Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhập môn K – lý thuyết và liên quan tới lý thuyết đồng điều

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:79

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhập môn K – lý thuyết và liên quan tới lý thuyết đồng điều nêu lên nhập môn về K – lý thuyết; một số phương pháp tính K – nhóm của một số các không gian Tôpô; liên quan tới lý thuyết đồng điều.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhập môn K – lý thuyết và liên quan tới lý thuyết đồng điều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Phong NHẬP MÔN K – LÝ THUYẾT VÀ LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Phong NHẬP MÔN K – LÝ THUYẾT VÀ LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................. 4 T 3 3T DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU........................................................................................ 5 T 3 T 3 MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 6 T 3 3T Chương 1 - NHẬP MÔN VỀ K – LÝ THUYẾT ......................................................... 9 3T T 3 1.1. Sơ lược về không gian phân thớ ...................................................................... 9 T 3 3T 3T T 3 1.1.1. Ví dụ mở đầu .............................................................................................. 9 T 3 3T 3T 3T 1.1.2. Không gian phân thớ ............................................................................... 10 T 3 3T 3T T 3 1.1.3. Đồng cấu và đẳng cấu phân thớ; phạm trù các phân thớ .................... 11 T 3 3T 3T T 3 1.2. Đa tạp phức Stiefel và đa tạp phức Grassman ............................................ 12 T 3 3T 3T T 3 1.3. Phạm trù T 3 3T 3T 3T Bund .......................................................................................... 13 1.4. Xây dựng phép toán trên các phân thớ vec-tơ ............................................. 16 T 3 3T 3T T 3 1.5. Các hàm tử liên tục và các phép toán trên Bund (B) .............................. 18 T 3 3T 3T T 3 1.6. Nửa vành Vect (B) ....................................................................................... 23 T 3 3T 3T 3T 1.7. Nhóm thứ nhất của T 3 3T 3T 3T K - lý thuyết tôpô, K ( X ) ........................................ 26 T 3 T 3 1.7.1. Định lý phân loại ...................................................................................... 26 T 3 3T 3T T 3 1.7.2. Hàm tử K ( X ) ........................................................................................ 27 T 3 3T 3T 3T 1.7.3. Hàm tử K T 3 3T ( )  X ........................................................................................ 27 3T 3T 1.7.4. Mô tả K ( X ) ............................................................................................ 31 T 3 3T 3T 3T
2 Chương 2 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH K – NHÓM CỦA MỘT SỐ CÁC T 3 KHÔNG GIAN TÔPÔ ................................................................................................. 35 2.1. Sử dụng định lý tích ngoài cơ bản để tính K - nhóm ................................. 35 T 3 3T 3T T 3 T 3 T 3 2.1.1. Tích ngoài cho K ( X ) ................................................................................ 35 T 3 3T 3T 3T 2.1.2. Ứng dụng tính K (S 2 ) ; K (P 1 ) ; K T 3 3T 3T ( )  (P 1 ) ...................................... 38  S2 ; K 3T 2.2. Sử dụng dãy khớp, tích ngoài rút gọn và tuần hoàn Bott ........................... 40 T 3 3T 3T T 3 2.2.1. Một số khái niệm ...................................................................................... 40 T 3 3T 3T T 3 2.2.2. Các dãy khớp của K - nhóm .................................................................... 43 T 3 3T 3T T 3 T 3 T 3 2.2.3. Tích ngoài rút gọn .................................................................................... 