Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự gồm có 3 chương trình bày về sử dụng các nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự; sử dụng lát cắt; sử dụng bậc Tôpô. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Gia Huy MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Gia Huy MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2013
LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn PGS – TS Nguyễn Bích Huy – người đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học tập cao học, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thượng Hiền đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Sau cùng tôi xin cảm ơn người thân và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. TPHCM, tháng 9 năm 2013 Học viên Trần Gia Huy
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 T 0 0T Chương 1.SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ ........... 3 T 0 T 0 1.1. Sử dụng nguyên lý Entropy................................................................................... 3 0T T 0 1.2. Sử dụng nguyên lý đệ quy tổng quát ................................................................... 11 0T T 0 Chương 2. SỬ DỤNG LÁT CẮT ................................................................................ 23 T 0 T 0 2.1. Các định nghĩa..................................................................................................... 23 0T 0T 2.2. Sự tồn tại hàm chọn (lát cắt) của ánh xạ đa trị .................................................... 25 0T T 0 2.3. Ứng dụng vào bài toán điểm bất động ................................................................ 30 0T T 0 Chương 3.SỬ DỤNG BẬC TÔPÔ .............................................................................. 32 T 0 T 0 3.1. Các định nghĩa..................................................................................................... 32 0T 0T 3.2. Chỉ số điểm bất động của ánh xạ đa trị ............................................................... 33 0T T 0 3.3. Ứng dụng vào bài toán điểm bất động ................................................................ 35 0T T 0 KẾT LUẬN ................................................................................................................... 41 T 0 0T TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 42 T 0 0T
1 PHẦN MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành trong thập niên 1940, đạt được những kết quả ấn tượng trong những năm 1950 – 1970 và được tiếp tục hoàn thiện đến ngày nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ khoa học – kỹ thuật, trong nghiên cứu các mô hình kinh tế– xã hội, trong lý thuyết điều khiển – tối ưu. Một trong những hướng nghiên cứu gần đây của Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự là xét các phương trình trong không gian có thứ tự với ánh xạ đa trị. Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu một cách hệ thống trong Toán học từ những năm 1950 – 1960 do nhu cầu phát triển nội tại của Toán học cũng như do nhu cầu mô tả, tìm hiểu các mô hình, hiện tượng mới của khoa học và xã hội. Các phương trình chứa ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự được nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau. Một mặt, ta có thể áp dụng các phương pháp tổng quát như phương pháp ánh xạ co, phương pháp bậc tôpô kết hợp với các tính chất thứ tự của không gian. Mặt khác, ta có thể áp dụng các phương pháp đặc thù trong không gian có thứ tự như sử dụng nguyên lý Entropy, nguyên lý về dãy lặp suy rộng, … Luận văn trình bày một cách hệ thống và chi tiết 3 phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự. Đó là phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy, nguyên lý đệ quy; phương pháp lát cắt đơn điệu; phương pháp bậc tôpô. Luận văn có 3 chương: Chương 1 trình bày 2 nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự, đó là nguyên lý Entropy và nguyên lý Đệ quy tổng quát. Sau đó áp dụng 2 nguyên lý này vào việc xét sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức. Các kết quả chính của chương này chủ yếu được trích dẫn trong các tài liệu [2], [3], [4]. Chương 2 trình bày về sự tồn tại lát cát (hàm chọn) đơn điệu của ánh xạ đa trị, kết hợp với định lý Tarskii, ta được một kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa
2 trị trong không gian Banach sinh bởi nón minihedral mạnh. Các kết quả chính của chương này chủ yếu được trích dẫn trong các tài liệu [1], [8]. Chương 3 giới thiệu chỉ số điểm bất động của ánh xạ đa trị, từ đó chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các toán tử cô đặc trong nón. Các kết quả chính của chương này chủ yếu được trích dẫn trong tài liệu [10].
