Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí về các hệ tử phổ dụng đối với các nhóm đối đồng điều

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí về các hệ tử phổ dụng đối với các nhóm đối đồng điều sau đây là nhằm tìm hiểu rõ về định lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng luân và cho thấy một vài ứng dụng của nó. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí về các hệ tử phổ dụng đối với các nhóm đối đồng điều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ___________________ Traàn Vaên Vöông ÑÒNH LÍ VEÀ CAÙC HEÄ TÖÛ PHOÅ DUÏNG ÑOÁI VÔÙI CAÙC NHOÙM ÑOÁI ÑOÀNG ÑIEÀU Chuyên ngành: Đại soá vaø lyù thuyeát soá Mã số: 60 46 05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRAÀN HUYEÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
LỜI CẢM ƠN Xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy đã giảng dạy, truyền đạt cho em nhiều kiến thức trong các khóa học, nhờ đó em có điều kiện để thực hiện và hoàn thành luận văn. Đặc biệt, TS. Trần Huyên – Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình hoàn thiện kiến thức và hoàn thành luận văn. Em xin được gửi lời cảm ơn thật sâu sắc đến thầy. Cuối cùng, em xin cảm ơn quý thầy phản biện đã xem luận văn và giúp em hiểu sâu sắc hơn vấn đề. Xin chân thành cảm ơn!
MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài Như ta đã biết, Đại Số Đồng Điều là một phần của Tôpô Đại Số , chuyên ngành xuất hiện từ việc đưa các cấu trúc đại số vào để tìm hiểu sâu sắc hơn về các không gian tôpô. Trong đó, các tri thức về đồng luân dây chuyền, đồng điều đóng vai trò khá quan trọng. Nếu K là phức các nhóm aben và G là nhóm aben tùy ý thì Hom(K,G) là một phức. Định lí hệ tử phổ dụng là một lời giải cho bài toán tính đối đồng điều của phức Hom(K,G) thông qua đồng điều của phức K. Không chỉ vậy, định lí hệ tử phổ dụng còn có thể mở rộng thành một định lí tổng quát hơn, đó là định lí phân lớp đồng luân và định lí này giúp ta tính đồng điều của phức Hom(K,L) thông qua đồng điều của các phức K và L.Vì vậy, việc hiểu rõ về định lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng luân là rất cần thiết. Nó có vai trò hỗ trợ trong việc tìm hiểu sâu hơn về Đại Số Đồng Điều và Tôpô Đại Số. Đó là lí do chọn đề tài. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu rõ về định lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng luân và cho thấy một vài ứng dụng của nó. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu trên phạm trù các phức, Hom của các phức và những vấn đề liên quan. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Làm rõ hai định lí quan trọng của đại số đồng điều: định lí hệ tử phổ dụng và định lí phân lớp đồng luân. Bên cạnh đó, cho thấy một vài ứng dụng của hai định lí trên trong việc tính đồng điều của phức Hom và tìm hiểu sâu hơn về đồng luân dây chuyền.
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản được sử dụng khi trình bày luận văn. Đó là một số vấn đề về phức và đồng điều, hàm tử Ext, hàm tử Tor, … Phần chứng minh của các mệnh đề, định lí có thể đọc chúng trong các tài liệu tham khảo. 1.1. Phức và đồng điều 1.1.1. Các định nghĩa Cho R là vành tùy ý, một phức dây chuyền K các R-môđun là họ K n , n  gồm các R-môđun K n và các R-đồng cấu  n : K n  K n 1 , được cho theo tất cả các số nguyên n sao cho  n  n 1  0 . Như vậy, phức K là dãy vô tận về hai đầu: n  n 1 K :    K n 1   K n  K n 1   trong đó tích của 2 đồng cấu nối tiếp nhau thì bằng 0. Chu trình n-chiều của phức K là phần tử của môđun con Cn (K)  Ker n Bờ n-chiều của phức K là phần tử của Bn  K    n 1K n 1 Đồng điều