Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện cần cho cực tiểu Pareto địa phương và cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trong không gian Banach dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng của Đỗ Văn Lưu. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ MAI DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ MAI DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Lời cảm ơn 1 Mở đầu 2 1 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương 4 1.1 Dưới vi phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Dưới vi phân suy rộng chính quy và bán chính quy . 8 1.1.2 Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Định lý giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng . 13 1.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto . . . . . . . 14 1.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto . . . 24 2 Điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương 27 2.1 Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu . . . . . . . . . . 27 2.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu . . . . . . . . 32 2.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu . . . . . 33 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 36
1 Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn Lưu, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học của mình, thầy đã tận tâm và nhiệt tình chỉ bảo. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng toàn thể các cán bộ giảng dạy lớp cao học toán K7Y đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp luôn bên cạnh động viên và giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015 Tác giả Lê Thị Mai
2 Mở đầu Khái niệm dưới vi phân suy rộng không lồi của Jeyakumar – Luc ra đời năm 1999. Đây là một tổng quát hóa các khái niệm dưới vi phân của Clarke, Michel – Penot, Mordukhovich, Clarke-Rockafellar, . . . Các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng mạnh hơn các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ một số loại dưới vi phân trong một số trường hợp, chẳng hạn cho bài toán với các hàm Lipschitz địa phương. Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu bài toán tối ưu đa mục tiêu trong không gian hữu hạn chiều với các hàm liên tục được D. T. Luc ([6]) thiết lập. Dutta - Chandra ([2]) dẫn điều kiện cần cho cực tiểu yếu dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên cho bài toán có ràng buộc bất đẳng thức. D. V. Luu ([7,8]) dẫn các điều kiện cần cho cựu tiểu yếu và cựu tiểu Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trong không gian Banach qua dưới vi phân suy rộng. Đây là đề tài được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế tôi chọn đề tài: “Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu”. Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện cần cho cực tiểu Pareto địa phương và cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trong không gian Banach dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng của Đỗ Văn Lưu đăng trên tạp chí Optimizaton, vol 63 (2014), No3, 321-335. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài
3 liệu tham khảo Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng bao gồm dưới vi phân suy rộng trên, dưới vi phân suy rộng dưới, dưới vi phân suy rộng bán chính quy và dưới vi phân suy rộng chính quy, các quy tắc tính và định lí giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng. Chương 1 cũng trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương và điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu địa phương Pareto của bài toán (MP) với các nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu. Chương 2 trình bày về điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương bao gồm các điều kiện cần Fritz John và Kuhn-Tucker cho cực tiểu yếu địa phương qua dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên và điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu địa phương với các nhân tử Lagrange dương ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu. Dù đã nghiêm túc nghiên cứu và rất cố gắng thực hiện luận văn, nhưng với trình độ hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô, các bạn và các anh chị đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn. Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015 Tác giả Lê Thị Mai
4 Chương 1 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng của V. Jeyakumar và D. T. Luc [5], J. Dutta và S. Chandra [2], và các điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương của D. V. Luu [7] dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng. 1.1 Dưới vi phân suy rộng Giả sử X là một không gian Banach và f : X → R là hàm giá trị thực mở rộng, trong đó R := R ∪ {∞}. Không gian đối ngẫu của X được kí hiệu bởi X ∗ và trang bị với tôpô yếu∗ . Bao lồi và bao lồi đóng của tập A trong X ∗ được kí hiệu tương ứng bởi co(A) và co(A). Giả sử x ∈ X tại đó f là hữu hạn. Đạo hàm theo phương Dini dưới và trên của f tại x theo phương v được định nghĩa tương ứng bởi f (x + tv) − f (x) f − (x, v) := lim inf , t↓0 t f (x + tv) − f (xt) f + (x, v) := lim sup . t↓0 t Định nghĩa 1.1.
5 Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng trên ∂ ∗ f (x) tại x nếu ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X, f − (x, v) ≤ sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Định nghĩa 1.2. Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng dưới ∂∗ f (x) tại x nếu ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X, f + (x, v) ≥ inf hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Định nghĩa 1.3. Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) tại x nếu nó đồng thời là dưới vi phân suy rộng dưới và trên của hàm f tại x Điều này có nghĩa là với mỗi v ∈ X, f − (x, v) ≤ sup hx∗ , vi , x∗ ∈∂ ∗ f (x) f + (x, v) ≥ inf hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Điều đó tương ứng với điều kiện: với mỗi v ∈ X, max f − (x, v) , −f + (x, −v) ≤ s v | ∂ ∗ f (x) , trong đó s (v | C) := sup hx∗ , vi x∗ ∈C là hàm tựa của tập đóng yếu∗ C ⊂ X ∗ . Chú ý rằng dưới vi phân suy rộng không nhất thiết phải là lồi hoặc com- pắc yếu∗ . Sự mở rộng này cho phép ta áp dụng được cho một lớp rộng hàm liên tục không trơn.
