Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về ma phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và trình bày lại một số khái niệm và tính chất của ma phương. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung luận văn này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về ma phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN BÁ NHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN BÁ NHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên, 2020
i Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Không gian con và hệ sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Cơ sở của không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Khái niệm ma trận và các phép toán . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Khái niệm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận . . . . . 9 2 Khái niệm và một số tính chất của ma phương 11 2.1 Khái niệm ma phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Cấu trúc không gian vectơ trên tập các ma phương . . . . . . . . 14 2.2.1 Một số tính chất cơ bản của ma phương . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Cấu trúc không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Giá trị riêng của ma phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Một số phương pháp xây dựng ma phương 26 3.1 Phương pháp Hindu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Phương pháp của Bachet de Méziriac . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Phương pháp của Phillipe de la Hire . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Phương pháp bước đồng bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ii Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36
iii Lời cảm ơn Trong quá trình làm luận văn, em nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của TS. Ngô Văn Định - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Em xin cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học. Xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở trường THCS Đông Phương, Kiến Thụy, Hải Phòng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em học tập và nghiên cứu. Lời cuối cùng, em muốn dành để tri ân đến bố mẹ và gia đình vì đã chia sẻ những khó khăn để bản thân tôi hoàn thành công việc học tập của mình.
1 Mở đầu Trong toán học, một ma phương (còn gọi là ma trận kỳ ảo hoặc hình vuông ma thuật) bậc n là cách sắp xếp n2 số thành một hình vuông gồm n hàng, n cột sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và trên hai đường chéo là bằng một hằng số. Hằng số này được gọi là hằng số ma phương. Khái niệm ma phương xuất hiện lần đầu tiên trong lịch sử Trung Hoa cổ đại. Truyền thuyết kể rằng trong một trận lụt lớn thời Trung Hoa cổ đại (thời gian cụ thể chưa rõ ràng, có tài liệu ghi khoảng năm 650 trước công nguyên, có tài liệu ghi khoảng năm 2200 trước công nguyên ...), người ta thấy trên mai một con rùa có một bảng số hình vuông 3 hàng, 3 cột:   4 9 2 3 5 7 .   8 1 6 Điều đặc biệt của bảng số này là tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng 15. Thông thường người ta xét các ma phương cấp n với các n2 phần tử là các số tự nhiên từ 1 đến n. Ma phương thông thường này tồn tại với mọi n ≥ 1 trừ trường hợp n = 2 (trường hợp n = 1 là trường hợp tầm thường). Tuy nhiên, có một số khái niệm ma phương khác cũng được định nghĩa dựa trên một số tính chất của bảng số. Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và trình bày lại một số khái niệm và tính chất của ma phương. Tập các ma phương bậc n rõ ràng là một tập con của tập các ma trận vuông cấp n. Hơn nữa, cũng dễ dàng thấy rằng tập các ma phương cấp n đóng kín với các phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với một số. Điều này kéo theo tập các ma phương cấp n kế thừa cấu trúc không gian vectơ của không gian vectơ các ma trận vuông cấp n. Mục tiêu đầu tiên của luận văn là làm rõ cấu trúc
2 không gian vectơ trên tập các ma phương, xác định số chiều của không gian này. Ngoài ra, trình bày một số tính chất về hàng, về cột của các ma phương. Mục tiêu thứ hai của luận văn là trình bày một số phương pháp xây dựng các ma phương. Chưa có một phương pháp cụ thể nào có thể xây dựng được tất cả các ma phương. Mỗi phương pháp có đặc điểm riêng. Trong luận văn này, chúng tôi mới chỉ dừng lại ở việc giới thiệu một vài phương pháp thông thường để xây dựng một số ma phương. Nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Ở đây, chúng tôi chỉ trình bày sơ lược lại một số kiến thức về ma trận, không gian vectơ để phục vụ cho việc làm rõ cấu trúc không gian vectơ của tập các ma phương. Chương 2 tập trung làm rõ cấu trúc không gian vectơ, chứng minh tập các ma phương cấp n là một không gian vectơ, không gian này có không gian vectơ con là tập các ma phương cấp n có hằng số ma phương bằng 0 (gọi là các ma phương không); xác định số chiều của hai không gian vectơ này. Phần cuối của chương trình bày một số tính chất về tích vô hướng của các hàng, các cột và giá trị riêng của ma phương. Chương 3 giới thiệu bốn phương pháp xây dựng ma phương: phương pháp Hindu; phương pháp của Bachet de Méziriac; phương pháp của Phillipe de la Hire; phương pháp bước đồng bộ.