46 T 3 3T 3T T 3 2.2.4. Tuần hoàn Bott......................................................................................... 47 T 3 3T 3T 3T 2.3. Sử dụng đối đồng điều .................................................................................... 51 T 3 3T 3T T 3 2.3.1. Đối đồng điều ............................................................................................ 51 T 3 3T 3T 3T 2.3.2. Tính K - nhóm thông qua đối đồng điều................................................ 53 T 3 3T 3T 3T 3T T 3 Chương 3 - LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU .................................... 55 T 3 3.1. T 3 3T K  lý thuyết như lý thuyết đồng điều của C*-đại số ................................. 55 3T T 3 3.1.1. Đại số Banach và C*-đại số ..................................................................... 55 T 3 3T 3T T 3 3.1.2. Hàm tử K 0 ............................................................................................... 58 T 3 3T 3T 3T 3.1.3. Hàm tử K 1 ............................................................................................... 60 T 3 3T 3T 3T 3.1.4. Lý thuyết đồng điều ................................................................................. 61 T 3 3T 3T T 3 3.1.5. Lý thuyết đối đồng điều ........................................................................... 62 T 3 3T 3T T 3 3.1.6. Liên hệ giữa K − lý thuyết tôpô với K − lý thuyết C*-đại số ................ 66 T 3 3T 3T 3T T 3 T 3 T 3 T 3
3 3.2. Mối liên hệ giữa tuần hoàn Bott và K  lý thuyết ....................................... 72 T 3 3T 3T T 3 T 3 T 3 3.2.1. Tuần hoàn Bott......................................................................................... 72 T 3 3T 3T 3T 3.2.2. Nhóm đồng luân p n ................................................................................ 72 T 3 3T 3T T 3 3.2.3. Liên hệ nhóm đồng luân và K  lý thuyết ............................................. 74 T 3 3T 3T T 3 T 3 T 3 KẾT LUẬN ................................................................................................................... 76 T 3 3T TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 77 T 3 3T
4 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thái Sơn. Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi chân thành cảm ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp học tập trong suốt quá trình học Cao học. Chân thành cảm ơn phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập cũng như khi làm luận văn. Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn sự động viên của bạn bè, gia đình đã luôn bên tôi, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như khi tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. TP. Hồ Chí Minh, ngày 05 tháng 12 năm 2013 Học viên: Trần Phong
5 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Set Phạm trù tập hợp Top Phạm trù các không gian tôpô CW Phạm trù các phức CW Grp Phạm trù các nhóm Ab Phạm trù các nhóm Aben SemiRng Phạm trù nửa vành Bundn Phạm trù các phân thớ vec-tơ n chiều Bundn  B Phạm trù các phân thớ vec-tơ n chiều có đáy là B Vect  B Nửa nhóm các lớp tương đương của các phân thớ vec-tơ trên B Vectk  B Nửa nhóm các lớp tương đương của các phân thớ vec-tơ k chiều trên trên B f   Lớp đồng luân của ánh xạ f n n Phạm trù các không gian vec-tơ n chiều trên trường 