6 Ví dụ 1.1. Hàm f : R → R xác định bởi  √x,  nếu x ≥ 0, f (x) =  −√−x, nếu x < 0 có dưới vi phân suy rộng không compắc tại 0 có dạng [α, ∞) với α ∈ R. Ví dụ 1.2. Hàm f : R → R xác định bởi f (x) = −|x| có dưới vi phân suy rộng không lồi tại 0 là ∂ ∗ f (0) = {1, −1}. Giả sử f : X −→ R là hữu hạn tại điểm x ∈ X. Nếu f là nửa liên tục dưới tại x thì dưới đạo hàm trên Clarke - Rockafellar của f tại x theo phương v được định nghĩa bởi 0 0 0 f x + tv − f x f ↑ (x, v) = lim sup inf , 0 0 x →f x v →v t t↓0 0 0 0 trong đó x →f x có nghĩa là x → x và f (x ) → f (x). Nếu f là nửa liên tục trên tại x thì dưới đạo hàm dưới Clarke - Rockafellar của f tại x với phương v được định nghĩa bởi 0 0 0 ↓ f (x + tv ) − f (x ) f (x, v) = lim inf sup . x0 →f x v 0 →v t t↓0 Nếu f liên tục tại x thì x0 →f x trong định nghĩa của các dưới đạo hàm dưới và trên có thể viết đơn giản là x0 → x. Các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f tại x được cho bởi công thức: ∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≤ f ↑ (x, v), ∀v ∈ X ,
7 ∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≥ f ↓ (x, v), ∀v ∈ X . Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ thì ∂ ↑ f (x) là tập con đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng của X ∗ và với mỗi v ∈ X, f ↑ (x, v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ↑ f (x) Tương tự, nếu f ↓ (x, 0) < ∞ thì ∂ ↓ f (x) là tập con đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng của X ∗ và với mỗi v ∈ X, f ↓ (x, v) = inf hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ↓ f (x) Nếu f là Lipschitz địa phương tại x thì f ↑ (x; v) = f ◦ (x, v) , f ↓ (x; v) = f◦ (x, v) , trong đó 0 0 ◦ f (x + tv) − f (x ) f (x, v) = lim sup , x0 →x t t↓0 0 0 f (x + tv) − f (x ) f◦ (x, v) = lim0 inf , x →x t t↓0 là các đạo hàm theo phương suy rộng trên và dưới Clarke của f tại x theo v. Dưới vi phân suy rộng Clarke được xác định bởi ∂ ◦ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≤ f ◦ (x, v), ∀v ∈ X . Hơn nữa, f ◦ (x, v) = ∗ max ◦ hx∗ , vi , x ∈∂ f (x) f◦ (x, v) = min hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ◦ f (x) Vì vậy, nếu f Lipschitz địa phương tại x thì ∂ ◦ f (x) là dưới vi phân suy rộng của f tại x, bởi vì f − (x, v) ≤ f ◦ (x, v) và f + (x, v) ≥ f◦ (x, v), với mỗi v ∈ X.