3 Chương 1. SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ 1.1. Sử dụng nguyên lý Entropy Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian Banach trên trường số thực  . Tập con K của X được gọi là nón nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i) K là tập đóng ii) K + K ⊂ K , λK ⊂ K , ∀λ ≥ 0 ( ) {} iii) K  −K =θ Định nghĩa 1.1.2 Nếu K là nón trong không gian Banach X , ta định nghĩa thứ tự sinh bởi K như sau: ∀x , y ∈ K , x ≤ y ⇔ y − x ∈ K . Mệnh đề 1.1.3 Giả sử “ ≤ ” là thứ tự trong không gian Banach X sinh bởi nón K . Khi đó : i) Nếu x ≤ y thì x + z ≤ y + z , ∀z ∈ X và λx ≤ λy, ∀λ ≥ 0 , ii) Nếu x n ≤ yn , ∀n ∈ * và= lim x n a= , lim yn b thì a ≤ b , n →∞ n →∞ iii) Nếu x n ≤ x n +1 (n ∈ * ) và lim x n = a thì x n ≤ a, ∀n ∈ * . n →∞ Chứng minh: i) Do x ≤ y nên ta có : (y + z ) − (x + z ) = y − x ∈ K nên x + z ≤ y + z λy − λx = λ (y − x ) ∈ K nên λx ≤ λy . ii) Do x n ≤ yn , ∀n ∈ * ⇒ yn − x n ∈ K, ∀n ∈ *
4 Mà lim x n = n →∞ a, lim yn =⇒ b n →∞ lim yn − x n =− n →∞ b a( ) Mặt khác K đóng nên b − a ∈ K ⇒ a ≤ b ( ) iii) Giả sử x n là dãy tăng, khi đó x n ≤ x n +m (m, n ∈ * ) . Cố định n , cho m → ∞ , do ii), ta có: x n ≤ a, ∀n ∈ * Mệnh đề 1.1.4 (Nguyên lý Entropy) Giả sử i) X là tập sắp thứ tự sao cho mọi dãy đơn điệu tăng trong X có cận trên ( xn ≤ a ∈ X ) ) ii) S : X →  −∞; +∞ là một hàm: • Đơn điệu tăng, nghĩa là u ≤ v ⇒ S u ≤ S v ( ) () ( ) • Bị chặn trên, nghĩa là ∃M : S u ≤ M , ∀u ∈ X ( ) Khi đó, tồn tại phần tử uo ∈ X có tính chất: ∀u ∈ X , u ≥ uo ⇒ S u =S uo( ) Chứng minh: • Nếu S X = ( ) {−∞} , ta lấy u o ∈ X tùy ý ( ) { } • Giả sử S X ≠ −∞ , lấy u1 ∈ X , S u1 ≠ −∞ ( ) Xây dựng các phần tử u1 ≤ u2 ≤  như sau: giả sử đã có un , ta đặt: Mn = { u ∈ X : u ≥ un , β n = } { () } sup S u : u ∈ M n . Khi đó −∞ < βn < +∞ ( )  Nếu βn = S un , ta lấy uo := un Khi đó: ∀u ∈ X , u ≥ uo ⇒ u ≥ un ⇒ u ∈ M n ( ) Suy ra: S u ≤ βn = ( ) ( ) ( ) S uo . Mà S u ≥ S uo ( S là hàm đơn điệu tăng)
5 ( ) Do đó: S u = S uo ( ) ( )  Nếu βn > S un , ta tìm được un +1 thỏa mãn: un +1 ∈ M n   1 ( ) S un +1 > βn −  βn − S un   2 ( ) ( ) Nếu quá trình trên vô hạn thì ta có dãy tăng un thỏa mãn: ( ) ( ) 2S un +1 − S un > βn , ∀n ∈ * ( ) Gọi uo là một cận số trên của un ( uo ≥ un ). ( ) ( ) Với u ≥ uo , ta có: u ≥ un ⇒ u ∈ M n ⇒ S u ≤ βn < 2S un +1 − S un ( ) ( ) ( ) ⇒ S u ≤ lim S un ⇒ S u ≤ S uo n →∞ ( ) ( ) ( ) ( ) Mặt khác: S u ≥ S uo ( S là hàm đơn điệu tăng). ( ) Do đó: S u = S uo ( ) Định nghĩa 1.1.5 Cho X ,Y là hai tập bất kỳ, ta ký hiệu 2Y là họ tất cả các tập con của Y . Một ánh xạ F : X → 2Y gọi là một ánh xạ đa trị từ X vào Y { } Cho M ⊂ X và ánh xạ đa trị F : M → 2M \ ∅ . Khi đó v ∈ M được gọi là điểm bất động của F nếu v ∈ Fv v ∈ Fv được gọi là điểm bất động cực đại của F nếu với u ∈ Fu và v ≤ u thì u =v v ∈ Fv được gọi là điểm bất động cực tiểu của F nếu với u ∈ Fu và u ≤ v thì u =v Định nghĩa 1.1.6
6 Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K . Gọi A, B là các tập con của X . i) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  giữa hai tập A, B như sau: ∀a ∈ A, ∃b ∈ B : a ≤ b AB ⇔  ∀b ∈ B, ∃a ∈ A : a ≤ b ii) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự < giữa hai tập A, B như sau: ( A < B ⇔ ∀a ∈ A, ∃b ∈ B : a ≤ b ) iii) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  giữa hai tập A, B như sau: ( A  B ⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a ≤ b ) = 0; +∞ Ví dụ: Trong không gian Banach thực X =  với nón K ) sau: A = Ta xét các tập con của X như= 2; 3  , B = 1; 4  ,C 3; 4  Khi đó: A  C , A < B, B  C Định nghĩa 1.1.7 Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K và ánh xạ đa trị F : M ⊂ X → 2X i) Ánh xạ đa trị F được gọi là ánh xạ đa trị đơn điệu nếu: ( ) ∀x , y ∈ M , x ≤ y ⇒ F x < F y () ii) Ánh xạ đa trị F được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt nếu: ( ) ∀x , y ∈ M , x ≤ y ⇒ F x  F y () Định lý 1.1.8 Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K , M ⊂ X là một tập { } đóng. F : M → 2M \ ∅ là ánh xạ đa trị đơn điệu thỏa mãn:
7 ( ) i) F x đóng, ∀x ∈ M { } ii) Tồn tại x o ∈ X sao cho x o < F x o ( ) ( ) ( ) iii) ∀x ∈ M , ∀y1, y2 ∈ F x , ∃y ∈ F x sao cho y1 ≤ y, y2 ≤ y ( )( ) iv) Nếu các dãy x n , yn là các dãy tăng sao cho yn ∈ F x n thì dãy yn hội ( ) ( ) tụ. Khi đó F có điểm bất động cực đại trong M . Chứng minh: Đặt M o = { x ∈M : x < F x {} ( )} ( ) Ta có thể giả sử x ≤ y, ∀y ∈ F x , với x ∈ M o (1.1.8.1) Thật vậy, nếu ta định nghĩa toán tử G xác định trên M o như sau: = G x ( ) ( ) ) ( ) F x  x ; +∞ thì ∀y ∈ G x ⇒ y ∈ x ; +∞ ⇒ x ≤ y ) ( ) () Do F đơn điệu nên F x < F y , mà y ∈ F x nên