Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đa giác đều là một chủ đề quan trọng của hình học phẳng Euelide. Phép dựng đa giác đều 17 cạnh là công trình xuất sắc mà Gauss đã cống hiến cho nhân loại. Bài toán đặt ra là: Hãy phú mặt phẳng bằng các đa giác đều? Có bao nhiêu cách "lát kín" mặt phăng?... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- TRẦN THỊ THẮM LÁT MẶT PHẲNG BỞI CÁC ĐA GIÁC ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- TRẦN THỊ THẮM LÁT MẶT PHẲNG BỞI CÁC ĐA GIÁC ĐỀU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2018
i Danh möc h¼nh 1.1 Ph²p düng ngô gi¡c ·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Ph²p düng ngô gi¡c ·u cõa Richmond . . . . . . . . . 8 1.3 N«m b÷îc düng ngô gi¡c ·u . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Thªp gi¡c lçi ·u, thªp gi¡c sao ·u . . . . . . . . . . . 9 1.5 Mët sè a gi¡c ·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Düng 15−gi¡c ·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 10 b÷îc düng 17−gi¡c ·u . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 L¡t ph¯ng ·u lo¤i 3α6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 L¡t ph¯ng ·u lo¤i 1α4 + 2α8 . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 L¡t ph¯ng ·u lo¤i 1α3 + 2α12 . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Khæng tçn t¤i l¡t ph¯ng ·u lo¤i 2α5 + 1α10 . . . . . . 24 2.5 L¡t ph¯ng ·u lo¤i 1α4 + 1α6 + 1α12 . . . . . . . . . . . 25 2.6 a-L¡t ph¯ng ·u lo¤i 4α4 v b-lo¤i 1α3 + 2α4 + 1α6 . . . 26 2.7 Khæng câ l¡t ph¯ng ·u lo¤i 2α3 + 2α6 kiºu a) . . . . . 27 2.8 Khæng câ l¡t ph¯ng ·u lo¤i 2α3 + 1α4 + 1α12 . . . . . 27 2.9 L¡t ph¯ng ·u lo¤i 4α3 + 1α6 . . . . . . . . . . . . . . 28 2.10 L¡t ph¯ng ·u lo¤i 3α3 + 2α4 kiºu a) . . . . . . . . . . 29 2.11 L¡t ph¯ng ·u lo¤i 3α3 + 2α4 kiºu b) . . . . . . . . . . 29 3.1 L¡t ph¯ng bði tù gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 L¡t ph¯ng bði tù gi¡c lçi ho°c lãm . . . . . . . . . . . 31 3.3 Gh²p th nh c¡c h¼nh chú nhªt . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Gh²p th nh h¼nh b¼nh h nh . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5 V½ dö 3.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
ii 3.6 V½ dö 3.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 3.7 q = SABCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 3.8 L¡t ph¯ng bði c¡c h¼nh löc gi¡c b¬ng nhau . . . . . . . 35 3.9 Ba kiºu l¡t ph¯ng bði c¡c löc gi¡c . . . . . . . . . . . . 36 3.10 Têng c¡c gâc trong tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.11 Di»n t½ch b¬ng 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.12 Di»n t½ch h¼nh b¼nh h nh nhä nh§t . . . . . . . . . . . . 43 3.13 Chùng minh ành lþ Pythagoras . . . . . . . . . . . . . 43 3.14 L¡t ph¯ng tù gi¡c tòy þ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.15 H¼nh vuæng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.16 ành lþ Napoleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.17 Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.18 Dòng nguy¶n tc Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.19 B i to¡n phõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.20 Tia li¶n îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
iii Möc löc Líi c£m ìn v Mð ¦u 1 1 a gi¡c ·u v c¡ch düng 4 1.1 a gi¡c ·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Düng ngô gi¡c ·u . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 a gi¡c ·u, h m Euler v c¡c sè Fermat. . . . . . . . 9 1.3 Düng n−gi¡c ·u vîi n câ d¤ng 2k .3.5.17 . . . . . . . . 12 1.3.1 Düng 15−gi¡c ·u . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Düng 17−gi¡c ·u . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u 18 2.1 B i to¡n sè håc li¶n quan ¸n l¡t ph¯ng . . . . . . . . 18 2.2 L¡t ph¯ng v l¡t ph¯ng ·u . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 L¡t ph¯ng ·u vîi sao ph¯ng ¿nh câ 3 a gi¡c . 22 2.2.2 L¡t ph¯ng ·u vîi sao ph¯ng ¿nh câ 4 a gi¡c . 25 2.2.3 L¡t ph¯ng ·u vîi sao ph¯ng ¿nh câ 5 a gi¡c . 26 2.2.4 L¡t ph¯ng ·u vîi sao ph¯ng ¿nh câ 6 a gi¡c . 28 3 C¡c b i to¡n li¶n quan 30 3.1 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c b¬ng nhau . . . . . . . 30 3.1.1 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c tam gi¡c, tù gi¡c b¬ng nhau 30 3.1.2 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c löc gi¡c b¬ng nhau . . . . 35
