Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo viên về khái niệm tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trương Thị Oanh

NGHIÊN CỨU

THỰC HÀNH DẠY HỌC CỦA GIÁO VIÊN

VỀ KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trương Thị Oanh

NGHIÊN CỨU

THỰC HÀNH DẠY HỌC CỦA GIÁO VIÊN

VỀ KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng

dẫn của TS. Nguyễn Thị Nga, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn

chính xác và đáng tin cậy.

Tác giả

Trương Thị Oanh

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến những người đã cho tôi cơ hội, dẫn

dắt và đồng hành với tôi suốt hai năm qua:

- TS. Nguyễn Thị Nga, người luôn động viên và có những góp ý quý báu

giúp cho tôi có thể hoàn thành luận văn này.

- PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo

Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh

Dũng, bằng sự nhiệt huyết và tận tâm, các thầy cô dẫn dắt tôi và các bạn đi vào

thế giới Didactic Toán. Và hơn thế nữa, đó là tình thân trong gia đình Didactic.

- GS.TS. Annie Bessot và GS.TS. Hamid Chaachoua, hai giáo sư đã cho tôi

những góp ý quan trọng cho luận văn của mình.

- TS. Trần Huyên, người thầy mà tôi học hỏi được nhiều điều về phương pháp

tư duy trong toán học.

- Anh Ngô Minh Đức đã cho tôi những lời khuyên hữu ích.

- Các bạn trong lớp Didactic K26, những người cho tôi một lần nữa được sống

với thời đi học đầy sôi nổi và tràn ngập yêu thương. Đặc biệt là chị Bích Siêng và

Minh Yến, hai người bạn luôn đồng hành với tôi trong suốt quá trình học, chia sẻ vui

buồn và đã hết lòng hỗ trợ tôi thực nghiệm thành công.

- Ban Giám Hiệu và các thầy cô thuộc Tổ Toán – Tin, trường THPT chuyên

Lê Quý Đôn, Ninh Thuận đã tạo mọi điều kiện để tôi tham gia học tập và hoàn thành

tốt luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn vô hạn đến các thành viên trong gia đình tôi,

họ đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện để tôi có thể chuyên tâm học tập.

Trương Thị Oanh

MỤC LỤC

Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các chữ viết tắt Danh mục các bảng Danh mục các hình MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 1 Chương 1. CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN ....................... 7 1.1. Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển khái niệm tích phân .............................. 7

1.2. Các cách tiếp cận khái niệm tích phân và đặc trưng của các cách tiếp cận ....... 10

1.2.1. Cách tiếp cận thứ nhất – Tiếp cận dựa trên bài toán là nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân: Tích phân là diện tích của hình phẳng (thể tích của vật thể) ............................................................................................................................... 10 1.2.2. Cách tiếp cận thứ hai - Tiếp cận dựa trên việc chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và chuyển qua giới hạn tổng các xấp xỉ đó: Tích phân là giới hạn của tổng vô hạn các vô cùng bé. ................................................ 10 1.2.3. Cách tiếp cận thứ ba - Tiếp cận dựa trên mối quan hệ giữa tích phân và vi phân: Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm. .............................................. 12 1.3. Kết luận............................................................................................................... 14

Chương 2. MỐI QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN 12 ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN ................................................................. 15 2.1. Khái niệm tích phân được trình bày trong SGK12 ............................................. 15

2.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản.............................................................. 15 2.1.2. Hai phương pháp tính tích phân .................................................................. 18 2.1.3. Ứng dụng hình học của tích phân ................................................................ 19 2.2. Các praxéologies được SGK12 và SBT12 đề cập .............................................. 21

2.2.1. Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức tự luận .......................................... 21 2.2.2. Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc nghiệm .................................. 35 2.3. Phân tích các Đề minh họa và đề chính thức của Bộ GD-ĐT trong năm học 2016 – 2017 liên quan đến khái niệm tích phân ........................................................ 37

2.3.1. Các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016 - 2017 37 2.3.2. Đề thi chính thức của Bộ GD-ĐT ngày 22/06/2017 ................................... 46 2.4. Kết luận............................................................................................................... 50

Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN CỦA GIÁO VIÊN .......................................................................... 53 3.1. Nghiên cứu thực hành dạy học của GV1 dạy chương trình Nâng cao ............... 53

3.1.1. Những praxéologie quan sát được ............................................................... 53 3.1.2. Tổ chức dạy học được GV1 sử dụng để đưa vào các praxéologie .............. 54 3.1.3. Kết luận về nghiên cứu thực hành dạy học của GV1 .................................. 61 3.2. Nghiên cứu thực hành dạy học của GV2 dạy chương trình Chuẩn .................... 61

3.2.1. Những praxéologie quan sát được và các tổ chức dạy học được GV2 sử dụng để đưa vào các praxéologie này .................................................................... 62 3.2.3. Kết luận về nghiên cứu thực hành dạy học của GV2 .................................. 64 3.3. Kết luận............................................................................................................... 65

Chương 4. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ..................................................... 67 4.1. Giới thiệu nội dung thực nghiệm ........................................................................ 67

4.2. Phân tích tiên nghiệm ......................................................................................... 69

4.2.1. Biến tình huống ........................................................................................... 69 4.2.2. Giải thích sự lựa chọn và cái có thể quan sát .............................................. 69 4.3. Phân tích hậu nghiệm ......................................................................................... 76

4.3.1. Phần 1 .......................................................................................................... 76 4.3.2. Phần 2 .......................................................................................................... 78 4.4. Kết luận............................................................................................................... 94

KẾT LUẬN ............................................................................................................ 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 97 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Từ viết tắt

Kí hiệu

Bộ Giáo dục và Đào tạo

Bộ GD-ĐT CH KNV MTBT GT SGK SGV Câu hỏi Kiểu nhiệm vụ Máy tính bỏ túi Giả thuyết Sách giáo khoa Sách giáo viên

SBT Sách bài tập

SGK11 Sách giáo khoa giải tích 11

SGK12 Sách giáo khoa giải tích 12

SGKHH Sách giáo khoa hiện hành

SGVĐSCB10 Sách giáo viên đại số cơ bản 10

SGKCB12 Sách giáo khoa giải tích cơ bản 12

SGVCB12 Sách giáo viên giải tích cơ bản 12

SBTCB12 Sách bài tập giải tích cơ bản 12

SGKNC12 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12

SGVNC12 Sách giáo viên giải tích nâng cao 12

SBTNC12 Sách bài tập giải tích nâng cao 12

THPT Trung học phổ thông

TCN Trước công nguyên

Tr Trang

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1.Thống kê các nhiệm vụ của 7 KNV được SGKHH đề cập ............................ 34

Bảng 2.2. Thống kê số lượng nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc nghiệm của

SGKHH ......................................................................................................................... 36

Bảng 2.3. Thống kê số lượng nhiệm vụ trong các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới

thiệu trong năm học 2016 - 2017 ................................................................................... 38

Bảng 3.1. Thống kê những praxéologie quan sát được của GV1 .................................. 54

Bảng 3.2. Thống kê những praxéologie quan sát được của GV2 .................................. 62

Bảng 4.1. Thống kê số lượng GV từng trường và chương trình GV dạy năm học 2016 -

2017 ............................................................................................................................... 76

Bảng 4.2. Thống kê số năm dạy 12 và số năm công tác ............................................... 77

Bảng 4. 3. Thống kê mục đích sử dụng kết quả thi môn toán của HS .......................... 77

Bảng 4.4. Thống kê câu trả lời câu hỏi 1 ....................................................................... 78

Bảng 4.5. Thống kê về số lượng chiến lược được nêu ở câu hỏi 2 ............................... 79

Bảng 4.6. Thống kê chiến lược ưu tiên ở câu hỏi 2 ....................................................... 80

Bảng 4.7. Thống kê số lượng GV dạy các ứng dụng của tích phân .............................. 92

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 4.1. Câu hỏi 1 – Trả lời của GV2 ................................................................... 78 Hình 4.2. Câu hỏi 1 – Trả lời của GV6 ................................................................... 79 Hình 4.3. Câu hỏi 2 - Câu 1 - Trả lời của GV9 ...................................................... 80 Hình 4.4. Câu hỏi 2 - Câu 2 - Trả lời của GV13 ..................................................... 80 Hình 4.5. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV3 .................................................................... 83 Hình 4.6. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV8 .................................................................... 83 Hình 4.7. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV16 .................................................................. 83 Hình 4.8. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV2 .................................................................... 83 Hình 4.9. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV4 .................................................................... 84 Hình 4.10. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV2 .................................................................. 84 Hình 4.11. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV15 ................................................................ 84 Hình 4.12. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV4 .................................................................. 85 Hình 4.13. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV22 ................................................................ 85 Hình 4.14. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV17 ................................................................ 85 Hình 4.15. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV8 .................................................................. 86 Hình 4.16. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV3 .................................................................. 89 Hình 4.17. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV15 ................................................................ 89 Hình 4.18. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV5 .................................................................. 90 Hình 4.19. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV13 ................................................................ 91 Hình 4.20. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV2 .................................................................. 91 Hình 4.21. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV13 ................................................................ 92 Hình 4.22. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV1 .................................................................. 93 Hình 4.23. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV19 ................................................................ 93

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Bộ SGKHH nằm trong bộ chương trình THPT môn Toán được ban hành theo

quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 05/5/2006 của Bộ GD-ĐT. Bộ sách này

1. Hỗ trợ việc đổi mới phương pháp dạy và học

2. Trong phạm vi cho phép cố gắng giới thiệu văn hóa Toán học, làm cho Toán học

gần đời sống và vui hơn

3. Bước đầu giới thiệu cách sử dụng máy tính bỏ túi và đưa ra các bài kiểm tra trắc

nghiệm.

…

[SGVĐSCB10, tr.4 – 5]

được biên soạn theo một số định hướng sau:

Kể từ năm 2009, đề thi của các kì thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Cao đẳng, Đại

học, kì thi THPT quốc gia, được viết dựa trên nội dung của bộ SGKHH. Thống kê các

bài tập liên quan đến khái niệm tích phân trong các kì thi trên tính đến năm 2016,

chúng tôi nhận thấy:

𝑏 𝑎

, ví dụ: “Tính + Có 22/23 bài được phát biểu dưới dạng Tính tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

2 tích phân ∫ 1

𝑥2−1 𝑥2 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

” [Đề tuyển sinh đại học năm 2013, khối A và A1],

+ Có duy nhất một bài về tính diện tích hình phẳng: “Tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đường cong 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 3 và đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 + 1” [Đề tuyển sinh

đại học năm 2014 khối A và A1]

So sánh với các đề thi tương ứng trước năm 2009, chúng tôi không thấy có sự

thay đổi các dạng bài tập liên quan đến khái niệm tích phân. Nếu có, sự thay đổi chỉ ở

độ khó của đề thi giảm so với trước đây.

Như vậy, mặc dù chương trình và SGKHH đã được đổi mới so với trước năm

2006 nhưng đề thi lại không có sự đổi mới tương ứng. Trong khi đó kết quả thi cử lại

được xem là mục đích đào tạo. Do đó chúng ta có thể dự đoán việc dạy học của GV

Toán 12 sẽ khó có những thay đổi đáng kể. Khái niệm tích phân có thể chỉ được khai

thác ở các kĩ thuật đại số, còn việc hiểu rõ bản chất và các ứng dụng có thể bị xem nhẹ.

Dẫn đến những đổi mới trong SGK chưa thực sự đem lại hiệu quả.

Kì thi THPT quốc gia 2017 đánh dấu sự thay đổi lớn về hình thức kiểm tra môn

Toán. Lần đầu tiên môn Toán được tổ chức thi bằng hình thức trắc nghiệm khách

quan, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng. Với hình thức trắc nghiệm, nội

dung đề thi sẽ rộng hơn, không còn bó hẹp trong một số dạng toán quen thuộc. Đây là

cơ hội để bộ SGKHH được GV khai thác triệt để và theo đó những kiến thức liên quan

đến khái niệm tích phân được đề cập trong bộ sách này cũng được GV quan tâm thích

đáng. Khi đó câu hỏi đặt ra là khái niệm tích phân đã thực sự được SGKHH trình bày

thỏa đáng chưa? SGKHH có chuẩn bị những nền tảng cho việc thay đổi hình thức thi

hay không?

Tuy nhiên, hình thức thi đột ngột thay đổi (ngày 8/9/2016 Bộ GD-ĐT công bố dự

thảo, ngày 28/9/2016 chốt phương án). Bên cạnh đó, đề thi trắc nghiệm chỉ cần chọn

đáp án đúng, MTBT lại có chức năng tính tích phân nên câu hỏi tính tích phân như

trước đây sẽ nhanh chóng tìm được đáp án mà không cần dùng đến các kiến thức về

tích phân. Những điều trên đặt ra nhiều thách thức cho GV dạy toán 12 và chắc chắn

buộc họ phải thay đổi cách dạy học của mình. Vậy thực tế những thay đổi đó là gì?

GV có chú trọng giảng dạy đầy đủ các nội dung được SGK đề cập không? Họ có đề

cao vai trò và xem MTBT như một công cụ hữu hiệu để giải toán trắc nghiệm tích

phân không?

Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài Nghiên cứu thực hành dạy học

của GV về khái niệm tích phân.

2. Tổng quan về các công trình liên quan tới vấn đề nghiên cứu

Liên quan đến khái niệm tích phân đã có nhiều công trình nghiên cứu:

Về nghiên cứu tri thức luận: Trong luận văn của tác giả Trần Lương Công

Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn chính của HS khi tiếp thu khái

niệm tích phân, tác giả đã trình bày lịch sử hình thành khái niệm tích phân: Tích phân

xuất phát từ nhu cầu tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể. Các phương pháp

tính tích phân xuất phát từ thời Archimerdes và định nghĩa hoàn chỉnh bởi Riemann.

Tuy nhiên, SGKHH chọn định nghĩa theo công thức Newton-Leibniz, công thức về

mối liên hệ giữa tích phân và đạo hàm, lại là nội dung chưa được chú ý khai thác trong

luận văn này. Nhưng điều thiếu hụt đó phần nào được tác giả Lê Thị Hoài Châu bổ

sung trong bài báo Phép tính tích phân và vi phân trong lịch sử đăng trên Tạp chí

Khoa học ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh, số 4 năm 2004. Bài báo đã không những chỉ ra

những bài toán gắn liền với phép tính tích phân, vi phân mà còn làm rõ mối quan hệ

giữa chúng. Từ hai công trình này, chúng tôi có thể thấy rằng, về cơ bản các yếu tố tri

thức luận của khái niệm tích phân đã được làm rõ. Chúng tôi có thể kế thừa chúng

trong đề tài của mình và có thể chắt lọc lại những nội dung cần thiết theo hướng

nghiên cứu đã chọn.

Về nghiên cứu mối quan hệ của thể chế dạy học toán 12 của Việt Nam đối

với khái niệm tích phân cũng đã có nhiều đề tài đề cập như luận văn của các tác giả:

- Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn

chính của HS khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại

học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.

- Phạm Lương Quý (2009), Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong

giảng dạy toán ở trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư

phạm TP. Hồ Chí Minh.

- Nguyễn Hoàng Vũ (2012), Nghiên cứu thực hành của GV trong dạy học tính

diện tích hình phẳng ở lớp 12, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP.

Hồ Chí Minh.

- Nguyễn Thị Phượng Linh (2013), Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích

phân ở trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP.

Hồ Chí Minh.

- Đậu Thanh Huyền (2016), Dạy học khái niệm tích phân ở THPT theo quan

điểm liên môn, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.

Tuy nhiên, do mục đích nghiên cứu khác nhau nên mỗi luận văn khai thác việc

phân tích theo những hướng khác nhau:

Đối với luận văn của Trần Lương Công Khanh (2002), tác giả phân tích sự

chuyển hóa sư phạm và các hợp đồng dạy học trong 3 bộ SGK trước bộ SGKHH nên

chỉ có thể dùng làm căn cứ so sánh. Bên cạnh đó, do yếu tố lịch sử, tác giả không phân

tích các tổ chức toán học.

Luận văn của tác giả Phạm Lương Quý quan tâm đến các điều kiện sinh thái

liên quan đến khái niệm tích phân: diện tích hình phẳng, khái niệm hàm số hợp, khái

niệm nguyên hàm. Và tác giả rút ra kết luận là các điều kiện này không đủ cho sự tồn

tại của tích phân. Các tổ chức toán học cũng không được đề cập. Đi sâu hơn về điều

kiện sinh thái, xét vai trò của đạo hàm hàm hợp đối với việc học tập phương pháp đổi

biến số khi tính tích phân là nội dung của luận văn Nguyễn Thị Phượng Linh. Tác giả

kết hợp phân tích SGK và phân tích tiết dạy của GV từ đó chỉ ra do khái niệm đạo hàm

hàm hợp được SGK định nghĩa hình thức khiến cho việc chọn ẩn trong phép đổi biến

số phụ thuộc vào một số dạng mẫu mà GV cung cấp.

Luận văn của tác giả Nguyễn Hoàng Vũ chỉ quan tâm đến diện tích hình phẳng

và như vậy chỉ phân tích các nội dung và các KNV liên quan đến nó; kết hợp phân tích

thực hành dạy học và phiếu khảo sát GV, tác giả chỉ ra rằng cho dù việc biểu diễn hình

phẳng bằng đồ thị có nhiều lợi ích và được hai bộ SGK chú trọng nhưng trong thực

hành thì GV hiếm khi dùng. Còn tác giả Đậu Thanh Huyền chỉ quan tâm đến liên môn

giữa toán và vật lí nên chỉ tập trung phân tích các KNV làm rõ sự liên môn này. Tuy

nhiên, mặc dù tác giả dựa trên nghĩa “tích phân là phép toán ngược của đạo hàm”

nhưng việc nghiên cứu các nghĩa của đạo hàm không được tác giả làm rõ dẫn tới đồ án

dạy học của tác giả cũng chỉ gói gọn trong 3 đại lượng quen thuộc: quãng đường, vận

tốc, thời gian.

Như vậy chúng ta có thể thấy rằng các phân tích về chương trình, SGK, thực

hành GV liên quan đến khái niệm tích phân đều đã có, tuy nhiên lại chưa có một phân

tích tổng thể về chương trình, SGKHH. Cũng chưa có một nghiên cứu nào chỉ ra tất cả

các KNV liên quan đến khái niệm tích phân xuất hiện trong SGKHH. Do đó, để phục

vụ cho nghiên cứu của mình, chúng tôi phải thực hiện lại việc phân tích quan hệ thể

chế đối với khái niệm tích phân, đặc biệt làm rõ các KNV được thể chế đề cập.

3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi vận dụng thuyết nhân học và lý thuyết tình huống của didactic toán,

đặc biệt là các công cụ quan hệ thể chế, praxéologies, tổ chức didactic để nghiên cứu

đề tài của mình.

4. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lí thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại các câu

hỏi ban đầu thành hệ thống các câu hỏi nghiên cứu sau:

CH1: Khái niệm tích phân có những cách tiếp cận nào và đặc trưng của những

cách tiếp cận này?

CH2: Trong thể chế dạy học toán 12 ở Việt Nam, những cách tiếp cận khái

niệm tích phân nào được trình bày? Trình tự và cách thức giới thiệu các kiến thức liên

quan đến khái niệm tích phân như thế nào? Có những praxéologies nào được thể chế

đề cập? MTBT tác động như thế nào lên các kĩ thuật của các praxéologies này?

CH3: Trước sự thay đổi hình thức thi của Bộ GD-ĐT, trong thực hành dạy học,

GV có thực hiện theo tiến trình giới thiệu các kiến thức tích phân trong SGK không?

Có những điểm gì khác? Các praxéologies nào được GV đưa vào trong thực tế giảng

dạy? Các praxéologies này có gì giống và khác so với các praxéologies được trình bày

trong SGK và các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016-2017?

Việc trả lời các câu hỏi trên là mục tiêu của luận văn.

5. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, chúng tôi tiến hành các phương pháp sau:

Trước hết, chúng tôi thực hiện việc nghiên cứu tri thức luận. Do tích phân đã có

các công trình nghiên cứu tri thức luận từ trước nên chúng tôi chỉ tham khảo các công

trình đó và rút ra các cách tiếp cận tích phân và các đặc trưng của từng cách tiếp cận.

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu thể chế dạy học toán 12 của Việt Nam thông

qua việc phân tích chương trình, SGK toán 12 để làm rõ cách tiếp cận khái niệm tích

phân mà thể chế lựa chọn. Chỉ ra những praxéologies liên quan đến khái niệm tích

phân. Đặc biệt quan tâm đến cách phát biểu, kĩ thuật giải quyết các praxéologies này.

Nghiên cứu những ảnh hưởng của việc lựa chọn cách tiếp cận lên các praxéologies

được đề cập cũng như sự tác động của MTBT lên kĩ thuật giải quyết chúng.

Chúng tôi tiếp tục nghiên cứu thực tiễn bằng việc phân tích các Đề minh họa

được Bộ GD-ĐT công bố trong năm học 2016 - 2017 để làm rõ ảnh hưởng của việc

làm bài môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm và chức năng tính tích phân của MTBT

lên các praxéologies. Đồng thời, chúng tôi tiến hành dự giờ, ghi âm, viết biên bản và

từ đó phân tích một số tiết dạy của hai GV dạy chương trình Chuẩn và chương trình

Nâng cao để chỉ ra những thay đổi của họ trong dạy học khái niệm tích phân.

Cuối cùng, chúng tôi phát biểu các giả thuyết về sự thay đổi trong dạy học của

GV khi Bộ GD – ĐT thay đổi hình thức thi. Từ đó, chúng tôi thực hiện khảo sát trên

khoảng 20 GV để kiểm chứng những thay đổi này có đúng cho số đông GV không.

Luận văn được trình bày theo cấu trúc như sau:

Mở đầu

Chương 1. Các cách tiếp cận khái niệm tích phân

Chương 2. Mối quan hệ của thể chế dạy học toán 12 đối với khái niệm tích phân

Chương 3. Nghiên cứu thực hành dạy học khái niệm tích phân của giáo viên.

Chương 4. Nghiên cứu thực nghiệm

Kết luận

Chương 1. CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

CH1: Khái niệm tích phân có những cách tiếp cận nào và đặc trưng của những

cách tiếp cận này?

Trả lời câu hỏi trên là mục tiêu của chương này. Để thực hiện điều đó, chúng tôi

rút ra các kết quả dựa trên việc nghiên cứu các tài liệu sau:

1. Trần Bình (2006), Giải tích I: Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến

(Dùng cho sinh viên kĩ thuật, cao đẳng, đại học, sau đại học), Nxb Khoa học

và Kĩ thuật.

2. Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004), “Phép tính tích phân và vi phân

trong lịch sử”, Tạp chí khoa học ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh, số 4, tr.14 – 26.

3. Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở

trường phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí

Minh.

4. Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn

chính của HS khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại

học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.

5. Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong

dạy học toán ở trường trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học

Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.

6. Lê Văn Tiến (2000), “Một số quan điểm khác nhau về giảng dạy giải tích ở

trường phổ thông”, Nghiên cứu giáo dục, số chuyên đề (338), tr.23 – 25.

1.1. Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển khái niệm tích phân

Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, bài toán tính diện tích của các hình phẳng, thể

tích của các vật thể đã được đặt ra từ thời cổ đại. Công thức tính của các hình đơn giản

đã sớm được tìm ra và xuất hiện nhu cầu tìm cơ sở lý thuyết cho các công thức này

cũng như một quy tắc tổng quát để tính diện tích, thể tích của những hình phức tạp

hơn. Nhà bác học Democrite (thế kỉ 5 TCN) đã vận dụng thuyết nguyên tử của ông

tính được diện tích của một số hình bằng cách chia nhỏ chúng. Tuy nhiên các lý luận

của ông không thỏa mãn các đòi hỏi về tính chặt chẽ toán học.

Mặc dù Eudoxe (410 – 356 TCN) là người đầu tiên xây dựng phương pháp vét

cạn, phương pháp thỏa mãn các đòi hỏi về tính chặt chẽ toán học, nhưng Archimedes

(khoảng 287 – 212 TCN) được xem là người đã dùng thành công phương pháp này để

tính diện tích, thể tích. Để tính diện tích một hình B, Archimedes xây dựng một dãy

các hình 𝐴𝐾 nội tiếp nó. Dãy 𝐴𝐾 được xây dựng sao cho diện tích chúng tính được, tạo

thành cấp số nhân lùi vô hạn, dần vét cạn hình B. Bằng việc tính tổng của n hình 𝐴𝐾

đầu tiên cộng với một lượng dư, ông tìm ra giới hạn A của dãy các hình nội tiếp và

dùng phản chứng chứng minh A là diện tích của B. Cách làm này đã được một số nhà

toán học đời sau kế thừa và một số tích phân đặc biệt đã được tính. Cuối cùng, Valerio

(1552 – 1618) đã sửa đổi và tổng quát hóa phương pháp vét cạn, chuỗi tính tổng không

dừng lại ở n hình mà có thể bổ sung cho đến khi sự khác biệt giữa hình phẳng và đa

giác nội tiếp nó là đủ bé.

Vào đầu thế kỉ XX, người ta khám phá ra rằng thực chất Archimedes đã dùng

phương pháp “cơ học” để tìm diện tích rồi sau đó mới dùng phương pháp vét cạn để

chứng minh kết quả. Tư tưởng chính của phương pháp “cơ học” là cắt hình ra thành

một số rất lớn các dải mỏng song song (hoặc lớp mỏng song song). Phương pháp này

rất gần với phương pháp “bất khả phân” do Cavalieiri (1598 – 1647) xây dựng. Theo

Cavalieiri, hình phẳng được xem là tổng vô hạn các đoạn thẳng cùng song song với

một đường thẳng nào đó làm chuẩn. Những đoạn thẳng này, nằm giữa hai tiếp tuyến

song song với chuẩn, được gọi là các bất khả phân. Chúng hoàn toàn không có bề

rộng. Diện tích của hình phẳng được xem là tổng diện tích của các bất khả phân được

lấy đồng thời.

Phương pháp của Cavalieiri có nhiều hạn chế về lí luận và tính toán. Nhà toán

học Kepler (1571 – 1630) lựa chọn phương pháp trực giác hơn – tính tổng trực tiếp

trên các đại lượng vô cùng bé. Ông chia một vật thành vô hạn các phần tử vô cùng bé

có cùng kích thước rồi tính tổng. Mặc dù ông đã tính được nhiều diện tích, thể tích các

hình nhưng các lập luận của ông thiếu tính chặt chẽ, còn mang nặng sự hình dung trực

quan.

Như vậy từ thời cổ đại đến đầu thế kỉ XVII, khái niệm tích phân đã được các nhà

toán học nghiên cứu. Nhiều phương pháp đã được đưa ra, một số diện tích, thể tích đã

được tính. Phương pháp của họ phần nhiều mang yếu tố trực quan, phạm vi thuần túy

là hình học. Tích phân càng được phát triển thì các nhà toán học càng không thể tránh

khỏi phải làm việc với các đại lượng vô hạn và vô cùng bé, đó là một trở ngại lớn. Các

khái niệm cần thiết như giới hạn, tổng vô hạn,… chưa được định nghĩa. Do đó họ chưa

thành công trong việc xây dựng lý thuyết tích phân tổng quát. Tuy nhiên, tư tưởng

chính khi tính tích phân đã hình thành: chia hình thành từng miếng nhỏ, xấp xỉ trên

(hoặc dưới) từng miếng nhỏ rồi lấy tổng các xấp xỉ đó.

Đến thế kỉ XVII, dựa trên quan điểm của hình học giải tích, kế thừa phương pháp

của trường phái Archimedes, Fermat (1601 – 1665) đã phát triển và xây dựng một

phương pháp tổng quát để cầu phương tất cả các parabol và hyperbol nhờ cấp số nhân.

Để tính diện tích một hình, Fermat chia hình đó ra thành những dải hẹp bằng các tung

độ cách đều, tính các tổng trên, tổng dưới, rồi tăng số điểm chia ra vô hạn và tiến hành

cầu phương. Phương thức của Fermat cho phép phát triển khía cạnh thuật toán của giải

tích các vô cùng bé. Pascal (1623 – 1662) đã hoàn thiện các phương pháp cầu phương

của những người đi trước, đánh giá cao tầm quan trọng của phương pháp giải tích và

so sánh phần tử “Không thể phân chia được” trong hình học với số 0 trong số học, từ

đó đối chiếu quan điểm hình học và số học.

Một bước đánh dấu quan trọng trong tiến trình phát triển và hoàn thiện khái niệm

tích phân khi mối liên hệ giữa bài toán tiếp tuyến và bài toán diện tích được tìm ra.

Barrow (1630 – 1677) là người đầu tiên nhận rõ mối liên hệ này nhưng Newton (1642-

1727) mới là người thành công trong việc thiết lập mối quan hệ giữa đạo hàm và tích

phân. Ông đã liên hệ giữa tích phân và đạo hàm, coi tích phân là phép toán ngược của

đạo hàm. Newton chỉ dùng tích phân bất định và dùng tỉ số biến thiên của diện tích,

thể tích để tính chúng. Ông phát triển tích phân dựa trên nghiên cứu các chuyển động

và các biến là các đại lượng biến thiên, các kết quả của ông dùng để ứng dụng trong

vật lý và thiên văn học,… Song song đó, Leibniz (1646 – 1716) cũng là người phát

hiện mối liên hệ này, đưa ra những kí hiệu ngắn gọn và hiệu quả để kí hiệu tích phân.

Khác với Newton, Leibniz sử dụng tích phân xác định và xem diện tích lẫn thể tích

như tổng các phần tử vô cùng bé.

Tuy nhiên phải đợi đến thế kỉ XIX, vào năm 1823, Cauchy (1789-1857) mới là

người đầu tiên đưa ra định nghĩa tích phân nhờ hai khái niệm hàm số và khái niệm giới

hạn đã được định nghĩa, đặc biệt ông nhấn mạnh sự cần thiết phải chứng minh sự tồn

tại của tích phân trước khi làm rõ các tính chất của chúng. Và Riemann (1826-1866)

đã hoàn thiện và xây dựng một lý thuyết tích phân tổng quát.

Ngày nay, khái niệm tích phân đã rất phát triển, lý thuyết tích phân hiện đại gồm

hai phần chính: Tích phân của các hàm số và độ đo của các tập hợp. Giới hạn trong đề

tài này, chúng tôi chỉ quan tâm đến các tích phân đối với các hàm số nhận giá trị thực

và không đề cập đến yếu tố độ đo.

1.2. Các cách tiếp cận khái niệm tích phân và đặc trưng của các cách tiếp cận

Dựa vào lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tích phân, chúng tôi chỉ

ra được 3 cách tiếp cận khái niệm này.

1.2.1. Cách tiếp cận thứ nhất – Tiếp cận dựa trên bài toán là nguồn gốc nảy

sinh khái niệm tích phân: Tích phân là diện tích của hình phẳng (thể tích của vật

thể)

Cách tiếp cận này dựa trên nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân. Nhu cầu

tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể đã làm xuất hiện khái niệm này. Tuy nhiên,

nếu chỉ giới hạn trong phạm vi hình học thì sẽ không thể xây dựng một khái niệm tích

phân tổng quát - điều mà các nhà toán học trước thế kỉ XVII đã gặp phải. Quá trình tìm

lời giải tổng quát cho các bài toán trên thúc đẩy sự phát triển, hoàn thiện và xây dựng

nên các cách tiếp cận còn lại của khái niệm tích phân.

Cách tiếp cận này thể hiện được nghĩa hình học của khái niệm.

1.2.2. Cách tiếp cận thứ hai - Tiếp cận dựa trên việc chia nhỏ đối tượng cần

tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và chuyển qua giới hạn tổng các xấp xỉ đó: Tích

phân là giới hạn của tổng vô hạn các vô cùng bé.

Tư tưởng chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và tính tổng

các xấp xỉ đã xuất hiện từ thời cổ đại mà Archimedes là đại diện tiêu biểu. Tư tưởng

này đóng vai trò xuyên suốt trong cách thức để giải quyết bài toán tính diện tích, thể

tích. Nó trải qua quá trình lâu dài để hoàn thiện. Trước tiên là việc chấp nhận đối

tượng vô hạn và vô cùng bé của các nhà toán học châu Âu trước thế kỉ XVII. Việc

Fermat vận dụng quan điểm hình học giải tích để tìm lời giải tổng quát cho các bài

toán cầu phương parabol và hypebol giúp phát triển khía cạnh thuật toán của giải tích

các vô cùng bé. Đến thế kỉ XVIII, khi khái niệm giới hạn được định nghĩa, việc

chuyển qua giới hạn mới chính thức được áp dụng trong định nghĩa tích phân của

Cauchy và sau đó được Riemann hoàn thiện. Phát biểu tường minh định nghĩa tích

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định và bị chặn trong đoạn [𝑎; 𝑏], chia [𝑎; 𝑏] ra làm n phần

bất kì bởi các điểm 𝑎 = 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛+1 = 𝑏 và đặt ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛). Trong mỗi đoạn [𝑥𝑖; 𝑥𝑖+1] (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) lấy một điểm 𝜉𝑖 tùy ý. Lập tổng 𝐼𝑛 = ∑ 𝑓(

𝜉𝑖)∆𝑥𝑖.

𝑛 𝑖=1

Quy ước nếu 𝑛 → ∞ thì mọi ∆𝑥𝑖 → 0 hay 𝜆 = 𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑖 → 0

Nếu 𝐼𝑛 dần tới một giới hạn I xác định khi 𝜆 → 0, không phụ thuộc vào các chia đoạn [𝑎; 𝑏] và và cách chọn các điểm 𝜉𝑖 thì ta gọi I là tích phân xác định hay tích phân của hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎; 𝑏].

Kí hiệu 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝜉𝑖 )∆𝑥𝑖

𝑛 ∑ 𝑓( 𝑖=1

𝑏 𝑎

= lim 𝜆→0

phân theo cách tiếp cận này chính là định nghĩa tích phân Riemann:

[Trần Bình, tr.211]

Theo định nghĩa được nêu ở trên thì các đoạn phân hoạch không cần đều nhau

và hàm số f không cần liên tục trên [𝑎; 𝑏], giá trị của tích phân không phụ thuộc vào

phép phân hoạch. Định nghĩa này thể hiện bản chất của tích phân và tiếp cận định

nghĩa này có thể giúp hiểu được các kí hiệu do Leibniz nghĩ ra và được dùng đến ngày

Tích phân của hàm số f trên đoạn [𝑎; 𝑏] được ông định nghĩa là giới hạn của tổng tích

phân 𝑙𝑖𝑚 ∑

𝑓(𝑥𝑖)

(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) (1). Thời Leibniz hiệu 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 thường được viết là

𝑛−1 𝑖=0

𝑑𝑥𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 do d là chữ đầu của chữ Latinh “diferentia” (hiệu số). Do đó giới hạn

(1) được viết lại thành 𝑙𝑖𝑚 ∑

𝑓(𝑥𝑖)

𝑑𝑥𝑖. Kí hiệu ∑ (tổng số) cũng như chữ S có

𝑛−1 𝑖=0

nguồn gốc từ chữ Latinh “summa” (có nghĩa là tổng số). Dấu tích phân ∫ là một biến

muốn nói rằng đây là giới hạn của tổng

dạng đơn giản của chữ S. Kí hiệu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎

các số hạng 𝑓(𝑥𝑖)𝑑𝑥𝑖.

[SGKNC12, tr.157]

nay.

Chúng ta có thể thấy rằng, định nghĩa theo cách tiếp cận này đem lại nhiều lợi

ích về mặt hiểu khái niệm tích phân. Tuy nhiên, như lịch sử đã thể hiện, các nhà toán

học đã rất khó khăn và mất nhiều thời gian để vượt qua sự trở ngại khi phải làm việc

với các đại lượng vô hạn, vô cùng bé. Đó cũng có thể là trở ngại của HS. Việc tính

toán trực tiếp tích phân dựa vào định nghĩa trên thường khá phức tạp, đòi hỏi nắm

vững khái niệm giới hạn, sử dụng được các phương pháp, kĩ thuật xấp xỉ của giải tích.

Và việc nắm vững quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn là điều tiên quyết.

Cách tiếp cận này thể hiện được nghĩa giải tích của khái niệm tích phân.

1.2.3. Cách tiếp cận thứ ba - Tiếp cận dựa trên mối quan hệ giữa tích phân và

vi phân: Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm1.

Thế kỉ XVII, từ việc tìm ra mối liên hệ giữa bài toán tiếp tuyến và bài toán diện

tích đã giúp phát hiện ra mối liên hệ giữa tích phân và đạo hàm. Mối liên hệ này được

phát biểu thành định lí sau, định lí mang tên hai nhà toán học đã phát minh ra nó Công

Nếu 𝑓(𝑥) liên tục trên [𝑎; 𝑏] thì ta có công thức:

𝑏

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Trong đó 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎; 𝑏].

thức Newton – Leibniz:

[Trần Bình, tr.225]

Công thức Newton – Leibniz cho phép tính tích phân xác định một cách đơn

giản nếu biết một nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân. Do một số lớp hàm liên

tục có nguyên hàm biểu thị được qua các hàm sơ cấp nên có thể áp dụng công thức

trên để tính tích phân của chúng một cách dễ dàng. Với cách tiếp cận này người ta có

thể tránh được các phương pháp và kĩ thuật xấp xỉ, tránh việc phải làm việc với các đại

lượng biến thiên, sự vô hạn và các vô cùng bé – những khái niệm vốn rất trừu tượng,

cho phép việc phát triển các phép toán và quy trình kiểu đại số.

1 Phát biểu “Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm” có sự lạm dụng từ “tích phân”, chính xác phải là “Phép lấy nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm”. Tuy nhiên để nhấn mạnh khái niệm được đề cập trong luận văn là tích phân nên chúng tôi lựa chọn trình bày như vậy.

Mặc dù cùng xuất phát từ bài toán tiếp tuyến giống Leibniz, Newton lại tìm ra

mối liên hệ của đạo hàm và tích phân dựa trên cơ sở khái niệm chuyển động - quan

𝑧(𝑥+𝑜)−𝑧(𝑥)

Newton đã chỉ ra điều gì? Cái mà ông đang khảo sát là

chính là tốc độ

𝑜

biến đổi của diện tích z và theo trên thì tốc độ này lại chính là tọa độ y. Nói cách khác,

Newton đã chỉ ra rằng hàm 𝑦(𝑥) chính là đạo hàm (tốc độ biến đổi) của hàm diện tích

𝑧(𝑥). Như vậy, bài toán tìm tiếp tuyến và tính diện tích hóa ra lại là hai quá trình

ngược nhau.

điểm có cơ sở từ vật lí.

[Ngô Minh Đức, tr.20]

Với quan điểm này, Newton đã đem lại nghĩa Tốc độ biến thiên của hàm số của

khái niệm đạo hàm và mở ra những ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khái

Ý tưởng của Newton đã mang lại cho đạo hàm một đặc trưng rất trực quan và hữu ích:

đạo hàm là thước đo tốc độ biến thiên của hàm số so với tốc độ biến thiên của đối số.

Quan niệm này đã mở đường cho những ứng dụng ồ ạt, mạnh mẽ và vô cùng hiệu quả

của đạo hàm nói riêng, Giải tích nói chung, trong việc giải quyết nhiều vấn đề khác

nhau của vật lí cũng như toán học, để rồi từ đó mở rộng ra các lĩnh vực khác của thực

tiễn.

niệm này.

[Lê Thị Hoài Châu (2014), tr.10]

Khi đó, từ mối liên hệ của đạo hàm và tích phân, có thể mở rộng các vấn đề,

lĩnh vực tác động của tích phân trên cơ sở: vấn đề nào giải quyết được bằng đạo hàm

thì vấn đề ngược lại có thể giải quyết được bằng tích phân. Và điều này chỉ có thể thực

hiện khi khái niệm đạo hàm được trang bị nghĩa Tốc độ biến thiên của hàm số và các

vấn đề ứng dụng nghĩa này được giới thiệu. Từ mối quan hệ này mà chúng ta có thể

xem nghĩa Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm là nghĩa Vật lí của tích phân.

Tuy rằng có nhiều ưu điểm nhưng công thức Newton – Leibniz cũng có khuyết

điểm. Vì chỉ áp dụng được đối với hàm số liên tục trên đoạn lấy tích phân và phải tìm

được một nguyên hàm của hàm số đó nên giới hạn lại lớp hàm được khảo sát. Và nếu

chọn định nghĩa tích phân theo cách tiếp cận này thì chỉ thấy được mối quan hệ giữa

tích phân và đạo hàm, không hiểu được thực sự bản chất của khái niệm tích phân. Các

vấn đề tích phân tác động có mở rộng hay không phụ thuộc vào việc trang bị nghĩa

Tốc độ biến thiên của hàm số của khái niệm đạo hàm.

1.3. Kết luận

Cách tiếp cận thứ nhất và thứ hai đã cùng song song tồn tại trong quá trình hình

thành và phát triển khái niệm tích phân. Cách tiếp cận thứ nhất nêu ra bài toán là

nguồn gốc nảy sinh. Cách tiếp cận thứ hai chỉ ra cách thức giải quyết bài toán và giúp

tích phân có vai trò đối tượng toán học, là một khái niệm cơ bản của giải tích. Đến thế

kỉ XVII, Newton và Leibniz phát hiện ra bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong và bài

toán tính diện tích là hai quá trình ngược nhau giúp tìm ra cách tiếp cận thứ ba. Tuy ra

đời sau nhưng cách tiếp cận thứ ba giúp cho việc tính toán đơn giản tích phân một lớp

hàm khá lớn và có khả năng mở rộng lĩnh vực tác động của tích phân. Cả ba cách tiếp

cận đều có những ưu và khuyết điểm riêng. Tuy nhiên, để hiểu đúng bản chất khái

niệm tích phân thì điều tiên quyết là tiếp cận tích phân theo cách thứ hai.

