Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun biểu diễn được

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sau đây là luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun biểu diễn được. Luận văn trình bày về Môđun biểu diễn được, môđun của môđun biểu diễn được, tính biểu diễn được của môđun Artin, tính biểu diễn được của Home(M;E) và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun biểu diễn được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH ------------------------------ ĐỖ TRẦN MINH VŨ MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh-2009
LỜI MỞ ĐẦU Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là R-mô đun. Với mỗi phần tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M là tự đồng cấu của M xác định bởi phép nhân phần tử x với M. Mô đun M được gọi là coprimary nếu M 6= 0 và với mọi x thuộc R thì ϕx,M là đơn cấu hoặc lũy linh. Khi đó,
hết các chứng minh trong chương này đều được bỏ qua. Chương 2: Mô đun biểu diễn được Chương này trình bày các vấn đề về mô đun biểu diễn được: định nghĩa mô đun thứ cấp và mô đun biểu biễn được, tính chất của mô đun thứ cấp và mô đun biểu diễn được, mô đun con của mô đun biểu diễn được, tính biểu diễn được của mô đun Artin, tính biểu diễn được của Hom(M,E) trong một số tình huống cụ thể của R-mô đun M và E. Tôi xin gửi đến TS. Trần Tuấn Nam, TS. Nguyễn Đình Lân lòng biết ơn chân thành nhất. Thầy là người hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô trong Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và các thầy cô đã tham gia giảng dạy, quản lý khóa học, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn học cùng khóa đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn có thể có những thiếu sót, kính mong thầy cô và các bạn góp ý và thông cảm. TP. Hồ Chí Minh 12-2009 Đỗ Trần Minh Vũ
Mục lục 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1.1 Mô đun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết yếu . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Iđêan nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Mô đun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Vành Nơ te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Vành Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 12 2.1 Mô đun biểu biễn được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Tính chất của mô đun biểu diễn được . . . . . . . 16 2.1.3 Iđêan nguyên tố gắn kết . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Mô đun con của mô đun biểu diễn được . . . . . . . . . 33 2.3 Tính biểu diễn được của mô đun Artin . . . . . . . . . . 41 2.4 Tính biểu diễn được của Hom(M;E) . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mô đun Trong luận văn này, ta hiểu vành là một vành giao hoán có đơn vị khác không. Cho M là R-mô đun, A và B là hai tập con của M, 0 6= K ⊂ R. Ta định nghĩa: A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B} KA = {r.a|a ∈ A, r ∈ K} Tập con A khác rỗng của M được gọi là mô đu con của M nếu A+A ⊂ A và RA ⊂ A. Với A và B là hai mô đun con của M thì A+B và A ∩ B cũng là mô đun con của M. Hơn nữa, Giao của một họ bất kì các mô đun con của M cũng là mô đun con của M. Cho S là tập con khác rỗng của M. Giao của tất cả các mô đun con của M chứa S được gọi là mô đun con sinh bởi tập S, ký hiệu là . Cho A là mô đun con của M, tập thương M/A = {m + A|m ∈ M } là R- mô đun với các phép toán (m1 + A) + (m1 + A) = (m1 + m2 ) + A r. (m + A) = rm + A R-mô đun M/A được gọi là mô đun thương của M theo mô đun A.
