Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán số học trong hình học phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận văn trình bày phương pháp tìm các tam giác Pythagore, tìm các tam giác Heron trong trường hợp tổng quát. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung luận văn này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán số học trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- LÊ PHƢƠNG THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- LÊ PHƢƠNG THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2019
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC L¶ Ph÷ìng Th£o MËT SÈ BI TON SÈ HÅC TRONG HNH HÅC PHNG LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2019
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC L¶ Ph÷ìng Th£o MËT SÈ BI TON SÈ HÅC TRONG HNH HÅC PHNG Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p M¢ sè: 8460113 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS.TS NGUYN VIT HI Th¡i Nguy¶n - 2019
i Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. Nguy¹n Vi»t H£i, Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng. Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng o t¤o, Khoa To¡n Tin, quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K11 (2018 - 2020) Tr÷íng ¤i håc khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Xin tr¥n trång c£m ìn! H£i Pháng, th¡ng ... n«m 20... Ng÷íi vi¸t Luªn v«n L¶ Ph÷ìng Th£o
ii Danh möc h¼nh 1.1 Tam gi¡c Pythagore: BC 2 = AB 2 + AC 2 . . . . . . . . . . 4 1.2 Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a . . . . . . . . . . 8 1.3 Tam gi¡c Heron theo sü t«ng d¦n cõa c¤nh lîn nh§t . . . . 12 1.4 Tam gi¡c Pythagore cì b£n v c¡c b¡n k½nh r, ra , rb , rc . . . 13 1.5 T½nh ch§t c¡c cevian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 Hai nghi»m l tam gi¡c vuæng vîi m = 1 . . . . . . . . . . 27 2.2 Hai nghi»m l tam gi¡c tò vîi m = 2 . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Tam gi¡c c¤nh tü nhi¶n ngo¤i ti¸p ÷íng trán . . . . . . . . 31 3.1 Tù gi¡c húu t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Tù gi¡c húu t cõa Brahmagupta . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 ë d i 2 ÷íng ch²o, chu vi, di»n t½ch tù gi¡c . . . . . . . . 45 3.4 Düng tù gi¡c Brahmagupta tø tam gi¡c Heron . . . . . . . 47 3.5 Hai ÷íng ch²o AB, BC ∈ P . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6 (IMO 1968, #1), C¡ch gi£i thù ba . . . . . . . . . . . . . . 54
iii Danh möc b£ng 1.1 Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n . . . . . . . . . 11 1.2 Hå tam gi¡c Heron phö thuëc λ, vîi 10 gi¡ trà λ . . . . . . 23 2.1 Ba c¤nh l c§p sè cëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 B i to¡n P 2 = nS vîi n = 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 B i to¡n P 2 = nS vîi n = 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
iv Möc löc Giîi thi»u luªn v«n 1 1 Tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron 4 1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron . . . . 4 1.1.1 C¡c bë ba Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vîi r, ra , rb , rc ∈ N . . . . . . 10 1.3 Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc λ . . . . . . . . . . . . . 18 2 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi h» thùc giúa S v P 24 2.1 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi S = m.P, m ∈ N . . . . . . . . . 24 2.1.1 Thuªt to¡n Goehl v thuªt to¡n Markov . . . . . . . 25 2.1.2 Hai tr÷íng hñp tham sè nguy¶n . . . . . . . . . . . 32 2.2 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi P 2 = nS, n ∈ N . . . . . . . . . 35 2.2.1 Tr÷íng hñp n l sè nguy¶n tè . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Tr÷íng hñp n l hñp sè . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3 Tr÷íng hñp ri¶ng: Tam gi¡c Pythagore . . . . . . . . 39 3 Mët sè v§n · li¶n quan 41 3.1 Tù gi¡c câ c¤nh v ÷íng ch²o húu t . . . . . . . . . . . . 41 3.2 X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta . . . . . . . . 45 3.3 Giîi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic . . . . . . . . . . . 50 T i li»u tham kh£o 58
