Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức cực tiểu của cos 2π/n

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là tìm hiểu mối liên hệ giữa đa thức cực tiểu Yn(x) của cos 2p/n với các đa thức Chebysev. Thông qua các mối liên hệ này, chúng tôi trình bày phương pháp tìm đa thức cực tiểu Yn(x) và tính hệ số tự do của các đa thức cực tiểu này. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức cực tiểu của cos 2π/n

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TÔ DUY HIỂN 2π ĐA THỨC CỰC TIỂU CỦA COS n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TÔ DUY HIỂN 2π ĐA THỨC CỰC TIỂU CỦA COS n Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. ĐOÀN TRUNG CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2018
i Mục lục Lời nói đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đa thức chia đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Đa thức cực tiểu của cos 2π n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Đa thức cực tiểu của cos 2π n và đa thức Chebyshev 20 2.1 Công thức hồi quy liên hệ giữa đa thức Chebyshev và đa thức cực tiểu của cos 2π n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Phân tích nhân tử của đa thức Chebyshev theo các đa thức Ψn (x) 27 Hệ số tự do của đa thức cực tiểu của cos 2π 3 n 37 3.1 Trường hợp n lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Trường hợp n chẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51
1 Lời nói đầu Với mỗi số nguyên dương n, e2πi/n là nghiệm của một đa thức chia đường tròn nên là một số đại số. Do đó cos 2π 1 2πi/n n = 2 (e + e−2πi/n ) là một số đại số. Nói cách khác cos 2π n là nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỷ nào đó. Việc tìm đa thức cực tiểu Ψn (x) của cos 2π n là một câu hỏi tự nhiên, đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Nghiên cứu đầu tiên về đa thức cực tiểu Ψn (x) được thực hiện bởi D. H. Lehmer vào năm 1933, ông đã đưa ra phương pháp để xây dựng các đa thức Ψn (x) từ đa thức chia đường tròn. Năm 1993, W. Watkins và J. Zeitlin đưa ra một phương pháp khác để tìm đa thức cực tiểu Ψn (x) nhờ sử dụng các đa thức Chebychev loại I. Sau đó D. Surowski và P. McCombs chứng minh lại các kết quả này bằng một phương pháp khác và đưa ra công thức cụ thể của các đa thức cực tiểu của cos 2π p với p là số nguyên tố vào năm 2003. Một năm sau, S. Beslin và V. De Angelis cũng đưa ra công thức hiện của đa thức cực tiểu của cos 2π 2π p và sin p khi p là một số nguyên tố. Mặt khác, dựa vào kết quả của W. Watkins và J. Zeitlin, năm 2012, B. Ozgur, A. Yurttas và I. N. Cangul trình bày phép tính Ψn (x) bằng cách sử dụng ngôn ngữ lập trình Maple, giúp tìm nhanh các đa thức Ψn (x) cho trường hợp n lớn. Các nghiên cứu gần đây về đa thức cực tiểu Ψn (x), như của các tác giả I. N. Cangul, Yusuf Z. Gurtas,... tập trung vào việc tìm công thức tính trực tiếp các hệ số của đa thức Ψn (x). Mục đích của luận văn là tìm hiểu mối liên hệ giữa đa thức cực tiểu Ψn (x) của cos 2π n với các đa thức Chebysev. Thông qua các mối liên hệ này, chúng tôi trình bày phương pháp tìm đa thức cực tiểu Ψn (x) và tính hệ số tự do của các đa thức cực tiểu này. Các kết quả này được trình bày dựa trên các bài báo của C. Adiga, I. N. Cangul, H. N. Ramaswamy [5], Yusuf Z. Gurtas [6] và W. Watkins,
