Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn gồm hai chương trình bày lại các khái niệm chính gồm hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình riêng, miền giả lồi, dạng Levi và một số kết quả bổ trợ làm tiền đề nghiên cứu chương hai; trình bày bài toán "Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng". Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ TUẤN LONG ĐỊNH LÝ WONG-ROSAY CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ TUẤN LONG ĐỊNH LÝ WONG-ROSAY CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH RIÊNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. Ninh Văn Thu Hà Nội - Năm 2019
Mục lục Lời cảm ơn 2 Danh sách ký hiệu 3 Lời nói đầu 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Ánh xạ chỉnh hình riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Miền giả lồi, dạng Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng 12 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Chứng minh Định lý 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình riêng . . . . . . . . . . . . . . . 19 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 1
Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS. TS. Ninh Văn Thu. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy. Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2017 - 2019, đã có công lao dạy dỗ em trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường. Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên em để em hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình. Hà Nội, ngày 23 tháng 11 năm 2019 Học viên Tạ Tuấn Long 2
Danh sách ký hiệu Aut(Ω) Nhóm tự đẳng cấu của miền Ω C k (Ω) Không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k Tp bΩ Mặt phẳng tiếp tuyến với bΩ tại p TpC (bΩ) Không gian tiếp xúc phức với bΩ tại p Lρ (p) Dạng Levi của bΩ tại p ~ (p) N Là vectơ pháp tuyến trong đơn vị của bΩ tại p Bδ+ (p) ~ (p), bán kính δ Là "nửa" hình cầu tâm pδ = p + δ N dK Ω Là giả khoảng cách Kobayashi trong Ω f k = f ◦ ... ◦ f Là hợp thành của k lần f 3
Lời nói đầu Giả sử M là đa tạp phức. Nhóm tự đẳng cấu của M (ký hiệu bởi Aut(M )) là tập hợp các song chỉnh hình của M với phép toán hai ngôi là phép hợp thành của hai tự đẳng cấu. Tôpô trên Aut(M ) là tôpô hội tụ đều trên các tập con compact. Định lý Riemann phát biểu rằng mọi miền đơn liên D trong mặt phẳng C khác C đều đẳng cấu (hay song chỉnh hình) với hình tròn đơn vị. Tuy nhiên, kết quả này không còn đúng trong trường hợp nhiều chiều. Tức là, không tồn tại ánh xạ song chỉnh hình từ đa đĩa lên hình cầu. Vấn đề quan trọng được đưa ra đó là với điều kiện nào để một miền trong Cn (với n > 1) song chỉnh hình với hình cầu đơn vị. Một trong những kết quả nổi tiếng nghiên cứu theo hướng này được hai nhà toán học là B.Wong và J.-P.Rosay nghiên cứu từ những năm 70 của thế kỷ trước. Năm 1977, B. Wong [6] và sau đó năm 1979, J.