Luận văn Thạc sĩ: Tiêu chuẩn mới cho hệ đan rối ba Mode

Chia sẻ: Dương Đăng Mạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

129
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khoa học thông tin lượng tử là một ngành phát triển rất nhanh chóng trong nhiều ngành của cơ học lượng tử và lý thuyết thông tin với những ứng dụng nổi bật như phân bổ lượng tử và khóa lượng tử. Mời các bạn tham khảo bài nghiên cứu luận văn về: "Tiêu chuẩn mới cho hệ đan rối ba Mode" của Lê Thanh Tuân, để rõ hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ: Tiêu chuẩn mới cho hệ đan rối ba Mode

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C HU TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M ----- LÊ THANH TU N TIÊU CHU N M I V ĐAN R I CHO H BA MODE Chuyên ngành: V t lý lý thuy t và V t lý toán Mã s : 60 44 01 LU N VĂN TH C SĨ V T LÝ NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C TS. TRƯƠNG MINH Đ C Hu , năm 2010 i
L I CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên c u c a riêng tôi, các s li u và k t qu nghiên c u nêu trong lu n văn là trung th c và chưa t ng đư c công b trong b t kỳ m t công trình nghiên c u nào khác. Hu , tháng 10 năm 2010 Tác gi lu n văn Lê Thanh Tu n ii
L I C M ƠN Lu n văn đư c hoàn thành ngoài s n l c c a b n thân, tôi còn nh n đư c nhi u s giúp đ , đ ng viên c a th y cô, gia đình và bè b n. Trư c h t, tôi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n th y giáo - TS. Trương Minh Đ c đã giúp đ tôi r t nhi u v m t tài li u và dành cho tôi s hư ng d n t n tình trong su t th i gian tôi tìm hi u, nghiên c u và th c hi n đ tài. Tôi xin chân thành c m ơn quý th y giáo, cô giáo Khoa V t lý Trư ng ĐHSP Hu - nh ng ngư i đã tr c ti p gi ng d y; xin c m ơn các th y cô Phòng Đào t o Sau Đ i h c đã giúp đ tôi v nhi u m t trong nh ng năm tháng h c t p v a qua t i trư ng. Xin g i l i c m ơn đ n Lãnh đ o S N i v , S GD-ĐT, Ban giám hi u, các th y cô trong T V t lý và các đ ng nghi p Trư ng THPT B n Quan - T nh Qu ng Tr đã cho tôi có cơ h i đư c h c t p và t o đi u ki n thu n l i v th i gian đ tôi hoàn thành khóa h c. Trong quá trình h c t p, tôi luôn nh n đư c s đ ng viên, khích l và s giúp đ nhi t tình c a các anh ch , các b n h c viên Cao h c K16 - K17 c a Trư ng ĐHSP Hu . Tôi xin chân thành c m ơn. Cu i cùng, xin g i l i tri ân thành kính nh t đ n gia đình, b m , các anh ch và nh ng ngư i b n thân nh t c a tôi; xin g i t ng thành qu hôm nay cho t t c nh ng ngư i mà tôi yêu quý nh t. Hu , tháng 10 năm 2010 Tác gi lu n văn Lê Thanh Tu n iii