8 1.1.1 Dưới vi phân suy rộng chính quy và bán chính quy Định nghĩa 1.4. Hàm f : X → R được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ tại x nếu ∂ ∗ f (x) là đóng yếu∗ , với mỗi v ∈ X, f + (x, v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Định nghĩa 1.5. Hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy dưới ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ tại x nếu ∂∗ f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X, f − (x, v) = inf hx∗ , vi . x∗ ∈∂∗ f (x) Rõ ràng, mọi dưới vi phân suy rộng chính quy trên (dưới) của f tại x là dưới vi phân suy rộng của f tại x. Định nghĩa 1.6. Hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ tại x nếu ∂ ∗ f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X, f + (x, v) ≤ sup hξ, vi (∀v ∈ X). ξ∈∂ ∗ f (x) Mệnh đề sau cho ta thấy mối liên hệ giữa tính khả vi và tính chính quy. Mệnh đề 1.1. Hàm f : X → R khả vi Gâteaux tại x0 nếu và chỉ nếu f là khả vi theo phương tại x0 và f có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới tại x0
9 Chứng minh. Nếu f là một khả vi Gâteaux tại x0 , thì f khả vi theo phương và đạo hàm Gâteaux {f 0 (x0 )} là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới của f tại x0 . Ngược lại, nếu f là khả vi theo phương tại x0 và nếu ∂ ∗ f (x0 ) là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới, thì với mỗi v ∈ X, f 0 (x0 , v) = f − (x0 , v) = inf hx∗ , vi x∗ ∈∂∗ f (x) = f + (x0 , v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Do đó, ∂ ∗ f (x0 ) là một tập điểm và f khả vi Gâteaux tại x0 . 1.1.2 Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng Mệnh đề 1.2. Giả sử hàm f : X → R có dưới vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) tại x ∈ X. Nếu f đạt cực trị tại x thì 0 ∈ co(∂ ∗ f (x)). Chứng minh. Giả sử f đạt cực tiểu tại x. Khi đó, với mỗi v ∈ X, f − (x, v) ≥ 0. Như vậy, sup hx∗ , vi ≥ 0, x∗ ∈∂ ∗ f (x) bởi vì ∂ ∗ f (x) là dưới vi phân suy rộng trên của f tại x. Ta định nghĩa hàm φ : X → R như sau φ(v) = sup hx∗ , vi , x∗ ∈∂ ∗ f (x)
10 là hàm dưới tuyến tính, nửa liên tục dưới. Do đó từ giải tích lồi ta suy ra, với mỗi v ∈ X, φ(v) ≥ 0, nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂φ(0), trong đó ∂φ(0) = co(∂ ∗ f (x)). Mặt khác, nếu f đạt cực đại tại x thì với mỗi v ∈ X, inf hx∗ , vi ≤ f + (x, v) ≤ 0. x∗ ∈∂ ∗ f (x) Như vậy, với mỗi v ∈ X, sup hx∗ , vi ≥ 0. x∗ ∈∂ ∗ f (x) Do đó ta có điều cần chứng minh. Quy tắc 1.1.1. Giả sử ∂ ∗ f (x) và ∂∗ f (x) tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f tại x. Nếu λ > 0 thì λ∂ ∗ f (x) là một dưới vi phân suy rộng trên của λf tại x. Nếu λ < 0 thì λ∂∗ f (x) là một dưới vi phân suy rộng trên của λf tại x. Chứng minh. Điều này suy ra từ định nghĩa Quy tắc 1.1.2. Giả thiết rằng các hàm f, g : X → R nhận ∂ ∗ f (x) và ∂ ∗ g(x) tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên tại x và một trong các dưới vi phân suy rộng là chính quy trên tại x. Khi đó ∂ ∗ f (x) + ∂ ∗ g(x) là dưới vi phân suy rộng trên của f + g tại x. Chứng minh.
11 Giả sử ∂ ∗ g(x) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của g tại x. Khi đó, với mỗi v ∈ X, (f + g)− (x, v) ≤ f − (x, v) + g + (x, v) ≤ sup hx∗ , vi + sup hy ∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) y ∗ ∈∂ ∗ g(x) Do đó, với mỗi v ∈ X, (f + g)− (x, v) ≤ sup hz ∗ , vi . z ∗ ∈∂ ∗ f (x)+∂ ∗ g(x) Vì vậy ta có kết luận cần chứng minh. Quy tắc sau đây cho ta một kết quả mạnh hơn quy tắc trước nhưng với điều kiện khả vi. Quy tắc 1.1.3. Nếu f : X → R có dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂ ∗ f (x) tại x và g : X → R khả vi Gâteaux tại x với đạo hàm g 0 (x) thì ∂ ∗ f (x) + {g 0 (x)} là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của f + g tại x. Chứng minh. Điều đó suy ra từ các đẳng thức sau: (f + g)+ (x, v) = f + (x, v) + hg 0 (x), vi = sup hx∗ , vi + hg 0 (x), vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Do đó, với mỗi v ∈ X, (f + g)+ (x, v) = sup hz ∗ , vi . z ∗ ∈∂ ∗ f (x)+{g 0 (x)}