-P.Rosay [7] đã chứng minh rằng mọi miền bị chặn trong Cn với biên giả lồi chặt và có nhóm tự đẳng cấu không compact luôn song chỉnh hình với hình cầu đơn vị trong Cn . Định lý Wong-Rosay được phát biểu như sau: Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Cn với biên trơn lớp C 2 và (fn ) là một dãy các tự đẳng cấu từ Ω vào chính nó. Giả sử rằng quĩ đạo của một điểm trong Ω dưới tác động của dãy (fn ) hội tụ đến một điểm biên giả lồi chặt của Ω. Khi đó, miền Ω là song chỉnh hình với một hình cầu đơn vị trong Cn . Vì vậy, tiếp tục mạch nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng” để làm luận văn cao học. Mục tiêu của luận văn này là trình bày lại các kết quả trong bài báo [2]. Cụ thể, chúng tôi chứng minh ánh xạ chỉnh hình riêng của miền bị chặn trong 4
Ck mà dãy lặp của nó hội tụ đến một điểm biên giả lồi chặt là song chỉnh hình với hình cầu đơn vị trong Ck . Trong luận văn này, ngoài phần Lời nói đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm hai chương. Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản và tính chất của hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình riêng, miền giả lồi, dạng Levi và một số kết quả bổ trợ. Chương 2 được dành để trình bày chứng minh của Định lý kiểu Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng. Hà Nội, ngày 23 tháng 11 năm 2019 Học viên Tạ Tuấn Long 5
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Giả sử Ω là một miền trong Cn và ký hiệu Aut(Ω) là nhóm các ánh xạ song chỉnh hình của Ω. Ta nhắc lại một kết quả cổ điển của H. Cartan rằng nếu Ω là một miền bị chặn trong Cn và Aut(Ω) không compact thì tồn tại các điểm x ∈ Ω, p ∈ ∂Ω và dãy các tự đẳng cấu ϕj ∈ Aut(Ω) sao cho ϕj (x) → p. Trong trường hợp này, ta gọi điểm biên p là điểm biên tụ quĩ đạo. Năm 1977, B. Wong [6] và sau đó năm 1979, J.-P.Rosay [7] đã chứng minh rằng miền bị chặn trong Cn với biên giả lồi chặt và có nhóm tự đẳng cấu không compact luôn song chỉnh hình với hình cầu đơn vị trong Cn . Định lý 1 (Wong-Rosay) Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Cn với biên trơn lớp C 2 và (fn ) là một dãy các tự đẳng cấu từ Ω vào chính nó. Giả sử rằng quĩ đạo của một điểm trong Ω dưới tác động (fn ) hội tụ đến một điểm biên giả lồi chặt của Ω. Khi đó, miền Ω là song chỉnh hình với một hình cầu đơn vị trong Cn . 1.1 Hàm chỉnh hình Kí hiệu C là trường số phức và Cn = {(z1 , ..., zn )|zj ∈ C, j = 1, ..., n}. Kí hiệu zj = xj + iyj , xj , yj ∈ R, j = 1, ..., n, và ta viết ∂ ∂ Dj = và Dj = , ∂zj ∂z j ∂ trong đó ∂zj = 21 ( ∂x∂ j − i ∂y∂ j ) và ∂ ∂z j = 12 ( ∂x∂ j + i ∂y∂ j ). 6
Hơn nữa, với mỗi j = 1, ..., n ta đặt dzj = dxj + idyj ; dz j = dxj − idyj . Giả sử f : Ω ⊂ Cn → C là hàm khả vi liên tục. Khi đó, ta định nghĩa: n X ∂f ∂f = dzj ; j=1 ∂zj n X ∂f ∂f = dz j . j=1 ∂z j Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω ⊂ Cn là một tập mở trong Cn . Khi đó, hàm f : Ω → C được gọi là chỉnh hình trong Ω nếu: a) f ∈ C 1 (Ω); b) f thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann ∂f = 0 trên Ω. Kí hiệu H(Ω) là tập hợp tất cả các hàm chỉnh hình trong miền Ω. Ta nhắc lại rằng ánh xạ F = (f1 , . . . , fm ) : Ω → Cm (m ∈ N∗ ) được gọi là chỉnh hình nếu fj : Ω → C là chỉnh hình với mọi j = 1, 2, . . . , m. Kí hiệu Aut(Ω) := {f : Ω → Ω là song chỉnh hình}. Ta cũng nhắc lại rằng Aut(Ω) là một nhóm với phép toán hợp thành và được gọi là nhóm tự đẳng cấu của miền Ω. Định lý 1.1.2 (Định lý hàm ngược). Giả sử Ω là tập mở trong Cn và F : Ω → Cn là ánh xạ chỉnh hình. Giả sử rằng F 0 (p) là khả nghịch tại mỗi điểm p ∈ Ω (JF (z) 6= 0). Khi đó, tồn tại lân cận V của p và lân cận W của F (p) sao cho ánh xạ F : V → W là song chỉnh hình. Chứng minh. Theo giả thiết, ta có Ω là tập mở trong Cn , F : Ω → Cn là chỉnh hình và F 0 (p) là khả nghịch tại mỗi điểm p ∈ Ω. Vì F 0 (p) khả nghịch trên Cn nên nó cũng khả nghịch trên R2n . Do đó, theo Định lý hàm ngược đối với ánh xạ trơn giữa các miền trong R2n , tồn tại lân cận V của p và lân cận W của F (p) sao được F : V → W là một vi phôi. Kí hiệu G = (g1 , ..., gn ) : W → V là ánh xạ ngược của F . Bây giờ, ta chứng minh rằng G = (g1 , ..., gn ) là ánh xạ chỉnh hình. 7
Vì G là ánh xạ ngược của F nên ta có G(F (z)) = z, ∀z ∈ V . Điều này suy ra rằng gi (F (z)) = zi , 1 ≤ i ≤ n. Lấy đạo hàm Dk và theo Định lý hàm hợp (The chain rule), ta được n X Dk gi (F (z)) = Dj gi (F (z)).Dk f j (z) = 0. j=1 Pn Ta kí hiệu cik = j=1 (Dk fj (z))(D j gi (F (z))) vì Dk f j = Dk fj , 1 ≤ i, k ≤ n. Khi đó, ta có ma trận C = AB, với A = (akj ) = Dk fj (z) , B = (bji ) = Dj gi (F (z)). Mặt khác, do JF (z) 6= 0 nên A khả nghịch. Do đó, điều này suy ra rằng B = 0. Từ đó, Dj gi (F (z)) = 0, ∀j = 1, ..., n và vì thế gi chỉnh hình. Vậy, ánh xạ G là chỉnh hình. 1.2 Ánh xạ chỉnh hình riêng Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô. Ánh xạ f : X → Y được gọi là riêng nếu f −1 (K) là compact trong X với mọi tập compact K ⊂ Y . Giả sử Ω và Ω0 là các miền trong Cn và Ck tương ứng. Giả sử ánh xạ F : Ω → Ω0 là chỉnh hình riêng. Kí hiệu #(w) là số các điểm trong F −1 (w) với w = (w1 , ..., wk ) ∈ Ω0 . Kí hiệu M là tập không điểm của hàm J, tức là M = Z(J), trong đó J là hàm Jacobi của F . Ảnh F (M ) của M gọi là tập tới hạn của F . Mỗi w ∈ F (M ) gọi là giá trị tới hạn của F . Mỗi điểm của F (Ω) \ F (M ) được gọi là giá trị chính qui của F . Mệnh đề 1.2.2. Nếu Ω và Ω0 là miền trong Cn và F : Ω → Ω0 là ánh xạ riêng thì a) F (Ω) = Ω0 b) Tập các giá trị chính qui của F là tập mở, liên thông và trù mật trong Ω0 . Định lý 1.2.3 (Định lý Rado). Giả sử Ω ⊂ Cn và f : Ω → C là ánh xạ liên tục và chỉnh hình trong Ω \ {f = 0}. Khi đó, f chỉnh hình trên Ω. 8
Định nghĩa 1.2.4 (H ∞ -khử được). Giả sử Ω ⊆ Cn . Một tập con đóng tương đối E của Ω gọi là H ∞ -khử được trong Ω nếu mọi hàm chỉnh hình f ∈ H(Ω\E) đều có thể thác triển thành F ∈ H(Ω). Bổ đề 1.2.5. Giả sử Ω ⊆ Cn và g ∈ H(Ω) với g 6≡ 0. Đặt E = {z ∈ Ω : g(z) = 0}. Khi đó, E là H ∞ -khử được trong Ω. Định lý 1.2.6. Nếu Ω là miền trong Cn và F : Ω → Cn là chỉnh hình và đơn ánh thì JF 6= 0 trong Ω. Từ đó, F : Ω → F (Ω) là ánh xạ song chỉnh hình. Chứng minh. Giả sử F là chỉnh hình và đơn