iv 3.1.3 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c ngô gi¡c b¬ng nhau . . . 36 3.2 H¼nh håc tr¶n l¡t ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1 C¡c b i to¡n ìn gi£n . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 ành lþ Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.3 Tù gi¡c v löc gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.4 ành lþ Napoleon . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 C¡c b i to¡n kh¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 T i li»u tham kh£o 58
v Líi c£m ìn Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, Pháng o t¤o, Khoa To¡n tin Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc - ¤i Håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi ÷ñc tham dü khâa håc, xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc To¡n K10B2 (2016 - 2018) ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. Nguy¹n Vi»t H£i, Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i Håc H£i Pháng. Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi. Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Xin tr¥n trång c£m ìn! H£i Pháng, th¡ng ... n«m 2018 Ng÷íi vi¸t Luªn v«n Tr¦n Thà Thm
1 Mð ¦u 1. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n a gi¡c ·u l mët chõ · quan trång cõa h¼nh håc ph¯ng Euclide. Ph²p düng a gi¡c ·u 17 c¤nh l cæng tr¼nh xu§t sc m Gauss ¢ cèng hi¸n cho nh¥n lo¤i. B i to¡n °t ra l : H¢y phõ m°t ph¯ng b¬ng c¡c a gi¡c ·u? Câ bao nhi¶u c¡ch "l¡t k½n" m°t ph¯ng? Còng vîi b i to¡n â, l i·u ki»n düng ÷ñc c¡c a gi¡c ·u câ li¶n quan g¼ ¸n sè håc? Tr¼nh b y c¡ch gi£i quy¸t c¡c b i to¡n tr¶n l lþ do º tæi chån · t i "L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u". Möc ½ch cõa · t i l : - Tr¼nh b y làch sû, c¡ch düng mët sè a gi¡c ·u b¬ng th÷îc v com pa. Mèi li¶n h» giúa ph²p düng a gi¡c ·u b¬ng th÷îc k´ v com pa vîi c¡c sè Fermat. - Tr¼nh b y líi gi£i b i to¡n l¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u (l¡t ph¯ng ·u) trong lîp c¡c b i to¡n v· phõ m°t ph¯ng. - Bê sung th¶m ki¸n thùc cho gi¡o vi¶n trong c¡c chuy¶n · khâ ð tr÷íng THCS v THPT gâp ph¦n o t¤o håc sinh håc giäi mæn H¼nh håc. 2. Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t Tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng c¡ch düng mët sè a gi¡c ·u, i·u ki»n c¦n v õ º düng ÷ñc mët a gi¡c ·u b¬ng com pa v th÷îc k´. Giîi thi»u b i to¡n l¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u, chùng minh
2 ành lþ v· l¡t ph¯ng ·u. Mð rëng sang c¡c b i to¡n li¶n quan: L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c b¬ng nhau, h¼nh håc tr¶n l¡t ph¯ng v c¡c b i to¡n kh¡c. Nëi dung luªn v«n chia l m 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1. a gi¡c ·u v c¡ch düng B i to¡n düng a gi¡c ·u b¬ng th÷îc k´ v compa l mët trong nhi·u b i to¡n düng h¼nh nêi ti¸ng cõa h¼nh håc: C¡ch düng c¡c a gi¡c â nh÷ th¸ n o phö thuëc v o sè c¤nh cõa méi a gi¡c. Mët ngô gi¡c ·u düng ÷ñc b¬ng th÷îc v com pa tø thíi xa x÷a nh÷ng ph£i 2000 n«m sau c¡c nh to¡n håc khæng t¼m ra ÷ñc c¡ch düng mët th§t gi¡c ·u. Hâa ra câ nhi·u a gi¡c ·u khæng düng ÷ñc b¬ng th÷îc v com pa (n = 7, 9, 11, 13, ...). Ch÷ìng n y bao gçm: 1.1. a gi¡c ·u 1.2. a gi¡c ·u, h m Euler v c¡c sè Fermat 1.3. Düng n− gi¡c ·u vîi n câ d¤ng 2k .3.5.17 Ch÷ìng 2. L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u ¥y l ph¦n trång t¥m vîi b i to¡n ph¥n lo¤i c¡c l¡t ph¯ng ·u. Luªn v«n tr¼nh b y ÷ñc mët k¸t qu£ quan trång: Câ 11 v ch¿ 11 lo¤i l¡t ph¯ng ·u. Ch÷ìng n y bao gçm c¡c möc sau: 2.1. B i to¡n sè håc li¶n quan ¸n l¡t ph¯ng 2.2. L¡t ph¯ng v l¡t ph¯ng ·u Ch÷ìng 3. C¡c b i to¡n li¶n quan B i to¡n l¡t ph¯ng l mët trong nhi·u b i to¡n v· phõ, â l nëi dung quan trång cõa h¼nh håc tê hñp. Ch÷ìng n y giîi thi»u th¶m c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n l¡t ph¯ng ·u. Nëi dung bao gçm: 3.1. L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c b¬ng nhau.