2 J. Zeitlin [7]. Luận văn được chia thành ba chương. Chương 1 là các kiến thức chuẩn bị, bao gồm định nghĩa, một số tính chất cơ bản của đa thức Chebyshev và đa thức chia đường tròn. Trong chương này cũng nhắc lại khái niệm mở rộng trường, số đại số, từ đó trình bày định nghĩa về đa thức cực tiểu Ψn (x) của cos 2π n . Chương 2 tập trung xét các mối liên hệ giữa đa thức cực tiểu Ψn (x) với các đa thức Chebyshev loại I, Tn (x) và loại II, Un (x). Kết quả chính của chương này là đưa ra công thức hồi quy liên hệ giữa đa thức Chebyshev và đa thức cực tiểu Ψn (x), từ đó áp dụng tính toán các đa thức cực tiểu này. Một kết luận quan trọng cũng được đưa ra trong chương này đó là, các đa thức Tn (x) − 1, Tn (x) + 1 và Un (x) có thể tồn tại dưới dạng tích của các đa thức cực tiểu Ψd (x), với d là ước của n. Nội dung chính của chương 3 là dựa vào mối liên hệ giữa đa thức cực tiểu Ψn (x) và đa thức Chebyshev loại I để tính toán hệ số tự do của đa thức cực tiểu Ψn (x). Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc với TS Đoàn Trung Cường. Thầy là người đã dành rất nhiều thời gian để chỉ bảo, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Nhờ có sự tận tình, chu đáo và tâm huyết của thầy mà tác giả đã hoàn thành luận văn "Đa thức cực tiểu của cos 2π n ". Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo thuộc Khoa Toán - Tin, Phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và các đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 06 năm 2018 Tác giả luận văn Tô Duy Hiển
3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số kiến thức cơ sở để chuẩn bị cho việc trình bày về đa thức cực tiểu Ψn (x) của cos 2π n trong các chương sau. Nội dung chính của chương bao gồm định nghĩa, một số tính chất cơ bản của đa thức Chebyshev và đa thức chia đường tròn. Một phần của chương này được dành để nhắc lại khái niệm về mở rộng trường, số đại số, từ đó trình bày định nghĩa về đa thức cực tiểu Ψn (x) của cos 2π n . Các kết quả chính của chương được tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 3, 4]. 1.1 Đa thức Chebyshev Đa thức Chebyshev được đặt theo tên nhà toán học nổi tiếng người Nga Pafnuty Chebyshev (1821 - 1894). Đa thức Chebshev đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết gần đúng và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Toán học khác. Trong các nghiên cứu về đa thức cực tiểu của cos 2πn , năm 1993, W. Watkins và J. Zeitlin đưa ra một phương pháp để tính toán các đa thức cực tiểu Ψn (x) của cos 2π n nhờ sử dụng đa thức Chebychev. Nội dung chính của tiết này trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản và các quan hệ giữa đa thức Chebyshev loại I và loại II. Các kết quả chính của tiết được tham khảo từ tài liệu [4].
4 Định nghĩa 1.1.1. Các đa thức Tn (x) với n ∈ N được xác định bằng quy nạp T0 (x) = 1, T1 (x) = x, Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) được gọi là các đa thức Chebyshev loại I. Ví dụ 1.1.2. Một số đa thức Chebyshev loại I đầu tiên T0 (x) = 1. T1 (x) = x. T2 (x) = 2x2 − 1. T3 (x) = 4x3 − 3x. T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1. T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x. T6 (x) = 32x6 − 32x4 + 2x2 + 1. Định nghĩa 1.1.3. Các đa thức Un (x) với n ∈ N được xác định bằng quy nạp U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x, Un+1 (x) = 2xUn (x) −Un−1 (x) được gọi là các đa thức Chebyshev loại II.