1 Giîi thi»u luªn v«n 1. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n Nhi·u b i to¡n, kh¡i ni»m trong h¼nh håc li¶n quan ¸n sè håc. °c bi»t câ nhúng b i to¡n ho n to n thuëc l¾nh vüc sè håc nh÷ bë ba Pythagore, tam gi¡c Heron,...º gi£i quy¸t nhúng b i to¡n n y th÷íng ph£i gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine, ph÷ìng tr¼nh Pythagore, ph÷ìng tr¼nh Pell,...v nhi·u ki¸n thùc s¥u v· sè nguy¶n tè nâi ri¶ng v sè håc nâi chung. · t i n y tr¼nh b y nhi·u v§n · cõa sè håc ¡p döng v o h¼nh håc, mang l¤i nhúng k¸t qu£ s¥u sc v· b i to¡n h¼nh håc gi£i b¬ng ki¸n thùc sè håc. Möc ½ch cõa · t i l : - Tr¼nh b y hai b i to¡n: t¼m c¡c tam gi¡c Pythagore, t¼m c¡c tam gi¡c Heron trong tr÷íng hñp têng qu¡t. N¶u ra c¡c thuªt to¡n t¼m nghi»m cõa c¡c b i to¡n °t ra. C¡c tr÷íng hñp ri¶ng x¡c ành tam gi¡c Heron: B i to¡n HG t¼m tam gi¡c Heron vîi r, ra , rb , rc ∈ N, tam gi¡c câ c¡c c¤nh lªp th nh c§p sè cëng, l÷îi nguy¶n c¡c tam gi¡c Heron,... - Sû döng c¡c ki¸n thùc cõa sè håc nh÷: lþ thuy¸t chia h¸t, sü ph¥n t½ch mët sè tü nhi¶n th nh c¡c sè nguy¶n tè, gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine, c¡c lªp luªn sè håc nâi chung,...º nghi¶n cùu mët sè tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa b i to¡n t¼m tam gi¡c c¤nh nguy¶n thäa m¢n mët trong ba i·u ki»n sau S = mP ; P 2 = nS hay R/r = N ∈ N. - N¶u ra c¡c b i to¡n li¶n quan v c¡ch gi£i quy¸t chóng: Tù gi¡c húu t, tù gi¡c Brahmagupta; Bçi d÷ïng n«ng lüc d¤y c¡c chuy¶n · khâ ð tr÷íng THCS v THPT gâp ph¦n o t¤o håc sinh gi¡i mæn H¼nh håc.
2 2. Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t Düa v o c¡c t i li»u [2], [3], [4], [6] luªn v«n tr¼nh b y mët sè b i to¡n hay v· tam gi¡c nguy¶n v công l nhúng b i to¡n khâ hay g°p trong c¡c ký thi håc sinh gi¡i To¡n trong n÷îc v quèc t¸. Nëi dung luªn v«n chia l m 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1. Tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron B i to¡n t¼m bë ba Pythagore l b i to¡n sè håc quen thuëc, tuy nhi¶n khæng thº khæng nhc l¤i c¡c k¸t qu£ ¢ câ trong nhi·u cæng tr¼nh. Vi»c l m n y công coi l bê sung c¡c ki¸n thùc cì b£n ¦u ti¶n cõa b i to¡n °t ra. B i to¡n t¼m tam gi¡c Heron d¨n tîi nhi·u tr÷íng hñp ri¶ng thó và v k¸t thóc ð mët k¸t qu£ têng qu¡t: Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc tham sè. Ch÷ìng n y bao gçm: 1.1. B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron 1.2. B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vîi r, ra , rb , rc ∈ N 1.3. Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc λ. Ch÷ìng 2. Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi h» thùc giúa S v P Nëi dung ch÷ìng n y · cªp ¸n hai b i to¡n v· t¼m tam gi¡c c¤nh nguy¶n thäa m¢n i·u ki»n phö: T¼m tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi S = mP v t¼m tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi P 2 = nS . C¡c kÿ thuªt sè håc ÷ñc vªn döng gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh Diophantine d¤ng °c bi»t d¨n tîi c¡c thuªt to¡n gi£i b i to¡n b¬ng c¡c ph¦n m·m tin håc. Ch÷ìng n y bao gçm c¡c möc sau: 2.1. Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi S = mP, m ∈ N 2.2. Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi P 2 = nS, n ∈ N. Ch÷ìng 3. Mët sè v§n · li¶n quan Ch÷ìng 3 x²t b i to¡n tam gi¡c nguy¶n mð rëng cho tù gi¡c húu t vîi ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn t÷ìng tü 2 ch÷ìng 1 v 2. Ph²p düng tù gi¡c húu
3 t nëi ti¸p ÷íng trán (tù gi¡c Brahmagupta) ÷ñc gi£i quy¸t trån vµn. Ð ¥y công tr¼nh b y mët v i b i to¡n h¼nh håc câ nëi dung sè håc ¢ g°p trong c¡c ký thi håc sinh gi¡i, thi Olympic c¡c n÷îc. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc chia th nh 3 ph¦n: 3.1. Tù gi¡c câ c¤nh v ÷íng ch²o húu t 3.2. X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta 3.3. Giîi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic.
