thông qua chứng

minh hệ thức trong tam giác vuông và qua một câu hỏi cùng một hoạt động dành cho

HS thực hiện để dẫn đến định lí. Phần trình bày hệ quả khá đơn giản như H1 nhưng

về phần công thức trung tuyến thì H2 lại lựa chọn chứng minh công thức theo phương

pháp vectơ. Số lượng ví dụ trong H2 bằng với H1 (5 ví dụ), trong đó có 2 ví dụ về

mô hình hóa (H1 chỉ có một ví dụ). Nhìn chung, các bài toán mô hình hóa chưa toát

lên nhiều lợi ích của định lí côsin trong thực tế. Chỉ giới hạn ở tính khoảng cách thông

thường. Phần câu hỏi và hoạt động chứng minh của HS ở H2 nhiều hơn so với H1.

Ngoài ra H2 còn lưu ý về việc sử dụng máy tính bỏ túi và có sử dụng hệ quả định lí

côsin trong chứng minh công thức diện tích tam giác (công thức Hê – rông).

Tương tự như phần làm việc đối với H1, chúng tôi sẽ phân tích hệ thống bài tập

 Bài tập

 Kiểu nhiệm vụ

của chương trình nâng cao (trong H2 và SBT hình học 10 nâng cao).

Những KNV mà chương trình nâng cao trùng với chương trình cơ bản gồm có:

𝐓𝟎, 𝐓𝟏, 𝐓𝟐, 𝐓𝟑, 𝐓𝟔, 𝐓𝟕, 𝐓𝟖, 𝐓𝟗. Cụ thể hơn H2 có các KNV 𝐓𝟎, 𝐓𝟏, 𝐓𝟐 (ngoài các bài

toán toán học thì có một bài toán được lồng ghép ngữ cảnh thực tế), 𝐓𝟑, 𝐓𝟔, 𝐓𝟕, 𝐓𝟖,

ngoài ra không còn KNV nào khác. Đối với SBT nâng cao, ngoài các KNV 𝐓𝟎, 𝐓𝟏,

𝐓𝟐, 𝐓𝟔, 𝐓𝟕, 𝐓𝟗 (đặc điểm: đề bài cho nhiều giả thiết đa dạng liên quan đến trung tuyến,

′. KNV mới 𝐓𝟏

tứ giác, bán kính r, đường tròn ngoại tiếp (O ; R), một hệ thức cho trước) thì còn một

KNV 𝐓𝟐 nằm trong H2 như sau (tr. 65):

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

Cũng giống như bài toán “đường dây cao thế”, mô hình toán học đã được cho

sẵn và HS chỉ cần áp dụng định lí côsin để giải. Ngữ cảnh “hồ nước nằm ở góc tạo

bởi hai con đường” có dụng ý làm vật cản trở hai vị trí B, C nhưng HS có thể không

cần quan tâm đến vấn đề này mà vẫn có thể giải như một bài toán thuần toán học và

tính ra được đáp án bình thường. Cách đưa ra bài toán như vậy khiến mức độ tích cực

của HS có thể bị giảm sút so với việc không cho trước mô hình toán học. Do đặc điểm

bài toán mà bước 4 không vấp phải mâu thuẫn nào trong thực tế.

Bài toán ngoài toán học chứa KNV 𝐓𝟖 như sau:

Các bước mô hình hóa bài toán và kĩ thuật, công nghệ cũng đã được nêu trong

bảng 1.1.

′: Tìm đặc điểm một góc khi cho trước ba cạnh trong tam giác (c.c.c)

KNV mới trong SBT nâng cao là:

′ :

KNV 𝐓𝟏

Kĩ thuật 𝝉𝟏

- Sử dụng hệ quả định lí côsin để tính côsin của góc cần xét đặc điểm

- Dấu của côsin của góc xét đặc điểm là dương thì góc sẽ nhọn, âm thì góc sẽ tù và

′ :

bằng 0 thì góc sẽ vuông.

Công nghệ 𝜽𝟏 - Hệ quả định lí côsin

′ : Định lí côsin

- Định nghĩa côsin của cung (góc) lượng giác

Lí thuyết 𝟏

Như vậy có thể thấy:

- Điểm khác nhau trong các loại KNV ở chương trình nâng cao và chương trình

′ độc lập.

cơ bản là: chương trình cơ bản có KNV 𝐓𝟒, 𝐓𝟓 mà chương trình nâng cao

không có, trong khi chương trình nâng cao có KNV 𝐓𝟏

- Đối ngược với H2 có một vài bài toán có gắn với thực tế, SBT nâng cao không

có một bài toán nào liên quan đến thực tế.

Chúng tôi cũng thấy không xuất hiện KNV tính cạnh (c.c.g) trong H2 và SBT

 Kế tiếp, chúng tôi lập bảng liệt kê số lượng từng KNV cũng ở H2

nâng cao.

và ở SBT giống như chương trình cơ bản:

Bảng 1.4. Số lượng KNV trong SGK và SBT hình học 10 nâng cao

Bảng 1.5. Tỉ lệ giữa KNV thuộc bài toán thực tế và KNV thuộc bài toán

toán học trong chương trình hình học 10 nâng cao

KNV thuộc bài toán KNV thuộc bài toán

thực tế toán học

Số lượng 4 (11%) 32 (89%)

Từ bảng 1.4 thì KNV 𝐓𝟏 (tính góc khi biết ba cạnh), 𝐓𝟐 (tính cạnh còn lại khi

biết hai cạnh và góc xen giữa) chiếm số lượng rất lớn. Cho thấy thể chế dạy học hình

học 10 nâng cao cũng coi hai KNV áp dụng trực tiếp hệ quả định lí côsin và định lí

côsin là trọng tâm như thể chế dạy học hình học 10 cơ bản. Điểm khác biệt lớn nhất

là KNV 𝐓𝟔 ở đây (chứng minh hệ thức) chiếm tỉ lệ cao hơn nhiều so với H1 (số lượng

𝐓𝟔 là 2) và cao nhất tính trong hệ thống bài tập sách nâng cao. Điều này cho thấy thể

chế dạy học hình học 10 nâng cao đặc biệt quan tâm đến việc rèn luyện kĩ năng chứng

minh hệ thức cho HS, và đây cũng là một đặc trưng để có thể phân biệt hai thể chế.

Bên cạnh đó KNV 𝐓𝟕 (chứng minh mệnh đề), 𝐓𝟗 (tính góc, cạnh, côsin của góc trong

các bài toán hình học phẳng với giả thiết đa dạng hơn) cũng khá được thể chế chú ý

khi chiếm số lượng trung bình (mỗi KNV 4 lần). Cuối cùng, những KNV còn lại 𝐓𝟎, ′ được có mặt một lần như là để làm phong phú

𝐓𝟑, 𝐓𝟖 (tính cường độ hợp lực) và 𝐓𝟏 thêm các tính chất và ứng dụng liên quan đến định lí côsin.

Bảng 1.5 cho thấy tỉ lệ các KNV thuộc bài toán thực tế (11%) cao hơn so với

chương trình cơ bản (3%). H2 chú trọng đến vấn đề thực tiễn xung quanh định lí côsin

nhiều hơn H1 nhưng nhìn chung các vấn đề thực tế vẫn rất ít so với các nhiệm vụ

thuần toán học trong cùng một chương trình nâng cao (11% so với 89%). Ngoài ra,

chúng tôi thấy những bài toán này tập trung tất cả vào ứng dụng tính cạnh của định lí

côsin (𝐓𝟐), ứng dụng tính góc không được ưu tiên. Mặc dù đề bài đã được mô tả qua

những câu từ thực tế, song các lợi ích khác của định lí côsin chưa được mang lại. Về

phương diện mô hình hóa, có bốn bài toán trong đó: hai bài toán tr. 30, 36 có các

bước 1, 2, 3; hai bài toán tr. 34, 35 chỉ có bước 3, và bước 4 của cả bốn bài toán đều

 Nhận xét về thể chế dạy học hình học 10 nâng cao:

rơi vào khả năng 1 (mô hình và kết quả tính toán đã phù hợp với thực tế).

- Thể chế chú trọng đến kĩ năng, tính góc và cạnh trong tam giác, chứng minh

các hệ thức (các bài toán toán học). Mặt ứng dụng định lí côsin vào thực tế

không được coi là trọng tâm và không nổi bật.

- Ở phương diện mô hình hóa, các bài toán mô hình hóa xuất hiện chủ yếu trong

các ví dụ, có mặt một lần trong phần bài tập, thể hiện được ít tính hữu dụng

của định lí. Các bài toán này có cả hai loại cho trước và không cho trước mô

hình toán học. Kết quả khi giải bài toán toán học cũng là câu trả lời cho bài

toán thực tiễn.

Liên hệ lại ở cả thể chế dạy học hình học cơ bản và nâng cao, chúng tôi thấy trong

SGK cũng như SBT không có KNV tính cạnh (c.c.g) này. Nguyên nhân theo

chúng tôi có thể là do xuyên suốt từ lớp 7 cho đến về sau, SGK chỉ đề cập đến 3

trường hợp của tam giác làm cho tam giác xác định duy nhất (c.c.c, c.g.c, g.c.g).

Nên mặc nhiên để không gây mâu thuẫn trong hệ thống bài, người ta buộc phải

đưa ra các KNV giới hạn trong ba trường hợp này.

1.1.3. Kết luận

Như vậy qua phân tích hai thể chế dạy học hình học 10 ở cả hai ban cơ bản lẫn

nâng cao, chúng tôi có một số kết luận chung sau đây với tri thức định lí côsin gắn

với mô hình hóa:

 Định lí côsin xuất hiện ở chủ đề hệ thức lượng trong tam giác, sau chủ đề

về vectơ và được trình bày theo hướng từ bài toán → định lí (mặc dù đối

với H2 thì bài toán không được phát biểu mà chỉ là bước chuyển tiếp xét

trong một tam giác tùy ý nhưng vẫn mang hướng đi trên), phương pháp

giải quyết bài toán dựa trên các qui tắc về vectơ đã giới thiệu trước đó.

 Vai trò của định lí côsin là nhằm ứng dụng giải các bài toán tính cạnh và

góc có liên quan đến tam giác (bài toán toán học) và một số bài toán thực

tiễn. Trong đó, vai trò giải quyết các bài toán toán học được ưu tiên hơn và

ứng dụng giải quyết các vấn đề thực tế là thứ yếu.

 Về vấn đề mô hình hóa: Hai thể chế không lựa chọn dạy học bằng mô hình

hóa. Các bài toán mô hình hóa dùng rèn luyện ứng dụng tính cạnh của định

lí, ứng dụng tính góc bị bỏ qua. Khi giải các bài toán mô hình hóa, bước 1,

2 có thể cho trước hoặc không cho trước, bước 3 được diễn ra bình thường

và bước 4 có đặc điểm chung là kết quả tính toán đã phù hợp với thực tế.

Chưa có bài toán nào cho HS cơ hội xem xét và sửa chữa lại mô hình, các

kết quả tính toán. Vai trò trong thực tế của định lí ít được thể hiện đa dạng.

1.2. DẠY HỌC ĐỊNH LÍ CÔSIN Ở MỸ

Do thể chế dạy học của Mỹ và một số nước nói tiếng Anh trong P có sự khác

nhau ở mỗi bang, tiểu bang, … và chương trình linh động theo nhà trường, GV (nhà

trường, GV có thể điều tiết, phân phối, dạy các chương trong sách theo thứ tự khác

nhau miễn là phù hợp với mục đích của mình) nên chúng tôi chỉ liệt kê sơ lược các

Chương 2

Chương 1

Chương 3

chương có trong P. Các chương trong P:

Hàm đa thức, hàm lũy

Hàm số và đồ thị

Hàm số mũ, hàm số

Chương Điều kiện tiên

quyết

thừa và hàm phân thức

logistic và hàm số

lôgarit

Số thực Hệ tọa độ

Chương 5

Chương 6

Nghiên cứu lượng giác

  Descartes 

….

Ứng dụng của lượng giác

Nhận dạng cơ bản Chứng minh đẳng thức

Vectơ

trong mặt

Chương 4

Hàm số

Tích vô hướng của

lượng giác

 phẳng  hai vectơ  …

  lượng giác    

Công thức tổng và hiệu Công thức góc nhân đôi Định lí sin Định lí côsin

Chương 10

Chương 7

Một giới thiệu về Giải tích:

Chương 8

Hệ và ma

Chương 9

Giới hạn, đạo hàm và tích

Nghiên cứu hình học hai chiều

trận

Toán rời rạc

phân

và ba chiều

Hình 1.1. Các chương trong sách Precalculus (Demana)

Có thể thấy định lí côsin được trình bày trong chương 5 – Nghiên cứu lượng

giác. Bây giờ, chúng tôi tiến hành phân tích lí thuyết và bài tập về định lí côsin theo

quan điểm mô hình hóa.

1.2.1. Lí thuyết

Những điều em sẽ học:

Những vấn đề sắp giới thiệu

và mục đích của nó đã được P đề

 Suy ra định lí côsin  Giải tam giác (cgc, ccc)  Diện tích tam giác và công thức Heron  Các ứng dụng

cập ngay từ đầu:

… và tại sao?

(Demana, Waits, Foley, &

Định lí côsin là một sự mở rộng quan trọng

của định lí Py – ta – go với nhiều ứng dụng

 Suy ra định lí côsin

Kennedy, 2011)

Vì định lí sin được phát biểu trước định lí côsin nên P đã đưa ra đặc điểm để

phân biệt hai định lí này (tr. 442): “Định lí côsin hoàn toàn không giống với định lí

sin. Thay vào đó, nó giống với định lí Py – ta – go. Trong thực tế, định lí côsin thường

được gọi là ‘định lí Py – ta – go tổng quát’ vì nó bao gồm định lí đó trong trường hợp

đặc biệt” (Demana et al., 2011).

Khác với tiến trình bài toán → định lí trong SGK Việt Nam, định lí côsin đã

Định lí côsin

Cho ∆ ABC là tam giác bất kì với các cạnh và góc

được kí hiệu như cách thông thường (hình 5.22). Khi đó:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴

được nêu ngay từ đầu trong P:

Hình 5.22 Tam giác với kí hiệu thường

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵

dùng (các góc A, B, C; đối diện với các

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶

cạnh a, b, c)

(Demana et al., 2011)

Điều này đã làm mất đi động lực khám phá ra định lí của HS, khi mà định lí đã

được cho trước thay vì đặt ra một tình huống gợi vấn đề.

Sau đó, P dẫn dắt HS đến cách chứng minh phát biểu này. Cụ thể là ở tr. 442 và

443:

Đặt tam giác vào mặt phẳng tọa độ để góc xuất hiện theo công thức (trong

trường hợp này là góc 𝐴): góc 𝐴 ở vị trí gốc tọa độ trong vị trí chuẩn1, với cạnh

𝑐 nằm dọc trên trục 𝑥. Phụ thuộc vào góc 𝐴 vuông (hình 5.23a), nhọn (hình

5.23b) hay tù (hình 5.23c) mà điểm 𝐶 sẽ nằm trên trục 𝑦, trong góc phần tư thứ

I (QI) hoặc góc phần tư thứ II (QII)

Trong mỗi trường hợp trên, 𝐶 là điểm nằm trên tia cuối của góc 𝐴 và cách

𝐴 một khoảng cách bằng 𝑏. Kí hiệu tọa độ của 𝐶 là (𝑥, 𝑦). Từ định nghĩa về các

𝑥

𝑦

hàm lượng giác trong tam giác bất kì (phần 4.3), ta suy ra:

= 𝑐𝑜𝑠A và

𝑏

𝑠𝑖𝑛A. Từ đó 𝑥 = 𝑏 𝑐𝑜𝑠A và 𝑦 = 𝑏 𝑠𝑖𝑛A.

1 Một góc là ở vị trí chuẩn khi điểm nằm ở gốc tọa độ và tia đầu nằm dọc theo chiều dương trục x (P, tr. 338).

Bây giờ, thiết lập 𝑎 bằng với khoảng cách từ C tới B theo công thức khoảng

cách:

𝑎 = √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 (công thức khoảng cách)

𝑎2 = (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 (bình phương hai vế)

= (𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐴 − 𝑐)2 + (𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐴)2 (thế vào)

= 𝑏2 cos2 𝐴 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐2 + 𝑏2 sin2 𝐴

= 𝑏2(cos2 𝐴 + sin2 𝐴) + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴

= 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 (giống như Py – ta – go)

(Demana et al., 2011)

ĐỊNH NGHĨA Các hàm lượng giác của tam giác bất kì

Cho 𝜃 là góc bất kì nằm ở vị trí chuẩn và P(𝑥, 𝑦) là điểm bất kì

nằm trên tia cuối của góc (khác vị trí gốc tọa độ). Kí hiệu 𝑟 là

khoảng cách

tọa độ,

trong đó

từ P(𝑥, 𝑦) đến gốc

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 (hình 4.25). Khi đó

𝑦

𝑟

𝑠𝑖𝑛 𝜃 =

csc 𝜃 =

(𝑦 ≠ 0)

𝑟

𝑦

Chúng tôi trích lại phần 4.3 tr. 340 trong P để thấy rõ hơn định nghĩa:

Hình 4.25 Định nghĩa sáu

𝑥

𝑟

𝑐𝑜𝑠 𝜃 =

sec 𝜃 =

(𝑥 ≠ 0)

𝑟

𝑥

hàm lượng giác của 𝜃

𝑦

𝑥

𝑡𝑎𝑛 𝜃 =

(𝑥 ≠ 0) cot 𝜃 =

(𝑦 ≠ 0)

𝑥

𝑦

(Demana et al., 2011)

Như vậy định lí côsin trong P được giới thiệu qua tiến trình suy diễn (phát biểu

định lí → chứng minh định lí) và được chứng minh theo phương pháp gắn với hệ tọa

độ (trong khi SGK Việt Nam sử dụng phương pháp vectơ). Hệ tọa độ Descartes cùng

những vấn đề liên quan đến điểm trong mặt phẳng đã được giới thiệu ở chương điều

kiện tiên quyết, vì thế phương pháp tọa độ hoàn toàn được vận dụng để chứng minh.

Cụ thể sách sử dụng định nghĩa các hàm lượng giác kết hợp đồng thời với công thức

khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ để đưa đến kết luận trên.

Lựa chọn tiến trình suy diễn trong dạy học định lí sẽ khó tạo động cơ cho HS,

 Giải tam giác (c.g.c, c.c.c)

định lí mang tính áp đặt và mô hình hóa không có cơ hội xuất hiện ở phần này.

Để phân biệt rõ hơn hai định lí sin và côsin, P đã chỉ ra các dấu hiệu sử dụng (tr.

443): “Trong khi định lí sin là công cụ dùng để giải tam giác trong trường hợp góc –

góc – cạnh và góc – cạnh – góc thì định lí côsin là công cụ cần thiết cho trường hợp

cạnh – góc – cạnh và cạnh – cạnh – cạnh” (Demana et al., 2011).

Hai ví dụ 1 và 2 được đưa ra minh họa cho mỗi trường hợp và đều là bài toán

toán học:

“Ví dụ 1: Giải một tam giác (c.g.c)

Giải ∆ 𝐴𝐵𝐶 được cho bởi 𝑎 = 11, 𝑏 = 5 và 𝐶 = 20° (hình 5.24)”

Hình 5.24 Một tam giác với hai cạnh và một

góc xen giữa đã biết (ví dụ 1)

(Demana et al., 2011)

“Ví dụ 2: Giải một tam giác (c.c.c)

Giải ∆ 𝐴𝐵𝐶 nếu 𝑎 = 9, 𝑏 = 7 và 𝑐 = 5 (hình 5.25)”

Hình 5.24 Một tam giác với ba cạnh đã biết

(ví dụ 2)

(Demana et al., 2011)

Các ví dụ có trình bày lời giải cụ thể và như bài toán thông thường nên chúng

tôi không trích dẫn phần giải vào.

Như vậy, có thể thấy sau khi giới thiệu định lí côsin, P không chính thức suy ra

và phát biểu thành hệ quả định lí côsin như SGK Việt Nam, mà chỉ đưa ra hoạt động

tìm góc từ ba cạnh cho trước nằm trong ví dụ.

Thực chất các trường hợp sử dụng định lí côsin đã được P nêu ra là c.g.c và c.c.c

ở trên. Theo chúng tôi, với cùng mục đích là tìm ra góc từ ba cạnh đã biết trong tam

giác thì việc có thể chế hóa thành hệ quả định lí côsin hay không không ảnh hưởng

gì nhiều đến việc tìm góc của HS. Nhưng nếu đưa ra được phát biểu cụ thể từ trước

 Diện tích tam giác và công thức Hê – rông

thì sẽ rút gọn được bước biến đổi và tiết kiệm thời gian.

Sau khi đã xây dựng phần giải tam giác, phần diện tích tam giác cũng được nhắc

đến ứng với hai trường hợp c.g.c và c.c.c này.

C.g.c:

Sử dụng công thức: Diện tích tam giác = 𝑏𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑎𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐶

Ví dụ 3 tr. 444 minh họa cho trường hợp này:

“Tìm diện tích của một hình bát giác đều (8 cạnh bằng nhau, 8 góc bằng nhau)

nội tiếp một đường tròn có bán kính 9 inch”.

(Demana et al., 2011)

C.c.c:

Công thức Hê – rông được đưa ra và định lí côsin được sử dụng trong bước

ĐỊNH LÍ Công thức Hê – rông

Cho a, b và c là các cạnh của ∆ ABC và kí hiệu s là nửa chu vi tam giác (a + b + c)/2

Khi đó diện tích ∆ ABC được cho bởi

Diện tích = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

chứng minh công thức này:

Chứng minh

Diện tích =

𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐶

4(Diện tích) = 2 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐶

16(Diện tích)2 = 4𝑎2𝑏2 𝑠𝑖𝑛2 𝐶

= 4𝑎2𝑏2 (1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝐶)

= 4𝑎2𝑏2 − 4𝑎2𝑏2𝑐𝑜𝑠2 𝐶

= 4𝑎2𝑏2 − (2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶)2

= 4𝑎2𝑏2 − (𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2)2 Định lí côsin

= (2𝑎𝑏 − (𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2))(2𝑎𝑏 + (𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2)) Hiệu các bình phương

= (𝑐2 − (𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2))((𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) − 𝑐2)

= (𝑐2 − (𝑎 − 𝑏)2)((𝑎 + 𝑏)2 − 𝑐2)

= (𝑐 − (𝑎 − 𝑏))(𝑐 + (𝑎 − 𝑏))((𝑎 + 𝑏) − 𝑐)((𝑎 + 𝑏) + 𝑐) Hiệu các bình phương

= (𝑐 − 𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

= (2𝑠 − 2𝑎)(2𝑠 − 2𝑏)(2𝑠 − 2𝑐)(2𝑠) 2𝑠 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

16(Diện tích)2 = 16𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

(Diện tích)2 = 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

Diện tích = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

(Demana et al., 2011)

Như đã phân tích hai bộ SGK Việt Nam, công thức Hê – rông chỉ được chứng

minh trong H2. Về cơ bản thì cách chứng minh trong P và H2 là giống nhau: Cùng

xuất phát từ công thức diện tích chứa sin và phải sử dụng đến định lí côsin. Để tránh

tạo ra những biểu thức chứa phân số, P đã nhân hai vế cho 4, trong khi H2 không

nhân và biến đổi trực tiếp, từ đó sử dụng hệ quả định lí côsin và làm việc trên các

phân số.