M CL C Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i L i cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii L i c m ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 M Đ U 3 Chương 1- M T S V NĐ T NG QUAN 8 1.1. Ma tr n m t đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Tr ng thái thu n và tr ng thái h n h p . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. Tr ng thái thu n (pure state) . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Tr ng thái h n h p (mixed state) . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Tiêu chu n chia tách đư c c a các tr ng thái h n h p . . . . . . 13 1.3.1. Nguyên lý v tính không th chia tách c a tr ng thái h nh p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Tiêu chu n chia tách đư c c a ma tr n m t đ [18] . . . 14 1.4. Phương sai c a phép đo đ i lư ng v t lý . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Chuy n v t ng ph n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6. M t s tr ng thái phi c đi n ba mode . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.1. Tr ng thái |GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1
1.6.2. Tr ng thái chân không b nén ba mode trong không gian Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.3. Tr ng thái k t h p b ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2- TIÊU CHU N M I V ĐAN R I CHO H BA MODE 20 2.1. Tiêu chu n đan r i cho h hai mode c a Agarwal G. S. và Asoka Biswas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Tiêu chu n đan r i m i cho h ba mode . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 3- NGHIÊN C U TÍNH CH T R I C A M T S TR NG THÁI PHI C ĐI N 30 3.1. Tr ng thái |GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2. Tr ng thái chân không b nén ba mode trong không gian Fock . 35 3.3. Tr ng thái k t h p b ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 K T LU N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 TÀI LI U THAM KH O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 PH L C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1 2
M Đ U 1. L ch s v n đ Khoa h c thông tin lư ng t là m t ngành phát tri n r t nhanh chóng trong nhi u ngành c a cơ h c lư ng t và lý thuy t thông tin v i nh ng ng d ng n i b t như phân b lư ng t và khóa lư ng t . Hi n nay, nó đóng vai trò quan tr ng trong s các ngành h c c a v t lý và công ngh thông tin. Trong su t hai th p niên cu i c a th k XX, vi c nghiên c u các v n đ cơ b n c a cơ lư ng t và v t lý tính toán là n ng c t trong vi c tìm ki m các gi i pháp cho các v n đ tr ng tâm trong khoa h c thông tin lư ng t , cung c p các cơ s nh n th c cho s phát tri n c a các tiêu chu n lư ng t và các thu t tính toán. R i hay tính không chia tách đư c lư ng t là m t ph n quan tr ng trong lý thuy t thông tin lư ng t , đó là ngu n có giá tr , là chìa khóa cho s phát tri n nhanh chóng c a ti n trình x lý thông tin lư ng t [14]. Ý ni m v r i xu t hi n đ u tiên vào năm 1935 trong tài li u c a Einstein, Podolsky, Rosen (EPR), trong đó các tr ng thái b r i là các tr ng thái hai h t lư ng t có liên quan đ c bi t v i t a đ và xung lư