4 Ch÷ìng 1 Tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron 1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron 1.1.1 C¡c bë ba Pythagore Trong h¼nh håc câ mët ành lþ quan trång v quen thuëc: ành lþ Pythagore. Nëi dung cõa ành lþ l "trong mët tam gi¡c vuæng b¼nh ph÷ìng c¤nh huy·n b¬ng têng b¼nh ph÷ìng hai c¤nh gâc vuæng", h¼nh 1.1 V¼ vªy m ph÷ìng tr¼nh x2 + y 2 = z 2 vîi x, y, z l c¡c sè tü nhi¶n, ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh Pythagore. v nghi»m tü nhi¶n (x, y, z) cõa ph÷ìng H¼nh 1.1: Tam gi¡c Pythagore: BC 2 = AB 2 + AC 2
5 tr¼nh n y gåi l bë ba Pythagore. Trong sè håc, tªp hñp c¡c sè nguy¶n tè câ thº ÷ñc xem l mët bë gen ho n ch¿nh dòng º x¥y düng to n bë c¡c sè tü nhi¶n. Gièng nh÷ méi con ng÷íi câ nhúng °c iºm ri¶ng bi»t do chóng ta câ nhúng bë gen kh¡c nhau, c¡c sè công vªy méi con sè kh¡c nhau sð húu mët bë gen kh¡c nhau. V¼ 12 = 2.2.3 = 22 .3 ta câ thº nâi sè 12 câ hai gen sè 2 v mët gen sè 3, trong khi â 90 = 2.3.3.5 = 2.32 .5 câ mët gen sè 2, hai gen sè 3 v mët gen sè 5. Mët c¡ch têng qu¡t, khi sè tü nhi¶n n ÷ñc ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè nh÷ sau n = pα1 1 · pα2 2 . . . pαk k th¼ ta nâi n câ α1 gen p1 , α2 gen p2 , . . . , αk gen pk . Ta nhc l¤i mët t½nh ch§t sè håc, câ thº °t t¶n l t½nh "t¡ch ÷ñc":n¸u a.b = A2 (sè ch½nh ph÷ìng), a, b ∈ N th¼ a v b ph£i câ d¤ng a = u2 ·w, b = v 2 .w vîi u, v, w ∈ N. Câ thº gi£i th½ch nh÷ sau: n¸u sè l÷ñng gen p trong a l l´ th¼ sè l÷ñng gen p câ trong b công s³ l l´, v¼ vªy sè l÷ñng gen trong a, b ph£i l sè ch®n. B¬ng c¡ch tªp hñp c¡c lo¤i gen l´ n y l¤i th nh sè w th¼ ta s³ câ a = u2 w, b = v 2 w. Gi£i ph÷ìng tr¼nh Pythagore x2 + y 2 = z 2 . B÷îc 1. Ta câ x2 = z 2 − y 2 = (z − y)(z + y). Theo t½nh ch§t t¡ch th¼ z + y = u2 w, z − y = v 2 w v x = uvw. Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ch½nh l    x = uvw u2 − v 2 w    y= 2 2 2 u + v w    z=  2 B÷îc 2. Ta c¦n chùng minh y, z ∈ N. Thªt vªy, n¸u w = 2m + 1 th¼ z + y = u2 (2m + 1); z − y = v 2 (2m + 1). Tø 2 ¯ng thùc suy ra 2z = u2 + v 2 (2m+1) v 2y = u2 − v 2 (2m+1). Nh÷ vªy, u2 + v 2 v u2 − v 2 ·u ch®n, tùc y, z l c¡c sè tü nhi¶n. Cán n¸u w ch®n th¼ hiºn nhi¶n y, z ∈ N. Tr÷íng hñp w ch®n ta °t w = 2s, nghi¶m cõa ph÷ìng tr¼nh l x = 2uvs, y = u2 − v 2 s, z = u2 + v 2 s.
6 Khi u2 + v 2 v u2 − v 2 l c¡c sè ch®n th¼ ta °t u = v + 2k , suy ra  2   x = (v + 2k)vw = v + 2kv w y = 2kv + 2k 2 w  z = v 2 + 2kv + 2k 2 w  vi¸t l¤i th nh x = (x + k)2 − k 2 w, y = 2(v + k)kw, z = (v + k)2 + k 2 w Trong c£ hai tr÷íng hñp tr¶n ta câ nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh Pythagore l :   x = c.(2ab)  y = c. a2 − b2 , a, b, c ∈ N, a > b  z = c. a2 + b2  Ph÷ìng tr¼nh Pythagore câ væ sè nghi»m phö thuëc 3 tham sè. Tuy nhi¶n vîi n ≥ 3, Fermat kh¯ng ành r¬ng ph÷ìng tr¼nh xn + y n = z n khæng câ nghi»m nguy¶n kh¡c 0. Vîi c = 1 ta câ bë ba Pythagore x = 2ab, y = a2 − b2 , z = a2 + b2 do Euclide t¼m ra (kho£ng 300 n«m tr÷îc Cæng nguy¶n). Bë ba n y l v½ dö v· mët bë ba Pythagore cì b£n (c¡c canh t÷ìng ùng cõa chóng l a = 2mn, b = m2 − n2 , c = m2 + n2 trong â m, n l nguy¶n tè còng nhau, ch¿ câ mæt sè l´). Ta câ c¡c t½nh ch§t sau cõa bë ba Pythagore cì b£n (a, b, c) (xem trong [1]): (i) Hai canh gâc vuæng m2 −n2 v 2mn, c¤nh 2mn gåi l c¤nh gâc vuæng (c − a)(c − b) ch®n; c = m2 + n2 l c¤nh huy·n. l sè ch½nh ph÷ìng. 2 (ii) Trong 3 sè a, b, c câ nhi·u nh§t mët sè ch½nh ph÷ìng. Tçn t¤i væ sè bë ba Pythagore cì b£n m c¤nh huy·n (ho°c c¤nh gâc vuæng) l ch½nh ph÷ìng. Têng cõa c¤nh huy·n v c¤nh gâc vuæng ch®n cõa bë ba Pythagore cì b£n luæn l sèch½nh ph÷ìng. ab (iii) Di»n t½ch S = l sè tü nhi¶n ch®n. Trong hai sè a, b câ óng 2 mët sè l´; v c l sè l´. (iv) Trong 3 sè a, b, c câ óng mët sè chia h¸t cho 5.
7 (v) Trong 4 sè a, b, a + b, b − a câ óng mët sè chia h¸t cho 7; trong 4 sè a + c, b + c, c − a, c − b câ óng mët sè chia h¸t cho 8 (cho 9); trong 6 sè a, b, 2a + b, 2a − b, 2b + a, 2b − a câ óng mët sè chia h¸t cho 11. 1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron Câ mët sè c¡ch x¡c ành kh¡i ni»m "tam gi¡c Heron". Trong · t i n y ta chån c¡ch x¡c ành sau: ành ngh¾a 1.1. Tam gi¡c Heron l tam gi¡c m ë d i ba c¤nh a, b, c v di»n t½ch S cõa nâ l c¡c sè tü nhi¶n. Tam gi¡c Heron ÷ñc kþ hi»u bði chú HT. Kþ hi»u HT [x, y, z; S] ÷ñc hiºu l tam gi¡c Heron c¤nh x, y, z , di»n t½ch S . HT [x, y, z; S] ÷ñc gåi l cì b£n (hay nguy¶n thõy) n¸u (x, y, z) = 1. Trong khi t¼m c¡c tam gi¡c Heron câ thº cho k¸t qu£ c¤nh v di»n t½ch l sè húu t, b¬ng c¡ch nh¥n t§t c£ vîi bëi sè chung nhä nh§t cõa m¨u ta v¨n ÷ñc nghi»m tü nhi¶n. T§t c¡c tam gi¡c Heron húu t, kþ hi»u l RT , ho n to n x¡c ành ÷ñc tam gi¡c Heron (nguy¶n) v ng÷ñc l¤i. Vi»c t¼m c¡c cæng thùc cho tam gi¡c Heron cì b£n b¬ng h¼nh håc thu¦n tóy g°p nhi·u khâ kh«n. Tuy nhi¶n b¬ng c¡ch sû döng "lþ thuy¸t sè" ta khæng nhúng tr¡nh ÷ñc nhúng khâ kh«n â m cán t¼m ÷ñc c¡c cæng thùc biºu di¹n ìn gi£n. Tam gi¡c Heron ÷ñc °t theo t¶n cõa nh to¡n håc Hy L¤p "Heron of Alexandria" v¼ nâ câ li¶n quan ¸n cæng thùc t½nh di»n t½ch a+b+c q S = s(s − a)(s − b)(s − c), vîi s = 2 Vîi c¡ch x¡c ành nh÷ vªy ta ph¡t biºu v chùng minh mët sè t½nh ch§t cõa tam gi¡c Heron, câ tham kh£o v h» thèng trong [3]. T½nh ch§t 1.1.1. B§t k¼ mët tam gi¡c n o câ ë d i ba c¤nh t¤o th nh mët bë ba Pythagore ·u l mët HT [x, y, z; S]. Chùng minh. V¼ bë ba sè Pythagore l c¡c sè tü nhi¶n v di»n t½ch cõa nâ b¬ng mët nûa t½ch hai c¤nh gâc vuæng, trong â 1 c¤nh gâc vuæng ph£i l sè ch®n.
8 Mët v½ dö cho mët tam gi¡c Heron khæng ph£i l tam gi¡c vuæng l tam gi¡c câ a = 5, b = 5, c = 6 vîi di»n t½ch l 12; tam gi¡c n y thu ÷ñc b¬ng c¡ch gh²p hai tam gi¡c câ ë d i ba c¤nh l 3, 4, 5 dåc theo c¤nh câ ë d i b¬ng 4. Ph÷ìng ph¡p têng qu¡t cho c¡ch l m n y ÷ñc minh håa ð h¼nh 1.2: L§y mët tam gi¡c vîi ë d i ba c¤nh l mët bë ba Pythagore a, b, c (c l sè lîn nh§t); mët tam gi¡c kh¡c câ ë d i ba c¤nh l mët bë ba sè Pythagore a, d, e (e l sè lîn nh§t), gh²p chóng l¤i dåc theo c¤nh câ ë d i l a º ÷ñc mët tam gi¡c câ ë d i ba c¤nh l c¡c sè tü nhi¶n 1 c, e, b + d, v câ di»n t½ch l mët sè húu t: S = (b + d) · a (mët nûa 2 c¤nh ¡y nh¥n vîi chi·u cao). Mët c¥u häi thó và °t ra l li»u t§t c£ c¡c H¼nh 1.2: Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a tam gi¡c Heron ·u câ thº ÷ñc t¤o ra b¬ng c¡ch gh²p hai tam gi¡c