Như vậy, cách tiếp cận thứ hai đóng vai trò chủ đạo trong việc lĩnh hội tri thức

tích phân. Hai cách tiếp cận còn lại giúp cho việc hiểu rõ nguồn gốc, tính toán nhẹ

nhàng và mở rộng lĩnh vực vận dụng. Do đó ba cách tiếp cận này đều cần được đề cập

trong giảng dạy để người học có thể hiểu đúng và vận dụng được tích phân vào cuộc

sống.

Chương 2. MỐI QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN 12

ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích chương trình, SGK giải tích lớp 12

(cả hai bộ sách theo chương trình Chuẩn và chương trình Nâng cao) và các Đề minh

họa, Đề chính thức của Bộ GD-ĐT trong năm học 2016 - 2017 để trả lời cho câu hỏi

CH2 gồm các ý sau:

1. Trong thể chế dạy học toán 12 ở Việt Nam, những cách tiếp cận khái niệm tích

phân nào được trình bày?

2. Trình tự và cách thức giới thiệu các kiến thức liên quan đến khái niệm tích

phân như thế nào?

3. Có những praxéologies nào được thể chế đề cập?

4. MTBT tác động như thế nào lên các kĩ thuật của các praxéologies này?

2.1. Khái niệm tích phân được trình bày trong SGK12

Khái niệm tích phân được trình bày ở chương III – Nguyên hàm, tích phân và

ứng dụng – gồm 3 nội dung chính: Định nghĩa và các tính chất cơ bản, hai phương

pháp tính tích phân là đổi biến số và từng phần, cuối cùng là ứng dụng hình học của

tích phân.

2.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Định nghĩa tích phân được hai bộ SGK lựa chọn là:

Cho 𝑓(𝑥) là hàm số liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏].

Cho hàm số 𝑓 liên tục trên 𝐾2. Nếu 𝐹 là một

Giả sử 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥)

nguyên hàm của 𝑓 trên 𝐾 thì hiệu số

trên đoạn [𝑎; 𝑏].

𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) được gọi là tích phân của 𝒇

Hiệu số 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) được gọi là tích phân

SGKCB12 SGKNC12

từ a đến b và kí hiệu là ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎

từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn

là

Trong trường hợp 𝑎 < 𝑏, ta gọi ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎

là

[𝑎; 𝑏]) của hàm số 𝑓(𝑥), kí hiệu

tích phân của 𝑓 trên đoạn [𝑎; 𝑏].

𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

[SGKNC12, tr.148] [SGKCB12, tr.105]

2 𝐾 là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đó.

Như vậy, cả hai bộ sách đều chọn định nghĩa theo cách tiếp cận thứ ba – tích

phân là phép toán ngược của đạo hàm. Các SGV giải thích sự lựa chọn này là “vì lí do

sư phạm”. Đối chiếu với nghiên cứu chương I, chúng tôi thấy lựa chọn này là phù hợp

với số đông HS. Vì cách tiếp cận thứ ba không gây nhiều khó khăn cho HS khi lĩnh hội

định nghĩa.

Các SGKHH đều giới thiệu định nghĩa bằng con đường quy nạp. SGKCB12

chọn cách dẫn dắt từ các bài toán tính diện tích hình thang. Mở đầu là tính diện tích

dựa vào các công thức cơ bản của hình học sơ cấp và bằng đạo hàm với hình thang

vuông. Sau đó chứng minh để chỉ ra mối quan hệ đạo hàm và tích phân cho trường hợp

một hình thang cong cụ thể. Cuối cùng tổng quát hóa cho trường hợp hình thang cong

bất kì. Trong các tình huống đều kèm hình vẽ minh họa trên hệ trục tọa độ. SGKNC12

lại chọn trình bày bài toán tính diện tích hình thang cong bất kì và bài toán quãng

đường – một ứng dụng vật lí dựa trên mối liên hệ tích phân và đạo hàm, để tổng quát

hóa thành định nghĩa tích phân. Bài toán quãng đường cũng được phát biểu tổng quát.

Sau khi phát biểu định nghĩa tích phân, SGKNC12 có một hoạt động yêu cầu chứng

minh công thức tính quãng đường trong trường hợp tổng quát và ví dụ minh họa cách

làm trong trường hợp cụ thể.

Với cách trình bày của SGK, có thể thấy rằng, cách tiếp cận thứ ba – tích phân

là phép toán ngược của đạo hàm - đóng vai trò chủ đạo trong cả hai bộ sách. Cách tiếp

cận thứ nhất cũng được đề cập trong bài toán xuất phát dẫn tới khái niệm tích phân và

sau này là ứng dụng hình học. Như vậy, mặc dù định nghĩa chính xác về tích phân

không được giới thiệu nhưng SGK đã chỉ ra được nguồn gốc và cung cấp định lí cơ

bản của khái niệm tích phân. SGKCB12 chỉ bó hẹp về ứng dụng hình học của tích

phân. SGKNC12 ngoài việc giới thiệu thêm bài toán quãng đường còn có câu dẫn dắt

vào định nghĩa: “Trong khoa học và kĩ thuật, có nhiều đại lượng quan trọng được biểu

thị bằng hiệu 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) trong đó 𝐹 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓 nào đó”

[SGKNC12, tr.148]. Qua đó, có thể thấy rằng, SGKNC12 mong muốn HS biết được

khái niệm tích phân có nhiều ứng dụng trong thực tế.

Cách tiếp cận thứ hai mặc dù không xuất hiện trong bài học nhưng đều xuất

hiện ở bài đọc thêm của hai bộ sách. SGKNC12 giới thiệu định nghĩa chính xác và giải

thích các kí hiệu tích phân trong mục Em có biết để HS thấy được bản chất của phép

tính tích phân. Bài đọc thêm của SGKCB12 chỉ trình bày cách tiếp cận thứ hai như là

một cách khác để tính diện tích chứ không phải là một cách định nghĩa tích phân. Sự

khác biệt này giữa hai bộ sách, có thể được giải thích là do sự khác nhau về đối tượng

HS mà các bộ sách nhắm tới.

Cách thức giới thiệu và sắp xếp thứ tự có đôi chút khác nhau nhưng cả hai bộ

SGK đều giới thiệu 5 tính chất cơ bản sau của tích phân3:

𝑎 𝑎

1) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝑎 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏

𝑏 𝑎

𝑑𝑥 2) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −

𝑐 𝑏

𝑐 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑏 𝑎

3) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏 𝑎

𝑏 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑏 𝑎

4) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +

𝑏 𝑎

với 𝑘 ∈ ℝ. 5) ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Ở tính chất thứ 3, SGKCB12 có chú thích thêm điều kiện 𝑎 < 𝑏 < 𝑐,

SGKNC12 do lựa chọn định nghĩa tích phân với hai điểm a, b bất kì trên K nên không

có điều kiện này. Các ví dụ vận dụng tính chất của SGKCB12 đều cho hàm số và cận

cụ thể, do đó có thể tìm ngay đáp án dựa vào MTBT. Trong khi đó, ví dụ của

. Hãy tính

và ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 3

3 Ví dụ 3. Cho ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −2 1

3 1

và ∫ [5 − 4𝑓(𝑥)]𝑑𝑥

3 ∫ [3𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 1

3 1

Giải:

= 3 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 3

. (−2) − 3 = −9

∫ [3𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 1

= 5 ∫ 𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 5.2 − 4. (−2) = 18

∫ [5 − 4𝑓(𝑥)]𝑑𝑥 1

SGKNC12 không cho hàm số cụ thể, do đó có thể hạn chế MTBT:

H5 Tìm b nếu biết rằng ∫ (2𝑥 − 4)𝑑𝑥 = 0

𝑏 0

[SGKNC12, tr.152]

3 Các tính chất được viết theo thứ tự ghi trong SGKNC12.

2.1.2. Hai phương pháp tính tích phân

Cùng trình bày hai phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần nhưng

SGKCB12 chọn tiến trình bài toán → định lí còn SGKNC12 chọn tiến trình suy diễn

và trình bày thêm chứng minh các định lí.

Cần nói thêm rằng hai phương pháp này đối với việc tìm nguyên hàm cũng đã

được các SGK trình bày chi tiết trước đó.

 Phương pháp đổi biến số

𝑏 𝑎

𝑑𝑥 bằng phương pháp đổi biến số, SGK giới thiệu Để tính tích phân ∫ 𝑓(𝑥)

hai cách đổi biến: Cách 1 là đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥) nếu có thể viết 𝑓(𝑥) = 𝑔[𝑢(𝑥)]. 𝑢′(𝑥), cách

2 là đặt 𝑥 = 𝜑(𝑡). Trong đó cách 1 đã có sự trình bày tương tự trong phương pháp đổi

biến số tìm nguyên hàm. SGKNC12 chọn trình bày cách 1 trước cách 2. Mặc dù có

câu dẫn “tương tự phương pháp đổi biến số trong việc tính nguyên hàm” nhưng

SGKCB12 lại trình bày cách 2 trước.

Để vận dụng được phương pháp này, đầu tiên HS cần phải xác định nên dùng

cách nào và lựa chọn được ẩn phù hợp. Tuy nhiên, theo nghiên cứu của Nguyễn Thị

Phượng Linh (2013) thì điều này không hề dễ dàng. Mặc dù đạo hàm hàm hợp là một

Muốn chọn ẩn phù hợp thì HS phải nắm vững khái niệm đạo hàm hàm hợp. Tuy nhiên

khái niệm đạo hàm hàm hợp được định nghĩa một cách hình thức như là một sự thay

thế các biến. SGK chỉ cung cấp các công cụ cho việc tính đạo hàm hàm hợp mà không

chú ý đến việc xác định dạng của hàm số hợp. Do đó khiến HS gặp khó khăn khi áp

dụng phương pháp này trong tính tích phân. Trong thực tế dạy học việc lựa chọn ẩn

thường được GV cung cấp một số dấu hiệu nhận biết đối với từng dạng hàm số.

[Nguyễn Thị Phượng Linh, tr.36]

điều kiện sinh thái của phương pháp đổi biến số nhưng:

Có lẽ ý thức được khó khăn này, SGVCB12 chỉ nêu yêu cầu: “ Sử dụng

phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một

.…không có quy tắc chung để xác định đổi biến số như thế nào. Trong phạm vi

chương trình phổ thông, ta chỉ xét những bài tìm nguyên hàm đơn giản, trong đó biểu

thức dưới dấu tích phân có dạng 𝑓[𝑢(𝑥)]. 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 trong trường hợp này ta đổi biến

lần) để tính tích phân”. Còn SGVNC12, nêu chú ý:

𝑢 = 𝑢(𝑥). Nếu phương pháp đổi biến số phức tạp hơn thì GV phải chỉ cho HS phương

pháp đổi biến số.

[SGVNC12, tr.184]

Mặc dù hầu hết các bài tập đều không hướng dẫn cách đặt ẩn, nhưng SGKNC12

lại có sự phân tích và hướng dẫn cách đưa vi phân vào dưới dấu tích phân trong việc

tìm nguyên hàm – cách này giúp phân tích dạng hàm hợp và tiết kiệm thời gian làm

Ví dụ 1. Tìm ∫(2𝑥 + 1)4𝑑𝑥

Giải: Ta có (2𝑥 + 1)4𝑑𝑥 =

(2𝑥 + 1)4(2𝑥 + 1)′𝑑𝑥 =

(2𝑥 + 1)4𝑑(2𝑥 + 1)

Đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥) = 2𝑥 + 1. Áp dụng công thức (2), ta có

∫(2𝑥 + 1)4𝑑𝑥 = ∫

(2𝑥 + 1)4𝑑(2𝑥 + 1) = ∫

𝑢4𝑑𝑢 =

∫ 𝑢4𝑑𝑢

1 2

𝑢5 + 𝐶 =

(2𝑥 + 1)5 + 𝐶

1 10

1 2

1 5

bài nhưng không đơn giản với mọi HS:

[SGKNC12, tr.142-143]

Tuy nhiên, cách 2 đặt 𝑥 = 𝜑(𝑡) khi nào và chọn 𝜑(𝑡) ra sao thì SGKNC12

cũng không đề cập gì.

 Phương pháp từng phần

Hai bộ sách đều có 2 ví dụ và một hoạt động minh họa cho phương pháp này.

Đó là 3 trường hợp sử dụng phương pháp tích phân từng phần thường gặp: hàm số

dưới dấu tích phân là tích của hàm đa giác và 1 trong các hàm lượng giác, hàm số mũ,

logarit. Điều này cũng diễn ra đối với ví dụ và hoạt động minh họa cho phương pháp

nguyên hàm từng phần. SGKCB12 còn có hoạt động yêu cầu lập bảng cách đặt 𝑢, 𝑑𝑣

với 3 trường hợp thường gặp nói trên.

2.1.3. Ứng dụng hình học của tích phân

Hai ứng dụng hình học của tích phân được SGK giới thiệu là tính diện tích hình

phẳng và thể tích vật thể.

 Diện tích hình phẳng

Cả hai bộ sách không định nghĩa hình phẳng nói chung mà cùng xét hai loại

hình phẳng mà SGKCB12 đặt tên là:

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.

Thực ra ta có thể coi loại hình phẳng thứ nhất là trường hợp đặc biệt của loại

thứ hai. SGKNC12 không đặt tên cho các loại hình phẳng nhưng từ “đường cong”

dành cho biểu diễn hình học của biểu thức dạng 𝑥 = 𝑔(𝑦), còn “đồ thị” dùng cho biểu

diễn hình học của hàm số dạng 𝑦 = 𝑓(𝑥). Ngoài ra, SGKNC12 trình bày thêm trường

hợp hình phẳng giới hạn bởi 3 đường cong dạng 𝑦 = 𝑓(𝑥). Khi đó bằng cách coi x là

hàm biến y có thể đưa về trường hợp hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong dạng

𝑥 = 𝑔(𝑦).

Cả hai bộ sách đều bắt đầu bằng việc nhắc lại công thức tính diện tích hình

thang cong rồi phát biểu thành công thức cho trường hợp tổng quát. Các ví dụ đều có

hình vẽ minh họa và việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối hầu hết đều dựa vào hình vẽ.

SGKCB12 trình bày thêm cách “đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân” và minh

họa 2 ví dụ, trong đó có 1 ví dụ áp dụng đồng thời cách này và hình vẽ. Cách trên lại

chỉ xuất hiện trong SGV của chương trình nâng cao, nhưng sách này cũng lưu ý: “Khi

giải các bài toán tính diện tích và thể tích nếu không yêu cầu thì HS không cần vẽ

hình, nhưng GV nên khuyến khích HS vẽ hình nếu có thể” [SGVNC12, tr.205].

 Thể tích vật thể

Tiến trình chung của hai bộ sách là:

𝑏 𝑎

(*) trong đó 𝑆(𝑥) là diện tích thiết  Thừa nhận công thức 𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥

diện của vật thể 𝒱, thiết diện này vuông góc với trục Ox tại 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] với a, b là các

cận ứng với hai mặt phẳng song song và vuông góc với trục Ox, giới hạn vật thể 𝒱.

 Áp dụng công thức (*) để chứng minh công thức thể tích vật tròn xoay tạo

thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và

𝑏 𝑎

(**). hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 xung quanh trục Ox là 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥

 Cho 3 ví dụ minh họa chứng minh các công thức tính thể tích của các khối

đã biết như lăng trụ (chỉ SGKCB12), khối chóp, khối cầu, khối nón (chỉ SGKNC12).

Các công thức và ví dụ đều có hình vẽ minh họa.

SGKNC12 còn vận dụng công thức (*) để chứng minh và giới thiệu công thức

tính thể tích vật tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng xung quanh trục Oy.

Ngoài ra, ví dụ của sách này đều chứng minh cho các khối cụt (khối chóp cụt, khối

chỏm cầu, khối nón cụt) rồi nhận xét công thức tính các khối không cụt tương ứng

(khối chóp, khối cầu, khối nón) là trường hợp đặc biệt.

Theo chúng tôi, việc chứng minh công thức thể tích của các đối tượng hình học

không gian đã thể hiện sự liên môn môn giữa 2 phân môn Giải tích và Hình học, minh

họa sống động cho ứng dụng hình học của tích phân. Hơn nữa, thông qua đó, cách

thức gắn các hình vào hệ trục để thiết lập công thức tính được giới thiệu, HS có thể

vận dụng làm tương tự với những khối trong thực tiễn. Tuy nhiên, thời lượng giảng

dạy hạn hẹp có thể là rào cản để GV trình bày được hết ý tưởng SGK cũng như HS có

thể lĩnh hội được chúng.

2.2. Các praxéologies được SGK12 và SBT12 đề cập

SGKHH trình bày các nhiệm vụ chủ yếu bằng hình thức tự luận, cuối chương

mới có một số nhiệm vụ bằng hình thức trắc nghiệm. Đây có thể là một trở ngại cho

GV và HS khi hình thức thi trắc nghiệm được áp dụng.

2.2.1. Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức tự luận

MTBT có phím chức năng để tính tích phân là ∫ . Người sử dụng chỉ cần nhập

hàm số và các cận của tích phân cần tính là có kết quả, độ nhanh hay chậm tùy thuộc

vào độ phức tạp của hàm số dưới dấu tích phân. Nếu kết quả là số hữu tỉ thì MTBT

cho số đúng, nếu kết quả là số vô tỉ thì cho kết quả gần đúng.

Trước đây, việc sử dụng MTBT đưa ra kết quả tích phân trong hình thức thi tự

luận không được chấp nhận vì đáp án yêu cầu HS phải trình bày chi tiết lời giải. Tuy

nhiên, hình thức thi trắc nghiệm chỉ đòi hỏi HS lựa chọn 1 phương án đúng trong 4

phương án đã cho nên việc sử dụng MTBT để giải quyết bài toán tính tích phân là

hoàn toàn có thể. Bằng cách sử dụng phím ∫ , một người không cần biết tích phân là

gì, có những cách tính nào vẫn có thể tính toán được kết quả hầu hết các tích phân

𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

mà trong đó 𝑓(𝑥), 𝑎, 𝑏 đã được cho cụ thể.

Ngoài ra, MTBT còn có nhiều chức năng có thể hỗ trợ cho việc tìm nhanh đáp

án nhiều câu trắc nghiệm nhưng chúng lại thuộc về dạng thức cá nhân. Tùy theo cách

phát biểu nhiệm vụ được cho, khả năng vận dụng kiến thức và khai thác các chức năng

của MTBT mà mức độ ứng dụng khác nhau. Trong phần này, chúng tôi chỉ đề cập vai

trò MTBT ở dạng thức xã hội của nó, tức sử dụng phím chức năng tính tích phân ∫ .

Dựa vào mức độ có thể can thiệp của MTBT từ nhiều đến ít, chúng tôi có thể

chia các praxéologies được đề cập trong các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức tự luận

trong SGK12 và SBT12 thành ba nhóm như sau (đối với các KNV hay kĩ thuật chỉ có

trong chương trình Nâng cao thì chúng tôi định dạng chữ in nghiêng và tô đậm):

2.2.1.1. Nhóm 1: Các praxéologies liên quan thuần túy đến tính toán giá trị tích

phân (hầu như chỉ cần nhập công thức vào MTBT là có thể tìm ra đáp án đúng ngay)

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑻𝑻𝑷: Tính tích phân từ a đến b của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Đ𝑵 : Tính tích phân bằng định nghĩa

Đối với KNV này có nhiều kĩ thuật để thực hiện tùy theo tình huống cụ thể:

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷

+ Tìm một nguyên hàm 𝐹(𝑥) của 𝑓(𝑥).

𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).

+ Tính hiệu số 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).

𝑏 𝑎

Đ𝑵 : Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑷 + Định nghĩa tích phân.

+ Tích phân cần tính là ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|𝑎

+ Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.

4 2

𝑥

𝑻𝑪 : Vận dụng các tính chất tích phân

) 𝑑𝑥 = (𝑥2 + 𝑙𝑛|𝑥|)| = 6 + 𝑙𝑛2” [13, tr.149]. Ví dụ: “ ∫ (𝑥 + 1

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷 𝑻𝑪𝜶: Áp dụng các tính chất cơ bản của tích phân để biến đổi tích phân cần tính 𝝉𝑻𝑻𝑷

về dạng tổng của các tích phân có thể tìm được nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm

thường gặp.

𝑻𝑪𝜷: Biến đổi tích phân cần tính thành tổng của các tích phân đã biết kết 𝝉𝑻𝑻𝑷 quả mà đề bài cho.

𝑻𝑪 : :

Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑷 + Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.

+ Các tính chất cơ bản của tích phân.

+ Hệ quả của định lý 1 trang 98 SGKCB12 liên quan đến phương pháp đổi

biến số ở bài nguyên hàm: “Với 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0), ta có

𝑎

𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶”. (Chỉ có ở SGKCB12) ∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 1

𝜋 2 −𝜋 2

” [SGKCB12, tr.112]. Ví dụ: “Tính các tích phân sau: g) ∫ sin 3𝑥. cos 5𝑥𝑑𝑥

𝜋 2

Lời giải có thể:

= 1 2 ∫ sin 3𝑥. cos 5𝑥𝑑𝑥 −𝜋 2 ∫ (sin 8𝑥 − sin 2𝑥)𝑑𝑥 −𝜋 2

2 + 1 2

𝜋 2 ∫ sin 8𝑥𝑑𝑥 −𝜋 2

𝜋 2 ∫ sin 2𝑥𝑑𝑥 −𝜋 2

𝜋 cos 8𝑥|−𝜋 2

𝜋 2 = 0. cos 2𝑥|−𝜋 2

𝑻𝑪𝜷 khi mà hàm số cần tính tích

= 1 2 − 1 2 = 1 2 . −1 8 . 1 2

SGKNC12 ưu tiên các bài tập dùng kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷

𝑻𝑪𝜶 xuất hiện ở SBTNC12. SGKCB12

phân không được cho cụ thể (lúc này không thể tìm đáp án dựa vào MTBT được mà

𝑻𝑪𝜷. không hề có bài tập khai thác kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷

phải nhớ tính chất), bài tập sử dụng kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷

5 1

2 1

. Hãy tính: Ví dụ: “Cho biết∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −4, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 6, ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 8

5 ∫ [4𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 1

” [SGKNC12, tr.152].

Lời giải có thể:

5 1

5 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 1

5 1

= 4. (−4) − 8 = −24” “∫ [4𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −

Đ𝑩 : Phương pháp đổi biến số

[SGVNC12, tr.193].

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷 Đ𝑩𝟏: 𝝉𝑻𝑻𝑷 + Đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥), tính 𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥.

+ Đổi cận theo biến u.

𝑏 𝑎

𝑢(𝑏) 𝑢(𝑎)

Đ𝑩𝟐: 𝝉𝑻𝑻𝑷 + Đặt 𝑥 = 𝑥(𝑡) (𝑡 ∈ 𝐾), tính 𝑑𝑥 = 𝑥′(𝑡)𝑑𝑡.

. 𝑔(𝑢)𝑑𝑢 + Thay vào công thức tích phân và tiến hành tính:∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫

+ Đổi cận: tìm thỏa mãn 𝑎 = 𝑥(𝛼), 𝑏 = 𝑥(𝛽).

+Thay vào công thức tích phân và tiến hành tính:

𝑏 𝛽 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓[𝑥(𝑡)]𝑥′(𝑡) 𝑎 𝛼

Đ𝑩 : Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑷 + Định nghĩa tích phân, bảng nguyên hàm, cách tính chất cơ bản của tích phân.

𝑑𝑡.

+ Công thức (1) trang 158 SGKNC12, có thể phát biểu lại như sau: Nếu hàm số

𝑢 = 𝑢(𝑥) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục và sao cho hàm hợp

𝑓[𝑢(𝑥)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K, ta có:

𝑏 ∫ 𝑓[𝑢(𝑥)]𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑎

𝑢(𝑏) 𝑢(𝑎)

Đ𝑩𝟏 sử dụng khi phân tích được 𝑓(𝑥) = 𝑓[𝑢(𝑥)]𝑢′(𝑥), nhưng như đã

. 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

Đ𝑩𝟐 không được

Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷

Đ𝑩𝟐 lại rất ít:

nêu ở phần trước, việc phân tích không dễ dàng đối với HS. Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷

SGKHH chỉ ra thời điểm nào sử dụng. Các ví dụ và bài tập áp dụng 𝝉𝑻𝑻𝑷 SGKNC12 chỉ xuất hiện trong 2 ví dụ và 1 hoạt động; trong SGKCB12 cũng chỉ có 1

ví dụ và 2 bài tập.

Tính ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥

𝜋 2 0

Giải: Đặt 𝑢 = sin 𝑥. Ta có 𝑢′ = cos 𝑥.

𝜋

Khi 𝑥 = 0 thì 𝑢(0) = 0, khi 𝑥 =

thì 𝑢 (

) = 1.

Vậy ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑢2𝑑𝑢 =

1 𝑢3|0

1 0

𝜋 2 0

1 . 3

Ví dụ:

[SGKCB12, tr.109]

nhờ đổi biến 𝑥 = sin 𝑡.

Tính ∫ 𝑥2√1 − 𝑥2𝑑𝑥

1 0

Đổi biến số 𝑥 = sin 𝑡 ta được 𝑥′ = cos 𝑡 và khi 𝑥 = 0 thì lấy 𝑡 = 0, khi 𝑥 = 1 thì lấy

𝜋

. Do đó

𝑡 =

𝜋

(𝑡 −

= ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 =

1 ∫ 𝑥2√1 − 𝑥2𝑑𝑥 0

𝜋 ∫ (1 − cos 4𝑡)𝑑𝑡 = 2 0

𝜋 2 0

. 16

𝜋 2 = sin 4𝑡)| 0

Ví dụ:

[SBTCB12, tr.150]

𝑻𝑷𝒉: Phương pháp tích phân từng phần

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷

𝑏

𝑏 ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣|𝑎 𝑎

𝑏 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 𝑎

+ Đặt 𝑢, 𝑑𝑣 hợp lý rồi thay vào công thức

Thông thường:

+Nếu 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥)𝑒𝑎𝑥+𝑏, 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) sin(𝑎𝑥 + 𝑏), 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) cos(𝑎𝑥 + 𝑏)

thì đặt 𝑢 = 𝑃(𝑥), 𝑑𝑣 = 𝑣′𝑑𝑥 với 𝑣′ là nhân tử còn lại.

𝑻𝑷𝒉:

+ Nếu 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) ln(𝑎𝑥 + 𝑏) thì phải đặt 𝑢 = ln(𝑎𝑥 + 𝑏), 𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥.

Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑷 + Định nghĩa tích phân, bảng nguyên hàm, cách tính chất cơ bản của tích phân.

+ Định lý: Nếu 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

𝑏 [𝑎; 𝑏] thì: ∫ 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)|𝑎

𝑏 𝑎

. − ∫ 𝑣(𝑥)𝑢′(𝑥)𝑑𝑥

Tính ∫ √𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥

𝑒 1

𝑑𝑥

3 2. Vậy

và 𝑣 =

𝑥

Giải: Đặt 𝑢 = ln 𝑥 và 𝑑𝑣 = √𝑥𝑑𝑥, ta có 𝑑𝑢 =

𝑥

𝑒

𝑥

−

1 2𝑑𝑥 =

𝑥

−

𝑥

(𝑒√𝑒 + 2)

2 3

4 9

2 9

3 2 ln 𝑥| 1

3 2| 1

∫ √𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 1

𝑒 ∫ 𝑥 1

Ví dụ:

[SBTCB12, tr.150-151]

Kĩ thuật không được nêu tường minh trong SGK12 mà thông qua các ví dụ để

giới thiệu các dạng cơ bản thường gặp và các bài tập được cho trong SGK12 chỉ có các

dạng đã xét trong ví dụ.

Đáng chú ý, SGKCB12 có một bài tích phân yêu cầu tính theo cả hai phương

pháp đổi biến số và tích phân từng phần. Đây có thể coi là trường hợp cho thấy được

6. Tính

bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số

b) Tính tích phân từng phần.

việc vận dụng hai kĩ thuật đổi biến số và từng phần rất đa dạng trong thực tế.

[SGKCB12, tr.113]

𝑫𝑻 : Áp dụng công thức tính diện tích các hình phẳng cơ bản

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷

đã biết.

+ Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏.

+ Quan sát hình phẳng tạo thành tương ứng với hình nào (tam giác, hình thang

𝑫𝑻 : Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑷 + Công thức tính diện tích của các hình cơ bản.

vuông, hình tròn,…) để áp dụng công thức tính diện tích đã biết trước đó.

+ Định lí “Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục, không âm trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Khi đó

diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai

𝑏 𝑎

.” đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 là 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3 −3

” Ví dụ: “Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau: ∫ √9 − 𝑥2𝑑𝑥

[13, tr.152].

Hướng dẫn giải của SGVNC12, trang 192

“Tích phân bằng diện tích nửa đường tròn 𝑥2 +

𝑦2 = 9(ℎ. 3.3). Đây là đường tròn tâm là gốc tọa

= 4,5𝜋”. độ bán kính là 3. Do đó diện tích nửa đường tròn là 9. 𝜋 2

Kĩ thuật này chỉ có thể áp dụng khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 =

𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 là các hình cơ bản có công thức tính

diện tính như: tam giác, hình thang, đường tròn,…Mặc dù kĩ thuật này thể hiện mối

liên hệ giữa tích phân và diện tích hình phẳng nhưng nó chỉ xuất hiện trong 3 bài ít ỏi

của SGKNC12. SGKCB12 không có bài tập nào dạng này.

2.2.1.2. Nhóm 2: Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến ứng dụng của tích phân (cần

phải nhớ mối liên hệ của tích phân với các ứng dụng để lập công thức rồi mới có thể

dùng MTBT tìm đáp án)

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑸Đ: Tính quãng đường đi được của một vật từ thời điểm 𝒕 = 𝒂

đến thời điểm 𝒕 = 𝒃 biết hàm vận tốc 𝒗 = 𝒇(𝒕)

 Kĩ thuật 𝝉𝑸Đ:

+ Xác định công thức tính vận tốc theo thời gian của chuyển động 𝑣 = 𝑓(𝑡)

(thường đề bài cho sẵn, nếu cho gia tốc 𝑎(𝑡) thì 𝑣 = ∫ 𝑎(𝑡) 𝑑𝑡).

+ Xác định các thời điểm 𝑡 = 𝑎 và 𝑡 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏)

𝑏 𝑎

+ Công thức tính quãng đường đi được là 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

+ Áp dụng kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính tích phân thu được.

Công nghệ 𝜽𝑸Đ: Kết quả chứng minh trong hoạt động 3 SGKNC12 trang 150

có thể phát biểu là “Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian 𝑣 = 𝑓(𝑡).

Khi đó quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời

𝑏 𝑎

”. điểm b là ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

Ví dụ:

“Một vật chuyển động với vận tốc 𝑣(𝑡) = 1 − 2 sin 2𝑡 (m/s). Tính quãng

” [SGKNC12, tr.153]. đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm 𝑡 = 0(𝑠) đến thời điểm 𝑡 = 3𝜋 4

3𝜋 4

Hướng dẫn giải của SGVNC12 trang 193: “Quãng đường

”. − 1 𝑆 = ∫ (1 − 2𝑠𝑖𝑛2𝑡)𝑑𝑡 = 3𝜋

KNV này chỉ xuất hiện trong SGKNC12 và SBTNC12, không hề xuất hiện

trong SGKCB12 hay SBTCB12. Lí do có thể vì chương trình Chuẩn không đề cập đến

ứng dụng vật lí của tích phân.

𝟐Đ𝑻: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số5

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑫𝑻: Tính diện tích hình phẳng4

𝟐Đ𝑻:

𝑻𝑫𝑻

 Kĩ thuật 𝝉𝑫𝑻

cứu thực hành của giáo viên trong dạy học tính diện tích hình phẳng ở lớp 12, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại

học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Tên gọi và thống kê số lượng bài tập được chúng tôi dùng giống luận văn này.

Riêng cách đặt kí hiệu cho các KNV thì chúng tôi kí hiệu lại cho phù hợp với luận văn của mình.

5Đồ thị hàm số: Đồ thị các hàm số có dạng: 𝑦 = 𝑓(𝑥).

4Các KNV điểm của KNV này được viết trên cơ sở tham khảo luận văn của Nguyễn Hoàng Vũ (2012), Nghiên

+ Giải phương trình hoành độ giao điểm 𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥) = 0 để tìm a, b (nếu

cần) với 𝑦 = 𝑓1(𝑥), 𝑦 = 𝑓2(𝑥) là 2 hàm số đã cho.

𝑏 + Áp dụng công thức: 𝑆 = ∫ [ 𝑎

𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)]𝑑𝑥

+ Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S.

Có 3 kĩ thuật giải quyết KNV con “Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S” được

Nguyễn Hoàng Vũ (2012) trình bày là:

𝛼: Xét dấu.

𝛽: Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân.

𝟐Đ𝑻: Các định lý về phép biến đổi tương đương, các kiến thức về

𝛾: Dùng đồ thị.

Công nghệ 𝜽𝑫𝑻

xét dấu và đồ thị. Công thức và chú ý ở SGKCB12 trang 115-116.

SGKCB12 sử dụng cả ba kĩ thuật để giải quyết KNV con Tính tích phân chứa

dấu giá trị tuyệt đối S, trong khi đó SGKNC12 chỉ sử dụng hai kĩ thuật Xét dấu, Dùng

đồ thị và ưu tiên dùng kĩ thuật Dùng đồ thị.

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi

parabol 𝑦 = 2 − 𝑥2 và đường thẳng 𝑦 = −𝑥.

Giải: Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm các đồ

thị của hai hàm số đã cho bằng cách giải phương

trình 2 − 𝑥2 = −𝑥. Ta có

2 − 𝑥2 = −𝑥 ⇔ 𝑥 = −1 và 𝑥 = 2.

Hình phẳng đang xét giới hạn bởi các đồ thị của hai

hàm số 𝑦 = 2 − 𝑥2, 𝑦 = −𝑥 và hai đường thẳng 𝑥 = −1, 𝑥 = 2.

Theo công thức (2) ta có

𝑆 = ∫ (2 − 𝑥2 − 𝑥)𝑑𝑥 = (2𝑥 +

−

𝑥2 2

𝑥3 3

9 2

−1

Ví dụ:

𝟐Đ𝑻 cùng

[SGKNC12, tr.165-166]

Từ kết quả nghiên cứu của Nguyễn Hoàng Vũ (2012) ngoài KNV 𝑻𝑫𝑻 xuất hiện ở trong hai bộ sách với 52 ví dụ và bài tập, còn có các KNV chỉ xuất hiện

trong một bộ sách:

𝑻𝑺 : Tính tỉ số diện tích của hai hình phẳng

Trong SGKCB12:

Đ𝑮: Tính diện tích đa giác

𝑻𝑫𝑻

𝑺𝑺 : So sánh diện tích của hai hình phẳng

𝑻𝑫𝑻

𝑮𝑯: Tính diện tích hình thang cong bằng giới hạn

𝑻𝑫𝑻

𝟑Đ𝑻: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ba hàm số

Trong SGKNC12:

𝟐Đ𝑪: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai đường cong6 và

𝑻𝑫𝑻

𝑻𝒉𝑺: Tìm giá trị của tham số để diện tích hình phẳng bằng 𝑺 > 𝟎 cho

hai đường thẳng 𝒚 = 𝒄, 𝒚 = 𝒅.

𝑻𝑫𝑻 trước

𝟐Đ𝑪. Các KNV còn lại chỉ

Trong các KNV trên chỉ có hai KNV được trình bày trong bài học của

𝟑Đ𝑻 và 𝑻𝑫𝑻

𝑺𝑺 có 5 bài. Nghiên cứu

SGKNC12 và có số lượng bài tập từ 6 – 8 bài là 𝑻𝑫𝑻

𝟐Đ𝑻. GV dạy chương trình nâng cao dạy 3 KNV

𝟐Đ𝑪. Các GV đều ưu tiên sử dụng kĩ thuật “xét dấu” thay vì “đưa dấu giá

𝟑Đ𝑻, 𝑻𝑫𝑻

xuất hiện trong sách bài tập với số lượng ít ỏi là 1 bài, riêng 𝑻𝑫𝑻 của Nguyễn Hoàng Vũ cũng chỉ ra trong thực hành giảng dạy, GV dạy chương trình

𝟑Đ𝑻 hoặc đồ thị có sẵn.

Chuẩn chỉ dạy KNV 𝑻𝑫𝑻 𝟐Đ𝑻, 𝑻𝑫𝑻 𝑻𝑫𝑻 trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân”, kĩ thuật “dùng đồ thị” chỉ sử dụng khi giải quyết

KNV 𝑻𝑫𝑻

𝟐Đ𝑻. Do đó, chúng tôi gom chung các KNV này

Ngoài ra, hầu hết các KNV trên sau một số phép biến đổi đều đưa về việc sử

dụng kĩ thuật và công nghệ của KNV 𝑻𝑫𝑻

𝜷 , 𝝉𝑫𝑻

𝜶 , 𝝉𝑫𝑻

𝑮𝑯 có kĩ thuật hoàn toàn khác, đó là chia

trong praxéologies địa phương 𝑻𝑫𝑻. Khi đó, để chỉ chung cho kĩ thuật thực hiện KNV 𝜸 với 𝛼, 𝛽, 𝛾 là kí hiệu kĩ thuật bỏ dấu giá trị 𝑻𝑫𝑻, chúng tôi sẽ kí hiệu là 𝝉𝑫𝑻

tuyệt đối. Cũng cần nói thêm rằng, KNV 𝑻𝑫𝑻 nhỏ, tính tổng và lấy giới hạn của tổng. Tuy nhiên, kĩ thuật và công nghệ của nó lại chỉ

xuất hiện trong bài đọc thêm và một ví dụ trong SBTCB12 yêu cầu tính diện tích theo

cách này và bằng công thức Newton – Leibniz. Do đó, theo chúng tôi, KNV này đưa

ra chỉ nhằm giới thiệu thêm cho HS một cách tính trên cơ sở so sánh với cách được 6Đường cong: Đồ thị các hàm số có dạng 𝑥 = 𝑔(𝑦)

SGK cung cấp. Vì thế, chúng tôi vẫn xếp chung KNV này trong praxéologies địa

phương 𝑻𝑫𝑻.

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑻𝑻: Tính thể tích vật thể

KNV 𝑻𝑻𝑻 ứng với tên của praxéologies địa phương, bao gồm 3 KNV tương ứng

𝑻𝑫: Tính thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với

với 3 praxéologies điểm sau:

𝑻𝑻𝑻

𝑻𝑫:

trục Ox tại điểm a và b khi biết thiết diện

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻

+ Tìm diện tích thiết diện 𝑆(𝑥) của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với

trục Ox tại điểm có hoành độ 𝑥(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏)

𝑏 𝑎

. + Viết công thức tính thể tích vật thể: 𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥

𝑻𝑫: “Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông

+ Áp dụng các kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính.

Công nghệ 𝜽𝑻𝑻

góc với trục Ox tại các điểm a và b. Gọi 𝑆(𝑥) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt

bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 𝑥(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏). Giả sử S(x)

là một hàm số liên tục. Người ta chứng minh được rằng thể tích V của B là :

𝑏 𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

”[ SGKNC12, tr.168]

(KNV này chỉ xuất hiện trong SGKCB12 ở các ví dụ trong bài học, SGKNC12

có cả bài học và bài tập)

Ví dụ: “Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng 𝑥 = −1 và 𝑥 = 1,

biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại

điểm có hoành độ 𝑥 (−1 ≤ 𝑥 ≤ 1) là một hình vuông cạnh 2√1 − 𝑥2”

1 −1

𝑶𝒙: Tính thể tích vật thể được tạo thành do quay hình phẳng giới hạn bởi

”. [SGKNC12, tr.172]. Hướng dẫn giải của SGKNC12 trang 206: “ 𝑉 = ∫ 4(1 − 𝑥2)𝑑𝑥 = 16

𝑻𝑻𝑻

đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙), trục hoành và hai đường thẳng 𝒙 = 𝒂, 𝒙 = 𝒃 (𝒂 < 𝒃)

𝑶𝒙:

xung quanh trục Ox.

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻

𝑏 𝑎

. + Viết công thức tính thể tích vật thể: 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥

𝑶𝒙: “Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục, không âm trên đoạn [𝑎; 𝑏].

+ Áp dụng các kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính.

Công nghệ 𝜽𝑻𝑻

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 =

𝑎, 𝑥 = 𝑏 quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của nó được

𝑏 𝑎

” [SGKNC12, tr.170]. tính theo công thức: 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥

Ví dụ: “Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường 𝑦 = 0, 𝑥 = 4 và 𝑦 = √𝑥 − 1.

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành”

[SGKNC12, tr.172].

2 Hướng dẫn giải của SGVNC12 trang 207: “𝑉 = 𝜋 ∫ (√𝑥 − 1)

4 1

”. 𝑑𝑥 = 7𝜋 6

Liên quan đến KNV này, SGKCB12 có một bài khác biệt mà HS không thể

5. Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục

𝜋

Ox. Đặt 𝑃𝑂𝑀̂ = 𝛼, 𝑂𝑀 = 𝑅 (0 ≤ 𝛼 ≤

, 𝑅 > 0)

Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó

xung quanh trục Ox.

a) Tính thể tích của V theo 𝛼 và R.

b) Tìm 𝛼 sao cho thể tích của V lớn nhất.

dùng MTBT để can thiệp:

𝑶𝒚: Tính thể tích vật thể được tạo thành do quay hình phẳng giới hạn bởi 𝑻𝑻𝑻

[SGKCB12, tr.121]

đồ thị hàm số 𝒙 = 𝒈(𝒚), trục tung và hai đường thẳng 𝒚 = 𝒄, 𝒚 = 𝒅 (𝒄 < 𝒅) xung

𝑶𝒚:

quanh trục Oy.