ng. Sau đó, cũng trong năm 1935, Erwin Schrodinger đã đưa ra khái ni m r i và ông g i r i là đi m n i b t đ c trưng c a cơ h c lư ng t [13]. Vào lúc đó, r i là đi u ng c nhiên nh t c a hình th c lu n lư ng t . Đ n nay, r i đang là m t đ tài thu hút đư c các nhà khoa h c t p trung nghiên c u c lý thuy t cũng như th c nghi m. Các tr ng thái b r i có m t đ c đi m r t kỳ l , m t khi hai đ i tư ng nào đó đã trong tr ng thái này thì chúng mãi mãi vương v n nhau, nh hư ng qua l i nhau, cho dù sau đó chúng tách ra xa bao nhiêu và n u m t đ i tư ng ch u m t tác đ ng nào đó thì ngay l p t c đ i tư ng kia s b nh hư ng theo. 3
Đi u này d n đ n m t ngh ch lý kì bí và r i r m v logic. Th m chí ngay c Einstein cũng không th nào hình dung n i và ông g i đó là "tác đ ng ma quái phi không gian". S t n t i c a các tr ng thái r i ngày nay đã đư c th c nghi m kh ng đ nh. Vi c tìm ra các tr ng thái r i là v n đ c n quan tâm, vì các tr ng thái này là ngu n có giá tr đ i v i tính toán lư ng t và thông tin lư ng t . Mu n phát hi n m t tr ng thái có b r i hay không ph i d a vào nh ng tiêu chu n c th . Hi n nay ngư i ta xác minh r i ch d a vào m t s tính ch t th ng kê đ c trưng. M t tính ch t th ng kê đã bi t c a r i là s vi ph m b t đ ng th c Bell. Tuy nhiên, nh ng yêu c u đ i v i s vi ph m b t đ ng th c này còn là m t đi u ki n y u đ i v i vi c ki m tra m t tr ng thái có b r i hay không. Năm 1996, Peres đưa ra tiêu chu n chia tách đư c đ i v i ma tr n m t đ [18]. Tiêu chu n này m nh hơn so v i vi c s d ng b t đ ng th c Bell cho vi c phát hi n tính không chia tách đư c lư ng t . Sau đó năm 1997, Pawel Horodecki đưa ra tiêu chu n chia tách đư c và các tr ng thái không chia tách đư c v i chuy n v t ng ph n dương [11], nhưng tiêu chu n này cũng đúng cho trư ng h p h 3 × 3, 2 × 4. Năm 2001, Kraus, Lewenstein, Cirac nghiên c u các tính ch t chia tách đư c c a các tr ng thái Gaussian 3 mode [8]. Năm 2002, HongyiFan, Guichuan Yu đã ch ng minh đư c tr ng thái chân không b nén ba mode trong không gian Fock cũng là m t tr ng thái b r i [7]. Năm 2006, Mark Hillery và Suhail Zubairy đã đưa ra m t l p các b t đ ng th c cho vi c phát hi n r i trong các h hai mode [9], [10]. Cũng trong năm 2006, Nha và Kim đã đưa ra tiêu chu n v r i thông qua các h th c b t đ nh trong đ i s SU (2) và SU (1, 1), qua đó phát hi n các tr ng thái r i phi Gaussian [17]. Năm 2005, Agarwal G.S. và Asoka Biswas d a vào phép chuy n v t ng ph n đã đưa ra các tiêu chu n dò tìm đan r i trong các h hai mode [3]. 4
Vi t Nam, v n đ v r i cũng đư c các nhà khoa h c đ c bi t quan tâm, hi n nay có m t nhóm c a GS. Nguy n Bá Ân và các c ng s đang nghiên c u v v n đ này. Các nghiên c u v tr ng thái b r i và các tiêu chu n đ phát hi n r i v n đang đư c ti p t c ti n hành và thu hút s chú ý c a các nhà v t lý vì nh ng ng d ng c a nó trong khoa h c thông tin lư ng t hi n nay. 2. Lý do ch n đ tài Như đã trình bày, các tr ng thái b r i là ngu n có giá tr đ i v i tính toán lư ng t và thông tin lư ng t . Tuy nhiên, gi i h n gi a các tr ng thái b r i và các tr ng thái chia tách đư c v n chưa th c s rõ ràng, các đ c trưng c a tr ng thái b r i v n chưa đư c tìm ra m t cách đ y đ và chính xác. Có th nói nh ng tiêu chu n c a Horodecki và Peres đã làm ti n đ cho vi c tìm ki m các tiêu chu n phát hi n r i trong các h sau này, trong đó có tiêu chu n đan r i cho h hai mode c a Agarwal G. S. và Asoka Biswas. Hai ông xây d ng h th c b t đ nh t vi c đ nh nghĩa các toán t , sau đó s d ng phép chuy n v t ng ph n đ đưa v các b t đ ng th c m i làm tiêu chu n đ dò tìm đan r i trong các h hai mode. V nguyên t c, các đ i lư ng có m t trong b t đ ng th c và đ b t đ nh c a chúng là có th đo lư ng đư c, do đó các đi u ki n mà hai ông đưa ra có th đư c s d ng đ phát hi n r i trong phòng thí nghi m. đây các đi u ki n đư c bi u di n trong các s h ng c a bi n liên t c d n đ n m t h các đi u ki n khác cho vi c phát hi n r i. V n đ v r i lư ng t đang là m t v n đ thú v và thu hút đư c s chú ý hi n nay b i còn nhi u đi u chưa đư c khám phá và nh ng ng d ng c c kỳ to l n c a nó. Đư c s hư ng d n c a TS. Trương Minh Đ c, tôi đã tìm hi u nh ng v n đ liên quan v r i và th y đây là m t đ tài th c s h p d n. 5
Trên cơ s nh ng tài li u đã tìm hi u, tôi ch n đ tài "TIÊU CHU N M I V ĐAN R I CHO H BA MODE", v i mong mu n tìm ra nh ng tiêu chu n m i đ phát hi n r i trong các h ba mode và áp d ng nh ng tiêu chu n đó nghiên c u tính ch t r i c a m t s tr ng thái phi c đi n. 3. M c tiêu nghiên c u Trong lu n văn này, chúng tôi s t p trung nghiên c u tiêu chu n m i v đan r i cho h ba mode, sau đó áp d ng tiêu chu n m i tìm đư c đ nghiên c u tính ch t r i c a m t s tr ng thái ba mode phi c đi n như tr ng thái |GHZ , tr ng thái chân không b nén ba mode, tr ng thái k t h p b ba. 4. Nhi m v nghiên c u T nhũng m c tiêu c n đ t đư c c a lu n văn thì nhi m v nghiên c u c th như sau: Trình bày nh ng v n đ chung liên quan đ n r i lư ng t . Gi i thi u v tiêu chu n đan r i cho h hai mode c a Agarwal G. S. và Asoka Biswas. Đưa ra đư c tiêu chu n đan r i m i cho h ba mode. Áp d ng các tiêu chu n tìm đư c đ dò tìm đan r i đ i v i m t s tr ng thái phi c đi n. 5. Ph m vi nghiên c u Trong lu n văn này, chúng tôi t p trung nghiên c u và đưa ra tiêu chu n m i v đan r i cho h ba mode, trên cơ s đó áp d ng đ nghiên c u tính ch t đan r i c a m t s tr ng thái phi c đi n. 6
6. Phương pháp nghiên c u Đ nghiên c u đ tài này, chúng tôi s d ng phương pháp nghiên c u lý thuy t, c th s d ng ki n th c các môn h c như cơ lư ng t , lý thuy t trư ng lư ng t , v t lý th ng kê... đ xây d ng các b t đ ng th c và tính các tr trung bình. Đ th c hi n tính toán, đ tài s d ng ph n m m tính toán và v đ th Mathematica. 7. B c c lu n văn Sau ph n m đ u, lu n văn đư c ti p t c b ng Chương 1. Chương này trình bày m t s v n đ t ng quan như ma tr n m t đ , tr ng thái thu n và tr ng thái h n h p, tiêu chu n chia tách đư c c a tr ng thái h n h p, chuy n v t ng ph n, m t s tr ng thái phi c đi n. Trong Chương 2 trình bày v tiêu chu n đan r i trong các h hai mode c a Agarwal G. S. và Asoka Biswas, quá trình xây d ng và đưa ra tiêu chu n đan r i m i trong các h ba mode. Trong Chương 3 chúng tôi s s d ng tiêu chu n tìm đư c đ nghiên c u tính ch t r i trong m t s tr ng thái phi c đi n. Ph n K t lu n tóm t t các k t qu chính c a lu n văn, đ xu t hư ng nghiên c u ti p theo... Cu i cùng là ph n Tài li u tham kh o và Ph l c. Các k t qu chính c a Lu n văn đư c th hi n trong bài báo đã đư c nh n đăng trong t p chí Khoa h c và Giáo d c c a trư ng Đ i h c Sư ph m - Đ i h c Hu . 7
Chương 1 M TS V NĐ T NG QUAN 1.1. Ma tr n m t đ Đ i v i m t h v t lý đã cho, t n t i m t vectơ tr ng thái Ψ ch a các thông tin có th có v h . Mu n bi t đư c các thông tin v đ i lư ng đ ng l c A, ta ph i tính toán giá tr trung bình c a toán t A tương ng trong tr ng thái c a h như sau: A = Ψ|A|Ψ . (1.1) Tuy nhiên trong nhi u trư ng h p ta không th bi t đư c tr ng thái Ψ mà ch bi t đư c xác su t PΨ đ h tr ng thái Ψ. Trong trư ng h p đó, ta không ch c n tính trung bình lư ng t mà còn tính trung bình theo t p h p th ng kê. Thay vì phương trình (1.1), bây gi ta có A = pi Ψi |A|Ψi , (1.2) i v i pi = 1. i N u ta đ nh nghĩa toán t ma tr n m t đ như sau: ρ= |Ψ PΨ Ψ| = PΨ |Ψ Ψ| , (1.3) ψ ψ thì giá tr trung bình trong (1.2) có th đư c bi u di n b ng ma tr n m t đ như sau: A = T r(ρA). 8
1.2. Tr ng thái thu n và tr ng thái h n h p 1.2.1. Tr ng thái thu n (pure state) N u m t h lư ng t là cô l p hay h trong trư ng ngoài mà tương tác gi a h v i trư ng ngoài đã bi t chính xác thì tr ng thái c a h lư ng t đư c g i là tr ng thái pure, còn g i là tr ng thái thu n, tr ng thái s ch ho c tr ng thái tinh khi t. Trong lu n văn này, chúng tôi s d ng c m t "tr ng thái thu n" đ đ c trưng cho tr ng thái c a h lư ng t này. Lúc đó giá tr trung bình c a m t đ i lư ng đư c tính theo công th c (1.1). Trong trư ng h p này, t t c PΨ = 0 ngo i tr tr ng thái Ψ0 , do đó ma tr n m t đ có d ng ρ = |Ψ0 Ψ0 |. (1.4) Đ i v i tr ng thái này, ma tr n m t đ có nh ng tính ch t sau: Tính ch t 1 A = T r(ρA), (1.5) v i T rX = l|X|l . l Ch ng Minh (1.5): T r(ρA) = l|ρA|l = l|Ψ Ψ|A|l = Ψ|A|l l|Ψ l l l = Ψ|A|Ψ = A , trong đó |l là m t h hoàn toàn tr c chu n b t kỳ nên |l l| = 1. 9
Tính ch t 2 T r(ρ) = 1. (1.6) Ch ng minh (1.6): T r(ρ) = T r(ρ.1) = l|ρ.1|l = l|Ψ Ψ|1|l = Ψ|1|l l|Ψ l l l = Ψ|Ψ = 1. Tính ch t 3 ρ2 = ρ, T r(ρ2 ) = 1. (1.7) Ch ng minh (1.7): ρ2 = |Ψ0 Ψ0 ||Ψ0 Ψ0 | = |Ψ0 Ψ0 | = ρ, do đó T r(ρ2 ) = T r(ρ) = 1. Tính ch t 4 ρ = ρ+ . (1.8) Ch ng minh (1.8): Ta có ρ = |Ψ0 Ψ0 |, suy ra ρ+ = (|Ψ0 Ψ0 |)+ = ( Ψ0 |)+ (|Ψ0 )+ = |Ψ0 Ψ0 | = ρ. 1.2.2. Tr ng thái h n h p (mixed state) N u h lư ng t không cô l p và tương tác v i các h xung quanh không xác đ nh đư c m t cách chính xác, khi đó chúng ta không th gi i phương trình 10
Schrodinger đ xác đ nh hàm sóng c a h , do đó tr ng thái c a h đư c g i là tr ng thái mixed. Trong lu n văn này, chúng tôi s d ng c m t "tr ng thái h n h p" đ đ c trưng cho tr ng thái c a h lư ng t này. Đ mô t h lư ng t trong khuôn kh cơ h c lư ng t , ta xét c h đang xét (g i là h con) và các h xung quanh tương tác v i nó (g i là h l n). Khi đó ta có th dùng khái ni m hàm sóng đ mô t tr ng thái c a h kín. Giá tr trung bình c a m t đ i lư ng c a h con đư c tính theo công th c (1.2). Đ i v i tr ng thái này, ma tr n m t đ có nh ng tính ch t sau: Tính ch t 1 A = T r(ρA). (1.9) Ch ng minh (1.9): T r(ρA) = l|ρA|l = l|pi |Ψi Ψi |A|l l l i = Ψi |A|l l|pi |Ψi = Ψi |Api |Ψi l i i = pi Ψi |A|Ψi = A . i Tính ch t 2 T r(ρ) = 1. (1.10) Ch ng minh (1.10): T r(ρ) = l|ρ|l = l|pi |Ψi Ψi |l = Ψi |l l|pi |Ψi l l i l i = pi Ψi |Ψi = pi = 1. i i Tính ch t 3 ρ2 = ρ, T r(ρ2 ) < 1. (1.11) 11
Ch ng minh (1.11): ρ2 = pi |Ψi Ψi |pj |Ψj Ψj | = pi pj |Ψi Ψi ||Ψj Ψj | = ρ, i j i j suy ra T r(ρ2 ) = l|pi pj |Ψi Ψi |Ψj Ψj |l l i,j = pi pj Ψi |Ψj Ψj |l l|Ψi l i,j = pi pj Ψi |Ψj Ψj |Ψi = pi pj | Ψi |Ψj |2 i,j i,j < pi pj = 1. i j Tính ch t 4 ρ = ρ+ . (1.12) Ch ng minh (1.12): Ta có ρ = Ψ |Ψi Ψi |, suy ra ρ+ = ( PΨ |Ψi Ψi |)+ = PΨ ( Ψi |)+ (|Ψi )+ = PΨ |Ψi Ψi | = ρ. Ψ Ψ Ψ Vì ρ là toán t Hermite nên các tr riêng pi c a ρ là th c và dương. pi chính là xác su t tìm th y tr ng thái thu n c a h con đư c mô t b i hàm sóng |i , ta có ∞ ∞ ρ|i = pi |Ψi , ρ= pi |i i|, pi ≥ 0, pi = 1, i|i = δii . i=1 i=1 Như v y, tiêu chu n đ nh n bi t m t tr ng thái là thu n hay h n h p là T r(ρ2 ) = 1 hay T r(ρ2 ) < 1. 12
1.3. Tiêu chu n chia tách đư c c a các tr ng thái h nh p 1.3.1. Nguyên lý v tính không th chia tách c a tr ng thái h nh p Tính không th chia tách lư ng t là m t trong nh ng đ c đi m n i b t c a hình th c lu n lư ng t . Nó đư c phát hi n đ u tiên b i Einstein, Podolsky và Rosen (EPR) [19]. Các ông đã đưa ra hai lo i tr ng thái, m t là tr ng thái c a h lư ng t ph c h p có th vi t dư i d ng t h p l i c a các tr ng thái tích và đư c g i là tr ng thái có tương quan c đi n, các tr ng thái này luôn luôn th a mãn b t đ ng th c Bell. Lo i th hai là tr ng thái tương quan EPR, các tr ng thái này không có m i tương quan c đi n, chúng vi ph m b t đ ng th c Bell và ngh ch lý Einstein-Podolsky-Rosen đ c p đ n nh ng tr ng thái này. S tương quan c đi n và tương quan EPR đư c đ nh nghĩa như là m t tính ch t c a ma tr n m t đ ρ. Sau đó, R. Horodecki và M. Horodecki đã đưa ra nguyên lý v tính không th chia tách đư c c a các tr ng thái h n h p [12]. N i dung