Ví dụ 4 tiếp theo sử dụng hệ thức Hê – rông (tr. 445):

“Tìm diện tích của một tam giác với các cạnh 13, 15, 18” (Demana et al., 2011).

Cách trình bày có phân biệt các trường hợp c.g.c, c.c.c, … trong tính toán diện

tích tam giác cũng là điểm khác biệt so với SGK Việt Nam (SGK Việt Nam liệt kê

các công thức tính diện tích tam giác trong cùng một bảng như sau:

(SGK (H1, tr. 53) (H2, tr. 59)

Nếu không tính đến ưu điểm của SGK Việt Nam là có hệ thống các công thức

trong cùng một chủ đề diện tích tam giác thì rõ ràng lợi thế của P là giúp HS nhận

 Các ứng dụng

diện công thức cần sử dụng phù hợp, khó gây ra nhầm lẫn giữa các công thức.

Có hai ví dụ và một hoạt động khám phá được giới thiệu, trong đó ví dụ thứ

nhất tính cạnh, ví dụ thứ hai tính góc và ví dụ thứ ba tính diện tích các tam giác. Cụ

 Ví dụ 5: Đo một sân bóng chày kim cương

thể:

“Các gôn của một sân bóng chày kim cương cách nhau 90 feet 2 và gò ném bóng

cách góc cuối của gôn nhà 60,5 feet. Tìm khoảng cách từ gò ném bóng đến góc ngoài

cùng gôn 1” (tr. 445).

(Demana et al., 2011)

Trước hết đây là bài toán ngoài toán học. Nó có thể gây chú ý đến HS nhờ tính

thực tế nhưng về mặt gợi nhu cầu thì chưa tồn tại.

Để giải bài toán này, HS vẫn phải trải qua các bước lập mô hình trung gian, mô

hình toán học, giải và trả lời cho câu hỏi ban đầu:

 Mô hình toán học có thể được phác

họa dễ dàng bởi HS Mỹ vì tính phổ

biến của môn thể thao này trong

nước

“Hình 5.27 thể hiện gôn 1 tại 𝐴, gò ném bóng

tại 𝐵 và gôn nhà tại 𝐶. Khoảng cách chúng ta cần tìm

là cạnh 𝑐 trong ∆𝐴𝐵𝐶” (tr. 446)

Hình 5.27 Phần có hình dạng kim

 Giải mô hình toán học:

cương của một sân bóng chày kim

cương (ví dụ 5)

“Theo định lí côsin,

𝑐2 = 60,52 + 902 − 2.60,5.90 𝑐𝑜𝑠45°

𝑐 = √60,52 + 902 − 2.60,5.90 𝑐𝑜𝑠45°

 Trả lời câu hỏi ban đầu:

≈ 63,7” (tr. 446).

“Khoảng cách từ gôn 1 đến gò ném bóng là khoảng 63,7 feet” (tr. 446).

2 foot (số nhiều là feet), viết tắt là ft: đơn vị đo chiều dài. 1 foot ≈ 0,3048 mét.

Kết quả tính ra được cũng là câu trả lời cho bài toán thực tiễn.

Có thể thấy đây là một ví dụ mẫu về bài toán mô hình hóa. Mặc dù mô hình hóa

trong bài toán không phức tạp nhưng nó cũng thể hiện được tính thực tế trong cuộc

 Ví dụ 6: Đo một góc nghiêng (hình học khối)

sống và đòi hỏi ở HS phải lập được mô hình toán học để giải quyết.

“Một tứ diện đều là một khối gồm bốn mặt, các mặt là các tam giác đều. Tìm số

đo góc nghiêng được tạo ra dọc theo giao tuyến của hai mặt của một tứ diện đều với

chiều dài cạnh là 2” (tr. 446)

(Demana et al., 2011)

Qua các bước tìm độ dài BC, AB thì đến đây áp dụng định lí côsin cho ∆𝐴𝐵𝐶

để tìm ra góc 𝐴𝐵𝐶̂. Do đây là bài toán thuần toán học nên chúng tôi không dẫn chứng

lời giải vào.

Hình 5.28 Số đo góc 𝐴𝐵𝐶̂ cũng giống

như số đo của bất kì góc nghiêng khác

được tạo thành từ hai trong số các mặt

của tứ diện (ví dụ 6)

 Hoạt động khám phá: Ước tính diện tích của một lô đất (tr. 446)

Jim và Barbara đang tìm nhà để ở và cần ước tính diện tích một lô đất liền kề không cân đối,

mà theo người chủ sở hữu thì nó “rộng hơn một mẫu Anh một chút”. Barbara đứng ở một

góc của lô đất, Jim bắt đầu từ một góc khác và đi bộ theo một đường thẳng về phía Barbara,

đếm số bước chân của mình. Sau đó họ đổi góc và Jim lại thực hiện như vậy cho đến khi họ

ghi lại được các kích thước của lô đất (tính theo bước chân) như trong hình 5.29. Họ đo được

bước chân của Jim là 2,2 feet. Diện tích ước tính của lô đất là bao nhiêu?

(Demana et al., 2011)

Hình 5.29 Kích thước (theo số

bước chân) của một lô đất không

cân đối

(Demana et al., 2011)

Yêu cầu “Dùng công thức Hê – rông để tính diện tích theo bình phương số bước

chân” đã nói lên tri thức cần sử dụng trong bài (công thức Hê – rông). Một số yêu cầu

khác sau đó là đổi sang ft2, m2, …

Như vậy về mặt ứng dụng thực tế, bài toán có ưu điểm là đã cung cấp cho HS

một cách thức đo đạc gần gũi, dễ thực hiện. Nếu nói về mặt mô hình hóa thì bài toán

này đã có sẵn mô hình toán học, các thông tin về các cạnh đã đầy đủ nên việc giải

toán không cần thêm biến đổi nào khác ngoài việc áp dụng trực tiếp công thức Hê –

rông. Điều này cho thấy vấn đề thực tế được đưa vào chỉ là ngữ cảnh làm cho bài toán

sinh động hơn. Kĩ năng mô hình hóa không còn đóng vai trò chủ chốt trong bài toán

này.

Tóm lại, trong phần lí thuyết, định lí côsin xuất hiện theo tiến trình suy diễn

(nhiều khả năng làm giảm tính tích cực của HS). Kế đến, vấn đề giải tam giác và tính

diện tích tam giác được P phân loại rõ ràng (thành hai trường hợp c.g.c và c.c.c), đưa

ví dụ minh họa cụ thể. Các ứng dụng liên quan đến định lí côsin gần gũi với HS. Mô

hình hóa định lí côsin chỉ xuất hiện duy nhất ở ví dụ “sân bóng chày”, với mô hình

toán học đơn giản và chưa khơi gợi được động cơ tìm kiếm lời giải.

Bây giờ chúng tôi chuyển sang phân tích bài tập.

1.2.2. Bài tập

Chúng tôi nhận thấy có những KNV trong P tương đồng với KNV trong thể chế

dạy học Việt Nam, đó là: 𝐓𝟏, 𝐓𝟐, 𝐓𝟒, 𝐓𝟔, 𝐓𝟗 (tính cạnh, góc với các giả thiết phức tạp

hơn liên quan đến tứ diện, hình bình hành, nhiều tam giác, bát giác đều, hình hộp chữ

 KNV 𝐓𝟒∗: Tính góc nhỏ nhất của tam giác khi biết ba cạnh

 KNV 𝐓Đ𝐒: Chứng minh mệnh đề đã cho đúng hay sai Cụ thể là nhiệm vụ ở bài 45 tr. 449:

nhật). Những KNV khác là:

“Đúng hay sai Nếu ∆𝐴𝐵𝐶 là tam giác bất kì với cạnh và góc kí hiệu như thông

thường thì 𝑏2 + 𝑐2 > 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴. Chứng minh câu trả lời của em”.

(Demana et al., 2011)

Kĩ thuật: “Theo định lí côsin, 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑎2 là một số dương. Từ 𝑏2 +

𝑐2 − 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴 > 0, suy ra 𝑏2 + 𝑐2 > 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴” (lời giải tr. 889)

Vậy mệnh đề này đúng.

 KNV 𝐓𝟏𝟎: Xét xem tam giác có được hình thành từ ba độ dài cạnh cho

Công nghệ: Định lí côsin.

 KNV 𝐓𝟏𝟏: Biễu diễn cạnh trong tam giác theo góc kề nó (thuộc bài 76 tr. 453 – bài toán ngoài toán học sẽ được phân tích ở dưới)

trước hay không

 KNV 𝐓𝟏𝟐: Giải tam giác khi tam giác ở trường hợp hai cạnh và một góc

đối (c.c.g)

Đối với KNV 𝐓𝟏𝟐, trường hợp c.c.g được SGK Mỹ xếp vào loại ambiguous case

(chúng ta tạm gọi là trường hợp bất định). Giả thiết hai cạnh và một góc đối có thể

cho ra 2 tam giác, chỉ một tam giác hoặc không tồn tại tam giác nào (P, tr. 443) (phần

mở đầu luận văn cũng đã lưu ý vấn đề này).

Tiếp theo, chúng tôi thực hiện phân tích các bài toán liên quan đến mô hình hóa:

Chúng tôi chia các bài toán này thành hai loại: Đã cho mô hình toán học (loại

 Những bài toán loại 1 có ngữ cảnh khác nhau là:

1) và chưa cho mô hình toán học (loại 2).

35. Đo khoảng cách không trực tiếp

Juan muốn tìm khoảng cách giữa hai điểm 𝐴 và 𝐵 nằm ở hai mặt đối diện

của một tòa nhà. Juan tìm một điểm 𝐶 cách 𝐴 110 ft và cách 𝐵 160 ft được

minh họa như hình vẽ. Nếu góc 𝐶 là 54°, tìm khoảng cách 𝐴𝐵. (tr. 448)

(Demana et al., 2011)

(Demana et al.,

36. Thiết kế của một sân bóng chày

(a) Tìm khoảng cách từ vị trí người ném bóng đến góc ngoài

cùng của gôn 2. So sánh khoảng cách này với khoảng cách

từ vị trí người ném bóng đến gôn 1 (xem ví dụ 5).

2011)

38. Bài toán của nhà khảo sát Tony phải tìm khoảng cách từ

(b) Tìm góc 𝐵 trong ∆𝐴𝐵𝐶. (tr. 448)

𝐴 đến 𝐵 nằm đối diện nhau của một cái hồ. Tony tìm một điểm

𝐶 cách 𝐴 860 ft và cách 𝐵 175 ft. Tony đo được góc tại 𝐶 là

78°. Tìm khoảng cách 𝐴𝐵. (tr. 449)

(Demana et al., 2011)

41. Cú sút bóng Người chơi đang đợi để nhận một quả đá

về đường 5 yard 3 (điểm A) khi quả bóng được đá đi 65 yd

từ vị trí trên đường 30 yard của đối phương. Quả bóng di

chuyển 73 yd theo một góc 8° về phía phải của người nhận

như trong hình vẽ (điểm B). Tìm khoảng cách người nhận

phải chạy để bắt được bóng. (tr. 449)

(Demana et al., 2011)

Mô hình toán học cho trước trong các bài toán này là mô hình dạng tam giác hết

sức đơn giản, áp dụng trực tiếp định lí côsin mà không phải qua một biến đổi nào cả.

Các bài toán sau đây có mức độ cao hơn khi mô hình toán học không chỉ là một

tam giác duy nhất, dữ kiện nhiều hơn hoặc mục đích hỏi cũng khác hơn:

39. Kĩ thuật xây dựng Một người chế tạo đang

thiết kế khung mái nhà được mô phỏng như hình

(a) Tìm số đo góc 𝐶𝐴𝐸

42. Hoạt động nhóm Thiết kế kiến trúc Thanh tra xây dựng

(b) Nếu 𝐴𝐹 = 12 ft, tìm chiều dài 𝐷𝐹

Julie Wang kiểm tra một tòa nhà có hình bát giác đều, mỗi cạnh

dài 20 ft. Cô ấy kiểm tra xem nhà thầu có đặt góc của nền móng

đúng hay không bằng cách đo một vài đường chéo. Hãy tính xem

chiều dài HB, HC và HD là bao nhiêu. (tr. 449)

(Demana et al.,

2011)

3 yard, viết tắt là yd: đơn vị đo chiều dài. 1 yard ≈ 0,9144 mét.

(Demana et al., 2011)

76. Tìm HS làm giả dữ liệu Carmen và Pat cần bổ

sung một thí nghiệm vật lí bị thiếu. Họ phải đo tổng

khoảng cách (2𝑥) di chuyển bởi một chùm tia sáng đi

từ điểm A đến điểm B và ghi lại nó theo độ tăng

20° của 𝜃 khi họ điều chỉnh gương đi lên theo chiều

dọc. Họ báo cáo kết quả đo ở dưới. Tuy nhiên, chỉ có

một HS thực sự thực hiện, người còn lại đã bỏ qua và

làm giả dữ liệu. Ai đã làm giả dữ liệu, và tại sao em

kết luận như vậy? (tr. 453)

(Demana et al., 2011)

Những bài toán này cho thấy ngoài áp dụng định lí côsin, HS phải biết liên hệ

với các kiến thức khác như tỉ số lượng giác của góc nhọn, tìm số đo một góc trong

hình bát giác đều và biểu diễn 2𝑥 theo 𝜃.

Nhìn chung, những bài toán đã có sẵn mô hình toán học giúp cho đề toán được

ngắn gọn hơn nhiều nhưng ngược lại, nó làm hạn chế khả năng tư duy mô hình hóa

của HS: Thao tác quan trọng là lập mô hình toán học không có cơ hội thực hiện.

Những bài toán loại 2: Có ba bài

40. Hàng không Hai máy bay cất cánh cùng nhau theo hai hướng khác nhau từ cùng một sân bay.

Một chiếc bay theo hướng đông với vận tốc 350 dặm trên giờ, chiếc còn lại bay theo hướng đông –

đông bắc với vận tốc 380 dặm trên giờ. Sau 2 giờ từ lúc bay tách nhau, hai máy bay cách nhau bao

xa, giả sử rằng chúng bay với cùng một độ cao. (tr. 449)

(Demana et al., 2011)

49. Đa lựa chọn Hai chiếc thuyền xuất phát từ cùng một vị trí và đi dọc theo hai hướng đi tạo thành

một góc 110°. Nếu một thuyền đi với vận tốc 24 dặm trên giờ và chiếc còn lại đi với vận tốc 32

dặm trên giờ thì sau 30 phút, hai thuyền cách nhau bao xa?

(A) 21 dặm

(B) 22 dặm

(D) 24 dặm

(E) 25 dặm

(tr. 449)

(Demana et al., 2011)

Hai bài toán này đều có điểm chung là liên quan đến các đại lượng vật lí (vận

tốc, quãng đường, thời gian). Thông qua xử lí các dữ kiện theo công thức quãng

đường = vận tốc x thời gian, mô hình toán học sẽ biểu diễn tam giác trong trường hợp

c.g.c. Cuối cùng, HS chỉ cần áp dụng định lí côsin để tìm ra cạnh còn lại.

53. Đi biển Hai chiếc tàu dời cùng một cảng vào lúc 8 giờ sáng và di

chuyển với vận tốc không đổi. Mỗi tàu giữ một quyển nhật kí cho biết

khoảng cách từ nó đến cảng và từ nó đến tàu còn lại. Những đoạn trích

từ quyển nhật kí ngay sau lúc sáng hôm đó của hai tàu được cho trong

bảng sau.

Số hải lí 5 tính

Số hải lí tính từ

Số hải lí tính

Số hải lí tính từ

Thời điểm

từ cảng

tàu B

từ cảng

tàu A

9:00

15,1

8,7

9:00

12,4

8,7

10:00

30,2

17,3

11:00

37,2

26,0

a, Vận tốc mỗi tàu là bao nhiêu? (đơn vị hải lí/giờ)

b, Góc hợp bởi hai hướng đi của hai tàu là bao nhiêu?

c, Khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu vào lúc 12 giờ trưa nếu chúng duy trì hướng và vận tốc

cũ? (tr. 450)

(Demana et al., 2011)

Chúng tôi đánh giá đây là bài toán mang tinh thần của một bài toán mô hình hóa

nhất trong ba bài toán loại 2. Việc cho một số dữ liệu trong bảng đòi hỏi HS phải tự

dò xét, chọn lọc ra các giả thiết phù hợp với từng câu hỏi để sử dụng:

Đối với câu a, để tính vận tốc của mỗi tàu thì nhiệm vụ tìm quãng đường đi được

trong một khoảng thời gian là phương pháp duy nhất. Khi đó giữa hai thông tin: số

hải lí tính từ cảng, số hải lí tính từ tàu còn lại thì HS cần chọn khoảng cách tính từ

vật đứng yên làm mốc (cảng) để tính đúng quãng đường đi được của tàu giữa hai thời

5 Hải lí: đơn vị đo chiều dài hàng hải. 1 hải lí = 1,852 km.

30,2−15,1

37,2 −12,4

Vận tốc tàu A =

= 15,1 hải lí/giờ, vận tốc tàu B =

= 12,4 hải lí/giờ

1 (Phần đáp án P, tr. 889)

điểm. Như vậy, thông tin về số hải lí tính từ tàu còn lại sẽ không được sử dụng.

Để tính được góc hợp bởi hướng đi của hai tàu ở câu b thì mấu chốt là HS phải

chọn quãng đường đi được của mỗi tàu tính từ lúc cùng khởi hành 8 giờ sáng ở cảng

đến cùng một thời điểm. Vì thế, lựa chọn thời điểm 9 giờ là thích hợp

khi có thể dựa vào vận tốc ở trên để suy ra từ 8 giờ sáng đến 9 giờ sáng

thì tàu A đi được 15,1 hải lí, tàu B đi được 12,4 hải lí và khoảng cách

giữa hai tàu cùng là 8,7 hải lí. Từ đây thiết lập được mô hình tam giác trong trường

hợp cạnh – cạnh – cạnh để tính góc:

𝑐𝑜𝑠𝐴𝑃𝐵̂ = = = 𝐴𝑃2 + 𝐵𝑃2 − 𝐴𝐵2 2. 𝐴𝑃. 𝐵𝑃 15,12 + 12,42 − 8,72 2. 15,1. 12,4 3826 4681

 𝐴𝑃𝐵̂ ≈ 35,18°

Với câu c, HS có hai cách làm:

Cách 1: Lí giải theo tỉ lệ phóng hoặc tam giác đồng

dạng:

Từ 8 giờ sáng đến 12 giờ trưa cùng ngày thì khoảng

thời gian đi được là 4 giờ, mặt khác hai tàu luôn duy trì

hướng và tốc độ ban đầu nên tam giác PAB được phóng

to lên gấp 4 lần thành tam giác PA’B’. Vì vậy khoảng cách

giữa hai tàu vào lúc 12 giờ trưa là A’B’ = 4.AB = 34,8 hải

lí/giờ.

Cách 2: Dùng định lí côsin:

Từ 8 giờ sáng đến 12 giờ trưa cùng ngày thì quãng đường đi được của mỗi tàu

là:

Tàu A: A’P = 4. 15,1 = 60,4

Tàu B: B’P = 4. 12,4 = 49,6

Áp dụng định lí côsin trong tam giác A’PB’:

A’B’ = √60,42 + 49,62 − 2. 60,4. 49,6. 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑃𝐵̂ = 34,8

Do đó khoảng cách giữa hai tàu vào lúc 12 giờ trưa là 34,8 hải lí/giờ.

Như vậy, bài toán đi biển này cho thấy HS phải tham gia vào quá trình mô hình

hóa: tự thiết lập mô hình và giải mô hình toán học ở mức độ cao hơn so với hai bài

toán cùng loại chưa cho mô hình toán học ở trên.

Đặc điểm các bài toán trên không tạo điều kiện xảy ra khả năng 2 trong bước 4.

Tóm lại, chúng tôi nhận thấy các bài toán gắn với mô hình hóa trong P có trải

dài theo nhiều cấp độ: từ cho mô hình toán học đến không cho mô hình toán học, từ

giả thiết đơn giản đến giả thiết phải biến đổi nhiều trước khi giải và cho thấy được

nhiều tình huống đa dạng mà định lí côsin góp mặt trong đó hơn là bộ SGK Việt Nam

đã giới thiệu. Tuy nhiên, những đặc điểm như: nhiều bài toán đã cho sẵn mô hình

toán học và với mô hình đơn giản này vô tình tước đi mất cơ hội so sánh kết quả tính

ra với tình huống thực tế của bài toán là hạn chế của cả hai thể chế dạy học Mỹ và

Việt Nam.

Sau đây, chúng tôi lập bảng phân bố số lượng các KNV có mặt trong P để có

kết luận gần hơn về quan hệ thể chế dạy học Mỹ đối với định lí côsin gắn với mô hình

hóa:

Bảng 1.6. Số lượng KNV trong Precalculus (Demana)

KNV Ví dụ, hoạt động Bài tập Tổng

18 2 16 𝐓𝟏

17 2 15 𝐓𝟐

2 0 2 𝐓𝟒

1 0 1 𝐓𝟔

Tính cạnh 4 0 4 𝐓𝟗 Tính góc 3 1 2

2 0 2 𝐓Đ𝐒

1 0 1 𝐓𝟒∗

8 0 8 𝐓𝟏𝟎

1 0 1 𝐓𝟏𝟏

7 0 7 𝐓𝟏𝟐

5 Tổng 59 64

Bảng 1.7. Phân bố các KNV trong Precalculus (Demana) thuộc bài toán ngoài

toán học

KNV Số lượng

Toán học 15 𝐓𝟏 Ngoài toán học 3

Toán học 7

Ngoài toán học 10 𝐓𝟐

Toán học 2 Tính cạnh Ngoài toán học 2 𝐓𝟗 Toán học 1 Tính góc Ngoài toán học 2

Toán học 0 𝐓𝟏𝟏 Ngoài toán học 1

Bảng 1.8. Tỉ lệ giữa bài toán loại 1 và loại 2; KNV thuộc bài toán toán học và

ngoài toán học trong Precalculus (Demana)

KNV thuộc bài toán ngoài KNV thuộc bài toán học toán toán học Loại 1 Loại 2

14 (78%) 4 (22%) Số lượng 46 (72%) 18 (28%)

Bảng 1.6 cho thấy các KNV được tập trung trong phần bài tập. Các ví dụ, hoạt

động mang tính chất bài tập giải mẫu nên không được đưa vào nhiều.