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻

𝑑 𝑐

. + Viết công thức tính thể tích vật thể: 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑔2(𝑦)𝑑𝑦

𝑶𝒚: “Cho đường cong có phương trình 𝑥 = 𝑔(𝑦), trong đó g là

+ Áp dụng các kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính tích phân thu được.

Công nghệ 𝜽𝑻𝑻

hàm số liên tục và không âm trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Hình phẳng giới hạn bởi đường cong

𝑥 = 𝑔(𝑦), trục tung và hai đường thẳng 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑, quay quanh trục tung tạo nên

𝑑 𝑐

” một khối tròn xoay. Thể tích V của nó được tính theo công thức: 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑔2(𝑦)𝑑𝑦

𝑶𝒙 với 𝑆(𝑥) = 𝜋𝑓2(𝑥) ta chứng minh

[SGKNC12, tr.171].

𝑻𝑫 áp dụng cho KNV 𝑻𝑻𝑻

𝑶𝒙 bằng cách xem x là hàm theo biến y ta được

Từ công nghệ 𝜽𝑻𝑻

𝑶𝒚 thực chất là hai trường hợp đặc biệt của

được công nghệ 𝜽𝑻𝑻

𝑶𝒙, 𝜽𝑻𝑻

𝑻𝑫. Đó là lí do chúng tôi

𝑶𝒙. Từ công nghệ 𝜽𝑻𝑻 𝑶𝒚. Như vậy, công nghệ 𝜽𝑻𝑻 𝑻𝑫 nên có thể xem 3 KNV trên cùng công nghệ 𝜽𝑻𝑻 công nghệ 𝜽𝑻𝑻 ghép chúng vào praxéologies địa phương: Tính thể tích vật thể.

công nghệ 𝜽𝑻𝑻

Ví dụ: “Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường 𝑥 = √5𝑦2, 𝑥 = 0, 𝑦 = −1 và

𝑦 = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục

”.

tung” [SGKNC12, tr.173].

1 −1

Hướng dẫn giải của SGVNC12 trang 207: “ 𝑉 = 𝜋 ∫ 5𝑦4𝑑𝑦

2.2.1.3. Nhóm 3: Các KNV liên quan đến chứng minh và tính gần đúng (đây là

các KNV đòi hỏi nắm vững lí thuyết để lập luận, do đó MTBT hầu như không thể can

thiệp)

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑪𝑴Đ𝑻: Chứng minh đẳng thức tích phân

 Kĩ thuật 𝝉𝑪𝑴Đ𝑻: Dựa vào tính chất của từng loại hàm số kết hợp với các

tính chất hoặc các phương pháp tính tích phân biến đổi phù hợp để có được điều cần

chứng minh.

Công nghệ 𝜽𝑪𝑴Đ𝑻:

+ Các tính chất cơ bản của tích phân.

+ Các định lí cơ sở của phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng

phần.

+ Các tính chất đặc thù của hàm số được cho.

1 −1

1 0

𝑑𝑥” Ví dụ: “Chứng minh rằng ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)]

[SGKNC12, tr.162]

Hướng dẫn giải của SGVNC12 trang 202

1 −1

0 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) −1

1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 0

𝑑𝑥. “∫ 𝑓(𝑥)

0 −1

0 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(−𝑢) 1

1 𝑑𝑢 = ∫ 𝑓(−𝑢) 0

𝑑𝑢 Ta lại có ∫ 𝑓(𝑥)

1 Do đó ∫ 𝑓(𝑥) −1

1 0

𝑑𝑥” 𝑑𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)]

Các bài toán không cho hàm số cụ thể nên MTBT không có cơ hội can thiệp.

Nếu các bài trắc nghiệm khai thác dựa trên các bài chứng minh dạng này cũng ngăn

cản được sự hỗ trợ của MTBT, buộc người làm bài phải nắm vững không những các

tính chất cơ bản, các phương pháp tính tích phân mà còn cả các tính chất của các loại

hàm số cơ bản.

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑪𝑴𝑩Đ𝑻: Chứng minh bất đẳng thức tích phân

 Kĩ thuật 𝝉𝑪𝑴𝑩Đ𝑻: Lập luận nếu hàm số mang dấu dương trên đoạn [𝑎; 𝑏] thì tích phân của hàm số đó trên đoạn [𝑎; 𝑏] là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ

thị hàm số đó, trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏.

Công nghệ 𝜽𝑪𝑴𝑩Đ𝑻:

liên tục, không âm + Định lí 1 trang 150 SGKNC12: “Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)

trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

𝑏 𝑎

”. 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 là 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+ Định lí 2 trang 151 SGKNC12 về các tính chất cơ bản của tích phân.

𝑏 𝑎

≥ 0” Ví dụ: “Chứng minh rằng nếu 𝑓(𝑥) ≥ 0 trên đoạn [𝑎; 𝑏] thì ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

[SGKNC12, tr.153]

𝑏 𝑎

là diện tích hình thang Hướng dẫn giải của SGVNC12 trang 193: “∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 =

𝑏 𝑎

≥ 0”. 𝑎, 𝑥 = 𝑏. Do đó ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝒃 𝒂

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑻𝑮Đ : Tính gần đúng tích phân ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑮Đ:

+ Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn

[𝑎; 𝑏].

+ Tính gần đúng tích phân dựa vào công thức

𝑏 𝑎

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) .

Công nghệ 𝜽𝑻𝑮Đ: “Giả sử M và m theo thứ tự là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

𝑏 𝑎

” hàm số 𝑓

trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Khi đó 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) [SBTNC12, tr.145]

Ví dụ: “Sử dụng bất đẳng thức ở bài 3.29 để đánh giá các tích phân

1 𝐼 = ∫ 0

𝑑𝑥 1+𝑥2

” [SBTNC12, tr.145]

≤ 𝐼 ≤ 1”. Hướng dẫn giải trang 160 sách này: “ 1 2

Hai KNV 𝑻𝑪𝑴𝑩Đ𝑻, 𝑻𝑻𝑮Đ hầu như chỉ xuất hiện trong SBTNC12. Các bài tập của

hai KNV này xoay quanh các tính chất của tích phân không được đề cập trong lý

thuyết. Có lẽ mục đích chỉ là mở rộng cho HS khá giỏi nắm thêm các tính chất cơ bản

của tích phân.

Thống kê số lượng nhiệm vụ tương ứng với 7 KNV kể trên trong hai bộ

SGKHH chúng tôi có bảng 2.1:

Bảng 2.1.Thống kê các nhiệm vụ của 7 KNV được SGKHH đề cập

Chương

trình

Tổng

Kiểu nhiệm vụ

Kĩ thuật

Chuẩn

Nâng cao

Đ𝑁 𝜏𝑇𝑇𝑃 𝑇𝐶𝛼 𝜏𝑇𝑇𝑃 𝑇𝐶𝛽 𝜏𝑇𝑇𝑃 Đ𝐵1 𝜏𝑇𝑇𝑃 Đ𝐵2 𝜏𝑇𝑇𝑃 𝑇𝑃ℎ 𝜏𝑇𝑇𝑃 𝐷𝑇 𝜏𝑇𝑇𝑃

𝑻𝑻𝑻𝑷: Tính tích phân từ a đến b của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙)

𝑻𝑸Đ: Tính quãng đường đi được

của một vật từ thời điểm 𝒕 = 𝒂 đến

𝜏𝑄Đ

thời điểm 𝒕 = 𝒃 biết hàm vận tốc

𝒗 = 𝒇(𝒕)

𝛼 𝜏𝐷𝑇 𝛽 𝜏𝐷𝑇

𝑻𝑫𝑻: Tính diện tích hình phẳng

8

1

2

𝑻𝑻𝑻: Tính thể tích vật thể

4

𝛾 𝜏𝐷𝑇 Khác7 𝑇𝐷 𝜏𝑇𝑇 𝑂𝑥 𝜏𝑇𝑇 𝑂𝑦 𝜏𝑇𝑇

𝜏𝐶𝑀Đ𝑇 𝑻𝑪𝑴Đ𝑻: Chứng minh đẳng thức tích phân

𝜏𝐶𝑀𝐵Đ𝑇 𝑻𝑪𝑴𝑩Đ𝑻: Chứng minh bất đẳng thức tích phân

317

𝜏𝑇𝐺Đ 𝑻𝑻𝑮Đ : Tính gần đúng tích phân 𝒃 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒂

Tổng

(Những con số in đậm chỉ số lượng các bài tập chỉ xuất hiện trong sách bài tập)

Qua bảng thống kê, chúng ta thấy rằng ba KNV chính là 𝑇𝐷𝑇, 𝑇𝑇𝑇, 𝑇𝑇𝑇𝑃, trong

đó trọng tâm là 𝑇𝑇𝑇𝑃. Số lượng bài tập tính toán và có thể dùng MTBT để kiểm tra

chiếm đa số. Tính thể tích vật thể trong trường hợp tổng quát tuy không xuất hiện

trong SGKCB12 nhưng vẫn xuất hiện trong SBTCB12.

Kết quả trên có thể giải thích lí do vì sao SGKHH được biên soạn theo định

hướng “bước đầu giới thiệu cách sử dụng máy tính bỏ túi” nhưng chức năng tính tích

phân của MTBT không được giới thiệu.

2.2.2. Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc nghiệm

Trong hai bộ SGKHH, cuối mỗi chương, ngoài các nhiệm vụ trình bày bằng

hình thức tự luận còn có các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc nghiệm. Nhận xét

chung là đa số các nhiệm vụ này đều trình bày như các nhiệm vụ tự luận, chỉ khác là

có thêm 4 đáp án để lựa chọn 1 đáp án đúng. Các nhiệm vụ liên quan đến ứng dụng

tích phân chiếm gần một nửa. Số nhiệm vụ có thể bấm MTBT để tìm đáp án khá

nhiều. Riêng chương trình Nâng cao có thêm một số nhiệm vụ có cách phát biểu khác

tự luận đòi hỏi HS phải nắm vững lý thuyết mới có thể cho đáp án đúng được, giúp

𝑮𝑯 hoặc không trình rõ kĩ thuật.

hạn chế việc sử dụng MTBT.

7 Kĩ thuật được sử dụng là kĩ thuật của KNV 𝑻𝑫𝑻

Trước đây, đa số các KNV đều có yêu cầu “tính tích phân”. Hình thức tự luận

đòi hỏi HS trình bày cách thức để tính được tích phân đó. Bây giờ, hình thức thi trắc

nghiệm chỉ quan tâm đến việc chọn đáp án đúng. Kết cấu mỗi câu trắc nghiệm ngoài

câu dẫn còn có 4 đáp án để lựa chọn. Các đáp án này cũng là giả thiết của bài toán nên

chúng có thể hỗ trợ cho kĩ thuật để giải quyết bài toán. Các nhiệm vụ trình bày bằng

hình thức trắc nghiệm có thể mô hình chung theo dạng “Chọn đáp án đúng thỏa yêu

cầu cho trước”. Ở đây, “yêu cầu cho trước” được biến hóa tùy theo mục đích kiến

thức, mức độ đơn giản hay phức tạp, khả năng sử dụng MTBT mà tác giả ra đề hướng

đến. Như vậy, chúng ta thấy rằng hình thức thi thay đổi kéo theo sự mất đi của các

KNV có thể mô hình chung bởi yêu cầu “tính” và xuất hiện các KNV mới liên quan

đến yêu cầu “chọn”. Tuy nhiên, các KNV mới cũng hướng đến mục đích kiểm tra khả

năng HS vận dụng các công nghệ của các KNV cũ (vì chương trình và SGK không

đổi). Hơn nữa, chúng ta có thể sử dụng kĩ thuật của các KNV cũ để hỗ trợ cho việc

chọn đúng đáp án. Bên cạnh đó, do khuôn khổ luận văn có hạn nên chúng tôi không

phân chia theo KNV mới mà dựa trên kĩ thuật của các KNV cũ có thể dùng hỗ trợ giải

quyết câu trắc nghiệm để thống kê. Cụ thể như sau:

Bảng 2.2. Thống kê số lượng nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc nghiệm của

SGKHH

Chương trình

Chương trình Nâng

Chuẩn

cao

Kĩ

Nhóm nhiệm vụ

Tổng

thuật

Không

Có

Không

Có

MTBT

4

𝑇𝐶𝛼 𝜏𝑇𝑇𝑃

1 Nhóm các nhiệm vụ liên quan đến

KNV 𝑻𝑻𝑻𝑷

1

2 Nhóm các nhiệm vụ liên quan đến

𝑇𝐶𝛽 𝜏𝑇𝑇𝑃 Đ𝐵1 𝜏𝑇𝑇𝑃 𝑇𝑃ℎ 𝜏𝑇𝑇𝑃 2Đ𝑇 𝜏𝐷𝑇

8 KNV 𝑻𝑫𝑻

3Đ𝑇

𝑇𝐷𝑇

8 Vì câu hỏi trắc nghiệm chỉ thể hiện tên đáp án lựa chọn chứ không trình bày kĩ thuật giải, nên chúng tôi thống kê kĩ thuật theo các KNV điểm của KNV này.

Nhóm các nhiệm vụ liên quan đến

𝑂𝑥 𝜏𝑇𝑇

3 KNV 𝑻𝑻𝑻

1 Tổng

10

Số lượng bài tập bằng hình thức trắc nghiệm ít ỏi so với hình thức tự luận

29/317 và chỉ trình bày cuối chương. Các tác giả viết SGK giải thích rằng:

trắc nghiệm sau này, trong SGK cũng nêu ra một số đề bài cuối các chương. Tuy

nhiên đây cũng chỉ là một số đề ở dạng thử nghiệm chứa chưa phải là những đề mẫu

dạng chuẩn mực.

[SGVĐSCB10, tr.6]

Để giúp học sinh bước đầu làm quen với các đề trắc nghiệm, chuẩn bị cho các kì thi

Hơn nữa, ngày 28/9 Bộ GD – ĐT mới chính thức thông báo phương án tuyển sinh năm

2017 và lần đầu tiên môn toán thi bằng hình thức trắc nghiệm. Những điều này gây

nhiều khó khăn cho GV vì tài liệu khan hiếm, thời gian chuẩn bị của GV không có.

Khi đó ngoài SGK, tài liệu tham khảo đáng tin cậy nhất và làm cơ sở cho những điều

chỉnh trong dạy học và đánh giá HS của GV chính là các Đề minh họa9 được Bộ GD–

ĐT giới thiệu. Chúng tôi sẽ phân tích các đề này ở phần tiếp theo để rõ hơn nội dung

và cách thức ra đề mà Bộ GD–ĐT hướng tới.

2.3. Phân tích các Đề minh họa và Đề chính thức của Bộ GD-ĐT trong năm học

2016 – 2017 liên quan đến khái niệm tích phân

2.3.1. Các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016 - 2017

Trước kì thi chính thức Bộ GD-ĐT đã lần lượt giới thiệu 3 Đề minh họa để GV

và HS tham khảo. Cả ba đề đều có 7 câu về nội dung chương 4 giải tích 12, trong đó 1

câu về nguyên hàm và 6 câu liên quan đến khái niệm tích phân. Đề minh họa 1 và Đề

minh họa 2 đều sắp xếp nội dung theo từng chương kiến thức của SGK, Đề minh họa 3

sắp xếp theo mức độ từ dễ đến khó, giống hình thức đề chính thức nhất. Thống kê các

nhiệm vụ trong các Đề minh họa chúng tôi có bảng 2.3:

9 Để GV và HS làm quen với hình thức thi mới, Bộ GD-ĐT lần lượt giới thiệu 3 đề thi: Đề minh họa (5/10/2016), Đề thi thử nghiệm (20/1/2017), Đề tham khảo (14/5/2017). Để thuận tiện, chúng tôi sẽ gọi chung là Đề minh họa và thêm số 1, 2, 3 để chỉ thứ tự đề được giới thiệu

Bảng 2.3. Thống kê số lượng nhiệm vụ trong các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT

giới thiệu trong năm học 2016 - 2017

Đề minh họa 1

Đề minh họa 2

Đề minh họa 3

Nhóm nhiệm vụ

Không

Có

Không

Có

Không

Có MTBT

MTBT

Nhóm các nhiệm vụ liên quan

4 đến KNV 𝑻𝑻𝑻𝑷

Nhóm các nhiệm vụ liên quan

đến KNV 𝑻𝑸Đ

Nhóm các nhiệm vụ liên quan

2

1 đến KNV 𝑻𝑫𝑻

Nhóm các nhiệm vụ liên quan

1 đến KNV 𝑻𝑻𝑻

Tổng

1

6

5

1

Ở đây, chúng tôi ghi tiêu chí không MTBT dựa trên việc bài toán đấy không

nhập ngay vào MTBT để tìm đáp án.

Vì chúng tôi lựa chọn chia nhóm các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc

nghiệm dựa trên các kĩ thuật và công nghệ của các KNV cũ. Do đó các phân tích sau

đây về kĩ thuật giải quyết các nhiệm vụ này đều trên cơ sở kĩ thuật của các KNV cũ có

thể hỗ trợ để tìm đáp án đúng. Ngoài ra chúng tôi bổ sung cách thức sử dụng MTBT

giải quyết chúng để nhận định sự tác động của MTBT lên các nhiệm vụ khi hình thức

thi thay đổi.

Điểm chung của các đề là nội dung câu hỏi phong phú, trải đều các nội dung lí

thuyết. Ta có thể quan sát Đề minh họa 1, đề đầu tiên được giới thiệu, có thể xem là đề

giới hạn nội dung sẽ ra về khái niệm tích phân.

Câu

Bình luận

Câu 22. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong,

giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục Ox và

hai đường

thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏), xung

Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝑇𝑇. Ở câu này MTBT không can thiệp được nhưng chỉ yêu cầu khả năng thuộc công thức. Có thể xem là đề thi sẽ có những câu

quanh trục Ox.

hỏi về lý thuyết.

. D. 𝑉 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

𝑏 A.𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑏 C. 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑏 . B. 𝑉 = ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑎

C. 10m.

B. 2m.

Câu 24. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc 𝑣(𝑡) = −5𝑡 + 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m. 20m.

Câu 25. Tính tích phân 𝐼 = ∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥. sin 𝑥𝑑𝑥

𝜋 0

A.𝐼 = −

𝜋4. B.𝐼 = −𝜋4. C. 𝐼 = 0.

D. 𝐼 =

−

1 . 4

Câu 26. Tính tích phân 𝐼 = ∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

𝑒 1

A.𝐼 =

B.𝐼 =

C. 𝐼 =

𝑒2−2 . 2

𝑒2+1 . 4

𝐼 =

Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝑄Đ Câu này hàm vận tốc đã được cho, HS chỉ cần dựa vào đề bài xác định đúng cận và thay vào công thức tính đã có. Khi đó có thể dùng MTBT để tính toán. Đây cũng có thể xem là một câu liên hệ thực tế nhưng ở mức độ đơn giản. Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃 HS dùng kĩ thuật đổi biến số loại 1 để giải. Có thể dùng MTBT để có ngay kết quả. Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃 HS dùng kĩ thuật tích phân từng phần để giải. Có thể dùng MTBT để có ngay kết quả.

1 . 2 𝑒2−1 . 4

Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝐷𝑇 HS cần tìm cận và lập công thức tính diện tích. Khi đó có thể dùng MTBT để có ngay kết quả.

D.13.

Câu 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥 và đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 𝑥2. A.37 12

C.81 12

B.9 . 4

Câu 28. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 2(𝑥 − 1)𝑒 𝑥, trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.

Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝑇𝑇 HS cần tìm cận và lập công thức tính thể tích. Khi đó có thể dùng MTBT để có ngay kết quả.



A.𝑉 = 4 − 2𝑒. C.𝑉 = 𝑒2 − 5.

B. 𝑉 = (4 − 2𝑒)𝜋. D.𝑉 = (𝑒2 − 5)𝜋

Về nội dung của Đề minh họa 1 so với các đề thi tự luận từ năm 2009 – 2016

(thống kê ở phần mở đầu, mục 1 – lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát) đã phong phú

hơn, đặc biệt có sự xuất hiện câu hỏi có nội dung thuần túy lí thuyết và câu hỏi liên hệ

thực tế về ứng dụng vật lí. Tuy nhiên, chúng ta thấy rằng cách phát biểu không khác gì

với hình thức tự luận, chỉ thêm 4 đáp án để lựa chọn. Và do đó hầu hết các câu này dễ

dàng sử dụng MTBT tìm đáp án đúng.

Đề minh họa 2 và Đề minh họa 3 giữ lại sự đa dạng các KNV nhưng cách hỏi

có nhiều đổi mới, đòi hỏi khả năng hiểu và vận dụng kiến thức của HS, hạn chế sự can

thiệp của MTBT.

Cụ thể chúng ta có thể quan sát cách trình bày câu hỏi của các nhiệm vụ xuất

hiện nhiều nhất trong các đề liên quan đến hai KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃 và 𝑇𝐷𝑇:

 Nhóm các nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑻𝑻𝑻𝑷

𝑏 𝑎

𝑑𝑥”. Câu KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃 có cách trình bày quen thuộc là “Tính tích phân ∫ 𝑓(𝑥)

trắc nghiệm có thêm 4 đáp án để lựa chọn và sự hỗ trợ của MTBT tìm kết quả khiến

cho các KNV có câu dẫn phát biểu thuần túy như trên sẽ không đạt được mục đích

đánh giá khả năng lĩnh hội tri thức tích phân của HS. Các nhiệm vụ mới đã có nhiều

biến đổi theo hướng hạn chế sử dụng MTBT.

Đề bài chọn kết quả của tích phân nhưng hàm số 𝑓(𝑥) không được cho cụ thể,

HS phải dựa trên việc nắm vững kiến thức để từ giả thiết biến đổi tìm hàm số:

Câu 3. Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên ℝ và thoả mãn 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥) =

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3𝜋 2 √2 + 2 cos 2𝑥 , ∀𝑥 ∈ ℝ. Tính ∫ 3𝜋 − 2

A. I 6 B. I 0.

C. I 2.

D. I 6.

[Trích Đề minh họa 3]

Bình luận và lời giải: HS phải nhận xét được các đặc điểm của bài toán là có cận đối

xứng và tổng của hàm 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥) là hàm số chẵn từ đó xác định phải dùng

phương pháp đổi biến số để giải. MTBT chỉ hỗ trợ tính toán khi đã lập được công thức

tích phân cụ thể.

3𝜋

Đặt 𝑡 = −𝑥 ⟹ 𝑑𝑡 = −𝑑𝑥. Đổi cận: 𝑥 = −

⟹ 𝑡 =

, 𝑥 =

⟹ 𝑡 = −

3𝜋 2

𝑓(−𝑥)𝑑𝑥

3𝜋 2 Khi đó ∫ 3𝜋 − 2

− 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 3𝜋 2

3𝜋 2 = ∫ 3𝜋 − 2

Suy ra: 𝐼 =

= 2 ∫ |cos 𝑥|𝑑𝑥

3𝜋 2 0

3𝜋 2 ∫ √2 + 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ |cos 𝑥|𝑑𝑥 3𝜋 − 2

3𝜋 2 3𝜋 − 2

𝜋 2

3𝜋 2

= 2 (∫ cos 𝑥𝑑𝑥 − ∫ cos 𝑥𝑑𝑥

) = 6

𝜋 2

Hoặc HS phải có sự phân tích tìm kĩ thuật biến đổi hợp lí để có thể tính tích

phân thông qua tích phân đề bài cho:

Câu 25. Cho ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

= 16. Tính 𝐼 = ∫ 𝑓(2𝑥)𝑑𝑥

4 0

2 0

A. 𝐼 = 32

B. 𝐼 = 8

C. 𝐼 = 16

D. 𝐼 = 4

[Trích Đề minh họa 2]

Bình luận và lời giải: Có thể giải chi tiết hoặc sử dụng thủ thuật MTBT.

Đ𝐵1 để giải. Cần suy luận được cùng loại hàm số mà

Giải chi tiết: Sử dụng kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃 khác biến thì đổi biến (nắm được công nghệ kĩ thuật đổi biến số) và biết tính chất “giá

trị tích phân chỉ phụ thuộc cận và hàm số chứ không phụ thuộc biến số”. Từ đó dùng

phương pháp đổi biến số để tính tích phân cần tính thông qua tích phân đề bài cho.

Đặt 𝑡 = 2𝑥 ⟹ 𝑑𝑡 = 2𝑑𝑥.

Đổi cận: 𝑥 = 0 ⟹ 𝑡 = 0; 𝑥 = 2 ⟹ 𝑡 = 4.

. Chọn B.

Khi đó: 𝐼 = ∫ 𝑓(2𝑥)𝑑𝑥

2 0

4 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 0

4 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 8 0

Sử dụng MTBT: Cần suy luận được đề bài cho đối với hàm số

bất kì thỏa mãn

= 16 nên có thể tìm một hàm số cụ thể thỏa mãn điều kiện trên

4 điều kiện ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

và tính tích phân đề bài yêu cầu đối với trường hợp hàm số cụ thể vừa tìm được (công

nghệ sử dụng vẫn là đổi biến số. Tìm hàm số cụ thể giúp cho việc tính toán nhanh

với 𝑓(𝑥) là một hàm đơn

chóng hơn bằng MTBT) . Ví dụ dùng MTBT tính ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

4 0

= 16, khi đó dùng MTBT tính

giản (ưu tiên đa thức bậc nhất) và nhận thấy ∫ 2𝑥𝑑𝑥

4 0

= 8.. Tuy nhiên, HS phải có kiến thức tích phân vững mới nhận xét

2 được ∫ 4𝑥𝑑𝑥 0

được và việc tìm hàm số cụ thể cũng không dễ dàng với tất cả HS và không phải khi

nào cũng tìm được.

Xuất hiện bài toán đòi hỏi HS tìm một thành phần nào đó trong công thức tích

= 𝑎𝑙𝑛2 + 𝑏𝑙𝑛3 + 𝑐𝑙𝑛5 với a, b, c là các số nguyên. Tính 𝑆 =

phân hoặc trong kết quả tích phân, từ đó chọn được đáp án đúng.

4 Câu 26. Biết ∫ 3

𝑑𝑥 𝑥2+𝑥

𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

A.𝑆 = 6

B. 𝑆 = 2

C. 𝑆 = −2

D. 𝑆 = 0.

[Trích Đề minh họa 2]

Bình luận và lời giải: Đề bài hỏi về các hệ số trong kết quả tích phân. Vì chỉ lập được

hai phương trình mà có đến 3 ẩn nên câu này MTBT không tìm ngay đáp án được,

buộc HS phải nắm vững kĩ năng tính tích phân hàm số hữu tỉ và tính chất của hàm số

logarit mới cho đáp án đúng.

−

𝑑𝑥 = ∫ (

4 ) 𝑑𝑥 = (𝑙𝑛|𝑥| − 𝑙𝑛|𝑥 + 1|)|3

𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑥

1 𝑥(𝑥 + 1)

1 𝑥

1 𝑥 + 1

4 ∫ 3

4 = ∫ 3

= (𝑙𝑛4 − 𝑙𝑛5) − (𝑙𝑛3 − 𝑙𝑛4) = 2𝑙𝑛4 − 𝑙𝑛5 − 𝑙𝑛3 = 4𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛3 − 𝑙𝑛5.

Khi đó: 𝑎 = 4, 𝑏 = −1, 𝑐 = −1 ⇒ 𝑆 = 2. Chọn B.

Cùng liên quan đến câu hỏi về lí thuyết nhưng không thuần túy ở khả năng

thuộc công thức mà đòi hỏi ở việc hiểu chúng:

Câu 23. Cho hàm số 𝑓(𝑥) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], 𝑓(1) = 1 và 𝑓(2) = 2. Tính

𝐼 = ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥

2 1

A. 𝐼 = 1

B. 𝐼 = −1

C. 𝐼 = 3

D. 𝐼 =

7 2

[Trích Đề minh họa 2]

𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) −

Bình luận và lời giải: Cần phải nắm vững định nghĩa tích phân ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏 𝑎

𝐹(𝑎) trong đó 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥): 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

= 𝑓(2) − 𝑓(1) = 1.

Ta có 𝑓(𝑥) là nguyên hàm của 𝑓′(𝑥) nên 𝐼 = ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥

2 1

Sử dụng MTBT: Tương tự như bài 25 Đề minh họa 2.

+ Câu hỏi liên quan đến định nghĩa tích phân:

bằng cách đặt 𝑢 = 𝑥2 − 1, mệnh đề nào

+ Câu hỏi về phương pháp đổi biến số loại 1:

Câu 1. Tính tích phân 𝐼 = ∫ 2𝑥√𝑥2 − 1𝑑𝑥

2 1

dưới đây đúng?

D. 𝐼 =

3 A.𝐼 = 2 ∫ √𝑢𝑑𝑢 0

2 B. 𝐼 = ∫ √𝑢𝑑𝑢 1

3 C. 𝐼 = ∫ √𝑢𝑑𝑢 0

2 ∫ √𝑢𝑑𝑢 1

[Trích Đề minh họa 2]

Bình luận và lời giải: HS thực hiện các bước đổi biến số để đối chiếu đáp án.

Giải chi tiết: 𝑢 = 𝑥2 − 1 ⟹ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

Đổi cận: 𝑥 = 1 ⟹ 𝑢 = 0, 𝑥 = 2 ⟹ 𝑢 = 3

𝑑𝑢. Chọn C.

2 Khi đó 𝐼 = ∫ 2𝑥√𝑥2 − 1𝑑𝑥 1

3 = ∫ √𝑢 0

Sử dụng MTBT: HS có thể sử dụng chức năng tích tích phân của MTBT tính kết quả

tích phân đề cho và kết quả tích phân của các đáp án và so sánh để chọn đáp án đúng.

Cách này đơn giản nhưng mất nhiều thời gian.

 Các nhiệm vu liên quan đến KNV 𝑻𝑫𝑻

Kĩ thuật dùng đồ thị trong tính diện tích hình phẳng được Đề minh họa 2 và Đề

minh họa 3 khai thác.

Câu 27. Cho hình thang cong (𝐻) giới hạn bởi các

đường 𝑦 = 𝑒 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0 và 𝑥 = 𝑙𝑛4. Đường thẳng

𝑥 = 𝑘(0 < 𝑘 < 𝑙𝑛4) chia (𝐻) thành hai phần có diện

tích là 𝑆1 và 𝑆2 như hình vẽ bên. Tìm 𝑘 để 𝑆1 = 2𝑆2.

A. 𝑘 =

𝑙𝑛4

B. 𝑘 = 𝑙𝑛2

C. 𝑘 = 𝑙𝑛

D.𝑘 = 𝑙𝑛3

8 3

[Trích Đề minh họa 2]

Bình luận và lời giải: Đối với câu này, yêu cầu tiên quyết là nắm vững cách lập công

thức tính diện tích hình phẳng. MTBT giúp cho việc tính toán được nhanh chóng. Hình

vẽ ở đây chỉ nhằm tăng tính trực quan.

𝑒 𝑥𝑑𝑥

Lập công thức tính diện tích 𝑆1 và 𝑆2: 𝑆1 = ∫ 𝑒 𝑥𝑑𝑥

𝑘 0

𝑙𝑛4 và 𝑆2 = ∫ 𝑘

𝑙𝑛4

𝑒 𝑥𝑑𝑥

Giải chi tiết: 𝑆1 = 2𝑆2 ⟺ ∫ 𝑒 𝑥𝑑𝑥

⟺ 𝑒 𝑥|0

𝑘 = 2𝑒 𝑥|𝑘

𝑘 0

𝑙𝑛4 = 2 ∫ 𝑘

⟺ 𝑒𝑘 − 1 = 2(4 − 𝑒𝑘) ⟺ 3𝑒𝑘 = 9 ⟺ 𝑒𝑘 = 3 ⟺ 𝑘 = 𝑙𝑛3. Chọn D.

Sử dụng MTBT: Sử dụng chức năng tính tích phân. Lập hiệu

𝑒 𝑥𝑑𝑥

𝑆1 − 2𝑆2 = ∫ 𝑒 𝑥𝑑𝑥

𝑘 0

𝑙𝑛4 − 2 ∫ 𝑘

Nhập vào MTBT với k lần lượt là 4 giá trị trong 4

đáp án đề cho, giá trị nào mà hiệu trên bằng 0 đó

là đáp án đúng.

Câu 21. Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới

hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai

đường thẳng 𝑥 = −1, 𝑥 = 2 (như hình vẽ bên).

, mệnh đề

Đặt 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑏 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

0 −1

2 0

nào dưới đây đúng?

A. 𝑆 = 𝑏 − 𝑎.

B. 𝑆 = 𝑏 + 𝑎.

C. 𝑆 = −𝑏 + 𝑎.

D. 𝑆 = −𝑏 − 𝑎.

[Trích Đề minh họa 3]

Bình luận và lời giải: Bài này không khó nhưng lại dễ làm sai bởi HS quen với phép

tính đại số nên chọn đáp án B. Việc nắm vững công thức tính diện tích, cách bỏ dấu

giá trị tuyệt đối và kĩ năng đọc đồ thị đóng vai trò quan trọng. Trong trường hợp này

𝑑𝑥. Kết hợp quan sát đồ thị ta thấy: Diện

công thức tính diện tích là 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|

2 −1

tích cần tính được chia thành hai phần, phần phía trên trục hoành thuộc đoạn [0; 2]

mang dấu dương nên bỏ trị tuyệt đối là chính nó, phần phía dưới trục hoành thuộc

đoạn [0; 1] mang dấu âm nên bỏ trị tuyệt đối là số đối của nó, do đó đáp án đúng là

A. 𝑆 = 𝑏 − 𝑎. Câu hỏi này MTBT không giúp được gì và đồ thị là một thành phần

quan trọng trong câu dẫn.

Đặc biệt, các Đề minh họa có sự xuất hiện của bài toán liên hệ thực tế, đòi hỏi

khả năng mô hình hóa và vận dụng tốt kiến thức phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Câu 28. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ

dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m.

Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận

trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết

kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/𝑚2. Hỏi ông

An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng

nghìn)

A.7.867.000 đồng B.7.653.000 đồng C.7.128.000 đồng D.7.826.000 đồng

[Trích Đề minh họa 2]

Bình luận và lời giải: Đây là một câu gây nhiều khó khăn cho HS vì đòi hỏi khả năng

mô hình hóa. Bài toán có cách phát biểu lạ lẫm chưa từng xuất hiện trong SGK12 và

các đề thi trước đó của Bộ GD – ĐT. Xác

định được cần sử dụng kĩ thuật 𝜏𝐷𝑇 chỉ mang

tính định hướng cho bước giải, quá trình lập

công thức tính không hề đơn giản. Để lập

được hàm số dưới dấu tích phân, HS cần phải

nhớ dạng phương trình chính tắc của elip đã

học từ lớp 10 và biết gắn elip vào hệ trục tọa

độ. Phương trình chính tắc của elip có dạng: 𝑥2

𝑎2 +

𝑦2 𝑏2 = 1.

Theo đề bài ta có:

2𝑎 = 16, 2𝑏 = 10 ⟹ 𝑎 = 8, 𝑏 = 5

Suy ra phương trình chính tắc của elip là: 𝑥2

= 1 ⟹ 𝑦 = ±5√1 −

𝑦2 25

𝑥2 64

Khi đó phần cần tính diện tích được biểu diễn như hình vẽ bên.

Diện tích S của vườn hoa được tính theo công thức sau:

𝑑𝑥 = 20 ∫ √1 −

𝑑𝑥

𝑥2 64

4 𝑆 = 4 ∫ 5√1 − 0

𝜋

;

Giải chi tiết: Đặt 𝑥 = 8𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑡 ∈ [−

] ⟹ 𝑑𝑥 = 8𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡.

𝜋

Đổi cận: 𝑥 = 0 ⟹ 𝑡 = 0; 𝑥 = 4 ⟹ 𝑡 =

Khi đó:

𝜋 6

𝑑𝑥 =

𝑑𝑡

𝑥2 64

20 8

𝑆 = 20 ∫ √1 − 0

∫ √64 − 𝑥2 0

∫ √64 − 64𝑠𝑖𝑛2𝑡. 8𝑐𝑜𝑠𝑡 0

𝜋 6

= 20 ∫ 8|𝑐𝑜𝑠𝑡|𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑑𝑡 = 160 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑡

𝜋 6 𝑑𝑡 = 80 ∫ (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡)

𝑑𝑡

𝜋 6

= 80 (𝑡 +

+ 20√3(𝑚2)

𝑠𝑖𝑛2𝑡 2

40𝜋 3

40𝜋

Số tiền ông An cần dùng là: (

+ 20√3) x 100.000 ≈ 7.653.000 (đồng).

Sử dụng MTBT: Sử dụng chức năng tính tích phân. Việc tính toán diễn ra nhanh chóng

𝑑𝑥] x 100.000

khi đã lập được công thức tính diện tích. Chỉ cần nhập [20 ∫ √1 −

4 0

𝑥2 64

ta có ngay đáp số.

Như vậy, việc ra Đề minh họa của Bộ GD-ĐT có sự tiến triển. Các đề giới thiệu

sau so với các đề trước đã tăng cường vai trò của “con người” trong việc tìm đáp án,

khẳng định MTBT chỉ là công cụ hỗ trợ, nhấn mạnh việc HS phải nắm vững, hiểu và

vận dụng được kiến thức.

2.3.2. Đề thi chính thức của Bộ GD-ĐT ngày 22/06/2017

Đề thi chính thức có 24 mã đề thi (từ 101 đến 124) được biên soạn từ 4 đề gốc.

Dạng các câu hỏi thuộc chương 4– Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – được ra

tương tự giữa các đề, đa số chỉ là thay đổi hàm số, giữ nguyên KNV. Nội dung câu hỏi

trải đều tất cả nội dung lý thuyết trong SGK: sử dụng kĩ thuật tính tích phân (nguyên

hàm) bằng định nghĩa, tính chất, đổi biến số, từng phần; ứng dụng tích phân trong hình

học và vật lí. Về hình thức, các câu trắc nghiệm trong đề chính thức đều có cách phát

biểu tương tự như Đề minh họa 2 và 3 và xuất hiện những cách hỏi mới, yếu tố đồ thị

được khai thác hiệu quả. Về số lượng, đề chính thức cũng có 7 câu thuộc chương 4

nhưng số lượng câu hỏi về nguyên hàm tăng từ 1 lên 2 – 3 câu.

Số lượng câu nguyên hàm tăng đồng thời xuất hiện các KNV mới giúp hạn chế

MTBT. KNV quen thuộc về nguyên hàm xuất hiện trong các đề đã giới thiệu có dạng

là:

Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +

−

+ 𝐶.

−

+ 𝐶.

A. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

B. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑥3 3

𝑥

𝑥2 𝑥3 3

𝑥

+ 𝐶.

C. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

D. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑥3 3

𝑥

𝑥3 3

𝑥

[Trích Đề minh họa 3]

Bình luận và lời giải: Đây là một câu đơn giản, HS có thể giải chi tiết bằng cách sử

dụng bảng nguyên hàm thường gặp hoặc có thể dùng thủ thuật MTBT tìm nhanh đáp

án.

Giải chi tiết:

−

+ 𝐶.

Ta có ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥2 +

𝑥2) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + 2 ∫

𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑥3 3

𝑥

Chọn A.

Sử dụng MTBT: Dựa trên kiến thức đạo hàm của nguyên hàm chính là hàm số đó. HS

có thể sử dụng chức năng tính đạo hàm tại một điểm của MTBT tính đạo hàm tại một

điểm 𝑥0 thuộc tập xác định của hàm số và so sánh với 𝑓(𝑥0) để chọn đáp án đúng.

Ví dụ câu nguyên hàm mới xuất hiện trong Đề thi chính thức:

Câu 32. Cho 𝐹(𝑥) = 𝑥2 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥. Tìm nguyên hàm

của hàm số 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥.

A. ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥 + 𝐶.

B. ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = −𝑥2 + 𝑥 + 𝐶.

C. ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥2 − 2𝑥 + 𝐶

D. ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = −2𝑥2 + 2𝑥 + 𝐶.

[Trích mã đề 101]

Bình luận và lời giải: HS cần nắm vững khái niệm nguyên hàm (𝐹(𝑥) là nguyên hàm

của 𝑓(𝑥) thì 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)) và xác định được để giải bài toán cần tìm được hàm số

𝑓(𝑥).

Vì 𝐹(𝑥) = 𝑥2 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥 nên

2𝑥

2−4𝑥

(𝑥2)′ = 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥 ⟹ 2𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥) =

𝑒2𝑥 ⟹ 𝑓′(𝑥) =

𝑒2𝑥

Khi đó ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = ∫(2 − 4𝑥)𝑑𝑥 = − 2𝑥2 + 2𝑥 + 𝐶. Chọn D.

Sử dụng MTBT: Bước 1, xác định ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = ∫(2 − 4𝑥)𝑑𝑥 . Bước 2, sử dụng

chức năng tính đạo hàm tại một điểm của MTBT tính giá trị các đáp án và so sánh với

giá trị hàm số 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥 = 2 − 4𝑥 tại điểm đó để tìm đáp án đúng.

Như vậy việc đổi số lượng câu trắc nghiệm giữa hai nội dung nguyên hàm và

tích phân để tăng tính mới, đa dạng của các KNV.

HS gặp lại nhiệm vụ liên hệ thực tế liên quan đến ứng dụng vật lí của tích phân.

Lúc này bài toán vật lí đòi hỏi khả năng mô hình hóa cao hơn so với Đề minh họa 1 vì

hàm vận tốc chưa được cho, chuyển động lại phân thành hai giai đoạn. Kiến thức về

mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường là mấu chốt để giải bài toán. Bên cạnh đó,

để giải thành công, việc đọc đồ thị và liên hệ tốt với kiến thức vật lí là đòi hỏi bắt

buộc.

Câu 41. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc 𝑣(km/h) phụ thuộc thời gian

𝑡(h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt

đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh

𝐼(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian

còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính

quãng đường 𝑠 mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm

tròn đến hàng phần trăm).

A. 𝑠 = 23,25(km).

B. 𝑠 = 21,58(km).

C. 𝑠 = 15,50(km).

D. 𝑠 = 13,83(km).

[Trích mã đề 101]

Bình luận và lời giải: HS phải biết phân tích đề bài, kết hợp kiến thức toán học và vật

lí để lập được công thức tính quãng đường. MTBT chỉ tham gia tính toán kết quả khi

đã lập được công thức tính tích phân.

Phương trình parabol có dạng: 𝑦 = 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)

Parabol cắt trục tung tại điểm (0; 4) ⟹ 𝑐 = 4 ⟹ 𝑦 = 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 4.

−𝑏 2𝑎

Parabol có đỉnh 𝐼(2; 9) ta suy ra hệ phương trình: {

⟺ { 4𝑎+𝑏=0

4𝑎+2𝑏=5 ⟺ {𝑎=

9=4𝑎+2𝑏+4

−5 4 𝑏=5

Phương trình parabol là 𝑦 = −

𝑡2 + 5𝑡 + 4

Với 𝑡 = 1 ⟹ 𝑦 =

Từ quan sát đồ thị chuyển động ta suy ra rằng: Trong khoảng thời gian từ lúc xuất phát

đến thời điểm 1 giờ, vật chuyển động nhanh dần với hàm vận tốc là

𝑣 = −

𝑡2 + 5𝑡 + 4,

km/h.

từ 1 đến 3 giờ vật chuyển động thẳng đều với vận tốc 31 4

Do đó, quãng đường vật đi được trong 3 giờ là

259

(km). Chọn B.

𝑡2 + 5𝑡 + 4) 𝑑𝑡 + (3 − 1)

≈ 21,58

1 𝑠 = ∫ (− 0

Đặc biệt, đề thi xuất hiện nhiệm vụ đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức tổng

hợp: HS phải sử dụng được nghĩa “tích phân là diện tích hình phẳng” kết hợp với định

nghĩa tích phân theo nguyên hàm và các kiến thức về hàm số, đồ thị, đạo hàm mới giải

được. Ví dụ như câu 49 mã đề 101.

Câu 49. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥). Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓′(𝑥)

như hình bên.

Đặt ℎ(𝑥) = 2𝑓(𝑥) − 𝑥2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ℎ(4) = ℎ(−2) > ℎ(2).

B. ℎ(4) = ℎ(−2) < ℎ(2).

C. ℎ(2) > ℎ(4) > ℎ(−2).

D. ℎ(2) > ℎ(−2) > ℎ(4).

[Trích mã đề 101]

Lời giải của TS Trần Nam Dũng10 đăng trên bigschool.vn:

10 Giảng viên Khoa Toán – Tin, Đại học Khoa học tự nhiên TP. Hồ Chí Minh.

Ta có: ℎ′(𝑥) = 2𝑓′(𝑥) − 2𝑥 = 2(𝑓′(𝑥) − 𝑥).

Quan sát hình vẽ ta thấy với 𝑥 ∈ (2; 4), 𝑓′(𝑥) < 𝑥 ⇒ ℎ′(𝑥) < 0 ⟹ ℎ(2) > ℎ(4) .

4 = ℎ(4) − ℎ(−2) .

Ta có: ∫ (2𝑓′(𝑥) − 2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ ℎ′(𝑥)𝑑𝑥 = ℎ(𝑥)|−2

4 −2

Mặt khác:

∫ (2𝑓′(𝑥) − 2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (2𝑓′(𝑥) − 2𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (2𝑓′(𝑥) − 2𝑥)𝑑𝑥 −2

−2

= ∫ (2𝑓′(𝑥) − 2𝑥)𝑑𝑥 − ∫ (2𝑥 − 2𝑓′(𝑥))𝑑𝑥 = 2(𝑆1 − 𝑆2) > 0

−2

⟹ ℎ(4) > ℎ(−2).

Vậy ℎ(2) > ℎ(4) > ℎ(−2). Chọn C.

Đây là một câu phân loại để tìm kiếm HS giỏi, việc xác định dùng kiến thức

tích phân là trọng tâm để giải quyết bài toán không hề đơn giản. Việc quan sát đồ thị

và sử dụng hiệu quả nó đóng vai trò quan trọng. TS Trần Nam Dũng nhận xét: “Đây là

câu hỏi hay nhất đề thi. Bởi nó không sa vào tính toán như một số câu hỏi khác mà

phải vận dụng các kiến thức xung quanh hàm số, đạo hàm, đồ thị, tích phân” [Theo

Tuệ Nguyễn – Quý Hiên, báo Thanh Niên (thanhnien.vn) ngày 23/06/2017].

Như vậy, Đề thi chính thức một lần nữa cho ta thấy được sự đa dạng và phong

phú trong việc ra đề trắc nghiệm. Yếu tố đồ thị được khai thác hiệu quả. HS không thể

ỷ lại vào MTBT mà phải thực học, nắm vững và vận dụng tốt khái niệm tích phân. Các

bài toán liên hệ thực tế với đa dạng hình thức thể hiện giúp HS có thể biết cũng như

chú ý hơn về những ứng dụng của tích phân trong đời sống. Kiến thức tích phân nhờ

đó có thể không còn khô khan, hình thức đối với HS.

Chúng tôi xin nói thêm về ứng dụng vật lí của khái niệm tích phân: ứng dụng

này chỉ xuất hiện trong SGKNC12 và giới hạn ở việc lập công thức tích phân tính

quãng đường dựa vào hàm vận tốc nhưng lại xuất hiện trong Đề minh họa 1 và Đề

chính thức – đề dùng chung cho tất cả thí sinh. Vậy cơ sở của việc ra đề này là gì? Có

thể mở rộng các ứng dụng nào? Theo như lựa chọn cách tiếp cận khái niệm tích phân

của SGKHH thì tích phân mang nghĩa là “phép toán ngược của đạo hàm”, do đó,

những vấn đề nào mà đạo hàm giải quyết được thì vấn đề ngược lại tích phân cũng có

thể giải quyết. Có 3 ứng dụng ngoài toán học của đạo hàm được SGK11 đề cập và đều

thuộc lĩnh vực vật lí: vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 𝑡0 là đạo hàm của hàm số quãng đường 𝑠 = 𝑠(𝑡) tại 𝑡0, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm 𝑡0 là đạo hàm của hàm số điện lượng 𝑄 = 𝑄(𝑡) tại 𝑡0, đạo hàm cấp hai 𝑓′′(𝑡) là gia tốc tức thời của chuyển động 𝑠 = 𝑓(𝑡) tại thời điểm t. Từ đó dẫn tới khái niệm tích phân

trong các đề thi chỉ có thể tác động vào lĩnh vực Vật lí và ở 3 ứng dụng được kể trên.

2.4. Kết luận

Từ việc phân tích chương trình và hai bộ SGKHH, các Đề minh họa và đề thi

của Bộ GD-ĐT cho phép chúng tôi rút ra những kết luận sau:

Cả ba cách tiếp cận khái niệm tích phân đều xuất hiện trong hai bộ SGK nhưng

chính thức thì chỉ có hai: cách tiếp cận thứ nhất (Tích phân là diện tích của hình phẳng

(thể tích của vật thể)) và thứ ba (Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm). Trong

đó, cách tiếp cận thứ ba là trọng tâm, xuyên suốt và các kĩ thuật giải quyết các KNV

đều trên cơ sở định nghĩa theo cách tiếp cận này.

Các kiến thức liên quan đến khái niệm tích phân được trình bày không nặng

tính hàn lâm. Nhiều hoạt động, câu hỏi được đề xuất để gợi ý GV tổ chức hoạt động

dạy học đối với từng đơn vị kiến thức. SGKHH đã thiết kế bài toán diện tích là tiền đề

dẫn tới định nghĩa tích phân giúp cho khái niệm tích phân không quá trừu tượng với

HS.

Các ví dụ và bài tập trong SGK chủ yếu tập trung ở KNV tính tích phân và trình

bày phần lớn ở hình thức tự luận với một môtíp quen thuộc. Các bài tập trắc nghiệm đa

số được cho dưới dạng chuyển cơ học từ tự luận sang trắc nghiệm khiến cho các dạng

bài này dễ dàng tìm đáp án nhờ MTBT mà không cần nắm kiến thức. SGKNC12 cũng

có một số câu hỏi trắc nghiệm hạn chế nhược điểm này nhưng số lượng rất ít. Các tác

đề mẫu dạng chuẩn mực”. Như vậy SGK chưa chuẩn bị đầy đủ nền tảng cho việc thay

giả viết sách cũng thừa nhận các câu hỏi này “ở dạng thử nghiệm chứa chưa phải là những

đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm.

Nguồn tài liệu tin cậy và mang tính định hướng cho GV chính là các Đề minh

họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trước khi kì thi THPT quốc gia 2017 chính thức diễn

ra. Không bó hẹp ở KNV tính tích phân trong các đề thi của những năm trước, hầu hết

các nhiệm vụ liên quan đến khái niệm tích phân đều xuất hiện và có nội dung phong

phú, trải đều các kiến thức tích phân, xuất hiện các bài toán thực tế liên quan đến ứng

dụng vật lí và hình học. Các bài toán thực tiễn trong các Đề minh họa và đề thi chính

thức 2017 có thể giúp cho cách tiếp cận thứ nhất được chú trọng hơn và cách tiếp cận

thứ ba cũng không còn thuần túy là tính toán đại số. Tuy nhiên, do cách định nghĩa và

giới thiệu đạo hàm của SGK11 mà ứng dụng ngoài toán học của tích phân cũng hạn

chế theo.

Ngoài ra, các Đề minh họa 2 và 3 đã đưa ra nhiều cách đặt câu hỏi mới lạ mà

việc giải quyết chúng đòi hỏi HS phải nắm vững kiến thức và vận dụng tốt mới giải

nhanh và chính xác, không ỷ lại vào MTBT được. Đề thi chính thức đã tái khẳng định

điều này. Cụ thể một số thay đổi nổi bật:

Nhóm 1: Các nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑻𝑻𝑻𝑷 - Tính tích phân từ a đến b

của hàm số .

- Nếu yêu cầu tính một tích phân I thì hàm số dưới dấu tích phân hoặc cận

không được cho cụ thể, buộc HS phải vận dụng kiến thức tích phân tìm đầy

đủ các thành phần của I hoặc tính I thông qua tích phân giả thiết cho.

- Đề bài hỏi về các thành phần trong công thức tích phân (cận, hàm số dưới

dấu tích phân, hệ số của kết quả tích phân chứa logarit) mà việc phải trình

bày chi tiết các bước tính tích phân mới tìm được đáp án đúng.

- Việc nhận dạng sử dụng kĩ thuật tính tích phân nào đòi hỏi HS nắm vững

công nghệ của kĩ thuật đó mới có thể suy luận sử dụng kĩ thuật phù hợp,

không thể luôn dựa vào dạng cụ thể của hàm số dưới dấu tích phân.

Nhóm 2: Các KNV liên quan đến ứng dụng của tích phân

- Yếu tố đồ thị được tăng cường và là một phần quan trọng trong giả thiết.

- Khả năng mô hình hóa, vận dụng vào thực tế được đề cao.

- Đề bài tập trung ở việc HS phải vận dụng kiến thức để phân tích và suy luận

lập công thức tích phân.

Nhóm 3: Các KNV liên quan đến chứng minh và tính gần đúng - Không

xuất hiện

Mặc dù có nhiều điểm đổi mới, nhưng thời điểm công bố Đề minh họa 2 và 3 là

khi GV đang dạy khái niệm tích phân và khi đã kết thúc chương trình năm học. Trong

khi đó, tài liệu sớm nhất mà GV có được là SGK và Đề minh họa 1 với đa số các câu

trắc nghiệm có cách phát biểu như câu tự luận thêm 4 đáp án mà hầu hết đều giải được

bằng MTBT. Điều này có thể gây nhiều khó khăn cho GV trong dạy học và đánh giá

HS.

Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC

KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN CỦA GIÁO VIÊN

Mục tiêu của chương nhằm trả lời cho câu hỏi:

CH3: Trước sự thay đổi hình thức thi của Bộ GD-ĐT, trong thực hành dạy học,

GV có thực hiện theo tiến trình giới thiệu các kiến thức tích phân trong SGK không?

Có những điểm gì khác? Các praxéologies nào được GV đưa vào trong thực tế giảng

dạy? Các praxéologies này có gì giống và khác so với các praxéologies được trình bày

trong SGK và các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016-2017?

Chúng tôi tiến hành quan sát thực hành dạy học của hai GV: GV1 dạy chương

trình Nâng cao và GV2 dạy chương trình Chuẩn. Đối với mỗi GV chúng tôi tiến hành

dự giờ tối thiểu 4 tiết, các tiết học trải đều 3 nội dung: Định nghĩa tích phân và tính

chất, các phương pháp tính tích phân, ứng dụng hình học của tích phân.

Vì các lí do chủ quan và khách quan, chúng tôi không thể dự giờ đầy đủ các tiết

học nên không thể đánh giá được GV có triển khai đầy đủ các praxéologies không, mà

chỉ xem xét sự giống và khác nhau so với SGK và các Đề minh họa của các

praxéologies được GV triển khai.

3.1. Nghiên cứu thực hành dạy học của GV1 dạy chương trình Nâng cao

GV1 là người đã có 37 năm kinh nghiệm, một trong những GV cốt cán môn

Toán của tỉnh Bình Dương. Lớp học mà chúng tôi dự giờ là lớp chọn của trường

THPT An Mỹ với đa số HS có học lực khá giỏi. Thời điểm chúng tôi tiến hành dự giờ

chỉ có Đề minh họa đã được Bộ GD-ĐT công bố.

3.1.1. Những praxéologie quan sát được

Đối với từng praxéologie được giảng dạy, GV1 dành nhiều thời gian cho thời

điểm làm việc với kĩ thuật. Mặc dù không dự giờ đầy đủ nhưng qua các tiết dạy, GV1

thể hiện rất coi trọng dạy lí thuyết. Các nội dung trong SGKNC12 liên quan đến khái

niệm này đều được GV1 dành thời gian thích đáng và đổi mới cách trình bày. Bên

cạnh đó, GV1 còn bổ sung một số nội dung nhằm giúp HS hiểu sâu thêm khái niệm

cũng như các kĩ thuật giải quyết các KNV.

Ngoài các bài tập tự luận, trong mỗi tiết dạy GV1 còn cho những bài tập trắc

nghiệm với nhiệm vụ mới lạ. Thông qua những câu trắc nghiệm này, GV1 hướng dẫn

HS cách thức suy luận và thủ thuật MTBT giải nhanh toán trắc nghiệm, đồng thời cảnh

báo đề thi sẽ hạn chế sử dụng MTBT.

Bảng 3.1. Thống kê những praxéologie quan sát được của GV1

Số lượng Praxéologie GV1 Ví dụ Ví dụ trắc Nội dung tiết tự luận nghiệm

2Đ𝑇𝛾]

2Đ𝑇, 𝜏𝐷𝑇

1 1 [𝑇𝐷𝑇 xây dựng 2Đ𝑇𝛾, 𝜃𝐷𝑇

Đ𝑁 ]

2 0 [𝑇𝑄Đ, 𝜏𝑄Đ, 𝜃𝑄Đ] Định nghĩa tích phân 2 1 2 [𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃

𝐷𝑇 ]

1 0 [𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃

Đ𝑁 , 𝜃𝑇𝑇𝑃 𝐷𝑇 , 𝜃𝑇𝑇𝑃 Đ𝐵1]

Đ𝐵2]

4 2 Luyện tập phương pháp [𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃 1 đổi biến số 1 0

2Đ𝑇]

2Đ𝑇𝛾]

2Đ𝑇, 𝜏𝐷𝑇

2Đ𝑇𝛼, 𝜃𝐷𝑇 2Đ𝑇𝛾, 𝜃𝐷𝑇

3 0 Ứng dụng tích phân tính [𝑇𝐷𝑇 [𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃 2Đ𝑇, 𝜏𝐷𝑇 1 1 0 diện tích hình phẳng [𝑇𝐷𝑇

3.1.2. Tổ chức dạy học được GV1 sử dụng để đưa vào các praxéologie

3.1.2.1. Định nghĩa tích phân và các praxéologie liên quan

GV1 chọn dạy định nghĩa tích phân theo tiến trình Đối tượng – Công cụ bằng

con đường quy nạp. Phương pháp dạy học chủ yếu là thuyết trình kết hợp vấn đáp gợi

mở. Chúng tôi có cơ hội dự giờ đầy đủ hai tiết dạy định nghĩa tích phân vào hai ngày

Đ𝑁 đều xuất hiện.

liên tiếp. Theo quan sát của chúng tôi, cả 6 thời điểm nghiên cứu praxéologie liên quan

đến công nghệ 𝜃𝑇𝑇𝑃

Không đi ngay vào bài toán tổng quát như SGKNC12, GV bắt đầu tiết học bằng

yêu cầu HS giải 3 trong 4 bài toán cụ thể về tính diện tích hình phẳng và tính quãng

2Đ𝑇, 𝑇𝑄Đ, 𝑇𝑇𝑇𝑃 cùng xuất hiện trong hai tiết học. 2Đ𝑇, 𝑇𝑄Đ phục vụ cho việc giới thiệu KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃,

đường trong phiếu học tập. Ba KNV 𝑇𝐷𝑇

Trong đó việc nghiên cứu hai KNV 𝑇𝐷𝑇

 Thời điểm gặp gỡ đầu tiên (đoạn 1 - 5) với hai kiểu nhiệm vụ 𝑇𝐷𝑇

2Đ𝑇 và 𝑇𝑄Đ, mà thực

do đó các thời điểm nghiên cứu chúng đan xen và lồng vào nhau.

ra cũng gián tiếp là thời điểm gặp gỡ KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃, thông qua việc giới thiệu của GV về

3 bài toán cần làm trong phiếu học tập và ghi tựa bài lên bảng. Hai bài toán đầu có yêu

cầu tính diện tích hình phẳng, đều được cho dưới dạng hình vẽ gắn trên hệ trục tọa độ,

Bài 1: Tính diện tích hình thang như hình vẽ

Bài 2: Diện tích của hình là

A .1 2 B. 1 3 C. 4 7 D.2 5

trong đó có 1 bài trắc nghiệm:

Cách thức cho bài toán này phù hợp với các bài trắc nghiệm trong các Đề minh

họa của Bộ GD-ĐT. HS được làm quen với cách đọc các giả thiết từ hình vẽ. GV đã

2. [..] Bài số 1 trang đầu Tính diện tích hình thang như hình vẽ. Không có phương

trình, chỉ có số liệu đề nghị các em suy ra. Bài thứ hai thầy cho một phương án trắc

nghiệm của diện tích hình bị gạch chéo thì thầy thử khả năng phán đoán chính xác của

các em, sau đó sẽ kiểm chứng bằng công thức.

2Đ𝑇 và xây dựng kĩ thuật giải quyết nó (đoạn 7 – 48)

gợi ý một số điểm cần lưu ý cũng như cách làm bài 1 và 2:

 Thời điểm nghiên cứu KNV 𝑇𝐷𝑇

thông qua việc giải hai bài toán 1 và 2 nêu trên. GV dành nhiều thời gian cho thời

điểm này và khuyến khích HS đưa ra nhiều lời giải. Bài toán 1, HS dễ dàng giải quyết

bằng các kiến thức sơ cấp, không HS nào đề cập đến việc lập phương trình cạnh xiên.

Trong trường hợp này đó không phải là cách tối ưu, buộc GV phải thiết lập với lời giải

thích : “Cách này có vẻ hơi dài một chút nhưng chút nữa ta tính tích phân mới được”.

Trong bài toán 2, dụng ý của GV không đạt được vì các HS đã học thêm trước nên trả

lời đúng đáp án nhưng lời giải thích lại là do tính tích phân – nội dung hôm nay mới

học. Cuối cùng, GV phải hướng dẫn cách lập luận dựa vào hình vẽ để loại trừ các

phương án.

Cách thiết kế và sắp xếp bài tập của GV đạt được hai mục đích: Tạo nhu cầu

2Đ𝑇 và cho HS làm quen với hình thức đề bài và

cần phải thiết lập công thức tính diện tích cho một hình bất kì hay một kĩ thuật tổng

quát để giải quyết kiểu nhiệm vụ 𝑇𝐷𝑇

cách thức làm bài trắc nghiệm.

 Thời điểm nghiên cứu KNV 𝑇𝑄Đ và xây dựng kĩ thuật giải quyết KNV này được thực

Bài 3: Một viên đạn được bắn lên trời theo phương thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất

500m với vận tốc ban đầu là 245m/s.

a. Tìm thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn nhất.

b. Khi đạt độ cao lớn nhất, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu.

hiện thông qua việc giải bài toán 3 (đoạn 49 – 78).

Nhờ nắm vững môn vật lí nên HS giải quyết trọn vẹn bài toán bằng kĩ thuật

thuộc bộ môn này, kĩ thuật mới chưa được thiết lập.

2Đ𝑇: GV yêu cầu HS đọc nội dung bài toán 1 trong

 Thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết (đoạn 79 – 86) liên quan đến

Đ𝑁 để giải quyết KNV 𝑇𝐷𝑇

kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

SGKNC12 và thừa nhận như một kết quả, bỏ qua chứng minh vì “là nhiệm vụ của

SGK, mai mốt lên đại học làm”. GV nhấn mạnh định nghĩa hình thang cong và công

2Đ𝑇(đoạn 87 -103): GV

thức tính diện tích của nó, cùng HS nêu các bước tính diện tích.

Đ𝑁 để giải quyết KNV 𝑇𝐷𝑇

 Thời điểm làm việc với kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

dẫn dắt HS giải chi tiết bài toán 1 và 2. Ngoài ra, GV còn giới thiệu cách tính diện tích

nhờ phân chia hình cần tính thành các phần nhỏ tương tự như lưới ô vuông và giải

nghĩa từ tích phân. Mặc dù không thật sự chính xác nhưng sự giải thích của GV cũng

giúp HS có thể hiểu thêm về khái niệm này và nguồn gốc hình học của nó.

2Đ𝑇 .

 Thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết (đoạn 106 – 112) liên quan đến

Đ𝑁 để giải quyết KNV 𝑇𝑄Đ được GV tiến hành tương tự như KNV 𝑇𝐷𝑇

Đ𝑁 để giải quyết KNV 𝑇𝑄Đ(đoạn 103): Do yếu tố

kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

 Thời điểm làm việc với kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

thời gian, GV thuyết trình giải bài toán 3.

Đ𝑁 (đoạn 114 – 124) để giải quyết KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃: GV phát biểu và viết bảng định nghĩa tích phân, GV nhấn mạnh tính liên tục của hàm

 Thời điểm thể chế hóa công nghệ 𝜃𝑇𝑇𝑃

số xét trên đoạn cần lấy tích phân và chỉ ra sự thay đổi của chương trình khi xét trên

đoạn [𝑎; 𝑏] chứ không phải trên khoảng K bất kì và khi đó 𝑎 < 𝑏. GV cũng nhắc nhở

HS về các bước làm bài: “Như vậy để tính tích phân của hàm số thì tương tự như

nguyên hàm là ta phải tìm được gì. Ta phải tìm được nguyên hàm, rồi tiếp theo làm gì

2Đ𝑇 cũng chính là thời điểm xây dựng

hả các em, thế cận nhá, a, b gọi là cận”.

Các thời điểm nghiên cứu KNV 𝑇𝑄Đ, 𝑇𝐷𝑇

môi trường công nghệ, lý thuyết cho KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃.

 Thời điểm đánh giá (đoạn 119 – 138): GV dành nhiều thời gian cho thời điểm này để

chỉ ra mối liên hệ giữa 3 khái niệm diện tích, quãng đường, tích phân. Đặc biệt là mối

quan hệ giữa khái niệm tích phân và diện tích. GV nhấn mạnh sự khác biệt của hai

2Đ𝑇 (đoạn 142 – 143): GV

khái niệm.

Đ𝑁 đối với KNV 𝑇𝐷𝑇

 Thời điểm thể chế hóa công nghệ 𝜃𝑇𝑇𝑃

trình bày trong nội dung ý nghĩa hình học của tích phân. GV nhấn mạnh yêu cầu hàm

số đã cho phải dương. Thời điểm này diễn ra nhanh chóng vì nó là kết quả của hoạt

động tiết trước.

 Thời điểm thể chế hóa công nghệ 𝜃𝑄Đ (đoạn 144 – 148): Khác với SGK, GV còn mở

rộng ý nghĩa cơ học khi đề cập giả thiết bài toán có thể là nhiệt lượng, công của nhiệt

lượng. Tuy nhiên, GV lại không nhắc cho HS khi nào có thể thiết lập công thức tích

phân để tính (đại lượng này là đạo hàm của đại lượng kia). Chính vì lí do đó nên khi

GV thực hiện thời điểm làm việc với kĩ thuật 𝜏𝑄Đ (đoạn 149 – 163) áp dụng cho việc

tìm vận tốc tức thời dựa vào gia tốc, HS dễ dàng giải quyết bằng kĩ thuật vật lí đã biết

nhưng không em nào đưa ra được lời giải vận dụng kĩ thuật 𝜏𝑄Đ.

Đ𝑁 giải quyết KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃 (đoạn 164 – 200): Kết

 Thời điểm làm việc với kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

1 VD1: 𝐼 = ∫ |𝑥 + 1|𝑑𝑥 −1

Câu 1. Hãy chọn một mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A.∫ 𝑑𝑥 = 1

1 −1

B. ∫ 𝑓1(𝑥). 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥.

𝑏 𝑎

𝑏 ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

C. f liên tục, 𝑓(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] ⟹ ∫ 𝑓(𝑥) ≥ 0

𝑏 𝑎

⟹ 𝑓(𝑥) lẻ

D. ∫ 𝑓(𝑥) = 0

𝑎 −𝑎

𝑓(1) = 2

Câu 2. Tìm a, b để 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑥 + 𝑏 thỏa {

1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 4 0

thúc phần lí thuyết, GV cho HS giải quyết 1 bài tự luận và 2 bài trắc nghiệm.

Ví dụ 1 của GV1 không đơn giản như SGK là có thể áp dụng ngay định nghĩa

tích phân, mà đòi hỏi phải qua bước khử dấu giá trị tuyệt đối. Điều đó có thể gây khó

khăn cho một số HS không nắm vững khái niệm này. GV mở đầu bằng việc nhắc lại

bài toán 1 trong phiếu học tập tiết học trước và khẳng định: “Đối với tích phân hàm số

bậc nhất, đôi khi ta không cần tính nguyên hàm, ta tính nhẩm nhanh hơn”. GV minh

𝐷𝑇 . Đ𝑁 và 𝜏𝑇𝑇𝑃

chứng điều đó qua việc giải ví dụ 1 bằng hai kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

Có thể thấy cả 2 bài toán trắc nghiệm đều là các nhiệm vụ mới và đòi hỏi HS

phải nắm vững lí thuyết, lập luận tốt. Câu 2 GV không cho 4 đáp áp chỉ cho câu dẫn

với mục đích giới thiệu sự đa dạng đề bài có thể có với cùng một câu dẫn. Thông qua

đó GV hướng dẫn HS những cách làm nhanh, lập luận giải toán trắc nghiệm.

3.1.2. 1. Phương pháp đổi biến số

Tiết học này vắng 9 em, các em đều là các HS giỏi nhất lớp dự thi giải toán trên

MTBT. Để kịp tiến trình bài dạy, GV phải trực tiếp trình bày nhiều. Đây là tiết bài tập

Đ𝐵2. Đ𝐵1 và 𝜏𝑇𝑇𝑃

nên GV chỉ thực hiện thời điểm làm việc với hai kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

GV cho HS làm các nhiệm vụ thuộc cả hai hình thức tự luận (5 bài) và trắc

Đ𝐵1, mức độ phức tạp tăng dần, tập trung ở những

nghiệm (2 bài). Trong đó hình thức trắc nghiệm được thực hiện vào cuối tiết. Các câu

tự luận đa số sử dụng kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

nhầm lẫn, sai sót thường gặp của HS. Mỗi bài đều được GV phân tích kĩ kết hợp

phương pháp thuyết trình và vấn đáp. GV nhấn mạnh HS phải biết nhận xét, tìm

2. 𝐼 = ∫ √1 + 𝑥2𝑑𝑥

1 1. 𝐼 = ∫ √1 + 𝑥𝑑𝑥 0

1 0

𝑑𝑥

4. 𝐼 = ∫ sin2𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥

2 3. 𝐼 = ∫ 𝑥. 𝑒 𝑥2 1

𝜋 2 0

𝑥 sin 𝑥+(𝑥+1) cos 𝑥

đường lối giải.

𝜋 Đề thi đại học khối A năm 2011. 𝐼 = ∫ 4 0

𝑥 sin 𝑥+cos 𝑥

𝑑𝑥

Cách tính tích phân bằng đổi vi phân cũng được GV đề cao vì đáp ứng yêu cầu

nhanh của hình thức thi trắc nghiệm. Vì có thể dùng MTBT tính ngay kết quả gần

đúng nên một số HS ỷ lại MTBT, không tìm cách trình bày bài giải, GV phải nghiêm

226. GV nhắc nhở: Ở lớp mình học cái gì, mình học phương pháp thôi các em ạ,

các thao tác cần thiết. (Thầy nghiêm giọng) Chứ em cứ cúi xuống em làm việc riêng

của em thì có tác dụng gì nào, về nhà nghe không? Hân bỏ máy xuống, cứ bấm máy ra

kết quả là không được, tuần sau thì thầy cho đề kiểm tra là điểm 0 đấy.

Đ𝐵2 nhưng được GV dành nhiều thời

khắc nhắc nhở:

Mặc dù chỉ có 1 ví dụ sử dụng kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

gian phân tích và quá trình giải bài này cung cấp nhiều thủ thuật làm bài cho HS.

là

𝑑𝑥

2 1. Kết quả của tích phân 𝐼 = ∫ 0

3𝑥−1 𝑥2+6𝑥+9

A.3𝑙𝑛

−

4 B. 3𝑙𝑛 3

4 C. 3𝑙𝑛 3

4 D. 3𝑙𝑛 3

4 3

𝑎

(trong đó a, b là số nguyên

𝑑𝑥

có kết quả dạng 𝐼 = 𝑙𝑛

1 2. Cho 𝐼 = ∫ 0

4𝑥+11 𝑥2+5𝑥+6

𝑏

dương). Hãy tính 𝑎 + 𝑏 và cho kết quả là

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

Kết thúc tiết học, GV cho HS làm hai bài trắc nghiệm.

Cả hai bài GV đều yêu cầu HS giải chi tiết rồi hướng dẫn sử dụng MTBT. Bài

= 𝑒𝐼. thứ nhất, thủ thuật đơn giản chỉ nhập công thức và đối chiếu kết quả. Bài thứ hai phức tạp hơn, thủ thuật MTBT đòi hỏi phải biết sử dụng tính chất 𝐼 = 𝑙𝑛 𝑎 𝑏 ⟹ 𝑎 𝑏

Cuối cùng GV khẳng định: “Tóm lại kiến thức, tri thức và kĩ năng là phải kĩ”.

2Đ𝑇 (đoạn 275 – 283) và thời

3.1.2.3. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

2Đ𝑇 và xây dựng kĩ thuật 𝜏𝐷𝑇

 Thời điểm nghiên cứu KNV 𝑇𝐷𝑇

điểm thể chế hóa công nghệ (đoạn 284) cho kĩ thuật mới xây dựng với trường hợp 2 đồ

thị 𝑦 = 𝑓(𝑥) và trục Ox diễn ra nhanh chóng nhờ việc ghi nhận kết quả đã được GV

thực hiện kĩ ở tiết định nghĩa tích phân. GV mở rộng vấn đề với đường cong bất kì và

𝑓(𝑥) có thể lấy giá trị âm thông qua việc giảng kết hợp với vẽ hình. Tuy nhiên trong

quá trình ôn lại công thức tính diện tích hình thang cong có 4/5 HS nhắc lại không

2Đ𝑇 (đoạn 285 – 384): GV dành nhiều thời gian cho

đúng.

 Thời điểm làm việc với kĩ thuật 𝜏𝐷𝑇

thời điểm này. Đối với KNV 𝑇𝐷𝑇, giống như kết quả mà Nguyễn Hoàng Vũ (2012) đã

chỉ ra, GV ưu tiên sử dụng kĩ thuật “xét dấu” để bỏ trị tuyệt đối, mặc dù SGK ưu tiên

dùng “đồ thị”: “Các em nắm vững nguyên tắc phá dấu trị tuyệt đối là làm được hết”.

GV1 có 3 ví dụ là các trường hợp chú ý khác nhau về cách xét dấu. Tuy nhiên, có

nhiều HS không nắm vững kĩ thuật xét dấu mặc dù điều này đã được GV cho luyện tập

nhiều khiến GV phê bình: “Khó khăn cho thầy là các em không rành, thậm chí còn

không biết xét dấu. Mà cái việc này thầy quan tâm lâu rồi, đâu phải giờ này. Đa thức

bậc hai, bậc nhất thì dễ rồi, lượng giác, rồi tí nữa là hàm trùng phương vô nữa thì sao

đây ta. Về không học hành gì cả. Các em làm sao ấy”.

Đáng chú ý là ví dụ thứ hai chứng minh lại công thức tính diện tích hình tròn.

SGKNC12 chọn ví dụ là tính diện tích hình elip được cho bởi phương trình chính tắc.

Đối với ví dụ của GV1, giả thiết bài toán chỉ là tính diện tính hình tròn có bán kính R.

Khi đó GV vẽ hình, từng bước dẫn dắt HS cách gắn vào hệ trục tọa độ, thiết lập

phương trình đường tròn và lập công thức tích phân tính diện tích hình tròn. Đồng thời

GV nhắc nhở HS trình bày sao cho ngắn gọn để đỡ mất thời gian, cảnh báo có thể gặp

những câu khó: “Khi thi trắc nghiệm kết hợp kiến thức và trình bày kiến thức, em phải

lập chương trình để bấm máy. Lí do có những câu khó khủng khiếp để hạn chế điểm

10 thì sao giờ? Điểm 10 quá nhiều thì làm sao mà phân loại được”. Ví dụ này là trình

bày nâng cao của GV để chuẩn bị cho những câu khó. Nó tương tự như câu 28 trong

Đề minh họa 2.

Có thể thấy KNV 𝑇𝐷𝑇 được GV trình bày nhiều lần trong bài định nghĩa và bài

𝐷𝑇 . Cho hình vẽ thì chọn hệ trục

ứng dụng tích phân tính diện tích. Sự trình bày rất phong phú và uyển chuyển trong

từng trường hợp. Hàm số bậc nhất dùng kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

phù hợp để lập công thức hàm số từ đó thiết lập công thức tích phân. Nếu đề bài chỉ

cho công thức thì dùng kĩ thuật xét dấu để bỏ trị tuyệt đối.

3.1.3. Kết luận về nghiên cứu thực hành dạy học của GV1

Tất cả các tiết dạy GV1 đều sử dụng phương pháp thuyết trình kết hợp vấn đáp

trong đó chủ yếu là vấn đáp. GV làm chủ tiết dạy và chủ động trong điều phối thời

gian. Mặc dù chúng tôi không quan sát hết được các tiết dạy nhưng qua những tiết dự

giờ có thể thấy rằng, các praxéologies đều được GV1 nghiên cứu kĩ lưỡng và có sự nối

khớp với nhau. Không những dạy kĩ các nội dung trong SGK, GV còn có những sáng

tạo riêng, bổ sung phù hợp với hình thức thi mới. Cách trình bày tự luận tiết kiệm thời

gian và cách lập luận giải nhanh trắc nghiệm, cách sử dụng thủ thuật MTBT và giải

thích thủ thuật đều được GV1 chú trọng giảng dạy. Cách phát biểu các câu trắc nghiệm

đều rất mới mẻ mặc dù mới chỉ có Đề minh họa 1 được giới thiệu. Ý nghĩa hình học

của tích phân được GV1 làm nổi bật. Ứng dụng vật lí không chỉ đề cập đến quãng

đường đi mà còn tìm vận tốc dựa vào gia tốc. Chia sẻ cá nhân cũng như phát biểu với

HS, quan điểm của GV1 là thi trắc nghiệm thì càng phải dạy kĩ lí thuyết và HS phải

nắm vững, kết hợp tốt với kĩ năng làm bài và rèn luyện khả năng lập luận: “423. Các

em chú ý là: thi trắc nghiệm thì thầy dạy không có gì khác mà còn phải dạy kĩ lưỡng

hơn về kiến thức, rèn luyện chắc hơn về kĩ năng thực hành, còn phương án trắc nghiệm

thì ta có những thủ thuật như đã trao đổi nhiều lần, khi ôn tập, kiểm tra và bình thường

2Đ𝑇. Như vậy, GV1 rất nhanh chóng thích ứng với

các em học là các em luyện tập”. Minh chứng rõ nhất qua các tiết học được quan sát là

việc nghiên cứu KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃 và 𝑇𝐷𝑇

hình thức trắc nghiệm, đầu tư kĩ lưỡng cho bài dạy của mình và có những thay đổi rất

tích cực.

3.2. Nghiên cứu thực hành dạy học của GV2 dạy chương trình Chuẩn

GV2 là người đã có 10 năm kinh nghiệm trong việc giảng dạy. Lớp chúng tôi

dự giờ có học lực ở mức trung bình – khá. Mỗi HS đều được GV2 phát một cuốn vở

bài học, ghi nội dung đề mục từng bài, các đề bài toán, các chú ý và cách làm bài.

Những nội dung quan trọng của các khái niệm và định lí được để trống để HS điền vào

lúc học. Mỗi bài toán đều có khoảng trống để HS trình bày bài giải. Trình tự lí thuyết

tương tự như SGKCB12 nhưng không nêu ý nghĩa hình học của tích phân, các kĩ thuật

tính tích phân được nêu chi tiết các bước làm. GV2 có chia sẻ thêm: “Cuốn vở bài học

mà HS hiện dùng, GV sử dụng cho hình thức thi tự luận. Vì Bộ GD-ĐT thay đổi hình

thức thi đột ngột nên GV này chưa kịp thay đổi nội dung, đành cho HS dùng mẫu cũ

và trong tiết dạy sẽ có những bổ sung sau”.

Thời điểm chúng tôi dự giờ GV2 chỉ có tiết dạy Định nghĩa và tính chất tích

phân thực hiện trước khi Bộ GD-ĐT công bố Đề minh họa 2. Tất cả các tiết dạy còn

lại đều được quan sát sau khi đã có Đề minh họa 2.

3.2.1. Những praxéologie quan sát được và các tổ chức dạy học được GV2 sử

dụng để đưa vào các praxéologie này

Bảng 3.2. Thống kê những praxéologie quan sát được của GV2

Số lượng Praxéologie GV2 Ví dụ tự Ví dụ trắc Nội dung tiết xây dựng luận nghiệm

Đ𝑁 ]

𝑇𝐶 ]

5 0 Định nghĩa và tính chất [𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃 1 của tích phân 2 0 [𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃

Đ𝑁 , 𝜃𝑇𝑇𝑃 𝑇𝐶𝛼, 𝜃𝑇𝑇𝑃 Đ𝐵1]

Đ𝐵2]

8 0 Phương pháp đổi biến [𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃 2 số 2 0

2Đ𝑇]

6 0 [𝑇𝐷𝑇 [𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃 2Đ𝑇, 𝜏𝐷𝑇

2Đ𝑇]

2Đ𝑇, 𝜏𝐷𝑇

2Đ𝑇]

3 0 [𝑇𝐷𝑇 Ứng dụng tích phân 3 1 1

2Đ𝑇𝛼, 𝜃𝐷𝑇 2Đ𝑇𝛽, 𝜃𝐷𝑇 2Đ𝑇𝛾, 𝜃𝐷𝑇 𝑂𝑥]

2Đ𝑇, 𝜏𝐷𝑇 𝑂𝑥, 𝜃𝑇𝑇 GV2 không thực hiện đầy đủ 6 thời điểm nghiên cứu đối với từng praxéologie.

0 3 [𝑇𝐷𝑇 𝑂𝑥, 𝜏𝑇𝑇 [𝑇𝑇𝑇

Hai thời điểm nghiên cứu luôn xuất hiện trong các tổ chức dạy học mà GV2 thiết lập là

thời điểm thể chế hóa công nghệ và thời điểm làm việc với kĩ thuật. Trong đó, phần lớn

thời gian dành cho thời điểm làm việc với kĩ thuật với một tập hợp nhiệm vụ đa dạng

quét hết các trường hợp hàm số thường gặp. Đa số các nhiệm vụ này phát biểu dưới

dạng tự luận. Đối với các KNV có nhiều kĩ thuật, GV dành thời gian thích đáng cho

Đ𝐵1] và

thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lí thuyết và thời điểm đánh giá hai kĩ

Đ𝑁 , 𝜃𝑇𝑇𝑃

𝑇𝐶 ], [𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃

Đ𝑁 ] và [𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃

𝑇𝐶𝛼, 𝜃𝑇𝑇𝑃

Đ𝐵2].

thuật, ví dụ như praxéologie [𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃

[𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝜏𝑇𝑇𝑃

2Đ𝑇𝛾, 𝜃𝐷𝑇

2Đ𝑇, 𝜏𝐷𝑇

cứu hai praxéologie [𝑇𝐷𝑇

Khi tiếp cận định nghĩa tích phân, khác với GV1 dành nhiều thời gian nghiên 2Đ𝑇𝛾] và [𝑇𝑄Đ, 𝜏𝑄Đ, 𝜃𝑄Đ] – liên quan đến nguồn gốc xuất hiện và ứng dụng khái niệm tích phân – GV2 chỉ giới thiệu lướt qua việc đặt vấn

đề tính diện tích hình thang cong, không đề cập ý nghĩa hình học mặc dù SGKCB12 có

trình bày.