6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài K  lý thuyết tôpô (còn gọi là K  lý thuyết hình học) là một lý thuyết đối đồng điều suy rộng và là một công cụ mạnh của Tôpô đại số. Công cụ này cho phép giải quyết nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực Hình học – Tôpô cũng như nhiều lĩnh vực khác của toán học. Năm 1958, Grothendieck khi nghiên cứu về định lý Riemann – Roch trong Hình học đại số đã khởi xướng ý tưởng về K  lý thuyết tôpô. Đến năm 1961, K  lý thuyết tôpô đã chính thức được hình thành bởi các công trình nghiên cứu độc lập của Atiyah và Hirzebruch. K  lý thuyết tôpô được xây dựng nhờ không gian phân thớ, nó cho phép chuyển một loạt các bài toán của giải tích và tôpô thành các bài toán đại số. K  lý thuyết tôpô đã nảy sinh một cách tự nhiên ra K  lý thuyết đại số. K  lý thuyết tôpô xuất hiện trước và liên quan tới các phân thớ vec-tơ phức trên các đáy là các không gian tôpô. Đối tượng cơ bản của K  lý thuyết tôpô là các lớp tương đương ổn định của các phân thớ vec-tơ (phức). Bằng phép toán tổng Whitney các phân thớ vec-tơ, ta xây dựng được một vị nhóm Abel, rồi thông qua nhóm Grothendieck, ta xây dựng được các nhóm K 0 và K 1 của một không gian tôpô. K  lý thuyết đại số liên quan đến nhiều đối tượng hơn. Năm 1962, Swan để ý thấy rằng có sự tương ứng giữa phạm trù các không gian tôpô nào đó (như không gian compắc, Hausdorff) với phạm trù các đại số Banach hoặc C   đại số. Ý tưởng là ở chỗ tập các nhát cắt liên tục của mỗi một phân thớ vec-tơ trên không gian tôpô X là một C X   môđun. Điều này dẫn tới việc nghiên cứu các môđun xạ ảnh, các K  nhóm đại số và đó là xuất phát điểm của K  lý thuyết đại số. Điều đặc biệt là giữa K  lý thuyết tôpô và K  lý thuyết đại số có một mối liên hệ mật thiết với nhau thông qua một định lý kinh điển. Từ mối liên hệ này ta có thể
7 chuyển từ việc tính toán các K  nhóm từ bên này (tôpô) sang bên kia (đại số) mỗi khi việc tính toán ở bên này khó hơn bên kia, và ngược lại. Thông qua việc tìm hiểu sơ bộ những vấn đề trên, chúng tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về K  lý thuyết mà cụ thể là K  lý thuyết tôpô, đồng thời tìm hiểu về mối liên hệ mật thiết giữa K  lý thuyết tôpô và K  lý thuyết đại số. Tuy nhiên, việc nghiên cứu K  lý thuyết ở tầm tổng quát là rất khó khăn vì phải dùng đến nhiều kiến thức của cả Đại số và Giải tích. Vì vậy, chúng tôi đã giới hạn việc tìm hiểu của mình trong phạm vi nhỏ hơn và đề tài của chúng tôi mang tên là : “Nhập môn K  lý thuyết và liên quan tới lý thuyết đồng điều”. 2. Nội dung và phương pháp nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hai vấn đề chính: Mối liên hệ giữa tuần hoàn Bott với K  lý thuyết và K  lý thuyết như là lý thuyết đồng điều trên Đại số Banach. Phương pháp nghiên cứu: Luận văn sử dụng những công cụ mạnh là Đại số đồng điều và Giải tích hàm, trong một chừng mực có thể, là cách trình bày theo tinh thần của Toán học hiện đại – ngôn ngữ Phạm trù và Hàm tử. 3. Cấu trúc luận văn Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về K  lý thuyết như: mô tả không gian phân thớ - đây là nền tảng xây dựng K  lý thuyết, phân loại đẳng cấu vec-tơ, các phép toán trên phân thớ vec-tơ như tổng Whitney và tích ten-xơ, sau đó là xây dựng K  lý thuyết. Chương 2: Trình bày một số phương pháp tính K  nhóm của một số các không gian tôpô như: Sử dụng định lý tích ngoài cơ bản; Sử dụng các dãy khớp, tích ngoài rút gọn và tuần hoàn Bott; Sử dụng đối đồng điều để tính K  nhóm. Chương 3: Trình bày mối liên quan tới lý thuyết đồng điều, hay cụ thể hơn là mối liên hệ giữa K  lý thuyết tôpô và K  lý thuyết đại số, nội dung trong chương này trình bày hai vấn đề sau: K  lý thuyết như là lý thuyết đồng điều trên đại số Banach và mối liên hệ giữa tuần hoàn Bott với K  lý thuyết. Nhờ định lý kinh điển nói về mối liên hệ
8 mật thiết giữa K  lý thuyết tô pô và K  lý thuyết đại số, ta có thể chuyển từ việc tính toán các K  nhóm từ bên này (tôpô) sang bên kia (đại số) mỗi khi việc tính toán ở bên này khó hơn bên kia, và ngược lại. 4. Ký hiệu trong luận văn Các ký hiệu được dùng trong luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Để trích dẫn một kết quả, tác giả dùng những ký hiệu quan thuộc. Chẳng hạn, nếu ghi “1.2.1” có nghĩa là xin xem mục 1.2.1 ở Chương 1; nếu ghi “2.1.2” có nghĩa là xin xem mục 2.1.2 ở Chương 2; còn nếu ghi “[10, tr.110]” có nghĩa là xin xem trang 110 của Tài liệu tham khảo số 10.