2 Giả sử M là R-mô đun và f : S → R là đồng cấu vành. Khi đó, M có thể xem như S-mô đun với phép nhân ngoài s.m = f (s).m. Tập con S của M được gọi là hệ sinh của M nếu M=. Tập con n P S được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ mỗi đẳng thức ri si = 0 với i=1 ri ∈ R, si ∈ S, ta có r1 = r2 = ... = rn = 0. Mô đun M được gọi là mô đun tự do nếu M có một hệ sinh độc lập tuyến tính. Q Giả sử {Mi }i∈I là họ các R-mô đun. Trong tập tích Đề các Mi , ta i∈I định nghĩa các phép toán: (xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I r.(xi )i∈I = (rxi )i∈I Q Khi đó, Mi trở thành R-mô đun và được gọi là tích trực tiếp của họ i∈I R-mô đun {Mi }i∈I . P Q Q Mô đun con Mi = (xi )i∈I ∈ Mi | hữu hạn xi 6= 0 của Mi i∈I i∈I i∈I được gọi là tổng trực tiếp của của họ các mô đun {Mi }i∈I . Tổng trực tiếp của các mô đun tự do là một mô đun tự do. R-mô đun M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trực tiếp của họ nào đó các bản sao của vành R. Mỗi mô đun M bất kì đều đẳng cấu với mô đun thương của một mô đun tự do nào đó. Cho M là R- mô đun, L và N là các mô đun con của M. Ta kí hiệu (L : N ) = {x ∈ R|x.N ⊂ L} Đây là một iđêan của R. Trong trường hợp đặc biệt khi L=0 và N=M thì (0 : M ) được gọi là cái linh hóa của mô đun M, và được kí hiệu là Ann(M). Với m ∈ M , Ann(m) là cái linh hóa của R-mô đun sinh bởi phần tử m ∈ M . Mệnh đề 1.1.1 . Cho L và N là hai R-mô đun. Khi đó, 1. Ann (L + N ) = Ann (L) ∩ Ann (N )
3 2. (N : L) = Ann (N + L)/N Mệnh đề 1.1.2 . Cho các R-mô đun L,M,N thỏa N ⊂ M ⊂ L . Khi đó: . L/ ∼ = L/M N M/ N Mệnh đề 1.1.3 . Cho L và N là các mô đun con của M. Khi đó: (L + N )/ ∼ L N = /(N ∩ L) Mệnh đề 1.1.4 . Cho M là R-mô đun. Khi đó: M là hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với mô đun thương của một mô đun tự do hữu hạn sinh nào đó. 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết Giả sử R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không. Iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của R-mô đun M nếu tồn tại phần tử x ∈ M để Ann(x)=P. AssR (M ) là tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R-mô đun M. Khi không sợ lầm lẫn vành R, ta kí hiệu Ass(M). Mệnh đề 1.2.1 .Cho P là phần tử tối đại của tập các iđêan Ann (x) |x ∈ M và x 6= 0 Khi đó, P ∈ Ass (M ). Hệ quả 1.2.2 .Cho M là R-mô đun. (1) Ass (M ) = 0 ⇔ M = 0 (2) Tập các ước của 0 của R-mô đun M là hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M. Ta đặt: SuppM = {P ∈ Spec (R) |MP 6= ∅} Định lý 1.2.3 .Cho M là R-mô đun. Khi đó, Ass (M ) ⊂ Supp (M ).
4 Định lý 1.2.4 . Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh khác 0. Khi đó, tồn tại dãy các mô đun con 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mn = M sao cho Mi/ ∼R Mi−1 = /Pi với Pi ∈ Spec (R) , (1 ≤ i ≤ n) Bổ đề 1.2.5 .Cho 0 → M 0 → M → M 00 là một dãy khớp các R-mô đun thì Ass (M ) ⊂ Ass (M 0 ) ∪ Ass (M 00 ) Từ bổ đề trên, ta thấy, nếu M = M1 ⊕ M2 thì ta có dãy khớp 0 → M1 → M → M2 và do đó, Ass (M ) ⊂ Ass (M1 ) ∪ Ass (M2 ) Mệnh đề 1.2.6 . Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh . Khi đó, Ass (M ) là tập hữu hạn. Định lý 1.2.7 .Cho R là vành Nơ te, các điều sau tương đương với M là R-mô đun: (1) M là coprimary (2) M chỉ có một iđêan nguyên tố liên kết. 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết yếu Cho vành giao hoán có đơn vị R. Một iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết yếu của M nếu tồn tại phần tử x ∈ M để P là tối tiểu trên Ann(x). Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết yếu của M kí hiệu là W.Ass(M). Mệnh đề 1.3.1 . Cho M là một R-mô đun. Khi đó, ta có: (1) Ass (M ) ⊂ W.Ass (M ) (2) Ass (M ) = W.Ass (M )nếu R là vành Nơ te. (3) W.Ass 6= ∅ nếu M 6= 0 (4) Nếu 0 → M → N → L → 0 là dãy khớp thì W.Ass (M ) ⊂ W.Ass (N ) ⊂ W.Ass (M ) ∪ W.Ass (L)
5 Mệnh đề 1.3.2 . Cho M là R-mô đun thỏa điều kiện mô đun không của M có phân tích nguyên sơ. Gọi 0 = N1 ∩ N2 ∩ ... ∩ Nn là phân tích nguyên sơ tối tiểu của 0, trong đó Ni là mô đun con Pi -nguyên sơ của M. Khi đó, W.Ass (M ) = {P1 , P2 , ..., Pn } Hệ quả 1.3.3 . Cho R là vành Nơ te, M là R-mô đun hữu hạn sinh thì mọi mô đun con của M đều có một phân tích nguyên sơ. 1.4 Iđêan nguyên sơ Mệnh đề 1.4.1 . (1) Cho Q1 , ..., Qn là các iđêan nguyến tố của vành R và P là một Sn iđêan của R nằm trong Qi . Khi đó, tồn tại một chỉ số i0 để P ⊂ Qi0 . i=1 (2) Cho P1 , ..., Pn là các iđêan của vành R và Q là một iđêan nguyên n T tố của R chứa Pi . Khi đó, tồn tại một chỉ số i để Pi ⊂ Q. Đặc biệt, i=1 n T nếu Q = Pi thì có i để Q = Pi . i=1 Cho P và Q là hai iđêan của vành R thì Q ∪ P cũng là một iđêan của R. Ta còn định nghĩa iđêan (Q : P ) = {x ∈ R|x.P ⊂ Q} gọi là iđêan thương của Q cho P. Cho P là iđêan của vành R. Căn của P, kí hiệu r (P ), là iđêan xác định như sau: r (P ) = {x ∈ R | ∃n > 0 : xn ∈ P } Mệnh đề 1.4.2 . Cho P là một iđêan của vành R. Khi đó: (1) P ⊂ r (P ) (2) Nếu P là iđêan nguyên tố thì r (P n ) = P với mọi số n>0. Nếu f : A → B là một đồng cấu vành và Q là iđêan của B thì P = f −1 (Q) cũng là một iđêan của A và ta sẽ kí hiệu P = Qc . iđêan P của R được gọi là nguyên sơ nếu P khác R và nếu x.y ∈ P thì x ∈ P hoặc y n ∈ P với một số nguyên dương n nào đó. Một iđêan nguyên tố
6 đương nhiên là iđêan nguyên sơ nhưng điều ngược lại không đúng. iđêan P được gọi là Q-nguyên sơ nếu P là iđêan nguyên sơ và r(P)=Q. Mệnh đề 1.4.3 . Nếu Q là iđêan nguyên sơ thì r(Q) là iđêan nguyên tố tối tiểu của R chứa Q. Mệnh đề 1.4.4 . Nếu r(P) là iđêan tối đại thì P là iđêan nguyên sơ. Đặc biệt, nếu P là iđêan tối đại của R thì với mọi n>0, P n là iđêan P-nguyên sơ. Một sự phân tích nguyên sơ của iđêan P trong vành R là sự biểu diễn P như là giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên sơ của R. Sự phân n T tích nguyên sơ P = Qi của iđêan P trong vành R được gọi là tối tiểu i=1 n T nếu với mọi i, Qj 6⊂ Qi . Từ một sự phân tích nguyên sơ bất kì, ta j=1 j6=i luôn có được một phân tích nguyên sơ tối tiểu. iđêan P của R được gọi là phân tích được nếu P có một sự phân tích nguyên sơ trong R. Mệnh đề 1.4.5 . Cho P là iđêan phân tích được của vành R và P = n T Qi là phân tích nguyên sơ tối tiểu của P. Khi