Số lượng KNV 𝐓𝟏, 𝐓𝟐 gần như ngang bằng nhau và đóng vai trò là các KNV

quan trọng nhất trong chủ đề định lí côsin (tương đồng với thể chế dạy học Việt Nam).

KNV 𝐓𝟏𝟎 – Xét xem tam giác có được hình thành từ ba độ dài cạnh cho trước

hay không và 𝐓𝟏𝟐 – Giải tam giác khi tam giác ở trường hợp hai cạnh và một góc đối

là ưu tiên thứ nhì trong hệ thống các KNV trên (có mặt 8 lần và 7 lần). Điều này

chứng tỏ ngoài kĩ năng áp dụng định lí côsin theo hai trường hợp cơ bản c.g.c và c.c.c

ra thì thể chế dạy học Mỹ cũng chú trọng đến năng lực nhận định, đánh giá vấn đề

của HS – Không chỉ làm việc trên một tam giác xác định duy nhất mà còn mở rộng

ra nhiều trường hợp khác đòi hỏi HS phải giải quyết.

KNV được xếp hạng tiếp theo là 𝐓𝟗 (tính cạnh, góc với các giả thiết phức tạp

hơn liên quan đến tứ diện, hình bình hành, nhiều tam giác, bát giác đều, hình hộp chữ

nhật). Cuối cùng, vai trò thứ yếu thuộc về các KNV còn lại: tính góc lớn nhất, nhỏ

nhất trong tam giác khi biết ba cạnh, chứng minh hệ thức, chứng minh mệnh đề đã

cho đúng hay sai, biểu diễn cạnh trong tam giác theo góc kề nó (𝐓𝟒, 𝐓𝟒∗, 𝐓𝟔, 𝐓Đ𝐒,

𝐓𝟏𝟏).

Bảng 1.7 cho thấy các bài toán ngoài toán học phân bố ở bốn KNV: 𝐓𝟏, 𝐓𝟐, 𝐓𝟗,

𝐓𝟏𝟏. Tức thể chế có quan tâm đến vấn đề mô hình hóa định lí côsin ở cả hai mặt tính

cạnh và tính góc. Trong đó số KNV tính góc là 3 + 2 = 5, khi mà số KNV tính cạnh

là 10 + 2 = 12. Vì vậy, có thể nói áp dụng định lí côsin vào tính cạnh trong tam giác

được coi là trọng tâm hơn tính góc. Theo đó, số lượng 10 lần xuất hiện của 𝐓𝟐 cũng

cho thấy: Trong các bài toán ngoài toán học, việc áp dụng trực tiếp định lí côsin để

tính cạnh khi mô hình tam giác ở trường hợp c.g.c là phổ biến nhất. Sự ưu tiên này

tiếp tục là điểm chung tiếp theo với thể chế dạy học Việt Nam.

Từ bảng 1.8, chúng tôi nhận ra số lượng các KNV thuộc bài toán toán học chiếm

số đông so với các KNV ở bài toán thực tế, nghĩa là thể chế dạy học Mỹ chú trọng

dạy học định lí côsin với các KNV thuần túy toán học hơn. KNV thuộc loại 1 chiếm

78%, cao hơn hẳn so với loại 2 (22%). Như vậy, xét trong KNV liên quan đến mô

hình hóa thì thể chế ưu tiên các KNV đã cho sẵn mô hình toán học. Liên hệ với thể

chế dạy học Việt Nam thì tỉ lệ các bài toán thực tế của Mỹ nhiều hơn đáng kể: chiếm

28% so với 3% (đối với hình học 10 cơ bản) hay 11% (hình học 10 nâng cao). Từ đây

cho chúng tôi kết luận rằng thể chế dạy học Mỹ chú trọng dạy học định lí côsin gắn

với các vấn đề thực tế hơn thể chế dạy học Việt Nam.

1.2.3. Kết luận

 Giới thiệu định lí côsin theo con đường suy diễn

 Trình bày rạch ròi các trường hợp trong tam giác có thể áp dụng định lí

Nhận xét chung về thể chế dạy học Mỹ:

côsin để giải quyết bài toán. Các KNV 𝐓𝟏, 𝐓𝟐 là trọng tâm. Thể chế ưu tiên

việc giải các bài toán toán học hơn là các vấn đề thực tiễn.

 Các bài toán ngoài toán học chiếm số lượng lớn hơn so với các bài toán

ngoài toán học trong thể chế dạy học Việt Nam, phong phú về các vấn đề

thực tế: Đo khoảng cách bị chắn, tính các kích thước của thiết kế sân bóng

chày, mái nhà, tòa nhà, thí nghiệm, giao thông hàng không, đường thủy,

 Về vấn đề mô hình hóa: Trong các bước để giải một bài toán mô hình hóa

cho thấy định lí côsin có nhiều ứng dụng trong cuộc sống.

thì bước 1 thường không có cơ hội xuất hiện vì đa số các bài toán đã cho

sẵn mô hình toán học; bước 4 luôn thuộc khả năng 1 vì đáp án không vấp

phải mâu thuẫn nào trong thực tế.

 Từ kết quả nghiên cứu thể chế dạy học của Việt Nam và Mỹ, chúng tôi có

1.3. KẾT LUẬN

sự đối chiếu và so sánh hai thể chế dạy học này đối với định lí côsin trong

mối liên hệ với mô hình hóa. Như vậy câu trả lời cho câu hỏi 2 như sau:

Thể chế dạy học Việt Nam Thể chế dạy học Mỹ

Định lí côsin được giới thiệu theo Giới thiệu theo con đường suy diễn

hướng bài toán → định lí, chứng minh và chứng minh gắn với hệ tọa độ.

bằng phương pháp vectơ. Mất đi động lực tìm tòi kiến thức ở

Là một tình huống có vấn đề. HS.

Ứng dụng định lí côsin trong việc giải các bài toán toán học được ưu tiên hơn

các bài toán thực tế, trong đó hai KNV chính yếu là tính cạnh và tính góc trong

tam giác

Từ nhu cầu tính góc, định lí côsin được Không phát biểu thành hệ quả

suy ra thành hệ quả

Không nêu dấu hiệu nhận biết trong tam Phân loại rõ ràng các trường hợp khi

giác khi áp dụng định lí côsin sử dụng định lí côsin: c.g.c, c.c.c

Số lượng các bài toán thực tế ít, không Các bài toán thực tế nhiều hơn, xuất

đa dạng hiện trong nhiều lĩnh vực

Trong các bài toán thực tế, định lí côsin được sử dụng tính cạnh nhiều hơn tính

góc. Nhiều bài toán này đã cho sẵn mô hình toán học (nhất là thể chế dạy học

Mỹ). Nội dung và cách giới thiệu bài toán dẫn đến HS không cần thực hiện thao

tác: lập mô hình toán học, trả lời cho bài toán thực tế (theo nghĩa so sánh với

điều kiện trong thực tế để kết luận lại). Nhiệm vụ chính của HS là giải mô hình

toán học. Điều này làm mất đi vai trò, tác dụng của một bài toán mô hình hóa

 Định lí côsin có rất nhiều ứng dụng trong thực tế như đã phân tích. Chúng

trong việc rèn luyện cho HS năng lực giải quyết các vấn đề thực tế.

tôi nhận thấy có thể khai thác chúng để đưa vào dạy học định lí ngay từ

đầu giúp tăng tính hấp dẫn và khẳng định vai trò của định lí trong đời sống

 Ưu điểm của thể chế dạy học Mỹ là có phân loại rõ ràng các trường hợp

đối với HS hơn là một bài toán toán học.

dùng định lí côsin cho HS (c.g.c), (c.c.c). Trong khi thể chế dạy học Việt

Nam thì có tình huống dạy học định lí côsin gần đạt được tới tình huống

 Mặt chưa mạnh của cả hai thể chế là: Các bài toán thực tế chưa thực sự

gợi vấn đề.

phát huy hết khả năng của nó ở bước 1, 2 và 4.

Tất cả các điều này làm chúng tôi quyết định xây dựng một tiến trình dạy sao

cho phát huy được mặt tích cực của hai thể chế và giảm bớt một vài hạn chế, kết hợp

trên những ứng dụng mà chúng tôi đã tìm kiếm được ở chương 1. Cụ thể là: Xây dựng

một tiến trình dạy học bằng mô hình hóa định lí côsin, giúp HS có thể khám phá định

lí từ việc giải quyết vấn đề thực tiễn (tình huống gợi vấn đề), tiếp tục tham gia vào

quá trình mô hình hóa toán học thông qua hoạt động giải các tình huống tiếp theo. Từ

đây, HS thấy được nhiều hơn ứng dụng hữu ích của định lí trong cuộc sống và phân

loại được một số trường hợp sử dụng định lí côsin trong toán học và trong thực tiễn.

Chương 2. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Mục đích của chương là trả lời cho câu hỏi 4.

2.1. GIỚI THIỆU THỰC NGHIỆM

 Tiếp cận, khám phá định lí côsin từ một tình huống gợi vấn đề

 Giải các bài toán mô hình hóa định lí côsin

 Rút ra được một số trường hợp trong toán học và thực tế có thể ứng dụng

2.1.1. Mục đích thực nghiệm: Giúp HS

định lí côsin để giải quyết.

2.1.2. Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 10, chưa học về định lí côsin

 Mục đích bài toán:

2.1.3. Các bài toán thực nghiệm

Chúng tôi có 3 bài toán thực tế. Bài toán mở đầu đưa ra một vấn đề về tính toán

khoảng cách. Thông qua kết quả tìm được, GV dẫn dắt HS đến nội dung mới – định

lí côsin. Kế đến, bài toán 1 đưa ra để HS sử dụng định lí côsin tìm cạnh và góc trong

tam giác. Cuối cùng, bài toán 2 cho thấy một tình huống khác với lí thuyết đã học

 Nội dung các bài toán:

cũng có thể áp dụng định lí côsin.

Bài toán mở đầu: Kết nối tỉnh thành

Hai thành phố B và C bị ngăn cách nhau bởi một cái hồ lớn. Muốn đi từ B đến C, người ta

phải đi gián tiếp qua trị trấn A theo các con đường thẳng (hình vẽ). Vì thế người ta muốn xây

một cây cầu bắc qua hồ để việc qua lại giữa B và C thuận tiện hơn. Để xây cầu thì cần biết

được khoảng cách giữa hai thành phố B và C. Em hãy giúp họ tính toán khoảng cách này.

Họ đo được đoạn đường từ thành phố B đến thị trấn A dài 2 km, từ thị trấn A đến thành phố

C dài 3 km và góc tạo bởi hai quãng đường này là 𝟔𝟎𝒐.

(Cố gắng tạo ra thêm những gì quen thuộc, cái mà em có thể sử dụng nó được để tính toán).

Hình 2.1. Nội dung bài toán mở đầu

Hình 2.2. Nội dung bài toán 1

Bài toán 1: Chuyến bay bão táp

Một máy bay Vietnam Airlines đang bay với vận tốc không đổi là 800 km/h và

trong lộ trình có đoạn giữa sẽ bay thẳng từ TP Đồng Hới qua TP Hải Phòng theo

hướng Nam – Bắc. Nhưng vì nhận được tin có bão trong vịnh Bắc Bộ nên khi vừa

bay đến TP Đồng Hới, máy bay bắt đầu rẽ theo hướng Tây Bắc để tránh bão. Từ

khi rẽ hướng và đi được 8 phút 24 giây, phi công thấy an toàn và bẻ lái để bay

thẳng đến TP Hải Phòng. TP Đồng Hới và TP Hải Phòng cách nhau 375 km.

(Bản đồ Việt Nam Vector)

a, Biết giá xăng máy bay trên thị trường là 86 000 đ/lít và cứ đi 1 km máy bay

tiêu tốn hết 3,5 lít xăng. Cho rằng quãng đường bay từ TP Đồng Hới đến TP Hải

Phòng theo lộ trình mới hay lộ trình ban đầu thì vẫn duy trì ở cùng một độ cao so

với mặt đất và lộ trình mới chỉ khác lộ trình ban đầu ở đoạn bay từ TP Đồng Hới

đến TP Hải Phòng như mô tả trên. Vậy, với sự cố thời tiết này thì hãng hàng

không Vietnam Airlines phải chịu lỗ bao nhiêu tiền xăng so với dự kiến ban đầu?

b, Góc phi công cần bẻ lái ở trên là bao nhiêu so với hướng bay ngay lúc đó?

c, Để tránh bão nhưng vẫn đi đến được TP Hải Phòng đúng thời điểm theo lộ trình

ban đầu đề ra thì ngay sau khi bẻ lái, vận tốc mới của máy bay trên quãng đường

tính từ lúc bẻ lái đến Hải Phòng phải là bao nhiêu?

(Tham khảo Sullivan (2012))

Bài toán 2: Hành trình của pít tông

Động cơ đốt trong là một bộ phận quan trọng giúp biến nhiệt năng thành cơ năng.

Ở đó có cơ cấu trục khuỷu – thanh truyền:

Trục OA và thanh AB được gắn với nhau tại A. Khi trục OA xoay quanh vị trí O

(O cố định) sẽ truyền chuyển động cho thanh AB và dẫn đến pít tông được gắn

tại B chuyển động.

Cho trục OA dài 4 cm, thanh AB dài 12 cm và coi khoảng cách từ pít tông tới vị

trí O là OB.

Là một kĩ sư thiết kế, em cần biết mối quan hệ giữa khoảng cách từ pít tông tới vị

trí O và góc hợp bởi hai tia OA, OB để tìm cách cải thiện hiệu suất của động cơ.

Vậy:

a, Khi OA quay, em hãy biểu diễn khoảng cách OB theo 𝐴𝑂𝐵̂ .

b, Khi OA quay hết một vòng thì pít tông đã đi được một quãng đường là bao

nhiêu?

Kiến thức thêm:

Hành trình của pít tông được định nghĩa là quãng đường pít tông đi được từ vị trí

gần O nhất đến vị trí xa O nhất (hoặc ngược lại). Vậy, em hãy tìm công thức tính

hành trình của pít tông.

(Operating cycle of the 4 – stroke spark – ignition engine, 2014)

(Tham khảo Larson (2013))

Hình 2.3. Nội dung bài toán 2

 Ba bài toán này giúp HS có cơ hội tham gia vào quá trình mô hình hóa toán

học, nó có đủ các bước giải một bài toán mô hình hóa hơn so với các bài

toán thực tiễn trong hai thể chế Việt Nam và Mỹ. Vì cả ba bài toán đều

không cho trước bước 1, 2. Đặc biệt bài toán 2 tạo cơ hội cho HS thực hiện

 Theo chúng tôi, bài toán mở đầu sẽ là một tình huống gợi vấn đề vì:

bước 4 – bước trả lời cho bài toán thực tiễn mà rơi vào khả năng 2.

 Tồn tại một vấn đề là xác định khoảng cách giữa hai thành phố mà nếu

dựa theo các giả thiết trong bài đặt ra thì chưa có phương pháp giải bài

toán này trước đó.

 Gợi mong muốn giải quyết vấn đề này vì việc xây cầu để rút gọn khoảng

cách đi lại là một nhu cầu chính đáng, thiết thực và có lợi cho cộng

đồng. Ngoài ra, hoạt động nhóm và có xếp hạng các nhóm cũng góp

một phần trong việc tạo động lực ở HS.

 Sau khi đã chuyển đổi bài toán sang mô hình một tam giác, với các

thông tin về cạnh và góc thì những chiến lược cảm tính ban đầu có thể

tồn tại như tạo thêm đường nào đó, chia đoạn thẳng thành các phần

 Lí giải việc thiết kế các bài toán:

 Ở bài toán mở đầu, ngữ cảnh “giữa hai thành phố có một cái hồ” được

bằng nhau, … Điều này gây niềm tin ở khả năng cho HS.

đưa vào để làm nguyên nhân cản trở hai thành phố, không thể đo được

trực tiếp. Mặt khác, cái hồ có hình dạng khép kín giúp tạo ra được các

 Với bài toán 1, các đại lượng quãng đường, thời gian, vận tốc có mặt

con đường đi một cách có lí.

giúp gắn kết toán học với thế giới vật lí. Lí do về sự cản trở như bão

cho phép tạo ra giả thiết về các hướng đi để thiết lập mô hình tam giác.

Chúng tôi lồng vào ngữ cảnh giá xăng dầu và số tiền lỗ nhằm mở rộng

hơn vấn đề thực tế, tạo sự hấp dẫn và mục đích cuối cùng vẫn là để HS

suy luận đến việc phải áp dụng định lí côsin. Ở đây, tên hướng được đặt

theo cách gọi trên bản đồ để HS liên hệ với kiến thức địa lí.

 Bài toán 2, bài toán xi lanh – pít tông được đưa vào nhằm cho HS thấy

một cách vận dụng khác của định lí côsin vào thực tế, không chỉ giới

hạn ở việc tính cạnh trong tam giác khi biết hai cạnh còn lại và một góc

xen giữa hay tính góc khi biết ba cạnh. Thông qua việc giải phương

trình bậc hai, HS có thể tính một cạnh trong tam giác khi biết hai cạnh

còn lại và một góc đối. Với tình huống này, chúng tôi giới thiệu thêm

cho HS khái niệm liên quan đến xi lanh – pít tông trong đời sống mà

 Mục đích các câu hỏi trong bài toán trình bày trong bảng 2.1:

HS sẽ được học ở công nghệ lớp 11.

Bảng 2.1. Mục đích câu hỏi trong bài toán thực nghiệm

Toán học Thực tế

Tính khoảng cách giữa hai địa

Bài toán mở đầu Đi tìm định lí côsin điểm mà không đo trực tiếp

được

Tính cạnh trong tam Biết giải quyết vấn đề (liên quan giác khi tam giác Câu a giữa việc so sánh trước và sau thuộc trường hợp Bài một sự kiện) c.g.c toán 1

Tính góc trong tam Tính được góc để xác định được (áp

dụng Câu b giác khi tam giác hướng đi phù hợp so với hướng

thuộc trường hợp c.c.c ban đầu định lí

côsin) Thêm ý nghĩa thực tế của bài Giải câu hỏi hệ quả Câu c toán, ôn lại kiến thức vật lí đơn của câu a giản

Tính cạnh trong tam Biểu diễn một đối tượng theo Bài

giác khi tam giác một đối tượng khác (khi mô hình toán 2 Câu a thuộc trường hợp có dạng tam giác thuộc trường (áp

c.c.g hợp c.c.g, …) dụng

định lí Biết giải quyết vấn đề (tính toán Giải câu hỏi toán học côsin) Câu b sự phụ thuộc đại lượng này vào thông thường đại lượng kia)

Câu Giải câu hỏi hệ quả Biết cách tìm hành trình của pít hỏi của câu b tông từ câu b thêm

2.1.4. Dàn dựng và phân tích kịch bản

Với quy trình dạy học bằng mô hình hóa: Bài toán thực tiễn → xây dựng mô

hình toán học → câu trả lời cho bài toán thực tiễn → tri thức cần giảng dạy → vận

dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn, chúng tôi sẽ xây dựng các pha dạy

 Pha 1: Giới thiệu bài toán thực tiễn (bài toán mở đầu)

 Pha 2: Xây dựng mô hình toán học, giải và tìm câu trả lời cho bài toán thực

học gần tương đồng với các bước của quá trình dạy học bằng mô hình hóa trên:

 Pha 3: Tìm ra tri thức cần giảng dạy

 Pha 4: Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn

tiễn

Học sinh vận dụng định lí côsin giải các bài toán thực tiễn khác (bài toán 1, bài

 Pha 5: Tổng kết

toán 2).

Học sinh rút ra một số trường hợp trong toán học và thực tế có thể vận dụng

định lí côsin.

Giáo viên chốt lại các thao tác giải một bài toán mô hình hóa cho HS.

Cụ thể:

Bài toán mở đầu tiến hành trong 27 phút (thuộc pha 1, pha 2, pha 3). Bài toán 1

và bài toán 2 mỗi bài tiến hành trong 25 phút thuộc pha 4 – vận dụng (50 phút). Cuối

 Pha 1 (2 phút): Giới thiệu bài toán thực tiễn

 GV phát phiếu ôn lại kiến thức cho mỗi HS (1 phút)

cùng pha 5 – tổng kết sẽ được thực hiện trong 13 phút.

Làm việc cá nhân để mỗi HS tự nhớ lại kiến thức cần thiết cho mình, tạo

tiền đề để giải bài toán mở đầu cũng như củng cố thêm niềm tin vào khả năng

 GV giới thiệu tình huống về bài toán mở đầu (1 phút)

giải trong hoạt động nhóm sau đó.

GV phát phiếu Bài toán mở đầu, các nhóm được phát giấy nháp để làm bài và

 Pha 2 (15 phút): Xây dựng mô hình toán học, giải và tìm câu trả lời cho

cuối cùng trình bày vào giấy roki.

bài toán thực tiễn

Các nhóm giải bài toán mở đầu: thiết lập mô hình toán học, giải, trả lời cho bài

toán ban đầu.

→ Hoạt động nhóm là lựa chọn thích hợp cho công đoạn tìm ra kiến thức mới,

khi các thành viên cùng hợp sức lại để tìm lời giải. Mặt khác, chia thành các nhóm

cũng sẽ dễ quản lí hơn làm việc cả lớp và không mất nhiều thời gian như làm việc cá

 Pha 3 (10 phút): Tìm ra tri thức cần giảng dạy

nhân.

Làm việc cả lớp

Các nhóm treo sản phẩm của mình và cả lớp nhận xét.

Giáo viên theo dõi cả lớp phát biểu và điều chỉnh các ý kiến, tổng kết các kết

quả và xếp hạng các nhóm.

 Pha 4 (50 phút): Làm việc nhóm và cả lớp

→ Làm việc cả lớp để kết quả khách quan.

Thực hiện trên hai bài toán ứng dụng, theo thứ tự kết thúc bài toán 1 rồi đến bài

toán 2. Mỗi hoạt động giải bài toán đều có xếp hạng các nhóm.