3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một cách sơ lược một số kiến thức chuẩn bị về không gian vectơ, ma trận, hệ phương trình tuyến tính. Nội dung của chương được tham khảo tài liệu [1]. 1.1.1 Khái niệm không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1. Xét tập V khác rỗng mà mỗi phần tử ta quy ước gọi là một vectơ và trường số thực R. Giả sử trong V ta định nghĩa được hai phép toán: phép cộng hai vectơ và phép nhân một vectơ với một số thực. Phép cộng hai vectơ là một luật hợp thành trong trên V cho phép tạo ra từ một cặp vectơ x, y ∈ V một vectơ duy nhất gọi là tổng của chúng, kí hiệu là x + y. Phép nhân một vectơ với một số, còn gọi là phép nhân với vô hướng, là một luật hợp thành ngoài trên trên V cho phép tạo ra từ một vectơ x ∈ V và một số thực k ∈ R một vectơ duy nhất gọi là tích của chúng, kí hiệu là kx. Nếu 10 điều kiện sau được thảo mãn với mọi x, y, z ∈ V và mọi k, i ∈ R thì tập V được gọi là một không gian vectơ trên trường R: (1) Nếu x và y ∈ V thì x + y ∈ V; (2) x + y = y + x, ∀x, y ∈ V; (3) x + (y + z) = (x + y) = z, ∀x, y, z ∈ V;
4 (4) Tồn tại vectơ θ ∈ V sao cho θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V; (5) Với mỗi x ∈ V tồn tại vectơ −x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = θ; (6) Nếu k ∈ R và x ∈ V thì kx ∈ V; (7) k(x + y) = kx + ky ; (8) (k + l)x = kx + lx; (9) k(lx) = (kl)x; (10) 1.x = x. Ví dụ 1.1.2. Xét Rn là tập mà mỗi phần tử là một bộ n số thực có thứ tự (x1 , x2 , ..., xn ), còn gọi là một vectơ n thành phần. Xét x = (x1 , x2 , ..., xn ) và y = (y1 , y2 , ..., yn ). Phép cộng vectơ và phép nhân với vô hướng định nghĩa như sau x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ), kx = (kx1 , kx2 , ..., kxn ), k ∈ R. Ngoài ra x = y khi và chỉ khi xi = yi , ∀i. Với các phép toán trên, dễ dàng kiểm tra được rằng Rn là một không gian vectơ (thực). Dưới đây là một số tính chất đơn giản của không gian vectơ: Mệnh đề 1.1.3. (a) Phần tử trung hòa θ là duy nhất, còn gọi là vectơ không. (b) Phần tử đối xứng −x của bất kì vectơ x nào thuộc V cũng là duy nhất. (c) ∀x ∈ V ta đều có 0x = θ. (d) ∀x ∈ V ta đều có −x = (−1)x. (e) ∀k ∈ R ta đều có kθ = θ. (f ) Với x ∈ V, và k ∈ R ta có: nếu kx = θ thì hoặc k = 0 hoặc x = θ.
5 1.1.2 Không gian con và hệ sinh Định nghĩa 1.1.4. Cho V là một không gian vectơ, W là một tâp con của V. Nếu với hai phép toán trên V, W cũng là một không gian vectơ thì W được gọi là một không gian con của V. Như vậy muốn chứng tỏ W ⊂ V là một không gian con của V ta phải chứng minh rằng bản thân W với hai phép toán cộng vectơ và nhân vectơ với một số đã định nghĩa trong V, cũng thỏa mãn 10 tiên đề của không gian vectơ. Định lý sau giúp cho việc chứng mình W ⊂ V là một không gian con của V đơn giản hơn. Định lý 1.1.5. Cho V là một không gian vectơ, W ⊂ V, W 6= ∅. Để W là không gian con của V điều kiện cần và đủ là hai tính chất sau được thỏa mãn: (a) Nếu u và v ∈ W thì u + v ∈ W (tức là W đóng kín đối với phép cộng vectơ). (b) Nếu k ∈ R, u ∈ W thì ku ∈ W (tức là W đóng kín đối với phép nhân vectơ với một số thực). Định nghĩa 1.1.6. Cho V là một không gian vectơ, S là họ vectơ {x1 , x2 , ..., xn } của V. Biểu thức c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn , với ci ∈ R, là một vectơ thuộc V và được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ của họ S, hay cũng có thể nói gọn là tổ hợp tuyến tính của họ S. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S được gọi là bao tuyến tính của S, ký hiệu span(S). Định lý 1.1.7. W = span(S) là một không gian con của V. Định nghĩa 1.1.8. Cho V là một không gian vectơ, S ⊂ V. Nếu span(S) = V, tức là nếu mọi x ∈ V đều có biểu diễn x = c1 x1 + ... + cn xn thì ta nói S là một hệ sinh của V.