y < F y ( ) {} () Suy ra y ∈ M o . Vậy G : M o → M o Ta kiểm tra G thỏa mãn các điều kiện i), ii), iii), iv) của định lý. ( ) ( ) i) Xét x ∈ M , giả sử có dãy x n ⊂ G x sao cho x n → z ( ) ( ) ( ) Khi đó x n ⊂ F x và do F x đóng nên z ∈ F x ( ) Mặt khác do x ≤ x n , ∀n nên x ≤ z ( ) Suy ra z ∈ G x , vậy G x đóng ( ) { } ii) Theo giả thiết, tồn tại x o ∈ X sao cho x o < F x o . ( ) ( ) Khi đó tồn tại zo ∈ F x o sao cho x o ≤ zo
8 ( ) ) ( ) Suy ra zo ∈ F x o  x o + ∞ =G x o , nghĩa là x o < G x o { } ( ) ( ) iii) ∀x ∈ M , ∀y1, y2 ∈ G x , suy ra y1, y2 ∈ F x . ( ) ( ) Do đó tồn tại y ∈ F x sao cho y1 ≤ y, y2 ≤ y ( ) Vì y1, y2 ∈ G x nên x ≤ y1, x ≤ y2 , vậy x ≤ y hay y ∈ G x ( ) ( ) Vậy: ∀x ∈ M , ∀y1, y2 ∈ G x , ∃y ∈ G x : y1 ≤ y, y2 ≤ y( ) ( )( ) iv) Giả sử các dãy x n , yn là các dãy tăng sao cho yn ∈ G x n ( ) ( ) Khi đó yn ∈ F x n nên dãy yn hội tụ. ( ) ( ) Ta kiểm tra F M o ⊂ M o ( ) Thật vậy, với mỗi y ∈ F M o , do F M o = ( )  F (x ) nên tồn tại x ∈ M o sao x ∈Mo ( ) cho y ∈ F x . ( ) ( ) {} Theo (1.1.8.1) ta có x ≤ y ⇒ F x < F y ⇒ y < F y ⇒ y ∈ M o () Để áp dụng nguyên lý Entropy, ta kiểm tra hai điều kiện sau: ( ) Điều kiện 1: Chứng minh mọi dãy đơn điệu tăng x n trong M o đều có cận trên ( ) Do x n là dãy đơn điệu tăng nên x n ≤ x n +1, ∀n ∈ * ( ) ( Do F đơn điệu nên F x n < F x n +1 , ∀n ∈ * ) ( ) ( ) Vậy với yn ∈ F x n , tồn tại yn +1 ∈ F x n +1 sao cho yn ≤ yn +1 ( )( ) ( ) Như vậy, x n , yn là các dãy tăng và yn ∈ F x n nên theo iv) ta có yn là dãy ( ) hội tụ. Đặt y = lim yn thì yn ≤ y, ∀n n →+∞ ( ) Vì yn ∈ F x n nên theo (1.1.8.1) ta có x n ≤ y, ∀n ⇒ F x n < F y , ∀n ( ) ()
9 () Khi đó tồn tại z n ∈ F y sao cho yn ≤ z n . ( ) Do điều kiện iii), ta có thể giả sử z n là dãy tăng. ( ) Khi đó dãy z n hội tụ về z ∈ F y . () Ta có z n ≤ z , ∀n ⇒ yn ≤ z , ∀n {} () Suy ra y ≤ z ⇒ y < F y , nghĩa là y ∈ M o ( ) Vậy dãy tăng x n có cận trên y ∈ M o . Điều kiện 2: Chứng minh tồn tại một hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên xác định trên M o Với x ∈ M o , ta đặt: = M x {(u, v ) ∈ M o () () × M o : u ≤ v ; u ∈ F y ; v ∈ F z ; x ≤ y ≤ z ; y, z ∈ M o } ( ) Ta có x , x ∈ M x nên M x ≠ ∅ ( ) { Xét hàm S : M o → 0; +∞  xác định bởi: S x =sup u − v : u, v ∈ M x ( ) } ( ) Nếu x ≤ y thì M y ⊂ M x , nên S x ≥ S y . () ( ) Vậy S là hàm giảm, do đó −S là hàm tăng. ( ) Áp dụng nguyên lý Entropy cho M o và hàm −S , tồn tại a ∈ M o sao cho x ∈ Mo , x ≥ a ⇒ S x = S a ( ) () (1.1.8.2) Ta chứng minh S a = 0 () Giả sử tồn tại c > 0 sao cho S a > c () Khi đó tồn tại x 1, x 2 , y1, y2 ∈ M o sao cho:
10 a ≤ x1 ≤ x 2 ( ) ( ) y1 ∈ F x 1 , y 2 ∈ F x 2 , y 1 ≤ y 2 y1 − y 2 > c ( ) Vì y2 ∈ F x 2 nên theo (1.1.8.1) ta có: x 2 ≤ y2 , vậy y2 ≥ a Mặt khác y2 ∈ M o nên theo (1.1.8.2) ta có: S = y2 S a >c ( ) () Tiếp tục, ta chọn x 3 , x 4 , y 3 , y 4 ∈ M o sao cho: y2 ≤ x 3 ≤ x 4 ( ) ( ) y3 ∈ F x 3 , y4 ∈ F x 4 , y3 ≤ y4 y3 − y4 > c ( ) Vì y2 ∈ F x 2 nên theo (1.1.8.1) ta có: x 2 ≤ y2 , suy ra x 2 ≤ x 3 ( ) Vì y 3 ∈ F x 3 nên theo (1.1.8.1) ta có: x 3 ≤ y 3 , suy ra y2 ≤ y 3 Khi đó a ≤ y 3 ∈ M o , theo (1.1.8.2) ta có S = y3 S a >c( ) () ( )( ) ( ) Tiếp tục quá trình trên, ta có các dãy tăng x n , yn sao cho yn ∈ F x n thỏa mãn: y2n −1 − y2n > c . Điều này mâu thuẫn với điều kiện iv) () Vậy S a = 0 () Ta chứng minh mỗi b ∈ F a là điểm bất động của F trong M () Thật vậy, với mỗi d ∈ F b , ta có: b ≤ d ∈ F b () () ( ) Vì a ≤ b ∈ F a nên b, d ∈ M a () () Suy ra b − d ≤ S a = 0 ⇒ b = d ∈ F b nên b là điểm bất động của F
11 Vậy F có điểm bất động b ∈ F a () () Ta chứng minh b ∈ F a là điểm bất động cực đại của F trong M Thật vậy, nếu x là điểm bất động của F trong M và x ≥ b thì a ≤ x (do b ≤ x () ( ) và b ∈ F a ), suy ra b, x ∈ M a ⇒ b − x ≤ S a = () 0 . Vậy x = b () Do đó b ∈ F a là điểm bất động cực đại của F trong M 1.2. Sử dụng nguyên lý đệ quy tổng quát Định nghĩa 1.2.1 ( ) Cho tập hợp X ≠ ∅ , khi đó X , ≤ được gọi là tập được sắp (được sắp bộ phận) nếu trên X có quan hệ thứ tự ≤ thỏa mãn: i) Tính chất phản xạ: x ≤ x , ∀x ∈ X ii) Tính chất phản đối xứng: Nếu x ≤ y và y ≤ x thì x =y, ∀x , y ∈ X iii) Tính chất bắc cầu: Nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z , ∀x , y, z ∈ X Ta ký hiệu x < y nếu x ≤ y và x ≠ y Định nghĩa 1.2.2 ( ) Cho tập được sắp X , ≤ , A ⊂ X , a ∈ X i) a được gọi là một chặn trên của A nếu x ≤ a, ∀x ∈ A a được gọi là một chặn dưới của A nếu x ≥ a, ∀x ∈ A ( ) ii) a được gọi là phần tử tối đại của X nếu x ∈ X , a ≤ x ⇒ x = a ( ) a được gọi là phần tử tối tiểu của X nếu x ∈ X , a ≥ x ⇒ x = a iii) A là một xích (tập sắp thẳng, sắp toàn phần, dây chuyền) nếu