ánh. Ta cần chứng minh JF 6= 0 trong Ω. Vì F là đơn ánh nên F −1 (w) = zw . Do đó, F −1 (w) là compact với mọi w ∈ Cn và do vậy F là ánh xạ mở. Giả sử Ω0 = F (Ω). Khi đó, ánh xạ F : Ω ⊆ Cn → Ω0 = F (Ω) là đơn ánh, toàn ánh, liên tục. Hơn nữa, vì F là ánh xạ mở và F liên tục nên F : Ω ⊆ Cn → F (Ω) là phép đồng phôi. Ta định nghĩa một ánh xạ g trên Ω0 = F (Ω) bởi g(w) := g(F (z)) = J(F −1 (w)) = J(F −1 (F (zw ))). Khi đó, g liên tục trên Ω0 . Thật vậy, nếu ta lấy một dãy {wn } trong Ω0 sao cho wn → w thì ta có F −1 (wn ) → F −1 (w); An (F −1 (wn )) → A(F −1 (w)); detAn (F −1 (wn )) → detA(F −1 (w)), trong đó An , A là các ma trận Jacobi tương ứng với F −1 (wn ) và F −1 (w). Do đó, g(wn ) → g(w). Vậy, g liên tục trên Ω0 . Kí hiệu M = {z : J(z) = 0}. Vì định thức J là liên tục và M là nghịch ảnh của tập {0} qua J nên M là đóng trong Ω0 . Hơn nữa, vì F −1 là liên tục nên ta suy ra F là đóng. Do đó, F (M ) là đóng và Ω\F (M ) là mở. Theo Định lý hàm ngược, hàm g chỉnh hình trên Ω0 \F (M ). Hơn nữa, do g liên tục và g(w) = 0 khi và chỉ khi w ∈ F (M ) nên theo Định lý Rado, ta suy ra hàm g chỉnh hình trên Ω0 . Mặt khác, do ánh xạ F −1 chỉnh hình trên Ω0 \ F (M ) và F (M ) = Z(g) nên F −1 có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình trên Ω0 . Áp dụng định lý hàm hợp cho ánh xạ F −1 (F (z)) = z, ta kết luận rằng J(z) 6= 0 và vì thế M = ∅. 9
Định lý 1.2.7. Giả sử Ω và Ω0 là các miền trong Cn . Giả sử ánh xạ F : Ω → Ω0 là chỉnh hình riêng. Gọi #(w) là số các điểm trong F −1 (w) với w ∈ Ω0 . Khi đó, tồn tại số nguyên m (gọi là bội của F ) sao cho #(z) = m với mỗi giá trị chính qui của F #(z) < m với mỗi giá trị tới hạn của F 1.3 Miền giả lồi, dạng Levi Định nghĩa 1.3.1. Miền Ω ⊂ Cn có biên trên lớp C 2 được gọi là giả lồi tại p ∈ bΩ nếu tồn tại hàm xác định biên ρ, tức là Ω ∩ U = {ρ < 0} với U là một lân cận của p, sao cho n X ∂ 2ρ Lρ (p)(u) = (p)ui uj ≥ 0 (∗) i,j=1 ∂z i ∂z j với mọi u ∈ TpC (bΩ), trong đó TpC (bΩ) là không gian tiếp xúc phức với bΩ tại p được cho bởi: n n X ∂ρ TpC (bΩ) := {u ∈ C : (p)uj = 0}. j=1 ∂z j Ta nói rằng p ∈ bΩ là điểm giả lồi chặt nếu Lρ (p)(u) > 0 với mọi u ∈ TpC \{0}. Dạng Hermitan Lρ (p) xác định trong (∗) được gọi là dạng Levi của bΩ tại p. Ví dụ 1.3.2. E1,m = {(z1 , z2 )| |z1 |2 + |z2 |2m < 1} là một miền giả lồi. z1 + z2m .¯ Thậy vậy, đặt ρ = z1 .¯ z2m − 1. Khi đó, ta có ρz1 = z¯1 và ρz2 = mz2m−1 .¯ z2m . Vì thế, với ρz1 .w1 + ρz2 .w2 = 0 ta có thể chọn w2 = −ρz1 , w1 = ρz2 . Hơn nữa, ρz1 z¯1 = 1, ρz1 z¯2 = 0, ρz2 z¯1 = 0, ρz2 z¯2 = m2 z2m−1 .¯ z m−1 = m2 |z2 |m−1 . Vì ! 2 ! 1 m−1 m 0 mz2 .¯ z2 vậy, Lρ (p)(w) = mz2m−1 .¯ z2m −¯ z1 ≥0 0 m2 |z2 |m−1 z¯1 Nếu m = 1, Ω1 = B 2 là giả lồi chặt. 10
1.4 Một số kết quả bổ trợ Giả sử Ω là miền bị chặn trong Ck , y0 ∈ Ω, f là ánh xạ chỉnh hình riêng và a là điểm giả lồi chặt trên bΩ sao cho f nk (y0 ) → a với dãy con {nk } ⊂ N nào đó. Khi đó, ta có bổ đề sau đây: Bổ đề 1.4.1. Điểm a là một điểm cố định không đẩy của f . Chứng minh. Giả sử bằng phản chứng rằng f là đẩy tại a. Tức là, tồn tại lân −1 cận mở U của a mà trên đó nghịch đảo f −1 của f sao cho d(f|U (z), a) < d(z, a). Theo giả thiết, tồn tại một điểm y0 ∈ Ω sao cho f nk (y0 ) ∈ U với k đủ lớn. 0 Đặt n0k = min {n|f i (y0 ) ∈ U, ∀i ∈ [n, nk ]}. Khi đó, f nk −1 (y0 ) ∈ / U . Mặt 0 khác, vì f −1 là ánh xạ co hạn chế trên U nên f nk (y0 ) gần tới a hơn f nk (y0 ). Do 0 0 0 vậy, f nk (y0 ) tiến tới a kéo theo f nk −1 (y0 ) hội tụ đến a. Vì thế, f nk −1 hội tụ đều 0 địa phương đến a. Điều này trái với giả thiết rằng f nk −1 ∈ / U . Vậy, f là không đẩy tại a. Mệnh đề 1.4.2. Giả sử g là tự đẳng cấu của hình cầu đơn vị trong Cn . Khi đó dãy lặp của g là một trong các dạng sau: 1. Hyperbolic(Bắc- Nam): Tồn tại hai điểm cố định N, S ∈ bB của g và g n hội tụ đều địa phương đến S trên B{N }. 2. Parabolic (Nam-Nam): Tồn tại một điểm cố định duy nhất S ∈ bB và g n hội tụ đều địa phương đến S trên B{S}. 3. Hồi qui (compact): Các quĩ đạo g vẫn giữ nguyên khoảng cách cố định từ bB. Bổ đề 1.4.3. Giả sử g là tự đẳng cấu của hình cầu sao cho nó có điểm cố định không đẩy p trên bB và không có điểm trong cố định gần p. Khi đó, dãy lặp của g hoặc là hyperbolic hoặc parabolic với cực nam p ( nghĩa là S là p trong phân loại trên). Hơn nữa, với bất kỳ lân cận U của p, tồn tại một điểm z ∈ U sao cho quĩ đạo của nó nằm trong U và hội tụ đến p. 11
Chương 2 Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng Chương này nghiên cứu về Định lý Wong-Rosay trong trường hợp dãy các tự đẳng cấu được thay thế bởi dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình riêng. Ta sẽ chứng minh rằng nếu quĩ đạo lặp ứng với một ánh xạ chỉnh hình riêng f : Ω → Ω của một điểm thuộc Ω hội tụ đến điểm biên giả lồi chặt của Ω thì Ω song chỉnh hình với hình cầu đơn vị và f là tự đẳng cấu. Nội dung của chương này được viết dựa trên cơ sở bài báo [2] của Emmanuel Opshtein. 2.1 Phát biểu bài toán Định lý 2.1.1. Giả sử Ω là miền bị chặn trong Ck và f là ánh xạ chỉnh hình riêng của Ω. Giả sử tồn tại một điểm y ∈ Ω sao cho quỹ đạo (f n (y)) hội tụ đến điểm biên giả lồi chặt a ∈ bΩ. Khi đó, Ω là song chỉnh hình với hình cầu đơn vị trong Ck và f là một tự đẳng cấu. Để chứng minh định lý này, ta cần định lý sau đây: Định lý 2.1.2 (Định lý Webster). Giả sử S và S 0 là hai siêu phẳng giả lồi chặt trong Ck . Giả sử tồn tại một dãy các phép CR-nhúng (fn )n từ S vào trong S 0 sao cho (fn (S)) hội tụ đến một điểm trong S 0 . Khi đó, S là có thể cầu hóa địa phương. Tức là, S là CR-đẳng cấu địa phương với một phần mặt cầu đơn vị trong Ck . 12
2.2 Một số bổ đề bổ trợ Để chứng minh định lý chính ta cần các bổ đề sau đây: Bổ đề 2.2.1. Cho gk : Ω → Ω0 là dãy các ánh xạ chỉnh hình sao cho gk (y) → p ∈ bΩ0 với y ∈ Ω và p là điểm giả lồi chặt. Khi đó, dãy gk hội tụ đều địa phương đến p trên Ω. Chẳng hạn, dãy f nk hội tụ đều địa phương đến a trên Ω. Hệ quả 2.2.2. Ánh xạ f thác triển trơn lên một lân cận của a ∈ bΩ và f (a) = a. Hơn nữa, f là song chỉnh hình địa phương (tương ứng là CR-tự đẳng