vuæng (vîi ë d i c¡c c¤nh l c¡c sè tü nhi¶n (bë ba Pythagore)) nh÷ tr¼nh b y ð tr¶n khæng? C¥u tr£ líi l khæng. N¸u ta l§y mët tam gi¡c Heron vîi ë d i ba c¤nh l 0, 5; 0, 5 v 0, 6 th¼ rã r ng nâ khæng thº ÷ñc gh²p tø hai tam gi¡c vîi ë d i ba c¤nh ·u tü nhi¶n. Ho°c mët v½ dö kh¡c t÷íng minh hìn, l l§y mët tam gi¡c vîi ë d i c¡c c¤nh 5, 29, 30 vîi di»n t½ch 72, th¼ s³ khæng câ ÷íng cao n o cõa nâ l mët sè tü nhi¶n. T½nh ch§t 1.1.2. Câ thº chia mët tam gi¡c Heron th nh hai tam gi¡c vuæng m ë d i c¡c c¤nh cõa chóng t¤o th nh nhúng bë ba Pythagore húu
9 t¿ (3 c¤nh l c¡c sè húu t thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh Pythagore). Chùng minh. X²t h¼nh 1.2 vîi c, e, b + d v di»n t½ch tam gi¡c S l nhúng sè húu t¿. Chóng ta câ thº chån c¡ch kþ hi»u sao cho ë d i c¤nh b + d l lîn nh§t, khi â ÷íng vuæng gâc h¤ tø ¿nh èi di»n xuèng c¤nh n y n¬m b¶n trong c¤nh. º chùng minh c¡c bë ba (a, b, c) v (a, d, e) l c¡c bë ba Pythagore, ta ph£i chùng minh a, b v d l nhúng sè húu t¿. Thªt 1 2S vªy, v¼ di»n t½ch tam gi¡c l : S = (b + d)ad. Rót a ta ÷ñc a = 2 b+d l mët sè húu t¿, v¼ S v b + d ·u l nhúng sè húu t¿. Ph¦n cán l¤i c¦n chùng minh b v d húu t¿. p döng ành lþ Pythagore èi vîi hai tam gi¡c vuæng, ta câ a2 +b2 = c2 v a2 + d2 = e2 . Trø v¸ theo v¸ hai ¯ng thùc b2 − d2 = c2 − e2 ⇔(b − d)(b + d) = c2 − e2 c2 − e2 ⇔b − d = b+d V¸ ph£i l húu t¿, bði v¼ theo gi£ thi¸t c, e v b + d l nhúng sè húu t¿. Do â, b − d l húu t¿. Ta l¤i câ (b + d) l húu t¿ theo gi£ thi¸t, suy ra (b + d) + (b − d) l húu t¿. Hay 2b l húu t¿. Suy ra b húu t¿ v d công ph£i l sè húu t¿. T½nh ch§t 1.1.3. B i to¡n t¼m c¡c tam gi¡c Heron t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine, trong â, S, s l di»n t½ch, chu vi tam gi¡c ABC S 2 = s(s − a)(s − b)(s − c) Cæng thùc têng qu¡t c¡c tam gi¡c Heron ¢ ÷ñc cæng bè bði Brah- magupta v Carmichael n«m 1952 (theo Dickson 2005, p. 193), â l a = n m2 + k 2 (1.1) b = m n2 + k 2 (1.2) c = (m + n) m.n − k 2 (1.3) s = m.n(m + n) (1.4)
10 S = kmn(m + n) mn − k 2 (1.5) ¥y l mët kiºu trong lîp c¡c tam gi¡c Heron vîi måi m, n, k ∈ N sao cho m2 · n (m, n, k) = 1, m.n > k ≥ 2 v m ≤ n ≤ 1. (2m + n) Theo â ta câ thº li»t k¶ mët sè tam gi¡c Heron sp x¸p theo sü t«ng cõa c¤nh lîn nh§t trong tam gi¡c: (3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (10, 13, 13), (10, 10, 16), ... câ di»n t½ch l¦n l÷ñt 6, 12, 12, 24, 48, 30, 60, 54, .... V½ dö 1.1.1. Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n x¸p theo di»n t½ch t«ng d¦n, n¸u còng di»n t½ch th¼ x¸p theo chu vi t«ng d¦n. N«m 1994, trong Mathmatical Notes, Vol. 55, N0 2, S. Sh. Kozhegel'dinov (Nga) ¢ cæng bè k¸t qu£ b i to¡n t¼m c¡c tam gi¡c Heron cì b£n vîi 6 kiºu biºu di¹n kh¡c nhau v vi»c t¼m tam gi¡c Heron cì b£n ÷ñc coi l ho n th nh. Sau ¥y ta x²t mët sè b i to¡n t¼m tam gi¡c Heron k±m theo mët sè i·u ki»n °c bi»t. 1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vîi r, ra, rb, rc ∈ N Tam gi¡c Heron HT [a, b, c, S], ngo i t¶n gåi tam gi¡c Heron cì b£n, cán ÷ñc gåi l khæng ph¥n t½ch ÷ñc n¸u 3 ÷íng cao ha , hb , hc ∈ / N, tr÷íng hñp tr¡i l¤i tam gi¡c ÷ñc gåi l ph¥n t½ch ÷ñc, tùc l ½t nh§t 1 ÷íng cao l sè tü nhi¶n. Ti¸p theo ta kþ hi»u t¥m c¡c ÷íng trán nëi ti¸p v b ng ti¸p l¦n l÷ñt l I, Ia , Ib , Ic . Ð ¥y ta x²t mët b i to¡n t¼m tam gi¡c Heron vîi i·u ki»n ch°t hìn v· b¡n k½nh r, ra , rb , rc : B i to¡n : HG T¼m tam gi¡c Heron sao cho r, ra , rb , rc ∈ N, trong â
11 Di»n t½ch TG Chu vi TG ë d i b + d ë d i e ë d i c 6 12 5 4 3 12 16 6 5 5 12 18 8 5 5 24 32 15 13 4 30 30 13 12 5 36 36 17 10 9 36 54 26 25 3 42 42 20 15 7 60 36 13 13 10 60 40 17 15 8 60 50 24 13 13 60 60 29 25 6 66 44 20 13 11 72 64 30 29 5 84 42 15 14 13 84 48 21 17 10 84 56 25 24 7 84 72 35 29 8 90 54 25 17 12 90 108 53 51 4 114 76 37 20 19 120 50 17 17 16 120 64 30 17 17 120 80 39 25 16 126 54 21 20 13 126 84 41 28 15 126 108 52 51 5 132 66 30 25 11 B£ng 1.1: Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n
12 H¼nh 1.3: Tam gi¡c Heron theo sü t«ng d¦n cõa c¤nh lîn nh§t r, ra , rb , rc l¦n l÷ñt l b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p v c¡c ÷íng trán b ng ti¸p cõa tam gi¡c. Gi£i ¦y õ v ÷a ra thuªt to¡n t¼m h¸t c¡c nghi»m cõa b i to¡n HG l cæng vi»c khæng ìn gi£n. Chóng tæi ch¿ døng l¤i ð vi»c ÷a ra k¸t luªn t÷íng minh trong mët sè tr÷íng hñp cö thº. • Tr÷íng hñp nghi»m l tam gi¡c Pythagore. Gi£ sû ABC l tam gi¡c Pythagore cì b£n vîi a2 + b2 = c2 . Ta th§y trong hai sè a, b ph£i câ mët sè l´, c công c¦n ph£i l´. Do â, nûa chu 1 1 vi P = (a + b + c) ∈ N v di»n t½ch S = ab ∈ N. C¡c c¤nh tam gi¡c 2 2 Pythagore cì b£n câ thº biºu di¹n ÷ñc d¤ng m2 − n2 v 2mn l hai c¤nh gâc vuæng, m2 + n2 l c¤nh huy·n vîi m, n ∈ N. Gåi r, ra , rb , rc l b¡n k½nh c¡c ÷íng trán nëi ti¸p v b ng ti¸p èi di»n c¡c gâc A, B, C , t÷ìng ùng. Trong méi bë ba Pythagore cì b£n b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p v 3 b¡n k½nh cõa ba ÷íng trán b ng ti¸p l sè tü nhi¶n, h¼nh 1.4. Ng÷ñc l¤i n¸u tam gi¡c vuæng ABC câ b§t ký 3 trong 4 sè r, ra , rb , rc l sè tü nhi¶n th¼ d¹ th§y ba sè a,b,c l sè tü nhi¶n v¼ a = r + ra = rc − rb ∈ N b = r + rb = rc − ra ∈ N