Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mô hình hóa các quá trình lãi suất

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mô hình hóa các quá trình lãi suất tập trung tìm hiểu về lãi suất và mô hình định giá trái phiếu; mô hình hóa các quá trình lãi suất. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mô hình hóa các quá trình lãi suất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------------ Đỗ Thị Thu MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Thu MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012
MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN ................................................................................................................. - 3 - LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................ - 4 - CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................ - 5 - 1.1. Quá trình ngẫu nhiên...................................................................................... - 5 - 1.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc. ......................................... - 6 - 1.2.1 Định nghĩa (bộ lọc). .................................................................................. - 6 - 1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc. .................................. - 6 - 1.3. Thời điểm Markov và thời điểm dừng:......................................................... - 6 - 1.4. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ − trường ........................................ - 7 - 1.5. Martingale........................................................................................................ - 7 - 1.6. Quá trình Wiener hay chuyển động Browwn: ............................................. - 8 - 1.7. Tích phân Ito ................................................................................................... - 8 - 1.7.1. Vi phân Itô ................................................................................................ - 9 - 1.7.2. Công thức Itô ............................................................................................ - 9 - CHƯƠNG II: LÃI SUẤT VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TRÁI PHIẾU ........................ - 11 - 2.1. Một số khái niệm trong tài chính................................................................. - 11 - 2.2. Đường cong hoa lợi và lãi suất ..................................................................... - 13 - 2.2.1. Đường cong hoa lợi (Yeid Curve) ......................................................... - 13 - 2.2.2. Lãi suất định trước (Forward Rates) ................................................... - 14 - 2.2.3. Tính lãi suất định trước f ( 0; t ) ............................................................ - 15 - 2.4. Các mô hình định giá trái phiếu .................................................................. - 16 - 2.3.1. Định giá trái phiếu và các độ đo martingale ........................................ - 16 - 2.3.2. Độ đo martingale trung hòa rủi ro. ...................................................... - 16 - 2.3.3. Chuyển đổi trái phiếu (Bond Swap) ..................................................... - 18 - 2.4. Định giá và bảo hộ một hợp đồng chuyển đổi ............................................ - 21 - 2.5. Mô hình định giá trái phiếu ......................................................................... - 25 - 2.5.1. Quá trình định giá Quyền Chọn ........................................................... - 25 -
2.5.2. Mô hình định giá trái phiếu................................................................... - 25 - 2.5.1. Giá trái phiếu .......................................................................................... - 32 - CHƯƠNG III: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT .............................. - 34 - 3.1. Mô hình Vasicek và mô hình Ho-Lee:......................................................... - 34 - 3.1.1. Định nghĩa:.............................................................................................. - 34 - 3.1.2. Phương trình giá trái phiếu Vasicek: ................................................... - 35 - 3.2. Mô hình Hull-White ...................................................................................... - 36 - 3.2.1. Công thức giá trái phiếu P : .................................................................. - 36 - 3.2.2. Lãi suất ngắn hạn trong mô hình Hull-White: .................................... - 38 - 3.3. Mô hình lãi suất ngắn hạn: .......................................................................... - 39 - 3.3.1. Danh mục đầu tư không rủi ro địa phương ......................................... - 41 - 3.3.2. Mô hình hóa Martingale ........................................................................ - 45 - 3.3.3 Cấu trúc affine ........................................................................................ - 46 - 3.3.4. Ước lượng các tham số của mô hình lãi suất: ...................................... - 51 - 3.4. Mô hình Heath-Jarrow-Merton (HJM) ...................................................... - 55 - KẾT LUẬN .................................................................................................................. - 59 - TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ - 60 -
LỜI CÁM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS NGUYỄN CHÍ LONG đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong khoa Toán – Tin học của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tận tình dạy bảo cho tôi trong quá trình học tập tại khoa. Tôi cũng xin cám ơn các cán bộ của Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi cùng các học viên khác có thể học tập và nghiên cứu hiệu quả. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012. Đỗ Thị Thu
LỜI MỞ ĐẦU Lãi suất luôn được xem là vấn đề nhạy cảm đối với đời sống kinh tế. Lãi suất tác động trực tiếp đến lợi nhuận của các chủ thể kinh tế, quyết định tới lợi nhuận của các nhà kinh doanh Ngân Hàng, quyết định tới hiệu quả kinh tế trong hoạt động sản suất kinh doanh của các doanh nghiệp. Có rất nhiều nghiên cứu, các cuộc tranh luận và bàn cãi về lãi suất, diễn biến lãi suất, các mô hình lãi suất,…Thông tin về lãi suất cũng được cập nhật hàng ngày trên các báo, tạp chí, tạp san chuyên nghành,...Lãi suất thực sự là vấn đề nóng bỏng thu hút được sự quan tâm của mọi tầng lớp dân cư và xã hội. Các mô hình lãi suất chủ yếu được sử dụng để định giá các trái phiếu, định giá và bảo hộ giá các quyền lựa chọn trên các trái phiếu. Các mô hình trái phiếu thường không tương đương với mô hình Black-Scholes cho các quyền lựa chọn trên các trái phiếu. Với mong muốn hiểu thêm về các mô hình lãi suất trên các kiến thức về giải tích ngẫu nhiên đã học và xuất phát từ ý nghĩa thực tiễn cùng tính thời sự của vấn đề này, tôi đã chọn đề tài “Mô hình hóa các quá trình lãi suất”. Tuy nhiên, với tính chất phức tạp của vấn đề, với giới hạn của bài viết này thì tôi sẽ trình bày các mô hình lãi suất quan trọng nhất, nghiên cứu các phương pháp định giá trái phiếu dựa trên các mô hình cơ bản đó và chỉ rõ cách vận dụng nó trong thực hành. Nội dung luận văn gồm có 3 chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ……………………………………… Chương 2: LÃI SUẤT VÀ LÃI SUẤT ĐỊNH TRƯỚC ……………………………………… Chương 3: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT ………………………………………
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Quá trình ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.1: Cho ( Ω;  ; P ) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm: • Ω là một tập cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó. •  là một họ nào đó các tập con của Ω có các tính chất sau: i. ∅, Ω ∈  ii. Nếu A∈  thì A∈  ∞ iii. Nếu { An }n ∈  thì A ∈  n n =1 Khi đó họ  được gọi là σ − đại số các tập con của Ω . Chú ý rằng do tiên đề ∞ thứ hai và thứ ba nên ta có tính chất nếu { An }n ∈  thì A ∈  . n n =1 Mỗi tập  ∈  sẽ được gọi là biến cố ngẫu nhiên. • P là một độ đo xác suất xác định trên không gian độ đo ( Ω,  ) , nghĩa là trên σ − đại số  xác định một hàm tập P :  → [ 0,1] thỏa các tính chất sau:  P ( Ω ) =1 .  Nếu { An }n∈ là dãy các biến cố sao cho: Ai ∩ Aj =∅, ∀i ≠ j thì ∞ ∞  P   Ai  = ∑ P ( Ai ) .  i =1  i =1 Một quá trình ngẫu nhiên ( X t , t ≥ 0 ) là một hàm hai biến X ( t , ω ) xác định trên tích  + × Ω lấy giá trị trong  , và là một hàm đo được đối với σ − trường tích B ×  , + trong đó B+ là σ − trường các tập Borel trên  + .