cấu) trong một lân cận của a (tương ứng là trong bΩ). Chứng minh. Đặt zk = f nk (y) và wk = f (zk ). Theo Bổ đề 2.2.1, dãy zk hội tụ đến a và wk = f (zk ) = f (f nk (y)) = f nk (f (y)) cũng hội tụ đến a. Vì a là điểm giả lồi chặt và zk và wk cùng hội tụ đến a nên f thác triển liên tục lên một lân cận của a trong bΩ với f (a) = lim f (zk ) = lim wk = a. Hơn nữa, do a là điểm giả lồi chặt của bΩ nên ánh xạ thác triển đó của f là trơn và đơn ánh. Bổ đề 2.2.3 (Bổ đề Hopf). Giả sử ϕ ∈ C ∞ (Ω ) là một hàm điều hòa dưới âm trên Ω sao cho ϕ(−) = 0 và ϕ(.eiθ ) 6 −1 với θ ∈ [−α, α]. Khi đó, ta có αt ϕ(pt ) = ϕ(− + t) 6 − 4π ~ ϕ (p)k > α . với mọi t 6 và k∇ 4π Chứng minh. Sử dụng công thức tích phân Poisson, ta có: π 2 − ( − t)2 Z 1 ϕ(pt ) = ϕ(− + t) 6 ϕ(.eiθ ). dθ 2π −π | − + t − .eiθ |2 Z α 1 2 − ( − t)2 6− dθ 2π −α | − + t − .eiθ |2 1 αt(2 − t) 6− π 42 αt 6− . 4π Vì thế, bổ đề được chứng minh. 13
2.3 Chứng minh Định lý 2.1.1 Giả sử Ω là miền bị chặn trong Ck , f là ánh xạ chỉnh hình riêng và a là điểm giả lồi chặt trên bΩ. Không mất tính tổng quát, ta có thể coi a = (0, 0) là gốc trong Ck và Ta bΩ = {Re z1 = 0} là mặt phẳng tiếp xúc của bΩ tại a. Hơn nữa, ta có thể sử dụng phép biến đổi hệ toạ độ để Ω là lồi địa phương tại a và Ω ⊂ {Rez1 > 0}. Với mọi α đủ nhỏ, đặt Uα và Ωα tương ứng là các thành phần liên thông của a trong bΩ ∩ {Re z1 < α} và Ω ∩ {Re z1 < α}. Đầu tiên, để chứng minh Định lý 2.1.1 ta cần chứng minh bΩ là có thể cầu hoá địa phương quanh điểm a. Cụ thể, ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.3.1. Tồn tại một lân cận U nào đó của a trong bΩ và lân cận V của p ∈ bB n sao cho Φ(U ∩ Ω) = V ∩ B n . Để chứng minh bổ đề trên ta cần xét hai trường hợp như sau: Trường hợp 1: dãy (f nk ) hội tụ đến điểm a giả lồi chặt trên bΩ (Kí hiệu: SP C(bΩ)) và Định lý 2.1.2 đưa ra tính cầu hoá được. Trường hợp 2: dãy (f nk ) không hội tụ đến điểm a trên SP C(bΩ). Khi đó, nhánh khả nghịch của f nk là dãy CR-vi phôi co và Định lý 2.1.2 đưa ra tính cầu hoá được. Ta xét trường hợp 1: dãy (f nk ) hội tụ đến điểm giả lồi chặt a ∈ bΩ. Mệnh đề 2.3.2. Giả sử (f nk ) hội tụ đều địa phương đến a trên một lân cận của a trong bΩ. Khi đó, bΩ có thể cầu hóa được gần a. Chứng minh. Theo Định lý 2.1.2, ta chỉ ra sự tồn tại một dãy các ánh xạ tự CR-đẳng cấu co trên một lân cận của a. Giả sử rằng (f nk ) là một dãy CR-ánh xạ co trên SP C(bΩ). Hệ quả 2.2.2 rõ ràng chỉ ra rằng f là vi phôi địa phương tại a. Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại một lân cận cố định của a sao cho tất cả các ánh xạ f nk là đơn ánh trên lân cận đó. Thật vậy, để chứng minh điều này, ta xét 2 trường hợp: Trường hợp a): {f nk } ≡ {f n } 14