5 Ví dụ 1.1.4. Một số đa thức Chebyshev loại II đầu tiên là U0 (x) = 1. U1 (x) = 2x. U2 (x) = 4x2 − 1. U3 (x) = 8x3 − 4x. U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1. U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x. U6 (x) = 64x6 − 80x4 + 24x2 − 1. Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu một số tính chất cơ bản của các đa thức Chebyshev. Kết quả sau đây là một tính chất đặc trưng của các đa thức Chebyshev loại I. Mệnh đề 1.1.5. Với mọi α ∈ R và mọi n ∈ N ta có Tn (cos α) = cos (nα) . Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề bằng phép quy nạp theo n. Dễ thấy mệnh đề đúng với n = 0 và n = 1. Giả sử mệnh đề đúng đến n = k, khi đó ta có Tk+1 (cos α) = 2 cos α.Tk (cos α) − Tk−1 (cos α) = 2 cos (α) cos (kα) − cos ((k − 1) α) = cos ((k + 1) α) . Đa thức Chebyshev loại II liên quan đến công thức sin (nα). Mệnh đề 1.1.6. Với mọi n ∈ N, α 6= kπ, k ∈ Z, ta có sin (n + 1) α Un (cos α) = . sin α Chứng minh. Dễ kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0 và n = 1, giả sử mệnh đề
6 đúng đến n = k, khi đó ta có Uk+1 (cos α) = 2 cos αUk (cos α) −Uk−1 (cos α) 2 cos α sin (k + 1) α sin kα = − sin α sin α sin (k + 2) α = . sin α Tìm hiểu về bậc và hệ số của các đa thức Chebyshev, ta thu được kết quả sau đây. Mệnh đề 1.1.7. Với n ≥ 1, các đa thức Tn (x), Un (x) đều có bậc n, hệ số nguyên và hệ số cao nhất lần lượt là 2n−1 và 2n . Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp của đa thức Tn (x), trường hợp của Un (x) được chứng minh hoàn toàn tương tự. Ta có T1 (x) = x, T2 (x) = 2x2 − 1. Vậy mệnh đề đúng với n = 1 và n = 2. Giả sử mệnh đề đúng đến n = k, khi đó Tk (x), Tk−1 (x) đều có hệ số nguyên, có bậc lần lượt là k, k − 1 và có hệ số cao nhất lần lượt là 2k , 2k−1 . Từ Tk+1 (x) = 2xTk (x) − Tk−1 (x) suy ra Tk+1 (x) cũng phải có hệ số nguyên, có bậc là k + 1 và hệ số cao nhất là 2.2k = 2k+1 . Ta được điều phải chứng minh. Quan sát các đa thức Chebyshev đầu tiên, ta thấy T1 (x) = x, T3 (x) = 4x3 −3x, T5 (x) = 16x5 −20x3 +5x, chúng là các hàm số lẻ, và T0 (x) = 1, T2 (x) = 2x2 −1, T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1, chúng là các hàm số chẵn. Liệu điều này có thể tổng quát hóa được hay không? Bằng phép quy nạp, ta thu được tính chất rất thú vị sau đây của các đa thức Chebyshev. Mệnh đề 1.1.8. Các hàm số Tn (x), Un (x) chẵn nếu n chẵn và lẻ nếu n lẻ.
7 Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề cho trường hợp của hàm số Tn (x), trường hợp của Un (x) được chứng minh hoàn toàn tương tự. Dễ dàng kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0 và n = 1. Giả sử mệnh đề đúng đến n = 2k + 1, khi đó ta có T2k+2 (−x) = 2 (−x) .T2k+1 (−x) − T2k (−x) = 2x.T2k+1 (x) − T2k (x) = T2k+2 (x) , và T2k+3 (−x) = 2 (−x) .T2k+2 (−x) − T2k+1 (−x) = −2x.T2k+2 (x) + T2k+1 (x) = −T2k+3 (x) . Vậy T2k+2 (x) là hàm chẵn và T2k+3 (x) là hàm lẻ. Ta được điều phải chứng minh. Kết quả tiếp theo nói về nghiệm của các đa thức Chebyshev loại I và loại II. Mệnh đề 1.1.9. Với n ≥ 1, (i) Tn (x) có đúng n nghiệm phân biệt là cos (2k+1)π 2n , với k = 0, 1, ..., n − 1; kπ (ii) Un (x) có đúng n nghiệm phân biệt là cos n+1 , với k = 1, 2, ..., n. Chứng minh. (i) Giả sử x ∈ [−1; 1] là một nghiệm của Tn (x). Đặt x = cos α, với (2k + 1) π α ∈ [0; π]. Ta có 0 = Tn (x) = Tn (cos α) = cos nα. Từ đó suy ra α = , k= 2n (2k + 1) π 0, 1, ..., n−1. Với k ∈ {0, 1, ..., n − 1}, ta được n giá trị khác nhau cos . 2n Vậy Tn (x) có n nghiệm phân biệt là cos (2k+1)π 2n , với k = 0, 1, ..., n − 1. Vì Tn (x) có bậc là n nên đây là tất cả các nghiệm của Tn (x). (ii) Tương tự, giả sử x ∈ (−1; 1) là một nghiệm của Un (x). Đặt x = cos α, sin (n + 1) α với α ∈ (0; π). Ta có 0 = Un (x) = Un (cos α) = . Từ đó suy ra sin α
8 kπ α= n+1 , k = 1, 2, ..., n. Với k ∈ {0, 1, ..., n − 1}, ta được n giá trị khác nhau kπ kπ cos n+1 . Vậy Un (x) có n nghiệm phân biệt là cos n+1 Vì bậc của Un (x) là n nên . đây là tất cả các nghiệm của Un (x). Mệnh đề được chứng minh. Phần cuối của tiết này trình bày các mối liên hệ giữa đa thức Chebyshev loại I và loại II. Các kết quả này sẽ được sử dụng ở chương 2, trong bài toán về phân tích nhân tử của đa thức Chebyshev theo các đa thức cực tiểu Ψn (x). Mệnh đề 1.1.10. Cho số nguyên dương n, khi đó (i) Với n ≥ 2, ta có Un (x) = 2Tn (x) +Un−2 (x) ; (ii) Với n ≥ 1, ta có 2 x2 − 1 Un−1 (x) = Tn+1 (x) − Tn−1 (x) . Chứng minh. (i) Với n ≥ 2 và α 6= kπ, k ∈ Z, ta có sin (n − 1) α 2Tn (cos α) +Un−2 (cos α) = 2 cos nα + sin α 2 sin α cos nα + sin nα cos α − cos nα sin α = sin α sin (n + 1) α = sin α = Un (cos α) . Vậy ta được Un (x) = 2Tn (x) +Un−2 (x) .