c a nguyên lý đó như sau "N u hai h đã tương tác trong quá kh thì có th tìm th y toàn b h trong m t tr ng thái mà không th vi t dư i d ng m t h n h p c a các tr ng thái tích". Nguyên lý này ch a đ ng s t n t i c a các tr ng thái h n h p không chia tách đư c mà có th đư c xem như b n sao c a các tr ng thái b r i thu n khi t, chúng tương ng v i các tr ng thái tương quan EPR, là nh ng tr ng thái không th đư c vi t dư i d ng h n h p c a các tích tr c ti p, trong khi đó các tr ng thái chia tách đư c (h n h p c a các tr ng thái tích) l i tương ng v i các tr ng thái tương quan c đi n. Như đã bi t, m t tr ng thái h n h p có th xu t phát t s quy v m t vài tr ng thái thu n ho c t ngu n t o ra các tr ng thái thu n m t cách ng u 13
nhiên. N u m t tr ng thái h n h p là chia tách đư c thì nó t o ra tính th ng kê tương đương v i m t tr ng thái đư c t o ra t m t t p h p các tr ng thái tích. Tuy v y, n u m t tr ng thái h n h p không th chia tách đư c thì tách nhiên không có cách nào đ gán cho các h thành ph n các vectơ tr ng thái c a nó dù ch là v m t nguyên t c. Nói chung r t khó đ ki m tra xem m t tr ng thái đã cho có th vi t dư i d ng h n h p c a các tr ng thái tích hay không. Do đó, đ c trưng toán t c a các tr ng thái chia tách đư c hay không chia tách đư c là v n đ r t đư c quan tâm. 1.3.2. Tiêu chu n chia tách đư c c a ma tr n m t đ [18] Trong ph n này, chúng tôi gi i thi u m t đi u ki n c n cho s chia tách đư c đó là ma tr n m t đ thu đư c t phép chuy n v t ng ph n v i các giá tr riêng không âm. Đi u ki n này thu đư c t phép ki m tra đ i s đơn gi n như sau: M t h lư ng t bao g m hai h con trong không gian Hilbert H = H1 ⊗H2 là chia tách đư c n u ma tr n m t đ ρ c a nó đư c vi t dư i d ng ∞ ρ= pA ρA ⊗ ρA , (1.13) A=1 v i ρA và ρA l n lư t là ma tr n m t đ c a hai h con trong không gian H1 , ∞ H2 và pA th a mãn đi u ki n A=1 pA = 1. Như v y, m t h lư ng t đư c cho là b r i n u toán t ma tr n m t đ c a chúng không chia tách đư c, t c là không th bi u di n dư i d ng t ng l i c a các toán t ma tr n m t đ ρA và ρA c a hai h lư ng t như trên (1.13). M t h chia tách đư c thì luôn luôn th a mãn b t đ ng th c Bell, nhưng đi u ngư c l i thì không nh t thi t lúc nào cũng đúng. Th t v y, đ t n t i cho s phân tích (1.13), chúng tôi s s d ng cách ki m tra đ i s như sau. 14
Vi t l i đi u ki n chia tách (1.13) dư i d ng các y u t c a ma tr n m t cách tư ng minh v i t t c các ch s c a chúng. Phương trình (1.13) tr thành ∞ ρmµ,nν = pA (ρA )mn ⊗ (ρA )µν , (1.14) A=1 v i các ch s m, n quy ư c gán cho h con th nh t, các ch s µ, ν quy ư c gán cho h con th hai, hai h này có th khác nhau v s chi u. Chú ý r ng phương trình này có th th a mãn n u ta thay các ma tr n m t đ lư ng t b ng các hàm Lioville c đi n (còn các ch s gián đo n đư c thay b ng các bi n p và q). Nguyên nhân ch là do s ràng bu c r ng