Đầu tiên, ta cần giả thiết rằng f n (không chỉ có f nk ) hội tụ đến a. Cố định một lân cận U chứa a sao cho f|U là đơn ánh (do f là tự đẳng cấu). Vì f n hội tụ đến a trên U , f n (U ) ⊂ U, ∀n ≥ n0 đủ lớn. Bây giờ, ta xét một lân cận U 0 chứa a trong U sao cho f (U 0 ) ⊂ U, ..., f n0 −1 (U 0 ) ⊂ U và tập hợp này là tồn tại vì f liên tục và a là một điểm cố định của f . Từ việc xây dựng, ta có f n (U 0 ) ⊂ U, ∀n ∈ N và hạn chế của f n trên U 0 là đơn ánh vì nó là hợp thành của các ánh xạ đơn ánh. Trường hợp b): {f nk } bất kỳ. Tiếp theo ta cần kiểm tra rằng trên thực tế, sự hội tụ của dãy con f nk đến a có kéo theo sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ h = f p đến a. Chọn một lân cận nhỏ U của a trong SP C(bΩ) và p = nk0 là một số nguyên sao cho f p (U ) ⊂ U . Ánh xạ h = f p : U → U là vi phôi địa phương và dãy ảnh {hn (U )} là dãy đơn 0 điệu giảm vì hi+1 (U ) ⊂ hi (U ). Ta sẽ chứng minh dãy con (hnkh) xác i định bởi nk p p +p h i 0 0 n0k = npk + 1 hội tụ đến a trên U . Thật vậy, hnk = f pnk = f = f nk +i với i < p. Vì vậy, ta có 0 [ [ hnk (U ) = f nk +i (U ) ⊂ f nk +i (U ) ⊂ f i (f nk (U )). 1≤i≤p 1≤i≤p Theo giả thiết, ta có f nk (U ) dần đến a (k đủ lớn) và a là điểm cố định của f , 0 tính liên tục của f suy ra rằng hnk (U ) dần đến a. Vì dãy hn (U ) là giảm nên nó hội tụ đến a. Thay f bởi h và áp dụng lập luận trên thì lân cận của a có thể cầu hoá được. Ta xét trường hợp 2: (f nk ) không hội tụ đến a trong một lân cận của a. Ta nhắc lại rằng, Ω là miền lồi mạnh trong một lân cận O của a, a = (0, 0) là gốc tọa độ và Ω1 = Ω ∩ O = {Rez1 ≥ 0}. Ta đặt Ω = Ω ∩ O ∩ {Rez1 ≤ } và U = bΩ ∩ O ∩ {Rez1 ≤ }. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng Ω1 b O. Sự không hội tụ của f nk có nghĩa là tồn tại một dãy điểm zi ∈ bΩ sao cho zi hội tụ đến a và tồn tại dãy ki ∈ N sao cho dãy điểm f nki (zi ) nằm ngoài một lân cận cố định của a, gọi là U1 . Vì a là điểm cố định của f nki nên ta có thể giả sử rằng 15
f nki (zi ) ∈ bU1 = bΩ ∩ O ∩ {Rez1 = 1} bằng cách di chuyển zi đến gần a. Cuối cùng, ta đặt gi = f nki và xác định i bởi zi ∈ {Rez1 = i }. Mệnh đề 2.3.3. Với mọi > 0 tồn tại số nguyên k = k() sao cho gk (U ) ⊃ U1 U Tính cầu hoá được gần a là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 2.3.3. Hệ quả 2.3.4. Nếu (f nk ) không hội tụ đến a trong một lân cận của a thì bΩ có thể hình cầu hóa gần a. Chứng minh. Cố định tập V mở, compact trong U1 {a}. Với mọi đủ nhỏ sao cho V ⊂ U1 U và có một số nguyên k sao cho gk (U ) ⊃ V . Hơn nữa, không có điểm tới hạn nào của ánh xạ gk |U nằm trong V vì cả U và V đều là miền giả lồi chặt. Vì V là miền đơn liên nên tồn tại nhánh ngược của gk |U trên V , nghĩa là có một ánh xạ CR-vi phôi h : V −→ U với gk ◦ h = Id. Do đó, dãy ánh xạ h là co trên V và Định lý 2.1.2 chỉ ra rằng V có thể cầu hoá được. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tính cầu hoá địa phương của U1 {a}. Thậm chí theo lý thuyết của Chern-Moser, ta cũng có thể chứng minh được tính cầu hoá được tại a vì a là điểm giả lồi chặt. Vì vậy, ta chứng minh được tính cầu hoá địa phương của U1 . Để chứng minh Mệnh đề 2.3.3 ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 2.3.5. Với mọi > 0 tồn tại một dãy phân kỳ ci −→ +∞ sao cho với mọi p ∈ U1 với gi (p) ∈ / U , ta có kgi0 (p)uk ≥ ci kuk, ∀u ∈ TpC bΩ. 16