1.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc. 1.2.1 Định nghĩa (bộ lọc). Định nghĩa 1.2: Một họ các σ − trường con ( t , t ≥ 0 ) của  , t ⊂  được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu: i. {t } là một họ tăng theo t , tức là s ⊂ t nếu s < t . ii. {t } là một họ liên tục phải, nghĩa là t = ε>0 t +ε . iii. Nếu A ∈  và P ( A ) = 0 thì A∈ 0 = ( Ω, ∅ ) (do đó  nằm trong mọi t ) 1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc. Cho một quá trình ngẫu nhiên=X ( X t , t ≥ 0 ) . Ta xét σ − trường t X sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X s với s ≤ t= : t X σ ( X s , s ≤ t ) . σ − trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t . Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X (hay gọi là lịch sử của X , hay cũng gọi là trường thông tin về X ). Một không gian xác suất ( Ω,  , P ) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc {t } , được gọi là không gian xác suất được lọc và ký hiệu ( Ω,  , {t } , P ) . 1.3. Thời điểm Markov và thời điểm dừng: Định nghĩa 1.3: Biến ngẫu nhiên τ ∈  +  {+∞} được gọi là thời điểm Markov đối với lọc {t }t≥0 nếu t ≥ 0 ta có {ω ∈ Ω : τ (ω ) ≤ t} ∈  . t Một thời điểm Markov được gọi là thời điểm dừng nếu P {ω ∈ Ω : τ (ω ) < +∞} = 1 (nghĩa là τ là hữu hạn hầu chắc chắn) Chú ý 1.4:
Cho τ là thời điểm Markov và xét σ − đại số = τ { A : A ∈  , A  {τ ≤ t} ∈  , ∀t ≥ 0} , đó là σ − đại số các thông tin có trước t thời điểm τ . 1.4. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ − trường Cho ( Ω,  , P ) là một không gian xác suất,  là một σ − trường con của  ,  ⊂  và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ ( Ω,  ) vào (  , B ) , trong đó B là σ − trường các tập Borel trên đường thẳng  . Khi đó, một biến ngẫu nhiên X * được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ − trường  , nếu: • X * là biến ngẫu nhiên đo được đối với  • Với mọi tập  ∈  thì ta có ∫ X dP = ∫ XdP . *   Biến ngẫu nhiên X * này được ký hiệu là E ( X| ) . Ta chú ý rằng kỳ vọng có điều kiện E ( X| ) là một biến ngẫu nhiên. Nếu ta chọn σ − trường  là σ − trường σ (Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ (Y ) cũng được ký hiệu là E ( X| ) . 1.5. Martingale Định nghĩa 1.5: Cho một quá trình ngẫu nhiên=X ( X t , t ≥ 0) thích nghi với bộ lọc {t } và khả tích E X t < ∞ với mọi t ≥ 0 . Giả sử s và t là hai giá trị không âm bất kỳ sao cho s ≤ t . Khi đó: • Nếu E ( X t |s ) ≤ X s thì X gọi là martingale trên (supermartingale) • Nếu E ( X t |s ) ≥ X s thì X gọi là martingale dưới (supmartingale) • Nếu E ( X t |s ) = X s thì X gọi là martingale đối với bộ lọc {t , t ≥ 0}
Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta hiểu rằng {t } là bộ lọc tự nhiên của { X t } , tức là: t σ ( X s , s = = ≤ t ) t X . 1.6. Quá trình Wiener hay chuyển động Browwn: Định nghĩa 1.6: Chuyển động Brown hay quá trình Wiener được ký hiệu là W(t) thỏa mãn các tính chất sau: i. W(0)=0 . ii. W(t) là biến liên tục theo thời gian t . iii. Sự thay đổi W(t+s)-W(s)  ℵ(0,1), ∀0 ≤ s ≤ t , trong đó ℵ µ , σ 2  biểu thị   phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ và phương sai σ 2 . 1.7. Tích phân Ito Định nghĩa 1.7: Cho f (t , ω ) là một quá trình ngẫu nhiên với W(t) là một chuyển động Brown, tất cả các quỹ đạo của f và W là xác định trên [ a; b ] . Tích phân Itô của quá trình ngẫu nhiên f ( t , ω ) là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình sau đây nếu nó tồn tại: f ( t , ω )dWt ∑ f ( t , ω )[W b =I ∫= a l.i.m max t i+1 −ti →0 i t+1 − Wt ] (1.1) Chú ý 1.8: i. Nếu trong tích phân trên, ta đặt a = 0 và b= t > 0 thì ta có tích phân Itô t ∫ f ( s, ω )dW 0 s phụ thuộc vào cận trên t và từ nay ta chỉ xét tích phân này. ii. Nếu quá trình ngẫu nhiên f ( s, ω ) thỏa mãn tích chất (i) và (ii) sau thì có tích phân Itô
• f ( s, ω ) đo được đối với σ − trường tích B[0,t ] × và thích nghi đối với t = t W , trong đó B[0,t ] là σ − trường Borel trên [ 0,t ] và t W là σ − trường sinh bởi chuyển động Brown Wt đã cho. b • E ∫ f 2 ( t , ω ) dt < ∞ a 1.7.1. Vi phân Itô = Giả sử rằng X ( X t , t ≥ 0 ) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho: • Hầu hết các quỹ đạo t → X t liên tục. t t X 0 + ∫ h ( s, ω ) ds + ∫ f ( s, ω ) dWs • Hầu chắc chắn X t có biểu diễn X t = 0 0 Trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được sao cho các tích phân trong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX . Vi phân Itô dX được viết dưới hình thức như sau: dX t h(t , ω )dt + f (t , ω )dWt = (1.2) Hay = dX t hdt + fdW . 1.7.2. Công thức Itô Định nghĩa 1.9: Cho X là một quá trình Itô với dX = t hdt + fdW . Giả sử g ( t , x ) :  2 →  là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t , hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x . Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g ( t , X t ) là một quá trình Itô có vi phân Itô cho bởi công thức:
∂g ∂g 1 ∂2 g dYt = (t , X t )dt + (t , X t )dX t + (t , X t ) f 2 (t , ω )dt ∂t ∂x 2 ∂t 2 (1.3) Hay: t ∂g t ∂g 1 t ∂2g 2 Yt =∫ ( s, X s )ds + ∫ ( s, X s )dX s + ∫ 2 ( s, X s ) f ( s, ω )ds ∂s ∂x 2 ∂s 0 0 0 (1.4) Chú ý: Trong các tích phân (1.3) và (1.4 ) thì dX coi như đã biết và ta có thể thay = hdt + fdW . dX Trong khi thực hiện các tính toán trên các vi phân, ta có thể áp dụng các quy tắc sau: =dt.dt 0,= dt.dW=dW.dt 0, dW.dW=dt .
CHƯƠNG II: LÃI SUẤT VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TRÁI PHIẾU Tiền tệ là một loại hàng hóa và lãi suất là chi phí cho hàng hóa đó. Tiền hoặc vốn đảm bảo cho sự phát triển của các quốc gia, cho các chi tiêu công cộng như: xây dựng đường sá, trường học, sân bay, bến cảng, bệnh viện, nhà máy, hệ thống bưu chính viễn thông, nhà máy điện, nhà máy thép và phòng thí nghiệm. Nói chung các khoản tiền đó phải đi vay, vì thế hình thành nên các thị trường trái phiếu (bond market). Có rất nhiều loại trái phiếu như: trái phiếu chính phủ (do chính phủ phát hành), trái phiếu công ty (do công ty phát hành) và các trái phiếu đô thị (do các thành phố hoặc các dơn vị hành chánh phát hành). Ở đây ta chỉ xét loại trái phiếu chính phủ. 2.1. Một số khái niệm trong tài chính Cổ phiếu (Stock): Cổ phiếu là loại chứng khoán phát hành bởi công ty để huy động vốn cho sản xuất kinh doanh của họ. Giá cổ phiếu biến động phụ thuộc vào tình trạng Xã Hội và hoạt động kinh doanh của công ty. Người giữ cổ phiếu có quyền tham gia vào hoạt động kinh doanh của công ty và nhận được cổ tức. Trái phiếu (Bond): Trái phiếu là giấy ghi nợ phát hành bởi Nhà nước, Ngân hàng, công ty cổ phần và các tổ chức tài chánh khác. Trái phiếu gắn liền với các chứng khoán vị thế dài hạn. Giá trị của trái phiếu tăng lên theo thời hạn một lãi suất cố định hoặc thay đổi. Có nhiều loại trái phiếu như: tài khoản Ngân hàng (bank account), trái phiếu Chính Phủ (treasury bond), trái phiếu của các công ty (corporate bond),… Quyền chọn ( Option): Quyền chọn là một hợp đồng tài chính cho phép người giữ nó có quyền mua hoặc bán (nhưng không bắt buộc) một tài sản cơ sở tại một thời điểm nhất định với giá đã xác định. Quyền chọn tài chính bao gồm quyền chọn mua (call option) và quyền chọn bán (put option). Quyền chọn mua hoặc bán một tài sản đã quy định tại một ngày quy định (ngày đáo hạn) với một giá xác định.