GV1 không phát biểu tường minh mà chọn nhấn mạnh các điểm lưu ý trong các

kĩ thuật thông qua việc phân tích các nhiệm vụ được chọn lọc và sắp xếp đầy dụng ý.

GV2 lại chọn thể chế hóa các lưu ý rồi cho bài tập minh họa. Nhiều tính chất, lưu ý

 Vi phân của 𝐹(𝑥): 𝑑𝐹(𝑥) = 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

 ∫ |f(x)|dx ≥ 0

b a

 ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

≥ |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎

(dấu “=” xảy ra khi f(x) không đổi dấu trên đoạn [𝑎; 𝑏])

2Đ𝑇, GV2 trình bày cả ba kĩ thuật xét dấu, đưa dấu trị tuyệt đối

được GV2 bổ sung thêm so với SGK cũng như với vở bài học đã phát cho HS:

Đối với KNV 𝑇𝐷𝑇

ra ngoài tích phân, và dùng đồ thị. Trong đó, kĩ thuật dùng đồ thị được GV2 đặc biệt

 537. Đôi khi một cái đề trắc nghiệm người ta sẽ cho cái hình trước, rồi yêu cầu viết

công thức tính diện tích ra. Rồi người ta cho diện tích, hỏi hình nào đúng. Và có thể

hỏi một số bài toán liên quan nữa. Thì ta có một cái nhận xét nhanh như thế này: Nếu

đồ

thị

nằm

phía

trên

trục

thì

(𝑓(𝑥) > 0, 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏))

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎

𝑏 𝑎

thị (C) nằm phía

trên (C’)

thì

 Nếu đồ

trên (a; b) (𝑓1(𝑥) > 𝑓2(𝑥) )

𝑆 = ∫ [𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥) ]𝑑𝑥

𝑏 𝑎

chú trọng, nhiều chú ý được nêu:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục

hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

Diện tích được tính bằng công thức nào?

a) 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑥0 𝑎

𝑏 𝑥0

GV2 cũng có ví dụ trắc nghiệm sử dụng kĩ thuật này.

𝑏 b) 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

c) 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑥0 𝑎

𝑏 𝑥0

d) 𝑆 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑥0 𝑎

𝑏 𝑥0

Các chú ý, tính chất, kĩ thuật được GV2 bổ sung đều nhằm mục đích cung cấp

kiến thức để HS làm tốt trắc nghiệm. Thủ thuật MTBT cũng được GV2 đề cập, nhưng

mới chỉ dừng lại ở việc nhập công thức tính tích phân.

Ngoài câu trắc nghiệm nêu trên, GV2 cũng có 4 nhiệm vụ có cách phát biểu

mới lạ, tương tự như câu dẫn của câu 25, 26 trong Đề minh họa 2. Đối với các câu

= 5. Tính 𝐼 = ∫ 𝑓(2𝑥)𝑑𝑥

4 r’) Cho ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

2 0

𝑥

) 𝑑𝑥

= 10. Tính 𝐼 = ∫ 𝑓 (

9 s’) Cho ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

3 0

= 7. Tính 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑠𝑖𝑛 2𝑥). 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥

1 f’) Cho ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

𝜋 4 0

= 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛

𝑙𝑛4 u’) Cho ∫ 0

𝑒2𝑥 1+𝑒𝑥 𝑑𝑥

5 . Tính a.b. 2

này, không thể dùng ngay chức năng tính tích phân của MTBT tìm kết quả.

Trong các tiết dự giờ GV2, chúng tôi cũng quan sát thấy một bộ phận HS có

Đ𝐵1. Một số em lại chỉ lấy

thái độ lơ là, ỷ lại MTBT. Ví dụ như trong tiết luyện tập đổi biến số, HS lên làm bài

không nắm vững hoặc làm sai các bước của kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

455. Thông thường các bài này các em có thể bấm máy được. Thực ra cái đề trắc

nghiệm, người ta thường không cho câu có thể bấm máy ra kết quả, nếu có cho thì cho

rất ít. Người ta cho cái kiểu khác, các em không thể bấm máy được. Ví dụ: với bài

toán ở câu q), người ta hỏi rằng nếu đặt 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥 thì tích phân được viết lại như thế

𝑡+3

𝑑𝑡…

nào? ∫

𝑡2 𝑑𝑡, ∫

3𝑡

MTBT để tính kết quả, khiến GV phải đưa ra lời cảnh báo:

3.2.3. Kết luận về nghiên cứu thực hành dạy học của GV2

GV2 lựa chọn phương pháp thuyết trình là phương pháp chính để thực hiện bài

dạy của mình. Các thời điểm dạy học không được thực hiện đầy đủ, tiến trình chủ yếu

được sử dụng để triển khai các praxéologie là thời điểm thể chế hóa và tiếp theo là thời

điểm làm việc với kĩ thuật. Thời điểm làm việc với kĩ thuật được GV2 chú trọng với số

lượng bài nhiều và dạng bài đa dạng. Các bài toán được xét đều trình bày theo hình

thức tự luận (trừ bài cuối cùng ở tiết ứng dụng thể tích). Trong các tiết dạy, tuy không

giải câu trắc nghiệm nào, nhưng những dạng toán có thể ra, những lưu ý khi làm bài

trắc nghiệm, kĩ năng sử dụng MTBT đều được GV cung cấp ở dạng nền tảng. Ngoài

ra, đối với các bài ứng dụng diện tích, GV còn bổ sung thêm các hình vẽ, các tính chất,

lưu ý dạng bài dựa vào hình vẽ. GV2 có chia sẻ rằng: khi mới đổi hình thức thi trắc

nghiệm, GV này đã chuyển ngay sang việc chỉ dạy sơ lược kiến thức và tập trung kĩ

năng sử dụng MTBT để giải các bài trắc nghiệm; tuy nhiên, sau một thời gian, HS tỏ

ra ỷ lại MTBT và lơ là việc học lí thuyết dẫn đến nắm không vững kiến thức, đồng

thời GV này cũng ý thức được có những dạng bài cần suy luận và nắm vững kiến thức

chứ không thể dựa hoàn toàn vào thủ thuật MTBT. Từ đó, GV tiến hành dạy theo hình

thức tự luận như trước đây, kèm theo những lưu ý cần thiết khi làm trắc nghiệm để HS

nắm vững kiến thức. Vào tiết ôn tập, các tiết chuẩn bị cho kì thi THPT quốc gia mới

cho HS làm bài trắc nghiệm, lúc đó sẽ hướng dẫn kĩ hơn về kĩ năng làm bài trắc

nghiệm và các thủ thuật MTBT.

3.3. Kết luận

Qua việc phân tích thực hành dạy học của hai GV cho phép chúng tôi rút ra một

số nhận xét sau:

Việc thay đổi hình thức thi không làm thay đổi phương pháp dạy học của GV.

GV vẫn đóng vai trò trung tâm trong việc truyền thụ tri thức, phương pháp thuyết trình

được ưu tiên. Điều này có thể giải thích do áp lực của kì thi và thời gian hạn hẹp ở lớp

học cũng như sự thay đổi đột ngột hình thức thi.

Về nội dung dạy học, cả hai GV đều đề cao việc HS phải nắm vững kiến thức

và các nội dung được dạy bám sát nội dung các Đề minh họa được Bộ GD – ĐT công

bố trong năm học 2016-2017. Hầu hết các nội dung trong SGK đều được hai GV trình

bày thích đáng. Để phù hợp với hình thức thi mới, các GV còn có sự điều chỉnh, bổ

sung các kĩ thuật một cách tích cực theo dụng ý sư phạm của mình. Các kĩ năng giải

toán tự luận và trắc nghiệm được hai GV chú trọng cho HS rèn luyện song song, trong

đó kĩ năng giải toán tự luận kết hợp với lập luận nhanh, trình bày ngắn gọn được đề

cao. Các KNV được trình bày đa dạng với những cách phát biểu mới lạ, hạn chế việc

HS sử dụng MTBT mà không hiểu khái niệm. Các ứng dụng của tích phân được chú

trọng giảng dạy, đặc biệt là ứng dụng hình học, trong đó việc quan sát và đọc đồ thị là

một nội dung được các GV nhấn mạnh. Những thay đổi trong dạy học của GV phần

nào có thể giúp khái niệm tích phân không còn quá hình thức đối với HS và ý nghĩa

hình học của tích phân được khắc sâu. Tuy nhiên, tùy theo năng lực của GV, kinh

nghiệm họ tích lũy được cũng như trình độ của HS mà mức độ đào sâu kiến thức khác

nhau.

Trái với sự lo lắng và chuẩn bị kĩ lưỡng của GV, có thể quan sát trong những

tiết dự giờ và cả GV đứng lớp cũng than phiền: một bộ phận HS tỏ ra lơ là, xem nhẹ

việc nắm vững lý thuyết, rèn luyện kĩ năng tính toán và trình bày chi tiết bài giải, có

thái độ ỷ lại vào MTBT và sự may rủi trong lựa chọn 1 đáp án đúng trong 4 đáp án. Do

đó việc giúp cho HS có thái độ học tập đúng đắn cũng như đánh giá đúng năng lực của

HS là một thách thức đối với GV. Và các điều trên đều được GV cảnh báo bằng lời và

cả những nhiệm vụ với cách phát biểu mới lạ mà chỉ có nắm vững kiến thức mới giải

được mặc dù nó không phức tạp.

Từ các kết luận trên và kết quả phân tích chương 2 cho phép chúng tôi rút ra

các giả thuyết sau:

GT1: GV thực hiện đồng thời việc dạy đầy đủ lý thuyết và kĩ năng giải toán

tự luận cũng như thủ thuật MTBT và kĩ năng lập luận giải nhanh toán trắc

nghiệm.

GT2: GV phải xây dựng các KNV mới khi đánh giá HS bằng hình thức trắc

nghiệm và họ gặp nhiều khó khăn khi thực hiện điều đó.

GT3: GV chú trọng giảng dạy các KNV liên quan đến ứng dụng tích phân

giải các bài toán thực tế cho HS khá giỏi.

Chúng tôi sẽ tiến hành khảo sát trên một mẫu GV ở chương 4 để kiểm chứng

các giả thuyết trên. Từ đó kết luận những thay đổi chung của GV khi Bộ GD-ĐT thay

đổi hình thức thi.

Chương 4. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Từ kết quả phân tích chương 2 và chương 3 đã cho phép chúng tôi rút ra các giả

thuyết sau về sự tác động của việc thay đổi hình thức thi lên thực hành dạy học của

GV:

GT1: GV thực hiện đồng thời việc dạy đầy đủ lý thuyết và kĩ năng giải toán

tự luận cũng như thủ thuật MTBT và kĩ năng lập luận giải nhanh toán trắc

nghiệm.

GT2: GV phải xây dựng các KNV mới khi đánh giá HS bằng hình thức trắc

nghiệm và họ gặp nhiều khó khăn khi thực hiện điều đó.

GT3: GV chú trọng giảng dạy các KNV liên quan đến ứng dụng tích phân

giải các bài toán thực tế cho HS khá giỏi.

Để kiểm chứng ba giả thuyết trên cũng như tìm hiểu chi tiết về sự thay đổi

trong giảng dạy khái niệm tích phân, chúng tôi tiến hành một cuộc khảo sát trên đối

tượng là các GV dạy Toán lớp 12 trong năm học 2016 – 2017. Hình thức khảo sát là

bộ câu hỏi điều tra. Thời điểm thực nghiệm khi GV đã dạy xong toàn bộ chương trình

Toán 12 và đang tiến hành ôn tập cho HS.

4.1. Giới thiệu nội dung thực nghiệm

Phiếu khảo sát gồm hai phần: phần 1 là thông tin cá nhân, phần 2 là nội dung

khảo sát chính với 7 câu hỏi.

Phần 1. Thông tin cá nhân

Đơn vị công tác:................................................................................................................

Số năm công tác: ..................................... Số năm dạy 12:...............................................

Năm học 2016 – 2017, thầy (cô) dạy chương trình nào?(Chuẩn, Nâng cao): ..................

Mục đích sử dụng kết quả thi môn Toán của các học sinh (HS) mà thầy (cô) dạy là gì?

 Chỉ xét tốt nghiệp.

 Xét tổ hợp môn vào các trường cao đẳng và các trường đại học có điểm đầu vào

thấp.

 Xét tổ hợp môn vào các trường đại học tốp đầu.

Phần 2. Nội dung câu hỏi khảo sát

1. Trong năm học 2016 – 2017, việc thi môn Toán đổi từ tự luận sang trắc nghiệm

khiến thầy cô phải thay đổi như thế nào khi giảng dạy khái niệm tích phân?

 Lướt qua lí thuyết, tập trung rèn luyện kĩ năng giải toán trắc nghiệm bằng máy tính

 Không thay đổi gì.

 Dạy lí thuyết đầy đủ và kĩ hơn, rèn luyện song song kĩ năng giải toán tự luận và giải

cầm tay (MTBT).

 Dạy lí thuyết đầy đủ và kĩ hơn, ưu tiên rèn luyện kĩ năng giải toán tự luận, chỉ giải

toán trắc nghiệm bằng MTBT.

 Khác: ............................................................................................................................

toán trắc nghiệm và cung cấp thủ thuật MTBT khi ôn tập và gần ngày thi.

2. Theo thầy (cô) có thể giải 3 câu trắc nghiệm sau bằng những cách nào? Cách nào

bằng cách đặt 𝑢 = 𝑥2 − 1, mệnh đề nào dưới đây

được thầy (cô) ưu tiên hướng dẫn HS?

Câu 1. Tính tích phân 𝐼 = ∫ 2𝑥√𝑥2 − 1𝑑𝑥

2 1

đúng?

D. 𝐼 =

3 A.𝐼 = 2 ∫ √𝑢𝑑𝑢 0

2 B. 𝐼 = ∫ √𝑢𝑑𝑢 1

3 C. 𝐼 = ∫ √𝑢𝑑𝑢 0

2 ∫ √𝑢𝑑𝑢 1

1+𝑒

= 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛

với 𝑎, 𝑏 là các số hữu tỉ. Tính 𝑆 = 𝑎3 + 𝑏3.

1 Câu 2. Cho ∫ 0

𝑑𝑥 𝑒𝑥+1

A. S  2.

B. S  2.

C. S  0.

D. S  1.

Câu 3. Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên ℝ và thoả mãn 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥) = √2 + 2 cos 2𝑥 , ∀𝑥 ∈

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3𝜋 2 ℝ. Tính ∫ 3𝜋 − 2

A. I 6.

B. I 0.

C. I 2.

D. I 6.

3. Liên quan đến khái niệm tích phân, theo thầy cô dạng câu hỏi nào trước đây có thể

đặt ra trong đề thi tự luận nhưng bây giờ không thể (không nên) đặt ra trong đề thi trắc

nghiệm? Lý do vì sao?

4. Thầy cô vui lòng cho 3 ví dụ về các dạng câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến khái

niệm tích phân? Mục tiêu của từng câu hỏi theo thầy cô là gì?

5. Việc thay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm làm cho việc dạy học và

đánh giá HS của thầy cô liên quan đến khái niệm tích phân gặp phải những khó khăn

gì?

6. Liên quan đến khái niệm tích phân, theo thầy (cô) hình thức thi trắc nghiệm có

những ưu và nhược điểm nào đối với việc đánh giá HS?

7. Trong thực tế dạy học và ôn tập cho HS, các thầy (cô) có cho HS làm dạng toán vận

dụng tích phân giải các bài toán thực tiễn không? Vì sao? (Nếu có thì các bài toán đó

dựa trên ứng dụng (ý nghĩa) nào của tích phân?)

4.2. Phân tích tiên nghiệm

4.2.1. Biến tình huống

Biến V1 - Hình thức đặt câu hỏi: Các giá trị có thể lựa chọn là

- Câu hỏi đóng, trả lời bằng hình thức chọn 1 trong các lựa chọn được đưa ra.

- Câu hỏi mở, đòi hỏi trình bày chi tiết câu trả lời.

Chúng tôi muốn tìm hiểu quan điểm cá nhân của từng GV cũng như thu thập

các ý kiến của họ. Do đó hầu hết các câu hỏi chúng tôi đều lựa chọn hình thức câu trả

lời mở.

Biến V2 – Nội dung câu hỏi: Các giá trị có thể lựa chọn là

- Câu hỏi ghi nhận nội dung trả lời trực tiếp.

- Câu hỏi ghi nhận gián tiếp câu trả lời thông qua việc lựa chọn chiến lược giải

bài tập.

Trong đa số trường hợp, chúng tôi sử dụng câu hỏi ghi nhận nội dung trả lời

trực tiếp. Có 1 câu hỏi ghi nhận câu trả lời gián tiếp để điều tra xem GV ưu tiên chiến

lược nào.

4.2.2. Giải thích sự lựa chọn và cái có thể quan sát

4.2.2.1. Phần 1

Phần 1 là các thông tin cá nhân. Nghiên cứu ở chương 3 đã chỉ ra rằng kinh

nghiệm của GV và đối tượng HS cũng là những yếu tố tác động đến các lựa chọn thay

đổi của GV, do đó nó cũng là nội dung thể hiện trong phiếu khảo sát.

+ Phần tìm hiểu kinh nghiệm của GV được thể hiện qua số năm công tác và số

năm dạy 12.

+ Phần tìm hiểu đối tượng HS được thể hiện qua câu hỏi về mục đích sử dụng

kết quả thi môn toán. Tùy theo nhu cầu và năng lực của HS, GV thường có những lựa

chọn giảng dạy khác nhau. Vì các lựa chọn chỉ gói gọn ở 3 trường hợp đặc trưng như

câu hỏi chúng tôi nêu nên chúng tôi chọn câu hỏi đóng ở ý này.

Ngoài ra, chúng tôi còn tìm hiểu thông tin về đơn vị công tác và chương trình

(Chuẩn, Nâng cao) mà GV đó dạy trong năm học 2016 – 2017. Thứ nhất, để phân biệt

phiếu thu trường nào, do đối tượng thực nghiệm là GV dạy 12 trong năm học 2016 -

2017 nên sẽ phải nhiều trường mới có được số lượng mong đợi. Thứ hai, đặc thù mỗi

trường có thể khác nhau, thông tin này giúp chúng tôi xác định những thay đổi nào của

GV là xu thế chung của các trường, những thay đổi nào là riêng. Bên cạnh đó, như đã

phân tích ở chương 2, có một số điểm khác nhau trong trình bày nội dung của hai bộ

sách Chuẩn và Nâng cao nên thông tin này cũng được chúng tôi tìm hiểu.

4.2.2.2. Phần 2

Phần 2 là phần chính của cuộc khảo sát, gồm 7 câu hỏi nhằm kiểm chứng 3 giả

thuyết nêu trên.

a) Kiểm chứng giả thuyết 1

Câu hỏi 1 và 2 nhằm mục đích kiểm chứng giả thuyết 1.

 Câu hỏi 1

Câu hỏi 1 là câu hỏi đầu tiên của phiếu khảo sát. Chúng tôi lựa chọn hình thức

câu hỏi đóng, trả lời bằng cách đánh dấu X vào ô lựa chọn. Mục đích để cho việc trả

lời đơn giản, nhanh chóng. Các ý lựa chọn đều được chúng tôi rút ra qua quá trình

quan sát hai tiết dạy và trao đổi trực tiếp với một số GV dạy Toán 12. Ngoài ra, đề

phòng trường hợp GV không đồng tình với tất cả những ý được nêu, chúng tôi có thêm

ô “khác” để GV ghi cụ thể trường hợp thay đổi của họ.

+ Nếu đánh dấu X vào dòng thứ nhất - Không thay đổi gì – chứng tỏ việc thay

đổi hình thức thi không tác động gì đến việc giảng dạy của GV. Theo chúng tôi sẽ

hiếm có GV lựa chọn. Thứ nhất, chất lượng của HS (được đánh giá qua điểm số) sẽ là

một trong những căn cứ đánh giá GV, do đó khi Bộ GD-ĐT thay đổi hình thức thi kéo

theo các trường cũng phải thay đổi hình thức kiểm tra để cho HS làm quen. Thứ hai,

SGKHH hầu như không hỗ trợ cho hình thức thi trắc nghiệm. Thứ ba, Bộ GD-ĐT

cung cấp các Đề minh họa với những sự thay đổi rất lớn về các KNV.

+ Nếu đánh dấu X vào dòng thứ hai - Lướt qua lí thuyết, tập trung rèn luyện kĩ

năng giải toán trắc nghiệm bằng MTBT – chứng tỏ GV tuyệt đối hóa vai trò của

MTBT. Điều này có thể do hệ quả của việc MTBT có chức năng tính tích phân, với

các cách phát biểu KNV như cũ thì hầu như chỉ cần nhớ thêm một số ít công thức, HS

có thể dựa vào MTBT để tìm nhanh đáp án. Ngoài ra, với đối tượng HS có khả năng

tiếp thu kém, khả năng lập luận yếu, chỉ cần không bị điểm liệt thì đây cũng có thể là

lựa chọn tình thế của GV.

+ Nếu đánh dấu X vào dòng thứ ba - Dạy lí thuyết đầy đủ và kĩ hơn, rèn luyện

song song kĩ năng giải toán tự luận và giải toán trắc nghiệm bằng MTBT – chứng tỏ

GV có một sự thay đổi rất tích cực khi mà lí thuyết và các kĩ năng giải toán tự luận và

trắc nghiệm đều được chú trọng rèn luyện.

+ Nếu đánh dấu X vào dòng thứ tư - Dạy lí thuyết đầy đủ và kĩ hơn, ưu tiên rèn

luyện kĩ năng giải toán tự luận, chỉ giải toán trắc nghiệm và cung cấp thủ thuật MTBT

khi ôn tập và gần ngày thi – chứng tỏ GV coi trọng việc dạy lí thuyết nhưng coi nhẹ

vai trò của việc rèn luyện kĩ năng giải toán trắc nghiệm và vận dụng sự hỗ trợ của

MTBT trong giải toán.

 Câu hỏi 2

Câu hỏi 2 có 2 yêu cầu, yêu cầu thứ nhất để xác định xem ngoài cách giải

truyền thống, kĩ năng MTBT và lập luận giải nhanh trắc nghiệm có được GV chú trọng

và kết hợp hài hòa với nhau. Yêu cầu thứ 2 để làm sáng tỏ kĩ thuật nào được GV xem

trọng.

Ba câu trắc nghiệm đều được chúng tôi rút ra từ Đề minh họa 3 (câu 24, 27 và

44) của Bộ GD-ĐT. Vì nhiều khả năng GV đã tiến hành giải và cho HS làm nên việc

tìm lời giải sẽ không mất nhiều thời gian của họ và giúp thuận lợi cho việc trả lời câu

hỏi. Cả ba câu đều sử dụng kĩ thuật đổi biến số để tính tích phân nhưng độ phức tạp

của các câu là khác nhau. Cụ thể các chiến lược giải của từng câu như sau:

bằng cách đặt 𝑢 = 𝑥2 − 1, mệnh đề

Câu 1. Tính tích phân 𝐼 = ∫ 2𝑥√𝑥2 − 1𝑑𝑥

2 1

nào dưới đây đúng?

. D. 𝐼 =

3 A.𝐼 = 2 ∫ √𝑢𝑑𝑢 0

2 B. 𝐼 = ∫ √𝑢𝑑𝑢 1

3 C. 𝐼 = ∫ √𝑢𝑑𝑢 0

2 ∫ √𝑢𝑑𝑢 1

Đây là câu 24 trong Đề minh họa 3, thuộc loại câu hỏi dễ phục vụ cho mục đích

tốt nghiệp. Cách đổi biến đã được chỉ ra. Hai chiến lược có thể là:

𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏 : Kiểu giải tự luận – HS tiến hành giải tự luận như bình thường để tìm đáp án.

Lời giải có thể là:

𝑢 = 𝑥2 − 1 ⟹ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

Đổi cận: 𝑥 = 1 ⟹ 𝑢 = 0, 𝑥 = 2 ⟹ 𝑢 = 3

2 Khi đó 𝐼 = ∫ 2𝑥√𝑥2 − 1𝑑𝑥 1

3 = ∫ √𝑢 0

𝑑𝑢. Chọn C.

𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 : Kiểu giải sử dụng MTBT – HS sử dụng chức năng tính tích phân của MTBT

tính kết quả tích phân đề bài và kết quả tích phân của các đáp án rồi so sánh để chọn

đáp án đúng.

Nhận xét: Chiến lược 𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏 mất ít thời gian hơn vì có thể nhẩm nhanh việc tính vi

phân, đổi cận và thế vào tích phân ban đầu. Tuy nhiên nếu làm sai một trong các bước

này thì sẽ cho đáp án sai. Chiến lược này đòi hỏi phải nhớ phương pháp đổi biến.

Chiến lược 𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 có ưu thế là không cần nhớ kiến thức, chỉ cần rèn luyện khả năng

bấm MTBT nhanh là có thể tìm ra đáp án đúng. Do đó, đối với HS không hiểu rõ

1+𝑒

= 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛

với 𝑎, 𝑏 là các số hữu tỉ. Tính 𝑆 = 𝑎3 + 𝑏3.

phương pháp đổi biến số thì chiến lược 𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 sẽ là lựa chọn tối ưu.

1 Câu 2. Cho ∫ 0

𝑑𝑥 𝑒𝑥+1

A. S  2. B. S  2. C. S  0.

D. S  1.

Đây là câu 27 trong Đề minh họa 3, vẫn trong phạm vi phục vụ cho mục đích

tốt nghiệp. Mức độ phức tạp đã tăng khi cách đổi biến không được chỉ ra, yêu cầu tính

liên quan đến thành phần hệ số trong kết quả tích phân, hàm số dưới dấu tích phân là

hàm số mũ. Mặc dù vậy vẫn có thể giải bởi hai chiến lược nói trên.

𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏 : Kiểu giải tự luận – HS tiến hành giải tự luận như bình thường để tìm đáp án.

Lời giải có thể là:

Đặt 𝑡 = 𝑒 𝑥 + 1 ⟹ 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑢

Đổi cận: 𝑥 = 0 ⟹ 𝑡 = 2, 𝑥 = 1 ⟹ 𝑡 = 𝑒 + 1

1 Khi đó ∫ 0

1 = ∫ 0

𝑒+1 = ∫ 2

𝑑𝑥 𝑒𝑥+1

𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥(𝑒𝑥+1)

(𝑡−1)𝑡

𝑒+1 = (1 − 𝑙𝑛|𝑒 + 1|) − (0 − 𝑙𝑛2) = 1 − 𝑙𝑛

) 𝑑𝑡 ( 1 𝑡−1 − 1 𝑡

= (𝑙𝑛|𝑡 − 1| − 𝑙𝑛|𝑡|)|2 1 + 𝑒 2

Chọn C.

(Có thể đặt 𝑡 = 𝑒 𝑥)

𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 : Kiểu giải sử dụng MTBT – HS sử dụng các chức năng sẵn có của MTBT dò

tìm hệ số a, b. Thủ thuật có thể dùng là:

1 Nhập công thức tính tích phân ∫ 0

𝑑𝑥 𝑒𝑥+1

và gán cho biến A, dùng chức năng

𝑙𝑛(

𝑒+1 ) 2

TABLE dò cặp a, b với a đặt là ẩn X, b là hàm 𝑓(𝑋) = 𝐴−𝑋 trong đoạn [−8; 8],

bước nhảy 1. Cặp a, b nào nguyên thì đó là đáp án cần tìm. Hoặc có thể dò trực tiếp

𝑙𝑛(

𝑒+1 ) 2

từng đáp án bằng cách bấm ( 𝐴−𝑋 ) + 𝑋3.

Nhận xét: Rõ ràng để tìm đáp án cho bài toán này bằng chiến lược 𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏, HS phải

huy động và vận dụng nhiều kiến thức và kĩ năng giải bài: tính chất hàm số mũ,

logarit, đồng nhất thức để tách tích phân hữu tỉ. Chiến lược 𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 cũng không đơn

giản vì nó sử dụng cả các chức năng phức tạp hơn của MTBT: với thủ thuật được nêu

−𝑎

trên, HS phải biết chức năng gán và TABLE; cơ sở của thủ thuật này là từ giả thiết

1 ∫ 0

𝑑𝑥 𝑒𝑥+1

𝑙𝑛(

1 𝑑𝑥 ∫ 𝑒𝑥+1 0 𝑒+1 ) 2

tức mỗi giá trị a ta có một giá trị b ta suy ra được 𝑏 = = 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛 1+𝑒 2

duy nhất tính theo công thức trên (tương tự như hàm số) do đó có thể dùng chức năng

TABLE để dò; vì a , b là số hữu tỉ và đáp án là những số nguyên nên ta ưu tiên dò

chọn bước nhảy 1 để các số a là số nguyên trước, nếu không có thể đổi bước nhảy để a

là không nguyên. Để hiểu rõ được thủ thuật này, HS phải nắm vững kiến thức hàm số,

chức năng của phím gán, TABLE kết hợp với suy luận đề bài để chọn đoạn giá trị a và

bước nhảy phù hợp. Tuy nhiên, vì đề bài thường cho kết quả là số nguyên nên nếu HS

được rèn luyện nhiều thì không cần hiểu chỉ cần nhớ các thao tác là có thể làm được.

Khi đó chiến lược 𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 sẽ trở nên đơn giản vì HS không phải nhớ và vận dụng nhiều

kiến thức, tránh được sai sót.

Câu 3. Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên ℝ và thoả mãn

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3𝜋 2 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥) = √2 + 2 cos 2𝑥 , ∀𝑥 ∈ ℝ. Tính ∫ 3𝜋 − 2

A. I 6 B. I 0. C. I 2.

D. I 6.

Đây là câu 44 trong Đề minh họa 3 để phân loại HS khá giỏi. Rõ ràng độ phức

tạp đã tăng lên vì hàm số 𝑓(𝑥) chưa biết. Sự can thiệp của MTBT chỉ ở giai đoạn cuối

khi tính tích phân. Để tìm được đáp án của bài toán thì HS phải xác định được là cần

dùng phương pháp đổi biến số và trong trường hợp này đặt ẩn là gì. Có hai chiến lược

𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏: Kiểu giải tự luận – HS tiến hành giải tự luận như bình thường để tìm đáp án.

Lời giải có thể là:

3𝜋 2

Đặt 𝑡 = −𝑥 ⟹ 𝑑𝑡 = −𝑑𝑥 Đổi cận: 𝑥 = − 3𝜋 2 ⟹ 𝑡 = 3𝜋 2 , 𝑥 = 3𝜋 2 ⟹ 𝑡 = − 3𝜋 2

3𝜋 2 Khi đó ∫ 3𝜋 − 2

− 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 3𝜋 2

3𝜋 2 = ∫ 3𝜋 − 2

3𝜋 2

𝑓(−𝑥)𝑑𝑥 𝑓(−𝑥)𝑑𝑥

3𝜋 2 ∫ √2 + 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ |cos 𝑥|𝑑𝑥 3𝜋 − 2

3𝜋 2 3𝜋 − 2

3𝜋 2

𝜋 2

= 2 ∫ |cos 𝑥|𝑑𝑥 Suy ra: 𝐼 = 1 2

𝜋 2

= 2 (∫ cos 𝑥𝑑𝑥 − ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 ) = 6

Chọn D.

𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻𝒉𝒕 : Kiểu giải sử dụng MTBT hỗ trợ tính toán – HS phải lập luận tương tự

𝜋 2

3𝜋 2

như chiến lược 𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏 để chỉ ra được

3𝜋 2

𝜋 2

𝐼 = ) 1 2 ∫ √2 + 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 (∫ cos 𝑥𝑑𝑥 − ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 −

rồi mới sử dụng MTBT để tìm đáp án.

Nhận xét: Vai trò của MTBT bị hạn chế, lúc này MTBT chỉ có chức năng hỗ trợ tính

3𝜋 2

toán cuối cùng. Như vậy chiến lược 𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻𝒉𝒕 với việc sử dụng MTBT khi biến đổi

𝜋 2 0

𝜋 2

) sẽ là chiến lược tối ưu. được 𝐼 = 2 (∫ cos 𝑥𝑑𝑥 − ∫ cos 𝑥𝑑𝑥

Cả ba câu trắc nghiệm đều theo hướng giảm dần sự tác động của MTBT và đòi

hỏi mức độ vận dụng kiến thức ngày càng cao. Thực sự, chiến lược 𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏 là phương

án giải quyết triệt để các vấn đề, nhưng phối hợp với MTBT sẽ là phương án tối ưu để

trả lời nhanh câu hỏi trắc nghiệm. Nếu GV chỉ chú trọng chiến lược 𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏, chứng tỏ

GV chưa thực sự tận dụng ưu thế của MTBT. Nếu tuyệt đối hóa vai trò của chiến lược

𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻, có thể do việc đề cao vai trò của MTBT và năng lực học toán của HS không

tốt. Việc kết hợp hướng dẫn HS cả hai phương pháp và sử dụng phù hợp chứng tỏ GV

tuy nhấn mạnh vai trò của việc nắm vững tri thức nhưng đồng thời cũng tận dụng chức

năng của MTBT hỗ trợ tìm nhanh lời giải. Đó là điều phù hợp trong thời đại công nghệ

thông tin. Khi MTBT được trang bị ngày càng hiện đại, con người không còn cần phải

vất vả trong việc tính toán mà chỉ tập trung tìm đường lối giải quyết vấn đề. Từ đó

chúng ta lập trình để MTBT có thể giải đúng bài toán mình mong muốn.

b) Kiểm chứng giả thuyết 2

Từ câu hỏi 3 đến câu hỏi 6 đều nhằm mục đích kiểm chứng giả thuyết 2. Như

đã phân tích ở chương 2, số lượng các câu hỏi trắc nghiệm trong SGK hiện tại khá ít ỏi

và thuần túy chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm, ngay cả Đề minh họa 1

cũng vậy. Bên cạnh đó, MTBT lại có chức năng tính tích phân nên cách trình bày câu

dẫn như các KNV như trước đây không còn phù hợp. Vì HS không hiểu gì về tích

phân, không biết các kĩ thuật tính vẫn có thể tìm được đáp án đúng. Lúc này, việc xây

dựng câu hỏi trắc nghiệm như thế nào để đánh giá đúng năng lực của HS là một thách

thức đối với GV. Đề minh họa 2 và 3 với nhiều KNV mới lạ cũng đặt ra yêu cầu thay

đổi và cũng là những gợi ý tốt cho GV trong việc điều chỉnh các KNV.

+ Câu hỏi 3 và câu hỏi 4 để GV trả lời chi tiết về sự thay đổi của cá nhân họ

trong việc xây dựng các KNV mới. Câu hỏi 3 tập trung tìm hiểu những nhiệm vụ

không còn phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm. Câu hỏi 4 nhằm mục đích để GV

trình bày cụ thể hóa sự thay đổi của mình.

+ Câu hỏi 5 và câu hỏi 6 tìm hiểu về những khó khăn và thuận lợi trong việc

đánh giá HS khi hình thức thi trắc nghiệm được áp dụng. Câu hỏi 5 tập trung tìm hiểu

những khó khăn mà GV gặp phải trong quá trình dạy học và đánh giá. Câu hỏi 6 để

GV tổng kết những ưu và nhược điểm của hình thức thi mới. Từ đó chúng tôi có thể

làm rõ vai trò của việc phải thay đổi các KNV đối với việc đánh giá HS.

c) Kiểm chứng giả thuyết 3

Câu hỏi 7 nhằm kiểm chứng giả thuyết 3. Đề minh họa 1 và 3 đều có nhiệm vụ

vận dụng tích phân giải bài toán có nội dung ngoài toán học. Thông thường, các câu

hỏi này đòi hỏi khả năng mô hình hóa của HS. Do ứng dụng hình học được trình bày

chính thức và chi tiết trong SGKHH nên có khả năng sẽ là ứng dụng được GV chú

trọng hơn. Ứng dụng vật lí của tích phân vốn chỉ xuất hiện trong SGKNC12, nhưng lại

xuất hiện trong Đề minh họa 1, do đó GV có thể cũng quan tâm trình bày. Kết quả

nghiên cứu chương 2 cho thấy có thể mở rộng về đối tượng vật lí là vận tốc, gia tốc,

điện lượng, cường độ dòng điện. Câu hỏi đặt ra là trong dạy học ứng dụng vật lí GV có

mở rộng các đối tượng này không hay chỉ giới hạn ở bài toán quãng đường? Vì vậy

chúng tôi đề nghị GV nêu rõ ứng dụng mà họ dạy. Ngoài ra, những nhiệm vụ dạng

này không phù hợp với mọi đối tượng HS, do đó chúng tôi đặt thêm câu hỏi “vì sao”

để GV trình bày rõ lí do lựa chọn của họ.

4.3. Phân tích hậu nghiệm

Các phiếu được đa số GV nhiệt tình hợp tác. Tuy nhiên do số lượng câu hỏi

nhiều và mỗi câu lại có nhiều ý dẫn đến một số GV trả lời không đầy đủ các ý được

hỏi. Đây là một điểm hạn chế của thực nghiệm.

4.3.1. Phần 1

Chúng tôi gửi 25 Phiếu khảo sát đến 7 trường thuộc 4 tỉnh (thành phố) khác

nhau. Sau một tháng thu về được 23 phiếu với kết quả cụ thể được thống kê ở các bảng

4.1, 4.2 và 4.3.

Bảng 4.1. Thống kê số lượng GV từng trường và chương trình GV dạy năm học

2016 - 2017

Số lượng

STT

Trường

Tỉnh (TP) Mã hóa GV

Tổng

GVC GVNC

cộng

THPT chuyên Lê Quý Đôn

Ninh Thuận

1 – 3

3

THPT Nguyễn Trãi

4 – 6

Ninh Thuận

3

THPT Phước Bình

Bình Phước

111

1

THPT An Mỹ

Bình Dương

8 – 11

4

TP. Hồ Chí

THPT Nam Kì Khởi Nghĩa

12 – 19

8

Minh

11 GV này dạy cả hai chương trình Chuẩn và Nâng cao

TP. Hồ Chí

THPT Đào Sơn Tây

20 – 22

3

Minh

TH-THCS-THPT Thái Bình

TP. Hồ Chí

1

Minh

Dương

Tổng cộng

21

3

23

Số lượng GV dạy chương trình Nâng cao ít hơn nhiều so với chương trình

Chuẩn. Lí do có thể là kể từ năm 2015 Bộ GD-ĐT dùng một đề thi chung cho cả 2

chương trình dẫn đến các trường THPT chuyển sang dạy chương trình Chuẩn cho toàn

bộ HS để giảm tải.

Bảng 4.2. Thống kê số năm dạy 12 và số năm công tác

Số năm Số năm công tác Số lượng dạy 12

1 – 6 1 - 2 7 (có 1 GV dạy 25 năm)

6 – 7 17 và 30 2

10 – 16 14 - 32 8

20 trở lên 32 - 37 6

Có thể thấy rằng số năm dạy 12 tỉ lệ thuận với số năm công tác của GV. Riêng

2 GV có số năm dạy 12 từ 6 -7 năm đều là GV trường THPT chuyên Lê Quý Đôn,

Ninh Thuận. Vì một số lí do khách quan 2 GV này có số năm dạy 12 không nhiều

nhưng họ đều là thạc sĩ Toán học và là thành viên bồi dưỡng HS thi giải Toán bằng

MTBT hoặc thi học sinh giỏi môn Tin.

Bảng 4. 3. Thống kê mục đích sử dụng kết quả thi môn toán của HS

Xét tuyển vào các trường Xét tuyển vào các trường Chỉ xét tốt nghiệp cao đẳng và đại học có đại học tốp đầu. điểm đầu vào thấp.

1 19 712

12 Có 4 GV có HS sử dụng kết quả thi môn toán để xét vào các trường cao đẳng và đại học có điểm đầu vào thấp cũng như xét tuyển vào các trường đại học tốp đầu.

Qua các bảng thống kê cho chúng ta thấy được sự đa dạng và phân bố khá đồng

đều về tỉnh thành, kinh nghiệm của GV và đối tượng HS. Những điều trên sẽ giúp cho

kết quả thực nghiệm khách quan.

4.3.2. Phần 2

a) Câu hỏi 1 và câu hỏi 2

 Câu hỏi 1

Bảng 4.4. Thống kê câu trả lời câu hỏi 1

Lựa chọn Số lượng

0 Không thay đổi gì.

Lướt qua lí thuyết, tập trung rèn luyện kĩ năng giải toán trắc nghiệm bằng 0 máy tính cầm tay (MTBT).

Dạy lí thuyết đầy đủ và kĩ hơn, rèn luyện song song kĩ năng giải toán tự 18 luận và giải toán trắc nghiệm bằng MTBT.

Dạy lí thuyết đầy đủ và kĩ hơn, ưu tiên rèn luyện kĩ năng giải toán tự luận,

3 chỉ giải toán trắc nghiệm và cung cấp thủ thuật MTBT khi ôn tập và gần

ngày thi.

1 Khác

1 Không trả lời

Kết quả thống kế đã chỉ ra rằng tất cả 23 GV đều có sự thay đổi. Hình thức làm

bài trắc nghiệm và kĩ năng sử dụng MTBT đều được các GV giới thiệu cho HS. Hầu

hết các GV (18/23) đều lựa chọn rèn luyện song song kĩ năng giải toán tự luận và giải

toán trắc nghiệm kết hợp MTBT.

Có GV đã chú thích thêm trong câu trả lời của mình để nhấn mạnh việc phải rèn

luyện đồng thời kĩ năng giải toán tự luận và trắc nghiệm bằng MTBT:

Hình 4.1. Câu hỏi 1 – Trả lời của GV2

GV chọn mục Khác thực ra cũng có lựa chọn như 18 GV trên nhưng đề cập

thêm việc trang bị cho HS các phương pháp làm toán trắc nghiệm ngoài sử dụng sự hỗ

trợ của MTBT. :

Hình 4.2. Câu hỏi 1 – Trả lời của GV6

Như vậy, tất cả 23 GV đều có những thay đổi tích cực, các lựa chọn cũng như

những bổ sung trong mục Khác của các GV đã xác nhận cho tính đúng đắn của giả

thuyết 1 mà chúng tôi nêu ra.