~ (p) = Chứng minh. Với mỗi p ∈ U1 , gọi N ∂ là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ∂u vào trong của bΩ tại p. Ta định nghĩa pδ = p + δ N ~ (p)) ∩ {hN ~ (p), B + (p) = B(p + δ N ~ (p), .i ≥ δ}, với δ δ đủ nhỏ. Khi đó, với δ > 0 đủ nhỏ, Bδ+ (p) ⊂ Ω và gi (Bδ+ (p)) ⊂ Ω 2 (vì gi hội tụ đến a trong Ω). ~ (gi (p)), gi (y) − gi (p)i. Khi đó, ϕ là hàm điều hòa dưới âm, Đặt ϕ := −hN triệt tiêu tại p, tức là ϕ(p) = 0 và ϕ(p) 6 −c2 trên B+ (p) (c là hằng số chỉ phụ thuộc vào độ cong của bΩ tại a). Hơn nữa, ta có ~ p (ϕ) = − ∂ϕ ∂ϕ ∇ (p), ..., (p) ∂y1 ∂yn ~ (gi (p)), ∂g i ~ (gi (p)), ∂g i =− N (p) , ..., N (p) ∂y1 ∂yn ~ (gi (p)), gi0 (p)i. = −hN Sử dụng khái niệm đạo hàm theo hướng của ϕ tại p theo hướng của vectơ đơn ~ (N vị N ~ cùng hướng với vectơ gradient ∇ϕ(p)), ~ ta cũng có ~ k∇ϕ(p)k ~ p (ϕ).N =∇ ~ (p) ~ (gi (p)), gi0 (p).N = hN ~ (p).i Áp dụng Bổ đề Hopf, ta khẳng định rằng ~ (gi (p)), gi0 (p).N ~ (p)i = k∇ϕ(p)k ~ c0 2 ni (p) := hN ≥ . δ Vì δ bất kỳ, nên ta có thể lấy δ nhỏ hơn 2 để ni (p) là lớn. ~ (p)i, u ∈ Ta xét dạng Levi L của bΩ xác định bởi L(p, u) = h[u, iu], iN TpC (bΩ). Từ độ trơn và tính giả lồi chặt của U1 nên tồn tại hai hằng số c1 và c2 với c1 là giá trị cực tiểu, c2 là giá trị cực đại của dạng Levi trên U1 sao cho c1 kuk2 ≤ L(p, u) ≤ c2 kuk2 . Bằng các tính toán cơ bản, ta có: ~ (gi (p))i L(gi (p), gi0 (p)u) = h[gi0 (p)u, gi0 (p)u], iN ~ (gi (p))i = hgi0 (p)[u, u], iN 17
~ (gi (p))i = h[u, u], t gi0 (p).iN ~ (p)i = h[u, u], ni (p).iN = ni (p)L(p, u). ~ (gi (p)) = ni (p).iN Ở trên, ta đã sử dụng đẳng thức t gi0 (p).iN ~ (p). Vì vậy, với mọi p ∈ U1 , u ∈ TpC (bΩ), ta có: c2 kgi0 (p)uk2 ≥ L(gi (p), gi0 (p)u) = ni (p)L(p, u) ≥ c1 ni (p)kuk2 . p Vì ni (p) là lớn nên kéo theo kgi0 (p)uk ≥ c ni (p)kuk = ci kuk, p trong đó c = c1 c−1 2 và ci −→ +∞. Bổ đề trên khẳng định rằng gi làm dãn theo hướng tiếp tuyến phức của bΩ nếu gi (p) không tiến tới a. Ta cần chứng minh tiếp cho Mệnh đề 2.3.3 đó là tính dãn của ánh xạ theo tiếp tuyến phức nó kéo theo tính dãn thực sự. Cho γ : [0, l] −→ U1 trên bΩ được gọi là đường phức nếu γ(t) ˙ ∈ Tγ(t) C bΩ, ∀t. Độ dài Euclid của γ được ký hiệu là `(γ). Với mọi x, y ∈ U1 , ta định nghĩa CR-khoảng cách giữa x, y bởi công thức: dCR U1 (x, y) = inf {`(γ), γ là đường phức giữa x và y }. Chú ý là đường phức có thể được nối bởi hai điểm x, y bất kỳ do điều kiện giả lồi chặt. Hơn nữa, tập mở U1 \U là dCR -bị chặn. Bây giờ ta sẽ đi chứng minh Mệnh đề 2.3.3. Chứng minh. Kí hiệu B CR (zi , τ ) là hình cầu (theo khoảng cách dCR ) tâm zi , bán kính τ . Cố định τ > 0 sao cho B CR (zi , τ ) ⊂ U , ∀i đủ lớn. Vì U1 \U là dCR -bị chặn nên ta chỉ cần chứng minh bgi (B CR (zi , τ )) ∩ B CR (gi (zi ), ci τ ) ∩ (U1 \U ) = ∅, bởi vì ta có thể lấy ci τ lớn hơn CR-đường kính của U1 \U . Lấy một điểm x ∈ bgi (B CR (zi , τ )) ∩ U1 \U và ta sẽ chứng minh dCR (gi (zi ), x) ≥ ci τ. Thật vậy, xét một đường phức γ trong U1 \U nối gi (zi ) với x. Vì gi là một CR-vi phôi địa phương tại mọi điểm của hình cầu B CR (zi , τ ) mà ảnh của chúng 18