H(K) là họ các môđun H n (K)  Ker n Im  . Đẳng thức H n  K   0 có nghĩa n 1 là dãy K khớp tại K n . Phức K được gọi là tự do nếu K n là môđun tự do với mọi n   . Cho K  K n ,  n  và K '  K 'n ,  'n  là các phức. Một biến đổi dây chuyền f : K  K ' là họ các đồng cấu f n : K n  K 'n , n   sao cho:  ' f  f n 1 n , n   . n n f*  H n  f  : H n  K   H n  K '  c  K n 1  f  c   K 'n 1 được cảm sinh từ f là một đồng cấu. Họ các đồng cấu s  s n : K n  K 'n 1 , n   được gọi là một đồng luân dây chuyền giữa 2 biến đổi dây chuyền f, g nếu thỏa:  'n 1s n  s n 1 n  f n  g n Kí hiệu : s : f g Cho K-phức các R-môđun và G là một R-môđun. Khi đó, ta có phức các nhóm aben sau:
n 1 n   Hom(K, G) :   Hom(K n 1 , G)  Hom(K n , G)   Hom(K n 1 , G)   với n (f )  (1) n 1 f n 1 : K n 1  G . Đồng điều của phức Hom(K,G) được gọi là đối đồng điều của phức K với hệ số trong G. Đó là họ các nhóm aben được đánh theo chỉ số trên: H n (K, G)  H n  Hom(K, G)   Ker n Im  n 1 Các phần tử của Im n 1 được gọi là đối bờ n-chiều, còn các phần tử của Kern được gọi là đối chu trình n-chiều. Như vậy, đối chu trình n-chiều là đồng cấu f : K n  G sao cho f n 1  0 . Mọi biến đổi dây chuyền h : K  K ' cảm sinh biến đổi dây chuyền: h *  Hom  h,1 : Hom  K ' , G   Hom  K, G  f  fh 1.1.2. Một số kết quả thường dùng Định lí 1.1. Nếu s : f g : K  K ' và s' : f ' g ' : K '  K '' là các đồng luân dây chuyền thì ánh xạ sau đây cũng là đồng luân dây chuyền: f ' s  s' g : f ' f g ' g : K  K '' Định lí 1.2. Nếu f ,g : K  K ' là các biến đổi đồng luân dây chuyền từ phức K tới phức K’ thì với mỗi n   ta có: Hn( f )  Hn( g ) : Hn( K )  Hn( K' ) . Định lí 1.3. (Dãy đồng điều khớp). Đối với mỗi dãy khớp ngắn các phức:   E : 0  K   L  M  0 (  , là các biến đổi dây chuyền, và dãy khớp theo nghĩa khớp tại mọi n), dãy dài các nhóm đồng điều sau là khớp:  * *    H n 1( M )  E ,n 1  H n ( K )   H n ( L )   H n ( M )  E ,n  H n 1( K )   trong đó, *  H n    ,*  H n    và  E ,n : H n  M   H n 1  K  là đồng cấu nối và được xác định như sau:  E ,n  clsM m   clsK   1 L  1m  Mệnh đề 1.1. Cho K-phức các R-môđun và G là một R-môđun. Khi đó, Hom  K ,G  và H n  K ,G  là các song hàm tử hiệp biến theo G và phản biến theo K. 1.2. Các hàm tử Hom Mệnh đề 1.2. Xét phạm trù các R-môđun trái, kí hiệu là R Mod và môđun X  R Mod .
1. Quy tắc đặt tương ứng mỗi môđun A  R Mod với nhóm Hom(X, A) và đặt mỗi R-đồng cấu  : A  B với đồng cấu nhóm: * : Hom( X , A )  Hom( X ,B )    là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù R Mod tới phạm trù các nhóm aben. 2. Quy tắc đặt tương ứng mỗi môđun A  R Mod với nhóm Hom(A, X) và đặt mỗi R-đồng cấu  : A  B với đồng cấu nhóm: * : Hom( B, X )  Hom( A, X )    là một hàm tử phản biến từ phạm trù R Mod tới phạm trù các nhóm aben. Định lí 1.4. Với mỗi môđun X và với bất kì dãy khớp ngắn   0  A   B  C  0 các dãy sau đây là khớp: * * 0  Hom( X , A )   Hom( X ,B )   Hom( X ,C ) * *   0  Hom( C, X )   Hom( B, X )   Hom( A, X ) Định nghĩa 1.1. Cho K và L là phức các R-môđun. Ta định nghĩa phức Hom(K,L) là phức các nhóm aben được xác định bởi:  Hom n (K, L)   Hom(K p  p , Lp n ) Như vậy, phần tử f  Hom n (K,L) là một họ các đồng cấu f p : K p  Lpn , p   . Bờ  H f là họ ( H f ) p : K p  L pn 1 , ở đây ( H f ) p được xác định bởi: ( H f ) p   L f p  (1) n 1 f p 1 K , f  Hom n  K, L  với  L và  K là các đồng cấu bờ của các phức L và K tương ứng. Nếu g : K '  K, h : L  L' là các biến đổi dây chuyền thì: Hom  g, h  : Hom  K, L   Hom  K ' , L'   với Hom n  g, h    Hom  g p , h p  n  thỏa Hom n  g, h  f p   h p  n f p g p  là một biến đổi dây chuyền. p  Mệnh đề 1.3. Chu trình 0-chiều của phức Hom( K ,L ) là biến đổi dây chuyền f : K  L ; nó là bờ của phần tử s  Hom1  K ,L  khi và chỉ khi s là đồng luân s : f 0. Từ mệnh đề 1.3, ta có hệ quả sau đây:
Hệ quả. Nhóm đồng điều H 0  Hom  K ,L   là nhóm aben các lớp đồng luân của các biến đổi dây chuyền f : K  L . Mệnh đề 1.4. Hom(K,L) là song hàm tử hiệp biến theo L và phản biến theo K. 1.3. Hàm tử Ext 1.3.1. Các định nghĩa Cho A và C là các môđun trên vành R. Một mở rộng của A nhờ C là dãy khớp ngắn E   ,   : 0  A     B   C  0 các R-môđun và các R-đồng cấu. Cấu xạ  : E  E ' của các mở rộng là bộ ba    , ,   các đồng cấu sao cho biểu đồ sau đây giao hoán:   E : 0  A   B  C  0     ' '   E ' : 0  A '   B'   C'  0 Hai mở rộng E, E’ được gọi là toàn đẳng  E  E '  nếu A = A’, C = C’ và tồn tại cấu xạ 1A , ,1C  : E  E ' . Dễ thấy quan hệ toàn đẳng giữa các mở rộng là một quan hệ tương đương. Ta kí hiệu Ext R  C, A  hay đơn giản hơn Ext  C, A  là tập tất cả các lớp toàn đẳng của các mở rộng A nhờ C. Tổng trực tiếp 0  A  A  C  C  0 là một mở rộng của A nhờ C. Mở rộng E   ,   : 0  A     B   C  0 được gọi là chẻ ra nếu nó toàn đẳng với tổng trực tiếp với tư cách một mở rộng. Đồng cấu chéo, đồng cấu tổng Đồng cấu chéo của một môđun C là đồng cấu:    C : C  C  C, (c) = (c,c) Đồng cấu tổng của môđun A là đồng cấu:     : A  A  A,  a1 ,a 2 )  a1  a 2 1.3.2. Một số mệnh đề Mệnh đề 1.5. Mọi mở rộng nhờ một môđun xạ ảnh luôn chẻ ra. Mệnh đề 1.6. Cho A, C và C’ là các môđun trên vành R. Nếu E là mở rộng của A nhờ C và  : C'  C là đồng cấu thì tồn tại mở rộng E’ của A nhờ C’ và cấu xạ   1A , ,   : E'  E . Cặp   ,E  được xác định một cách duy nhất chính xác tới một toàn đẳng của E’. Kí hiệu: ' E'  E  .
Mệnh đề 1.7. Cho A, C và C’ là các môđun trên vành R. Nếu E là mở rộng của A nhờ C và  : A  A' là đồng cấu thì tồn tại mở rộng E’ của A’ nhờ C và cấu xạ     , ,1C  : E  E' . Cặp   ,E  được xác định một cách duy nhất chính xác tới một toàn đẳng của E’. Kí hiệu: ' E'  E. . Mệnh đề 1.8. Đối với các đồng cấu ,  và mở rộng E trong các mệnh đề 1.6 và 1.7, tồn tại toàn đẳng:   E     E   Mệnh đề 1.9. 1. Đối với các môđun A và C cho trước, tập các lớp toàn đẳng của các mở rộng môđun A nhờ môđun C là nhóm aben với phép toán hai ngôi cho tương ứng các lớp toàn đẳng của các mở rộng E1 và E2 lớp toàn đẳng của mở rộng: E1  E2   A  E1  E2   C Lớp các mở rộng chẻ ra 0  A  A  C  C  0 là phần tử không của nhóm này, phần tử đối của mở rộng bất kì E là  1A  E . 2. Ext  C, A  là song hàm tử hiệp biến theo A và phản biến theo C. 1.4. Hàm tử Tor Định nghĩa 1.2. Cho G R là R-môđun phải và R C là R-môđun trái, ta xác định TornR  G,C  là tập tất cả các bộ ba: t   , L,   . Trong đó, L là phức các môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n,  : L  G,  : L*  C là các biến đổi dây chuyền ( xem G, C là phức tầm thường, L*  Hom R  L, R  ). Nếu L' là một phức khác và  : L  L' là biến đổi dây chuyền thì ánh xạ liên hợp * : L'*  L* cũng là biến đổi dây chuyền. Đối với các biến đổi  ' : L'  G và  : L*  C , ta xem   ' , L,     ', L,' *  và quan hệ bằng nhau trong TornR  G,C  là quan hệ tương đương bé nhất bảo toàn hệ thức trên. Nếu đã cho các ánh xạ  : G  G ' ,  : C  C' thì các qui tắc: *  , L,     , L,   ; *  , L,     , L,   là bảo toàn hệ thức trên. Đôi khi, nếu không sợ nhầm lẫn ta có thể viết Torn thay cho TornR . Mệnh đề 1.10. 1. Torn  G,C  là nhóm cộng aben với phép toán được xác định như sau: với t1 ,t2  Torn  G,C  thì
t1  t2   G *  C *  t1  t2   Torn  G,C  2. Torn là song hàm tử hai lần hiệp biến từ phạm trù tích các R-môđun phải và R-môđun trái đến phạm trù các nhóm aben.