12 Cho I = {1, 2}, x0 ∈ X và với mỗi i ∈ I, giả sử fi : X → R là một hàm liên tục. Hàm h : X → R xác định bởi h(x) = max{f1 (x), f2 (x)}. Đặt I(x0 ) = {i ∈ I : h(x0 ) = fi (x0 )}. Quy tắc 1.1.4. Với mỗi i ∈ I, nếu fi có dưới vi phân suy rộng trên ∂ ∗ fi (x0 ) tại x0 thì [ ∂ ∗ h(x0 ) := ∂ ∗ fi (x0 ) i∈I(x0 ) là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 . Chứng minh. Nếu f1 (x0 ) > f2 (x0 ) thì I(x0 ) = {1} và h(x) = f1 (x) với mỗi x trong lân cận của x0 . Do đó, h− (x0 , v) = f − (x0 , v) ≤ sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f1 (x) Như vậy, ∂ ∗ h(x0 ) = ∂ ∗ f1 (x0 ) là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 . Tương tự, nếu f1 (x0 ) < f2 (x0 ) thì ∂ ∗ h(x0 ) = ∂ ∗ f2 (x0 ) là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 . Bây giờ giả thiết rằng f1 (x0 ) = f2 (x0 ). Khi đó, h(x0 ) = f1 (x0 ) = f2 (x0 ),
13 và với mỗi v ∈ X, h− (x0 , v) max f1 (x0 + tv), f2 (x0 + tv) − h(x0 ) = lim inf t↓0 t f1 (x0 + tv) − f1 (x0 ) f2 (x0 + tv) − f2 (x0 ) = lim inf max , t↓0 t t f1 (x0 + tv) − f1 (x0 ) f2 (x0 + tv) − f2 (x0 ) = max lim inf , lim inf t↓0 t t↓0 t ∗ ≤ sup hx , vi . x∗ ∈ ∂ ∗ f1 (x0 )∪∂ ∗ f2 (x0 ) Do đó, ∂ ∗ f1 (x0 ) ∪ ∂ ∗ f2 (x0 ) là dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 . 1.1.3 Định lý giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng Định lí 1.1. Giả sử a, b ∈ X và f : X → R là một hàm sao cho thu hẹp f |[a,b] là hữu hạn và liên tục. Giả thiết rằng với mỗi x ∈ (a, b), ∂ ∗ f (x) và ∂∗ f (x) tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f . Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) và một dãy {x∗k } ⊂ co(∂ ∗ f (c)) ∪ co(∂∗ f (c)) sao cho f (b) − f (a) = lim hx∗k , b − ai . k→∞ Chứng minh. Xét hàm g : [0, 1] → R bởi g(t) := f a + t(b − a) − f (a) + t f (a) − f (b) . Khi đó, g liên tục trên [0, 1] và g(0) = g(1) = 0. Như vậy, tồn tại γ ∈ (0, 1) sao cho g đạt cực trị tại γ. Đặt c = γb + (1 − γ)a.
14 Giả sử g đạt cực tiểu tại γ. Khi đó, điều kiện cần để γ là cực tiểu là: Với mỗi v ∈ R, g − (γ, v) ≥ 0. Bởi vì g − (γ, v) = f − c, v(b − a) + v f (a) − f (b) , với mọi v ∈ R, ta có f − c, v(b − a) ≥ v f (b) − f (a) . Khi đó, bằng cách đặt v = 1 và v = −1, ta có các bất đẳng thức sau: −f − (c, a − b) ≤ f (b) − f (a) ≤ f − (c, b − a). Bởi vì ∂ ∗ f (c) là một dưới vi phân suy rộng trên của f tại c, ta nhận được inf hz ∗ , b − ai ≤ f (b) − f (a) ≤ sup hz ∗ , b − ai . z ∗ ∈∂ ∗ f (c) z ∗ ∈∂ ∗ f (c) Khi đó, từ bất đẳng thức trên suy ra tồn tại dãy {x∗k } ⊂ co(∂ ∗ f (c)) thỏa mãn f (b) − f (a) = lim hx∗k , b − ai . k→∞ Mặt khác, nếu g đạt cực đại tại γ thì cũng lí luận tương tự như trên ta nhận được kết luận của định lí. 1.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto Giả sử f, g, h tương ứng là các ánh xạ từ không gian Banach X vào Rm , Rn , Rl và C là một tập con của X. Khi đó f, g, h có dạng: f = (f1 , ..., fm ), g = (g1 , ..., gn ), h = (h1 , ..., hl ), trong đó f1 , ..., fm , g1 , ..., gn , h1 , ..., hl là các hàm giá trị thực mở rộng xác định trên X. Để đơn giản, ta
15 đặt: I = {1, ..., n}, J = {1, ..., m} và L = {1, ..., l}. Ta xét bài toán tối ưu đa mục tiêu sau đây: min f (x) (M P ) gi (x) ≤ 0, i ∈ I, hj (x) = 0, j ∈ L, x∈C Kí hiệu M là miền chấp nhận được của bài toán (MP) M = {x ∈ C : gi (x) ≤ 0, i ∈ I, hj (x) = 0, j ∈ L}, và I(x) = {i ∈ I : gi (x) = 0} . Định nghĩa 1.7. Điểm x ∈ M được gọi là cực tiểu Pareto (cực tiểu yếu) địa phương của bài toán (MP) nếu tồn tại số δ > 0 sao cho không tồn tại x ∈ M ∩ B (x; δ) thỏa mãn fk (x) ≤ fk (x) (∀k ∈ J), fs (x) < fs (x) với một s ∈ J, (tương ứng fk (x) < fk (x) ∀k ∈ J), trong đó B(x; δ) kí hiệu là hình cầu mở tâm x bán kính δ. Nhắc lại: Nón tiếp liên của tập C ⊂ X tại x ∈ C được định nghĩa như sau: K(C, x) = v ∈ X : ∃vn → v, ∃tn ↓ 0 sao cho x + tn vn ∈ C, ∀n . Nón các phương tuyến tính dãy của C tại x ∈ C được định nghĩa bởi: Z(C, x) = v ∈ X : ∃tn ↓ 0 sao cho x + tn v ∈ C, ∀n .