 Câu hỏi 2

Câu hỏi này có 2 yêu cầu: nêu các cách giải có thể của bài toán, cách ưu tiên

hướng dẫn HS. Kết quả được chúng tôi thống kê ở 2 bảng 4.5 và 4.6.

Bảng 4.5. Thống kê về số lượng chiến lược được nêu ở câu hỏi 2

Số lượng chiến lược được nêu

1 0

2 𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏 và 𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 7 𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏 13 𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 (𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻𝒉𝒕) 1 2 Câu 1

3 17 1 2 Câu 2

0 14 7 2 Câu 3

Mặc dù mỗi bài toán đều có 2 chiến lược giải nhưng có ít GV nêu đầy đủ 2

chiến lược. Số lượng GV chỉ nêu một chiến lược 𝑆𝑡ự 𝑙𝑢ậ𝑛 chiếm đa số. Số lượng GV

chỉ ra chiến lược sử dụng MTBT không nhiều ở cả câu 1 và câu 3 – mức độ sử dụng

chỉ là dùng chức năng tính tích phân của MTBT, và đối với câu 2 khi mà việc sử dụng

MTBT ở yêu cầu phức tạp hơn thì số lượng càng ít hơn. Kết quả trên cho thấy GV rất

chú trọng chiến lược 𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏 và việc tìm hiểu chiến lược 𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 giải các bài toán chưa

được nhiều GV quan tâm mặc dù tất cả GV đều đề cập đến việc rèn luyện kĩ năng sử

dụng MTBT cho HS ở câu hỏi 1. Ngoài ra, chúng ta cũng thấy rằng thủ thuật được đa

số GV sử dụng mới chỉ dừng lại ở chức năng tính tích phân của MTBT (ở câu 1 và 3),

chỉ một số GV khai thác và giới thiệu các thủ thuật ở dạng thức cá nhân (câu 2).

Bảng 4.6. Thống kê chiến lược ưu tiên ở câu hỏi 2

𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏

𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 (𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻𝒉𝒕)

Chiến lược ưu tiên

Không chỉ ra

3 13 5 Câu 1

1 18 2 Câu 2

7 14 0 Câu 3

Quan sát hai bảng 4.5 và 4.6, chúng ta thấy hầu như không có sự chênh lệch ở

số lượng GV chỉ nêu 1 chiến lược 𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏 và GV chọn ưu tiên chiến lược này. Số GV

nêu cả hai chiến lược lại hầu như không chỉ ra chiến lược ưu tiên mà chỉ nhận xét ưu,

nhược điểm của của từng chiến lược hoặc lựa chọn chiến lược phụ thuộc vào thời điểm

dạy hoặc đối tượng HS.

Hình 4.3. Câu hỏi 2 - Câu 1 - Trả lời của GV9

Hình 4.4. Câu hỏi 2 - Câu 2 - Trả lời của GV13

Ở câu 1 và 2, chiến lược 𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 chỉ được ưu tiên giới thiệu đối với HS khá giỏi

hoặc HS yếu. Đối với việc ưu tiên HS khá giỏi dùng chiến lược 𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻, chúng tôi đã

phỏng vấn trực tiếp GV2 – GV có đối tượng HS khá giỏi và luôn chọn chiến lược

𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 trong cả 3 bài toán, GV này cho rằng: “MTBT hầu như đều có thể giải được tất

cả các câu liên quan đến tích phân và hạn chế được sai sót trong các bước biến đổi của

trình bày tự luận. Tuy nhiên, cần phải nắm vững kiến thức mới vận dụng được thế

mạnh của nó. Và cần rèn luyện đồng thời với hình thức tự luận ngay trong lúc học để

tăng tính nhanh, chính xác”. Đối với đối tượng HS yếu, sử dụng chiến lược 𝑺𝑴𝑻𝑩𝑻 vì

các HS này gặp khó khăn trong việc ghi nhớ và vận dụng kiến thức.

Ở câu 3 chỉ có một sự khác biệt nhỏ giữa hai chiến lược, số lượng GV sử dụng

sự hỗ trợ MTBT nhiều hơn so với câu 1 và 2 chứng tỏ MTBT được chú ý khai thác ở

vai trò là công cụ tính toán.

Kết quả trả lời ý còn lại của câu hỏi 2 một lần nữa khẳng định GV đề cao vai trò

của chiến lược 𝑺𝒕ự 𝒍𝒖ậ𝒏, GV không những trình bày kĩ lí thuyết mà còn cho HS tiếp cận

nhiều KNV mới. Đồng thời cho thấy GV rất cân nhắc trong việc sử dụng MTBT.

MTBT được khai thác chủ yếu ở vai trò công cụ tính toán. Việc tham gia vào quá trình

tìm lời giải thường dùng cho HS khá giỏi – là những HS nắm vững kiến thức cũng như

chức năng MTBT, hoặc HS yếu sử dụng như một giải pháp tình thế vì các HS không

nắm vững kiến thức nên gặp khó khăn trong việc tìm lời giải cũng như các bước giải

hay gặp sai sót. Những điều này thể hiện các GV rất chú trọng ở việc HS hiểu và nắm

rõ kiến thức.

Như vậy, kết quả trả lời câu hỏi 1 và 2 đã giúp chúng tôi kiểm chứng tính đúng

đắn của GT1: GV thực hiện đồng thời việc dạy đầy đủ lý thuyết và kĩ năng giải toán

tự luận cũng như thủ thuật MTBT và kĩ năng lập luận giải nhanh toán trắc

nghiệm.

b) Câu hỏi 3 đến câu hỏi 6

 Câu hỏi 3

 Câu hỏi không nên đặt ra trong đề thi trắc nghiệm được các GV chỉ ra là

+ Câu tính tích phân chỉ cần nhập công thức là MTBT tính ngay ra kết quả.

+ Câu tính tích phân phức tạp, đòi hỏi việc vận dụng nhiều kiến thức, nhiều

phương pháp giải và trải qua nhiều bước tính toán như: Tích phân từng phần lặp lại

qua nhiều bước, Tích phân từng phân có biểu thức 𝑑𝑣 phức tạp, Tích phân lượng giác

với các phép biến đổi phức tạp, …

+ Các dạng toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tích phân.

+ Các câu tính tích phân quá khó.

 Lí do:

+ MTBT có thể tìm ra ngay đáp án, không đánh giá được HS.

+ Mất nhiều thời gian và trong thời gian ngắn HS có thể không tìm ra được lời

giải.

+ Câu hỏi trắc nghiệm cần độ tư duy tốt nhưng không cần các phép biến đổi

rườm ra mang tính kĩ thuật.

Có thể thấy rằng, đa số GV nhận thức rõ sự khác nhau giữa thi tự luận và thi

trắc nghiệm và do đó họ thấy cần phải thay đổi cách phát biểu, mức độ phức tạp của

các nhiệm vụ liên quan đến các KNV ở nhóm 1 và 2 cũng như sự mất đi của các KNV

không còn phù hợp ở nhóm 313: thứ nhất, đối với câu trắc nghiệm thì HS lựa chọn đáp

án đúng trong 4 đáp án cho sẵn, mà MTBT có chức năng tính tích phân nên nếu phát

𝑏 𝑎

𝑑𝑥”, chúng ta sẽ biểu câu dẫn giống KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃 như trước đây “Tính tích phân ∫ 𝑓(𝑥)

không biết được HS chọn đáp án đúng là do nắm vững kiến thức hay do việc sử dụng

tốt thủ thuật MTBT. Thứ hai, thi trắc nghiệm thời gian hạn hẹp, trung bình mỗi câu chỉ

có 1,8 phút để giải, việc đánh giá thông qua việc chọn đáp án đúng chứ không phải quá

trình trình bày lời giải, do đó câu hỏi trắc nghiệm nên phát biểu dưới dạng đòi hỏi sự

suy luận trên cơ sở nắm vững kiến thức hơn là dài dòng, phức tạp trong thủ thuật tính

toán.

 Câu hỏi 4

Các GV đều cho ví dụ rất phong phú, các câu hỏi trải đều các nội dung được

học về khái niệm tích phân: kiểm tra định nghĩa tích phân, các tính chất, các phương

pháp tính tích phân cũng như các ứng dụng hình học, vật lí của tích phân. Tiền thân

của những câu hỏi này đều thuộc 4 KNV: 𝑇𝑇𝑇𝑃, 𝑇𝐷𝑇, 𝑇𝑇𝑇, 𝑇𝑄Đ.

 Các nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑻𝑻𝑻𝑷

Đây là nhóm nhiệm vụ được tất cả GV cho ví dụ nhiều và đa dạng nhất.

𝑇𝐶𝛽) mà cả hàm số và

Câu hỏi đơn giản về định nghĩa và tính chất tích phân nhưng chỉ có thể giải

được nếu hiểu chúng: Tính tích phân dựa vào tính chất (kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

13 Các nhóm 1, 2, 3 theo phân chia ở mục 2.2.1. Các praxéologies trình bày bằng hình thức tự luận.

Đ𝑁 ) về mối

cận đều không được cho cụ thể. Vận dụng định nghĩa tích phân (kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó để tính tích phân.

𝑇𝑃ℎ thông qua các yêu cầu về xét mệnh đề đúng:

Hình 4.5. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV3

Đ𝐵 , 𝜏𝑇𝑇𝑃

Kiểm tra việc sử dụng kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

Hình 4.6. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV8

Tính hệ số kết quả tích phân hay biểu thức chứa các hệ số, cận:

Hình 4.7. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV16

Hoặc tìm số thỏa mãn một bất đẳng thức

Hình 4.8. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV2

Có thể đề bài cũng yêu cầu trực tiếp là tính tích phân, nhưng hàm số không

Đ𝐵 . dụ sau đây sử dụng kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃

được cho cụ thể buộc HS phải nắm vững kiến thức mới vận dụng đúng kĩ thuật tính, ví

Hình 4.9. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV4

Xuất hiện cả những câu trắc nghiệm với câu dẫn quen thuộc kiểu tự luận nhưng

khống chế mối quan hệ hàm số và cận khiến MTBT không thực hiện tính toán được.

Hình 4.10. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV2

Tuy nhiên, vẫn có GV cho ví dụ các nhiệm vụ có câu dẫn như các KNV truyền

thống với mục tiêu để HS rèn luyện việc sử dụng MTBT.

Hình 4.11. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV15

Như vậy, để xây dựng các nhiệm vụ mới liên quan đến KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃, GV khống

chế 4 yếu tố là hàm số dưới dấu tích phân, các cận, kết quả tích phân và yêu cầu đề bài

để HS không thể dùng chức năng tính tích phân của MTBT tìm ngay đáp án, buộc HS

phải nắm vững kiến thức để tìm cách giải và MTBT chỉ hỗ trợ tính toán. Khi đó kết

quả câu trả lời có thể đánh giá đúng việc HS hiểu và vận dụng đúng kĩ thuật và công

nghệ tương ứng. Các ví dụ cũng cho thấy đối với mỗi câu trắc nghiệm chỉ kiểm tra về

một kĩ thuật tính tích phân và việc tính tích phân cũng không rườm rà.

 Nhóm các KNV liên quan đến ứng dụng của tích phân

Trong 3 KNV 𝑇𝐷𝑇, 𝑇𝑇𝑇, 𝑇𝑄Đ thì nhóm nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝑇𝑇 ít được

đề cập nhất. Các nhiệm vụ liên quan đến hai KNV 𝑇𝑇𝑇, 𝑇𝑄Đ đều có câu dẫn tương tự

như hình thức tự luận trong SGK, trong đó các nhiệm vụ liên quan đến 𝑇𝑄Đ đều được

các GV xếp vào dạng bài toán thực tiễn.

Hình 4.12. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV4

Các nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝐷𝑇 được GV đề cập nhiều hơn và yếu tố đồ

thị được sử dụng nhiều:

+ Quan sát hình vẽ trên hệ trục và dựa trên công thức về diện tích để lập công

thức rồi tính kết quả.

Hình 4.13. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV22

+ Câu hỏi về diện tích đòi hỏi khả năng mô hình hóa: gắn diện tích cần tính vào

hệ trục tọa độ để tìm hàm số dưới dấu tích phân và các cận trong công thức tính diện

tích.

Hình 4.14. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV17

+ Kết hợp quan sát hình vẽ, ý nghĩa hình học về diện tích của tích phân và vận

dụng phương pháp tính tích phân phù hợp để tính giá trị tích phân.

Hình 4.15. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV8

Đối với nhóm câu trắc nghiệm liên quan đến ứng dụng tích phân, GV không có

nhiều thay đổi trong câu dẫn. Đối chiếu với các Đề minh họa, chúng tôi thấy rằng các

nhiệm vụ này của GV bám sát các đề. Lí do chúng ta dễ nhận thấy là cách phát biểu

câu dẫn như các KNV truyền thống đã đáp ứng mục tiêu HS biết các ứng dụng hình

học, vật lí và lập được công thức tính của các KNV này, đặc biệt là các nhiệm vụ liên

quan đến ứng dụng vật lí của tích phân. Tuy nhiên các Đề minh họa của Bộ GD-ĐT

giới thiệu cũng như các ví dụ của GV còn khai thác thêm yếu tố đồ thị để tăng tính

trực quan, đòi hỏi khả năng đọc đồ thị, mô hình hóa của HS, từ đó giúp cho ứng dụng

hình học gần gũi hơn.

Qua các ví dụ chúng ta thấy rằng đa số GV đều có sự đầu tư để xây dựng các

KNV mới dựa trên các KNV truyền thống nhằm giúp cho kết quả có thể đánh giá đúng

được kĩ năng mà họ mong chờ ở HS. Sự thay đổi này đều dựa trên cơ sở những đổi

mới của KNV trong các Đề minh họa đã được Bộ GD-ĐT giới thiệu. GV thực hiện

tương tự và sáng tạo thêm.

 Câu hỏi 5

Có 2 GV trên 30 năm kinh nghiệm giảng dạy và có đối tượng HS khá giỏi cho

rằng không có khó khăn gì, trong đó có một GV chú thích thêm là cần “tăng cường

luyện tập rèn luyện kĩ năng”. 2 GV có kinh nghiệm 3 và 6 năm giảng dạy cho biết họ

không gặp nhiều khó khăn hoặc hầu như không có khó khăn. Theo tìm hiểu của chúng

tôi những GV này đều có những đặc điểm chung là: chuyên môn vững vàng; có sự tiếp

cận, tìm tòi các nguồn tài liệu về đề bài và phương pháp giải toán trắc nghiệm, phương

pháp sử dụng MTBT để giải toán; chất lượng HS đồng đều.

Các khó khăn trong dạy học mà các GV còn lại nêu được chúng tôi tổng hợp là:

 Về việc dạy học

+ Thiếu các tài liệu giảng dạy, các phương pháp giải toán trắc nghiệm.

+ Thời gian dạy không đủ. Vì thời gian không thay đổi nhưng vừa phải dạy kĩ lí

thuyết, vừa dạy bài tập tự luận và bài tập trắc nghiệm.

+ Kiến thức và dạng bài tập quá rộng.

+ Phải tìm nhiều cách giải trắc nghiệm nhanh để hướng dẫn HS.

+ Để HS chịu học và chịu suy nghĩ thì GV khi lên lớp phải chuẩn bị bài giảng

theo phương pháp trắc nghiệm công phu hơn, tốn rất nhiều thời gian.

+ HS không biết vận dụng kiến thức để giải các bài tập lạ.

+ HS học đối phó, lười học, ít chịu đào sâu kiến thức, ỷ lại vào MTBT, không

rèn luyện kĩ năng giải tự luận. Các HS khá giỏi có xu hướng tìm cách giải bằng MTBT

mà không biết rằng có một số cách không đúng 100%.

 Về việc đánh giá HS

+ GV không thấy được quá trình tư duy của HS thể hiện qua bài làm: GV

không thể biết HS có hiểu hay không hiểu câu hỏi vì chọn đúng chưa chắc đã hiểu (có

thể do chọn may rủi), chọn sai có thể do sử dụng MTBT chưa thạo. Do đó kết quả bài

thi chưa chắc đã phản ánh đúng năng lực HS.

+ Để đánh giá đúng HS đòi hỏi GV phải đầu tư nhiều thời gian công sức để ra

đề kiểm tra hạn chế việc sử dụng MTBT và buộc HS phải học thật sự, nắm vững và

vận dụng kiến thức tốt.

Có thể thấy rằng sự thay đổi hình thức thi đã gây rất nhiều khó khăn cho GV.

 Trong việc dạy học, GV gặp 3 vấn đề lớn:

+ Vấn đề thứ nhất là thiếu tài liệu giảng dạy và phương pháp giải toán trắc

nghiệm – điều này đòi hỏi GV phải tự mày mò và đầu tư nhiều công sức cho việc soạn

giảng và như vậy nội dung liên quan đến trắc nghiệm mang nhiều yếu tố chủ quan.

+ Vấn đề thứ hai là thiếu thời gian – song song với việc trình bày tự luận như

trước đây để HS nắm vững kiến thức thì GV phải cho HS làm quen với hình thức phát

biểu mới và cách thức để giải nhanh toán trắc nghiệm.

+ Vấn đề thứ ba là thái độ học tập chưa đúng đắn của một bộ phận HS – vì thi

trắc nghiệm gồm nhiều câu trong thời gian ngắn nên độ khó đã giảm đi nhiều so với đề

tự luận trước đây cộng thêm một số câu dễ dàng giải nhanh dựa vào MTBT và đặc biệt

là các trang mạng với những dòng giật tít “tuyệt kĩ casio giải nhanh toán trắc nghiệm”

khiến HS có sự ngộ nhận rằng không cần hiểu gì, chỉ cần nắm vững các thủ thuật

MTBT là có thể giải được.

 Trong việc đánh giá HS: Kết quả phản hồi mà GV thu nhận khi cho HS làm

bài kiểm tra chỉ là các đáp án A, B, C hay D chứ không phải là một bài giải chi tiết

khiến GV thấy khó khăn trong việc đánh giá. Theo chúng tôi đây là sự khác nhau trong

hai hình thức thi. Khi chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, GV buộc phải thay đổi

cách đánh giá thông qua việc thay đổi các KNV bằng hình thức trắc nghiệm so với tự

luận. Với mỗi câu trắc nghiệm, GV buộc phải xác định rõ mục tiêu, tìm hiểu cách thức

giải, sự can thiệp của MTBT để phát biểu phù hợp giúp đạt mục tiêu HS phải nắm

vững kiến thức mới cho câu trả lời đúng. Ngoài ra, các câu trắc nghiệm cần tập trung ở

yêu cầu phân tích, suy luận và giảm yêu cầu tính toán. Yếu tố may rủi trong việc chọn

đáp án khi HS không biết cách làm là yếu tố khách quan của hình thức thi trắc nghiệm,

nhưng nếu HS hoàn toàn chọn may rủi thì xác suất đạt kết quả cao là rất hiếm. Do đó,

để đánh giá đúng HS đòi hỏi GV phải có sự đầu tư rất nhiều trong việc biên soạn đề

kiểm tra. Như vậy, vấn đề ở đây chúng ta có thể thấy là thiếu tài liệu để giúp cho việc

biên soạn đề kiểm tra của các GV thực sự chất lượng, phù hợp với hình thức thi mới và

giảm bớt gánh nặng ra đề.

 Câu hỏi 6

Hầu hết các GV (21/23) đều chỉ ra những ưu điểm và nhược điểm của hình thức

thi trắc nghiệm, chúng tôi liệt kê được như sau:

 Ưu điểm

+ Nhanh, ít tốn thời gian chấm bài, kết quả chấm bài chính xác.

+ Kiểm tra được một bình diện kiến thức trải rộng hết chương trình. Nếu HS

học thật sự sẽ là những em có kiến thức rất vững vàng.

+ Ra đề được nhiều dạng hay, phong phú.

+ Ngoài cách nắm vững phương pháp giải tích phân bằng tự luận. HS phải sử

dụng thành thạo MTBT.

+ MTBT có thể hỗ trợ tốt trong việc tìm lời giải một cách nhanh chóng.

+ HS phải hiểu bài kĩ và làm nhiều dạng bài tập, vừa biết làm tự luận, vừa biết

làm trắc nghiệm.

+ Thuận lợi cho HS yếu về khả năng diễn đạt, trình bày.

+ GV giảng dạy sẽ phải linh động, sáng tạo nhiều hơn khi đặt các câu hỏi trắc

nghiệm khách quan.

+ Rèn kĩ năng tính toán, tính nhanh, mẹo làm nhanh.

+ Loại bỏ các câu hỏi đánh đố.

Hình 4.16. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV3

Hình 4.17. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV15

 Nhược điểm

+ Khó đánh giá HS hơn so với hình thức tự luận.

+ Thời gian soạn bài lâu. Tốn nhiều thời gian nếu muốn soạn một đề đánh giá

đúng được HS.

+ Khó thiết kế được câu hỏi đánh giá cấp độ tư duy cao. Dễ xảy ra sai số hệ

thống (lựa chọn cảm tính, quay cóp, đoán mò,..). Khó đánh giá con đường tư duy, suy

luận, kĩ năng viết và sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu khoa học,… của HS.

+ Câu hỏi trắc nghiệm nếu có các phương án nhiễu không hợp lí tạo điều kiện

cho HS học đối phó, lười suy nghĩ.

+ Cho dù tìm ra kết quả nhưng rất nhiều HS sẽ không hiểu bản chất cũng như

các phương pháp tính tích phân, không phân biệt các loại tích phân, không thuộc công

thức.

+ HS quá chú trọng và ỷ lại vào kĩ năng sử dụng MTBT, lơ là việc học lý thuyết

và rèn luyện kĩ năng, có thể ảnh hưởng đến việc học đại học (đối với những ngành yêu

cầu học toán cao cấp).

+ Đối với HS yếu làm bài theo phương pháp trắc nghiệm càng làm cho HS

không chịu học, có xu hướng chọn đáp án may rủi do đó có thể không biết gì về tích

phân.

+ Hạn chế rất nhiều sự sáng tạo trong cách giải của HS khá giỏi.

+ Không rèn được tư duy cho HS

+ Không phân biệt được HS thông thạo cách giải bằng tự luận và HS chỉ biết

tìm ra kết quả bằng MTBT.

+ Trong một thời gian ngắn phải giải thật nhiều bài toán nên HS yếu làm không

kịp.

Hình 4.18. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV5

Có thể thấy rằng các GV cũng đã nêu bật được những ưu điểm và nhược điểm

của phương pháp thi trắc nghiệm. Ưu điểm mà nhiều GV đề cập nhất là kiểm tra được

một bình diện kiến thức trải rộng hết chương trình. Nhược điểm được nhiều GV nêu ra

đó là việc không trình bày lời giải mà chỉ chọn 1 trong 4 đáp án khiến cho HS có thể

sử dụng hoàn toàn bằng MTBT hoặc lựa chọn may rủi. Để hạn chế nhược điểm này

cũng như các nhược điểm khác đòi hỏi GV phải đầu tư rất nhiều thời gian, công sức để

soạn những câu trắc nghiệm chất lượng mà trong đó việc thay đổi câu dẫn của các

KNV là bắt buộc. Trong khi đó nguồn tài liệu chính thống chưa nhiều, chủ yếu dựa

vào kinh nghiệm và sự tìm tòi của từng cá nhân.

Chúng ta không thể phủ nhận hình thức thi trắc nghiệm có nhược điểm nhưng

nó cũng có không ít ưu điểm. Mặc dù vậy, không phải GV nào cũng nhìn nhận được

hết các ưu điểm của hình thức thi trắc nghiệm, cá biệt còn có GV cho rằng hình thức

thi này không có ưu điểm gì.

Hình 4.19. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV13

Trong khi đó, mặc dù có không ít GV cho rằng các thủ thuật MTBT gây sự ỷ

lại của HS, 1 GV lại cho rằng đó là ưu điểm, và không thấy hình thức này có nhược

điểm gì.

Hình 4.20. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV2

Kết quả câu 3 và câu 4 cho chúng ta thấy rằng tất cả GV đều nhận thức việc cần

thay đổi các KNV và đã có những sự thay đổi tích cực trong việc xây dựng các KNV

mới bằng hình thức trắc nghiệm. Kết quả câu 5 và 6 đã nêu bật những khó khăn mà

các GV gặp phải cũng như nhận thức của họ về những ưu, nhược điểm của hình thức

thi mới. Từ những khó khăn trong việc dạy và đánh giá HS cũng như các ưu, nhược

điểm của hình thức thi trắc nghiệm thì vấn đề phải xây dựng các KNV mới càng trở

nên cấp thiết để việc đánh giá HS được chính xác. Các câu trắc nghiệm lúc này không

ở dạng đánh đố, dài dòng, phức tạp về kĩ thuật tính toán mà đòi hỏi ở khả năng hiểu,

vận dụng kiến thức để phân tích đề bài, suy luận hợp lí để đưa ra đáp án nhanh chóng.

Ngoài ra việc HS sử dụng MTBT trong thi cử là tất yếu, do đó đề trắc nghiệm phải

được ra làm sao để đảm bảo HS chỉ có thể dùng MTBT để hỗ trợ việc tính toán thuần

túy hoặc chỉ có thể tham gia vào quá trình giải khi HS nắm vững kiến thức. Các kết

quả trên đã xác nhận tính đúng đắn cho GT2: GV phải xây dựng các KNV mới khi

đánh giá HS bằng hình thức trắc nghiệm và họ gặp nhiều khó khăn khi thực hiện

điều đó.

Ngoài ra, ghi nhận từ câu trả lời của GV, chúng ta cũng thấy rằng GV rất thiếu

tài liệu và định hướng trong việc đổi mới dạy học và đánh giá HS. Cách nhìn nhận một

số ưu, nhược điểm của hình thức thi trắc nghiệm của các GV còn trái ngược nhau. Sự

thay đổi chủ yếu dựa vào sự đầu tư của từng cá nhân. Do đó, GV rất cần sự hỗ trợ để

nâng cao chất lượng dạy học và đánh giá HS.

c) Câu hỏi 7

 Câu hỏi 7

Bảng 4.7. Thống kê số lượng GV dạy các ứng dụng của tích phân

Có dạy ứng dụng tích phân giải Dạy ứng dụng hình học Không chỉ rõ các bài toán thực tiễn và ứng dụng vật lí

23 18 5

Bám sát nội dung các Đề minh họa và cho rằng ứng dụng thực tế là cần thiết

đối với HS trong việc vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tất cả 23 GV đều cho rằng cần

phải dạy các bài toán này.

Hình 4.21. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV13

Tuy nhiên tùy theo năng lực HS mà mức độ rèn luyện khác nhau: 1 GV đề cập

chỉ dạy cho lớp học khá, lớp trung bình - yếu bỏ qua. Cùng đối tượng HS có học lực

trung bình – yếu, 1 GV cho biết hiếm dạy, 4 GV chỉ cho HS làm những bài đơn giản,

dễ thấy, dễ hiểu.

Riêng có 1 GV có HS học ở mức khá giỏi nhưng lại ít cho HS làm vì cho rằng

những bài toán này đòi hỏi nhiều thời gian, trong khi đó thi trắc nghiệm thời gian eo

hẹp.

Hình 4.22. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV1

Ứng dụng vật lí của tích phân được các GV dạy liên quan đến 3 đại lượng:

quãng đường, vận tốc, gia tốc. Như vậy xuất hiện thêm đối tượng mới là gia tốc, điều

này là hợp lí vì như đã phân tích ở chương 2, mối quan hệ đạo hàm giữa gia tốc và vận

tốc đã được chỉ ra ở SGK11.

Hình 4.23. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV19

Như vậy các GV đều nhận thấy tầm quan trọng của việc vận dụng các

ứng dụng của tích phân vào các bài toán thực tiễn để giúp cho việc gắn kiến thức toán

học với cuộc sống cũng như đáp ứng đòi hỏi của đề thi. Việc đưa vào giảng dạy các

bài toán vận dụng được các GV cân nhắc phù hợp với đối tượng HS, đặc biệt là các bài

toán sử dụng ứng dụng vật lí của tích phân. Đối tượng HS khá, giỏi được các GV giới

thiệu và cho luyện tập các dạng bài tập vận dụng thực tiễn. Riêng đối với HS trung

bình, yếu thì hoặc không giới thiệu hoặc chỉ giới thiệu những bài rất đơn giản. Các ghi

nhận trên đã giúp chúng tôi kiểm chứng GT3: GV chú trọng giảng dạy các KNV liên

quan đến ứng dụng tích phân giải các bài toán thực tế cho HS khá giỏi.

Qua những trả lời của GV cho 7 câu hỏi đã giúp cho việc kiểm chứng 3 giả

thuyết mà chúng tôi nêu. Từ đó làm rõ hơn những thay đổi rất tích cực của GV khi

môn toán chuyển sang hình thức thi mới:

+ Về dạy học các lí thuyết liên quan đến khái niệm tích phân: GV dạy kĩ, đầy

đủ tất cả các nội dung được SGK đề cập.

+ Về dạy học các KNV liên quan đến khái niệm tích phân: Các GV dạy đầy đủ

các nhiệm vụ liên quan đến các KNV truyền thống và xây dựng các KNV mới dựa trên

các KNV này để việc hỏi quét hết các nội dung kiến thức được đề cập ở nhiều mức độ

khác nhau cũng như đánh giá đúng năng lực HS. Việc giải quyết các KNV không còn

tập trung ở việc tính toán mà đòi hỏi nhiều ở kĩ năng phân tích, suy luận.

4.4. Kết luận

Có thể thấy rằng ba yếu tố tác động chính đến việc thay đổi trong dạy học của

GV đó là: đề thi, đối tượng HS, khả năng thích nghi với cái mới của GV.

Thực nghiệm đã kiểm chứng tính đúng đắn của những giả thuyết chúng tôi đưa

ra và góp phần chi tiết hóa các giả thuyết đó. Trước sự thay đổi của Bộ GD-ĐT về

hình thức thi, các GV đều có những thay đổi tích cực để giúp HS của mình có thể thích

ứng. Lúc này, tất cả các nội dung trong SGK đều được GV dạy kĩ, các ứng dụng đều

được khai thác, giúp làm nổi bật nghĩa hình học và các HS khá giỏi còn có cơ hội được

tiếp cận nghĩa vật lí của tích phân. Khi đó nếu HS chú tâm học sẽ hiểu rõ được khái

niệm tích phân và bước đầu có thể vận dụng tích phân giải quyết một số bài toán thực

tiễn. Mối quan hệ cá nhân giữa HS và khái niệm tích phân có thể chuyển biến tích cực,

kiến thức được học sẽ không khô khan, hình thức mà thực sự hữu ích. Bên cạnh đó,

MTBT được GV khai thác như là một công cụ hỗ trợ tốt cho việc tính toán, lập luận

tìm nhanh đáp án đúng cho nhiều câu trắc nghiệm.

Tuy nhiên, việc thay đổi hình thức thi đột ngột, tài liệu trắc nghiệm hạn chế gây

khó khăn cho GV. Những câu trắc nghiệm tích phân trong SGK và Đề minh họa 1 có

thể giải quyết nhanh bằng MTBT mà không cần hiểu gì và việc có thể lựa chọn đáp án

may rủi đã tạo cơ hội cho thái độ lơ là việc học, ỷ lại vào MTBT của một bộ phận HS

gây khó khăn cho việc dạy và đánh giá của GV. Sự đổi mới của GV thiếu đồng bộ,

phụ thuộc nhiều vào kinh nghiệm cá nhân, khả năng tiếp cận và thích nghi với hình

thức trắc nghiệm mới mẻ.

KẾT LUẬN

Quá trình nghiên cứu đã cho thấy hình thức thi trắc nghiệm đem đến những

thay đổi tích cực trong giảng dạy khái niệm tích phân của đa số GV trong hai vấn đề là

nội dung dạy học và ra đề kiểm tra đánh giá, cụ thể:

 Về nội dung dạy học:

+ GV dạy kĩ và đầy đủ các nội dung lí thuyết được SGK đề cập, luôn cố gắng

để HS có thể nắm rõ khái niệm tích phân, hiểu đúng bản chất của khái niệm cũng như

những tính chất liên quan.

+ Ứng dụng hình học được đặc biệt chú ý giảng dạy, yếu tố đồ thị được khai

thác triệt để trong việc minh họa. Việc rèn luyện kĩ năng đọc đồ thị để quan sát phần

mặt phẳng cần tính diện tích từ đó lập công thức tính được chú trọng. Các bài toán

thực tiễn vận dụng ý nghĩa hình học là một nội dung không thể thiếu trong bài giảng

các học sinh khá giỏi. Nguồn gốc hình học của tích phân được làm rõ. Từ đó làm cho

nổi bật cách tiếp cận Tích phân là diện tích hình phẳng.

+ Các nhiệm vụ liên quan đến các KNV truyền thống đều được đề cập đầy đủ

và xuất hiện các KNV mới với những cách phát biểu câu dẫn mới lạ, tăng yếu tố trực

quan và đòi hỏi việc nắm vững kiến thức. Song song với kĩ thuật giải tự luận, các kĩ

năng giải trắc nghiệm và sử dụng MTBT được GV chú trọng rèn luyện cho HS. Đặc

biệt KNV 𝑇𝑄Đ được giảng dạy đại trà đã giúp cho cách tiếp cận Tích phân là phép toán

ngược của đạo hàm không còn hình thức và giới hạn trong phạm vi toán học.

 Việc ra đề kiểm tra đánh giá: Các câu hỏi trong đề kiểm tra đều có nội dung

trải đều các nội dung được đề cập trong chương trình với nhiều mức độ khác nhau và

những cách phát biểu mới lạ. Đề bài không chỉ đòi hỏi HS ở khả năng tính toán, trình

bày tự luận mà còn phải có kĩ năng phân tích, suy luận, đọc đồ thị, mô hình hóa và sử

dụng tốt MTBT để giải nhanh và chính xác. GV có sự đầu tư nhiều cho việc ra đề và

có những sáng tạo riêng. HS muốn đạt điểm cao phải thực sự nắm vững và vận dụng

tốt các kiến thức liên quan đến khái niệm tích phân. Việc chấm bài nhanh chóng và

công bằng đối với mọi HS.

Bên cạnh đó, nghiên cứu cũng chỉ ra những khó khăn và thách thức của GV:

Việc thay đổi hình thức thi đòi hỏi GV phải xây dựng các KNV mới và thích nghi với

việc đánh giá HS không phải qua việc trình bày chi tiết bài giải mà qua việc lựa chọn

đáp án. Trong khi đó hình thức thi đột ngột thay đổi khiến GV rất bị động. Ngoài ra

nguồn tài liệu chính thống ít ỏi, các KNV trong những tài liệu vốn có dễ dàng sử dụng

MTBT tìm đáp án đúng có thể gây tâm thế ỷ lại MTBT của HS. Mặc dù thi trắc

nghiệm giúp cho việc chấm bài được công bằng, không ảnh hưởng yếu tố chủ quan

của người chấm, nhưng để kết quả phản ánh đúng năng lực của người làm bài đòi hỏi

GV phải đầu tư nhiều thời gian và công sức trong việc ra đề và cả trong quá trình dạy.

Hiện tại, việc đổi mới trong dạy học và đánh giá phụ thuộc hoàn toàn vào năng lực và

sự thích nghi với hình thức thi mới của mỗi GV nên thiếu đồng bộ. Việc vượt qua

những thách thức và khó khăn này sẽ góp phần tạo thành công cho sự đổi mới thi cử

của Bộ GD-ĐT lần này. Do đó, không chỉ GV cần nỗ lực, Bộ GD-ĐT cũng cần hỗ trợ

về tài liệu cũng như thay đổi chương trình một cách hợp lí.

Ngoài ra, chúng ta không thể phủ nhận vai trò của MTBT trong việc hỗ trợ tìm

nhanh đáp án. Như chia sẻ của một GV: “MTBT có thể tham gia không nhiều thì ít vào

việc tìm đáp án các câu tích phân. Nhưng muốn làm được điều đó thì HS cũng phải

nắm vững lý thuyết tích phân và các chức năng của MTBT”. Chính GV này cũng chỉ

ra có thể dùng MTBT minh họa tốt cho việc dạy học và giải bài tập. Tuy nhiên, mức

độ vận dụng MTBT trong dạy và học chưa nhiều. Thiết nghĩ, trong việc cải cách SGK

sắp tới, kĩ năng sử dụng và vận dụng MTBT trong dạy và học nên được quan tâm hơn.

Theo chúng tôi, điều này phù hợp với sự phát triển của thời đại công nghệ thông tin,

khi mà MTBT là dụng cụ học tập thân thiết và hầu hết HS đều có thể sở hữu nó.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Bình (2006), Giải tích I: Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến (Dùng

cho sinh viên kĩ thuật, cao đẳng, đại học, sau đại học), Nxb Khoa học và

Kĩ thuật.

2. Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004), “Phép tính tích phân và vi phân

trong lịch sử”, Tạp chí khoa học ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh, số 4, tr.14 – 26.

3. Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Annie Bessot, Claude Comiti (2009), Những yếu

tố cơ bản của Didactic Toán, Nxb Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh.

4. Lê Thị Hoài Châu (2014), “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm”, Tạp

chí khoa học ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh, số 65, tr.5 – 18.

5. Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch

Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2008), Bài tập Giải tích nâng cao 12,

Nxb Giáo dục.

6. Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường

phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.

7. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất

(2008), Giải tích 12, Nxb Giáo dục.

8. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất

(2013), Sách giáo viên Giải tích 12, Nxb Giáo dục.

9. Đậu Thanh Huyền (2016), Dạy học khái niệm tích phân ở THPT theo quan điểm

liên môn, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.

10. Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn chính

của HS khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư

phạm Tp. Hồ Chí Minh.

11. Nguyễn Thị Phượng Linh (2013), Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích

phân ở trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ

Chí Minh.

12. Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy

học toán ở trường trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư

phạm Tp. Hồ Chí Minh.

13. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng

Hùng Thắng (2008), Giải tích nâng cao 12, Nxb Giáo dục.

14. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng

Hùng Thắng (2013), Sách giáo viên Giải tích nâng cao 12, Nxb Giáo dục.

15. Phạm Lương Quý (2009), Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong

giảng dạy toán ở trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư

phạm Tp. Hồ Chí Minh.

16. Lê Văn Tiến (2000), “Một số quan điểm khác nhau về giảng dạy giải tích ở trường

phổ thông”, Nghiên cứu giáo dục, số chuyên đề (338), tr.23 – 25.

17. Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Thu Nga, Phạm Thu, Nguyễn Tiến Tài,

Cấn Văn Tuất (2012), Bài tập Giải tích 12, Nxb Giáo dục.

18. Nguyễn Hoàng Vũ (2012), Nghiên cứu thực hành của GV trong dạy học tính diện

tích hình phẳng ở lớp 12, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ

Chí Minh.

PHỤ LỤC

BIÊN BẢN QUAN SÁT TIẾT HỌC CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Trường: THPT An Mỹ, tỉnh Bình Dương.

Lớp: 12T2. Sĩ số: 36.

GV: Thầy M.

Định nghĩa tích phân (Tiết 4, ngày 5/1/2017)

Bài 1: Tính diện tích hình thang như hình vẽ

Bài 2: Diện tích của hình là

A .1 2 B. 1 3 C. 4 7

2 5

Bài 3: Một viên đạn được bắn lên trời theo phương thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 500m với

vận tốc ban đầu là 245m/s.

c. Tìm thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn nhất.

d.Khi đạt độ cao lớn nhất, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu.

Bài 4: Một xe xuất phát và chuyển động nhanh dần đều với gia tốc 0,1 m/s2. Tính vận tốc tức

thời tại thời điểm xe đi được 1 km.

1. GV phát phiếu học tập.

2. GV giới thiệu sơ lược về phiếu học tập: có hai trang, trang thứ nhất là hai câu hình

học khá đơn giản, trang thứ hai la hai câu bài toán vật lý cũng khá đơn giản. Thầy nhắc

sơ vì photo có thể mờ: Bài số 1 trang đầu Tính diện tích hình thang như hình vẽ.

Không có phương trình, chỉ có số liệu đề nghị các em suy ra. Bài thứ hai thầy cho một

phương án trắc nghiệm của diện tích hình bị gạch chéo thì thầy thử khả năng phán

đoán chính xác của các em, sau đó sẽ kiểm chứng bằng công thức. Trang hai, bài số 3

ta giải kĩ, bài số 4 tham khảo lý do không kịp.

3. GV đọc bài toán 3 và nhắc lại lần nữa chỉ giải kĩ bài 1 và 3, bài 2 trắc nghiệm thì em

phán đoán một cách tương đối và có cơ sở, bài 4 thì về tham khảo sau vì thời gian

không kịp.

4. GV: Cứ 5 phút một thầy sẽ đặt câu hỏi. Bây giờ là 10h, 10h5 thầy sẽ trao đổi lần thứ

nhất. Trong quá trình HS làm bài GV có gợi ý: bài toán 1 chỉ dùng kiến thức cấp hai

thôi, bài toán vật lý thì sử dụng kiến thức vật lý của lớp 11.

5. GV nói thêm: Phiếu học tập có phần trống để HS nháp. Các em cần chú ý lăm lăm

bút chì, những lời thầy giảng thì các em viết vào vở rồi về suy nghĩ tiếp, cách học như

vậy mới kịp.

6. GV tranh thủ ghi các đề mục lên bảng

8. GV gọi Hậu: Trước hết Hậu cho kết quả là bao nhiêu?

9. Hậu: Dạ, thưa thầy, kết quả của em là 16.

10. GV: Em hãy nói đơn giản cách tính của em.

11. Hậu: Thưa thầy, đầu tiên em sẽ tính đáy bé của hình thang.

12. GV: À rồi, đáy bé, Tính bằng cách nào Hậu

13. Hậu: Dạ, thưa thầy bằng tang là ½ nhân 6, em sẽ tính đáy lớn của hình thang

bằng tang ½ là nhân 10 và đáy bé bằng 3, đáy lớn bằng 5.