Làm việc nhóm (15 phút) Làm việc cả lớp (10 phút)

Bài toán 1 Các nhóm tiến hành giải, trình Các nhóm treo sản phẩm của

bày trên giấy roki. lên bảng, cả lớp cùng nhận xét

→ Chọn làm việc nhóm vì với các bài làm. Giáo viên chốt

sự tương tác giữa các thành câu lời giải đúng và xếp hạng

viên trong nhóm, các chiến các nhóm.

lược có khả năng xuất hiện → Chọn làm việc cả lớp để

nhanh hơn. Làm việc nhóm các đáp án được đánh giá

tạo ra môi trường phản hồi thuyết phục nhất.

thông tin tốt hơn cho HS khi

có sự đồng tình hoặc chỉ ra lỗi

sai từ những bạn xung quanh.

Bài toán 2 Tương tự Tương tự

Việc có xếp hạng các nhóm tạo ra sự tranh đua và động lực cho các nhóm

 Pha 5 (13 phút): Tổng kết

tích cực hoạt động.

 Liệt kê đặc điểm các tam giác mà có thể áp dụng định lí côsin vào (c.g.c

Giáo viên yêu cầu HS:

 Rút ra một số vấn đề trong thực tế mà định lí côsin có thể giải quyết

dùng tính cạnh còn lại, c.c.c dùng tính các góc còn lại)

được

Giáo viên chốt lại cho HS các bước giải một bài toán mô hình hóa:

Lập mô hình trung gian → Lập mô hình toán học → Giải bài toán toán

học → Trả lời cho bài toán thực tế (so sánh với yêu cầu, đặc điểm trong thực

tế để giữ lại câu trả lời hoặc giải lại quy trình trên).

Cuối cùng, GV cho HS ghi chú các hoạt động trên như bài học.

2.2. PHÂN TÍCH TIÊN NGHIỆM

2.2.1. Bài toán mở đầu

 Mô hình trung gian

Các địa điểm được biểu diễn bởi các điểm, các

con đường thẳng được mô phỏng bằng các đoạn

thẳng. Mô hình trung gian là tam giác.

 Mô hình toán học: Thêm các giả thiết, dữ liệu đã cho. Vấn đề được chuyển thành

việc tính độ dài cạnh BC.

AB = 2 Tìm BC

AC = 3

𝐴̂ = 60°

 Các chiến lược có thể:

 Chiến lược “tích vô hướng” 𝑺𝑻𝑽𝑯: Từ độ dài đoạn thẳng làm xuất hiện biểu thức về vectơ, biến đổi và sử dụng công thức tích vô hướng của

 Giải mô hình toán học

 Lời giải 1: Dùng hiệu vectơ

hai vectơ

2 = (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )

𝐵𝐶2 = |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |

= 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 2 − 2. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

= 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 2 − 2. |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |. |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |. 𝑐𝑜𝑠𝐴

= 32 + 22 − 2.3.2. 𝑐𝑜𝑠60° = 9 + 4 – 12.0,5 = 7

 Lời giải 2: Dùng tổng vectơ

Vậy BC = √7 ≈ 2,65.

2 = (𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )

𝐵𝐶2 = |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |

= 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 2. 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

= 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 2. |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |. |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |. cos(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )

= 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 2 − 2. |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |. |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |. cos(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )

= 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 2 − 2. |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |. |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |. cos 𝐴

= 22 + 32 − 2.2.3. 𝑐𝑜𝑠60° = 4 + 9 – 12.0,5 = 7

 Chiến lược “định lí Py – ta – go” 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐: Kẻ đường cao từ đỉnh B hoặc

Vậy BC = √7 ≈ 2,65.

C xuống để tạo thành các tam giác vuông. Áp dụng định lí Py – ta – go

và kết hợp với tỉ số lượng giác của góc 60° thích hợp.

 Lời giải 1: Tính BH theo định lí Py – ta – go trong tam giác nhỏ

ABH

Kẻ BH  AC (H  AC)

60°

 Áp dụng định lí Py – ta – go trong tam

giác vuông BHC, ta có:

H

𝐵𝐶2 = 𝐵𝐻2 + 𝐻𝐶2 (1)

Mặt khác 𝐻𝐶2 = (𝐴𝐶 − 𝐴𝐻)2

= 𝐴𝐶2 + 𝐴𝐻2 − 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐻 = 𝐴𝐶2 + 𝐴𝐻2 − 2. 𝐴𝐶. (𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60°) (2)

Từ (1), (2)  𝐵𝐶2 = 𝐵𝐻2 + 𝐴𝐶2 + 𝐴𝐻2 − 2. 𝐴𝐶. (𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60°).

 Áp dụng định lí Py – ta – go trong tam giác vuông ABH, ta có: 𝐵𝐻2 +

𝐴𝐻2 = 𝐴𝐵2

Do đó 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 − 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60°

= 22 + 32 − 2.3.2.0,5 = 7

 Lời giải 2: Tính BH theo 𝑠𝑖𝑛60° trong tam giác nhỏ ABH

Vậy BC = √7 ≈ 2,65.

𝐵𝐶2 = 𝐵𝐻2 + 𝐻𝐶2 (1)

 𝐻𝐶2 = (𝐴𝐶 − 𝐴𝐻)2 = 𝐴𝐶2 + 𝐴𝐻2 − 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐻

= 𝐴𝐶2 + (𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60°)2 − 2. 𝐴𝐶. (𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60°) (2)

 𝐵𝐻2 = (𝐴𝐵. 𝑠𝑖𝑛60°)2 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

𝐵𝐶2 = (𝐴𝐵. 𝑠𝑖𝑛60°)2 + 𝐴𝐶2 + (𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60°)2 − 2. 𝐴𝐶. (𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60°)

= 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 − 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60° = 22 + 32 − 2.3.2.0,5 = 7

 Chiến lược “lượng giác” 𝑺𝑳𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒄: Kẻ đường cao từ đỉnh A xuống để

Vậy BC = √7 ≈ 2,65.

tạo thành các tam giác vuông. Phân tích cạnh cần tìm thành tổng của

các cạnh hình chiếu, sử dụng tỉ số lượng giác của góc 60° thích hợp.

Lời giải:

Kẻ AH  BC (H  BC).

Ta có BC = BH + HC

= 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠𝐶 (1)

Nhân hai vế của (1) cho BC, ta được:

𝐵𝐶2 = 𝐵𝐶. 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝐵𝐶. 𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠𝐶 (2)

Kẻ các đường cao hạ từ các đỉnh B, C và làm tương tự ta được:

𝐴𝐵2 = 𝐴𝐵. 𝐶𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝐴𝐵. 𝐶𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵 (3)

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐶. 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝐴𝐶. 𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠𝐶 (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra

𝐵𝐶2 = (𝐴𝐵2 − 𝐴𝐵. 𝐶𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴) + (𝐴𝐶2 − 𝐴𝐶. 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴)

= 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 − 2𝐴𝐵. 𝐴𝐶. 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 22 + 32 − 2.2.3. 𝑐𝑜𝑠60° = 7

Vậy BC = √7 ≈ 2,65.

 Trả lời cho bài toán thực tiễn

Khoảng cách giữa hai thành phố B và C là gần bằng 2,65 km.

Đối với bài toán này, kết quả tính ra được cũng chính là câu trả lời cho bài toán

thực tiễn do mô hình và các kết quả tính toán trung gian không gây mâu thuẫn với

thực tế.

Đối với bài toán này, mặc dù có thể trên thực tế người ta chấp nhận đi đường

vòng mà không xây cầu bắc qua hồ vì có thể do ngân sách nhà nước, nguyên tắc trong

quy hoạch đô thị, … nhưng chúng tôi nhận thấy việc đi một quãng đường 2,65 km so

với quãng đường dài tổng cộng 5 km (gần gấp đôi) là yếu tố khá xác đáng để làm lí

 Các biến và giá trị của biến

 Biến tình huống

 𝑉1: Cách thức làm việc: Làm việc cá nhân, nhóm hay cả lớp

do xây dựng cầu cho bài toán này (giúp tiết kiệm tiền xăng, thời gian đi lại, …)

Chúng tôi chọn làm việc nhóm để phát huy tính đồng đội, tích cực và

quản lí được lớp (đối với pha 1, HS làm việc cá nhân với câu hỏi ôn tập nhằm

tự nhớ lại kiến thức cần thiết trước khi làm việc chung, góp phần tạo hiệu quả

 𝑉2: Đặc điểm số liệu: Góc đã cho có đặc biệt hay không, độ dài cạnh

giải quyết bài toán).

là nguyên hay không nguyên.

Chọn góc đặc biệt và các cạnh nguyên nhằm gây niềm tin vào khả năng

có thể giải được, một mặt chúng tôi đang dạy HS trong quá trình tiếp cận đến

 𝑉3: Góc đã cho và môi trường làm việc

định lí nên không nên gây khó khăn trong tính toán.

 𝑉31: Góc đã cho không đặc biệt và không dùng máy tính bỏ túi

Khó tính ra kết quả cụ thể được

 𝑉32: Các trường hợp còn lại

Tính được kết quả cụ thể. Tạo niềm tin vào khả năng giải quyết bài toán

Chúng tôi chọn biến 𝑉32 và cụ thể là: góc đã cho đặc biệt, được dùng máy

 Ở đây không có biến dạy học

 Cái có thể quan sát được

 Về mô hình toán học:

tính bỏ túi.

Mô hình toán học ở đây khá đơn giản nên chúng tôi cho rằng HS cơ bản

sẽ thiết lập được hình tam giác cùng các yếu tố về góc và cạnh. Trong thực

hành thì bước mô hình trung gian thường không được tách ra riêng biệt mà đã

 Giải mô hình toán học:

nằm trong mô hình toán học.

Thường thì khi bài toán cho số liệu cụ thể, thao tác thế số vào ngay biểu thức có

 𝑺𝑻𝑽𝑯: Học sinh trình bày như trong lời giải 1, lời giải 2 ở trên

thể được thực hiện. Do đó chúng tôi dự kiến HS có thể trình bày như sau:

Tuy nhiên, chúng tôi cho rằng HS rất khó nghĩ đến chiến lược này do đặc điểm:

một bên là bài toán hình học tổng hợp mang những dáng dấp mà HS đã học ở cấp 2

và một bên là phương pháp thiên về vectơ. Các vấn đề này rất khó gắn kết với nhau

và là phương pháp mới đối với HS.

 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐:

 Lời giải 1: Tính BH theo định lí Py – ta – go trong tam giác nhỏ ABH

Kẻ BH  AC (H  AC)

Xét tam giác vuông BHC, ta có:

60°

𝐵𝐶2 = 𝐵𝐻2 + 𝐻𝐶2 (1)

H

Ta có: AH = 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60° = 2.

1 2 = 1  HC = AC – AH = 3 − 1 = 2 (2)

Xét tam giác vuông BHA: 𝐵𝐻2 = 𝐴𝐵2 − 𝐴𝐻2 = 22 − 1 = 3 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 𝐵𝐶2 = 3 + 22 = 7

Vậy 𝐵𝐶 = √7.

Theo chúng tôi, HS sẽ giữ nguyên đáp án là √7 chứ không quy đổi tiếp

thành xấp xỉ một số thập phân do đề bài không yêu cầu.

 Lời giải 2: Tính BH theo 𝑠𝑖𝑛60° trong tam giác nhỏ ABH

Kẻ BH  AC (H  AC)

Xét tam giác vuông BHC, ta có: 𝐵𝐶2 = 𝐵𝐻2 + 𝐻𝐶2 (1)

Ta có: AH = 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60° = 2.

1 2 = 1  HC = AC – AH = 3 − 1 = 2 (2)

√3 2

𝐵𝐻 = 𝐴𝐵. 𝑠𝑖𝑛60° = 2. = √3 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 𝐵𝐶2 = 3 + 22 = 7

Vậy 𝐵𝐶 = √7.

Dự đoán nhiều khả năng HS cũng sẽ thực hiện chiến lược này nhưng là

kẻ đường cao từ đỉnh C và làm tương tự.

Với 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐, chỉ cần HS tạo dựng tam giác vuông, định lí Py – ta – go

quen thuộc kết hợp với tỉ số lượng giác của góc nhọn và lần lượt thử các giá

trị lượng giác sin, cos, tan, … thích hợp sẽ cho ra lời giải đúng.

Chiến lược này gần gũi và nằm trong khả năng của HS.

 Với việc thế số vào ngay các bước biển đổi như vậy mà không để đến

bước cuối cùng như lời giải mà chúng tôi đưa ra trong phần chiến lược, nếu đa

số HS làm theo chiến lược này thì việc thể chế hóa định lí côsin sẽ mất thêm

thời gian hơn một chút vì cần phải quay lại các bước tính từng đoạn thẳng

thành phần ban đầu để thế các đoạn thẳng đó trở lại biểu thức tính BC cuối

 𝑺𝑳𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒄:

cùng.

Như lời giải nêu ở phần chiến lược, sau khi đã phân tích

BC = BH + HC = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠𝐶 thì thao tác nhân

hai vế của đẳng thức này cho BC là rất khó được tính

đến. Hơn nữa, còn phải tiếp tục xây dựng kết quả cho hai

cạnh AB, AC.

Một trở ngại khác là sau khi viết BC = BH + HC, HS có thể đi tính riêng

từng BH, HC nhưng gặp bế tắc khi biểu diễn BH, HC theo các cạnh và góc có

số liệu (ví dụ 𝐵𝐻 = 𝐴𝐵. 𝑠𝑖𝑛𝐵𝐴𝐻̂ = 2. 𝑠𝑖𝑛𝐵𝐴𝐻̂ , 𝐻𝐶 = 𝐴𝐶. 𝑠𝑖𝑛𝐶𝐴𝐻̂ =

3. 𝑠𝑖𝑛𝐶𝐴𝐻̂  𝐵𝐶 = 2. 𝑠𝑖𝑛𝐵𝐴𝐻̂ + 3. 𝑠𝑖𝑛𝐶𝐴𝐻̂ = ?, …)

Với những sự phức tạp trên, chúng tôi đoán rằng chiến lược 𝑺𝑳𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒄

khó xảy ra.

Như vậy chiến lược xảy ra nhiều nhất với HS mà chúng tôi dự kiến là

𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐. Còn lại 𝑺𝑻𝑽𝑯 và 𝑺𝑳𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒄 sẽ là các chiến lược khó xảy ra.

Với mục tiêu HS có thể tìm ra được định lí côsin thông qua việc giải bài toán

mở đầu này, chúng tôi không đặt ra yêu cầu HS phải tìm ra định lí theo kiến thức tích

 Câu trả lời cho bài toán thực tiễn là kết quả của bài toán toán học.

vô hướng hay kiến thức nào khác. Đích đến là định lí côsin.

2.2.2. Bài toán 1

 Mô hình trung gian

Các vị trí như Đồng Hới, vị trí bẻ lái, Hải Phòng

được mô phỏng bởi các điểm. Các đường bay được giả

sử là các đoạn thẳng. Mô hình được thiết lập có chứa

tam giác.

 Mô hình toán học (có các yếu tố vật lí đan xen)

DH = 375

DU = 800. 0,14 = 112 (do 𝑡𝐷𝑈 = 8 phút 24 giây = 0,14

giờ, 𝑣𝐷𝑈 = 800 km/h, chuyển động thẳng đều trên mỗi đoạn

đường)

𝐻𝐷𝑈̂ = 45°

1 km : 3,5 lít xăng, 1 lít xăng : 86 000 đ

a, (DU + UH – DH).3,5.86000 = ?

b, 𝐻𝑈𝑖 ̂ = ?

c, 𝑣𝑈𝐻 = ?

 Giải mô hình toán học

 Chiến lược “đường gấp khúc” 𝑺𝑫𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒂𝒑𝒌𝒉𝒖𝒄

Câu a:

Lời giải 1: Tính số km đường đi bị dư rồi nhân với lượng xăng tiêu thụ

(l/km) và giá tiền (đ/l)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác HUD, ta có:

𝐻𝑈 = √𝐷𝑈2 + 𝐷𝐻2 − 2. 𝐷𝑈. 𝐷𝐻. 𝑐𝑜𝑠𝐻𝐷𝑈̂

= √1122 + 3752 − 2.112.375. 𝑐𝑜𝑠45° ≈ 306,22

Độ dài quãng đường dư so với lộ trình ban đầu là:

(𝐷𝑈 + 𝑈𝐻) – 𝐷𝐻 = (112 + 306,22) − 375 = 43,22 (km)

Do đó số tiền lỗ mà hãng hàng không Vietnam Airlines phải chịu là:

43,22. 3,5. 86000 = 13009220 ≈ 13 triệu vnđ.

Lời giải 2: Tính số tiền phải bỏ ra khi đi theo đường gấp khúc DUH và

số tiền phải bỏ ra khi đi thẳng từ D đến H rồi trừ đi cho nhau (hoặc tính lượng

xăng tiêu tốn khi đi theo đường gấp khúc và đi theo đường thẳng rồi trừ đi cho

nhau, sau đó nhân với giá tiền (đ/l))

Kết quả cho ra giống lời giải 1.

 Chiến lược “định lí côsin” 𝑺𝑫𝒍𝒄𝒐𝒔𝒊𝒏

Câu b:

Lời giải 1: Xác định 𝐻𝑈𝑖 ̂ là góc cần tìm

Áp dụng định lí côsin trong tam giác HUD, ta có:

𝑐𝑜𝑠𝐻𝑈𝐷̂ = ≈ – 0,5

=

𝐻𝑈2 + 𝐷𝑈2 − 𝐻𝐷2 2.𝐻𝑈.𝐷𝑈

306,222 + 1122 − 3752 2. 306,22. 112

 𝐻𝑈𝐷̂ ≈ 120°

 𝐻𝑈𝑖 ̂ ≈ 60°

Vậy phi công cần bẻ lái một góc 60° so với hướng bay ngay lúc đó.

Lời giải 2: Xác định 𝐻𝑈𝐷 ̂ là góc cần tìm

𝐻𝑈𝐷̂ ≈ 120°

Vậy phi công cần bẻ lái một góc 120° so với hướng bay ngay lúc đó.

 Chiến lược “hiệu thời gian” 𝑺𝑯𝒊𝒆𝒖𝒕𝒉𝒐𝒊𝒈𝒊𝒂𝒏

Câu c:

375

Lời giải

=

800

15 32

𝐷𝐻 𝑣𝐷𝐻

Thời gian đi từ D đến H theo lộ trình ban đầu là: 𝑡𝐷𝐻 =

263

giờ

15 32 − 0,14 =

800

263

Để đến H kịp thời điểm thì 𝑡𝑈𝐻 = 𝑡𝐷𝐻 − 𝑡𝐷𝑈 =

= 306,22 :

≈ 931,5 km/h.

800

𝑈𝐻 𝑣𝑈𝐻

 𝑣𝑈𝐻 =

Vậy vận tốc mới của máy bay trên quãng đường từ lúc bẻ lái đến Hải

Phòng là 931,5 km/h.

 Trả lời cho bài toán thực tiễn:

Trình bày sau lời giải của các chiến lược như ở trên và kết quả tính ra

 Các biến và giá trị của biến

 Biến tình huống

 𝑉1: Cho các hướng Đông – Tây – Nam – Bắc vào hay

được cũng chính là câu trả lời cho bài toán thực tiễn.

không

 𝑉11: Cho: Dễ xác định đúng hướng Tây Bắc

 𝑉12: Không cho: Có thể xác định hướng Tây Bắc nhầm sang các hướng

khác

 𝑉2: Cho bản đồ minh họa các địa điểm hay không

Chọn biến 𝑉11 để HS sử dụng đúng kiến thức địa lí.

 𝑉21: Cho: Định vị chắc chắn khi đi từ Đồng Hới đến Hải Phòng theo

hướng Nam – Bắc sẽ có phương song song với kinh tuyến. Ngoài ra tạo sự hấp

dẫn và sinh động cho bài toán

 𝑉22: Không cho: Dễ gây hiểu lầm đi theo hướng Nam – Bắc nghĩa là

“đi từ miền Nam ra miền Bắc không song song theo kinh tuyến”

 𝑉3: Cách thức làm việc: Làm việc cá nhân, nhóm hay cả lớp

Chọn biến 𝑉21.

 Tình huống này không có biến dạy học

 Cái có thể quan sát được

 Mô hình toán học:

Chúng tôi chọn làm việc nhóm với cùng mục đích với bài toán mở đầu.

Khi đã cho các hướng Đông – Tây – Nam – Bắc cùng bản đồ minh họa

vào thì bước thiết lập mô hình toán học sẽ không quá khó khăn với HS. Nhưng

chúng tôi dự đoán ở HS sẽ xuất hiện những mô hình như kiểu không vẽ đúng

tỉ lệ các cạnh trong tam giác, hoặc không cần vẽ chính xác góc 45°, ví dụ như:

(Do giữa hai cạnh giả thiết 375 và 112 không dễ nhìn ra được số lần gấp

của nhau. Cho dù HS bấm máy để chia thì kết quả ra số vô tỉ rất xấu).

 Giải mô hình toán học

Điều này không làm ảnh hưởng đến kết quả bài toán.

Câu a:

Chúng tôi cho rằng HS sẽ áp dụng được định lí côsin vào giải quyết câu

hỏi a vì chuyển động trong bài toán là chuyển động đều đơn giản.

Hai lời giải trong 𝑺𝑫𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒂𝒑𝒌𝒉𝒖𝒄 đều có thể xảy ra. Tuy lời giải 1 gọn

gàng hơn lời giải 2 nhưng lời giải 2 cho thấy rất rõ suy nghĩ ban đầu của người

giải khi đọc câu hỏi này và HS có thể ngay lập tức thực hiện theo.

Về mặt trình bày kết quả, có thể dự kiến HS ra những kết quả khác nhau

nhưng xấp xỉ 13 triệu vì nó phụ thuộc vào cách làm tròn ở bước tính ra UD.

Câu b:

Mặc dù chúng tôi không thể chế thành hệ quả thì khả năng HS sử dụng

định lí côsin vào tìm góc khi đã biết ba cạnh từ câu a là có thể.

Câu hỏi đặt ra: “Góc phi công cần bẻ lái ở trên là bao nhiêu so với hướng

bay ngay lúc đó” cần phải có kiến thức về góc giữa hai vectơ để giải quyết.

Chúng tôi in nghiêng chữ “hướng” để gợi nhắc cho HS lưu ý tới vấn đề này.

Nhưng cũng không loại trừ HS không để ý và vẫn cho kết quả là 120° (tức lời

giải 2 trong 𝑺𝑫𝒍𝒄𝒐𝒔𝒊𝒏).

Vậy nên chúng tôi dự đoán hai lời giải này đều có thể tồn tại ở HS.

Câu c:

Đây là câu hỏi vật lí không khó và theo chúng tôi HS sẽ làm được.

Kết quả câu a là dữ liệu để giải câu hỏi này. Do đoạn UH là làm tròn nên

vận tốc tìm được cũng có thể cho ra kết quả khác nhau xoay quanh giá trị

931,5.