16 Chú ý rằng cả hai nón này đều khác ∅ và Z(C, x) ⊂ K(C, x). Với tập A ⊂ X nón cực của A được xác định bởi A0 = ξ ∈ X ∗ : hξ, vi ≤ 0, ∀v ∈ A . Với x ∈ X và s ∈ J, ta đặt Qs (x) = x ∈ C :fk (x) ≤ fk (x) (∀k ∈ J, k 6= s), gi (x) ≤ 0 (∀i ∈ I(x)), hj (x) = 0 (∀j ∈ L) . Nếu hj là khả vi Dini tại x với mọi j ∈ L, ta đặt C(Qs (x); x) = v ∈ Z(C; x) : fk− (x; v) ≤ 0 (∀k ∈ J, k 6= s), 0 gi− (x; v) ≤ 0 (∀i ∈ I(x)), hj (x; v) = 0 (∀j ∈ L) . Trước hết chỉ ra mối quan hệ giữa Z (Qs (x) ; x) và C (Qs (x) ; x) . Mệnh đề 1.3. Giả sử x ∈ M và hj khả vi Dini tại x với mọi j ∈ L. Khi đó, với s ∈ J, Z (Qs (x) ; x) ⊂ C (Qs (x) ; x) . (1.1) Chứng minh. Với v ∈ Z(Qs (x); x), tồn tại tn ↓ 0 sao cho x + tn v ∈ Qs (x). Do đó, x + tn v ∈ C, và fk (x + tn v) ≤ fk (x) , (∀k ∈ J, k 6= s), gi (x + tn v) ≤ 0 = gi (x) , (∀i ∈ I(x)), hj (x + tn v) = 0, (∀k ∈ J).
17 Vì vậy, v ∈ Z(C; x) và fk (x + tn v) − fk (x) fk− (x; v) ≤ lim inf ≤ 0, (∀k ∈ J, k 6= s) , n→+∞ tn gi (x + tn v) − gi (x) gi− (x; v) ≤ lim inf ≤ 0, (∀i ∈ I(x)), n→+∞ tn 0 hj (x + tn v) − hj (x) hj (x; v) = lim = 0, (∀k ∈ J). n→+∞ tn Do đó, v ∈ C (Qs (x) ; x) và ta suy ra điều phải chứng minh. Để trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP), ta đưa vào điều kiện chính quy Abadie (CQ1) sau đây: C(Qs (x); x) ⊂ Z(Qs (x); x). (1.2) Một điều kiện cần cho cực tiểu Pareto địa phương của (MP) có thể được phát biểu như sau: Định lí 1.2. Giả sử x là một tiểu Pareto địa phương của (MP) và T là nón con lồi đóng khác rỗng tùy ý của Z(C; x) với đỉnh tại gốc. Giả thiết rằng điều kiện chính quy (CQ1) đúng với s ∈ J nào đó và hàm hj là khả vi Dini tại x với mọi j ∈ L, hàm gi là liên tục tại x với mọi i ∈ / I(x). Khi đó, hệ sau đây không có nghiệm v ∈ T : fs+ (x; v) < 0, (1.3) fk− (x; v) ≤ 0 (∀k ∈ J, k 6= s), (1.4) gi− (x; v) ≤ 0 (∀i ∈ I (x)) , (1.5) 0 hj (x; v) = 0 (∀j ∈ L). (1.6)