3 3.2. H¼nh håc tr¶n l¡t ph¯ng. 3.3. C¡c b i to¡n kh¡c.
4 Ch÷ìng 1 a gi¡c ·u v c¡ch düng Hai b i to¡n düng h¼nh r§t nêi ti¸ng ÷ñc bi¸t ¸n tø xa x÷a nh÷ng ph£i m¢i th¸ k 19 c¡c nh to¡n håc mîi t¼m ra líi gi£i. â l b i to¡n düng a gi¡c ·u v b i to¡n chia ba mët gâc. Chóng ta nghe hai b i to¡n ìn gi£n, d¹ h¼nh dung nh÷ng º gi£i quy¸t ÷ñc chóng c¡c nh to¡n håc ¢ ph£i sû döng kh¡ nhi·u cæng cö cõa to¡n håc hi»n ¤i li¶n quan ¸n h¼nh håc v sè håc, h¼nh håc v ¤i sè. Ch÷ìng n y · cªp ¸n b i to¡n düng a gi¡c ·u b¬ng th÷îc k´ v com pa. 1.1 a gi¡c ·u 1.1.1 Kh¡i ni»m cì b£n ành ngh¾a 1.1. a gi¡c ·u l a gi¡c câ t§t c£ c¡c c¤nh b¬ng nhau v t§t c£ c¡c gâc ð ¿nh b¬ng nhau Ta th÷íng dòng t¶n gåi tam gi¡c ·u, tù gi¡c ·u, ngô gi¡c ·u,..., thªp gi¡c ·u,...hay º cho ti»n công dòng kþ hi»u 3-gi¡c ·u, 4-gi¡c ·u, 5-gi¡c ·u,..., 10-gi¡c ·u,... Câ hai lo¤i a gi¡c ·u: a gi¡c lçi ·u v a gi¡c sao ·u. Trong luªn v«n n y ta ch¿ x²t c¡c a gi¡c lçi ·u. C¡c t½nh ch§t sau l c¡c t½nh ch§t chung cho c£ hai lo¤i: - T§t c£ c¡c ¿nh cõa a gi¡c ·u ·u n¬m tr¶n mët ÷íng trán. Måi a gi¡c ·u ·u câ mët ÷íng trán ngo¤i ti¸p. - Måi a gi¡c ·u ·u câ mët ÷íng trán nëi ti¸p.
5 - Måi a gi¡c ·u ·u câ t¥m èi xùng n¸u sè c¤nh ch®n, câ tröc èi xùng n¸u sè c¤nh l´. - Nhâm èi xùng cõa a gi¡c ·u n c¤nh ÷ñc gåi l nhâm nhà di»n Dn : D2 , D3 , D4 , .... Nâ bao gçm c¡c ph²p quay quanh t¥m Cn (t¥m èi xùng), còng vîi c¡c ph²p èi xùng cõa n tröc i qua t¥m n y. N¸u n l ch®n th¼ mët nûa sè tröc èi xùng i qua 2 ¿nh èi xùng nhau cõa a gi¡c v nûa cán l¤i i qua trung iºm cõa 2 c¤nh èi. N¸u n l l´ th¼ t§t c£ c¡c tröc èi xùng ·u i qua mët ¿nh v trung iºm cõa c¤nh èi di»n vîi ¿nh §y. - Gâc: vîi mët a gi¡c ·u n ¿nh, sè o gâc trong ÷ñc t½nh b¬ng cæng thùc: (n − 2)π 2 1− 1800 hay b¬ng radian. n n Khi a gi¡c nëi ti¸p trong ÷íng trán t¥m O th¼ gâc ð t¥m bà chn bði 2π d¥y cung l c¤nh a gi¡c s³ b¬ng α = . n n(n − 3) - ÷íng ch²o: Vîi n ≥ 3 sè ÷íng ch²o trong a gi¡c b¬ng . 2 Chóng chia a gi¡c th nh 1, 4, 11, 24, ... ph¦n. Di»n t½ch cõa a gi¡c lçi t2 n t2 n ·u n c¤nh b¬ng SF = = π hay 1800 4 tan 4 tan n n 2 3600 2π nR sin nR2 sin SF = n = n . 2 2 Ph²p düng tam gi¡c ·u (n = 3) v h¼nh vuæng (n = 4) l hiºn nhi¶n. Ta câ nhªn x²t sau: B¬ng th÷îc v com pa, n¸u ta düng ÷ñc mët n−gi¡c ·u th¼ công düng ÷ñc mët 2n−gi¡c ·u. â l v¼ tø n−gi¡c ·u ta câ thº düng ÷íng trán ngo¤i ti¸p, rçi düng ÷íng trung trüc cõa méi c¤nh º chia æi méi cung trán, ta s³ thu ÷ñc 2n−gi¡c ·u. Nh÷ vªy, tø h¼nh 3−gi¡c ·u ta s³ düng ÷ñc 6−gi¡c ·u, 12−gi¡c ·u, 24−gi¡c ·u,... V tø 4−gi¡c ·u ta s³ düng ÷ñc 8−gi¡c ·u, 16−gi¡c ·u,... Tø â ta suy ra b i to¡n thu v· tr÷íng hñp düng n−gi¡c ·u vîi n l
6 mët sè l´ lîn hìn ho°c b¬ng 5. Công chó þ r¬ng ch¯ng h¤n muèn düng a gi¡c ·u 136 c¤nh th¼ do 136 = 17 × 8 = 17 × 2 × 2 × 2 n¶n ta câ thº quy vi»c düng h¼nh 136−gi¡c ·u v· vi»c düng 17−gi¡c ·u. Tø thíi cê ¤i ng÷íi ta ¢ düng ÷ñc ngô gi¡c ·u, trong cuèn "Cì sð h¼nh håc" nêi ti¸ng Euclid ¢ tr¼nh b y c¡ch düng h¼nh ngô gi¡c ·u b¬ng th÷îc k´ v com pa. Vªy m qua g¦n 2000 n«m khæng ai t¼m ra ÷ñc c¡ch düng 7−gi¡c ·u, 9−gi¡c ·u, 11−gi¡c ·u,...Vi»c düng mët a gi¡c ·u n c¤nh t÷ìng ÷ìng vîi ph²p chia mët ÷íng trán cho tr÷îc th nh n ph¦n b¬ng nhau. V¼ th¸ trong c¡c c¡ch düng a gi¡c ·u sau ¥y ta s³ t¼m c¡ch t½nh ë d i c¤nh a gi¡c ·u º x¡c ành iºm chia tr¶n ÷íng trán. 1.1.2 Düng ngô gi¡c ·u 2π °t α = , ta câ: cos 2α = cos 3α ⇐⇒ 2 cos2 α − 1 = 4 cos4 α − 5 √−1)(4 cos α +2 cos α −1) = 0, t¼m ÷ñc√ gi¡ trà th½ch 3 3 cos α ⇐⇒ (cos α 2π 5−1 5−1 hñp l cos = . ta câ c¡c b÷îc düng o¤n th¯ng tr¶n 5 4 4 h¼nh 1.1 câ ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh R = 1 nh÷ sau: H¼nh 1.1: Ph²p düng ngô gi¡c ·u - Düng trung iºm I cõa OB - Düng ÷íng trán (I, IC), nâ ct AB ct iºm thù hai J
7 - Düng trung iºm K cõa OJ , qua K düng ÷íng th¯ng d k OC . - Gåi P1 l mët trong hai giao iºm cõa d v (O). - L§y AP1 l mët c¤nh ta düng c¡c ¿nh cán l¤i cõa ngô gi¡c ·u AP1 P2 P3 P4 . √ √ Chùng minh. Theo c¡ch düng: IJ = IC = 2 ; OK = 54− 1 . Tø â, 5 √ OK 5−1 cos α = = OK = n¶n AP1 l c¤nh ngô gi¡c ·u. OP1 4 C¡c b÷îc düng ngô gi¡c ·u theo ph²p düng cõa Richmond: B÷îc 1- Düng ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh R = 1. Tø mët iºm B tr¶n ÷íng trán k´ ÷íng th¯ng BO. B÷îc 2- V³ trung iºm D cõa OB (düng trung trüc). B÷îc 3- K´ ÷íng th¯ng qua O, vuæng gâc vîi OB , kþ hi»u mët trong 2 giao iºm vîi ÷íng trán l P1 . B÷îc 4- K´ ph¥n gi¡c ODP \1 , ct OP1 ð N2 . B÷îc 5- K´ ÷íng th¯ng qua N2 , vuæng gâc vîi OP1 ct ÷íng trán t¤i 2 iºm m 1 iºm l P2 . P1 P2 l c¤nh cõa ngô gi¡c ·u nëi ti¸p trong ÷íng trán. s √ 5− 5 Chùng minh. Ta s³ chùng minh P1P2 = 2 sin 360 = 2 . p döng ành lþ Pithagoras v o 2 tam gi¡c vuæng DON2 , DOP1 v ϕ 1 − cos ϕ h» thùc tan = . °t h = ON2 , ϕ = ODP \1 , a = N2 P2 , s = 2 sin √ϕ √ √ 5 2 5 5 1 ϕ P1 P2 . ta câ: DP1 = =⇒ sin ϕ = ; cos ϕ = . h = tan = 2 5 5 2 2 √ s √ 1 − cos ϕ 5−1 2 1 5+ 5 2 = ; a = 1 − h2 =⇒ a = . s = (1 − h)2 + sin ϕ 4 2 2 √ 5−1 a2 = (1 − h)2 + 1 − h2 = 1 − 2h + h2 + 1 − h2 = 2 − 2h = 2 − 2. = 4 √ s √ 5− 5 5− 5 =⇒ s = . 2 2
8 H¼nh 1.2: Ph²p düng ngô gi¡c ·u cõa Richmond H¼nh 1.3: N«m b÷îc düng ngô gi¡c ·u Mët c¡ch düng kh¡c (bä qua chùng minh), xem h¼nh 1.3: B÷îc 1 Düng (O) v 2 ÷íng k½nh vuæng gâc N S v EW . B÷îc 2 V³ trung iºm M cõa ON B÷îc 3 V³ ÷íng trán t¥m M i qua E, ct N S ð E 0 v E 00 . B÷îc 4 V³ ÷íng trán t¥m E i qua E 0 , ct (O) ð P 0 v P 00 B÷îc 5 V³ ÷íng trán t¥m E i qua E 00 , ct (O) ð Q0 v Q00 . Khi â nhªn ÷ñc ngô gi¡c ·u EP 0 P 00 Q0 Q00 nëi ti¸p ÷íng trán. Khi ¢ câ ngô gi¡c ·u th¼ ta düng ÷ñc n−gi¡c ·u vîi n = 10, 20, ....
9 1.2 a gi¡c ·u, h m Euler v c¡c sè Fermat. Quay trð l¤i b i to¡n cì b£n: Khi n o düng ÷ñc a gi¡c ·u b¬ng com pa v th÷îc k´? B i to¡n ang x²t s³ câ bao nhi¶u nghi»m? º câ c¥u tr£ líi cho c¥u häi thù hai ta c¦n thi¸t lªp ch½nh x¡c nëi dung b i to¡n. Cö thº, c¦n cè ành k½ch th÷îc v và tr½ cõa n−gi¡c ·u (÷ìng nhi¶n sè nghi»m h¼nh câ thº l væ h¤n n¸u ¢ câ ½t nh§t 1 nghi»m). Nh÷ vªy, ta s³ coi n−gi¡c cõa ta nëi ti¸p trong mët ÷íng trán ω , t¥m O cho tr÷îc v cè ành mët ¿nh A0 cho tr÷îc. Y¶u c¦u c¦n x¡c ành và tr½ c¡c ¿nh cán l¤i A1 , A2 , ..., An−1 . ÷ìng nhi¶n ch¿ c¦n t¼m và tr½ cõa iºm A1 th¼ ta s³ nhªn ÷ñc c¡c iºm A2 , A3 ,v.v... ìn gi£n nh§t l düng löc gi¡c ·u. Cö thº c¤nh cõa löc gi¡c ·u nëi ti¸p trong ÷íng trán b¬ng b¡n k½nh cõa ÷íng trán. Bði vªy câ thº mæ t£ ph²p düng löc gi¡c ·u qua 2 b÷îc: 10 . B¬ng com pa düng ÷íng trán ω1 t¥m A0 , b¡n k½nh b¬ng OA0 . 20 . Düng iºm A1 l giao cõa hai ÷íng trán ω v ω1 . Ta th§y ngay ph²p düng cho 2 löc gi¡c ·u: A0 A1 A2 A3 A4 A5 v A0 A01 A02 A03 A04 A05 ch¿ kh¡c nhau v· thù tü c¡c ¿nh. Ta công câ nhªn x²t nh÷ vªy vîi n = 3, n = 4. Phùc t¤p hìn l tr÷íng hñp n = 5, n = 10. Vîi n = 5 ta ¢ nâi ð tr¶n. B¥y gií ta x²t vîi n = 10. H¼nh 1.4: Thªp gi¡c lçi ·u, thªp gi¡c sao ·u
10 N¸u düng ph¥n gi¡c A1 B cõa gâc OA1 A0 th¼ s³ t¤o th nh c¡c tam gi¡c c¥n OA1 B, BA1 A0 çng d¤ng. Ta s³ coi ÷íng th¯ng OA0 l tröc sè, iºm O l gèc v iºm A0 l iºm ìn và. Gi£ sû B câ tåa ë x, khi â ta câ ph÷ìng tr¼nh x 1 = hay x2 + x − 1 = 0. x−1 x Sau khi gi£i ta ÷ñc iºm B . iºm A1 l giao cõa ω vîi (A0 , x), câ 2 iºm nh÷ vªy: iºm A01 v iºm A001 . √ √ 1 5 1 5 Ph÷ìng tr¼nh bªc hai câ 2 nghi»m x1 = − + v x2 = − − . 2 2 2 2 Nghi»m thù hai ¥m, bà lo¤i. Düng nh÷ h¼nh 1.4 iºm B khæng ð b¶n ph£i m ð b¶n tr¡i cõa iºm O, ta câ 2 kh£ n«ng v· và tr½ cõa A1 , â l 000 A1 v Aiv 1 . Nh÷ vªy ta câ 4 kh£ n«ng cõa iºm A1 . K¸t qu£ nhªn ÷ñc 2 thªp gi¡c ·u lçi v 2 thªp gi¡c ·u h¼nh sao, hìn núa méi mët trong chóng l¤i câ hai c¡ch ¡nh sè c¡c ¿nh kh¡c nhau, h¼nh 1.4 a,b. T÷ìng tü x£y ra èi vîi ngô gi¡c: Ð ¥y công câ 4 nghi»m, d¨n tîi 2 ngô gi¡c ph¥n bi»t. M°c dò ngô gi¡c ·u ¢ ÷ñc düng câ thº nâi l d¹ d ng v b¬ng nhi·u c¡ch nh÷ng vîi th§t gi¡c ·u v§n · ho n to n kh¡c. Lþ do ch¯ng ph£i c¡c nh to¡n håc khæng t¼m ra c¡ch düng m l khæng thº düng ÷ñc mët th§t gi¡c ·u b¬ng com pa v th÷îc k´. Ng÷íi ¦u ti¶n mð ra con ÷íng gi£i tho¡t cho b i to¡n l nh to¡n håc thi¶n t i Carl Friedrich Gauss. Æng ÷ñc m»nh danh l "Æng vua cõa to¡n håc", quyºn s¡ch "Disquisitiones Arithmeticae" (Nghi¶n cùu sè håc) m æng xu§t b£n n«m 24 tuêi hi»n v¨n l cuèn s¡ch gèi ¦u gi÷íng cho nhúng ng÷íi say m¶ to¡n. Ng÷íi ta kº l¤i r¬ng n«m Gauss 18 tuêi chu©n bà v o ¤i håc vîi 80 trang gi§y nh¡p, Gauss ¢ gi£i quy¸t h¸t sùc µp b i to¡n düng a gi¡c ·u 17 c¤nh b¬ng th÷îc v com pa. Tø thíi cê ¤i, b i to¡n n y ¢ ÷ñc °t ra nh÷ng Gauss l ng÷íi ¦u ti¶n ¢ gi£i quy¸t trån vµn. Cì sð lþ luªn cõa b i to¡n n y ¢ ÷ñc Gauss tr¼nh b y trong "Disquisitiones Arithmeticae". Æng nghi¶n cùu biºu thùc xp 1 v p l mët sè nguy¶n tè. Æng chùng tä r¬ng nhúng nghi»m cõa biºu thùc n y ÷ñc di¹n t£ tø mët lo¤t ph÷ìng tr¼nh câ h»
11 sè húu t m bªc l nhúng ÷îc nguy¶n tè cõa p 1. i·u n y b¡o tr÷îc nhúng k¸t qu£ cõa Galois, v Gauss ¢ chùng minh r¬ng mët a gi¡c ·u n c¤nh düng ÷ñc n¸u n = 2m .p1 ...pk trong â m l mët sè tü nhi¶n v p1 , ..., pk l nhúng sè Fermat. V¼ vªy a gi¡c ·u 257 c¤nh hay a gi¡c ·u 65537 c¤nh ·u düng ÷ñc b¬ng th÷îc v com pa. Sau â v o n«m 1837 nh to¡n håc Pierre Wantzel ng÷íi Ph¡p (1814- 1848) ¢ chùng minh ÷ñc i·u ki»n cõa Gauss ÷a ra công l i·u ki»n c¦n: Vîi n l sè tü nhi¶n l´, n¸u düng ÷ñc a gi¡c ·u n c¤nh b¬ng com pa v th÷îc k´ th¼ n = p1...pk vîi p1, ..., pk l c¡c sè nguy¶n tè Fermat ph¥n bi»t. Sè nguy¶n tè Fermat p1, ..., pk l sè nh÷ th¸ n o? Pierre de Fermat (1601-1665) khæng ph£i l nh to¡n håc chuy¶n nghi»p, ngh· ch½nh cõa æng l luªt s÷ nh÷ng æng l¤i nêi ti¸ng v¼ "ành lþ Fermat b², ành lþ cuèi còng Fermat, c¡c sè Fermat,..." Æng th÷íng hay vi¸t th÷ trao êi vîi c¡c nh to¡n håc kh¡c v· c¡c v§n · to¡n håc. Kh£ n«ng dü o¡n to¡n håc cõa Fermat r§t t i t¼nh: ng÷íi ta nâi r¬ng "ch½n m÷ìi ch½n ph¦n tr«m" c¡c dü o¡n cõa Fermat ·u óng. Vªy m câ mët tr÷íng hñp væ còng quan trång æng ¢ dü o¡n sai! Sè nguy¶n tè âng vai trá quan trång º x¥y düng n¶n to n bë sè tü nhi¶n, n¸u t¼m ÷ñc mët cæng thùc t½nh ÷ñc c¡c sè nguy¶n tè th¼ nhi·u v§n · cõa to¡n håc s³ trð n¶n nhµ nh ng, c¡c nh to¡n håc r§t muèn t¼m ra c¡c n cæng thùc nh÷ th¸. Fermat dü o¡n r¬ng c¡c sè câ d¤ng Fn = 22 + 1 l c¡c sè nguy¶n tè. N¸u óng nh÷ vªy th¼ ¥y l mët cæng thùc qu½ gi¡. Nh÷ng ¡ng ti¸c l Fermat ¢ nh¦m. Vîi n tø 0 ¸n 4 th¼ óng Fn l 5 sè nguy¶n tè nh÷ng vîi n = 5 th¼ F5 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 l¤i l mët hñp sè v¼ 4294967297 = 641 × 6700417. Ta câ ành ngh¾a sau ành ngh¾a 1.2. Mët sè nguy¶n tè ÷ñc gåi l sè nguy¶n tè Fermat n¸u nâ câ d¤ng Fn = 22 + 1. n Ta ph¡t biºu l¤i 2 k¸t qu£ tr¶n: ành lþ 1.1. (Gauss-Wantzel) Vîi n l sè l´, a gi¡c ·u n c¤nh düng ÷ñc b¬ng com pa v th÷îc k´ khi v ch¿ khi n = p1...pk , trong â p1, ..., pk l c¡c sè nguy¶n tè Fermat ph¥n bi»t. V¼ 3 = F0 , 5 = F1 , 17 = F2 , 257 = F3 , 65537 = F4 l c¡c sè nguy¶n tè Fermat n¶n theo ành lþ tr¶n ta düng ÷ñc c¡c h¼nh 3−gi¡c ·u,
12 5−gi¡c ·u, 17−gi¡c ·u, 257−gi¡c ·u, 65537−gi¡c ·u. Ngo i ra, 3 × 5 = 15 n¶n 15−gi¡c ·u l düng ÷ñc, 3 × 17 = 51 n¶n 51−gi¡c ·u l düng ÷ñc, v.v... Nh÷ng khæng düng ÷ñc 7−gi¡c ·u, 9−gi¡c ·u (v¼ 9 = 3 × 3), 11−gi¡c ·u, 13−gi¡c ·u, v.v... Ta th§y ành lþ Gauss-Wantzel r§t câ þ ngh¾a khi x¡c ành n−gi¡c ·u l düng ÷ñc hay khæng. Nh÷ng nhi»m vö cõa c¡c nh h¼nh håc khæng døng ð â: Méi a gi¡c ·u düng ÷ñc ph£i n¶u ÷ñc c¡c b÷îc düng (b¬ng com pa v th÷îc k´) v chùng minh h¼nh düng ÷ñc óng l a gi¡c ·u thäa m¢n. Cán vîi c¡c a gi¡c ·u khæng düng ÷ñc th¼ câ c¡ch n o düng ÷ñc chóng mët c¡ch x§p x¿ hay khæng? Ph¦n ti¸p theo ta s³ tr¼nh b y c¡ch düng a gi¡c ·u 15 c¤nh v a gi¡c ·u 17 c¤nh. 1.3 Düng n−gi¡c ·u vîi n câ d¤ng 2k .3.5.17 B i to¡n düng a gi¡c ·u t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n chia ÷íng trán cho tr÷îc th nh n ph¦n b¬ng nhau. Khæng m§t t½nh ch§t têng qu¡t ta coi b¡n k½nh ÷íng trán b¬ng 1. Kþ hi»u gâc ð t¥m ùng vîi 2π mët c¤nh a gi¡c ·u l α, ta câ α = . C¡ch düng n−gi¡c ·u s³ n 2π phö thuëc v o vi»c düng o¤n th¯ng cos . C¡c tr÷íng hñp d¹ th§y: n 2π 1 2π 1 n = 3, cos = − ; n = 4, cos =− ; 3 2 3 2 1.3.1 Düng 15−gi¡c ·u V¼ n = 15 l t½ch cõa hai sè nguy¶n tè Fermat ph¥n bi»t n¶n câ thº düng ÷ñc 15−gi¡c ·u b¬ng com pa v th÷îc k´, h¼nh 1.6. Ph¥n t½ch. 2π 4π 2π 4π 2π 4π 2π Ta câ cos = cos − = cos . cos + sin . sin = 15 5 3 5 √ 3 5 3 2 2π 1 2π 2π 3 2 cos −1 − + 2 sin cos = √ 5 √ p 2√ √ 5 √ 5 2√ p √ √ 5+1 6 5+ 5 5−1 5+1 6 5+ 5 5−1 + . . = + . . . 8 4 2 2 8 4 2 2 C¡ch düng.
13 H¼nh 1.5: Mët sè a gi¡c ·u √ √ p √ √ 5+1 6 5+ 5 5−1 Ta ph£i düng o¤n th¯ng b¬ng + . . theo 8 4 2 2 c¡c b÷îc sau: √ 5+1 • B÷îc 1. Düng o¤n th¯ng BK = . 8 - Düng trung iºm cõa OB ; V³ ÷íng trán (I, IC) √ , nâ ct AB ð 5+1 J 6= I ; chia BJ th nh 4 ph¦n b¬ng nhau th¼ BK = . √ √ 8 6 5−1 • B÷îc 2. Düng o¤n th¯ng JJ1 = . 4 2 - Düng ÷íng th¯ng d ⊥ AB t¤i A, v³ ÷íng trán (A, AC), nâ ct √ D ð D ÷ñc AD = 2 √ √ 2 6 - Gåi B1 = BD ∩ OC th¼ OB1 = , AB1 = . Gåi B2 l trung √ 2 2 6 iºm cõa AB1 th¼ AB2 = . 4 - Qua √ J√kº ÷íng th¯ng m k AB2 , gåi J1 = m ∩ OB2 ta ÷ñc 6 5−1 JJ1 = . (¡p döng Thalet). 4 2 p √ 5+ 5 • B÷îc 3. Düng o¤n th¯ng M V = 2