Chương 2 ĐỊNH LÍ HỆ TỬ PHỔ DỤNG VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Nếu K là phức các nhóm aben và G là nhóm aben tùy ý thì Hom(K,G) là một phức. Định lí hệ tử phổ dụng là một lời giải cho bài toán tính đối đồng điều của phức Hom(K,G) thông qua đồng điều của phức K. 2.1. Bổ sung tính khớp cho phản hàm tử Hom(-, G) Như đã biết, với mỗi môđun G, phản hàm tử Hom(-, G) chuyển mỗi dãy khớp ngắn thành một dãy khớp chỉ về bên trái. Các kết quả sau bổ khuyết cho tính không khớp phải của phản hàm tư Hom(-, G). Mệnh đe 2.1. Cho A là môđun con của môđun B và E: 0  A  B  B/A = C  0 là dãy khớp  các môđun. Khi đó, đồng cấu  : A  G có thể thác triển tới đồng cấu  : B  G khi và chỉ khi mở rộng E là chẻ ra. Chứng minh.  Giả sử đồng cấu  : A  G thác triển được tới  : B  G . Xét biểu đồ:   E: 0  A   B  C  0   (*)  E ' : 0  G  i  G  C  C  0 trong đó  được xác định như sau: Với b  B, (b)    b, b  . Khi đó, biểu đồ (*) giao hoán, thật    vậy: + a  A , ta có:   (a)    (a), (a)    (a), 0   i(a)  i     + b  B , ta có: (b)      b  ,   b      b         Vậy biểu đồ (*) là giao hoán, điều đó dẫn tới E  E ' là chẻ ra. Ngược lại, nếu E : 0  G  i   B'   C  0 chẻ ra thì tồn tại đồng cấu i ' : B'  G là nghịch trái của i. Từ biểu đồ giao hoán:   E: 0  A   B   C0     E: 0  G   B'  i   C0 i'
Ta suy ra i '  : B  G là thác triển của  .    Mệnh đề 2.2. Nếu E: 0  A   B   C  0 là dãy khớp ngắn các môđun thì với môđun G bất kì, ta có dãy khớp các nhóm aben sau:  Ext(A,G) (2.1) * * * *    0  Hom(C,G)  Hom(B,G)   Hom(A,G)  E  Ext(C,G)   Ext(B,G)  Chứng minh. Theo định lí (1.4), dãy (2.1) khớp tại Hom(C,G) và Hom(B,G). Ta chứng minh dãy (2.1) khớp tại những vị trí còn lại. Chứng minh dãy (2.1) khớp tại Hom (A,G): Xét đồng cấu  : A  G , ta có:   Im *   : B  G sao cho *          coù theå thaùc trieån tôùi ñoàng caáu  : B  G  E cheû ra ( do meänh ñeà 2.1 )    KerE* Do đó: KerE*  Im * . Vậy dãy (2.1) khớp tại Hom ( A,G). Chứng minh dãy (2.1) khớp tại Ext(C,G): + Do E chẻ ra nên σ*E* =(Eσ)*  0 dẫn đến Im E*  Ker* . + Bây giờ ta cần chứng minh Kerσ*  ImE* . Xét mở rộng bất kì E1  Ext(C,G) mà E1σ chẻ ra. Khi đó, biểu đồ sau giao hoán: A    E1σ: 0  G  G  B  B0  β β1 σ 1 1 E1: 0  G   B1   C0 trong đó  là nghịch phải của  , ta định nghĩa 1   : B  B1 . Do  là nghịch phải của  nên 11   : B  C . Do đó 11    0 . Từ đó ta có: 11  a     a   0, a  A Vì dãy E 1 khớp nên 1  a   Ker1  Im 1 , hơn nữa 1 đơn cấu nên tồn tại duy nhất g  G : 1  g   1  a  . Bây giờ đặt: 1 : A  G ag thì hiển nhiên 1 là đồng cấu và 1  11 . Xét biểu đồ sau:   E: 0  A   B   C0
 1  β1 1 1 E1: 0  G   B1   C0 Do các hình vuông giao hoán nên bộ ba (1 , 1 ,1) : E  E1 là cấu xạ các dãy khớp và vì vậy ta có E1  1E . Vậy dãy (2.1) khớp tại thành viên Ext(C,G). Chứng minh dãy (2.1) khớp tại Ext(B,G): + Ta có: **      0  Im *  Ker* . * + Ta chứng minh: Ker*  Im * . Lấy bất kì dãy khớp ngắn E1  Ker* , E1   1 , 1  : 0  G  1 1  B1   B  0 mà E1 chẻ ra. Gọi 1, ,   là cấu xạ: E1  E1 . Bây giờ ta cần tìm E 2  Ext  C,G  sao cho E 2  E1 . Xét biểu đồ sau: 0  E1  : 0   G  i1   G  A  A   p2 0 i2      E1 : 0   G  B1  1  B  0 1 '  2 2 E2 : 0   G   B '   C  0  0 Ta cần tìm môđun B’ và xây dựng các đồng cấu  2 , 2 và ' để được biểu đồ giao hoán trên và E 2 là dãy khớp. Gọi i 2 : A  G  A là nghịch phải của p 2 : G  A  A . Ta có: p 2i 2  1A . Đặt   i 2 : A  B1 . Lấy B'  B1 / Im  và ' : B1  B'  B1 / Im  là phép chiếu. Chọn  2  '1 : G  B'  B1 / Im  . Khi đó:  2 (g)  '1 (g)  '  1 (g)   1 (g)  Im  . Ta xây dựng 2 : B'  B1 / Im   C b  Im   1 (b) . Với định nghĩa này thì 2 là đồng cấu. Thật vậy: Giả sử b1  Im   b 2  Im  , với b1 , b 2  B1  b1  b 2  Im   a  A : b1  b 2  (a)  i 2 (a)
 1  b1  b 2   1 i 2 (a)     1 i 2 (a)    p 2  i 2 (a)     p 2i 2 (a)  0 (vì 1  p 2 và   0 )  1 (b1 )  1 (b 2 ) . Do đó,  2 là ánh xạ. Và dễ dàng nhận thấy 2 là đồng cấu. Hơn nữa, ta có: c  C , do  là toàn cấu nên b  B : (b)  c .Và do 1 là toàn cấu nên b1  B1 : 1 (b1 )  b   2  b1  Im    1 (b1 )  (b)  c . Như vậy,  2 là toàn cấu. Như vậy ta chỉ còn phải kiểm tra tính khớp của dãy: 2 2 E 2 : 0   G   B'   C  0 Giả sử:  2 (g)  0  '1 (g)  0  '  1 (g)   0  1 (g)  Im   0  Im   a  A : 1 (g)  (a)  11 (g)  1(a) Mà 1  1 i 2    1 i 2   p 2  i 2    p 2i 2    (**) (vì 1  p 2 và p 2i 2  1A ) Mặt khác, 11  0 nên (a)  1(a)  11 (g)  0  a  0 (do  đơn cấu)  1 (g)  (a)  (0)  0  g  0 (do 1 đơn cấu). Do đó,  2 là đơn cấu. Giờ ta cần chứng minh: Im  2  Ker 2 , ta có:  2 2   2 '1    2'  1   1  1    11   0 (vì 11  0 )  Im  2  Ker 2 Mặt khác, lấy bất kì  b  Im    Ker2 , với b  B1 , thì: 1 (b)   2' (b)   2  b  Im    0  1 (b)  Ker  Im   a  A : 1 (b)  (a) Mà 1   (do (**))  1 (b)  (a)  1(a)  1  b  (a)   0  b  (a)  Ker1  Im 1  g  G : b  (a)  1 (g)  b  1 (g)  (a)  Im 
 b  Im   1 (g)  Im   '  1 (g)   '1  (g)   2 (g)  Im  2  Ker 2  Im  2 Như vậy, Ker2  Im  2 . Và do đó dãy (2.1) khớp tại Ext(B,G). Vậy dãy (2.1) khớp đối với bất kì G.  Mệnh đề 2.2 khẳng định rằng hàm tử Ext là sự bổ khuyết cho tính không khớp phải của hàm tử Hom. Tuy nhiên, khi đó Ext lại gây nên một sự không khớp mới: trong dãy (2.1), ánh xạ Ext  B, G   Ext  A, G  không phải luôn là toàn cấu. Thật vậy, ta xét ví dụ sau: Ví dụ. Cho R  K  x, y  là vành các đa thức 2 biến x, y với hệ số trong trường K, và là iđêan gồm các đa thức có hệ số tự do bằng 0 ( có thể xem như là R-môđun). Ở đây, trường K được xét như là R-môđun với phép nhân ngoài như sau: f(x,y).k = f(0,0).k , f(x,y)  R = K[x,y] và  k  K. (f(0,0) là hệ số tự do của đa thức f(x,y)  R) Ta kiểm tra với phép nhân trên thì K là R-môđun: Thật vậy,  f(x,y),g(x,y)  R = K[x,y] và  k,h  K ta có: + M1: 1.k  k (vì đa thức f (x, y)  1 có hệ số tự do bằng 1) Vì đa thức f (x, y).g(x, y) có hệ số tự do bằng tích 2 hệ số tự do của 2 đa thức f (x, y) và g( x, y) nên: + M2: [f(x,y).g(x,y)].k = [f(0,0).g(0,0)].k = f(0,0).[g(0,0).k] = f(x,y).[g(0,0).k] = f(x,y).[g(x,y).k] + M3: f(x,y).( k + h) = f(0,0).( k + h) = f(0,0).k + f(0,0).h = f(x,y).k + f(x,y).h Vì hệ số tự do của đa thức f (x, y)  g(x, y) bằng tổng 2 hệ số tự do của 2 đa thức f (x, y) và g(x, y) nên: + M4: [f(x,y) + g(x,y)].k = [f(0,0) + g(0,0)].k = f(0,0).k + g(0,0).k = f(x,y).k + g(x,y).k Xét dãy E   ,   : 0     x, y     R   K  0 Trong đó,  : x, y    R là phép nhúng
và  : R  K  x, y   K f (x, y)  f (0,0) Để kiểm tra tính khớp của E ta cần chỉ ra rằng  là toàn cấu và Ker  Im  . +  là toàn cấu: Xét f (x, y),g(x, y), r  r(x, y)  R  K  x, y  , vì hệ số tự do của đa thức f (x, y)  g(x, y) bằng tổng 2 hệ số tự do của f ( x, y) và g(x, y) và hệ số tự do của đa thức r(x, y).f (x, y) bằng tích 2 hệ số tự do r(x , y) và f (x, y) nên ta có: *  [f(x,y) + g(x,y)] = f(0,0) + g(0,0) =  [f(x,y)] +  [g(x,y)]. *  [ r.f(x,y)] =  [r(x,y).f(x,y)] = r(0,0).f(0,0) = r(x,y).f(0,0) = r. [f(x,y)]. Do đó,  là đồng cấu R-môđun. Hơn nữa, với k  K , ta chọn f (x, y)  k  R  K  x, y  thì ta có:   f (x, y)   f (0,0)  k Như vậy,  là toàn cấu. + Ker  Im  : Thật vậy, ta có: f(x,y)  Ker  [f(x,y)] = 0  f(0,0) = 0  f(x,y)  = Im Như vậy, dãy E   ,   là khớp 0  x, y     R   K  0 là dãy khớp. Tiếp theo ta cần chỉ ra rằng: * : Ext(R,G)   Ext( x, y ,G) là không toàn cấu với mọi môđun G (tức là dãy (2.1) không khớp về bên phải). Do R là R-môđun tự do nên Ext(R,G) = 0 với mỗi môđun G nên để chứng minh * : Ext(R,G)   Ext( x, y ,G) là không toàn cấu với mọi môđun G, ta chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại môđun G sao cho Ext( x, y ,G)  0 hay nói cách khác không phải là R-môđun xạ ảnh. Gọi M là R-môđun tự do sinh bởi {x,y} : M = Rx  Ry = K[x,y]x  K[x,y]y. Khi đó, ta có toàn cấu sau: p : M = K[x,y]x  K[x,y]y  [f(x,y).x , g(x,y).y]  f(x,y).x + g(x,y).y Thật vậy, dễ thấy p là toàn ánh nên ta chỉ cần kiểm tra p là đồng cấu: r = r(x,y)  R = K[x,y],[f1 (x,y).x , g1 (x,y).y], [f 2 (x,y).x , g 2 (x,y).y]  M ta có: p [f1 (x,y).x , g1 (x,y).y] + [f 2 (x,y).x , g 2 (x,y).y]
 p [f1 (x,y) + f 2 (x,y)].x , [g1 (x,y) + g 2 (x,y)].y]  [f1 (x,y) + f 2 (x,y)].x + [g1 (x,y) + g 2 (x,y)].y = f1 (x,y).x + f 2 (x,y).x + g1 (x,y).y + g 2 (x,y).y = [f1 (x,y).x + g1 (x,y).y] + [f 2 (x,y).x + g 2 (x,y).y] = p  f1 (x,y).x , g1 (x,y).y   p f 2 (x,y).x , g 2 (x,y).y  p  r.[f(x,y).x , g(x,y).y]  p  r(x,y).[f(x,y).x , g(x,y).y]  p  r(x,y).f(x,y).x , r(x,y).g(x,y).y  r(x,y).f(x,y).x + r(x,y).g(x,y).y = r(x,y).[f(x,y).x + g(x,y).y] = r.p[f(x,y).x , g(x,y).y] Vậy p là toàn cấu, do đó ta có dãy khớp sau: 0   Kerp  i  M  K[x, y]x  K[x, y]y  p  0 (**)   x, y   trong đó, i là phép nhúng. Giả sử dãy khớp trên là chẻ ra. Khi đó, p khả nghịch phải. Cho nên tồn tại đồng cấu q :  M = K[x,y]x  K[x,y]y , sao cho: pq = 1 . Ta chú ý rằng mọi đa thức f(x,y)  K[x,y] có thể viết dưới dạng là một đa thức theo x với hệ tử n là một đa thức theo y : f(x,y) =  f i (y)x i i 0  n   m   Giả sử: q(x)    fi (y)x i  x,   g i (y)x i  y    i 0   i 0    t   l   và q(y)     fi' (y)x i  x,   g i' (y)x i  y    i 0   i 0   Khi đó:  n  m   n  m  x  pq(x)  p    f i (y)x i  x,   g i (y)x i  y     f i (y)x i  x    g i (y)x i  y Bằng cách so   i 0   i 0    i 0   i 0  sánh hệ tử của x ta có: 1  f o (y)  g1 (y).y  f o (y)  1  g1 (y).y Ta xem x và y như là 2 đa thức thuộc vành hệ tử R = K[x,y] , khi đó do các đa thức xy, x và y đều thuộc iđêan nên ta có:  t   l    t   l   q(xy)  xq(y)  x    f i' (y)x i  x,   g i' (y)x i  y      f i' (y)x i  x 2 ,   g i' (y)x i  xy  .   i 0   i 0     i 0   i 0   Hơn nữa:
q(xy)  q(yx)  yq(x)  n  m    y    f i (y)x i  x,   g i (y)x i  y    i 0   i 0    n  m       f i (y)x i  xy,   g i (y)x i  y 2    i 0   i 0    t   l    n   m   Do đó:    fi ' ( y ) xi  x 2 ,   gi' ( y ) xi  xy      fi ( y ) xi  xy,   gi ( y) xi  y 2    i 0   i 0     i 0   i 0    t  n     f i' (y)x i  x 2    f i (y)x i  xy  i 0   i 0  t n   fi' (y)x i2  i 0 [f (y)y]x i 0 i i 1 So sánh hệ tử của x ta có: 0  f o (y)y . Tuy nhiên, rõ ràng f o ( y ) y  [1  g1 ( y ). y ] y  y  g1 ( y ). y 2 là một đa thức khác 0 vì có hệ số của y là 1. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử là sai, do đó dãy khớp (**) không chẻ ra. Vì vậy, Ext(, Kerp)  0 . Tức là * : 0  Ext(R, Kerp)   Ext( x, y , Kerp)  0 là không toàn cấu.  Vậy khi nào thì dãy (2.1) vẫn còn giữ nguyên tính khớp nếu bổ sung 0 bên phải? Mệnh đề sau đây là một câu trả lời:   Mệnh đề 2.3. Nếu E: 0  A   B   C  0 là dãy khớp ngắn các nhóm aben và G là nhóm aben tùy ý thì dãy (2.1): vẫn còn giữ * * * *    0  Hom(C,G)  Hom(B,G)   Hom(A,G)  E  Ext(C,G)   Ext(B,G)   Ext(A,G) nguyên tính khớp nếu bổ sung 0 bên phải. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh * : Ext  B,G   Ext  A,G  là toàn cấu. Để làm điều đó, ta chọn nhóm aben tự do F và toàn cấu  : F  B với Ker  K . Đặt L  1  A  thì K  L . Thật vậy, lấy x  K ta có:   x   0B    0A   A . Suy ra: x  1  A  .Từ đây ta có đồng cấu '   L : L  A cũng có hạt nhân là K nên ta có biểu đồ giao hoán sau: E1: 0  K  L   A0    E 2 : 0  K  F  B  0
trong đó E1 , E 2 khớp. Do đó E1  E 2 kéo theo E1*  *E*2 . Từ đó, ta nhận được biểu đồ giao hoán sau: * Hom(K,G)  E2  Ext(B,G) *  * Hom(K,G)  E1  Ext(A,G)  Ext(L,G) với dòng dưới là khớp. Tuy nhiên, vì L là nhóm con của F-tự do nên L-tự do, suy ra Ext(L,G) = 0. Do đó E1* là toàn cấu và vì thế * cũng là toàn cấu. Vậy mệnh đề đã được chứng minh.  2.2. Định lí hệ tử phổ dụng 2.2.1. Các mệnh đề bổ trợ Mệnh đề 2.4. Gọi C n (K) là nhóm các chu trình n - chiều của phức K. Khi đó: a. Dn  K n  Bn 1  K  - nhóm các bờ (n – 1) – chiều của K. Cn  K  b. Đồng cấu bờ  n : K n  K n 1 phân tích được:  Cn 1  K   ' n K n  jn  Dn  in1  K n 1 Trong đó: jn là phép chiếu , in1 là phép nhúng và  'n ( k  Cn  K  )   n  k  c. Các dãy ngắn sau là khớp: Tn : 0  Cn  K   in  K n  jn  Dn  0 Cn  K   ' Sn : 0  Dn 1   n1 n  Hn( K )  0 Chứng minh. a. Xét phức:  n 1 n  n 1 K: ...  K n 1   K n  K n 1  ... Do  n : K n  Im  n  Bn 1  K  là toàn cấu nên K n Ker  Bn 1  K  (định lí Nơte) n Hay K n  Bn 1  K  . Cn  K  b. k  K n , ta có: i n 1 'n jn (k)  i n 1 'n  k  Cn  K    i n 1 n (k)   n (k)  i n 1 'n jn   n . c. Xét Tn : 0  Cn  K   i  K n  j  Dn  0 n n i n là phép nhúng nên đơn cấu, jn là phép chiếu nên toàn cấu.
Imi n = C n (K) = Kerj n Vậy T n khớp. Cn  K   '   Xét Sn : 0  D n 1  n 1  H n (K)  0 trong đó: n K n 1  'n 1 : D n 1   Cn  K  C n 1  K  x  K n 1 , ta có:  'n 1  x  Cn 1  K    0   n 1 (x)  0  x  Ker n 1  C n 1  K   x  Cn 1  K   0  Cn 1  K   Ker 'n 1  0   'n 1 ñôn caáu n là phép chiếu nên là toàn cấu. Im  'n 1  Im  n 1  Kern . Vậy S n khớp.  Mệnh đề 2.5. Cho biểu đồ giao hoán các nhóm aben: 1 0 F   G0   G1 g0 g 1 ' ' G1'  1  G'0  0  G' 1 với F là nhóm aben tự do, dòng trên nửa khớp, dòng dưới khớp. Khi đo, tồn tại duy nhất đồng cấu g1 : F  G1' sao cho g0 1  '1 g1 . Chứng minh. Giả sử a i iI là cơ sở của F. Do biểu đồ giao hoán nên:  '0 g 0  g 1 0 Suy ra:  '0g 0 1  g 1 0 1 Mà dòng trên nửa khớp nên  0 1  0 kéo theo  '0 g 0 1  0 Do đó, với mọi i , ta có:  '0 g 0 1  a i   0  g 0 1  a i   Ker '0  Im 1' (do dòng dưới khớp)  bi  G1' : 1'  bi   g 0 1  a i  Mà F tự do nên tồn tại duy nhất đồng cấu g1 : F  G1' thỏa g1  a i   bi , i  I Rõ ràng: g 0 1  a i   1'  bi   1' g1  a i  , i  I  x  F : g 0 1  x   1' g1  x   g 0 1  1' g1
Vậy mệnh đề đã được chứng minh.  Mệnh đề 2.6. Cho K là phức các nhóm aben tự do, L là phức các nhóm aben, n : H n  K   H n  L  ,n   , là đồng cấu nhóm. Khi đó, tồn tại biến đổi dây chuyền f : K  L sao cho  f* n  n . Chứng minh. Xét dãy khớp: 0  Cn  K   i   K n   Bn 1  K   0 Ta có Bn 1  K  tự do vì Bn 1  K   K n 1 là nhóm aben tự do. Vì thế dãy khớp trên chẻ ra,  có nghịch đảo phải t : Bn 1  K   K n . Do t là đơn cấu nên: K n  Cn  K   tBn 1  K  Đặt Cn  K   tBn 1  K  , ta có: K n  Cn  K   Cn  K  Xét biểu đồ: Cn1  K   Cn  K    H n  K   K K  n 1 n 0 f n1 f n' n Cn  L    H n  L   L L  n 1 n L n 1  0 Dễ thấy dòng trên của biểu đồ là nửa khớp, còn dòng dưới khớp. Áp dụng mệnh đề 2.5 vào biểu đồ trên ta có: + Tồn tại duy nhất đồng cấu f n' : Cn  K   C n  L  để hình vuông giữa giao hoán. + Tồn tại duy nhất đồng cấu f  : C  K   L n 1 để hình vuông trái giao hoán. n 1 n 1 Ta xác định f : K  L là biến đổi dây chuyền với f n  f n'  f n : K n  Ln . f được xác định như trên là biến đổi dây chuyền: Ta cần chứng minh: f n 1 nK  k    nL f n  k  , k  K n + k  Cn  K  , ta có: f n 1 nK  k   0 vì k  Cn  K   Ln f n  k    Ln f n'  k   0 (do f n'  k   C n  L  )  f n 1 nK  k    nL f n  k  , k  Cn  K  + k  Cn  K  , ta có: f n 1 nK  k   f n' 1 nK  k  (do  Kn  k   Cn  K  )   Ln f n  k  (hình vuông trái giao hoán)   Ln f n  k 