 Kết quả tính ra được cũng là câu trả lời cho bài toán thực tiễn.

2.2.3. Bài toán 2

 Mô hình toán học

OA = 4

AB = 12

a, Biểu diễn OB

theo 𝐴𝑂𝐵̂

b, Tính chiều dài

quãng đường B đi được khi OA quay hết một vòng.

 Giải mô hình toán học

 Chiến lược “định lí côsin” 𝑺𝑫𝒍𝒄𝒐𝒔𝒊𝒏:

Câu a:

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB:

𝐴𝐵2 = 𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 − 2. 𝑂𝐴. 𝑂𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑂𝐵̂

 122 = 42 + 𝑂𝐵2 − 2.4. 𝑂𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑂𝐵̂

 𝑂𝐵2 − 2.4. 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑂𝐵̂ . 𝑂𝐵 − 128 = 0

 𝑂𝐵 = 4𝑐𝑜𝑠𝐴𝑂𝐵̂ + √16 cos2 𝐴𝑂𝐵̂ + 128 hoặc 𝑂𝐵 = 4𝑐𝑜𝑠𝐴𝑂𝐵̂ −

√16 cos2 𝐴𝑂𝐵̂ + 128

Sau khi ra hai biểu thức, cần phải lưu ý OB luôn dương vì điểm O và pít tông B

trong thực tế không chạm nhau. Vì vậy biểu thức 𝑂𝐵 = 4𝑐𝑜𝑠𝐴𝑂𝐵̂ −

loại và nhận biểu √16 cos2 𝐴𝑂𝐵̂ + 128 sẽ bị thức 𝑂𝐵 = 4𝑐𝑜𝑠𝐴𝑂𝐵̂ +

√16 cos2 𝐴𝑂𝐵̂ + 128 là câu trả lời cho bài toán thực tế.

 Chiến lược “ba điểm thẳng hàng” 𝑺𝟑𝒅𝒊𝒆𝒎𝒕𝒉𝒂𝒏𝒈𝒉𝒂𝒏𝒈:

Câu b:

Xét A ở các vị trí đặc biệt để ba điểm A, O, B thẳng hàng, từ đó tìm ra độ dịch

chuyển của B bằng cách thực hiện phép cộng, trừ thích hợp

Lời giải 1:

Gọi d là quãng đường đi được

của B khi A đi từ 𝐴1 đến 𝐴2 một

lần.

Ta có:

d = 𝑂𝐴1 + 𝐴1𝐵1 − 𝑂𝐵2

= 𝑂𝐴1 + 𝐴1𝐵1 − (𝐴2𝐵2 − 𝑂𝐴2)

= 𝑂𝐴1 + 𝐴1𝐵1 − 𝐴2𝐵2 + 𝑂𝐴2

= 2. 𝑂𝐴1 = 2. 4 = 8

Khi A đi từ 𝐴2 đến 𝐴1 một lần, B cũng đi được một quãng đường là d = 8

Vậy khi OA quay hết một vòng thì pít tông đi được quãng đường là 2d = 16 cm.

Lời giải 2:

Gọi giao điểm của OB với

đường tròn là E và F như hình.

Ta có OF = OE = 4.

Khi Khi A ≡ F thì ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA + AB = OB

 OB = 4 + 12 = 16 (1)

Khi Khi A ≡ E thì ba điểm O, A, B thẳng hàng và AO + OB = AB

 OB = AB – AO = 12 – 4 = 8 (2)

Từ (1), (2)  Khi A đi từ F đến E một lần thì B đi được một đoạn là 16 – 8 = 8

cm (vì O cố định) (3)

Tương tự, khi A tiếp tục đi từ E đến F một lần thì B cũng đi được một đoạn là 8

cm (4)

Từ (3), (4)  Khi A đi hết một vòng tròn thì B đi được một quãng đường là 8

+ 8 = 16 cm.

 Chiến lược “tính giá trị biểu thức” 𝑺𝑻𝒊𝒏𝒉𝒈𝒊𝒂𝒕𝒓𝒊𝑩𝑻:

Sử dụng kết quả câu a. Từ các vị trí đặc biệt của A mà suy ra góc 𝐴𝑂𝐵̂ tương

ứng tại thời điểm đó, rồi thế vào biểu thức câu a để tìm được giá trị OB. Từ đó tìm ra

quãng đường đi được của B

Xét 𝑂𝐵 = 4𝑐𝑜𝑠𝐴𝑂𝐵̂ + √16 cos2 𝐴𝑂𝐵̂ + 128 (*) ở câu a, kết hợp với máy tính

bỏ túi để tính khoảng cách OB ở các vị trí đặc biệt:

Ta có 0° ≤ 𝐴𝑂𝐵̂ ≤ 180°.

Gọi giao điểm của OB với đường tròn là E và F như hình.

 A ≡ F thì 𝐴𝑂𝐵̂ = 0°, thế vào (*) và dùng máy tính tính được OB = 16

 A ≡ E thì 𝐴𝑂𝐵̂ = 180°, thế vào (*) và dùng máy tính tính được OB = 8

Sau đó lập luận như lời giải của 𝑺𝟑𝒅𝒊𝒆𝒎𝒕𝒉𝒂𝒏𝒈𝒉𝒂𝒏𝒈 để ra được quãng đường B đi

được là 16 m.

Câu kiến thức thêm:

Trở lại lời giải 1 trong 𝑺𝟑𝒅𝒊𝒆𝒎𝒕𝒉𝒂𝒏𝒈𝒉𝒂𝒏𝒈 câu b, khi A đi được nửa đường tròn (từ

E đến F) thì B đi được gấp đôi bán kính của đường tròn, vị trí đầu và vị trí cuối của

B lần lượt trùng với vị trí gần O nhất và xa O nhất. Vì thế, chiều dài hành trình của

pít tông là 2R với R là bán kính đường tròn.

 Ở câu b và câu kiến thức thêm, kết quả tính ra được là câu trả lời cho bài toán thực

 Các biến và giá trị của biến, sự lựa chọn giá trị của biến và ảnh hưởng của nó

tiễn. Ở câu a, HS có cơ hội xem xét kết quả với thực tế để kết luận.

 Biến tình huống

đến các chiến lược

𝑉1: Cách thức làm việc: Làm việc cá nhân, nhóm hay cả lớp

Chúng tôi chọn làm việc nhóm với cùng mục đích với bài toán mở đầu.

 Không có biến dạy học

 Cái có thể quan sát được

 Mô hình toán học:

Mô hình toán học ở đây không nhất thiết phải vẽ đường tròn vào. Chúng tôi cho

 Giải mô hình toán học:

rằng HS sẽ lập được mô hình tam giác với hai cạnh và một góc đối.

Câu a:

Chúng tôi dự đoán ban đầu HS sẽ phân vân khi các thông tin đã biết không thuộc

trường hợp hai cạnh và một góc xen giữa. Tuy nhiên, hoạt động nhóm tạo điều kiện

cho các thành viên được hỗ trợ nhau, cùng tìm tòi, thử sai và cuối cùng sẽ xác định

đúng đối tượng để áp dụng định lí côsin.

Yêu cầu “biểu diễn khoảng cách OB theo 𝐴𝑂𝐵̂ ” trong bài có thể làm HS cuốn

theo cách giải bài toán thuần túy và sau đó quên đi mất điều kiện thực tế của OB.

Nhiều khả năng HS sẽ giữ nguyên cả hai kết quả mà không xem xét gì hết. Khi đó,

thiếu sót này sẽ là cơ hội cho chúng tôi để chỉ ra tầm quan trọng của bước trả lời câu

hỏi thực tế cho HS.

Câu b:

Do sự xảy ra độc lập với câu a và tính dễ hình dung của nó, chúng tôi tiên đoán

𝑺𝟑𝒅𝒊𝒆𝒎𝒕𝒉𝒂𝒏𝒈𝒉𝒂𝒏𝒈 sẽ là chiến lược được nhiều HS lựa chọn. Cụ thể hơn, lời giải 1 có

thể xuất hiện nhiều nhất vì khoảng cách giữa hai vị trí của B lúc pít tông co và đẩy ra

hết cỡ dễ tính được trực tiếp hơn so với lời giải 2.

Câu kiến thức thêm: Học sinh có thể giải câu này từ câu b (trích ra kết quả quãng

đường đi được của B khi A đi được nửa đường tròn) hoặc chỉ cần dùng suy luận trực

quan: Xét A đang ở vị trí I, nếu pít tông co hết cỡ thì B bị hụt đi một đoạn bằng bán

kính, mặt khác khi pít tông đẩy ra hết cỡ thì B di chuyển ra ngoài một đoạn cũng bằng

bán kính. Vì vậy quãng đường pít tông đi được từ vị trí gần O nhất đến vị trí xa O

nhất là bằng 2R, hay hành trình của pít tông là 2R.

 Câu trả lời cho câu b, câu kiến thức thêm cũng chính là kết quả

tính toán được.

2.3. PHÂN TÍCH HẬU NGHIỆM

Thực nghiệm được tiến hành trên 24 HS của lớp 10 Lí trường THPT chuyên

Lương Thế Vinh tỉnh Đồng Nai, năm học 2018 – 2019. Các HS có trình độ khá về

toán. Vì lí do khách quan về thời gian, chúng tôi buộc chọn thời điểm thực nghiệm là

vào cuối tháng 8 (đầu năm học lớp 10) nên khi đó, vectơ gắn với hệ trục tọa độ và

tích vô hướng chưa được giới thiệu tới. HS mới chỉ biết các khái niệm về vectơ như

hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau, vectơ không, tổng và hiệu của hai

vectơ.

 Phiếu cá nhân ôn lại kiến thức của mỗi HS.

 Bài làm trên giấy roki, giấy nháp và biên bản thảo luận nhóm của các nhóm.

 File ghi âm bài giảng của GV.

Dữ liệu thu được gồm:

Với số lượng 24 HS, chúng tôi chia lớp thành 6 nhóm, mỗi nhóm 4 HS.

 Về kết quả bài toán

 Bài toán mở đầu:

2.3.1. Những ghi nhận tổng quát

Trong 6 nhóm thì có 5 nhóm cùng tìm ra đáp số là √7, một nhóm còn lại chưa

 Bài toán 1:

ra kết quả và chưa trình bày thành lời giải.

Có 5 nhóm đã đưa ra lời giải và đáp án cho cả 3 câu a, b, c. Chỉ còn 1 nhóm thì

chưa trình bày câu c.

Bảng 2.2. Đáp số các nhóm trong bài toán 1

Đáp số Câu a Câu b Câu c

Nhóm 1 13 009 220 đ 931,5 km/h 120°

Nhóm 2 13 003 200 đ Chưa giải 74°

Nhóm 3 13 009 822 đ 931,4 km/h 74°58′

Nhóm 4 12 943 000 đ 892 km/h 120°

Nhóm 5 13 001 000 đ 931,5 km/h 120°

 Bài toán 2:

Nhóm 6 12 943 000 đ 931 km/h 74°58′

Ở câu a, có năm nhóm đưa ra kết quả, một nhóm còn lại chưa giải xong.

 Về các bước giải bài toán mô hình hóa: Bước 1, 2 thường không tách rời mà

Đối với câu b, chỉ có hai nhóm đưa ra kết quả, bốn nhóm còn lại chưa trình bày.

được biểu diễn một lần thành bước 2 – tức lập mô hình toán học. Điều này hết

sức tự nhiên do các mô hình toán học ở đây không quá phức tạp để đòi hỏi

phải tạo lập mô hình trung gian trước.

 Pha 1: Ôn tập, giới thiệu bài toán mở đầu

2.3.2. Phân tích chi tiết

Chúng tôi xây dựng phiếu ôn lại kiến thức ở pha mở

đầu như sau:

“Em hãy viết các tỉ số lượng giác của góc C”

Như đã nói, tích vô hướng chưa được dạy ở thời điểm

này nên chúng tôi quyết định chọn tri thức để ôn tập liên quan đến 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐,

𝑺𝑳𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒄. Mục tiêu ban đầu là HS tìm ra định lí côsin qua sự dẫn dắt của GV nên

HS sử dụng chiến lược nào để tìm ra kết quả bài toán cũng đều được khuyến khích.

Ở pha này, phiếu ôn lại kiến thức được phát cho mỗi HS làm cá nhân. Kết quả

thu được là cả 24 HS đều làm tốt hoạt động này:

(PL1)

Như vậy, các HS đều đã nhớ lại công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn, tạo

cơ sở cho các chiến lược giải trong bài toán tiếp theo.

Ngay sau đó GV giới thiệu bài toán mở đầu tới 6 nhóm, hướng dẫn quy trình

thực hiện thảo luận, viết biên bản, phổ biến cuộc thi cho các nhóm, nhóm nào có số

lượng bài toán làm đúng nhiều nhất và nhanh nhất trong 3 vòng tới tương ứng với 3

 Pha 2: Thảo luận nhóm giải bài toán mở đầu

bài toán sẽ là nhóm thắng cuộc.

+ Mô hình toán học: Mô hình toán học từ một số nhóm

(PL5) (PL8) (PL6)

Chỉ có một nhóm làm trực tiếp mà không trình bày mô hình toán học. Các nhóm

còn lại đều thực hiện bước này tương đối tốt (theo cách vẽ tượng trưng, đa số không

tuân theo tỉ lệ các cạnh)

+ Giải mô hình toán học:

Chiến lược của mỗi nhóm như sau:

Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4 Nhóm 5 Nhóm 6

Chưa có 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 𝑺𝑻𝑽𝑯 lời giải

Như vậy chiến lược 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 đã xuất hiện nhiều nhất đúng như dự kiến (4/6

nhóm, chiếm tỉ lệ 66,67%). Với bốn nhóm 1, 2, 3, 5 này, lời giải có sự khác nhau

nhưng thực chất vẫn là tổ hợp của các cách tính đường cao và việc kẻ đường cao từ

các đỉnh. Có thể phân loại cách giải của 4 nhóm này như sau:

Cách tính đường cao

Dùng Pytago trong tam giác vuông nhỏ Dùng 𝑠𝑖𝑛60° trong tam giác vuông nhỏ Kẻ đường cao từ đỉnh

B Nhóm 3

C Nhóm 5 Nhóm 1, nhóm 2

(xem chi tiết trong PL5, PL6, PL8)

4 nhóm đều thế số vào ngay mỗi bước khi có thể tính ra kết quả nên khi thể chế

hóa định lí côsin chúng tôi sẽ phải mất thêm thời gian như trong tiên đoán.

Một minh họa:

(PL6)

 𝑺𝑻𝑽𝑯 xuất hiện ở nhóm 4 (PL7):

Khi được hỏi tại sao em biết dùng cách này trong khi toán hình trên lớp chưa

học đến tích vô hướng thì câu trả lời nhận được là “em đã đọc bài trước rồi” (protocole

74). Lúc đầu nhóm 4 đã kẻ đường cao BH để tính đến chiến lược 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐, nhưng chưa

chứng minh được nên nhóm đã quyết định dùng đến 𝑺𝑻𝑽𝑯.

 Việc không có lời giải ở nhóm 6 có thể được lí giải qua phần nháp và

protocole:

× Ban đầu nhóm 6 có bạn đã kẻ đường cao từ góc 60° (PL10):

Để giải được theo cách vẽ này, HS phải sử dụng 𝑺𝑳𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒄. Với những khó

khăn về 𝑺𝑳𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒄 như phân tích ở trên, HS đã bị mất một khoảng thời gian đáng kể

cho chiến lược này mà không ra được kết quả.

× Nhóm 6 bắt đầu thay đổi chiến lược sang một chiến lược khác. Có lẽ nhắm

đến 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 nhưng không còn kịp thời gian để viết. Manh mối trong protocole và bài

giải giấy roki:

(Protocole 56 – 62, PL28)

(PL9)

 Như vậy:

𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 là chiến lược phổ biến nhất với HS. Sản phẩm trình bày cho thấy HS ưu

tiên viết kết quả dưới căn.

Về vấn đề mô hình hóa:

× Lập mô hình toán học: Bước đầu từ bài toán thực tế, HS đã biết biểu diễn các

địa điểm thành các điểm, các con đường trở thành các đoạn thẳng trong mặt phẳng,

áp các dữ kiện đề bài vào mô hình trung gian để tạo thành mô hình toán học đầy đủ

và đã biết mình cần phải tìm gì.

× Giải mô hình toán học: Kết quả cho thấy kĩ năng giải bài toán thuần túy ở HS

là khá tốt.

× Trả lời cho bài toán ban đầu: Với tình huống này, câu trả lời cho bài toán ban

đầu là kết quả tính ra được mà không cần phải xem xét hay loại trừ. Do đó, ngoại việc

HS không viết ra kết luận theo lời văn (khoảng cách giữa hai thành phố B và C là

√7 𝑘𝑚) thì không có chi tiết nào khác để chúng tôi nhận xét về bước này.

 Pha 3: Tìm ra tri thức cần giảng dạy

Như vậy, đa số HS đã có thể giải quyết được bài toán mở đầu.

Cả lớp cùng theo dõi sản phẩm của các nhóm, nhận xét, GV điều khiển lớp. Và

để HS nhận ra được mình đã có thể tìm thấy kiến thức mới thì GV tiếp tục thực hiện

công việc thể chế hóa:

GV chỉ ra cho HS từ hệ thức 𝐵𝐶 =

√𝐵𝐻2 + 𝐻𝐶2 mà HS vừa xây dựng, tiếp tục

thay 𝐵𝐻2 = 𝐴𝐵2 − 𝐴𝐻2 như các em đã làm,

thay 𝐻𝐶2 = (𝐴𝐶 − 𝐴𝐻)2 và sau đó khai triển

hằng đẳng thức này ra, rút gọn biểu thức, thay

𝐴𝐻 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠60°, cuối cùng được 𝐵𝐶 = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 − 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60°

Kế tiếp, GV treo bảng dạy học đã vẽ sẵn ba hình tam giác nhọn, tù, vuông có tên và

góc. GV đặt tên các cạnh theo góc đối diện và yêu cầu HS viết lại hệ thức vừa tìm

theo các tên gọi mới này, bình phương hai vế và ra được

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴.

(Protocole 82 – 97; PL29, PL30)

GV lấy ví dụ về các trường hợp tam giác tù góc 120°, tam giác vuông trong

bảng trên cho HS và kết quả là định lí vẫn đúng:

Trường hợp tam giác tù cũng kẻ đường cao xuống và cách làm gần giống với

trường hợp tam giác nhọn. Đến bước cần biểu diễn 𝑐𝑜𝑠60° theo 𝑐𝑜𝑠120°, GV cho

HS bấm máy tính 𝑐𝑜𝑠120° để tìm ra mối liên hệ với 𝑐𝑜𝑠60° (do thời điểm thực

nghiệm này HS chưa học đến bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt từ 90° đến

120°). Cuối cùng vẫn cho ra hệ thức như đối với tam giác nhọn.

Trường hợp tam giác vuông, GV yêu cầu HS viết hệ thức xây dựng vừa rồi

nhưng áp dụng cho góc vuông, sau đó cho HS bấm máy tính tính 𝑐𝑜𝑠90° và hệ thức

trở thành định lí Py – ta – go.

(Protocole 98 – 112, PL30)

(PL24)

Cuối cùng, GV cho HS ghi định lí côsin vào vở như trong bảng dạy học:

(PL24)

Sau khi được giới thiệu về định lí côsin, GV cho HS làm bài toán 1 và bài toán

2 để kiểm tra xem HS đã vận dụng định lí côsin vào giải quyết vấn đề thực tế như thế

nào.

Tuy nhiên, trong bài 1 có câu hỏi b liên quan đến kiến thức về góc giữa hai vectơ

– một khái niệm mà HS chưa học đến vào thời điểm thực nghiệm này. Nên trước khi

vào bài toán 1, GV đã giảng sơ lược cho HS khái niệm góc giữa hai vectơ (Protocole

 Pha 4: Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn

 Bài toán 1:

117 – 121, PL31).

+ Về mặt mô hình toán học:

Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3

Nhóm 4 Nhóm 5 Nhóm 6

(PL11, PL12, PL13, PL14, PL15, PL17)

Như vậy hầu hết các nhóm đều thiết lập mô hình một cách tương đối như trong

phân tích tiên nghiệm. Trong đó: nhóm 2 hơi bất thường khi để xoay mô hình nằm

ngang, nhóm 3 và 5 vẽ chi tiết nhất khi cả hai cùng vẽ đường pháp tuyến với đường

bay ban đầu để chia đều hai góc 45°. Nhóm 3 biết vẽ đường đứt đoạn hướng Tây Bắc

để chỉ máy bay không đi thẳng nữa mà rẽ theo đoạn CB. Chúng tôi đánh giá cao nhóm

5 vì đã mô tả hướng chuyển động của máy bay bằng các vectơ, cho thấy nhóm 5 nắm

được vai trò của vectơ và sử dụng vectơ vào biểu diễn hiện tượng thực tế. Điều này

cũng tạo thuận lợi cho việc trả lời câu hỏi b.

+ Giải mô hình toán học:

Câu a:

Phân loại lời giải của các nhóm:

Lời giải 1 Lời giải 2 𝑺𝑫𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒂𝒑𝒌𝒉𝒖𝒄

Nhóm 2, 3, 5, 6 1, 4

(xem chi tiết trong PL11 – PL17)

Điều này cho thấy lời giải 1 chiếm ưu thế hơn lời giải 2. Chứng tỏ nhiều nhóm

biết phân tích vấn đề một cách sâu sắc và tìm được cách trình bày ngắn gọn.

Cả 6 nhóm đều đưa ra đáp số xấp xỉ 13 triệu. Sự khác nhau là do chọn vị trí chữ

số thập phân cần làm tròn khác nhau của đoạn DU:

Giá trị DU Đáp số

Nhóm 1 306,22 → 13 009 220 đ

Nhóm 2 306,2 → 13 003 200 đ

Nhóm 3 306,222 → 13 009 822 đ

Nhóm 4 306 → 12 943 000 đ

Nhóm 5 306,222 → 13 001 000 đ

Nhóm 6 306 → 12 943 000 đ

Nếu nhóm 5 làm tròn như nhóm 3 thì kết quả ra được phải giống nhóm 3, nhưng

nhóm tiếp tục làm tròn thành giá tiền 13 triệu 1 nghìn đồng (lúc đầu nhóm 5 ghi dư

một số 0 là 130010000 nhưng sau đó đã sửa lại là 13 001 000) (Protocole 206, PL34).

Vậy, tất cả các nhóm đã biết vận dụng định lí côsin để giải quyết câu a.

Câu b:

Chúng tôi dự kiến hai đáp số 120° và 60° đều có thể xuất hiện nhưng kết quả

thực tế cho thấy chỉ có 3 nhóm ra 120°, 3 nhóm còn lại ra 74°, 74°58′.

Với 3 nhóm ra 120°, cách giải cũng là áp dụng định lí côsin như trong lời giải

2 của 𝑺𝑫𝒍𝒄𝒐𝒔𝒊𝒏 và trình bày vắn tắt. Một ví dụ về câu b của nhóm 1 (PL11):

Với kết quả 74° hoặc 74°58′, cũng là lời giải 2 nhưng các nhóm đã bấm máy

sai nên dẫn đến kết quả sai. Minh họa bài làm nhóm 6 (PL17):

Tiếc là nhóm 5 đã vẽ các vectơ trong mô hình nhưng không chú ý kĩ câu hỏi

nên đã dừng lại ở góc 120° và không tính tiếp.

Như vậy trong câu b không có nhóm nào làm theo lời giải 1 (tức xác định đúng

góc cần tìm).

Sau khi GV sửa bài của các nhóm, mặt tích cực là HS đã hiểu ra vấn đề và đồng

tình với lời giải của GV về việc chọn góc 60° này.

Câu c:

Có 4 nhóm ra kết quả xấp xỉ 931,5, một nhóm ra kết quả 892 và một nhóm chưa

ra. Có thể lí giải sự xuất hiện các đáp số như sau:

Giá trị DU Đáp số Lí giải

Nhóm 1 306,22 → 931,5 km/h Làm tròn đúng

Nhóm 2 306,2 Chưa giải

Nhóm 3 306,222 → 931,4 km/h Làm tròn sai vì kết quả ra 931,47…

Nhóm 4 306 → 892 km/h Hiểu nhầm câu hỏi

Nhóm 5 306,222 → 931,5 km/h Làm tròn đúng

Nhóm 6 306 → 931 km/h Làm tròn đúng

(xem chi tiết trong PL11 – PL17)

Nhóm 4 ra vận tốc nhỏ hơn hẳn so với bốn nhóm khác. Bài làm của nhóm 4 như

sau (PL14):

Từ đây cho thấy nhóm 4 đã hiểu nhầm câu hỏi thành “Để tránh bão nhưng vẫn

đi đến được TP Hải Phòng đúng thời điểm theo lộ trình ban đầu đề ra thì vận tốc mới

của máy bay ở đoạn gấp khúc là bao nhiêu?”. Do đó nhóm 4 nghĩ vận tốc thay đổi

bắt đầu từ điểm A và tính vận tốc mới trên đoạn gấp khúc AC + CB (theo hình của

nhóm). Nếu tinh ý một chút thì nhóm sẽ nhận ra GV chỉ hỏi “tính từ lúc bẻ lái đến

Hải Phòng” là có ý đồ mà từ đó hiểu đúng được câu c.

Nhóm 2 không đủ thời gian trình bày, nhưng trong giấy nháp có cùng cách giải

với nhóm 4:

(PL12)

Câu c nhằm mang lại ý nghĩa nối tiếp cho tình huống thực tế này, ngoài ra giúp

HS ứng dụng kiến thức về chuyển động đều. Định lí côsin không nằm trong mục đích

của câu c. Từ các kết quả cho thấy các nhóm cũng đã giải quyết tương đối tốt câu hỏi

này.

Kết luận: Qua phân tích hậu nghiệm bài toán 1, chúng tôi rút ra được những

điểm sau:

 Lập mô hình toán học:

Học sinh đã biết thiết lập các đường đi của máy bay, xử lí được các dữ

liệu cơ bản ban đầu như xác định đúng góc 45°, đổi thời gian. Như vậy HS

không gặp trở ngại ở bước lập mô hình toán học.

 Giải mô hình toán học:

+ Một số kết quả cho thấy sát với phân tích tiên nghiệm. Tức là HS biết ứng

dụng định lí côsin vào tìm cạnh ở câu a và tìm góc ở câu b cũng như giải được bài

toán chuyển động đơn giản ở câu c.

+ Tiên đoán có thể xuất hiện kết quả 60° đã không xảy ra. Mặc dù chúng tôi đã

giới thiệu cho HS khái niệm góc giữa hai vectơ trước đó nhưng chưa đủ để HS ghi

nhớ.

+ Do kĩ năng bấm máy tính và kĩ thuật làm tròn chưa chính xác nên những kết

quả lạ về góc bẻ lái hay vận tốc mới không có trong dự đoán của chúng tôi.

 Trả lời cho bài toán ban đầu:

 Bài toán 2:

Kết quả tính ra được cũng trùng với câu trả lời cho bài toán ban đầu.

+ Về mặt mô hình toán học:

Có 3 nhóm trình bày mô hình vào bài giải, 3 nhóm còn lại vẽ trong nháp và đề.

Có lẽ do hình ảnh minh họa trong đề như gần với mô hình trung gian nên đã được 2

nhóm tận dụng vẽ vào đề.

Mô hình của các nhóm:

(PL22, PL20, PL21, PL19, PL18, PL20)

Có thể thấy các HS cơ bản đã tạo lập được mô hình tam giác gồm hai cạnh và

một góc đối.

+ Giải mô hình toán học:

Câu a:

Tất cả các nhóm đều sử dụng 𝑺𝑫𝒍𝒄𝒐𝒔𝒊𝒏:

 4 nhóm áp dụng định lí côsin đúng đối tượng, trong đó 3 nhóm cho ra

cùng kết quả với hình thức khác nhau và một nhóm chưa giải xong. Cụ thể:

(rút gọn chưa triệt để)

(PL18)

(rút gọn triệt để nhưng

kết quả dưới viết thiếu số

2 trong số 128)

(PL20)

(rút gọn chưa triệt để)

(PL22)

(giải chưa xong)

(PL21)

Các trường hợp này đều dừng lại kết quả ở đây và không loại nghiệm – điều này

giống như đã dự đoán. Vì vậy, chúng tôi đã dựa vào đó để dạy thêm cho HS về bước

trả lời cho bài toán thực tế: Đó là phải xét dấu của nghiệm OB xem chúng như thế

nào, có phù hợp với thực tế không khi mà vị trí O và pít tông B trong thực tế không

thể chạm nhau. Từ đó các em phải loại đi nghiệm không dương (Protocole 374,

PL42).

 2 nhóm còn lại đọc nhầm góc trong câu hỏi dẫn đến áp dụng không

đúng định lí côsin:

(PL19)

Nhóm 2 đã đặt sai góc 𝛼 là góc 𝑂𝐴𝐵̂ (mô hình thứ nhất trong nháp) và áp dụng

định lí côsin cho cạnh x (cạnh OB)

(PL20)

Nhóm 3 sau một thời gian áp dụng định lí côsin nhầm cho cạnh AB và biến đổi

một loạt các bước thì mới nhận ra đã áp dụng sai đối tượng. Dòng cuối cùng cho thấy

nhóm đã khá rối, sửa lại áp dụng cho cạnh OB nhưng vẫn sai góc và viết không kịp.

Chúng tôi nhận thấy sự bối rối của nhóm 3 khi đứng trước trường hợp tam giác có

“292. AT: Sai sai gì rồi! Cái góc 𝐴𝑂𝐵̂ người ta cho đâu đúng với định lí

hàm số cos? Muốn tính OB phải tính góc 𝑂𝐴𝐵̂ mà đề cho tính OB phải có góc

𝐵𝑂𝐴̂

297. AT: Không phải! Muốn tính OB phải có cos góc này phải không?”

hai cạnh và một góc đối:

(Protocole 292, 297; PL38)

Như vậy:

Bước lập mô hình toán học tương đối ổn ở HS.

4/6 nhóm đã biết ứng dụng định lí côsin linh hoạt để giải câu hỏi a. 2 nhóm còn

lại có sử dụng định lí côsin nhưng chưa xác định đúng đối tượng nên đã làm sai so

với yêu cầu đề bài. Sự áp dụng sai định lí côsin nằm ngoài dự kiến của chúng tôi.

Học sinh chưa chú ý so sánh với điều kiện thực tế ở bước 4.

Câu b:

 Chỉ có hai nhóm đưa ra kết quả. Một sản phẩm của nhóm 1:

(PL18)

Có thể do quá luống cuống mà nhóm 1 đã viết sai biểu thức tính độ dịch chuyển

x. Trong mô hình này, có thể tính x như sau:

x = OA + OB – AB (OA phía dưới, OB phía trên, AB phía dưới)

= OA + (OA + AB) – AB

= 4 + (4 + 12) – 12 = 8

hoặc x = OA + AB – OB (OA, AB phía trên, OB phía dưới)

= OA + AB – (AB – AO)

= 4 + 12 – (12 – 4) = 8.

“HS nhóm 1 nói với nhau về bài của mình:

- Trừ lộn rồi, trừ lộn rồi

- 12 trừ 4

- …”

Protocole 351 cho thấy nhóm đã nhận ra sự nhầm lẫn của mình sau đó:

Nhóm 2 có kết quả tương tự nhưng cách trình

bày gây khó hiểu (PL19):

Từ Protocole nhóm 2 cho thấy nhóm 2 có trao

288. Ha: A! 18!

- Chút nữa nó thụt về

đổi với nhóm 1:

- Ê đúng rồi, 24! (nói với nhóm 1)

- Hồi nãy tưởng cái này là 16.

(Protocole 288, PL38)

Trước đó nhóm 2 đã có hướng làm chính xác nhưng sau đó không giữ vững lập

trường lại trình bày một kết quả khác giống nhóm 1 (PL19):

 4 nhóm còn lại chưa trình bày câu b, chúng tôi chỉ thấy ý tưởng qua

giấy nháp:

Nháp của nhóm 5 (PL22):

Chúng tôi nhận thấy ý định

của nhóm 5 viết hệ thức OB = OA

+ AB khi pít tông đẩy ra hết mức

và OB = AB – OA khi pít tông kéo

vào hết cỡ. Tuy nhiên chưa thấy

tính bước tiếp theo.

Nháp của nhóm 6 (PL23):

100

Lúc đầu nhóm 6 vẽ 2 mô hình

có O chệch nhau, sau đó nhóm để ý

rằng O cố định nên vẽ lại trên cùng

1 trục dọc. Từ đó đã tính được

khoảng cách của pít tông ở hai vị trí

gần O và xa O nhất. Nhóm cũng đã

không kịp viết vào giấy roki.

Thông tin về mạch suy nghĩ của nhóm 3, nhóm 4 chưa được tìm thấy.

Như vậy, 4/6 nhóm đã có ý tưởng sử dụng 𝑺𝟑𝒅𝒊𝒆𝒎𝒕𝒉𝒂𝒏𝒈𝒉𝒂𝒏𝒈, cụ thể là lời giải 1.

Từ các dữ liệu trên chứng tỏ nhiều HS hiểu được vấn đề rằng: chỉ cần tìm quãng

đường B đi được khi A đi nửa đường tròn rồi sau đó nhân 2. Mặc dù chưa ra kết quả,

kết quả sai hoặc chưa kịp trình bày nhưng cũng đã cho thấy HS biết suy luận và tìm

cho mình hướng giải quyết tối ưu.

Câu kiến thức thêm:

Có lẽ vì chúng tôi không đặt đầu câu hỏi là câu c nên HS chỉ hiểu là kiến thức

thêm. Vì vậy đã dành hết thời gian để giải hai câu a và b. Tuy nhiên đây chỉ là câu

hỏi liên kết nhằm giới thiệu cho HS khái niệm hành trình của pít tông là gì nên chúng

tôi không đặt nặng việc giải quyết câu hỏi này.

Từ phân tích hậu nghiệm bài toán 2, chúng tôi có kết luận:

 Bước lập mô hình toán học:

Mô hình toán học khá đơn giản và HS thực hiện được.

 Giải mô hình toán học và trả lời cho bài toán ban đầu:

+ Gần với dự đoán, đa số HS biết sử dụng định lí côsin để giải câu a. Một vài

thắc mắc cũng xuất hiện ở HS khi trường hợp đề bài cho không giống như cách áp

dụng bình thường. Học sinh chưa chú ý đến điều kiện để trả lời cho bài toán thực tế

101

và đó là phần việc GV cần điều chỉnh tới HS. Đối với câu hỏi b, suy nghĩ của nhiều

nhóm đã chọn 𝑺𝟑𝒅𝒊𝒆𝒎𝒕𝒉𝒂𝒏𝒈𝒉𝒂𝒏𝒈 cho cách làm của mình.

+ Điều tiên đoán không xảy ra là các nhóm chưa làm câu hỏi thêm. Cho thấy

chúng tôi cần rút kinh nghiệm trong cách trình bày câu hỏi.

+ Sự áp dụng sai định lí côsin ở một vài nhóm trong câu a nằm ngoài dự kiến

của chúng tôi.

Kết quả của HS cho thấy bài toán 2 này ở mức độ cao hơn so với bài toán 1. Vì

vậy, giải pháp sửa chữa của chúng tôi là có thể tăng thêm thời gian giải bài toán này,

do tính chất lạ của giả thiết (c.c.g) so với nội dung đơn thuần của định lí nên HS cần

 Pha 5: Tổng kết

có nhiều thời gian hơn để suy nghĩ.

 Liệt kê đặc điểm các tam giác mà có thể áp dụng định lí côsin vào (c.g.c

Giáo viên yêu cầu HS:

 Rút ra một số vấn đề trong thực tế mà định lí côsin có thể giải quyết

dùng tính cạnh còn lại, c.c.c dùng tính các góc còn lại)

được (dựa vào những bài toán vừa giải)

(PL25)

Sau đó GV sẽ chốt lại các bước giải một bài toán mô hình hóa cho HS. Cho HS

ghi chú thành bài học.

102

Tuy nhiên, pha 5 diễn ra không được tốt như mong đợi do đó là lúc cuối tiết,

HS thiếu tập trung và tiết sau có tiết kiểm tra môn khác. Lúc này HS không muốn

phát biểu nên GV là người chủ động dẫn dắt, lựa cách hỏi sao cho HS trả lời gần đúng

hoặc hiểu ra vấn đề.

Như vậy, kết quả đánh giá các nhóm được tổng hợp như sau:

Bảng 2.3. Bảng đánh giá tỉ lệ chất lượng các nhóm

Số lượng nhóm làm khá tốt

Câu a Câu b Câu c

Bài toán mở đầu 5/6

Bài toán 1 (a, b, c) 6/6 0/6 4/6

Bài toán 2 (a, b) 4/6 0/6

Tỉ lệ đạt 19/36 ≈ 53%

Câu 1b và 2b các HS đã có chiến lược đúng nhưng câu 1b đã không để ý đến

bài học về góc giữa hai vectơ cũng như câu 2b viết nhầm biểu thức liên hệ giữa các

đoạn thẳng mà dẫn đến kết quả sai. Đây là những kết quả gây tiếc nuối.

Tuy nhiên, mặt tích cực của thực nghiệm là bài toán mở đầu đã thành công. Học

sinh có khả năng tìm ra tri thức định lí côsin (dựa vào sự hỗ trợ của GV qua việc thể

chế hóa). Sau đó bài toán 1 được HS vận dụng định lí côsin giải quyết một cách khá

tốt. Bài toán 2 câu a đã được đa số các nhóm vận dụng định lí côsin một cách linh

hoạt để tìm đáp án. Quan trọng hơn là HS đã được tham gia vào quá trình mô hình

hóa toán học.

Qua ba bài toán này, HS cũng đã thấy được phần nào lợi ích của định lí côsin

trong thực tế (Protocole 364, PL41)

Như vậy, đồ án có thể thực hiện được (tỉ lệ 53%), nhưng cũng cần chỉnh sửa

một số phương diện như cách ra câu hỏi (câu kiến thức thêm), tăng thêm thời gian

cho bài toán 2 để kết quả đạt tỉ lệ cao hơn.

Một vài nhận xét khác về tiến trình dạy học định lí côsin:

Xét giai đoạn từ pha 1 cho đến pha 3, nếu tiến trình dạy học được thực hiện theo

đúng thời điểm trong phân phối chương trình hình học 10 và mục tiêu dạy học nếu

103

hướng đến cả việc ưu tiên cách chứng minh theo 𝑺𝑻𝑽𝑯 (chiến lược này có ưu điểm là

chỉ cần chứng minh một tam giác tổng quát, ngắn gọn hơn là 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 phải chia nhiều

trường hợp) thì có thể chúng tôi sẽ xây dựng phiếu ôn tập trong pha 1 hướng đến các

kiến thức về vectơ, điều này định hướng cách giải dùng tích vô hướng cho học sinh.

 Em hãy viết công thức biểu diễn quy tắc ba điểm hoặc công thức trừ hai vectơ.

 𝑎 có độ dài là a (a > 0). Vậy 𝑎 2 = ?

Chẳng hạn:

2.4. KẾT LUẬN

Qua kết quả phân tích hậu nghiệm, câu hỏi 4 đã được sáng tỏ:

Có thể xây dựng một tiểu đồ án dạy học bằng mô hình hóa định lí côsin, ở đó

chứa các tình huống thực tế cho phép HS có cơ hội tham gia vào quá trình mô hình

hóa toán học. Việc đi tìm câu trả lời cho bài toán mở đầu lại có thể khám phá ra kiến

thức mới mà HS không ý thức trước (có sự dẫn dắt và thể chế hóa của GV). Điều này

làm toán học trở nên thú vị, ý nghĩa với HS. Sau đó, tri thức này lại một lần nữa có

cơ hội được HS sử dụng trong các bài toán tiếp theo thuộc phần ứng dụng. Từ đây

mở rộng được vai trò của định lí côsin trong toán học và thực tiễn, giúp HS khắc sâu

kiến thức hơn và củng cố kĩ năng giải quyết vấn đề thực tế.

104

KẾT LUẬN

Kết quả trong luận văn có thể được tóm tắt như sau:

Ở phần Mở đầu, chúng tôi đã thực hiện một tổng hợp về quá trình hình thành

định lí côsin cũng như việc sử dụng định lí này trong thực tiễn. Kết quả nghiên cứu

cũng đặt ra vấn đề về dạy học định lí côsin xuất phát từ bài toán thực tế.

Trong chương 1, chúng tôi đã nghiên cứu thể chế dạy học định lí côsin ở Việt

Nam và Mỹ. Nghiên cứu đã chỉ rõ những ưu điểm và hạn chế của hai thể chế, đặc

biệt là mô hình hóa toán học trong dạy học định lí này. Kết quả nghiên cứu của phần

mở đầu và chương 1 là cơ sở và lí do để chúng tôi thực hiện xây dựng một tiểu đồ án

dạy học bằng mô hình hóa định lí côsin trong chương tiếp theo.

Chương 2 đã trình bày 3 tình huống thực tiễn của tiểu đồ án dạy học bằng mô

hình hóa định lí côsin. Việc phân tích đã được thực hiện trên nền tảng các công cụ

của Didactic Toán. Nội dung quan trọng của chương 2 còn là kết quả thực nghiệm để

kiểm chứng mục tiêu của luận văn.

Chúng tôi thấy rằng luận văn đã trả lời được những câu hỏi nghiên cứu. Kết quả

của luận văn có ý nghĩa thực tiễn vì trình bày một hướng đi trong dạy học một khái

niệm có tính chất truyền thống trong chương trình THPT ở Việt Nam cũng như các

nước - định lí côsin. Chúng tôi tin rằng luận văn có giá trị tham khảo đối với GV bậc

THPT ở Việt Nam. Tuy nhiên, việc sử dụng các biến thích hợp còn tùy thuộc vào

mục đích của người dạy và thời điểm dạy học.

105

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009). Những

yếu tố cơ bản của Didactic toán, Sách song ngữ Việt – Pháp. TP. HCM: Nhà xuất

bản Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh.

Bản đồ Việt Nam Vector [Hình ảnh]. Nhận từ http://thuviendohoa.vn/2222-ban-

do-viet-nam-vector.html

Blitzer, R. F. (2007). Precalculus 4e. Boston: Pearson Education.

Demana, F. D., Waits, B. K., Foley, G. D., & Kennedy, D. (2011). Precalculus:

Graphical, Numerical, Algebraic. Boston: Pearson Education.

Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị. (2011). Sách

GV hình học 10 nâng cao. Nam Định: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị. (2012). Hình

học 10 nâng cao. Quảng Bình: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

Đỗ Ngọc Thống, Đinh Quang Báo, Lê Huy Hoàng, Nguyễn Anh Dũng, Đào

Thái Lai, Nguyễn Thị Hồng Vân. (2014). Tài liệu hội thảo Chương trình giáo dục

phổ thông tổng thể trong chương trình giáo dục phổ thông mới. Nhận từ http://th-

pbinh.tphue.thuathienhue.edu.vn/imgs/Thu_muc_he_thong/_Nam_2015/_Thang_10

/tai-lieu-hoi-thao-ctgdpt-2014.pdf

Fitzpatrick, R. (2008). Euclid’s elements of geometry.

Fuel economy in aircraft (2018). Retrieved June 24, 2018, from

https://en.wikipedia.org/wiki/Fuel_economy_in_aircraft

Jetstar mở đường bay thẳng Hải Phòng – Đồng Hới. (2017). Truy cập June 24,

2018, từ http://jetstars.vn/ve-may-bay-tu-dong-hoi-di-hai-phong-gia-re.html

Larson, R. (2013). Precalculus 9e. Boston: Pearson Education.

Lê Thị Bích Liễu. (2012). Định lý hàm số côsin trong chương trình toán – hình

học 10 ở trường phổ thông. Luận văn tốt nghiệp đại học. Trường Đại học Cần Thơ.

Thành phố Cần Thơ.

Lê Văn Tiến. (2005). Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông (các

tình huống dạy học điển hình). TP. HCM: Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. Hồ

Chí Minh.

106

Nghiêm Thị Xoa. (2006). Máy tính bỏ túi và lượng giác trong chủ đề dạy học

“Giải tam giác”. Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học. Trường Đại học Sư phạm Thành

phố Hồ Chí Minh. Thành phố Hồ Chí Minh.

Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Trần Văn Hạo.

(2006). Bài tập hình học 10. TP. HCM: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

Nguyễn Thị Nga. (2016). Mô hình hóa với phương pháp tích cực trong dạy học

toán. TP. HCM: Viện nghiên cứu giáo dục trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ

Chí Minh.

Nguyễn Thị Tân An (2014). Sử dụng toán học hóa để phát triển các năng lực

hiểu biết định lượng của HS lớp 10. Luận án Tiến sĩ khoa học giáo dục. Trường Đại

học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Thành phố Hồ Chí Minh.

Operating cycle of the 4 – stroke spark – ignition engine [Image]. (2014).

Retrieved from http://agaul01.blogspot.com/2014/04/boyles-charles-law-in-relation-

to.html

Pickover, C. A. (2009). The Math book: From pythagoras to the 57th dimension,

250 milestones in the history of mathematics. New York: Sterling.

Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2010). Precalculus 6e: Mathematics for

calculus. USA: Cengage Learning.

Sullivan, M. (2012). Algebraic & Trigonometry. Boston: Pearson Education.

Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên.

(2006). Sách GV hình học 10. TP. HCM: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên.

(2014). Hình học 10. TP. HCM: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài.

(2013). Sách GV đại số 10. Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam. (2011). Bài tập hình học 10

nâng cao. Nam Định: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

Vì sao vé máy bay lại đắt? Không chỉ bởi mỗi tiền xăng đâu. (2016). Truy cập

June 24, 2018, từ http://genk.vn/vi-sao-ve-may-bay-lai-dat-khong-chi-boi-moi-tien-

xang-dau-20160516125023828.chn

107

Xăng – dầu máy bay. (2018). Truy cập June 24, 2018, từ

http://nguyentoy.com/products/category/177

PL1

PHỤ LỤC

HÌNH ẢNH

Phiếu ôn tập

Em hãy viết các tỉ số lượng giác của góc C

Một số bài làm của HS

PL2

Phiếu thực nghiệm (mỗi phiếu có ghim thêm một tờ nháp ở đằng sau)

Phiếu thực nghiệm……….

Nhóm ……………

Hãy thảo luận nhóm và giải bài toán sau vào giấy roki (thời gian 15 phút)

BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

Kết nối tỉnh thành

Hai thành phố B và C bị ngăn cách nhau bởi một cái hồ lớn. Muốn đi từ B

đến C, người ta phải đi gián tiếp qua trị trấn A theo các con đường thẳng (hình vẽ).

Vì thế người ta muốn xây một cây cầu bắc qua hồ để việc qua lại giữa B và C thuận

tiện hơn. Để xây cầu thì cần biết được khoảng cách giữa hai thành phố B và C. Em

hãy giúp họ tính toán khoảng cách này. Họ đo được đoạn đường từ thành phố B

đến thị trấn A dài 2 km, từ thị trấn A đến thành phố C dài 3 km và góc tạo bởi hai

quãng đường này là 𝟔𝟎𝒐.

(Cố gắng tạo ra thêm những gì quen thuộc, cái mà em có thể sử dụng nó được

để tính toán)

Nháp…………………….

PL3

Phiếu thực nghiệm……….

Nhóm…………………

Hãy thảo luận nhóm và giải bài toán sau vào giấy roki (thời gian 15 phút)

BÀI TOÁN 1

Chuyến bay bão táp

Một máy bay Vietnam Airlines đang bay với vận tốc không đổi là 800 km/h và

trong lộ trình có đoạn giữa sẽ bay thẳng từ TP Đồng Hới qua TP Hải Phòng theo

hướng Nam – Bắc. Nhưng vì nhận được tin có bão trong vịnh Bắc Bộ nên khi vừa

bay đến TP Đồng Hới, máy bay bắt đầu rẽ theo hướng Tây Bắc để tránh bão. Từ khi

rẽ hướng và đi được 8 phút 24 giây, phi công thấy an toàn và bẻ lái để bay thẳng đến

TP Hải Phòng. TP Đồng Hới và TP Hải Phòng cách nhau 375 km.

a, Biết giá xăng máy bay trên thị trường là 86 000

Vịnh

đ/lít và cứ đi 1 km máy bay tiêu tốn hết 3,5 lít xăng. Cho

BẮC BỘ

rằng quãng đường bay từ TP Đồng Hới đến TP Hải Phòng

theo lộ trình mới hay lộ trình ban đầu thì vẫn duy trì ở cùng

một độ cao so với mặt đất và lộ trình mới chỉ khác lộ trình

ban đầu ở đoạn bay từ TP Đồng Hới đến TP Hải Phòng

như mô tả trên. Vậy, với sự cố thời tiết này thì hãng hàng

không Vietnam Airlines phải chịu lỗ bao nhiêu tiền xăng so với dự kiến ban đầu?

b, Góc phi công cần bẻ lái ở trên là bao nhiêu so với hướng bay ngay lúc đó?

c, Để tránh bão nhưng vẫn đi đến được TP Hải Phòng đúng thời điểm theo lộ

trình ban đầu đề ra thì ngay sau khi bẻ lái, vận tốc mới của máy bay trên quãng đường

tính từ lúc bẻ lái đến Hải Phòng phải là bao nhiêu?

Nháp………………

PL4

Phiếu thực nghiệm…….

Nhóm……………….

Hãy thảo luận nhóm và giải bài toán sau vào giấy roki (thời gian 15 phút)

BÀI TOÁN 2

Hành trình của pít tông

Động cơ đốt trong là một bộ phận quan

trọng giúp biến nhiệt năng thành cơ năng. Ở đó

có cơ cấu trục khuỷu – thanh truyền:

Trục OA và thanh AB được gắn với nhau tại

A. Khi trục OA xoay quanh vị trí O (O cố định)

sẽ truyền chuyển động cho thanh AB và dẫn đến

pít tông được gắn tại B chuyển động.

Cho trục OA dài 4 cm, thanh AB dài 12 cm

và coi khoảng cách từ pít tông tới vị trí O là OB.

Là một kĩ sư thiết kế, em cần biết mối quan hệ giữa khoảng cách từ pít tông tới

vị trí O và góc hợp bởi hai tia OA, OB để tìm cách cải thiện hiệu suất của động cơ.

Vậy:

a, Khi OA quay, em hãy biểu diễn khoảng cách OB theo 𝐴𝑂𝐵̂ .

b, Khi OA quay hết một vòng thì pít tông đã đi được một quãng đường là bao

nhiêu?

Kiến thức thêm: Hành trình của pít tông được định nghĩa là quãng đường pít tông đi

được từ vị trí gần O nhất đến vị trí xa O nhất (hoặc ngược lại). Vậy, em hãy tìm công

thức tính hành trình của pít tông.

Nháp………………

PL5

Sản phẩm các nhóm

Bài toán mở đầu

PL6

PL7

PL8

PL9

PL10

PL11

Bài toán 1

PL12

PL13

PL14

PL15

PL16

PL17

PL18

Bài toán 2

PL19

PL20

PL21

PL22

PL23

PL24

Bảng dạy học của GV

PL25

PL26

PROTOCOLE

Biên bản: Triển khai tiểu đồ án dạy học bằng mô hình hóa định lí côsin ở lớp 10

Lí

Người lập: Vũ Thị Thu Hiền, Trần Thị Hương (2018)

Người dạy: Vũ Thị Thu Hiền

Thời gian: 2 tiết (90 phút)

Pha 1

1. GV: Chúng ta bắt đầu! Cô phát cho mỗi bạn một phiếu ôn tập. Các em hãy hoàn

thành trong thời gian 1 phút.

GV phát phiếu

HS làm

GV thu lại

2. GV: Bây giờ cô chia lớp mình thành 6 nhóm, mỗi nhóm hai bàn liền nhau tính từ trong ra và từ trên xuống theo thứ tự là nhóm 1, 2, 3, 4, 5, 6 (GV chỉ tay). Được chưa nào?

GV phát biên bản thảo luận nhóm cho các nhóm

3. GV: Bây giờ mỗi nhóm cử ra cho cô 1 người làm thư kí. Thư kí có nhiệm vụ gì? Đó là ghi lại toàn bộ hoạt động diễn ra trong nhóm mình. Bạn nào đang nói gì, có ý tưởng gì thì các em ghi hết vào cho cô. Thư kí cũng như các bạn khác vẫn đóng góp xây dựng ý kiến bình thường. Ý kiến của mình mình cho vô luôn. Để bắt kịp tốc độ nói của các bạn thì sau khi ghi danh sách các thành viên trong nhóm, mình có thể kí hiệu chữ cái đầu tiên của tên bạn đó ở ngay cạnh đó để sử dụng. Ví dụ Hà thì kí hiệu là H, … Thư kí hiểu nhiệm vụ của mình chưa?

4. GV: Cô có 3 bài toán. Luật chơi của chúng ta là sau khi làm xong trong thời gian quy định, các nhóm dán sản phẩm của mình lên bảng. Nhóm nào giải đúng nhiều bài toán nhiều nhất và nhanh nhất sẽ là đoạt giải nhất. Các nhóm còn lại sẽ đồng giải nhì. Tất cả sẵn sàng chưa?

5. HS: Rồi ạ! 6. GV: Tất cả đã sẵn sàng, người chơi đã sẵn sàng, chúng ta bắt đầu đi tìm: Ai được

giải nhất!

Tất cả cười

7. GV: Bài toán đầu tiên là bài toán mở đầu. Thời gian làm bài là 15 phút.

GV phát đề và giấy roki, bút lông cho mỗi nhóm

8. GV: Thời gian bắt đầu!

Các nhóm thảo luận

PL27

….

Sau một thời gian, GV gợi ý

9. GV: Các nhóm nhớ đọc gợi ý trong ngoặc và nhớ lại xem lúc đầu cô phát phiếu

cho chúng ta để làm gì?

Pha 2

Thảo luận nhóm

Nhóm 1: Gồm C, T, Th, Tu. Thư kí: Th

10. C: Dùng lượng giác 19. T và C: Chép vào giấy luôn đi, vẽ

11. C: Mình cần nháp hình nữa

12. T: Từ B ra ... AC = 3 km 20. Th: Nhanh lên

13. Tu: A ở đâu? 21. C: CD = cạnh huyền x sin góc đối

14. C: A đây. Nói chung vẽ tam giác 22. C và Tu: Dùng Pytago là ra rồi

ABC đi 23. T và Tu: ra √7

15. T: Xây cầu từ B sang C 24. Tu: 2 – , làm nhanh lên để dán 1 3 = 2 2 16. C: AB dài 2, AC dài 3

25. Tu, T, Th, C: Hura, xong rồi đem lên 17. C: Kẻ đường cao CD đi rồi tính

lẹ đi. 18. C: Hura mình ra rồi!

Nhóm 2: Gồm H, Ha, Kh, Th. Thư kí: Ha

26. Kh: Vẽ hình ra! 31. H (cười): Tam giác CBH vuông tại

27. H: Đọc đề! H hả?

32. Kh: Ừ, lẹ lẹ Các bạn đọc đề, suy nghĩ

33. H: Bạn hối mình hả 28. Kh: Vẽ CH  AB

34. Kh: Hối bạn thì sao 29. H: H ở đâu? 35. Th: Tập trung đi! 30. Kh: AH = 𝑐𝑜𝑠60°. 3 = 1,5 𝑚. Rồi

1,5, tính CH, à không, tính BH!

Nhóm 3: Gồm Kh, Ng, Th, AT. Thư kí: Ng

PL28

36. AT: Góc tạo bởi hai đường thẳng AB 38. Th: Xài đơn giản như lớp 9, tính như

và AC là góc nào? thông thường. Tính AH trước, BH sau

37. AT: Tính khoảng cách từ B đến C. 39. Kh: Không có HC mà

Tính sao? 40. AT: 3 với 2 là mấy?

Nhóm 4: Gồm B, Đ, Kh, Tr. Thư kí: Tr

Kh và B đang thảo luận

Đ thiếu sự hợp tác.

Nhóm 5: Gồm A, Ng, MP, Ph. Thư kí:

41. Ng: Vẽ hình trước đi Các bạn đang suy nghĩ…

42. Ph: Vẽ hình tam giác vuông Ph giải thích cách làm cho Ng

43. MP: Mình đâu có tam giác vuông? 49. Ng: Ừ thử đi

50. Cô: Sắp hết thời gian rồi! Còn 5 phút Ph chỉ bài cho Ng (hướng dẫn cách làm)

44. Ng: Làm thử đi Ph nữa

51. Ng: Hai tam giác đồng dạng 45. MP: Xài 𝑠𝑖𝑛60°, à không, xài

52. A: Xong chưa 𝑐𝑜𝑠60°

53. Ph: Bình tĩnh bạn hiền! 46. Ng: A vẽ hình vào đi

54. Ph: Ra rồi nè. Ra 2,69 47. MP: Chứng minh mới được xài

55. MP: Ra 1,39 chứ? 48. Ph: Ra số xấu quá

Nhóm 6: Gồm B, Đ, L, Th. Thư kí: L

Mấy bạn chậm quá! 4 bạn đọc đề

56. L: Từ B đến A là 2, từ C đến B là 3 59. L: BC = √7

57. Đ: Cái hồ ở đâu? 60. Đ: √7 bé tí à

58. Th: Cho tam giác ABC, biết AB, AC, 61. Th: √7 đổi ra là 2,65

biết góc A 62. B: Kẻ đường vuông góc xuống là ra.

PL29

Pha 3

6 nhóm đã dán xong bài làm lên bảng. GV bắt đầu cho lớp nhận xét

63. GV: Các em quan sát bài làm của 6 nhóm rồi nhận xét. 64. GV: Nhóm 1 làm đúng chưa cả lớp? 65. HS: Dạ đúng.

GV chỉ vào bài của nhóm 1 và diễn giải

66. GV: À. Nhóm 1 trước tiên đã vẽ đúng hình tam giác mô phỏng đề bài: AB = 2, AC = 3, góc 𝐵𝐴𝐶̂ = 60°. Kẻ CD vuông góc AB, khi đó CD = AC.𝑠𝑖𝑛60°, …

67. GV: Vậy nhóm 1 làm đúng chưa? 68. HS: Dạ đúng rồi. 69. GV: Rồi, nhóm 1 làm đúng. Ta sang các nhóm khác xem. 70. GV: Nhóm 2 chưa vẽ hình… Nhưng cách làm nhóm 2 giống nhóm 1 đúng không

nào? 71. HS: Dạ 72. GV: Nhóm 3 thì sao? Nhóm 3 kẻ đường cao từ đỉnh B; AH = AB. cosA, … À, ở đây để tính BH, các bạn đã tính 𝐵𝐻2 = 𝐴𝐵2 − 𝐴𝐻2, tức là nhóm 2 áp dụng định lí Py – ta – go đúng không các em? Khác với nhóm 1, nhóm 2 dùng 𝑠𝑖𝑛60°, … nhóm 3 làm đúng chưa?

73. GV: Đúng rồi. Sang nhóm 4. Sao nhóm 4 biết làm cách này? Chúng ta mới chỉ

học về tổng, hiệu hai vectơ thôi mà? Nhóm 4 giải thích nào.

74. 1 HS nhóm 4: Em đọc bài trước rồi nhớ sơ sơ lại cách chứng minh. 75. GV: Đây là một trong các cách chứng minh bài toán này mà sau này các em sẽ được học, khi học xong tích vô hướng của hai vectơ. Chúng ta qua nhóm 5. 76. GV: Nhóm 5 làm đúng chưa? Nhóm 5 hạ đường cao từ C, … đúng chưa cả lớp? 77. HS: Dạ đúng. 78. GV: Nhóm 6 chưa giải xong. Nhóm 6 cũng kẻ CH vuông góc AB. 79. GV: Vậy vòng này nhóm nào thắng? 80. HS: Nhóm 1 81. GV: Nhóm 1 đúng và nhanh nhất. Vậy nhóm 1 thắng. Các nhóm khác vẫn còn cơ

hội vì còn hai bài toán nữa.

82. GV: Vậy nãy giờ các em đã tính được cạnh BC rồi. Bây giờ cô muốn viết lại biểu thức tính BC theo các cạnh kia chứ không phải là số cụ thể nữa. Ta nhìn vào nhóm 3. BC sẽ bằng gì?

GV vừa nói và viết ở phần bảng động theo lời HS: BC =

83. HS: 𝐵𝐶 = √𝐵𝐻2 + 𝐻𝐶2 84. GV: Vậy tiếp tục thay 𝐵𝐻2 = 𝐴𝐵2 − 𝐴𝐻2 vào, còn 𝐻𝐶2 bằng gì? 85. HS: (𝐴𝐶 − 𝐴𝐻)2.

PL30

86. GV: Cô muốn khai triển ra. Cả lớp đọc cho cô nào! 87. HS: 𝐴𝐶2 − 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐻 + 𝐴𝐻2. 88. GV: Vậy rút gọn đi BC bằng gì? 89. HS: √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 − 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐻. 90. GV: Tiếp tục AH lại bằng gì? 91. HS: AB 𝑐𝑜𝑠60°. 92. GV: Vậy 𝐵𝐶 = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 − 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60°

GV dán bảng dạy học đã vẽ sẵn ba hình tam giác có tên và góc

GV vừa nói vừa kí hiệu vào hình đầu tiên có góc 60°

93. GV: Nếu cô gọi tên một cạnh là kí hiệu nhỏ của góc đối: AB = c, AC = b, BC = a

thì viết lại cho cô hệ thức này theo kí hiệu nào.

94. GV: À ta bình phương hai vế lên đã nhé.

GV viết theo lời HS

95. 1 HS: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠60°. 96. GV: Thay góc 60° bằng kí hiệu vào cho cô luôn nào! 97. HS: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴. 98. GV: Vậy ta đã có hệ thức này rồi, dành cho tam giác nhọn, còn trường hợp tam

giác tù với tam giác vuông thì sao?

GV vừa nói vừa viết vào hình thứ hai có góc 120°

99. GV: Ta cũng làm tương tự như tam giác nhọn. Hạ đường cao BH. Khi đó 𝐵𝐻2 = 𝑐2 − 𝐴𝐻2, 𝐴𝐻 = 𝑐. 𝑐𝑜𝑠60°. Vậy 𝐵𝐶2 = … = 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠60°. Cô muốn góc trong này phải là góc giả thiết cho. Các em có thể dùng máy tính bấm thử 𝑐𝑜𝑠120° bằng bao nhiêu. Ta chưa học cos góc lớn này nhưng có thể bấm máy.

100. HS: – 0,5. 101. GV: Vậy ta viết tiếp như thế nào? 102. 1 HS: 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠120°. 103. GV: Đúng rồi. Cô thế góc A vào. Vậy giống hệ thức đầu chưa? 104. HS: Dạ rồi. 105. GV: Còn trường hợp cuối cùng là tam giác vuông. Ta áp dụng thử hệ thức trên

vào viết cho cô 𝑎2 = ?

106. HS: 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠90°. 107. GV: Bấm máy cho cô 𝑐𝑜𝑠90°. 108. HS: Bằng 0. 109. GV: Vậy hệ thức còn lại 𝑎2 = ? 110. HS: 𝑏2 + 𝑐2 111. GV: Điều này đúng không? 112. HS: Dạ đúng.

PL31

113. GV: Như vậy qua ba trường hợp của tam giác, ta đều có được hệ thức 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴. Kiến thức mà các em vừa tìm được chính là định lí côsin mà ngày hôm nay chúng ta sẽ học. Chúng ta ghi vào vở định lí côsin.

GV dán bảng dạy học đã viết sẵn định lí côsin

114. GV: Định lí này còn hay được gọi là định lí hàm số cos. Các cạnh là bình đẳng

nên ta cũng sẽ có hệ thức tương tự cho hai cạnh còn lại.

115. GV: Định lí côsin đúng cho tam giác bất kì. Chính vì vậy mà định lí Py – ta – go sẽ là một trường hợp nhỏ trong định lí này khi góc A bằng 90° như lúc nãy.

116. GV: Nắm được định lí côsin chưa nào? 117. GV: Trước khi qua vòng thứ hai, cô giới thiệu sơ cho các em về góc giữa hai

vectơ.

GV dán bảng dạy học đã có sẵn ví dụ về góc giữa hai vectơ

GV vừa nói vừa chỉ tay vào hình

118. GV: Cô có hai vectơ 𝑎 và 𝑏⃗ . Khi đó góc giữa hai vectơ này chính là góc 𝐴𝑂𝐵̂ . Vậy, để tìm góc giữa hai vectơ ta làm như thế nào? Theo cách hiểu của em thôi. 119. 1 HS: Thưa cô, góc tạo bởi hai vectơ, ta có gốc của hai vectơ trùng nhau và … 120. GV: Cám ơn em. Tức là để tính góc giữa hai vectơ, ta vẽ hai vectơ này về chung điểm gốc (điểm đầu) rồi đọc góc giữa hai vectơ chính là góc hợp bởi hai tia này. Ta hiểu vậy thôi.

121. GV: Một ví dụ thứ 2, vectơ 𝑐 và 𝑑 . Nhìn thì tưởng là góc này là góc giữa hai vectơ nhưng thực chất ta phải tịnh tiến về chung gốc rồi ta mới đọc góc đó là góc giữa hai vectơ, đúng không nào?

122. GV: Thế thì sau khi đã mô tả sơ cho các em về góc giữa hai vectơ thì bây giờ chúng ta có bài toán 1. Cũng là làm nhóm như lúc nãy, 15 phút. Nhóm nào chưa lên được nhanh nhất thì cố lên.

GV phát đề bài toán 1 cho các nhóm

123. GV: Thư kí tiếp tục làm nhiệm vụ của mình nhé!

Pha 4

Bài toán 1:

Thảo luận nhóm

Nhóm 1:

124. C: Tam giác có vectơ 136. C: Xong rồi. Tính được BC rồi.

125. T: Nó đi từ Đồng Hới đến … Định lí côsin

137. C: Từ từ sao ra lẻ vậy?

PL32

126. C: Đồng Hới đến Hải Phòng. 8 phút 138. T: Căn chưa?

24 giây là sao? Đặt tam giác ABC đi 139. C: Mình phải ghi số đầu nữa

127. Tu: 8 phút 24 giây là bao nhiêu? 140. T: 306,22

128. C: 0,14 giờ 141. C: Đang ghi 𝐵𝐶2 mà, làm tắt vậy?

129. C: 120 cây. Có AB có AC tìm được 142. Tu: Kệ đi

BC. Dùng định lí côsin 143. T: Vẫn như cũ, tiền lỗ rất nhiều

130. Tu: Đi Bắc Nam đến Tây Bắc là 144. C: Lượng xăng hao đâu phải tìm

đâu? 45°

131. C: AB tính đi: 800.0,14 145. Tu: Số tiền lỗ đi ai chả hiểu

132. Tu: Tìm BC mà đúng không? Dùng 146. C: Hướng bay lúc đó là hướng nào?

định lí côsin hả? 147. Tu: Sai số nhiều đó

133. Tu: 150 triệu lận đó 148. C: Đúng rồi.

134. C: Chịu lỗ là 30 triệu

135. Tu: Lỗ nhiều ghê đó

Nhóm 2:

149. Th: Đồng Hới ở đâu? 157. Kh: Ừ

150. Kh: Vẽ ra mới tưởng tượng được 158. Ha: Lấy 800. 0,14 ra nhiêu?

151. Ha: Ở Trung 159. Th: Hướng Tây Bắc là đâm vào

152. H: Lẹ! hoặc ra

153. Ha: Tây Bắc là hướng nào? 160. Kh: H vẽ hình vào đi H

154. Th: Máy bay này mang số hiệu nào 161. Th: Đi dự kiến bao nhiêu lít xăng?

vậy? 162. H: Hơn dự kiến 43,2 km tức là lố

155. H: Bạn rảnh quá! theo lộ trình

156. Ha: Tây Bắc là hướng xiên xiên này Bàn căng thẳng…

phải không?