9 Chương 1 NHẬP MÔN VỀ K – LÝ THUYẾT Trong chương này, nội dung chủ yếu được tác giả trình bày là các nét cơ bản về K  lý thuyết tô pô phức. Sơ lược các nội dung như sau: Mô tả không gian phân thớ, đây là nền tảng xây dựng K  lý thuyết; Đa tạp Grassman, dùng cho việc phân loại các đẳng cấu vec-tơ; Phân thớ vec-tơ phức cùng các phép toán tổng trực tiếp (tổng Whitney) và tích ten-xơ. Các định nghĩa về các nhóm đầu tiên không rút gọn được K X  và nhóm  X  của K  lý thuyết tô pô. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng cung đầu tiên rút gọn được K cấp thêm mô tả tầm thường và mô tả hình học của mỗi nhóm, đồng thời chỉ ra rằng hai nhóm này đều được trang bị một cấu trúc vành. Các định nghĩa trong nội dung này được tham khảo từ [4], [11], [13]. 1.1. Sơ lược về không gian phân thớ Trước khi vào định nghĩa không gian phân thớ, ta xét các ví dụ sau để hình dung được về các khái niệm mới này. 1.1.1. Ví dụ mở đầu • Mặt trụ hai chiều: T  S1     x  . xS1 2 • Lá mobius: M  0 , 1 0 ,t  1, 1  t . • Mặt xuyến: p 2  S1 S1   xS 1 . xS1 • Lấy M n là đa tạp vi phân n chiều, với mỗi x  M n ta có không gian tiếp xúc của M n tại x là: Tx M n .
10 Đặt TM n :  TM n x n , được gọi là phân thớ tiếp xúc của M n . Trong trường hợp xM này ta khó hình dung ra tích trực tiếp như các ví dụ ở trên, nhưng về bản chất đó là phân thớ. Nhận xét về đặc điểm chung của các không gian nêu trên • Mỗi không gian đều được phân ra thành hợp của một họ các “thớ”. • Mỗi “thớ” đều đồng phôi với nhau (nếu xét về mặt topo thì chúng là một). • Trên không gian toàn thể có thể là tích trực tiếp hoặc có thể không, nhưng khi xét ở địa phương thì chúng luôn luôn là tích trực tiếp. Từ đây ta có các khái niệm về không gian phân thớ sau 1.1.2. Không gian phân thớ Định nghĩa 1.1.1. Cho ba không gian topo B, F , E và ánh xạ liên tục p : E  B . Khi đó, bộ ba x   E, p, B được gọi là một không gian phân thớ tầm thường địa phương hay phân thớ (với thớ mẫu F ) nếu tính chất tầm thường địa phương sau đây thỏa mãn: x  B tồn tại tập mở U  B chứa x và j : U  F    p1 U  đồng phôi sao cho tam giác sau đây giao hoán U  F  j  p1 U   E p prU p1U    U tức là prU  p p  j , trong đó prU : U  F  U , u, f   prU u, f  : u là phép chiếu tự 1 U  nhiên. Tên gọi và nhận xét
11 • E : được gọi là không gian toàn thể của phân thớ (ta thường đồng nhất x với E và gọi E là không gian phân thớ). • B : được gọi là đáy hay cơ sở của phân thớ. • p : được gọi là phép chiếu (không gian toàn thể lên đáy) và dễ thấy p toàn ánh. • F : được gọi là thớ mẫu. • x  B, p1  x F  : được gọi là thớ tại x và ta có E   p 1  x  . x B 1 pU    p 1  y , j  y, f   p1  y yU • j : U  F    p1 U  được gọi là đồng phôi theo thớ và cặp U,j  được gọi là bản đồ địa phương xung quanh x của phân thớ. • Đặc biệt khi ta chọn E  B F thì E chắn chắn thỏa mãn các định nghĩa ở trên (đồng phôi j  Id ), và E khi đó được gọi là phân thớ tầm thường. 1.1.3. Đồng cấu và đẳng cấu phân thớ; phạm trù các phân thớ Định nghĩa 1.1.2. Cho hai phân thớ x1   E1 , p1 , B , x2   E2 , p2 , B trên cùng đáy B . Ánh xạ liên tục h : E1  E2 được gọi là một đồng cấu phân thớ từ x1 đến x2 nếu tam giác sau giao hoán h E1   E2 p1   p2 tức là p1  p2  h . B Định nghĩa 1.1.3. Một đẳng cấu phân thớ là một đồng cấu phân thớ đồng thời cũng là một đồng phôi. Chú ý: h : E1  E2 là đẳng cấu phân thớ thì h1 : E2  E1 cũng là đẳng cấu phân thớ. Ta thường viết h : E1    E2 .
12 Định nghĩa 1.1.4. (Phạm trù các phân thớ) Đặt Bund  B là phạm trù các phân thớ trên B , trong đó vật Ob : là họ các không gian phân thớ trên B và cấu xạ MorBundB  E1 , E2  : là tập các đồng cấu phân thớ từ E1 đến E2 . Phân thớ x   E, p, B (thớ mẫu F ) được gọi là phân thớ tầm thường nếu E  B F 1.2. Đa tạp phức Stiefel và đa tạp phức Grassman Giả sử tôpô của tất cả các đa tạp được giới thiệu ở phần này thừa hưởng tôpô thông thường của  . Định nghĩa 1.2.1. Ta định nghĩa đa tạp phức Stiefel như sau: Wn  k    A  M kn |A * .A  I n ,n  k trong đó A* là ma trận chuyển vị liên hợp của A . Nói theo một cách khác, Wn  k  là tập của tất cả n hệ tọa độ ( n phức của các vec-tơ trực chuẩn) trong  k với n  k . Xét về khía cạnh tôpô nó là một không gian compắc, như một không gian con đóng của tích trực tiếp của n bản sao của mặt cầu S k1 . Định nghĩa 1.2.2. Ta định nghĩa đa tạp phức Grassman như sau: Gn  k   { các không gian vec-tơ con n chiều của  k , n  k } tức là tập tất cả các mặt phẳng n chiều trong  k cùng đi qua gốc tọa độ. Ví dụ 1.2.3. Ma trận G1  k  là tập tất cả các đường thẳng trong  k đi qua gốc tọa độ. Để hiểu rõ hơn về đa tạp này, ta xét phép chiếu tự nhiên sau: Wn  k   p  Gn  k         v1 , ,vn  v1 , ,vn 
13 cho phép ta xem Gn  k  như một không gian compắc với tôpô thương. Một CW  cấu trúc cũng được xác định sao cho mỗi Wn  k  là một phức với số ô hữu hạn và ta có thể chỉ ra rằng Gn  k  là một đa tạp Hausdorff với số chiều là k  k  n . Ta có  k   k1   Dãy này cảm sinh dãy các đa tạp phức Stiefel Wn  k   Wn  k 1   và dãy các đa tạp phức Grassman phức sau Gn  k   Gn  k 1   Ta đặt: Wn  :  lim Wn  k  và Gn  :  limGn  k  k k ta thu được hai không gian tôpô giới hạn trực tiếp. 1.3. Phạm trù Bund Định nghĩa 1.3.1. Một phân thớ vec-tơ phức là một bộ ba x   E, p, B trong đó E và B là các không gian tôpô thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Ánh xạ p : E  B liên tục và toàn ánh; (ii) Với mọi b  B , không gian p1 b có cấu trúc của một không gian vec-tơ phức V ; (iii) Điều kiện tầm thường địa phương: vơi mọi b  B , tồn tại một lân cận mở Ub của b và một đồng phôi:  p1 U b  jUb : U b  V  thỏa mãn p  jUb b,v  b , với mọi b,v  U b  V . Hơn nữa, j phù hợp với cấu trúc không gian vec-tơ trên các thớ, tức là jU b : b V   p1 b là một đẳng cấu của các không gian vec-tơ với mọi b  B bV .