14. GV: Tại sao em biết tang là ½? GV nhắc lớp tập trung.

15. Hậu: Trên trục Oy ta có giao điểm là (1;0), giao điểm với Ox là (-2;0).

GV vẽ hình giải thích rõ cho HS cách tính của Hậu.

16. GV: Như vậy ta tính được đáy lớn, đáy bé, chiều cao là bao nhiêu?

17. Hậu: Đáy lớn bằng 6, đáy bé bằng 3, chiều cao bằng 4 ạ.

18. GV: Hoàn toán chính xác, ai phát biểu cách khác? Vinh phát biểu nào.

19. Vinh: Em sử dụng tam giác đồng dạng.

20. GV: Tốt. Tiếp tục

21. Vinh: Ta có 2/6 bằng 1/x với x là độ dài của đáy bé.

22. GV: Nhất trí.

23. Vinh: Ta sẽ suy ra được x bằng 3 và lập thêm một tỉ lệ nữa là 2/10 bằng 1/y với y

là độ dài đáy lớn ta được y bằng 5.

24. GV: Chiều cao tất nhiên ta tính được rồi.

25. Vinh: Và ta sẽ lấy diện tích của tam giác lớn trừ đi diện tích của tam giác nhỏ.

26. Thầy nhận xét cả hai cách đề tốt và quy mô là tương đương nhau, đều dùng

những kiến thức sơ cấp của cấp hai. Bây giờ nâng lên tầm một chút nào, tức là sử dụng

kiến thức cấp 3 bắt đầu từ lớp 10, dài ngắn không quan trọng. Cách của Vinh và Hậu

là tương đương nhau, sử dụng diện tích tam giác vuông thôi.

27. GV gợi ý: Phải sử dụng cách này ta mới dùng kiến thức tích phân được.

28. GV hối thúc HS nhanh chóng đưa ra câu trả lời.

Không có HS nào trả lời

29. GV hướng dẫn: Em lập phương trình đường thẳng, đường xiên đó các em, đường

xiên có phương trình là gì, đi qua điểm mấy, (-2;0), (0;1), nó đặc biệt quá rồi. Ai thấy,

Hữu Dương?

30. HS: −𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0

𝑥 + 1

𝑥 + 1. Làm cách nào viết được phương trình này. 31. GV: Không nên nói như thế. Đổi dấu cho đẹp, rút y ra 32. HS: 𝑦 = 1 2 33. GV: 𝑦 = 1 2

34. HS: Tính vecto chỉ phương rồi suy ra vecto pháp tuyến và viết được phương trình

đường thẳng.

35. GV: Thầy nhắc lại phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (-2;0), (0;1) là 𝑦 =

𝑥 + 1 . Như vậy để tính độ dài hai cạnh đáy ta chỉ cần thế mấy vô, đáy bé ta thế 4 vô,

hoành độ bằng 4 thì y bằng 3, được chưa, thế x bằng 8, 8 chia 2 cộng 1 bằng 5, như

vậy đáy lớn bằng 3, đáy nhỏ bằng 8, chiều cao lấy 8 trừ 4, được chưa. Cách này có vẻ

hơi dài một chút nhưng chút nữa ta tính tích phân mới được.

37. GV: Rồi, trắc nghiệm thử này, câu này là câu bình thường trong số 50 câu trong

vòng 90 phút, mỗi câu là 108 giây.

38. GV đếm lùi thời gian: còn 40 giây, 30 giây..9…8….1….hết giờ, Thùy Linh.

39. Linh: Em chọn đáp án B.

40. GV: Nghe cũng có lí. Linh có cảm xúc gì khi chọn đáp án đó? Hình vẽ thầy vẽ

rồi.

41. Linh: Em dùng nguyên hàm.

42. GV: Nguyên hàm đâu. Không đụng chạm gì đâu em ơi, Archimedes hơn hai ngàn

năm trước không nguyên hàm, không dùng gì hết, dùng nguyên tắc vét kiệt, thầy đăng

trên face đó, mà mình được học giới hạn.Linh cần cố gắng hơn nha, dạo này em hơi

chậm.

43. GV: Mời Doanh nào. Đúng sai thầy chưa nói, nói cảm xúc tại sao em chọn câu đó

là bốc thăm, hay tung cục gôm hay sao? Em chọn đáp án nào Doanh?

44. Doanh: Em chọn đáp án B.

45. GV: Đáp án B. Cũng vậy luôn. Tại sao chọn đáp án B? Có cảm xúc ở đây là gì hở

các em? Là cảm thấy, trực quan, là mình thích. Cảm xúc là mình thích chứ sao nữa.

46. Doanh cũng không giải thích được.

47. GV:. Bích Hương nào? Nhanh lên các em.

Bích Hương cũng chọn đáp án B nhưng cũng không đưa ra được lời giải thích.

48. GV: Đúng sai thầy chưa nói. Nghe thầy chia sẻ một chút nè các em: Không thể

½, vì cái phần nó tạo bởi hình vuông, các em hiểu không, cái ô bên phải hình vuông

diện tích là 1 thì phần gạch chéo không thể la một nửa nên vứt cái đó rồi, tiếp theo

không thể là 4/7 thì nửa còn lại là 3/7, 3/7 mà lớn hơn 4/7 hả, vậy chỉ còn hai đáp án

nghi ngờ là 1/3 và 2/5. Vậy bây giờ tại sao chọn, Linh có thể nói, dạ em có cảm xúc tự

nhiên như có thần linh mách bảo, nói thế thì thầy hoan nghênh. Còn phương án 5 ăn, 5

thua nữa các em. Đáp án đúng, tí nữa kiểm tra, nhiều đứa nói tại sao thế thì thầy không

biết. Sang bài số 3, đề nghị các em giải, đây là dùng kiến thức lớp 10, 11 là giải ra thôi.

49. Thầy giáo đọc lại đề bài toán số 3.

50. GV: Kiến thức vật lí theo thầy biết ở lớp 10 có đụng tới, nhớ nhé gia tốc tự do,

âm dương sao là phải biết rồi nè.

𝑔𝑡2, phương trình 51. Thầy giáo gọi 1 HS nói cách làm. 52. HS: Thưa thầy được phương trình quãng đường là 𝑠 = 𝑣0𝑡 − 1

vận tốc 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡. Em sẽ viết được phương trình vận tốc 𝑣 = 245 − 9,8𝑡, v là đạo

hàm của s

53. GV chỉnh lại: v là đạo hàm của s theo biến t nhé, v ra nhiêu, v lúc nãy em nói

đúng rồi.

𝑔𝑡2 đúng không, nhưng vì em lấy đạo 54. HS: 𝑣 = 245 − 9,8𝑡 55. GV: 9,8 ở đâu các em. Phương trình là − 1 2

𝑔𝑡2 nha các em, hoặc hàm thì mất 1 2 đó, ra 9,8 à, còn công thức của nó là có cộng trừ 1 2

𝑎𝑡2. Nhớ là biến đổi đều, chậm thì trừ, nhanh thì cộng. Nhiều đứa ngơ ngác, tui là 1 2

chịu đó, tui học cách đây năm 73, 74 đến giờ.

56. GV: Vậy tóm lại em tìm ra thời điểm mà viên đạn cao nhất là thời điểm mấy

giây?

57. HS: 𝑡 = 25.

58. GV: Vì sao 𝑡 = 25?

59. HS: Vì 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡 , khi đạt độ cao lớn nhất thì 𝑣 = 0.

60. GV giảng lại cho cả lớp và yêu cầu HS này thế số cụ thể trong trường hợp này.

Yêu cầu HS nghe chứ thầy không viết đáp án.

61. HS: khi đó 𝑣 = 0, 𝑣0 = 245.

62. GV ngắt lời, em cho thầy biết lúc nãy v bằng gì nào?

63. HS: 𝑣 = 245 − 9,8𝑡

64. GV: Các em ảnh hưởng vật lý quá, nhiều đại lượng quá. Dẹp cái 𝑣0 đi. Vậy 𝑣 =

245 − 9,8𝑡, khi đạt độ cao lớn nhất thì 𝑣 = 0, khi đó em tính t bằng cái gì, lấy cái gì

chia cho cái gì?

65. HS: Dạ, lấy 245 chia 9,8.

66. GV: Bấm máy ra được mấy?

67. HS: 25 ạ.

68. GV: Đúng rồi. Như vậy câu 1 xong. Câu 2 khi đạt độ cao lớn nhất viên đạn cách

mặt đất bao nhiêu? Quế Trâm đọc cho thầy nghe nào? Thế vào đâu

69. Quế Trâm: Thế vào phương trình s

70. GV: Ừ, thế vào phương trình chuyển động ban đầu. Các em ám ảnh vậy lý quá,

500 mét đầu tiên cộng mấy?

Quế Trâm im lặng.

71. GV: Thôi ngồi xuống đi, em khác nào. 72. HS: 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 500 + 245𝑡 + 5𝑡2. 73. GV: Thôi em ngồi xuống đi, trừ chứ sao lại cộng. Em khác nào.

74. HS: s max bằng 500 cộng 245t .

75. GV: t làm sao còn t, đã ra giây rồi còn gì. Đọc lại.

76. HS: Dạ, thưa thầy, là 500 cộng cho 245 nhân 25 trừ 9,8 chia 2 nhân 25 bình. (GV

nhắc các dấu cộng trừ trong khi HS đọc)

77. GV: Cũng được. 4,9 nhân 25 bình đi các em. Các em bấm máy ra mấy à.

78. HS: Thưa thầy 3592,5 ạ.

79. GV: OK, chính xác.

80. GV: Nhớ cộng vào địa điểm ban đầu nha, các em hay bị chết chỗ đó. Chút nữa ta

dùng kiến thức về tích phân để kiểm tra lại kết quả. Rồi việc thứ hai em giở SGK ra.

Theo sơ đồ trên bảng đã có, bài này thầy trình bày hai nội dung, nội dung thứ nhất là

hai bài toán liên quan đến khái niệm tích phân, và thứ hai là định nghĩa tích phân.

81. GV lưu ý: Trong SGKNC là có khó khăn, ở đây họ thay đoạn bằng một tập K thì

trong cuốn chuẩn kiến thức và kĩ năng chỉnh lý từ 2010 thì đưa về đoạn [𝑎; 𝑏] không

nói khoảng K chung chung nữa mà chỉ xét đoạn [𝑎; 𝑏], như vậy quy ước 𝑎 < 𝑏 ngay

từ đầu. Trong sách nâng cao người ta dùng a, b là hai số tùy ý thì không dùng nữa.

Chút nữa thầy sẽ định nghĩa ngắn gọn hơn không giống trong sách, các em đừng băn

khoăn nhé. Các em giở trang 146, đọc từ a) diện tích hình thang cong đến hết bài toán

1, không đọc chứng minh làm gì, chứng minh là nhiệm vụ của SGK, mai mốt lên đại

học làm, thầy không chứng minh. Tí nữa bài toán trắc nghiệm thầy sẽ giới thiệu. Đọc

sơ để biết họ nói cái gì. Đọc lướt qua rồi thầy nhắc lại các ý chính.

88. GV: Như vậy ở đây em phải nắm hai ý: Hình thang cong là gì, thứ hai là công

thức tính diện tích của nó. Nhớ chưa, xác định cho đúng hình và công thức tính diện

tích. Công thức tính diện tích thầy đã ghi trên bảng. Em nào băn khoăn phần chứng

minh thì hôm nào rỗi rãi mình nói thêm, thì cũng hay thôi nhưng không thiết thực. Vậy

để tính diện tích hình thang cong ta phải tính nguyên hàm của gì hả các emà của hàm

nha, việc là em phải tính nguyên hàm, sau 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) là hàm biểu diễn có đồ thị

đó em chỉ cần thế giá trị theo công thức, đúng không. Bây giờ các em đối chiếu nè. Em

giở tờ bài tập lúc nãy nào, bài toán 1, đoạn mình xét là đoạn nào?

96. GV:.... Rồi tiếp tục em kiểm tra câu bài số 2 bằng trắc nghiệm, lúc nãy em thầy

nói là thầy đang chốt ở hai phương án B và phương án D, mà trong lớp là 3 bốn người

chọn phương án B không à. Thế bây giờ thử lại nào, thử lại bằng cách nào em nào.

Thử lại bằng cách nào, bằng cách nào? Ai nào, mạnh dạn lên, sao hôm nay rụt rè quá,

à, Hương à, con nói đi, thử lại bằng cách nào?

97. Hương: Dạ, thưa thầy, ta lấy tích phân từ 1 đến 0 của hàm .

98. GV: Tích phân đã học đâu, từ 1 đến 0 lại ngược đời, mới học mục I à, mục II

chưa. Vội quá. Ngồi xuống. Thông. 99. Thông: Ta tính nguyên hàm của đường cong 𝑦 = 𝑥2 là 𝑥3

100. GV: Rồi, xét trên đoạn nào?

thế 1 101. Thông: Xét trên đoạn [0; 1]. 102. GV: [0; 1] ở đâu ra các em, người ta cho rồi đấy, hình vẽ. Rồi, thế vào đi, 𝑥3

vô là mấy, thế 0 vô là mấy

105. GV: Vậy là khớp rồi phải không. Khớp rồi đấy, từ nay về sau là vậy. Thầy nói

thêm này, Acsimest và những nhà toán học trước thời Newton tính bằng cách nào?

Nguyên tắc là vét kiệt bằng cách thế này này các em…Đường cong thế này, họ chia ra

lưới ô vuông hoặc chữ nhật nhe các em…(GV vừa nói vừa vẽ hình minh họa).

106. GV giải thích từ tích phân: Tích là tích hợp, tích trữ đấy các em. Phân ở đây

không phải là phân tro, phân ở đây là phân chia. Tích hợp nhiều phép phân chia mà ra

từ cái diện tích đó. Thì Acsimest đã chia nhỏ và cho ra dần tới vô cùng thì nó cho ra

kết quả đó các em, có vất vả không các em, thời đó có vất vả không.

107. GV: Rồi ta đi qua cái bài toán thứ hai, giở sách tiếp, trang 148, bài toán 2 rất

ngắn gọn, bài toán vật lý, lớp ta là giỏi lý ha, khẩn trương lên trước khi hết giờ.

115. GV: Rồi bây giờ ta qua phần thứ hai, thầy ghi định nghĩ tích phân để củng cố

1.Định nghĩa

(GV đọc cho HS ghi: Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] (không dùng chữ K như

trong sách nữa), 𝐹(𝑥) là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên đoạn đó.Tích phân của hàm 𝑓(𝑥)

trên đoạn [𝑎; 𝑏] là 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎): ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑏 𝑎

kiến thức và kết nối kiến thức.

116. GV: Khi viết như vậy, tất nhiên số a và số b số nào lớn hơn số nào hả các em?, ta

có trên đoạn [𝑎; 𝑏] thì b lớn hơn rồi còn gì, còn viết như trong sách thì a, b là hai điểm

trên K nên không biết cái nào lớn hơn, chuẩn kiến thức, chuẩn kĩ năng quy định không

viết như vậy. 𝑓(𝑥) là hàm liên tục tức là không bị gián đoạn, ngắt quãng chỗ nào hết,

𝑏

𝑏 = 𝐹(𝑥)|𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎

và để cho dễ thực hành thì ta bổ sung thêm cái kí hiệu này cho rõ

117. GV: Tiết sau ngày mai thầy sẽ cho bài tập đánh vào cái chỗ hàm nó gián đoạn.

118. GV: Như vậy để tính tích phân của hàm số thì tương tự như nguyên hàm là ta

phải tìm được gì. Ta phải tìm được nguyên hàm, rồi tiếp theo làm gì hả các em, thế cận

nhá, a, b gọi là cận.

𝑏 𝑎 = 𝑏 ⇒ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝑎

𝑏

𝑎 > 𝑏 ⇒ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

119. GV ghi bảng:

120. GV: Trước khi kết thúc, thầy hỏi câu hỏi kết nối cái. Vậy tích phân thực ra là cái

gì vậy ta? Mới đến đây thôi nha em, còn mai mốt hỏi câu đấy thì bằng thừa, thầy nói

tắt là tích phân từ a đến b của hàm số 𝑓(𝑥) là cái gì vậy các em?. Em quay lại xem hai

bài toán đó là cái gì này, hai bài toán 1, 2 trong sách đó chứ không phải của thầy, của

thầy là thực hành, là hoạt động nhỏ thôi.

Định nghĩa tích phân và tính chất (Tiết 2, ngày 6/1/2017)

130. GV: Như vậy các em thấy bóng dáng của tích phân là từ các bài toán, …, thầy

nhấn mạnh chỗ này trong bài diện tích hình thang cong là em phải nhớ rằng cái đường

𝑓(𝑥) nó phải liên tục và không âm, trong định nghĩa tích phân không có yêu cầu

không âm và liên tục là bắt buộc. Có chữ giải tích thì liên tục là bắt buộc, còn đại số

thì không cần. Bài toán thứ hai là chất điểm chuyển động thì các em thấy là toán thì

lâu lâu giải quyết bài toán thực tế và bài toán vật lý thì các em phải lưu ý lấy,... Thầy

nhắc lại, phương trình chuyển động vận tốc là 𝑣 = 𝑓(𝑡) thì họ cũng đưa ra một khoảng

mục rộng mà em thấy trong sách là khoảng (0; 𝑇), sau đó ta chỉ xét từ a đến b rồi sau

đó nhúng vô đó, em thấy không, như vậy quan điểm nhúng vào trên một tập K là rất là

mới và sau này để đơn giản thì người ta bỏ cái đó, cái chuẩn kiến thức mới đó các

em,... Tìm quãng đường đi được thì ta cũng dựa vào nguyên hàm trên đoạn [𝑎; 𝑏] và

được nhúng trong khoảng (0; 𝑇), tất cả đều được tính bằng 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). Vậy bây giờ

thầy hỏi các em diện tích có phải là tích phân không, rồi tích phân có phải là diện tích

không? Quãng đường đi được của một vật hay chất điểm nào đó có phải tích phân

không, rồi tích phân có phải là quãng đường không? Đó, bây giờ mấy kiến thức đó

đang nằm gần nhau nhưng mà rời rạc, bây giờ liên kết lại nào.

132. GV: Linh cho thầy biết tích phân có phải là diện tích không?

133. Linh: Thưa thầy, tích phân không phải là diện tích.

134. GV: Tích phân được định nghĩa là gì? Tích phân cũng định nghĩa là 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

đúng không? diện tích cũng là 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) chứ gì nữa, đúng không? Vậy hai cái đó

có phải là một không, em nói cho rõ…

144. GV quay trở lại với bài học: Trong đó hình này giới hạn bởi những đường nào,

Ý nghĩa cơ học: 𝐿 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑏 𝑎

các em phải ghi vào. Thứ hai là ý nghĩa cơ học

145. GV: Trong đó 𝑓(𝑡) là cái gì hả các em?

146. HS: 𝑓(𝑡) là phương trình của vận tốc

147. GV: Đúng rồi, vận tốc 𝑣 = 𝑓(𝑡).

P10

148. GV: Các em hết sức lưu ý chỗ này, khi người ta cho một bài toán vật lý, người ta

có thể cho về nhiệt lượng, công của nhiệt lượng và trong tính các tích phân đó, tất cả

đều có sin, cos cả. Rồi bây giờ ta quay trở lại bài toán 4 hôm qua. Tập trung cho thầy

các em nhé.

149. GV: Thầy nêu là quãng đường đi được theo vận tốc. Bây giờ lại là vận tốc theo

gia tốc. Các em làm như thế nào.

150. HS: Thưa thầy, em làm theo vật lý.

2𝑎

…. 157. HS: Thưa thầy 𝑠 = 𝑣2 , ta có công thức là 𝑣2 = 2𝑎𝑠 nên suy ra 𝑣 = √2𝑎𝑠

158. GV: Vậy kiến thức ở đâu ra, thực ra từ toán mà ra. Như xe của em từ đâu ra, từ

ba mẹ em mà ra. Không ai học giỏi lý mà lại không giỏi toán cả.

𝑎𝑡2, vận tốc ban đầu bằng 0 phải không, ta có 𝑎 = 0,1, 𝑠 = 159. GV: Rồi, bây giờ ta giải tuần tự một chút này, ta dùng phương trình chuyển động thì ta thấy rằng 𝑠 = 1 2

1𝑘𝑚 = 1000𝑚 thay vào công thức ta suy ra 𝑡 = 100√2 , vận tốc tại thời điểm 𝑡 =

100√2 bằng gì, 𝑣 = 0,1.100√2 = 10√2. Bây giờ có cách nào làm nhanh hơn sau khi

có ý nghĩa cơ học. Không ai làm dài như vậy hết.

Không có HS trả lời.

160. GV: Tất nhiên, các em cũng phải tính thời gian là 100√2 đó….

100√2 163. GV: Vận tốc là tích phân của gia tốc nên 𝑣 = ∫ 0

100√2. Rồi, cách tính này nhanh hơn.

, nguyên hàm là mấy? 0,1𝑑𝑡

0,1𝑡|0 164. GV: Hôm qua là bài toán tính diện tích, bạn Hậu và Vinh đã tìm cách tính diện

tích không cần dùng nguyên hàm. Từ đó thầy nhắc các em, đối với tích phân hàm số

bậc nhất, đôi khi ta không cần tìm nguyên hàm, ta tính nhẩm diện tích nhanh hơn,

…Bây giờ ta đi vào một số ví dụ.

1 VD1: 𝐼 = ∫ |𝑥 + 1|𝑑𝑥 −1

GV viết đề bài lên bảng:

165. GV: Trước hết, Hiếu lên vẽ cho thầy đồ thị hàm số.

166. Hiếu lên bảng trình bày:

𝑦 = |𝑥 + 1| = {

𝑥 + 1 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ −1 −𝑥 − 1 𝑛ế𝑢 𝑥 < −1

P11

167. GV quan sát các HS tự giải trong vở của mình.

168. GV giảng bài: Thực chất, bài toán này đứng trên hình học sơ cấp thì các em thấy

là tính tích phân đó thực chất là tính diện tích hình nào?

169. HS: Dựa vào tam giác nhỏ.

170. GV: Tam giác nào?

171. HS tỏ ý rụt rè.

172. GV: Ta cứ mạnh dạn. Tam giác nhỏ là tam giác ta chưa vẽ ra. Rồi ta kiểm tra.

173. GV: Như vậy em thấy là, trên đoạn [−1; 1] thì 𝑥 + 1 mang dấu gì các em?

174. HS: Không âm.

175. GV:(cười) Chính xác. Hôm qua nói sao thì hôm nay thầy cho ví dụ vậy. Không

âm thì bỏ trị tuyệt đối được không,…. Như vậy thì em thấy là muốn tính tích phân này

thì cái dấu trị tuyệt đối em phải bỏ đi... Thì em thấy rằng trên [−1; 1] thì 𝑥 + 1 không

âm, hôm qua thầy nói sao, giờ thầy cho vậy.

1 −1

và gọi 1 HS lên bảng làm bài. 176. GV viết 𝐼 = ∫ |𝑥 + 1|𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥

183. GV: Ta kiểm tra lại, tam giác này là tam giác gì?

P12

184. HS: Tam giác vuông cân.

185. GV: Vuông được rồi, còn cân thì kệ nó. Cạnh bằng mấy?

. 2.2 186. HS trả lời. 187. GV nhắc lại: Một cạnh bằng 2, cạnh kia cũng 2. Vậy diện tích bằng 1 2

188. GV: Câu chuyện này là có một mảng toán tính diện tích mà trắc nghiệm em có

thể gặp. Thì nó vẽ hình không ngay ngắn đâu, trắc nghiệm là nõ vẽ hình hoa thị nhìn

hoa mắt lên. Rồi, các em còn khoảng 10 phút, chúng ta làm vài câu trắc nghiệm.củng

cố kiến thức.

Câu 1. Hãy chọn một mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A.∫ 𝑑𝑥 = 1

1 −1

B. ∫ 𝑓1(𝑥). 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥.

𝑏 𝑎

𝑏 ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

C. 𝑓 liên tục, 𝑓(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] ⟹ ∫ 𝑓(𝑥) ≥ 0

𝑏 𝑎

⟹ 𝑓(𝑥) lẻ

D. ∫ 𝑓(𝑥) = 0

𝑎 −𝑎

𝑓(1) = 2

Câu 2. Tìm a, b để 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑥 + 𝑏 thỏa {

1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 4 0

GV vừa đọc vừa ghi lên bảng.

189. GV nhấn mạnh: Câu 1 chỉ có 1 đáp án đúng. Đồng hồ chạy rồi các em.

190. GV: Các em có thể loại đáp án nào?

191. HS: Đáp án A

192. GV giảng lại: À, như vậy thì các em có thể thấy đáp án A em kiểm tra rất nhanh,

sai chắc rồi. Đúng không? Đáp án A loại rồi. Ta chọn kiểm tra đáp án ngắn trước, đáp

án B và C rối quá. Đáp án D có đúng không? Hàm lẻ xác định từ -a đến a liên tục

dương, tức là mỗi số đều có số đối. Vậy đáp án D có đúng không?

193. HS: Dạ không.

194. GV: Rồi, ta còn loại thêm được đáp án nào nữa?

195. HS: Đáp án C.

196. GV: C vì sao?

HS giải thích không đúng.

P13

197. GV: Loại ngay đáp án B vì ta không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích

các nguyên hàm. Câu C đúng là vì 𝑓(𝑥) ≥ 0 thì nguyên hàm 𝐹(𝑥) ≥ 0 thì tích phân

lớn hơn hoặc bằng 0.

GV chuyển sang giải câu 2.

198. GV: Ai giơ tay nào? Dương.

𝑓(1) = 𝑎 sin 𝜋 + 𝑏 = 2 ⟹ 𝑏 = 2

−𝑎.cos 𝜋𝑥

= 4

1 + 2𝑥] |0

1 ∫ (𝑎 sin 𝜋𝑥 + 2)𝑑𝑥 = 4 ⟹ [ 0

𝜋

⟹

+ 2 − (−

) = 4 ⟹

= 2 ⟹ 𝑎 = 𝜋

𝑎 𝜋

2𝑎 𝜋

199. Dương nêu cách giải, GV ghi lời giải:

200. GV: Nếu bài này là một câu trắc nghiệm thì em thấy nó gai góc như thế nào. Họ

cho một cặp a, b thì sẽ có một cặp sai từ đầu. Ví dụ thay vì 𝑏 = 2 thì họ nói 𝑏 = 0 thì

các em loại trường hợp này thôi. Nghe kịp không?

Luyện tập phương pháp đổi biến loại 1 và tiếp cận loại 2 (Tiết 3, ngày 11/1/2017)

2. 𝐼 = ∫ √1 + 𝑥2𝑑𝑥

1 1. 𝐼 = ∫ √1 + 𝑥𝑑𝑥 0

1 0

𝑑𝑥

4. 𝐼 = ∫ sin2𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥

2 3. 𝐼 = ∫ 𝑥. 𝑒 𝑥2 1

𝜋 2 0

𝑥 sin 𝑥+(𝑥+1) cos 𝑥

201. GV gọi 1 HS ghi đề bài lên bảng.

𝜋 A2011. 𝐼 = ∫ 4 0

𝑥 sin 𝑥+cos 𝑥

𝑑𝑥

202. GV thông báo: Tiết học này ta học hơi khác thường một chút, lí do là luyện tập

chứ không gì cả. Các em chú ý là: thi trắc nghiệm thì thầy dạy không có gì khác và còn

phải dạy kĩ lưỡng hơn về kiến thức, rèn luyện chắc chắn hơn về kĩ năng thực hành,

còn, phương án trắc nghiệm thì ta có những thủ thuật như đã trao đổi nhiều lần, khi ôn

tập, kiểm tra và bình thường các em học là các em luyện tập. Cuối tiết này thầy dành

10 phút để làm hai câu bằng trắc nghiệm, một câu bình thường, một câu nâng cao, thì

các em phải rút ra được một số vấn đề gì đó xung quanh.

203. GV quay trở lại với các bài tập vừa cho: Các em tập trung phân tích này. Có

những bài rất quen thuộc, người ta chỉ đổi số một chút. Có những bài khá phức tạp,

như câu số 2, đương nhiên là vẫn làm ra được, rồi câu số 4 là có những cách khác nhau

và em thấy đề khối A năm 2011 nhìn vào rất là rối nhưng thực chất là chẳng có gì cả.

P14

Bây giờ là 9 giờ 10 phút, các em chuẩn bị trong 5 phút, 9 giờ 15 phút ta giải, ta giải 2

câu thôi, các câu còn lại thầy chỉ hướng dẫn, sau đó ta làm hai câu trắc nghiệm.

205. GV: Nào bây giờ chỉ nêu phương pháp 4 câu, còn đề khối A để phân tích sau. Bắt

đầu nào. Bích Vân em nói cho lớp nghe câu 1 làm như thế nào?

206. Bích Vân: Thưa thầy, em đặt 𝑡 = √1 + 𝑥

207. GV: Em đặt t là cái căn phải không? Em đặt 𝑡 = 1 + 𝑥 cũng được nhé, đặt vậy thì

nó có vẻ nhẹ nhàng hơn. Rồi Trâm nào, câu tiếp theo mình đặt sao? Tập trung các em

này, câu này mới hoàn toàn, rất phức tạp.

208. Trâm: Em đặt 𝑡 = cos 𝑥

209. GV: x chứ sao t được, 𝑥 = cos 𝑡 chứ, mà 𝑥 = cos 𝑡 thì 1 + 𝑥2 = 1 + cos2𝑡 không

giải quyết được cái gì Trâm nhé. Thôi không sao, câu này khó. Câu 3 thì làm sao?

210. Trâm: Thưa thầy, câu 3 thì đặt 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑣

211. GV: Phương pháp gì em?

212. HS: Dạ, từng phần.

213. GV: Từng phần chưa học, các em thừa nhận với thầy chưa? Em mà vận dụng tích

phân từng phần vào bài này thì thực sự là khó khăn và hầu như không làm được. Rồi

thì theo Trâm câu 4 làm sao?

214. Trâm: Câu 4, em đặt 𝑡 = sin 𝑥

215. GV: Ừ, cách đó đơn giản. Trâm ngồi xuống.

216. GV nhận xét: Trâm có suy nghĩ, câu 2 thì thầy không trách gì cả nhưng câu 3 thì

không được. Câu 3 làm sao? Nhân cho ý kiến.

219. GV: Lớp chậm hơn lớp kia rồi, lớp kia trả lời được. Bây giờ thầy gợi ý nhé: Trong tích phân này có 𝑒 𝑥2, nó khác ở chỗ đó, thì em xem 𝑒 𝑥2 là 𝑒𝑢, 𝑒𝑢 thì nó tạo ra

cái 𝑑𝑢, rồi xong rồi đó 𝑥𝑑𝑥 không phải là 𝑑𝑢 à, chậm nhá. Câu 2 làm sao? Vy ngồi

xuống. Thông, câu 2 làm sao Thông?

220. GV nhắc nhở: Tập trung này, ý nghĩa then chốt.

221. Thông: Em đặt 𝑥 = tan 𝑡.

222. GV: Rồi, em lên bảng làm bài đi. Nhanh em, hết giờ rồi. Không làm hết nhưng

mà làm gần tới. Tiết học này học chỗ này. Các em đặt 𝑥 = tan 𝑡, khi đó 1 + 𝑥2 = 1 +

P15

thì khai căn được, như của Trâm lúc nãy thì không khai căn được. Đổi tan2𝑡 = 1 cos2𝑡

cận ngay từ đầu nhé các em.

223. GV hướng dẫn Thông cách trình bày.

Một số em làm việc riêng và lấy MTBT ra tính.

224. GV nhắc nhở: Ở lớp mình học cái gì, mình học phương pháp thôi các em ạ, các

thao tác cần thiết. (Thầy nghiêm giọng) Chứ em cứ cúi xuống em làm việc riêng của

em thì có tác dụng gì nào, về nhà nghe không? Hân bỏ máy xuống, cứ bấm máy ra kết

quả là không được, tuần sau thì thầy cho đề kiểm tra là điểm 0 đấy.

𝜋 4

𝜋 4 ⟹ 𝐼 = ∫ √1 + tan2𝑡.

𝑑𝑡 = ∫ √

𝑑𝑡

1 cos2𝑡

1 cos3𝑡

𝑑𝑡 = ∫ 0

234. Thông trình bày bài giải

thì quy mô 235. GV cho Thông về chỗ và bắt đầu giảng tiếp: Như vậy ta mới giải được một bước của bài toán, ở đây xuất hiện bài toán mới,…. Một cái 1 cos 𝑥 và một cái 1 sin 𝑥

nó dễ hơn, bây giờ mũ 3 nè. Thầy phê bình một số em không nắm phương pháp kĩ là

sao vậy các em? Cứ có là đưa máy ra bấm. Có được mấy điểm đâu các em nhé. Không

có đâu các em ạ. Bộ Giáo dục là một cơ quan đầu não, không phải ra đề là để chúng ta

lấy máy tính, không biết gì về tích phân, không bao giờ cả. …

236. GV nhắc nhở tiếp: Phải nắm cho kĩ về kiến thức các em ạ. Nếu như học đàng

hoàng thì thầy sẽ dạy cho trên tầm một chút. Mình học phải trên tầm một chút nha các

em. (GV nhấn mạnh chữ “tầm”) Thì khó, thì mới đạt được chứ. Bao giờ cũng vậy thôi.

Rồi tập trung. 246. GV nhắc nhở ở câu 3: Nếu tiết sau thầy thay 𝑒 𝑥2 thành 𝑒 𝑥 thì là từng phần, học

phải đắn đo, phải trăn trở, chứ cứ ào ào thì nó trôi tuột. Nghe không. Nhớ nhé, nao kia

thầy cho 𝑒 𝑥 thì em lại nhớ mang máng là đổi biến số thì không được.

𝜋 2

𝐼 = ∫ sin2𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ sin2𝑥𝑑(sin 𝑥) = ∫ 𝑢2

𝑑𝑢 =

1 |

𝑢3 3

247. GV: Ta làm nhanh câu 4, thao tác trong trắc nghiệm phải nhanh.

262. GV ghi bảng nội dung câu trắc nghiệm

là

𝑑𝑥

2 Kết quả của tích phân 𝐼 = ∫ 0

3𝑥−1 𝑥2+6𝑥+9

A.3𝑙𝑛

B. 3𝑙𝑛

−

4 3

4 C. 3𝑙𝑛 3

4 D. 3𝑙𝑛 3

4 3

P16

263. GV: Các em khoan bấm máy. Cái phân tích ở đây là tích phân có tử và mẫu thì

các em có thể thực hiện được phép chia, nhưng nhớ rằng, mẫu ở đây rất đặc biệt, là

bình phương, có phải là (𝑥 + 3)2 không?

(3𝑥+9)−10

264. GV trình bày bài giải, kết hợp hỏi HS và giảng bài:

(𝑥+3)2 =

(𝑥+3)2 = 3

𝑥+3

(𝑥+3)2

= 3𝑥−1 − 10 265. 3𝑥−1 𝑥2+6𝑥+9

)| 266. ⟹ 𝐼 = (3𝑙𝑛|𝑥 + 3| + 10 𝑥+3 = 3𝑙𝑛5 + 2 − 3𝑙𝑛3 − 10 3 = 3𝑙𝑛 5 3 − 4 3

267. GV hướng dẫn HS sử dụng MTBT để giải: Về chế độ MODE 1, nhập tích phân

vào, bấm bằng, ra mấy rồi? rồi em gán vào biến A, Shift – Sto – A, xóa màn hình chứ

không phải ON, ON là chết đó. Rồi em lấy A trừ đi các kết quả. Nếu kết quả ra 0 thì

chọn đáp án đó.

268. GV: Câu thứ nhất em bấm bình thường em ra. Bây giờ câu thứ hai em bấm bình

thường thì em không ra.

𝑎

(trong đó a, b là số nguyên dương).

𝑑𝑥

có kết quả dạng 𝐼 = 𝑙𝑛

1 Cho 𝐼 = ∫ 0

4𝑥+11 𝑥2+5𝑥+6

𝑏

Hãy tính 𝑎 + 𝑏 và cho kết quả là

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

269. GV ghi tiếp lên bảng câu 2

270. GV: Thầy sẽ hướng dẫn các em, nhanh thôi. Phân tích bằng kiến thức bình

4𝑥 + 11 𝑥2 + 5𝑥 + 6

4𝑥 + 11 (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

4𝑥 + 8 + 3 (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

−

+ 3 (

) =

4 𝑥 + 3

1 𝑥 + 2

1 𝑥 + 3

3 𝑥 + 2

1 = 𝑙𝑛4 + 3𝑙𝑛3 − 𝑙𝑛3 − 3𝑙𝑛2 = 𝑙𝑛9 − 𝑙𝑛2 = 𝑙𝑛

Vậy 𝐼 = (𝑙𝑛|𝑥 + 3| + 3𝑙𝑛|𝑥 + 2|)|0

. 2

(GV vừa làm vừa hỏi HS)

thường.

271. GV yêu cầu HS sử dụng MTBT: Các em bấm y như lúc nãy cho thầy, tích

. phân…, bằng, khỏi gắn biến A. 272. GV: Ra chưa. Rồi em lấy 𝑒 𝐴𝑛𝑠 thì nó ra 9 2

P17

= 𝑒𝐼 và Ans là kết quả toàn bộ tích phân mình vừa tính. 273. GV: 𝑒 𝐴𝑛𝑠 thì nó ra đúng đúng không? Tại đâu ra kiến thức đó các em?... Vì đây này 𝐼 = 𝑙𝑛 𝑎 𝑏 thì có phải là 𝑎 𝑏

Thì rất nhiều thủ thuật nhưng cũng không nhiều lắm đâu các em. Tóm lại kiến thức, tri

thức và kĩ năng là phải kĩ.

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (Tiết 3, ngày 18/1/2017)

275. GV: Diện tích hình thang cong hôm trước thầy đã giới thiệu cho các em, bây giờ

các em nhắc lại nào. Lan Anh nhắc lại diện tích hình thang cong được tính như thế

nào?

Lan Anh phát biểu đúng nhưng nhỏ. GV gọi thêm 4 HS khác phát biểu nhưng cả 4 HS

này đều phát biểu không chính xác. Cuối cùng GV gọi Lan Anh nhắc lại lần nữa.

276. GV:….. Không phải học nhiều đâu các em, học ít nhưng mà để ý cho sâu sắc.

Hôm trước, thầy cho kết nối trong bài toán 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) với định nghĩa tích phân thì

ta biết: Hình thang cong giới hạn bởi đường cong (𝐶) có phương trình 𝑦 = 𝑓(𝑥) thỏa

mãn điều kiện liên tục là bắt buộc, không âm trên đoạn [𝑎; 𝑏], các đường thẳng đứng

𝑏 𝑎

𝑑𝑥, thì bây giờ mở rộng ra 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 và trục hoành thì diện tích của nó là ∫ 𝑓(𝑥)

thì đường cong đường cong (𝐶) có phương trình 𝑦 = 𝑓(𝑥) cũng chưa chắc khi nào nó

cũng nằm ở nửa trên trục hoành để cho nó không âm mà nó có thể nằm dưới thì 𝑓(𝑥)

tính sao, nếu đường cong nằm dưới trục hoành thì nó tạo ra cái gì các em?... Nó tạo ra

một hình phẳng chứ sao. Ví dụ đây (GV kết hợp giảng và vẽ hình).

277. GV: Rõ ràng là khi em lộn ngược nó lên phía trên, tức là phép đối xứng qua trục

Ox, là phép dời hình nhé thì diện tích của nửa trên và nửa dưới có bằng nhau không?

(GV kết hợp giảng và vẽ hình).

P18

278. HS: Có.

279. GV: Có. Hai hình bằng nhau là hai hình mà có một phép dời hình biến hình nọ

thành hình kia, các em học rồi. Thế thì muốn tính diện tích mà em để nguyên như thế

mà tính tích phân theo công thức mà bạn Lan Anh lúc nãy đọc dứt khoát nó ra kết quả

gì?

280. HS: Âm.

281. GV: Âm chứ sao. Bởi vì hàm âm nên cho ra tích phân âm. Rồi, thế thì dứt khoát

em phải lộn ngược lên thì làm động tác gì của đại số?

282. HS: Trị tuyệt đối.

283. GV: Lấy dấu trị tuyệt đối. Vì chỉ có một tiết thì thầy giới thiệu công thức thứ

nhất, các em học kĩ nhé.

Hình phẳng giới hạn bởi các đường (𝐶): 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên [𝑎; 𝑏], 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑂𝑥

𝑑𝑥

𝑏 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑎

284. GV bắt đầu ghi bảng

285. GV: Khác diện tích hôm trước em học không có dấu trị tuyệt đối vì có thêm giả

thiết gì rồi?..Không âm. Bây giờ không có thì nó phải vậy. Như vậy là để tính diện tích

thì em phải làm hai bước: thứ nhất là thiết lập được công thức, hiểu không? Thứ hai là

tính tích phân như trước đây. …

286. GV tiếp lời: Cái tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối thì thầy quan tâm từ lâu lắm

rồi và làm việc mới đây là ngày nào? Các em phải quan tâm xét dấu hàm số lượng

giác, hàm số bậc hai, bậc ba, bậc bốn. Các em nắm vững nguyên tắc phá dấu trị tuyệt

đối là làm được hết.

P19

Ví dụ:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (𝐶): 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥, 𝑥 = 2, 𝑥 = 4, 𝑂𝑥

287. GV ghi bảng ví dụ 1

288. GV nhắc nhở: Tập làm quen với tính toán nhé các em, chứ không phải cái gì cũng

vẽ ra, mất thời gian. Trong sách thì các em tham khảo thêm, trong sách đều vẽ hình.