6 1.1.3 Cơ sở của không gian hữu hạn chiều Định nghĩa 1.1.9. Cho V là một không gian vectơ, S = {x1 , ..., xn } ⊂ V. Xét điều kiện c1 x1 + ... + cn xn = θ. (1.1) Nếu điều kiện (1.1) chỉ xảy ra khi c1 = 0, ..., cn = 0 thì ta nói họ S độc lập tuyến tính. Nếu tồn tại các số thực c1 , ..., cn không đồng thời bằng 0 để (1.1) thỏa mãn thì ta nói họ S phụ thuộc tuyến tính. Định nghĩa 1.1.10. Không gian vectơ V được gọi là không gian n chiều nếu trong V tồn tại n vectơ độc lập tuyến tính và không tồn tại quá n vectơ độc lập tuyến tính. Khi đó ta nói số chiều của không gian V là n và kí hiệu là dim(V). Tập {θ} chỉ gồm một phần tử θ của một không gian vectơ bất kì luôn là một không gian vectơ, ta nói không gian này có số chiều bằng 0. Các không gian n chiều, n ≥ 0, gọi là không gian hữu hạn chiều. Nếu trong V có thể tìm được một số bất kì các vectơ độc lập tuyến tính thì ta nói V là không gian vô hạn chiều. Định nghĩa 1.1.11. Trong không gian n chiều V mọi họ gồm n vectơ độc lập tuyến tính gọi là một cơ sở của V. Định lý 1.1.12. Giả sử V là một không gian vectơ, S = {f1 , ..., fn } là một họ gồm k vectơ của V. Nếu S sinh ra V và độc lập tuyến tính thì V là không gian k chiều và S là một cơ sở của V. Chẳng hạn, trong không gian vectơ Rn , dễ dàng thấy rằng hệ vectơ {(1, 0, 0, ..., 0); (0, 1, 0, ..., 0); ...; (0, 0, 0, ..., 1)} là một hệ sinh và độc lập tuyến tính nên là một cơ sở của Rn , gọi là cơ sở chính tắc của Rn . Do đó Rn là một không gian vectơ n chiều.
7 1.2 Ma trận 1.2.1 Khái niệm ma trận và các phép toán Định nghĩa 1.2.1. Một bảng số chữ nhật có m hàng n cột   a11 a12 ... a1n  a a22 ... a2n    21 A=   ... ... ... ...  am1 am2 ... amn gọi là một ma trận cỡ m × n. Phần tử aij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i cột j . Để kí hiệu ma trận người ta dùng hai dấu ngoặc vuông như trên hay hai dấu ngoặc tròn. Để nói A là ma trận cỡ m × n có phần tử nằm ở hàng i cột j là aij ta viết A = [aij ]m×n . Khi m = n, bảng số thành hình vuông, ta có ma trận vuông với n hàng n cột, ta gọi nó là ma trận cấp n:   a11 a12 . . . a1n    a21 a22 ... a2n   .. .   .   an1 an2 ... anm Trong trường hợp này các phần tử a11 , a22 , ..., anm được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính (theo hướng từ trên xuống dưới, từ trái qua phải hay theo hướng từ góc "tây bắc" xuống góc "đông nam"). Các phần tử a1n , a2(n−1) , a3(n−2) , ..., a(n−1)2 , an1 được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ (theo hướng từ trên xuống dưới, từ phải qua trái hay theo hướng từ góc "đông bắc" xuống góc "tây nam"). Định nghĩa 1.2.2. Cho hai ma trận cũng cỡ m × n: A = [aij ]m×n ; B = [bij ]m×n .
8 Tổng A + B là ma trận cỡ m × n xác định bởi A + B = [aij + bij ]m×n , tức là (A + B)ij = aij + bij . Định nghĩa 1.2.3. Cho A = [aij ]m×n , k ∈ R. Tích kA là ma trận cỡ m × n xác định bới kA = [kaij ]m×n . Tương tự như không gian Rn ở phần trên, tập hợp các ma trận cỡ m × n cùng với hai phép toán vừa định nghĩa là một không gian vectơ mn chiều. Định nghĩa 1.2.4. Xét ma trận A = [aij ]m×n . Đổi hành thành cột, cột thành hàng ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là At . Vậy có At = [aji ]n×m . Ta thấy rằng nếu A có m hàng n cột thì At có n hàng m cột. Định nghĩa 1.2.5. Xét hai ma trận A = aij m×p , B = bij p×n , trong đó số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B . Người ta gọi tích AB là ma trận C = cij m×n có m hàng n cột mà phần tử cij được tính bởi công thức p X cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj = aik bkj (1.2) k=1 Cách tính cij có thể được mô tả bởi sơ đồ sơ đồ
9 1.2.2 Định thức Cho A = [aij ]n×n là một ma trận vuông cấp n. Ký hiệu Mij là ma trận vuông cấp n − 1 thu được từ A khi bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j . Định nghĩa 1.2.6. Định thức của ma trận A, kí hiệu là det(A), được định nghĩa một cách quy nạp như sau: Nếu A là ma trận cấp một: A = [a11 ] thì det(A) = a11 ; Nếu A là ma trận cấp hai: " # a11 a12 A= a21 a22 thì det(A) = a11 det(M11 ) = a12 det(M12 ) = a11 a22 − a12 a21 . Một cách tổng quát, nếu A là ma trận cấp n thì det (A) = a11 det (M11 ) − a12 det (M12 ) + · · · + (−1)1+n a1n det (M1n ) . Để kí hiệu định thức, người ta dùng hai gạch đúng đặt ở hai bên, chẳng hạn
a
11 a12 a13