14 Một số thuật ngữ:  Với bất kỳ phân thớ vec-tơ x   E, p, B , ta gọi E là không gian tổng thể, B là không gian đáy, và p là ánh xạ chiếu của phân thớ;  Với mọi b , không gian p1 b là thớ của phân thớ vec-tơ tại b  B , ta sẽ ký hiệu lại là Eb . Chú ý về số chiều: Cho x   E, p, B là một phân thớ vec-tơ phức. Nếu với mỗi b  B , số chiều của thớ Eb là giống nhau và bằng hằng số n  0 , ta nói rằng x là một phân thớ vec-tơ phức n chiều và ta có thể thay không gian vec-tơ phức V bằng n trong định nghĩa trên. Chú ý 1.3.2. Ta có thể định nghĩa phân thớ vec-tơ thực n chiều theo cách tương tự (thay n bằng  n ). Tuy nhiên, ở đây chúng tôi chỉ tập trung vào các phân thớ vec-tơ phức, do đó “phức” đôi khi sẽ không được nhắc đến nếu không gây nhầm lẫn gì. Một số ví dụ về phân thớ vec-tơ n chiều Ví dụ 1.3.3. Phân thớ tầm thường n chiều trên B e   Bn , p, B trong đó p : B  n  B b,v b là phép chiếu tự nhiên lên thành phần thứ nhất. Ví dụ 1.3.4. Cho Gn  k  là một đa tạp phức Grassman. Ta định nghĩa En  k   V , v  G   n k k |v  V  và phép chiếu p : En  k   Gn  k  V ,v  V
15 Bộ ba g n ,k   En  k  , p ,Gn  k  là phân thớ phức chính tắc n chiều. Ví dụ 1.3.5. Ta định nghĩa E'n  k   V ,u  G   n k k |u  V   và phép chiếu tương ứng lên thành phần đầu tiên p : E'n  k   Gn  k  V ,u  V Bộ ba hn ,k   E'n  k  , p ,Gn  k  là phân thớ phức  k  n chiều. Khi phép toán tổng trực tiếp trên các phân thớ được xác định, ta thấy rằng hai phân thớ này có mối liên hệ với nhau, cụ thể là hn ,k  g n ,k là phân thớ tầm thường k chiều trên Gn  k  . Chú ý 1.3.6. Hai ví dụ trên vẫn đúng nếu ta xét k   . Một đồng cấu phân thớ vec-tơ là một ánh xạ bảo toàn các thớ và là ánh xạ tuyến tính trên mỗi thớ. Ta có định nghĩa chính xác hơn như sau: Định nghĩa 1.3.7. Cho x   E, p, B và x'   E', p', B' là hai phân thớ vec-tơ. Một đồng cấu của các phân thớ  f , g : x   x' được xác định bởi hai ánh xạ f : E   E' và g : B   B' sao cho biểu đồ sau giao hoán: f E   E' p  p' g B   B' tức là p' f  g  p và thu hẹp 1 f : p  p 1  f b b  là ánh xạ tuyến tính với mọi b  B . Chú ý 1.3.8. Trong định nghĩa trước ta có thể xét B  B' . Khi đó các phân thớ x và x' có cùng đáy B và đồng cấu  f ,idB  : x   x' thỏa tam giác giao hoán sau:
16 f E   E' p   p' B Định nghĩa 1.3.9. Hai phân thớ x và x' trên cùng một không gian đáy B được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một đồng cấu phân thớ  f ,idB  : x  x' sao cho f : E  E' là một đồng phôi và thu hẹp f : p 1 b  p 1  f b là một đẳng cấu tuyến tính trên mỗi thớ, với mọi b  B . Ở mục này, ta có thể đề cập đến phạm trù của các phân thớ vec-tơ phức, mà ta ký hiệu là Bund . Vật của phạm trù và các xạ được định nghĩa như trong Định nghĩa 1.3.1. và Định nghĩa 1.3.7. Luật kết hợp và phần tử đơn vị của các xạ giống với phạm trù Top và n . Chú ý rằng với mỗi B  Top , Bund cho phạm trù con Bund  B là phạm trù của các phân thớ vec-tơ trên B . Cuối cùng số chiều được bảo toàn, tức là với mọi n  0 , các phân thớ vec-tơ phức n chiều cũng tạo ra một phạm trù mà ta ký hiệu là Bund . 