Rồi, thiết lập công thức cho thầy nào. Phương.

4 2

𝑑𝑥 289. Phương: 𝑆 = ∫ |𝑥2 − 2𝑥|

311. GV: Bây giờ thầy đổi cái đề cũng cái hàm số đó, bây giờ thầy thay. (GV vừa nói

(𝐶): 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥, 𝑥 = 1, 𝑥 = 4, 𝑂𝑥

vừa ghi lên bảng)

4 1

𝑑𝑥 312. GV: Như vậy các em cũng lập được công thức 𝑆 = ∫ |𝑥2 − 2𝑥|

313. GV: Như bạn An nói, hàm số có hai nghiệm 0, 2 nên đoạn [1; 4] thì nó trải qua

hai quá trình, đúng không em?.....

317. GV: Khó khăn cho thầy là các em không rành, thậm chí còn không biết xét dấu.

Mà cái việc này thầy quan tâm lâu rồi. Đâu phải giờ này, đa thức bậc hai, bậc nhất thì

dễ rồi, lượng giác rồi tí nữa thầy cho hàm trùng phương vô nữa thì sao đây ta. Về

không học hành gì cả. Các em làm sao ấy. Ta sang ví dụ thứ hai. Phi nhắc lại công

thức diện tích hình tròn bán kính R.

318. Phi: 𝜋𝑅2

319. GV: Diện tích hình tròn bán kính R là 𝑆 = 𝜋𝑅2. Trước đây em biết, chỉ nghe

người ta nói và ghi nhận vậy thôi trong khoảng bao nhiêu năm nay rồi, phải không? Kể

cả khối tròn xoay em cũng dùng đến nó. Bây giờ ta sẽ chứng minh các công thức đó.

Trong sách họ chứng minh elip rồi, thầy đưa ra hình tròn. Có hai mục đích: một là giới

thiệu phương pháp, thứ hai là một cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số ít

gặp. Rồi, lâu lâu ta lấy cái compa vẽ hình vào trong tập.

GV đi vòng quanh lớp kiểm tra việc vẽ hình của HS.

320. GV bắt đầu giảng tiếp: Hình tròn bán kính R thì để đâu diện tích có thay đổi

không các em? Ví trí khác nhau thì diện tích có thay đổi không?

321. HS: Không.

P20

322. GV: Để cho nó dễ thì ta dời tâm về ngay gốc tọa

độ. Hiểu không?

2) Diện tích hình tròn bán kính R

(𝐶′): 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2

323. GV tiến hành viết bảng và vẽ hình.

324. GV giảng bài: Ta có thể thấy rằng hai trục tọa độ

chia đường tròn làm 4 phần, ta chỉ cần tính một phần,

sau đó các em nhân mấy lên?

325. HS: 4 ạ.

𝑅 𝑆 = 4 ∫ √𝑅2 − 𝑥2

𝑑𝑥

326. GV ghi tiếp

Đồng thời ghi chú thêm phần đề bài (𝐶′): 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 ⟺ 𝑦 = ±√𝑅2 − 𝑥2

327. GV: Hiếu giải thích cho lớp nghe tại sao y lại bằng cộng trừ?

328. Hiếu: Dạ thưa thầy, là vì nó có thể âm, có thể dương.

329. GV: Đường tròn, các em có thể thấy nhìn rất đơn giản rằng nó chia làm hai nửa

phải không? Nửa trên nó dương, nửa dưới nó âm thì lấy hai bộ phần thế thôi. Thầy xét

từ 0 đến R, thầy lấy phần gạch chéo ấy, thì mang dấu gì rồi?

330. HS: Dấu dương.

331. GV: bài toán này em gặp ở đâu rồi. Quen quen chứ không phải giống y chang.

Gặp đâu rồi. Tích phân nào?

HS chưa trả lời được.

332. GV: Mới học, chưa xa lắm, tuần trước thôi. Tích phân dạng gì, Trung nói nghe

nào?

333. Trung: Tích phân đổi biến số.

334. GV: Cụ thể bài toán nào?

335. Trung: √1 + 𝑥2

336. GV: Thầy giải bằng cách nào?

337. Trung: 𝑥 = tan 𝑡

P21

338. GV: Các em quên rồi. Hôm trước là bài √1 − 𝑥 và √1 − 𝑥2. Rồi hôm sau là

√1 + 𝑥 và √1 + 𝑥2, lớp lang, hệ thống như vậy chứ, có ý đồ hết đấy các em, chứ

không phải là muốn làm gì thì làm, không phải đâu. Hiểu không? …Các em phải để ý.

Một số bạn thầy sẽ phê bình…..

𝜋

342. GV nhận xét bài làm, lưu ý HS cần rút gọn hệ số khi ra nguyên hàm để tránh mất

2. Khi thi trắc nghiệm kết hợp kiến thức và 0

sin 2𝑡)| thời gian: 𝑆 = ⋯ = 2𝑅2 (𝑡 − 1 2

trình bày kiến thức, em phải lập chương trình để bấm máy. Lí do có những câu khó

khủng khiếp để hạn chế điểm 10 thì sao giờ? Điểm 10 nhiều quá thì sao mà phân loại

được? ….

3) (𝐶): 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥2 − 3, 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑥 = 2

345. …Rồi ví dụ thứ 3.

346. GV: Thầy quyết liệt không vẽ hình, như trong sách thì họ vẽ hết đó các em, giới

thiệu với các em thì các em thêm nhé. Thầy không lấy ví dụ nào trong sách, em về

tham khảo thêm thì mình được hai lần học, chịu khó một chút. Rồi Vinh cho thầy ý

kiến nào, trước hết em cho biết dữ liệu bài toán đã dùng được ngay công thức chưa?

P22

BIÊN BẢN QUAN SÁT LỚP HỌC CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

Trường: THPT Nam Kì Khởi Nghĩa, TP. Hồ Chí Minh

Lớp: 12A13. Sĩ số: 47.

GV: Thầy D.

Định nghĩa và tính chất (Tiết 4, ngày 16/1/2017)

384. GV chuyển sang dạy bài mới: Hôm nay ta sẽ học bài mới nhé các em, một trong

những ứng dụng của nguyên hàm.

TÍCH PHÂN

I. Khái niệm tích phân

1. Diện tích hình thang cong

385. GV bắt đầu ghi bảng

386. GV giảng tiếp: Trước giờ các em thấy hình học và đại số nó chẳng liên hệ gì với

nhau đúng không?

387. HS: Đúng.

388. GV: Hôm nay ta sẽ thấy nó liên quan một xíu.

GV kết hợp giảng và vẽ hình.

389. GV: Đây là hình thang, diện tích hình thang biết rồi

phải không? Công thức là gì?

394. GV: Như vậy công thức tính diện tích hình thang có rồi. Công

thức của nó là đáy lớn cộng đáy bé, nhân với chiều cao, rồi chia

đôi.

395. GV tiếp lời: Ta sửa lại đường này không phải đường thẳng

nữa mà là đường cong.

396. GV: Hình này người ta gọi là hình thang cong nha. Nó có hai

đáy song song và có đường này là đường cong. Thì diện tích hình này tính sao?

397. GV tiếp lời: Đương nhiên ta không xài được công thức vừa nãy đúng chưa.

Người ta làm như sau: Đầu tiên là người ta gắn hệ trục tọa độ vô.

398. GV: Thực ra đường cong là đồ thị của hàm f(x). Ý tưởng cơ bản của việc tính

diện tích này là người ta chia nhỏ cái miền này ra

P23

399. GV chỉ vào phần bị chia nhỏ: Thì cái miếng này

gần giống với hình thang bình thường. Vì cái miếng

này đường cong là rất nhỏ, gần với đường thẳng. Thì

người ta tính cái diện tích này ra. Mấy cái miếng

khác cũng tương tự. rồi người ta cộng tất cả các

miếng này lại với nhau. Cuối cùng người ta chứng

minh được cách tính như sau: Cho 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥), người ta chứng

ming được diện tích hình thang cong này được tính là bằng 𝑆 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). Công

thức này nó khá là bất ngờ phải không? Tại vì, đang tính diện tích mà nó lòi ra cái

nguyên hàm ở đây. Công thức này người ta gọi nó

là công thức Newton-Leibniz. Và người ta gọi kí

hiệu này là tích phân nha. Tích phân của hàm 𝑓(𝑥)

trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Vì sao vậy, cái này ta sẽ nói sau.

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏].

Gọi 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥).

Khi đó diện tích hình thang cong như hình vẽ bên

được tính như sau

S = F(b) − F(a)

Các em ghi:

400. Sau thời gian đợi HS ghi bài, GV giảng tiếp: Người ta lấy hiệu số 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

gọi là tích phân của hàm 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Phần định nghĩa trong vở thầy đã cho

ghi rồi, các em đọc cho thầy coi.

402. GV giải thích: Ghi như thế này có nghĩa là, đầu tiên ta lấy nguyên hàm của f(x)

𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

trước. Bước hai ta mới lấy số a và số b thế vô. Rồi các em ghi vô: Như vậy ta có

𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

= 𝐹(𝑥)|𝑎

403. GV: Rồi, thầy nhắc lại một số khái niệm này. Dấu ∫ là dấu nguyên hàm, họ

𝑏 𝑎

người ta đọc là tích nguyên hàm. Thêm số a, b vô là dấu tích phân. Cái này ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

phân từ a đến b của hàm 𝑓(𝑥) hoặc đọc là tích phân của hàm 𝑓(𝑥) trên đoạn [a; b]. Số

P24

a và số b người ta gọi là cận, a được gọi là cận dưới, còn b được gọi là cận trên. Hàm

𝑓(𝑥) gọi là hàm số dưới dấu tích phân, biểu thức 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 gọi là biểu thức dưới dấu

tích phân, chính là vi phân của 𝐹(𝑥).

404. GV giải thích thêm: Từ tích phân có nghĩa là tổng của các vi phân, tổng vô hạn

của các vi phân, tức là cộng các phần nhỏ lại với nhau, tức là mỗi cái hình thang nhỏ

bên này đó là một cái vi phân. Vi tức là nhỏ đó nha.

Chú ý:

+ Vi phân của 𝐹(𝑥): 𝑑𝐹(𝑥) = 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

= 0

+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎 𝑎

+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

𝑏 𝑎

+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑏 𝑎

405. GV nêu và ghi lên bảng chú ý.

406. GV: Công thức cuối cùng có nghĩa là biểu thức tích phân không phụ thuộc vào x,

biến nào cũng được, biến x cũng được, biến t cũng được, miễn là hàm giống nhau, cận

2 1

2 và ∫ 𝑡2𝑑𝑡 1

thì hai cái này là giống nhau thì tích phân ra giống nhau. Ví dụ ∫ 𝑥2𝑑𝑥

như nhau, cận giống nhau, hàm giống nhau, người ta để biến thế nào cũng được, biến

x, biến t hay biến u nó đều như nhau.

Ví dụ: Tính tích phân sau

𝑑𝑥

a) ∫ (2𝑥 + 1)

2 −1

407. GV ghi ví dụ trên bảng

408. GV hướng dẫn: Ta làm như định nghĩa nhé. Bước đầu tiên ta đi tìm nguyên hàm

của f(x) trước.

+ 3𝑥 − 3) 𝑑𝑥 =

(2√𝑥 +

4 b) ∫ ( 1

1 √𝑥

𝑥2 − 3𝑥)| 1

= (4 + 24 − 12) − (2 +

− 3)

31 2

410. GV gọi Hồng Liên lên bảng làm tiếp câu b.

GV tranh thủ kiểm tra vở của các HS làm bài tập nguyên hàm nộp đầu giờ. Nhắc nhở

hai HS cho rằng nguyên hàm của tích bằng tích hai nguyên hàm.

P25

2 c) ∫ 1

2x+1

d) ∫ 𝑒−2𝑥+1𝑑𝑥

1 0

e) ∫ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥

𝜋 3 0

411. GV nhận xét câu b và gọi HS làm câu c, câu d và câu e.

2. Tính chất

∫ [f(x) ± g(x)] a

dx = ∫ f(x) a

dx ± ∫ g(x) a

dx = k ∫ f(x)

∫ kf(x) a

415. GV ghi tiếp tính chất của tích phân lên bảng.

416. GV: Các em thấy là các tính chất của tích phân nó giống tính chất của gì? Tuyết.

417. Tuyết: Dạ, nó giống tính chất của nguyên hàm.

418. GV: Vậy, nó giống tính chất của nguyên hàm nha…. Do đó ta có tích phân của

𝑏 𝑎

𝑏 𝑑𝑥 và ∫ 𝑓(𝑥) 𝑎

𝑏 𝑑𝑥. ∫ 𝑔(𝑥) 𝑎

𝑑𝑥, hai tích hai hàm số và tích hai tích phân: ∫ 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)

cái này bằng nhau hay khác nhau? Tiên, bằng hay khác?

419. GV gợi ý: Nguyên hàm có tính chất này không?

420. HS: Dạ, không.

𝑏 421. GV: ∫ 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 𝑎

𝑏 𝑑𝑥 ≠ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑎

𝑏 𝑑𝑥. ∫ 𝑔(𝑥) 𝑎

𝑑𝑥...

b a

c a

b dx + ∫ f(x)dx . c

422. GV giới thiệu tiếp các tính chất: ∫ f(x)dx = ∫ f(x)

423. GV giải thích: Cái này là công thức chèn cận. Ở đây ta đang có cận a, cận b, ta

chèn cận c vào, ở đây điểm c thuộc giữa khoảng (a; b). Cái này thì ý tưởng chứng

minh nó cũng xuất phát từ diện tích thôi. Diện tích của mình tính từ a đến b đúng

không? Ta chèn c vào giữa thì cái miếng này chia làm hai phần là diện tích từ a đến

cộng cho diện tích từ c đến b.

b a

424. GV nêu tính chất cuối: ∫ |f(x)|dx ≥ 0

b a

| 425. GV yêu cầu HS bổ sung thêm công thức: ∫ |f(x)|dx ≥ |∫ f(x)dx

(dấu “=” xảy ra khi f(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b])

P26

𝑏 𝑎

luôn luôn lớn hơn hoặc bằng. Dấu “=” 426. GV nhắc lại: Về cơ bản thì ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

xảy ra khi 𝑓(𝑥) không đổi dấu.

427. GV viết ví dụ a lên bảng và lưu ý: Các em có thể làm giống hồi nãy. Ngoài ra các

em có thể áp dụng công thức tích phân của tổng bằng tổng các tích phân tách riêng ra

Ví dụ: a) ∫ (3𝑥 + √𝑥)𝑑𝑥

3 1

3 = ∫ 3𝑥𝑑𝑥 1

3 + ∫ √𝑥𝑑𝑥 1

từng cái tính cho dễ dàng hơn. GV thực hành trình bày ví dụ a.

428. GV nhắc nhở HS khi tính toán kết quả: Các em bấm máy thì bấm các số lại với

nhau còn cái căn để nguyên. Được chưa? Cách làm thế này nó có vẻ hơi dài hơn đúng

không? Nhưng bù lại mình tính toán từng phần nhỏ thì nó dễ dàng hơn, nó không có

sai. Bên kia mình tính toán thành một cục rồi trừ hai cục với nhau nó dễ sai hơn là tính

từng phần này nha. Các em sửa vô. Những bài sau thì các em làm một trong hai cách:

Tính nguyên hàm một lượt rồi thế số vô cũng được hoặc tách thành từng tích phân rồi

tính cũng được.

GV gọi Sơn lên bảng làm câu b kèm hướng dẫn

3 b) ∫ 1

3 𝑑𝑥 = ∫ 1

3 𝑑𝑥 + ∫ 1

𝑥2+4𝑥+1 𝑥3

𝑥

4 𝑥2

1 𝑥3

𝟑

+ 4 (−

+ (−

) 𝐥𝐧|𝐱||

3 = ln|x|| 1

1 x

𝟏 𝐱

)| 1

𝟏

𝑑𝑥

là do phân tích

𝒙

1 𝑥3 =

𝑥

𝑥2 phải không?

𝟑 ) 𝒍𝒏|𝒙|| 𝟏

430. GV nhận xét: Bạn làm (−

Luyện tập đổi biến số loại 1 và học đổi biến số loại 2 (Tiết 9+10, ngày 9/2/2017)

Ví dụ (trang 52)

𝑑𝑥

𝑙𝑛2 n) ∫ 0

𝑙𝑛3 o) ∫ 0

𝑒 p) ∫ 1

𝑒2 q) ∫ 𝑒

𝑒𝑥 1+2𝑒𝑥 𝑑𝑥

𝑒2𝑥 𝑒𝑥+1

𝑙𝑛5𝑥 𝑥

𝑙𝑛𝑥+3 𝑥𝑙𝑛3𝑥

GV ghi đề bài lên bảng

434. GV nhắc lại kĩ thuật làm bài n): Đối với dạng bài mũ ta có hai cách làm. Một

cách là các em đặt t bằng mẫu, còn cách thứ hai các em đặt 𝑡 = 𝑒 𝑥. Hai cách này em

làm cách nào cũng được.

438. Cả hai HS đều chọn cách đặt t là biểu thức dưới mẫu. Tuy nhiên HS làm câu o)

mất khá nhiều thời gian mới hoàn thiện được và cần sự nhắc bài của HS dưới lớp và sự

P27

5 ∫ 3

𝑡

𝑡−1

, bài trợ giúp của GV trong tính toán. (Bài thứ nhất đổi biến trở thành 1 2 𝑑𝑡 = 1 2 𝑙𝑛 5 3

4 thứ hai ∫ 2

𝑡

5 ∫ 3

5 ∫ 𝑙𝑛|𝑡| 3

) 𝑑𝑡 = 2 + 𝑙𝑛 1 2

𝑡

439. HS1 không thuộc công thức, viết thành 1 2 𝑑𝑡 = 1 2

440. HS2 đổi biến mà không thay cận mới vào công thức tích phân theo biến mới. Gặp

khó khăn khi đổi từ hàm số cũ sang hàm số biến t, GV phải trợ giúp. Đến đây lại lúng

túng trong việc biến đổi. GV lại phải hướng dẫn chia lần lượt tử cho mẫu.

441. GV nhắc giá trị ln thường lẻ nên không bấm máy.

442. GV phê bình: Giờ này còn rất nhiều em công thức lơ mơ. Không có nhớ một cái

gì cả…

448. GV nhắc nhở: Thông thường, đáp án trắc nghiệm người ta thường rút gọn thành

𝑙𝑛|3|. 𝑙𝑛 5 3 hoặc có thể người ta để đáp án dạng 1 2 (𝑙𝑛5 − 𝑙𝑛3) hoặc 1 2 𝑙𝑛|5| − 1 2

455. GV: thông thường các bài này các em có thể bấm máy được. Thực ra cái đề trắc

nghiệm, nếu người ta thường không cho câu có thể bấm máy ra kết quả, nếu có cho thì

cho rất ít. Người ta cho cái kiểu khác, các em không thể bấm máy được. Ví dụ: với bài

𝑡+3

toán ở câu q), người ta hỏi rằng nếu đặt 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥 thì tích phân được viết lại như thế

𝑡2 𝑑𝑡, ∫

3𝑡

𝑑𝑡…Tức là người ta cho dưới dạng biểu thức thôi, mà hỏi em cái nào? ∫

nào đúng. Hiểu không? Tức là người ta sẽ không cho hẳn một con số, mà người ta cho

biểu thức, tức là cho cái t, đổi cận xong, ta có các đáp án này (chỉ vào ví dụ), chọn xem

đáp án nào đúng. Được chưa? Thành ra là các em không thể phụ thuộc hoàn toàn vào

bấm máy được. Máy chỉ bấm được một vài bài nào đó thôi.

456. GV tiếp lời: Một cái dạng nữa mà các em không bấm máy được. Ví dụ bài r) em

4 0

2 0

(GV ghi đề bài lên bảng) sửa lại đề là r’) Cho ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 5. Tính 𝐼 = ∫ 𝑓(2𝑥)𝑑𝑥

457. GV: Bài này chắc chắn em không thể dùng máy tính được. Bài này ta sẽ tìm cách

2 biến đổi để ∫ 𝑓(2𝑥)𝑑𝑥 0

4 0

= 5 thôi. Bằng cách các em đặt t. gần giống ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Đặt 𝑡 = 2𝑥

⟹ 𝑑𝑡 = 2𝑑𝑥

GV vừa giảng vừa tiến hành ghi bảng.

⟹

𝑑𝑡 = 𝑑𝑥

1 2

Đổi cận: 𝑥 = 2 ⟹ 𝑡 = 4

𝑥 = 0 ⟹ 𝑡 = 0

𝑑𝑡

1 2

4 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑡). 0

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 0

P28

458. GV: Các em lưu ý là tích phân không phụ thuộc vào biến. Bữa trước thầy có nói

𝑏 𝑎

𝑏 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑎

𝑑𝑡. Các em phải hiểu là, hàm số một tính chất như thế này: ∫ 𝑓(𝑥)

giống nhau, cận giống nhau thì tích phân giống nhau.

4 0

= 5. Vậy kết quả tích phân I 459. GV: Được chưa? Do đó là ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

. bằng bao nhiêu? 460. HS: 5 2

461. GV: Bài này các em phải hiểu được tính chất, các cách đặt t, đổi cận mới làm

được. Rồi, các em sửa vô.

𝑏 𝑎

𝑑𝑥 = 462. GV: Em nào không nhớ thì ghi thêm công thức này nha: ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏 ∫ 𝑓(𝑡) 𝑎

𝑑𝑡. Thầy nhắc lại này, tích phân không phụ thuộc vào biến.

463. HS sửa bài.

𝑥

) 𝑑𝑥

= 10. Tính 𝐼 = ∫ 𝑓 (

9 s’) Cho ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

3 0

= 7. Tính 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑠𝑖𝑛 2𝑥). 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥

1 f’) Cho ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

𝜋 4 0

= 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛

𝑙𝑛4 u’) Cho ∫ 0

5 . Tính a.b. 2

𝑒2𝑥 1+𝑒𝑥 𝑑𝑥 là đúng rồi nhưng người ta cho là 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛 5 471. Câu u’), GV lưu ý: Đáp án 3 + 𝑙𝑛 2 2 5

464. GV: Các em làm thêm ví dụ nha

−1 )

hoặc từ bằng cách 3 + 𝑙𝑛 2 nên ta phải đổi sang 3 − 𝑙𝑛 5 5 2 = 3 + 𝑙𝑛 (5 2

4 − 𝑙𝑛|5| − 1 + 𝑙𝑛|2| = 3 − (𝑙𝑛5 − 𝑙𝑛2) = 3 − 𝑙𝑛 5 2 = 3 − 𝑙𝑛 5 2 . Vậy kết quả là 3 − 𝑙𝑛 5 ứng với 2

đề bài nên suy ra 𝑎 = 3, 𝑏 = −1 ⟹ 𝑎. 𝑏 = −3. Đây là dạng bài các em không thể

bấm máy được. Bắt buộc phải tính tay.

472. GV ghi đề mục bài học tiếp theo lên bảng.

I. Phương pháp đổi biến số loại 2

𝑑𝑥

Dạng 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏 𝑎

𝑑𝑥

√2 Ví dụ: a) ∫ 0

1 𝑥2+2

P29

473. GV yêu cầu HS chú ý lên bảng và thông báo học qua đổi biến số dạng 2.

√2 474. GV: Nếu ta có tích phân ∫ 0

𝑥+2

, cái này có làm được không? 𝑑𝑥

475. HS: Được.

√2

476. GV: Ta ra gì?

√2

477. HS: 𝑙𝑛|𝑥 + 2||

. Tính bình thường. Nếu có cái bình phương vô thì sao 478. GV: Ừ, 𝑙𝑛|𝑥 + 2||

√2 ∫ 0

1 𝑥2+2

? 𝑑𝑥

479. GV: Bình phương vô thì không xài ln được nữa. Nếu ta đặt t bằng mẫu (𝑡 = 𝑥2 +

2) thì suy ra dt bằng gì? 2𝑥𝑑𝑥. Ở đây có 𝑥𝑑𝑥, đề bài có x không?

480. HS: Không.

481. GV: Vậy ta thêm x vào tử, đương nhiên đã thêm vào tử thì phải thêm vào mẫu

√2 (∫ 0

𝑥 𝑥(𝑥2+2)

𝑑𝑥 𝑑𝑡 còn x ở dưới mẫu bằng gì? ), thì ta được gì? 𝑡 = 𝑥2 + 2, 𝑥𝑑𝑥 = 1 2

HS xì xào.

482. GV: Cái x này phải biến đổi chuyển qua là √𝑡 − 2 thì ta thu được tích phân còn

phức tạp hơn tích phân ban đầu. Như vậy đối với bài này phương pháp đổi biến số loại

1 rất phức tạp, có thể không giải được. Ta phải dùng đổi biến số loại 2. Phương pháp

này như sau…

484. GV: Tích phân thu được mới nhìn có vẻ phức tạp nhưng ta có thể tính nguyên

Cách đặt 𝑢(𝑡)

𝜋

;

]

∫

√𝑎2−𝑥2 𝑑𝑥; ∫ √𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥: Đặt 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑡, 𝑡 ∈ [−

𝜋

;

)

∫

𝑎2+𝑥2 𝑑𝑥; ∫

√𝑎2+𝑥2 𝑑𝑥; ∫ √𝑎2 + 𝑥2 𝑑𝑥: Đặt 𝑥 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑡, 𝑡 ∈ (−

hàm được. Hàm 𝑢(𝑡) đặt như thế nào, ta có một số cách đặt cơ bản sau:

P30

485. GV lưu ý: Nếu các tích phân trên có chứa thêm 𝑥2𝑘 thì ta vẫn dùng phương pháp

2, nếu chứa thêm 𝑥2𝑘+1 thì ta dùng phương pháp đổi biến dạng 1.

] thì chút nữa thầy nói sau… 486. GV: Tại sao 𝑡 ∈ (− 𝜋 2 ; 𝜋 2 ) hay 𝑡 ∈ [− 𝜋 2 ; 𝜋 2

495. GV: Về nguyên tắc ta làm dạng đổi biến số loại 1 trước, không được ta mới dùng

đổi biến số loại 2. Còn cách đặt biến nữa là BTVN cho các em.

Ứng dụng của tích phân (Tiết 4, ngày 20/2/2017)

497. GV giảng bài: Các em còn nhớ cái phần diện tích hình thang cong bài đầu tích

phân thầy giới thiệu không?

498. GV tiến hành vẽ hình lên bảng. Viết bảng và giải thích các kí hiệu trên hình vẽ.

500. GV: Đây là công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đường: đồ thị

(𝐶): 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục Ox và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏). Các em viết vô.

Ở dưới các em có rồi thì vẽ hình vào.

a. Tính diện tích.

(𝐶): 𝑦 = 𝑥2 + 1, trục Ox và hai đường thẳng 𝑥 = 1, 𝑥 = 2.

501. GV viết bảng.

(𝐶): 𝑦 = 𝑥2 + 1 { Trục Ox 𝑥 = 1, 𝑥 = 2

503. GV hướng dẫn: Đầu tiên các em ghi ra cái sơ đồ sau

2 1

511. GV: Phá trị tuyệt đối ta sẽ có: 𝑆 = ∫ |𝑥2 + 1|𝑑𝑥 = ∫ (𝑥2 + 1)𝑑𝑥

(𝐶): 𝑦 = 𝑥2 − 4, trục Ox và hai đường thẳng 𝑥 = 0, 𝑥 = 3.

513. GV thông báo làm sang bài b.

530. GV: Các em chú ý lên bảng nè. Hình vẽ của bài này như sau:

P31

533. GV gạch chéo phần cần tính diện tích. Chỉ rõ 2 phần diện tích.

536. GV giải thích chú ý: Đôi khi một cái đề trắc nghiệm người ta sẽ cho cái hình

trước, rồi yêu cầu viết công thức tính diện tích ra. Rồi người ta cho diện tích, hỏi hình

nào đúng. Và có thể hỏi một số bài toán liên quan nữa. Thì ta có một cái nhận xét

nhanh như thế này: Nếu đồ thị nằm phía trên trục Ox (𝑓(𝑥) > 0, 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)) thì 𝑆 =

𝑏 ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎

𝑏 𝑎

. = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3 0

) cũng bấm máy được, 537. GV: Các em cũng lưu ý là cái tích phân này (∫ |𝑥2 − 4|𝑑𝑥

có điều nó hơi lâu.

538. GV chỉ chi tiết các bước bấm máy.

544. GV giảng và ghi bảng và vẽ hình hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.

VD: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

(𝐶): 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 1, 𝑑: 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3

546. GV: Rồi, ví dụ, câu a

Chú ý:

+ Phương trình Ox: 𝑦 = 0, trục Oy: 𝑥 = 0

564. GV: Rồi, ta có một số ý bổ sung sau

565. GV: Các em chú ý vì phương trình Ox: 𝑦 = 0 nên ở trường hợp tính diện tích thứ

nhất, giới hạn bởi 𝑦 = 𝑓(𝑥) và trục Ox, nếu ta áp dụng công thức thứ hai thì 𝑆 =

𝑏 ∫ |𝑓(𝑥) − 0|𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏 ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎

. Tức là trường hợp thứ nhất là

trường hợp đặc biệt của trường hợp thứ hai mà thôi.

566. GV: Trục Oy: 𝑥 = 0 tức là ta có một cận 𝑥 = 0.

567. GV giảng và ghi tiếp chú ý kèm hình vẽ.

+ Nếu đề không cho đủ hai cận → Ta tìm cận bằng cách giải phương trình hoành độ

giao điểm: 𝑓1(𝑥) = 𝑓2(𝑥).

P32

568. GV: Các em chú ý giải cái này ra ta sẽ có cận. Thậm chí giải ra được 2 cận thì ta

có thêm hai cận nữa. Các em bổ sung hình vẽ vô vở.

569. GV: Lưu ý là các em về nhà làm bài phải xét dấu nha, chứ không được bấm máy.

Vì đề thi sẽ cho những bài các em không bấm máy được.

Ứng dụng của tích phân (Tiết 4+5, ngày 25/2/2017)

Tiết 1:

= ∫ |ℎ(𝑥)|𝑑𝑥

Cách phá dấu giá trị tuyệt đối trong công thức 𝑆 = ∫ |𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)|𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Có 3 cách phá dấu giá trị tuyệt đối.

Cách 1: Xét dấu biểu thức chia miền tích phân. (Cái này ta

hay làm)

Cách 2: Nếu phương trình 𝑓1(𝑥) = 𝑓2(𝑥) vô nghiệm trên

khoảng (𝑎; 𝑏) thì 𝑆 = |∫ (𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥))𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Cách 3: Nếu đồ thị (C) nằm phía trên (C’) trên (𝑎; 𝑏)

(𝑓1(𝑥) > 𝑓2(𝑥) ) thì 𝑆 = ∫ [𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥) ]𝑑𝑥

𝑏 𝑎

572. GV: Ta còn chú ý thứ 3 về cách phá dấu giá trị tuyệt đối.

578. GV: Các em phải nhớ cách đồ thị đó nha vì đôi khi trắc nghiệm người ta sẽ cho

các em hình sẵn rồi yêu cầu tính diện tích cái hình đó.

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

(𝐶): 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 + 2, (𝑃): 𝑦 = 𝑥2 + 2, 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑦, 𝑥 = 1

579. GV ghi đề bài lên bảng

580. GV: Đầu tiên các em cũng phải viết cái sơ đồ ra, hình phẳng giới hạn bởi những

{

(𝐶): 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 + 2 (𝑃): 𝑦 = 𝑥2 + 2 𝑥 = 0, 𝑥 = 1

đường nào phải ghi rõ ra.

1 0

581. GV: Ta có 𝑆 = ∫ |𝑥3 + 2𝑥2 + 2 − 𝑥2 − 2|𝑑𝑥 = ∫ |𝑥3 + 𝑥2|𝑑𝑥

1 0

𝑑𝑥. 582. GV: Đến đây ta có hai cách làm. Cách 1 ta xét dấu: 𝑆 = ∫ (𝑥3 + 𝑥2)

583. (GV nhắc nhở HS cách lập bảng xét dấu)

P33

Nhận xét: 𝑥3 + 𝑥2 = 0 ⟺ [ 𝑥=0∉(0;1) 𝑥=−1∉(0;1)

→ Phương trình vô nghiệm trên (0; 1).

| =

1 )|

𝑑𝑥| = |(

| = |

𝑥4 4

𝑥3 3

7 12

1 ⟹ 𝑆 = |∫ (𝑥3 + 𝑥2) 0

584. GV: Cách 2 là ta không xét dấu. Đầu tiên ta coi biểu thức có nghiệm hay không.

(GV kết hợp giảng và hỏi HS)

585. GV: Cách nào các em thấy dễ hơn?

586. HS: Cách 2.

587. GV: Cách 2 hả. Cách 2 thì nó đỡ phiền phức vì không phải xét dấu, tuy nhiên có

một cái phiền là để dấu trị tuyệt đối bên ngoài….

Tiết 2:

600. GV sửa sai sót trong bài làm của HS, nhắc nhở HS phải rút gọn kết quả, bấm máy

xem kết quả âm hay dương để có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 2. (𝑆) {

(𝐶): 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥 + 1 𝑑: 𝑦 = 𝑥 + 1 𝑥 = −1, 𝑥 = 1

601. GV yêu cầu HS làm tiếp ví dụ 2. Sau 2 phút GV mới gọi 1 HS lên sửa bài.

602. GV vừa giảng vừa ghi bảng (vẽ hình trước khi nêu

III. Thể tích khối tròn xoay

Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi các đường

{

(𝐶): 𝑦 = 𝑓(𝑥) Trục Ox: y = 0 2 đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏)

Quay (𝑆) xung quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay

có thể tích là: 𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥

𝑏 𝑎

và 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) vô nghiệm trên

∗ (𝑆) {

(𝐶): 𝑦 = 𝑓(𝑥) (𝐶′): 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏

(𝑎; 𝑏)

− (𝑔(𝑥))

] 𝑑𝑥

𝑏 𝑉 = 𝜋 |∫ [(𝑓(𝑥)) 𝑎

công thức).

P34

603. GV hướng dẫn cách thiết lập công thức tính thể tích thứ hai.

Ví dụ: a) (𝑆) {

(𝐶): 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥 Trục Ox: y = 0 𝑥 = 1, 𝑥 = 2

607. GV ghi ví dụ a lên bảng

610. GV viết đề bài câu b và c lên bảng (có điều chỉnh so với bản in trong vở để bài

−1

b) (𝐶): 𝑦 =

, 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑥, 𝑥 = 2, 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑦.

c) {

𝑥+2 (𝐶): 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 (𝑃): 𝑦 = −𝑥2

629. GV lưu ý: Các bài như thế này em có thể bấm máy được nha, nhưng trong thi có

toán trở nên đơn giản hơn)

thể có một số bài em không bấm máy được. Ví dụ người ta cho cái hình này

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏. Diện

tích được tính bằng công thức nào?

e) 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑥0 𝑎

𝑏 𝑥0

𝑏 f) 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

g) 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑥0 𝑎

𝑏 𝑥0

h) 𝑆 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑥0 𝑎

𝑏 𝑥0

630. GV: Cái đề người ta sẽ cho một cái hình như thế này:

631. GV: Đáp án nào đúng.

632. HS bàn tán xôn xao các đáp án đúng.

633. GV: Đáp án nào các em?

634. Một số HS: Câu a.

P35

635. GV: Đầu tiên các em phải thuộc công thức trước, cái dạng trước. Diện tích bằng

𝑏 gì? 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

. Vậy câu b đúng không?

636. HS: Không.

637. GV: Phải có gì nữa?

638. HS: Trị tuyệt đối.

639. GV: Do đó câu b không có trị tuyệt đối nên sai. Ta cần phá trị tuyệt đối, hai miền

này ngăn cách bởi 𝑥0 nên ta sẽ tách nó ra. Là từ a đến đâu?

640. HS: Đến 𝑥0.

𝑥0 𝑎

𝑏 𝑥0

. Vậy là câu nào? 641. GV: Rồi cộng cho từ 𝑥0 đến b: 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 + ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

642. HS: Câu a.

𝑥0 𝑎

𝑏 𝑥0

ở chỗ nào? 643. GV: Câu a sai. Tại vì câu a khác 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 + ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

644. HS: Trị tuyệt đối.

645. GV: Đúng rồi, phá trị tuyệt đối ta được cái nào? Từ a đến 𝑥0 nó mang dấu gì?

646. HS: Âm.

647. GV: Từ 𝑥0 đến b nó mang dấu gì?

648. HS: Dương.

649. GV: Vậy câu nào đúng?

650. HS: Câu d.

P36

PHIẾU KHẢO SÁT GV

Quý thầy (cô) kính mến, năm học 2016 - 2017 có sự thay đổi lớn khi lần đầu tiên môn

Toán thi THPT quốc gia bằng hình thức trắc nghiệm. GV dạy Toán lớp 12 là những

người đầu tiên chịu tác động của sự thay đổi này và buộc phải có những điều chỉnh

phù hợp trong công tác giảng dạy. Đó cũng chính là nội dung nghiên cứu trong luận

văn của tôi. Giới hạn trong đề tài của mình, tôi chỉ nghiên cứu sự tác động của việc

thay đổi hình thức thi môn Toán đối với việc giảng dạy khái niệm tích phân. Phiếu

khảo sát này có mục đích thu thập dữ liệu thực tế phục vụ cho nghiên cứu đó. Xin chân

thành cám ơn quý thầy (cô) đã dành thời gian quý báu của mình để thực hiện phiếu

khảo sát.

Phần 1. Thông tin cá nhân (Quý thầy (cô) vui lòng cho biết một số thông tin cá

nhân).

Đơn vị công tác:................................................................................................................

Số năm công tác: ..................................... Số năm dạy 12:...............................................

Năm học 2016 – 2017, thầy (cô) dạy chương trình nào?(Chuẩn, Nâng cao): ..................

Mục đích sử dụng kết quả thi môn Toán của các HS (HS) mà thầy (cô) dạy là gì?

 Chỉ xét tốt nghiệp.

 Xét tổ hợp môn vào các trường cao đẳng và các trường đại học có điểm đầu vào

thấp.

 Xét tổ hợp môn vào các trường đại học tốp đầu.

Phần 2. Nội dung câu hỏi khảo sát.

1. Trong năm học 2016 – 2017, việc thi môn Toán đổi từ tự luận sang trắc nghiệm

khiến thầy cô phải thay đổi như thế nào khi giảng dạy khái niệm tích phân? (Thầy (cô)

đánh dấu X vào những ô thầy (cô) cho là phù hợp).

 Lướt qua lí thuyết, tập trung rèn luyện kĩ năng giải toán trắc nghiệm bằng máy tính

 Không thay đổi gì.

 Dạy lí thuyết đầy đủ và kĩ hơn, rèn luyện song song kĩ năng giải toán tự luận và giải

cầm tay (MTBT).

toán trắc nghiệm bằng MTBT.

 Dạy lí thuyết đầy đủ và kĩ hơn, ưu tiên rèn luyện kĩ năng giải toán tự luận, chỉ giải

P37

 Khác: ............................................................................................................................

toán trắc nghiệm và cung cấp thủ thuật MTBT khi ôn tập và gần ngày thi.

2. Theo thầy (cô) có thể giải 3 câu trắc nghiệm sau bằng những cách nào? Cách nào

bằng cách đặt 𝑢 = 𝑥2 − 1, mệnh đề nào dưới đây

được thầy (cô) ưu tiên hướng dẫn HS?

Câu 1. Tính tích phân 𝐼 = ∫ 2𝑥√𝑥2 − 1𝑑𝑥

2 1

đúng?

D. 𝐼 =

3 A.𝐼 = 2 ∫ √𝑢𝑑𝑢 0

2 B. 𝐼 = ∫ √𝑢𝑑𝑢 1

3 C. 𝐼 = ∫ √𝑢𝑑𝑢 0

2 ∫ √𝑢𝑑𝑢 1

....................................................................................................................................................

1+𝑒

= 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛

với 𝑎, 𝑏 là các số hữu tỉ. Tính 𝑆 = 𝑎3 + 𝑏3.

1 Câu 2. Cho ∫ 0

𝑑𝑥 𝑒𝑥+1

A. S  2.

B. S  2.

C. S  0.

D. S  1.

....................................................................................................................................................

Câu 3. Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên ℝ và thoả mãn 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥) = √2 + 2 cos 2𝑥 , ∀𝑥 ∈

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3𝜋 2 ℝ. Tính ∫ 3𝜋 − 2

B. I 0.

C. I 2.

D. I 6.

A. I 6.

....................................................................................................................................................

P38

3. Liên quan đến khái niệm tích phân, theo thầy cô dạng câu hỏi nào trước đây có thể

đặt ra trong đề thi tự luận nhưng bây giờ không thể (không nên) đặt ra trong đề thi trắc

nghiệm? Lý do vì sao?

.........................................................................................................................................

4. Thầy cô vui lòng cho 3 ví dụ về các dạng câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến khái

niệm tích phân? Mục tiêu của từng câu hỏi theo thầy cô là gì?

.........................................................................................................................................

P39

5. Việc thay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm làm cho việc dạy học và

đánh giá HS của thầy cô liên quan đến khái niệm tích phân gặp phải những khó khăn

gì?

.........................................................................................................................................

6. Liên quan đến khái niệm tích phân, theo thầy (cô) hình thức thi trắc nghiệm có

những ưu và nhược điểm nào đối với việc đánh giá HS?

.........................................................................................................................................

7. Trong thực tế dạy học và ôn tập cho HS, các thầy (cô) có cho HS làm dạng toán vận

dụng tích phân giải các bài toán thực tiễn không? Vì sao? (Nếu có thì các bài toán đó

dựa trên ứng dụng (ý nghĩa) nào của tích phân?)

.........................................................................................................................................