12 x ≤ y ∀x , y ∈ A ⇒  y ≤ x iv) X được gọi là tập sắp tốt nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử nhỏ nhất v) A được gọi là tập định hướng lên nếu ∀x , y ∈ A, ∃z ∈ A : x ≤ z , y ≤ z Mệnh đề 1.2.3 Gọi M là tập các xích sắp tốt C của tập sắp thứ tự P có tính chất: x ∈ C thì ( ) { } x = F C x , trong đó C x =y ∈ C | y < x . Khi đó ( i) Nếu C 1,C 2 ∈ M và C 2 ⊄ C 1 thì C 1 = C 2x , với x = min C 2 \ C 1 ) ( min A được hiểu theo nghĩa phần tử nhỏ nhất của tập hợp A ) = ii) Giả ( ) sử x F C x , x < y ∈ C ∈ M . Khi đó x ∈ C Chứng minh: ( ) i) Vì x = min C 2 \ C 1 nên C 2x ⊂ C 1 Thật vậy, lấy y ∈ C 2x thì y ∈ C 2 và y < x nên y ∉ C 2 \ C 1 , suy ra y ∈ C 1 ( ) ( Giả sử C 1 \ C 2x ≠ ∅ , đặt y = min C 1 \ C 2x . Khi đó: C 1y ⊂ C 2x ⊂ C 1  C 2 . ) Ta chứng minh C 1y = C 2x ( Thật vậy, giả sử C 2x \ C 1y ≠ ∅ , khi đó tồn tại z = min C 2x \ C 1y ) Ta cóC 2z ⊂ C 1y (1.2.3.1) ( ) Mặt khác, z ∈ C 2x ⊂ C 1  C 2 nên z ∈ C 1 Mà z ∉ C 1y nên y ≤ z Ta có C 1y ⊂ C 2x nên C 1y ⊂ C 2y ⊂ C 2z (1.2.3.2)
13 Từ (1.2.3.1) và (1.2.3.2) suy ra C 2z = C 1y ,= C 2z hay z F= F=( ) ( ) C 1y y Mâu thuẫn, vì z ∈ C 2x , y ∉ C 2x . Vậy C 1y = C 2x ,= hay y F=(C ) F= y 1(C ) x 2 x Mâu thuẫn, vì y ∈ C 1, x ∉ C 1 . Vậy C 1 \ C 2x = ∅ , hay C 1 = C 2x ii) Vì y ∈ C ∈ M nên y = F C y ( ) Do x < y nên C x ⊂ C y . Hơn nữa C x ≠ C y vì = x F Cx = < y F Cy ( ) ( ) ( ) Như vậy, tồn tại z = min C y \ C x . Ta cần chứng minh x = z Trước hết, ta chứng minh C x = C z ( ) Do z = min C y \ C x nên C z ⊂ C x Thật vậy, lấy u ∈ C z , ta có u ∈ C và u < z < y ( ) Mà z = min C y \ C x nên u ∉ C y \ C x ⇒ u ∈ C x Giả sử C x ≠ C z , khi đó tồn tại t ∈ C x \ C z Vì t và z đều thuộc C nên chúng so sánh được với nhau. Từ cách chọn t , ta có z ≤ t ≤ x ( ) Vậy z ∈ C x , mâu thuẫn vì z = min C y \ C x . Do đó C x = C z = Suy Cx ra x F= Cz F= ( ) ( ) z . Vậy x ∈ C Mệnh đề 1.2.4 (Nguyên lý đệ quy) ( ) Cho D là tập hợp các tập con của tập sắp thứ tự P, ≤ , ∅ ∈ D và ánh xạ F : D → P . Khi đó tồn tại duy nhất tập sắp tốt C của P sao cho: ( ) F C x (với C x =y ∈ C | y < x ) i) x ∈ C ⇔ x = { } (1.2.4.1) ( ) ii) Nếu C ∈ D thì F C không là cận trên đúng của C