Phương án đầu tư (porfolio): Một phương án đầu tư là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với các trọng số nào đấy. Giả sử n chứng khoán với giá trị tại thời điểm t là: S1(t ),..., Sn (t ) . Một phương án đầu tư là một cách chọn ra α1(t ) chứng khoán S1 ,…, α n (t ) chứng khoán Sn tại mỗi thời điểm t để đầu tư. Vậy giá trị của phương án ấy tại thời điểm t , ký hiệu bởi V α (t ) : α n V (t ) α1(t ) S1(t ) + ... + α n (t= = ) Sn (t ) ∑ αi (t ) Si (t ) i =1 (2.1) Vì giá các chứng khoán S1(t ),..., Sn (t ) là các quá trình ngẫu nhiên nên giá của phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên. Các αi (t ) ở đây là các hàm số tất định của t . Một phương án đầu tư được ký hiệu bởi ø=(α ,S) . Phương án đầu tư cũng được gọi là danh mục đầu tư hoặc chiến lược đầu tư hoặc chiến lược buôn bán. Phiếu lãi (Coupon): một phiếu lãi (coupon) là phiếu đính kèm vào trái phiếu cho biết số tiền lãi mà người mang nó được hưởng tại thời điểm nhất định, chẳng hạn cứ nửa năm hoặc một năm một lần. Trái phiếu với phiếu lãi 0 (Zero Coupon Bonds): Trái phiếu với phiếu lãi 0 với ngày đáo hạn T , nói gọn là trái phiếu lãi suất 0 (hay trái phiếu-0 hay T-trái phiếu) là loại trái phiếu mà người giữ nó không được hưởng lãi tại các thời điểm nhất định nhưng được khấu trừ vào mệnh giá và được hưởng tỷ lệ lợi nhuận nếu giá trị của trái phiếu trên thị trường tăng lên và trái phiếu thu hồi theo mệnh giá vào ngày đáo hạn. Tài khoản tiền tệ (money account) được xác định bởi công thức: t  B (t ) = exp  ∫ r ( s )ds    0  (2.2)
dB (t ) = r (t ) B(t )dt Tức là:   B0 = 1 (2.3) Nếu ta xem tài khoản tiền tệ như là tài khoản ngân hàng (bank acount) với lãi suất ngắn hạn ngẫu nhiên r (t ) thì việc đầu tư vào tài khoản tiền tệ là tương đương với chiến lược kinh doanh tự tài trợ quay vòng tại mỗi thời điểm t trên các trái phiếu đáo hạn ngay (just maturing), tức là trái phiếu đáo hạn tại t + dt . Tài khoản tiền tệ B (t ) ở trên được gọi là tài khoản không rủi ro, dù rằng r (t ) là một quá trình ngẫu nhiên. 2.2. Đường cong hoa lợi và lãi suất 2.2.1. Đường cong hoa lợi (Yeid Curve) Trong tài chính, hoa lợi ( Yeid), ký hiệu là Y (T ) chỉ lãi suất trung bình hàng năm của một trái phiếu cho thời kỳ [ 0;T ] ( với T là thời điểm đáo hạn của trái phiếu) Với những trái phiếu không phải trả lãi trước ngày đáo hạn thì hoa lợi được tính theo tỉ lệ giá hiện tại và giá lúc đáo hạn của trái phiếu. Nếu ký hiệu tỷ lệ đó là P (0; T ) thì ta có: P (0, T ) = e−T .Y (T ) (2.4) ln P(0, T ) Hoặc Y (T ) = − T (2.5) Trên mặt phẳng tọa độ Đề-Các (t , y ) đồ thị của hàm số y = Y (t ) được gọi là đường cong hoa lợi. Hiện nay Mỹ là nước công bố đường cong hoa lợi một cách rộng rãi trên các phương tiện thông tin đại chúng. Chúng ta có thể tham khảo các số liệu về lãi suất trái phiếu Chính Phủ Mỹ trên webside của kho bạc Hoa Kỳ và có thể tham khảo đường cong hoa lợi trên webside về tài chính có tên gọi là Bloomberg.
2.2.2. Lãi suất định trước (Forward Rates) Định nghĩa 2.1: • Lãi suất định trước tức thời với hợp đồng viết tại thời điểm t có thời hạn đáo hạn T (ký hiệu f ( t , T ) ) được cho bởi biểu thức: ∂ ln P f (t , T ) = − (t , T ) ∂T (2.6) Giả sử thời điểm hiện tại là t = 0 , lãi suất của một hợp đồng tại thời điểm t > 0 có thời hạn đáo hạn T được gọi là lãi suất định trước. Ký hiệu: f (0; t ) • Lãi suất ngắn hạn tức thời tại thời điểm t (ký hiệu là r (t ) ) được định nghĩa như sau: r (t ) = F (t , t ) (2.7) Nếu lãi suất thị trường ổn định và lãi suất ngắn hạn là r (hằng số) thì hiển nhiên giá P0 của trái phiếu lãi suất 0 vào ngày hôm nay (t = 0) là: P0 = e−rT (2.8) Và giá P (t ) của trái phiếu tại thời điểm t ∈ [ 0; T ] sẽ là: P (t ) = e−r (T −t ) (2.9) Giả sử lãi suất bán khống cho thị trường có biến động nhưng vẫn là tất định, tức là r = r (t ) . Khi đó thì:
T − ∫ r ( s)ds P (t ) = e t (2.10) T ⇒ ∫ r ( s )ds = − ln P(t ) t (2.11) Vậy r (t ), P (t ) có liên hệ với nhau trong môi trường tất định này. 2.2.3. Tính lãi suất định trước f ( 0; t ) Đường hoa lợi giúp xác định nên lãi suất trong thời kỳ [ 0;t ] . Ta có thể dung đường hoa lợi Y (t ) để xác định lãi suất định trước f (0; t ) . Biểu thức Y (t ) biểu thị hoa lợi trung bình trong thời kỳ [ 0;t ] . Biểu thức t 1 t ∫0 f (0, s )ds cũng biểu thị hoa lợi trung bình hoặc lãi suất trung bình trong thời gian đó. Như vậy: t t 1 t ∫0 Y (t ) ⇒ ∫ f (0, s )ds = f (0, s )ds = t.Y (t ) 0 ⇒ f (0, t ) = Y (t ) + t.Y ' (t ) Do đó lãi suất định trước f (0, t ) có thể được tính theo Y hoặc P : = f (0, t ) Y (t ) + t.Y ' (t ) (2.12) d ln P f (0, t ) = − (0, t ) dt (2.13)
2.4. Các mô hình định giá trái phiếu 2.3.1. Định giá trái phiếu và các độ đo martingale Khi một nhà đầu tư muốn mua trái phiếu chính phủ có thời hạn là 30 năm, người đó phải phán đoán được xu thế, chiều hướng diễn biến cảu lãi suất trong vòng 30 năm tới. Ngoài ra, bất kể một sự thay đổi nào ở một phần của đường hoa lợi cũng ảnh hưởng tới phần còn lại của đường cong đó. Do đó định giá trái phiếu là một việc làm hết sức nghiêm túc và phải cẩn trọng: mọi sai lầm đều phải trả giá đắt. Vì thế các nhà môi giới trái phiếu phải làm việc hết sức cẩn trọng, họ thường yêu cầu sự giúp đỡ từ nhiều phía phán đoán và định giá trái phiếu. Ta cũng biết rằng 3 yếu tố: giá trái phiếu, đường cong hoa lợi và lãi suất định trước có liên hệ với nhau và biết một yếu tố có thể suy ra hai yếu tố kia. Vậy nếu ta xây dựng một mô hình tốt cho một yếu tố, thì ta cũng có thể có mô hình tốt cho cả hai yếu tố kia. Chúng ta sẽ đưa ra các độ đo martingales vào thị trường trái phiếu ở trên và để làm điều đó trước tiên ta cần phải chọn một tài sản không rủi ro để chiết khấu, tức là phải chọn đương kim (numeraire). Sự lựa chọn thông dụng nhất chính là chọn tài sản không rủi ro B (.) ở trên như đương kim. Đương nhiên sự lựa chọn đó không phải là sự lựa chọn duy nhất. Sau này người ta có thể sử dụng một quá trình giá của T − trái phiếu như đương kim. 2.3.2. Độ đo martingale trung hòa rủi ro. Định nghĩa 2.2: ( ) Xét không gian xác suất có lọc Ω,  , P,{t }t ≥0 và thị trường trái phiếu như trên. Một độ đo martingale Q được gọi là độ đo martingale trung hòa rủi ro nếu sử
dụng B như là đương kim thì với bất kỳ T cố định quá trình P ( t ,T ) = Z ( t ,T ) ,0 ≤ t ≤ T là một Q − martingale. B (t ) Từ định nghĩa trên thì ta có công thức định giá trái phiếu như sau: Mệnh đề: Xét quyền tài chính X đáo hạn tại thời điểm T và giả thiết rằng Q là độ đo martingale trung hòa rủi ro. Khi đó giá ∏ ( t , X ) của quyền tài chính X tại thời điểm t được xác định hợp lý bởi:   T   ∏ ( t= , X ) E  X exp  − ∫ r ( s ) ds  t  Q   t   (2.14) Đặc biệt giá của T − trái phiếu được cho bởi   T   P ( t , T ) E exp  − ∫ r ( s ) ds  t  = Q   t   (2.15) Chứng minh: Sử dụng B như tài sản không rủi ro, khi đó: ∏ ( t , X ) = B ( t ) E Q  XB −1 (T ) t  sẽ là giá hợp lý của quyền tài chính X theo nghĩa nếu ta thêm vào thị trường {B ( t ) , P ( t ,T ) ,0 ≤ t ≤ T } vào tài sản mới ∏ ( t , X ) , tức là xét thị trường mới {∏ ( t , X ) ; B ( t ) ; P ( t ,T ) ;0 ≤ t ≤ T } thì rõ ràng Q cũng là độ đo martingale trung hòa rủi ro đối với thị trường mới. Vì vậy ∏ ( t , X ) là giá không có độ chênh thị giá của quyền tài chính X . Nhận xét 2.4:
Từ công thức (2.15) ta thấy động lực của lãi suất r ( t ) với độ đo khách quan P không đóng vai trò quan trọng gì trong việc định giá trái phiếu. Yếu tố quan trọng nhất trong việc định giá trái phiếu là động học của lãi suất dưới độ đo martingale Q . Cách tiếp cận như vậy trong việc định giá trái phiếu được gọi là cách đánh giá theo mô hình martingale. Như vậy để thị trường trái phiếu không có độ chênh thị giá thì ta cần giả thiết tồn tại độ đo martingale Q  P . Một hệ quả của giả thiết đó là tồn tại LT sao cho LT là đạo hàm Radon-Nikodym của Q đối với P trên T : dQ =LT a 2 + b 2 , LT > 0 hầu chắc chắn ∀T > 0 . dP T 2.3.3. Chuyển đổi trái phiếu (Bond Swap) Chuyển đổi trái phiếu là việc trao đổi một trái phiếu lấy một loại trái phiếu khác. Có thể là đồng thời mua loại trái phiếu này và bán loại trái phiếu kia. Mục đích trao đổi như vậy là gì? Có thể là những mục đích sau:  Đổi để lấy trái phiếu có ngày đáo hạn dài hơn, do đó có thể kiếm lời nhiều hơn vì trái phiếu có ngày đáo hạn dài thì có giá trị lúc đó thấp hơn.  Đổi hoa lợi (yeid swap) để có lợi nhuận cao hơn.  Đổi chất lượng trái phiếu (quality swap) để tìm cách có trái phiếu có độ an toàn hơn và độ rủi ro ít hơn.  Đổi cách đóng thuế (tax swap), chẳng hạn tạo ra thua lỗ để được trừ bớt thuế, bằng cách bán trái phiếu đang bị lỗ rồi mua các trái phiếu khác hiệu quả bảo hộ đầu tư cao hơn. Việc chuyển đổi trái phiếu như vậy thường được thực hiện thông qua các công ty dịch vụ tài chính, các ngân hàng, hợp đồng ấy có thể đem ra mua bán. Giả sử một công ty muốn bán hợp đồng chuyển đổi, cụ thể là muốn đổi một trái phiếu với lãi suất thay đổi để lấy một trái phiếu có lãi suất không đổi. Để định giá hợp