Nhóm 3:

PL33

163. Kh: Bay theo hướng Tây Bắc là đổi 169. Ng: Hướng bẻ lái là hướng lúc vô

hay sao? ra 45° đúng không?

170. AT: Là đi đến đây nè rồi bẻ vô 164. Ng: Là đổi theo hướng này đúng

171. Ng: Xài định lí hàm số cos không?

172. AT: Vậy góc C bằng nhiêu? Bấm 165. Kh: Vẽ hình vô đi! Vẽ đường đi ấy.

máy tính Đây vẽ cho

173. Kh: Ra 306,222 166. Kh: Th sao Th biết bẻ 45°?

174. AT: Tính thời gian dự tính đi. 167. Th: 45° so với góc nào chứ

168. Kh: Cô ơi, làm câu b trước rồi mới

làm câu a được không cô?

Nhóm 4:

Kh và Đ đang thảo luận

B bấm kết quả

B trình bày câu b

Đ trình bày câu c.

Nhóm 5:

175. MP: Sử dụng định lí côsin để tính 178. A: Làm câu b đi

góc bẻ lái 179. MP: Bằng 112 đúng không

176. A: Suy nghĩ đi! 180. MP: Dùng định lí côsin để tính BC.

177. MP: 8 phút 24 giây bằng bao nhiêu? BC = 306,22

181. MP: Tính giá tiền lỗ.

Nhóm 6:

182. B: TP Đồng Hới đến TP Hải Phòng bằng 375 km. AC = 112 km theo Tây Bắc

183. Th: Vì máy bay bẻ lái theo Tây Bắc nên suy ra góc là 45°.

6 nhóm dán lên bảng, GV sửa bài

PL34

184. GV: Chúng ta đọc đề bài. Đề bài nói gì? Đồng Hới đây, Hải Phòng, … (GV hỏi HS, tóm tắt đề, vẽ ra mô hình mẫu trên bảng: Đồng Hới là A, điểm bẻ lái là B, Hải Phòng là C)

185. GV: Ta có những giả thiết nào? 𝑣𝐴𝐶 là bao nhiêu? 186. HS: 800 187. GV: Thời gian đi trong đoạn AB là bao nhiêu? 188. HS: 0,14 giờ 189. GV: Rẽ theo hướng Tây Bắc thì hợp với hướng Bắc một góc bao nhiêu độ? 190. HS: 45° 191. GV: Tính số tiền lỗ thì ta làm như thế nào? 192. 1 HS: Thưa cô, quãng đường đi đường vòng sẽ dài hơn quãng đường đi đường thẳng, nên mình lấy quãng đường đi đường vòng trừ đi quãng đường đi đường thẳng sẽ tìm được quãng đường bị lố, lấy quãng đường bị lố nhân cho số lít tiêu thụ trong quãng đường đó, nhân số tiền ra được số tiền lỗ.

193. GV: Bạn trả lời chính xác chưa mọi người?

Cả lớp vỗ tay

… Dán lại bài các nhóm vì rơi

194. GV: Vậy mấu chốt ở câu a chúng ta áp dụng kiến thức toán gì nào? 195. HS: Định lí côsin 196. GV: Ta tính được cạnh BC dựa vào giả thiết mà ta đã có: Ta có được AB, AC góc 45°, tính BC áp dụng định lí hàm số côsin để ra. Sau khi có cạnh BC rồi thì quãng đường dư, quãng đường đi dôi ra so với dự kiến ban đầu chính là bằng

197. 1 HS: Sai số nhiều quá cô. Ba lẻ sáu, hai lẻ hai.

… Dán lại bài các nhóm vì rơi

198. GV: Rồi, ta tính AC + BC – AB để ra được quãng đường mà đi dư ra đúng không, nhân với giá xăng là 86 000 nhân với 3,5. Vậy thì kết quả ra bao nhiêu?

199. 1 HS: 13 triệu. 200. GV: Đáp án của cô là gần bằng 13 triệu vnđ.

GV quan sát các bài giải

201. GV: Nhóm 6: 12 triệu 9 trăm 43. Ước lượng như vậy cũng được. 202. 1 HS: Sai số quá lớn. 203. GV: Thôi thì cũng là gần 13 triệu rồi. Chấp nhận. 204. GV: Nhóm này sao gần bằng 13 triệu… 205. HS: 13 triệu 10 ngàn. 206. GV: Cái này là 130 triệu nhá!

Cả lớp cười

Một HS nhóm 5 chạy lên bỏ một số 0, lớp lộn xộn

PL35

207. GV: Còn nhóm này, nhóm 4 đúng chưa? 13 943 000 giống bên kia đúng

không? Tốt.

208. GV: Nhóm tiếp theo… … cả lớp cười

209. GV: 13 triệu. Rồi. 210. GV: Nhóm 3 đâu? Các em coi nhóm 3… 13 triệu 211. GV: Vậy là tất cả các nhóm đều là xấp xỉ 13 triệu đúng không nào? Vậy câu a

tất cả các nhóm đều đúng.

212. GV: Sang câu b nhé, câu b hỏi góc phi công cần bẻ lái là bao nhiêu so với

hướng bay hiện hành. Ta làm thế nào?

213. 1 HS: Định lí hàm số cos 214. GV: Để làm gì? 215. HS: Tính góc 216. GV: Tính góc này đúng không? 217. HS: Góc trên 218. GV: Rồi. Từ câu a ta có tất cả các cạnh trong tam giác chưa nào? 219. HS: Rồi 220. GV: Ta áp dụng định lí hàm số cos để ta suy ra được góc B này 221. GV: Nhưng mà tính ra được góc B này rồi sao? Người ta hỏi gì? Góc phi công

cần bẻ lái so với hướng bay hiện hành.

GV chỉ lên hình

222. GV: Hướng bay đang ở hướng Tây Bắc, là hướng như này, bây giờ bay từ đây phải bẻ một góc bao nhiêu độ để đi đến điểm C. Vậy thì tính được góc này xong rồi ta phải làm bước tiếp theo là gì nào?

223. HS: Trừ đi 224. GV: À. Ta phải lấy 180° trừ đi góc này để ra được góc cần hỏi. Góc cần hỏi

chính là góc này.

Lớp bắt đầu ồn

225. GV: Đây chính là góc giữa hai vectơ mà cô đã nói với các em lúc đầu đúng

không? Tức là phải đưa về chung gốc.

226. GV: Hướng hiện hành là hướng Tây Bắc, cho nên góc hợp với hướng này là góc cần tính chứ không phải góc này. Góc này chỉ là gián tiếp để ra được góc này thôi.

227. GV: Vậy câu b có nhóm nào làm đúng không? 228. HS: Không. 229. GV: Các nhóm ra bao nhiêu? 230. HS: 120°. 231. GV: 120° hết rồi dừng lại luôn hả? Có nhóm nào 60° không?

PL36

232. HS: Không có nhóm nào 60°.

Lớp bắt đầu ồn

GV giải thích lại tại sao phải chọn góc 60°

233. GV: Các bạn hiểu chưa, có chỗ nào không hiểu không? 234. HS: Dạ không. 235. GV: Sao bạn nào ra 74°, cô không hiểu? 236. 1 HS: Cái đó là alpha còn kia là gamma.

Cả lớp cười

237. GV: Cô chưa thấy gamma ở đâu hết, gamma đây hả? 238. 1 HS: Gamma đâu? 239. 1 HS: Alpha đâu? 240. 1 HS: Alpha đây nè cô. 241. GV: Gamma xoay 90° ra alpha hả? 242. GV: Vậy là trong câu b không có nhóm nào làm đúng hết. Chúng ta đọc đề

phải đọc cho kĩ đề.

243. GV: Câu b là như vậy. Câu c thì sao nào? Trong hình vẽ của cô thì nếu đến

điểm B rồi thì từ B đến C phải đi với vận tốc mới là bao nhiêu?

244. GV: Tức là từ A đến B vẫn là vận tốc 800, chưa có dự định tăng tốc gì hết vì chỉ để tránh bão thôi mà. Đi đến B rồi mới nghĩ lại là cần đi với vận tốc là bao nhiêu đây cho kịp.

245. GV: Vậy mấu chốt ở đây cần tính gì nào? 246. GV: Ta tính thời gian đi từ A đến C theo dự định ban đầu…

… Dán lại bài các nhóm vì rơi

247. GV: Ta tính khoảng thời gian đi từ A đến C, lấy khoảng thời gian này trừ đi khoảng thời gian đi từ A đến B để ra khoảng thời gian cần thiết đi từ B đến C. 248. GV: Tìm vận tốc trên quãng đường BC là lấy quãng đường BC chia cho thời

gian đi trên đoạn BC. Ra kết quả là bao nhiêu?

249. 1 HS: 931. 250. 1 HS: Phẩy 5, phẩy 5. 251. GV: 931,5… Nhóm 6 đúng không?... 931 bỏ số 5. 252. GV: Nhóm tiếp theo… 892. Vậy nhóm này sai đúng không? Sai do làm sao? 253. 1 HS: Nó tưởng bẻ ngay từ đầu luôn cô. 254. 1 HS: Nó tưởng vận tốc đổi ngay từ đầu luôn cô. 255. GV: Rồi. Nhóm này chưa làm. 256. GV: Nhóm này… tại sao ra 931,4. Làm tròn hả? 257. HS: Làm tròn lên cỡ 47. 258. GV: 47 làm tròn lên vậy là phải ra mấy? Phẩy 5 đúng chưa?

PL37

259. GV: Thế thì trong bài toán 1 này thì nhóm nào chiến thắng nào? 260. HS: Nhóm 5. 261. HS: Nhóm 1. 262. HS: Nhóm 6 cô.

…

263. GV: Nhóm 6 nhất. 264. GV: Bây giờ chúng ta còn bài tập cuối cùng nào. Ta làm tương tự. Các bạn lên

lấy giấy giúp cô nào!

GV phát đề cho các nhóm và bắt đầu tính giờ

265. GV: Thư kí tiếp tục làm nhiệm vụ của mình nhé!

Bài toán 2:

Thảo luận nhóm

Nhóm 1:

266. C: Đề có kĩ sư thiết kế nhưng mình 275. T: Giấy mình còn nhiều mà

không phải 276. C: Này là phương trình bậc 2 phải

267. Tu: Dùng định lí hàm số cos dùng delta

268. C: Có cần kẻ tam giác không? 277. Tu: Quãng đường đi được là 2x

269. Tu: Cos góc đối hả? Vậy chưa ra 278. C: Nghiệm là J

đâu 279. Tu: Cứ làm đi, câu b ra sau!

270. C: Tìm từng cạnh 280. C: Còn câu b

271. Tu: Sao tìm được? 281. Tu: Câu b dễ lắm để mình làm cho

272. C: Tìm được, sao không được? 282. C: Cố lên Tu ơi cố lên

273. C: Có cần kẻ tam giác không? 283. C: Hay quá!

274. C: Nháp đã chứ

Nhóm 2:

284. H: Cái này có liên quan đến nhiệt 287. Kh: Tính luôn quãng đường đó

học không? cộng lại

288. Ha: A! 18!

- Chút nữa nó thụt về

PL38

285. Kh: Chỉ vẽ O gần nhất và O xa nhất - Ê đúng rồi, 24! (nói với nhóm 1)

thôi! Đâu cần vẽ nhiều! x thay đổi không - Hồi nãy tưởng cái này là 16.

giữ nguyên

286. Ha: Lúc đó đẩy pít tông ra xa nhất

thì chúng nằm trên một đường thẳng.

Tìm khoảng cách OB theo góc 𝐴𝑂𝐵̂

Nhóm 3:

289. AT: Dùng định lí hàm số cos được 295. Ng: Bằng 1 6 không?

296. Th: Tính 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑂𝐵̂ hết hả? 290. Kh: Được

297. AT: Không phải! Muốn tính OB 291. AT: Vậy mình làm nha. Dùng định

phải có cos góc này phải không? lí hàm số cos đúng không?

298. Kh: Nè, mình tính được góc này 292. AT: Sai sai gì rồi! Cái góc 𝐴𝑂𝐵̂

theo góc này nè. người ta cho đâu đúng với định lí hàm số

299. Th: Rồi OB = … cos? Muốn tính OB phải tính góc 𝑂𝐴𝐵̂

300. Cô: Hết giờ! Các nhóm dán lên mà đề cho tính OB phải có góc 𝐵𝑂𝐴̂

bảng cho cô nào! 293. Th: Hai cái OB và 𝐵𝑂𝐴̂ liên quan 301. AT: Thôi!! Đừng mà cô...!! đến nhau

294. Th: Tính cái này trước đi

Nhóm 4:

Đ có tiến bộ

Kh đang đóng góp ý kiến

Nhóm 5:

308. Ng: Để Ng làm câu a đã… Phải tính Các bạn tập trung suy nghĩ

thế nào đây? Bạn L làm phiền (L nhóm 6)

302. Ph: Kéo pít tông về 309. Ph: Áp dụng định lí côsin

PL39

303. MP: Độ dài OB = OA 310. MP: Khoảng cách OB khoảng cách

304. Ph: Coi như là nó chạm luôn OB…

305. MP: Nó gần như chạm (MP hướng MP chỉ bài cho Ph

dẫn Ph) 311. MP: Tuyệt vời luôn!

306. A: Có AB rồi. Tính được quãng 312. A: Anh em nhanh lên nhanh lên!

đường này rồi! 313. Ng: Thôi khỏi đi

307. Ph: Bạn làm câu b đi MP và Ph thảo luận rất sôi nổi

314. Cô: Còn 5 phút nữa! Cố lên cố lên!

Nhóm 6:

B, Th, Đ, L thảo luận

Th áp dụng định lí côsin

B tính delta.

Hết thời gian, các nhóm dán sản phẩm lên bảng, GV bắt đầu sửa

315. GV: Chúng ta coi tất cả các đáp án nào. Đề bài nói gì? Hãy biểu diễn khoảng

cách OB theo góc 𝐴𝑂𝐵̂ .

316. GV: Trong khi đó OA = 4, AB = 12. 317. GV: Ta thấy bài có hình dạng định lí côsin không? 318. HS: Có.

GV chỉ lên hình

319. GV: Nó cũng có hai cạnh, có một góc nhưng không phải là góc xen giữa. Nhưng mà ta cứ áp dụng thử coi xem thế nào? Thế bây giờ ta thử tính góc này luôn nha.

320. GV: Ta có, áp dụng định lí hàm số cos để tìm cạnh AB thì 𝐴𝐵2 bằng gì? 321. GV: 𝐴𝐵2 bằng… đọc nào! 322. HS: 𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 − 2. 𝑂𝐴. 𝑂𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑂𝐵̂ . 323. GV: Bây giờ ta thế số vào, …, góc này góc chưa biết đúng không? 324. GV: Được chưa nào? Ta đã có một phương trình bậc hai theo ẩn là OB. Bây giờ ta chỉ cần giải phương trình bậc hai là ra OB là một biểu thức chứa 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑂𝐵̂ , tức là ta đã biểu diễn cạnh OB theo góc 𝐴𝑂𝐵̂ rồi!

325. GV: Tính delta nào! … 326. GV: Nhưng mà, cạnh OB là một cạnh trong tam giác thì nó phải thỏa mãn điều

kiện gì?

327. HS: Luôn dương.

PL40

328. GV: Ừ. Không thể nào bằng 0 hoặc âm được đúng không? 329. GV: Vậy thì ta sẽ chọn giá trị nào khi mà góc 𝐴𝑂𝐵̂ là góc bất kì thì giá trị OB

luôn dương. Chọn đáp án nào?

330. HS: Cái trên. 331. GV: Nhận cái này và loại cái này. Các em hiểu chưa? 332. HS: Dạ rồi. 333. GV: Có nhóm nào đúng chưa? 334. HS: Chưa loại nghiệm cô. 335. GV: À, chưa loại nghiệm là do mình không để ý điều kiện OB phải luôn dương. 336. GV: Sang câu b. Khi OA quay được 1 vòng thì B đi được quãng đường là bao

nhiêu.

…

337. GV: OA quay được 1 vòng, thế bây giờ chọn A ở vị trí nào cho dễ tính đây?

Cả 1 cái vòng tròn như này thì A ở đâu đây?

338. HS: Ở đây.

GV kí hiệu theo ý HS (hai vị trí tương tự trong 𝑺𝟑𝒅𝒊𝒆𝒎𝒕𝒉𝒂𝒏𝒈𝒉𝒂𝒏𝒈: I bên trái,

H bên phải)

GV viết theo lời giảng

339. GV: Khi A ≡ H thì… O, A, B thẳng hàng, đúng chưa? 340. GV: OB bằng gì? Bằng tổng của OA + AB, được không? 341. HS: Dạ được. 342. GV: Bằng 4 + 12 là … 343. GV: Bây giờ từ H mà đi nửa vòng tròn sẽ đến điểm nào đây? 344. HS: Điểm I. 345. GV: À. Khi A ≡ I thì… O, A, B cùng thẳng hàng luôn nhưng vị trí nó như

nào?

346. HS: OA bên ngoài. 347. GV: OB phải bằng AB – AO = 12 – 4 = 8. 348. GV: Khi A đi từ H đến I tức là đoạn OB dài từ 16 chỉ còn 8 thôi. Tức là B chạy từ đây đến đây. Lấy OB lúc đầu trừ đi OB lúc sau, lấy 𝑂𝐵1 trừ đi 𝑂𝐵2 ra được là 16 – 8 = 8.

349. GV: Vậy thì cô hỏi cả 1 vòng tròn chứ không phải nửa vòng tròn. Đi lên đây

sẽ tương tự quá trình đi lên đây, xong nó đi về đây. Được không nào?

350. GV: Quãng đường chuyển động chính là bằng 2 lần đoạn này mà thôi. Ta nhân

2 lên, bằng 16 đúng không?

Pha 5

PL41

351. GV: Được rồi! Từ nãy giờ cô đã cho các em thấy là định côsin có những ứng

dụng rất là quan trọng. Trong toán học, định lí côsin dùng để làm gì?

HS nhóm 1 nói với nhau về bài của mình:

- Trừ lộn rồi, trừ lộn rồi

- 12 trừ 4

- …

352. GV: Rồi cô biết trừ lộn rồi. OK. 353. 1 HS: Dạ tính cạnh trong tam giác 354. GV: Định lí côsin dùng để tính một cạnh khi mà biết? 355. HS: Hai cạnh còn lại và một góc xen giữa hai cạnh đó 356. GV: Ngoài ra, nếu chúng ta biết được độ dài ba cạnh chúng ta cũng có thể tính

được?

357. HS: Góc 358. GV: Tất cả các góc trong tam giác đúng không nào? 359. GV: Tóm lại, định lí côsin để giải một tam giác khi tam giác đó ở trường hợp cạnh góc cạnh hoặc là cạnh cạnh cạnh. Ta có thể tìm toàn bộ những cạnh và góc chưa biết còn lại.

360. GV: Thế trong thực tế thì để làm gì? 361. GV: Bài toán mở đầu cô cho các em giải là bài toán xây một cái cầu đi qua hai thành phố đúng không? Bị ngăn cách bởi một cái hồ. Tức là hai thành phố đó có đo trực tiếp được không?

362. HS: Không 363. GV: Vậy định lí côsin dùng để làm gì? 364. HS: Để tính những cái phần mà không thể đo được 365. GV: À. Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm mà không thể đo trực tiếp được. Ta sẽ tìm một cái góc ở bên ngoài, và đo được hai cạnh này, sẽ tính được khoảng cách mà không thể đo được trực tiếp (GV chỉ tay ở hình).

366. GV: Đối với bài máy bay, chúng ta dùng định lí côsin để làm gì? 367. 1 HS: Thời gian đi 368. 1 HS: Tăng tính hấp dẫn 369. 1 HS: Tính được số tiền thua lỗ 370. GV: À. Chúng ta tính góc để biết được hướng cần rẽ so với hướng ban đầu là bao nhiêu. Ta không biết đi hướng nào với hướng ban đầu như thế này. Nếu tính được góc thì cho ta biết hướng đi.

GV dán bảng dạy học ghi sẵn ứng dụng của định lí côsin

371. GV: Vậy thì ý cuối cùng cô muốn dành cho cả lớp là… (GV dán bảng dạy học

ghi sẵn các bước giải bài toán mô hình hóa)

PL42

372. GV: Nãy giờ các bài toán thực tế của chúng ta, ta đã làm gì? Nhìn tất cả các đề cô cho. Đề chưa phải là bài toán, mô hình toán học cụ thể. Chúng ta phải vẽ ra, vẽ ra mô hình trung gian trước: là một tam giác hay một cái hình vẽ, một cái đồ thị gì đó, … sau đó chúng ta sẽ thêm các thông tin như số, giả thiết đề bài đã cho để tạo thành mô hình toán học đầy đủ (đó là tam giác gồm các cạnh các góc như nào đó, …). Sau đó ta giải bài toán toán học này. Giải xong trả lời ngay được chưa?

373. HS: Chưa 374. GV: Chưa trả lời ngay được. Dựa vào đề bài, ta trả lời cho bài toán thực tế ban đầu. Ví dụ như cạnh OB đó, ta thử lại phương án nó bị âm. Không đúng với thực tế vì OB một cạnh có độ dài. Phải dựa vào điều kiện thực tế để loại đi cái gì đó mâu thuẫn. Hoặc là số tiền giá xăng Vietnam Airlines lỗ một trăm mấy triệu là quá lớn so với thực tế. Chúng ta có thể thấy nó vô lí và quay trở lại bài toán để sửa lại lỗi sai từ cách lập mô hình hoặc cách giải sai chẳng hạn. Các bài toán thực tế khác bài toán thuần túy là sau khi lập mô hình toán học, phải quay trở về điều kiện thực tế để kết luận chính xác.

375. GV: Các em còn thắc mắc gì nữa không? 376. HS: Không 377. HS: Quà cô ơi! Quà… 378. GV: À. Rồi… Nãy giờ qua ba vòng thì nhóm 1 đúng hai lần và nhanh nhất trong ba bài toán thì nhóm 1 sẽ được giải nhất, còn các nhóm còn lại sẽ đồng giải nhì.

379. GV: Cô mời sáu nhóm trưởng của sáu nhóm lên đây!

GV trao phần thưởng cho các nhóm. Kết thúc buổi học.