đó, với mỗi i, đặt i=1 Pi = r (Qi ). Khi đó, các Pi không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ của P. 1.5 Mô đun con Một mô đun con thực sự N của M được gọi là mô đun con nguyên tố của M nếu, với mọi r ∈ R và m ∈ M thỏa rm ∈ N thì hoặc là m ∈ N ,hoặc là r ∈ (N : M ). Ta thấy, nếu N là mô đun con nguyên tố của M thì P = (N : M ) là iđêan nguyên tố của R. Do đó, ta còn gọi N là P-mô đun con nguyên tố. Cho R là vành và M là R-mô đun. Với mỗi phần tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M là tự đồng cấu của M xác định bởi phép nhân phần tử x với
7 M. Khi đó, nilradical của M, kí hiệu
8 Tập các iđêan Pi = < M /Qi được kí hiệu Ass(M). Một tập con B của Ass(M) được gọi là cô lập nếu với mỗi P thuộc B và mọi Q thuộc Ass(M), nếu Q ⊂ P thì Q ∈ B Mệnh đề 1.5.3 . Nếu {Pi1 , ..., Pir } là tập con cô lập của Ass(M) thì mô đun con Qii ∩ ... ∩ Qir không phụ thuộc sự phân tích đã chọn. . Mệnh đề 1.5.4 . Tập các phần tử x ∈ R để ϕx,M không đơn cấu là hợp của tấp cả các Pi thuộc Ass(M). Mệnh đề 1.5.5 . Tập các phần tử x ∈ R để ϕx,M lũy linh là giao của tất cả các Pi thuộc Ass(M). 1.6 Vành Nơ te Một vành R được gọi là vành Nơ te nếu mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử tối đại. Mệnh đề 1.6.1 . Các điều sau là tương đương đối với một vành R: (1) R là vành Nơ te. (2) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.6.2 . Cho R là vành Nơ te. Khi đó, (1) Nếu φ : R → S là một toàn cấu thì S là vành Nơ te. (2) Nếu S là tập con đóng nhân của R thì S −1 R là vành Nơ te. (3) Nếu P là một iđêan nguyên tố của R thì RP là vành Nơ te. Mệnh đề 1.6.3 . Cho S là một vành con của vành R. Nếu S là vành Nơ te và R là hữu hạn sinh, xét như S-mô đun. Khi đó, R là vành Nơ te. Định lý 1.6.4 . Trong vành Nơ te, mọi iđêan đều có một sự phân tích nguyên sơ.
9 Mệnh đề 1.6.5 . Cho R là vành Nơ te. Khi đó, (1) Mọi iđêan đều chứa một lũy thừa nào đó căn radical của nó. (2) Nếu Q là iđêan tối đại của R và P là một iđêan bất bì khác của R thì các điều sau tương đương: (a) P là Q-nguyên sơ. (b) r (P ) = Q (c) tồn tại số n để Qn ⊂ P ⊂ Q 1.7 Vành Artin Một vành R được gọi là vành Artin nếu mọi tập không rỗng các iđêan của R đều có phần tử tối tiểu. Mệnh đề 1.7.1 . Trong một vành Artin, ta có: (1) Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại. (2) Tập các iđêan tối đại là tập hữu hạn. Định lý 1.7.2 . Cho vành R có iđêan không là tích của các iđêan tối đại P1 , ..., Pn ( không nhất thiết các iđêan tối đại khác nhau). Khi đó, R là vành Nơ te khi và chỉ khi R là vành Artin. Ta xét dãy hữu hạn các iđêan nguyên tố của R như sau: P0 P1 P2 .... Pn Một dãy như trên được gọi là có độ dài n. Ta định nghĩa chiều của vành R là sup của tập các độ dài các dãy iđêan nguyên tố của R. Kí hiệu là dimR. Hiển nhiên vành Artin có số chiều là 0. Định lý 1.7.3 . Cho vành R. R là vành Artin khi và chỉ khi R là vành Nơ te và dimR=0. Một vành được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêan tối đại. Định lý 1.7.4 . Một vành Artin R bất kì luôn đẳng cấu với tích trực tiếp của hữu hạn các vành Artin địa phương.