9 (ii) Với n ≥ 1 và α 6= kπ, k ∈ Z, ta có sin nα 2 cos2 α − 1 Un−1 (cos α) = 2 cos2 α − 1 sin α = −2 sin nα sin α = cos (n + 1) α − cos (n − 1) α = Tn+1 (cos α) − Tn−1 (cos α) . Vậy suy ra 2 x2 − 1 Un−1 (x) = Tn+1 (x) − Tn−1 (x) . Mệnh đề 1.1.11. Với mọi số nguyên n ≥ 1, ta có (i) Tn2 (x) − 1 = x2 − 1 Un−1 2 (x) ; (ii) Un2 (x) − 1 = Un+1 (x)Un−1 (x) . Chứng minh. (i) Với n ≥ 1 và α 6= kπ, k ∈ Z, ta có 2 2 2 sin2 nα cos α − 1 Un−1 (cos α) = cos α − 1 sin2 α = −sin2 nα = cos2 nα − 1 = Tn2 (cos α) − 1. Vậy suy ra Tn2 (x) − 1 = x2 − 1 Un−1 2 (x) .
10 (ii) Với n ≥ 1 và α 6= kπ, k ∈ Z, ta có sin nα sin (n + 2) α Un−1 (cos α)Un+1 (cos α) = sin2 α cos 2α − cos (2n + 2) α = 2sin2 α sin2 (n + 1) α = −1 sin2 α = Un2 (cos α) − 1. Vậy suy ra Un2 (x) − 1 = Un−1 (x)Un+1 (x) . 1.2 Đa thức chia đường tròn Đa thức chia đường tròn Φn (x) được xác định là tích của các đa thức tuyến tính x − ε, trong đó ε chạy trên tập các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Đa thức chia đường tròn có nhiều ứng dụng quan trọng trong Đại số, Lý thuyết số và Hình học. Có nhiều nghiên cứu xung quanh các đa thức này, từ các công trình ở đầu thế kỷ 19 cho đến những công trình xuất hiện mới gần đây. Nghiên cứu về các đa thức cực tiểu Ψn (x) của cos 2π n , ta thấy chúng có nhiều điểm tương đồng với các đa thức chia đường tròn Φn (x). Nếu như ε1 = cos 2π 2π n + i sin n là một nghiệm của Φn (x) thì để ý rằng, phần thực của ε1 , cos 2π n cũng chính là một nghiệm của Ψn (x). Đa thức chia đường tròn cũng chính là đa thức cực tiểu của ε1 = cos 2π 2π n + i sin n . Năm 1933, D. H. Lehmer đã mô tả một phương pháp xây dựng đa thức cực tiểu Ψn (x) từ các đa thức chia đường tròn. Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sử dụng đa thức chia đường tròn để chứng minh các kết quả về bậc và nghiệm của đa thức cực tiểu Ψn (x). Các mối liên hệ giữa đa thức cực tiểu Ψn (x) với đa thức Chebyshev được trình bày trong chương 2 cũng được xây dựng dựa trên các kiến thức về đa thức chia đường tròn. Mục đích của tiết này là trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của đa thức chia đường
11 tròn. Kết quả chính của tiết này là chứng minh mọi đa thức chia đường tròn đều có hệ số nguyên và công thức quan trọng xn − 1 = ∏ Φd (x). d|n Trước hết, ta đi tìm hiểu khái niệm căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Cho n là số nguyên dương và ε ∈ C. Khi đó ε được gọi là một căn bậc n của đơn vị nếu ε n = 1. Chú ý rằng có đúng n căn bậc n của đơn vị là 2πk 2πk εk = cos + i sin , k = 0, 1, ...n − 1. n n Định nghĩa 1.2.1. Cho n là số nguyên dương và ε là một căn bậc n của đơn vị. Khi đó ε được gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn ε n = 1. Mệnh đề 1.2.2. (Tiêu chuẩn của căn nguyên thủy) Cho n là số nguyên dương và 2πk 2πk εk = cos + i sin , k = 0, 1, ...n − 1 n n là các căn bậc n của đơn vị. Khi đó, εk là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu và chỉ nếu (k, n) = 1. Chứng minh. Do εk là một căn bậc n của đơn vị nên εkn = 1. Nếu (k, n) = 1, gọi t là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn εkt = 1. Khi đó từ 2πkt 2πkt εkt = cos + i sin =1 n n suy ra kt phải là bội của n, mà (k, n) = 1 nên t là bội của n, do đó t = n. Vậy εk là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Ngược lại, nếu εk là một căn nguyên
12 n thủy bậc n của đơn vị ,giả sử (k, n) = d > 1, khi đó d < n và n n d 2πk 2πk d 2πk 2πk εk = cos + i sin = cos + i sin = 1. n n d d Điều này mâu thuẫn với giả thiết n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn εkn = 1. Vậy (k, n) = 1. Nhận xét 1.2.3. (i) ε1 = cos 2π 2π n + i sin n luôn là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. (ii) Với mỗi n > 0, hàm Euler được định nghĩa là số các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n. Theo Mệnh đề 1.2.2, có đúng ϕ (n) căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Định nghĩa 1.2.4. Cho n là số nguyên dương, đa thức chia đường tròn thứ n là đa thức n k Φn (x) = ∏ x − ε1 k=1 (k,n)=1 trong đó ε1 = cos 2π 2π n + i sin n là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Nhận xét 1.2.5. (i) Φn (x) là tích của các đa thức tuyến tính x − ε, trong đó ε chạy trên tập các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. (ii) Φn (x) là đa thức chuẩn (có hệ số cao nhất bằng 1) và có bậc là ϕ (n). Ví dụ 1.2.6. (i) Do 1 là căn nguyên thủy bậc 1 duy nhất của đơn vị nên đa thức chia đường tròn thứ nhất là Φ1 (x) = x − 1. (ii) Do −1 là căn nguyên thủy bậc 2 duy nhất của đơn vị nên đa thức chia đường tròn thứ 2 là Φ2 (x) = x + 1. √ 3 (iii) Các căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị là − 21 ± i 2 nên đa thức chia đường
13 tròn thứ 3 là √ ! √ ! 1 3 1 3 Φ3 (x) = x+ −i x+ +i = x2 + x + 1. 2 2 2 2 Việc tính toán các đa thức Φn (x) trong trường hợp n lớn không phải là điều dễ dàng. Sau đây là một số tính chất cơ bản của đa thức chia đường tròn. Trước hết ta có tính chất về nghiệm chung của hai đa thức chia đường tròn. Hai đa thức chia đường tròn được phân biệt bởi ít nhất một nghiệm chung của chúng. Mệnh đề 1.2.7. Cho m và n là hai số nguyên dương. Khi đó Φm (x) và Φn (x) có nghiệm chung khi và chỉ khi m = n. Chứng minh. Giả sử Φm (x) và Φn (x) có nghiệm chung là 2πl 2πl 2πk 2πk εml = cos + i sin = εnk = cos + i sin , m m n n với (l, m) = 1 và (k, n) = 1. Khi đó ta có m m 2πkm 2πkm 1 = εml = εnk = cos + i sin , n n suy ra n|km, mà (k, n) = 1 nên n|m. Mặt khác lại có n n 2πln 2πln 1 = εnk = εml = cos + i sin , m m suy ra m|ln, mà (l, m) = 1 nên m|n. Vậy m = n. Ngược lại, nếu m = n thì hiển nhiên Φm (x) = Φn (x) nên chúng có nghiệm chung. Vậy mệnh đề được chứng minh. Tính chất tiếp theo của đa thức chia đường tròn dựa trên kết quả sau của hàm Euler. Bổ đề 1.2.8. Nếu n là số nguyên dương thì ∑ ϕ (d) = n. d|n
14 Chứng minh. Ta phân các số nguyên từ 1 đến n thành các lớp Ld . Cụ thể số nguyên m, 1 ≤ m ≤ n, thuộc lớp Ld nếu (m, n) = d. Thế thì m ∈ Ld khi và chỉ khi md , dn = 1. Như vậy, mỗi lớp Ld có đúng ϕ dn số. Mặt khác d là ước của n khi và chỉ khi dn là ước của n. Do đó n n = ∑ϕ = ∑ ϕ (d). d|n d d|n Dựa vào bổ đề trên, ta chứng minh được một định lý rất quan trọng, thường được áp dụng để tính các đa thức chia đường tròn Φn (x). Định lý 1.2.9. Cho số nguyên dương n, khi đó xn − 1 = ∏ Φd (x). d|n Chứng minh. Ta chứng minh hai đa thức ở vế trái và vế phải có cùng bậc, cùng tập nghiệm và cùng hệ số cao nhất. Thật vậy, đa thức xn − 1 có bậc n và có đúng n nghiệm đơn phân biệt. Do Φd (x) có bậc là ϕ (d) và có đúng ϕ (d) nghiệm đơn phân biệt nên theo Bổ đề 1.2.8 và Mệnh đề 1.2.7, đa thức ∏ Φd (x) có bậc là ∑ ϕ (d) = n và cũng có đúng d|n d|n ∑ ϕ (d) = n nghiệm đơn phân biệt. Bây giờ, giả sử εdk là một nghiệm bất kì của d|n k n k d dn n Φd (x) thì vì d|n nên εd = εd = 1 d = 1, suy ra εdk cũng là một nghiệm của xn − 1. Vậy xn − 1 và ∏ Φd (x) có cùng bậc và cùng tập nghiệm. Dễ thấy hệ d|n số cao nhất của hai đa thức này đều là 1. Vậy ta được điều phải chứng minh. Bây giờ ta sẽ áp dụng kết quả trên để tính các đa thức chia đường tròn Φn (x). Chẳng hạn, để tính Φ9 (x) ta làm như sau: x9 − 1 = Φ1 (x) Φ3 (x) Φ9 (x) , x3 − 1 = Φ1 (x) Φ3 (x) ,
15 từ đó x9 − 1 Φ9 (x) = 3 = x6 + x3 + 1. x −1 Từ Định lý 1.2.9, ta có kết quả quan trọng sau đây về hệ số của các đa thức chia đường tròn. Định lý 1.2.10. Với mọi số nguyên dương n, Φn (x) là đa thức có hệ số nguyên. Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng phép quy nạp theo n. Ta thấy Φ1 (x) = x − 1, Φ2 (x) = x + 1, nên mệnh đề đúng với n = 1 và n = 2. Giả sử mệnh đề đúng đến n = k − 1, theo Định lý 1.2.9 ta có xk − 1 = ∏ Φd (x) = Φk (x) ∏ Φd (x). d|k d|k d
16 được dành để trình bày khái niệm và một số tính chất quan trọng của mở rộng trường, phục vụ cho việc nghiên cứu tính chất của đa thức cực tiểu Ψn (x) trong chương sau. Trường là một vành giao hoán có đơn vị khác 0 và mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch. Một tập con K của một trường E được gọi là một trường con của E nếu K là một vành con của E và a−1 ∈ K với mọi 0 6= a ∈ K. Định nghĩa 1.3.1. (i) Nếu K là một trường con của trường E thì ta gọi E là trường mở rộng của K (hay đơn giản E là một mở rộng của K). Mở rộng E của trường K được kí hiệu là E/K. (ii) Nếu E/K là một mở rộng trường thì E là một không gian véc tơ trên K. Nếu E là K - không gian véc tơ hữu hạn chiều thì ta nói E là mở rộng hữu hạn của trường K. Số chiều của K - không gian véc tơ E được gọi là bậc của mở rộng E/K và kí hiệu là [E : K]. Chú ý rằng nếu E/K và T /E là các mở rộng hữu hạn thì ta có công thức bậc [T : K] = [T : E] [E : K]. Định nghĩa 1.3.2. Cho E/K là một mở rộng trường. Phần tử a ∈ E được gọi là phần tử đại số trên K nếu a là nghiệm của một đa thức f khác 0 trong K [x]. Đặc biệt, nếu a ∈ C là đại số trên Q thì a được gọi là số đại số. √ √ Ví dụ 1.3.3. (i) Số 2 là số đại số vì 2 là nghiệm của đa thức x2 − 2 ∈ Q [x]. (ii) Số phức i là số đại số vì i là nghiệm của đa thức x2 + 1 ∈ Q [x]. (iii) Với n nguyên dương, cos 2π 2π n là số đại số vì cos n là nghiệm của đa thức Tn (x) − 1 ∈ Q [x], với Tn (x) là đa thức Chebyshev loại I. (Xem Mệnh đề 1.1.5). Nhắc lại là đa thức f (x) với hệ số trên một trường K được gọi là bất khả quy trên K nếu deg f (x) > 0 và f (x) không phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc bé hơn. Mệnh đề 1.3.4. Cho E/K là mở rộng trường và a ∈ E là phần tử đại số trên K. Khi đó tồn tại duy nhất một đa thức p (x) ∈ K [x] chuẩn bất khả quy nhận a làm nghiệm. Hơn nữa, nếu g (x) ∈ K [x] nhận a làm nghiệm thì g (x) là bội của p (x). Chứng minh. Vì a là phần tử đại số trên K nên tồn tại f (x) ∈ K [x] là đa thức khác 0 có bậc bé nhất nhận a làm nghiệm. Đặt p (x) = b−1 f (x), trong đó b là hệ
17 số cao nhất của f (x). Khi đó p (x) ∈ K [x] là đa thức chuẩn có bậc bé nhất nhận a làm nghiệm. Rõ ràng deg p (x) > 0. Nếu p (x) = g (x) h (x) với g (x) , h (x) ∈ K [x] và deg g (x) , deg h (x) < deg p (x) thì vì g (a) h (a) = p (a) = 0 nên hoặc g (a) = 0, hoặc h (a) = 0. Điều này mâu thuẫn với cách chọn p (x). Do đó p (x) bất khả quy. Giả sử g (x) ∈ K [x] nhận a làm nghiệm. Nếu g (x) không là bội của p (x) thì vì p (x) bất khả quy nên (g (x) , p (x)) = 1, khi đó tồn tại q (x) , h (x) ∈ K [x] sao cho 1 = p (x) q (x) + g (x) h (x). Điều này vô lí vì với x = a, đẳng thức trở thành 1 = 0. Vậy g (x) phải là bội của p (x). Cuối cùng, giả sử q (x) ∈ K [x] cũng là đa thức chuẩn bất khả quy nhận a làm nghiệm. Khi đó q (x) phải là bội của p (x). Vậy q (x) = p (x) k (x) với k (x) ∈ K [x], vì q (x) bất khả quy nên k (x) = c với 0 6= c ∈ K. Do đó q (x) = cp (x). Chú ý rằng q (x) và p (x) đều là các đa thức chuẩn, nên suy ra c = 1. Vì thế p (x) là duy nhất. Từ mệnh đề trên ta có khái niệm sau. Định nghĩa 1.3.5. Cho a là phần tử đại số trên K. Đa thức p (x) ∈ K [x] chuẩn bất khả quy nhận a là nghiệm được gọi là đa thức cực tiểu của a trên K, hay còn gọi là đa thức bất khả quy của a. Từ Mệnh đề 1.3.4, p (x) là đa thức cực tiểu của a trên K khi và chỉ khi p (x) là đa thức chuẩn có bậc nhỏ nhất trong K [x] nhận a là nghiệm. √ Ví dụ 1.3.6. Đa thức x3 − 5 ∈ Q là đa thức cực tiểu của số 3 5. Đa thức x2 + 1 ∈ R là đa thức cực tiểu của số phức i. Với mỗi số nguyên dương n, ta biết rằng cos 2π n là một số đại số. Do đó, luôn tồn tại duy nhất một đa thức cực tiểu Ψn (x) của cos 2π n . Với n = 1, 2, 3, 4 và n = 6, cos 2π n là các số hữu tỉ nên các đa thức cực tiểu của chúng là các đa thức