1.4. Xây dựng phép toán trên các phân thớ vec-tơ Định nghĩa 1.4.1. Cho x   E, p, B là một phân thớ vec-tơ phức và f : Y  B là một ánh xạ liên tục. Phân thớ cảm sinh từ f từ x - ký hiệu là f * x , được xác định như sau: Đặt pY : Y B E  Y và E, pE : Y B E  khi đó ta muốn biểu đồ sau giao hoán pE Y B E  E pY  p f Y  B
17 Chú ý rằng Y B E :  f *  E là không gian tổng thể của f * x , chính xác hơn là cái kéo lùi của pY và pE . Mệnh đề 1.4.2. Các thu hẹp của một phân thớ vec-tơ p : E  B I trên B0 và B1 là đẳng cấu với nhau nếu B là không gian compắc Hausdorff. Định lý 1.4.3. Cho một phân thớ vec-tơ p : E  B và các ánh xạ đồng luân f 0 , f1 : A  B . Khi đó các phân thớ cảm sinh f0 *  E và f1 *  E là đẳng cấu với nhau nếu A là không gian Hausdorff compắc. Định nghĩa 1.4.4. Cho x   E, p, B và x'   E', p', B'  Bund . Ta định nghĩa phân thớ như sau: x  x' :   E1  E2 , p1  p2 , B trong đó E1  E2 :  e1 ,e2   E1  E2 |p1 e1   p2 e2  và ánh xạ chiếu p1  p2 : E1  E2  B được xác định bởi e1 ,e2   p1 e1   p2 e2  Phép toán x  x' được gọi là tổng Whitney của x và x' và là tích trong phạm trù Bundn  B . Như đã đề cập ở phần trước, tiếp theo ta có thể định nghĩa đẳng cấu: f : hn,k  g n,k   ek V ,x ,V , y  V ,x  y
18 trong đó V  Gn  k  ,V , x  En  k  ,V , y  E'n  k  . Vì với mọi z   k , có một sự phân tích duy nhất z  x  y trong đó x  V và y  x . Do sự phân tích này là liên tục trên V (tổng trực tiếp của các không gian vec-tơ), ánh xạ f là một đẳng cấu trên Gn  k  . Để kết thúc Định nghĩa 1.4.4, với x và x' như trên, ta có: E1  E2  E1 B E2 do tính chất của các kéo lùi trong biểu đồ dưới đây và Định nghĩa 1.4.4, ta có biểu đồ: 1.5. Các hàm tử liên tục và các phép toán trên Bund (B) Tổng Whitney mà chúng ta vừa định nghĩa cho các phân thớ vec-tơ trên không gian đáy B được bảo toàn từ tổng trực tiếp của các không gian vec-tơ, và là phép toán tích trong phạm trù Bund  B . Điều này cho phép ta tổng quát hóa cho các phép toán khác: mọi phép toán liên tục trên các không gian vec-tơ cho phép ta xác định một phép toán tương ứng trên các phân thớ vec-tơ một cách tự nhiên. Phần tiếp theo của mục này sẽ giải thích rõ về khẳng định trên đây. Trong định nghĩa dưới đây, ta xét  là  hoặc  . Nhắc lại rằng các vật của n là các không gian vec-tơ hữu hạn chiều trên  .