10 1.8 Dãy khớp Cho M và E là hai R-mô đun, ánh xạ f : M → E được gọi là R-đồng cấu nếu với mọi m1 , m2 ∈ M và r ∈ R thì f (m1 + m2 ) = f (m1 ) + f (m2 ) f (r.m1 ) = r.f (m1 ) Ta đặt Hom(M,E) là tập tất cả các R-đồng cấu từ M vào E. Cho f : M → N là R-đồng cấu các R-mô đun và E là một R-mô đun, ta kí hiệu f∗ : Hom (N, E) → Hom (M, E) là R-đồng cấu biến mỗi đồng cấu g trong Hom(N,E) thành đồng cấu gf trong Hom(M,E). Tương tự, f ∗ : Hom (E, M ) → Hom (E, N ) là R-đồng cấu biến mỗi đồng cấu g trong Hom(E,M) thành đồng cấu fg trong Hom(E,N). Một dãy các R-mô đun và R-đồng cấu fn fn+1 ... → − Mn−1 −−→ Mn −−−→ Mn+1 → − ... được gọi là khớp tại Mn nếu Im fn = Ker fn+1 . Một dãy được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi Mn . Đặc biệt: f (1) Dãy 0 → − M→ − N khớp khi và chỉ khi f đơn cấu. f (2) Dãy M → − N→ − 0 khớp khi và chỉ khi f toàn cấu. g f (3) Dãy 0 → − L→ − M → − N → − 0 khớp khi và chỉ khi g đơn cấu, f toàn cấu và Im g = Ker f . g f Mệnh đề 1.8.1 . Cho L → − M→ − N→ − 0 là một dãy các R-mô đun và R-đồng cấu. Dãy trên khớp khi và chỉ khi với mọi R-mô đun E, dãy sau khớp: f g 0→ − Hom (N, E) → − Hom (M, E) → − Hom (L, E) g f Mệnh đề 1.8.2 . Cho 0 → − L→ − M→ − N là một dãy các R-mô đun và R-đồng cấu. Dãy trên khớp khi và chỉ khi với mọi R-mô đun E, dãy sau g f khớp: 0→ − Hom (E, L) → − Hom (E, M ) → − Hom (E, N )
11 Định nghĩa: Cho E là R-mô đun. E được gọi là R-mô đun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu χ : A → B, mỗi đồng cấu f : A → E, tồn tại đồng cấu f : B → E sao cho f = f χ. Định lý 1.8.3 . Mọi mô đun đều có thể nhúng vào một mô đun nội xạ nào đó, xem như là mô đun con của mô đun nội xạ đó. Nếu R-mô đun E là nội xạ thì với mọi dãy khớp ngắn g f 0→ − L→ − M→ − N→ − 0 ta có dãy khớp sau: f g 0→ − Hom (N, E) → − Hom (M, E) → − Hom (L, E) → − 0. Định nghĩa: Cho E là R-mô đun. E được gọi là R-mô đun xạ ảnh nếu với mỗi toàn cấu σ : B → C, mỗi đồng cấu f : E → C, tồn tại đồng cấu f : E → B sao cho f = σf . Nếu R-mô đun E là xạ ảnh thì với mọi dãy khớp ngắn g f 0→ − L→ − M→ − N→ − 0 ta có dãy khớp sau: g f − Hom (E, L) → 0→ − Hom (E, M ) → − Hom (E, N ) → − 0
12 Chương 2 MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 2.1 Mô đun biểu biễn được 2.1.1 Các định nghĩa Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Một R-mô đun M được gọi là thứ cấp nếu M khác không và với mọi x thuộc R thì ϕx,M là toàn cấu hoặc lũy linh. Mệnh đề 2.1.1 Cho M là R-mô đun thứ cấp. Ta có < (M ) = ρ là iđêan nguyên tố của R. Chứng minh: / ρ. Khi đó, với mọi n, y n M 6= 0 và tồn tại số m Giả sử xy ∈ ρ và y ∈ để (xy)m M = 0. Do đó, ϕy,M không lũy linh nên nó là toàn cấu. Do đó, yM = M . Vì thế nên 0 = (xy)m M = xm y m M = xm M . Suy ra, x ∈ ρ. Vậy, ρ là iđêan nguyên tố của R. Do mệnh đề trên, khi M là R-mô đun thứ cấp có < (M ) = ρ, ta gọi M là ρ-thứ cấp. Cho M là R-mô đun. Một biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn các mô đun con thứ cấp: M = N1 + N2 + ... + Nn . Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp N1 , N2 , ..., Nn thỏa các điều kiện :
13 (1) Các iđêan nguyên tố < (Ni ) phân biệt. (2) Không có Ni nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại. Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, ta nói M là mô đun biểu diễn được. Mệnh đề 2.1.2 . Tổng trực tiếp hữu hạn các mô đun ρ-thứ cấp là một mô đun ρ-thứ cấp. Chứng minh: m Giả sử M = ⊕ Mi là tổng trực tiếp các R-mô đun ρ-thứ cấp. i=1 r. Nếu r ∈ ρ thì với mọi i, Mi − → Mi là lũy linh. Do đó, có số ni để rni Mi = 0. Đặt n = n1 n2 ...nm . Khi đó, rn Mi = 0 với mọi i . Do đó, r. rn M = 0, tức là M − → M lũy linh. r. r. Nếu r ∈ / ρ thì với mọi i, Mi − → Mi là toàn cấu. Do đó, M − → M cũng là toàn cấu. Vậy, M là R-mô đun ρ-thứ cấp. Mệnh đề 2.1.3 . Mô đun thương khác không của mô đun ρ-thứ cấp là mô đun ρ-thứ cấp. Chứng minh: Giả sử M là R-mô đun ρ-thứ cấp và M/N là một mô đun thương khác 0 bất kì của M. r. Nếu r ∈ ρ thì đồng cấu M −→ M là lũy linh. Khi đó, tồn tại số n để n r. rn M = 0 . Do đó, rn M/N = r M/N = 0 nên M/N − → M/N lũy linh. r. M Nếu r ∈/ ρ thì đồng cấu M −→ M là toàn cấu. Do đó, r /N = rM/ = M/ nên M/ − r. M M N N N → /N toàn cấu. Vậy, /N là R-mô đun ρ-thứ cấp. Giả sử M1 , M2 , ..., Mr là các R- mô đun con của M. Ta thấy Mi có m thể coi như là mô đun thương của R-mô đun M = ⊕ Mi . Do đó, nếu i=1 m M = ⊕ Mi là R-mô đun ρ-thứ cấp thì do mệnh đề trên, Mi cũng là i=1
14 R-mô đun biểu diễn được. Do đó, ta có: M1 , M2 , ..., Mr là các R- mô đun m ρ-thứ cấp khi và chỉ khi M = ⊕ Mi là R-mô đun ρ-thứ cấp. i=1 Mệnh đề 2.1.4 . Cho M là R-mô đun, ρ là iđêan nguyên tố của R, và M1 , M2 , ..., Mr là các mô đun con ρ-thứ cấp của M. Khi đó, N = M1 + M2 + ... + Mr là mô đun con ρ-thứ cấp của M. Chứng minh : r. Nếu r ∈ ρ thì với mọi i, Mi − → Mi là lũy linh. Do đó, có số ni để rni .Mi = 0. Đặt n = n1 .n2 ...nm . Khi đó, rn Mi = 0 với mọi i . Do đó, r. rn .N = 0, tức là N − → N lũy linh. r. r. Nếu r ∈ / ρ thì với mọi i, Mi − → Mi là toàn cấu. Do đó, N − → N cũng là toàn cấu. Vậy, N là R-mô đun ρ-thứ cấp. n P Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Ni là một biểu diễn i=1 thứ cấp của M. Do mệnh đề 2.1.4, ta có thể giả sử các iđêan nguyên tố
15 + Nếu x ∈ ρ thì tồn tại số n để xn M = 0. Do đó, xn ∈ Ann (M ) và xn ∈ r (Ann (M )). Ngược lại, vì Ann (M ) ⊂ ρ và ρ là iđêan nguyên tố nên r (Ann (M )) ⊂ ρ. Do đó, r (Ann (M )) = ρ. + Giả sử xy ∈ Ann (M ). Khi đó, xyM = 0. Nếu x ∈ ρ thì tồn tại số n để xn M = 0. Do đó, xn ∈ Ann (M ). Nếu x ∈ / ρ thì xM = M . Do đó, yM = yxM = 0 và y ∈ Ann (M ). Vậy, Ann (M ) là iđêan ρ-nguyên sơ. Mệnh đề 2.1.6 . Nếu M là một R-mô đun ρ-thứ cấp và S là tập con nhân của R thì : a) Nếu S ∩ ρ 6= ∅ thì S −1 M =0. b) Đồng cấu nhúng M vào S −1 M là toàn cấu. c) S −1 M hoặc là bằng 0, hoặc là một S −1 R-mô đun S −1 ρ-thứ cấp. Chứng minh: a) Giả sử S ∩ ρ 6= ∅. Lấy p ∈ S ∩ ρ. Khi đó, tồn tại số n để pn M = 0 và pn ∈ S. Ta có, pn (s.0 − 1.m) = pn m = 0. Vì thế nên với mọi m s ∈ S −1 M , m s = 0S −1 M . Vậy, S −1 M = 0 b) Ta có ψ : M → S −1 M biến m ∈ M thành m 1 ∈ S −1 M . Nếu S ∩ ρ 6= ∅ thì S −1 M =0. Khi đó, đồng cấu nhúng M vào S −1 M đương nhiên là toàn cấu. Nếu S ∩ ρ = ∅ thì với bất kì m s ∈ S −1 M , vì sM = M nên có m1 ∈ M để sm1 = m. Khi đó, ta có s (s.m1 − 1.m) = 0 nên m1 ψ (m1 ) = 1 =m s. Do đó, đồng cấu nhúng M vào S −1 M là toàn cấu. −1 c) Giả sử S M 6= ∅. p Nếu s0 ∈ S −1 ρ thì do p ∈ ρ nên tồn tại số n để pn M = 0. Khi đó, với p n n s0 bất kì m s0 ∈ S −1 M , sp0 ms = ps0.m.s = 0. Do đó, S −1 M − → S −1 M là lũy linh. p Nếu s0 / S −1 ρ thì với mọi ∈ m s ∈ S −1 M , do p ∈ / ρ nên ta tìm được p p m1 m1 ∈ M để p.m1 = m. Khi đó, do s 1 = m s nên S −1 M → −s S −1 M là toàn cấu. Vậy, S −1 M là S −1 R -mô đun S −1 ρ-thứ cấp.
16 2.1.2 Tính chất của mô đun biểu diễn được Trong phần này, ta xem R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không. Mệnh đề 2.1.7 . Cho M là R-mô đun biểu diễn được. Khi đó, α = R Ann(M ) là iđêan phân tích được của R. Và Ass /α ⊂ Att (M ) Chứng minh: n P Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = Ni với Ni là ρi -thứ i=1 cấp. Đặt Qi = Ann(Ni ). Từ 2.1.5, ta có Qi là ρi -nguyên sơ. n P Nếu r ∈ ∩Qi thì rNi = 0 với mọi chỉ số i. Do đó, rM = rNi = 0. i=1 Suy ra, r ∈ Ann (M ). n P Nếu r ∈ / ∩Qi thì tồn tại chỉ số i0 để r ∈ / ρi0 . Vì biểu diễn M = Ni i=1 n P n P là biểu diễn tối tiểu nên Ni0 6⊂ Ni . Chọn x0 ∈ Ni0 \ Ni . Khi đó, i=1 i=1 i6=i0 i6=i0 rxi0 6= 0 và n X rxi0 ∈ / Ni i=1 i 6= i0 Vì thế cho nên n X rxio + Ni 6= 0 i=1 i 6= i0 Do đó, rM 6= 0. Suy ra, r ∈ / Ann (M ). Vậy, ta có Ann(M ) = ∩Qi . Do đó, Ann(M) là iđêan phân tích được của A. R Theo mệnh đề 1.5.2, ta có Ass /α ⊂ Att (M ) Mệnh đề 2.1.8 . Cho Q là một mô đun thương khác 0 của R- mô đun biểu diễn được M. Khi đó, Q là mô đun biểu diễn được và Att(Q) ⊂ Att(M ).