m t hàm Lioville ph i th a mãn đi u ki n không âm. Đi u chúng ta mu n là ma tr n m t đ lư ng t có giá tr riêng không âm, và đi u ki n này s khó th a mãn hơn. Bây gi ta đ nh nghĩa m t ma tr n m i σmµ,nν ≡ ρmµ,nν , (1.15) đây các ch s m và n đã b hoán v , nhưng các ch s µ và ν thì không. Đây không ph i là phép bi n đ i Unita, nhưng ma tr n σ là m t ma tr n Hermite. Khi phương trình (1.13) có giá tr thì ∞ σ= pA (ρA )T ⊗ ρA . (1.16) A=1 Vì ma tr n chuy n v (ρA )T ≡ (ρA )∗ là các ma tr n không âm v i v t b ng đơn v nên chúng cũng có th là ma tr n m t đ h p quy lu t, t c là không có tr riêng nào c a σ là âm. Đây là đi u ki n c n đ phương trình (1.13) đúng. Chú ý r ng, các tr riêng c a σ là b t bi n dư i phép bi n đ i Unita v i U và U là các cơ s . Ta có T T ρ −→ (U ⊗ U )ρ(U ⊗ U )+ , (1.17) 15
th thì T T σ −→ (U ⊗ U )σ(U ⊗ U )+ , (1.18) cũng là phép bi n đ i Unita, chuy n d i các tr riêng b t bi n c a σ. Tiêu chu n này m nh hơn b t đ ng th c Bell hay m nh hơn b t đ ng th c entropy − α, nó đư c ch ng minh qua hai ví d trong [15]. 1.4. Phương sai c a phép đo đ i lư ng v t lý Cho hai toán t A và B theo th t đư c bi u di n b i hai toán t Hermite A và B. Trong cơ h c lư ng t n u hai đ i lư ng v t lý này không đo đ ng th i thì v m t toán h c A và B không giao hoán đư c v i nhau, khi đó ta có giao hoán t [A, B] = AB − BA = iC = 0, (1.19) trư ng h p này, ta đư c h th c b t đ nh trong tr ng thái lư ng t b t kỳ |Ψ c a h 1 2 V AV B ≥ |[A, B]| > 0. (1.20) 4 Trong đó đ i lư ng đ c trưng cho m c đ thăng giáng c a giá tr đo đư c Y g n giá tr trung bình lư ng t Y c a đ i lư ng Y = A, B g i là phương sai và V Y đư c đ nh nghĩa như sau V Y ≡ (Y − Y )2 = Y 2 − Y 2 , (1.21) v i giá tr trung bình lư ng t c a đ i lư ng Y tr ng thái |Ψ Y = Ψ|Y |Ψ = Ψ∗ (y)Y Ψ( y)dy. (1.22) 16
1.5. Chuy n v t ng ph n Xét trư ng h p đơn mode trong bi u di n to đ ρ= dxdx ρxx |x x |, (1.23) trong đó x|x = x|x . ˆ Toán t to đ x và toán t mômen xung lư ng đư c đ nh nghĩa qua h ˆ x√ p ˆ+iˆ x√ p ˆ−iˆ th c a = 2 và a+ = 2 . Hàm CρT (λ) ≡ T r{ρT D(λ)} là hàm đ c trưng cho toán t m t đ ρ. Còn hàm đ c trưng cho toán t m t đ chuy n v ρT = dxdx ρxx |x x| đư c đưa ra b i CρT (λ) ≡ dxdx ρxx |x D(λ)x | (1.24) ∗ ∗ = dxdx ρxx |x D(−λ )x | = Cρ (−λ ), + −λ∗ a đây CρT (λ) là hàm đ c trưng c a tr ng thái ban đ u và D(λ) = eλa là toán t d ch chuy n. Vì v y, hàm phân b xác su t c a ρT có m i quan h v i ρ là: 1 ∗ −α∗ λ 2 WρT (α, s) = d2 reαλ .es|λ| /2 CρT (λ) π2 (1.25) 1 2 αλ∗ −α∗ λ s|λ|2 /2 ∗ ∗ = 2 d re .e Cρ (−λ ) = Wρ (α , s). π Xét trong bi u di n GlauberP (s = 1). Toán t mônmen a+m an ρT c a toán t m t đ chuy n v đư c đưa ra t mômen tr ng thái ban đ u, a+m an ρT = d2 αα∗m αn PρT (αx , αy ) = d2 αα∗m αn Pρ (αx , −αy ) (1.26) = d2 ααm α∗n Pρ (αx , αy ) = a+n am ρ . M r ng k t qu phép chuy n v t ng ph n cho tr ng thái đa mode. Ví d 17