14 Chứng minh: ( ) Đặt x o= F ∅ ∈ P Gọi M là tập các xích sắp tốt C của tập sắp thứ tự P có tính chất: x ∈ C thì x = F C x ( ) Ta có M ≠ ∅ vì= C {x } ∈ M o và M ∈ M i) Theo mệnh đề 1.2.3, hai xích bất kỳ thuộc M đều chứa nhau. Đặt C =  M . Nếu ta chứng minh được C thỏa mãn điều kiện (1.2.4.1) thì suy ra C chính là xích duy nhất của P thỏa mãn điều kiện của mệnh đề. a) Chứng minh C là xích sắp tốt Lấy ∅ ∉ D ⊂ C , chọn C 1 ∈ M sao cho D  C 1 ≠ ∅ ( Đặt x = min D  C 1 ) Lấy bất kỳ y ∈ D , khi đó tồn tại C 2 ∈ M để y ∈ C 2 • Nếu y ∈ C 1 thì x ≤ y • Nếu y ∉ C 1 thì C 2 ⊄ C 1 nên theo mệnh đề 1.2.3 ta có C 1 = C 2k , trong đó ( ) ( k = min C 2 \ C 1 , mà y ∈ C 2 , y ∉ C 1 nên y ∈ C 2 \ C 1 ) Do đó k ≤ y , suy ra C 2k ⊆ C 2y , tức là C 1 ⊆ C 2y Do x ∈ C 1 nên x ≤ y Vậy x ≤ y, ∀y ∈ D , suy ra x = min D tồn tại hay C là xích sắp tốt. b) Chứng minh C thỏa mãn điều kiện (1.2.4.1) ⇒: Lấy x ∈ C , chọn C 1 ∈ M sao cho x ∈ C 1 Lấy y ∈ C x , khi đó tồn tại C 2 ∈ M sao cho y ∈ C 2x • Nếu C 2 ⊂ C 1 thì y ∈ C 1x
15 • Nếu C 2 ⊄ C 1 thì theo bổ đề trên C 1 = C 2k , trong đó k = min C 2 \ C 1 ( ) Do x ∈ C 1 nên x ∈ C 2k , suy ra x < k (= C ) x = Suy ra C 1x k 2 C 2x , hay y ∈ C 1x . Vậy C x ⊂ C 1x . Hiển nhiên C 1x ⊂ C x . Do đó C 1x = C x = Suy ra x F= ( ) ( ) C 1x F Cx . ⇐: Giả sử x = F (C ) , ta cần chứng minh x ∈ C x Giả sử trái lại x ∉ C . Ta đã chứng minh C ∈ M nên theo mệnh đề 1.2.3, ta có x
16 ( ) ( ) Nếu y = x thì y= x= F C x = F C y = F C 1y ( ) Nếu y ∈ C x thì y ∈ C mà C ∈ M = nên y F=(C ) F (C ) y y 1 Suy ra x ∈ C , mâu thuẫn. Vậy C thỏa mãn điều kiện (1.2.4.1) và ta có đpcm ii) Nếu C ∈ D , đặt a = F C ( ) Giả sử a là cận trên đúng của C , nghĩa là x < a, ∀x ∈ C Khi đó C = C a , suy= ra a F= C ( ) ( ) F C a , suy ra a ∈ C , mâu thuẫn ( ) Vậy F C không phải là một cận trên đúng của C ( ) Cho X , ≤ là một không gian topo có thứ tự, W là một tập hợp khác rỗng, L : W → X là toán tử đơn trị và N : W → 2X \ {∅} Ta thừa nhận X có tính chất sau: (C): Tập hợp C được sắp thứ tự tốt của những dãy tăng, hội tụ trong X chứa một dãy tăng hội tụ về supC Ta kiểm tra sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức Lu ∈ Nu Mệnh đề 1.2.5 { } Cho F : P ⊂ X → 2P \ ∅ thỏa mãn các giả thiết sau: { } i) Tập Po = u ∈ P | u ≤ v, v ∈ Fu không rỗng ( ) ( ) ii) Nếu un ≤ vn ∈ Fun , n ∈  và vn là dãy tăng thì vn có giới hạn trong Po . Khi đó F có điểm bất động cực đại và cũng là phần tử lớn nhất của Po Chứng minh: