Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm giá trị và trường thặng dư của chuẩn phi Archimede

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm giá trị và trường thặng dư của chuẩn phi Archimede tập trung tìm hiểu về nhóm giá trị của chuẩn phi Archimede, trường thặng dư của chuẩn phi Archimede, bao đủ của một trường, bao đóng của một trường và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm giá trị và trường thặng dư của chuẩn phi Archimede

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TRÍ THÀNH NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TRÍ THÀNH NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 604605 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin gửi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn và hết lòng giúp đở tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, TS Trần Huyên, PGS.TS Lê Hoàn Hóa, cố PGS.TS Đậu Thế Cấp, quý thầy đã trực tiếp giảng dạy, trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô khoa Toán-Tin, quý Thầy Cô Phòng Sau đại học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, giúp đở và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Bình Dương, tháng 9 năm 2011 Nguyễn Trí Thành
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................................. 1 0T T 0 MỤC LỤC ....................................................................................................................................... 2 0T T 0 MỘT SỐ KÍ KIỆU ........................................................................................................................... 4 0T 0T LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................................. 5 0T T 0 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................................................................... 7 0T 0T 1.1. Khái niệm cơ bản :................................................................................................................. 7 0T 0T 1.1.1. Định nghĩa. ..................................................................................................................... 7 0T 0T 1.1.2 Chú ý. .............................................................................................................................. 7 0T T 0 1.1.3. Định nghĩa. ..................................................................................................................... 8 0T 0T 1.1.4. Định lý. ........................................................................................................................... 8 0T 0T 1.1.5. Định nghĩa chuẩn phi Archimede . ................................................................................ 10 0T T 0 1.1.6. Ví dụ về chuẩn phi Archimede. ..................................................................................... 10 0T T 0 1.1.8. Định lý. ......................................................................................................................... 12 0T 0T 1.1.9 Hệ quả. .......................................................................................................................... 13 0T 0T 1.1.10. Mệnh đề : .................................................................................................................... 13 0T 0T 1.2. Xây dựng trường số p_adic .................................................................................................. 14 0T 0T 1.2.1. Định nghĩa. ................................................................................................................... 14 0T 0T 1.2.2.Mệnh đề ......................................................................................................................... 14 0T 0T 1.2.3. Mệnh đề. ....................................................................................................................... 14 0T 0T 1.2.4.Định lý Oxtropxky. ....................................................................................................... 14 0T 0T 1.2.5. Xây dựng trường số p_adic ¤ p . .................................................................................... 15 0T 0T T 0 T 0 ¤ 1.2.6.Định nghĩa đồng dư trong 0T 0T p ....................................................................................... 16 1.3. Khai triển p _adic của x trong ¤ p . ...................................................................................... 16 0T 0T 0T 0T 1.3.1.Bổ đề. ............................................................................................................................ 16 0T T 0 1.3.2. Bổ đề. ........................................................................................................................... 16 0T 0T 1.3.4. Định lý. ......................................................................................................................... 16 0T 0T 1.3.2 Khai triển p_adic của x trong ¤ p ................................................................................... 17 0T 0T T 0 T 0 CHƯƠNG 2: NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE .. 18 0T T 0 2.1. Nhóm giá trị của chuẩn phi Archimede. .............................................................................. 18 0T T 0 2.1.1.Định nghĩa. .................................................................................................................... 18 0T 0T 2.1.2. Ví dụ. ............................................................................................................................ 18 0T T 0 2.1.3.Định lý. .......................................................................................................................... 19 0T 0T 2.1.4.Định nghĩa. .................................................................................................................... 19 0T 0T 2.1.5.Định lý. .......................................................................................................................... 19 0T 0T
2.1.6.Hệ quả . ......................................................................................................................... 21 0T 0T 2.1.7.Hệ quả. .......................................................................................................................... 21 0T 0T 2.2. Trường thặng dư của chuẩn phi Archimede. ........................................................................ 21 0T T 0 2.2.1.Mệnh đề. ........................................................................................................................ 21 0T 0T 2.2.2.Định nghĩa. .................................................................................................................... 22 0T 0T 2.2.3.Ví dụ về trường thặng dư. .............................................................................................. 22 0T 0T 2.2.4.Định lý. .......................................................................................................................... 24 0T 0T 2.2.5. Mệnh đề. ....................................................................................................................... 25 0T 0T 2.2.6. Nhận xét . ..................................................................................................................... 25 0T 0T 2.3. Bao đủ của một trường F .................................................................................................... 25 0T 0T 0T 0T 2.3.1.Định lý . ......................................................................................................................... 25 0T 0T 2.3.2.Định nghĩa. .................................................................................................................... 27 0T 0T 2.3.3.Định lý. .......................................................................................................................... 27 0T 0T 2.3.4.Định lý. .......................................................................................................................... 28 0T 0T 2.4.Bao đóng của một trường. ..................................................................................................... 29 0T 0T 2.4.1.Định nghĩa. .................................................................................................................... 29 0T 0T 2.4.2.Định nghĩa. .................................................................................................................... 29 0T 0T 2.4.3.Định lý. .......................................................................................................................... 29 0T 0T 2.4.4.Hệ quả. .......................................................................................................................... 31 0T 0T 2.5. Sự khai triển thành chuỗi. .................................................................................................... 31 0T 0T 2.5.1.Định nghĩa. .................................................................................................................... 31 0T 0T 2.5.2.Định nghĩa. .................................................................................................................... 31 0T 0T 2.5.3.Định lý. .......................................................................................................................... 31 0T 0T 2.5.4.Hệ quả. .......................................................................................................................... 33 0T 0T 2.5.5.Định lý. .......................................................................................................................... 33 0T 0T 2.5.6.Hệ quả. .......................................................................................................................... 34 0T 0T 2.6. Xây dựng một trường với chuẩn phi Archimede với nhóm giá trị và trường thặng dư cho 0T trước. .......................................................................................................................................... 35 T 0 2.6.1. Định lý. ......................................................................................................................... 35 0T 0T 2.6.2.Định nghĩa. .................................................................................................................... 38 0T 0T 2.6.5. Bổ đề 3. ........................................................................................................................ 39 0T 0T KẾT LUẬN .................................................................................................................................... 47 0T T 0 Tài liệu tham khảo. ......................................................................................................................... 48 0T 0T
MỘT SỐ KÍ KIỆU ¢P : Tập các số nguyên p-adic. ¢ *P : Tập các phần tử khả nghịch trong ¢ P ¤P : Trường số p-adic. £P : Trường số phức p-adic. g : Chuẩn thông thường. gP : Chuẩn p_adic. g : Chuẩn trên bao đủ, bao đóng. ord Pa : Số mũ của p trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố. Ba (r ) : Hình cầu mở tâm a bán kính r trong ¤ P . Ba (r ) : Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong ¤ P . Sa (r ) : Mặt cầu tâm a bán kính r trong ¤ P . F* : Nhóm giá trị của trường F. FP : Trường thặng dư của trường F.
LỜI NÓI ĐẦU Giải tích P_adic là chuyên ngành mới của Toán học đang phát triển và có nhiều ứng dụng, đặc biệt trong Lý thuyết số hiện đại. Vào những năm 40 của thế kỉ 20, giải tích P-adic phát triển mạnh mẽ thành một chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát hiện những mối liên hệ sâu sắc của giải tích P_adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số. Một chuẩn g: F → ¡ được gọi là chuẩn phi Archimede trên trường F nếu thỏa mãn điều kiện mạnh hơn (iii) là (iii’) : x + y ≤ max { x , y } . Một trường với chuẩn phi Archimede có nhiều tính chất lạ, đặc biệt mà chuẩn Archimede bình thường không có. Ví dụ như nhóm giá trị và đặc biệt là trường thặng dư của trường với chuẩn phi Archimede là những khái niệm chỉ có trong trường với chuẩn phi Archimede . Chính vì vậy mà chúng tôi chọn đề tài “ Nhóm giá trị và trường thặng dư của chuẩn phi Archimede ” để có thể tìm hiểu, khám phá và nghiên cứu thêm những tính chất thú vị của nó. Luận văn sẽ làm sáng tỏ hơn các nhóm giá trị và trường thặng dư của trường với chuẩn phi Archimede. Cụ thể nghiên cứu mối liên hệ giữa nhóm giá trị và trường thặng dư của 1 trường với chuẩn phi Archimede với bao đủ và bao đóng đại số của nó. Thấy rõ ứng dụng nhóm giá trị trường thặng dư trong việc nghiên cứu các trường với chuẩn phi Archimede, đặc biệt là khai triển thành chuỗi và khảo sát sự tồn tại trường với chuẩn phi Archimede với trường thặng dư và nhóm giá trị cho trước. Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức cơ bản Chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p_adic chẳng hạn như chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là khái niệm chuẩn phi Archimede, xây dựng trường p-adic,khai triển p-adic của phần tử trong ¤ P và một số tính chất cần thiết cho chương sau. Chương 2: Nhóm giá trị và trường thặng dư của chuẩn phi Archimede. Trong chương này chúng tôi sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa trường thặng dư và nhóm giá trị của một trường với chuẩn phi Archimede với bao đủ và bao đóng của nó. Ứng dụng các trường định chuẩn để khai triển thành chuỗi. Đặc biệt xây dựng một trường với chuẩn phi Archimede với nhóm giá trị và trường thặng dư cho trước.
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do khả năng còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự thông cảm và những góp ý chân tình của quý thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn. Bình Dương, tháng 9 năm 2011. Nguyễn Trí Thành
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p_adic chẳng hạn như chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là khái niệm chuẩn phi Archimede, xây dựng trường p-adic,khai triển p-adic của phần tử trong ¤ P và một số tính chất cần thiết cho chương sau. Đa số chứng minh trong chương này đều được bỏ qua và người đọc có thể dễ dàng tìm thấy chúng qua các tài liệu tham khảo. 1.1. Khái niệm cơ bản : 1.1.1. Định nghĩa. Cho F là một trường. Ánh xạ g: F → ¡ được gọi là một chuẩn trên F nếu thỏa các điều kiện sau: i) x ≥ 0, ∀x ∈ F. x = 0 ⇔ x = 0 ii) xy= x y , ∀x , y ∈ F iii) x + y ≤ x + y , ∀x , y ∈ F Ví dụ 1) F = ¡ ∨ F = ¤ , giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F 2) F = £ , môđun của một số phức là chuẩn trên F 3) F là một trường. Xét ánh xạ: g: F → ¡ 1, x ≠ 0 xa x =  0, x = 0 Dễ thấy g là một chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường. 1.1.2 Chú ý. Cho g là một chuẩn trên trường F. Ta định nghĩa hàm d :F×F →¡ như sau: d ( x, y) = x − y ,∀x, y ∈ F . Do g là một chuẩn trên F nên ta dễ dàng kiểm tra được d là một mêtríc trên F và do đó (F, d) là một không gian mêtríc.
1.1.3. Định nghĩa. Cho g1 , g2 là hai chuẩn trên trường F. Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương nếu {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn g1 khi và chỉ khi {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn g2 m,n→+∞ → 0 . Hay với Chú ý rằng {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn g , nghĩa là: xm − xn  ∀ε > 0, ∃no ∈ ¥ : ∀n, m > no , xm − xn < ε 1.1.4. Định lý. (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F là một trường; g1 , g2 là hai chuẩn trên trường F. Các điều sau là tương đương: 1) ∀x ∈ F , x 1 < 1 khi và chi khi x 2 < 1 2) ∀x ∈ F , x 1 ≤ 1 khi và chi khi x 2 ≤ 1 c 3) ∃c > 0, c ∈ ¡ : ∀x ∈ F , x 2 =x 1 4) Các tôpô sinh bời g1 và g2 là trùng nhau. 5) g1 tương đương với g2 ( g1 : g2 ). Chứng minh. 1 ⇒ 2)∀x ∈ F , x 1 ≤ 1 , ta sẽ chứng minh x ≤ 1 . Thật vậy, giả sử ngược lại x 2 > 1 , khi đó 2 1 1 1 = < 1 theo (1) ta có < 1 suy ra x 1 > 1 (mâu thuẩn với giả thiết ) nên x ≤ 1 . Lập luận x2 x2 x1 2 tương tự ta cũng có x 1 ≤ 1 nếu x ≤ 1 2 Vậy x 1 ≤ 1 khi và chỉ khi x 2 ≤ 1 2 ⇒ 1)∀x ∈ F , x 1 < 1 , ta sẽ chứng minh x 2 < 1. Giả sử ngược lại x 2 ≥ 1 ,vì x 1 < 1 nên theo (2) 1 1 ta có x 2 ≤ 1 suy ra x 2 = 1 . Khi đó = = 1 x2 x 2 1 nên theo (2) ta có ≤ 1 hay x 1 ≥ 1 (mâu thuẩn giả thiết) do đó x 2 < 1 x1
Tương tự ta cũng có nếu x 2 < 1 thì x 1 < 1 Vậy x 1 < 1 khi và chỉ khi x 2 < 1 1 ⇒ 3) Ta xét hai trường hợp Trường hợp nếu có một trong hai chuẩn là tầm thường ta sẽ chứng minh chuẩn còn lại cũng tầm thường. Giả sử g1 là tầm thường. Khi đó với ∀x ∈ F*, x 1 =1 . Giả sử x 2 ≠ 1 , thế thì x 2 > 1 hoặc x 2 < 1 Nếu x 2 < 1 thì theo (1) ta có x 1 < 1 (mâu thuẩn giả thiết) 1 1 1 Ngược lại nếu x 2 > 1 thì = < 1 , suy ra < 1 do đó x 1 > 1 (mâu thuẩn) x2 x 2 x 1 nên x 2 = 1 , tức là g1 = g2 . Hay c = 1. Trường hợp nếu cả hai chuẩn đều không tầm thường. 1 1 Khi đó, ∃x0 ∈ F : x0 1 > 1 suy ra < 1 nên < 1 do đó x 2 > 1 x1 x2 Đặt a= x0 1 , b= x0 2 , a > 0, b > 0 . Với mọi x ∈ F* , giả sử = α x 1 a= (α loga x ) . Ta sẽ chứng minh m r α m x 2 = b . Thật vậy, ∀r > α (r ∈¤ ) ta có a > a . Giả α = sử r = ,(m, n) 1 . Khi đó x0 1n > x 1 suy ra n m m n xn xn r r x0 1 > x 1 nên m < 1 theo (1) ta có m < 1 do đó x n < x0m hay x 2 < x=n 02 x= 02 b . x0 1 x0 2 2 2 r α Chọn dãy {rn} ⊂ ¤ ,rn > α : rn → α suy ra x0 2n > x 2 ⇒ x0 2 ≥ x 2 ⇔ x 2 ≤ bα Tương tự ta chứng minh được x 2 ≥ bα . Vậy x 2 = bα α loga b Khi đó, ∀x ∈ F*, x 2= bα=  aloga b  =   (a ) α c = x 1 , c= loga b > 0 . m,n→+∞ → 0 suy ra 3 ⇒ 5) Giả sử {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn g1 . Khi đó xm − xn 1  c m,n→+∞ → 0 xm − xn 1  m,n→+∞ → 0 hay {x } là dãy Cauchy theo chuẩn g . nên xm − xn 2  n 2
5 ⇒ 1) ∀x ∈ F*, x 1 < 1 suy ra x n → 0 nên {x n} là dãy Cauchy theo chuẩn g1 suy ra {x n} là 1 dãy Cauchy theo chuẩn g2 nên x n+1 − x n → 0 suy ra x n x − 1 2 → 0 , mà x 1 < 1 suy ra x ≠ 1 do đó 2 2 x − 1 2 ≠ 0 hay x n → 0 2 Ta có x n < 1 (vôùi n ñuû lôùn) suy ra x 2 < 1 . Tương tự ta cũng có x 2 < 1 ⇒ x 1 < 1 2 Vậy x 1 < 1 khi và chỉ khi x 2 < 1 c 3 ⇒ 4) Ta có B2 (a,r ) = {x ∈ F : x − a 2 < r} = {x ∈ F : x − a 1 < r} 1 1 ={x ∈ F : x − a 1 < r } =B1(a,r c ) c Khi đó, ∀A ∈τ1,∀a ∈ A, ∃r > 0 : B1(a,r ) ⊂ A ⇔ ∃c > 0 : B2 (a,r c ) ⊂ A ⇔ a ∈τ 2 Vậy τ 1 = τ 2 4 ⇒ 1) Giả sử x ∈ F , x 1 < 1 . Thế thì x n → 0 suy ra x n → 0 theo τ1 , 1 n mà τ 1 = τ 2 nên x → 0 theo τ 2 . Khi đó, x n → 0 nên x 2 < 1 2 Tương tự, nếu x 2 < 1 thì x 1 < 1 • 1.1.5. Định nghĩa chuẩn phi Archimede . Cho g là một chuẩn trên trường F. Chuẩn g được gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu nó thỏa thêm điều kiện: (iii′) x + y ≤ max{ x , y },∀x, y ∈ F Chuẩn thỏa (iii) nhưng không thỏa (iii’) được gọi là chuẩn Archimede. 1.1.6. Ví dụ về chuẩn phi Archimede. Ví dụ 1: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede. Ví dụ 2: Nếu K là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên K đều tầm thường, vì vậy nó là chuẩn phi Archimede. 1.1.7.Mệnh đề.
Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede g . max{ x , y } . Nghĩa là, mọi tam giác đều cân trong i. ∀x, y ∈ F , x ≠ y thì x + y = không gian mêtric sinh bởi chuẩn g . ii. Các tập Ba (r ) = {x ∈ F : x − a < r} Ba (r ) = {x ∈ F : x − a ≤ r} Sa (r ) = {x ∈ F : x − a = r} là các tập vừa đóng vừa mở. iii. Mọi điểm thuộc hình cầu đều là tâm của nó. Nghĩa là, ∀b ∈ Ba (r ) ⇒ Ba (r ) =Bb (r ) iv. Dãy {xn } ⊂ F là dãy Cauchy ⇔ lim xn +1 − xn = 0 n →∞ v. Nếu {xn } là dãy Cauchy. Khi đó, +) nếu xn → 0 thì xn → 0 +) nếu xn → 0 thì {xn } là dãy dừng.Nghĩa là, ∃N : ∀n ≥ N , x= n xn += 1 xn += 2 L Chứng minh. i) Không mất tính tổng quát, giả sử x > y . Khi đó, x + y ≤ max{ x , y } = x ⇔ x + y ≤ x (1) Maët khaùc, x = x + y − x ≤ max{ x + y , x } mà x > y nên max{ x + y , x } = x+y Do đó x ≤ x + y (2). Từ (1) và (2) suy ra x + y = x = max{ x , y } ii) Rõ ràng Ba (r ) là tập mở. Ta chỉ còn phải chứng minh Ba (r ) là tập đóng, tức ∀x ∉ Ba (r ) , ta chứng minh ∃ε > 0, Ba (r ) ∩ Bx (ε ) =∅ . r r Thật vậy, chọn ε = , giả sử ∃y ∈ Ba (r ) ∩ Bx ( ) ta suy ra 2 2 r y−x < và y − a < r 2 Khi đó, x − a = x − y + y − a ≤ max{ x − y , y − a } < r ⇔ x − a < r suy ra x ∈ Ba (r ) (mâu thuẩn) nên ∅ . Vậy Ba (r ) là tập đóng. Ba (r ) ∩ Bx (ε ) =
iii) ∀b ∈ Ba (r ) ta chứng minh Ba (r ) = Bb (r ) . Thật vậy, ∀x ∈ Ba (r ) ⇔ x − a < r ⇔ x − b + b − a < r nên max { x − b , b − a } < r mà b−a < r do đó x − b < r khi và chỉ khi x ∈ Bb (r ) . Vậy Ba (r ) = Bb (r ) iv) Giả sử {xn } là dãy Cauchy. Khi đó, ∀ε > 0, ∃N : ∀n > N , xn +1 − xn < ε suy ra lim xn +1 − xn = 0. n →∞ 0 thì ∀ε > 0, ∃N : ∀n > N , xn +1 − xn < ε Ngược lại, nếu lim xn +1 − xn = n →∞ Với mọi m, n > N , giả sử rằng m > n ta có xm − xn = xm − xm−1 + xm−1 − xm− 2 + L xn +1 − xn ≤ max{ xm − xm −1 ,L xn +1 − xn } < ε suy ra xm − xn < ε . Vậy {xn } là dãy Cauchy. v) Nếu xn → 0 thì xn − 0 = xn → 0 Nếu xn → 0 thì xn → 0 nên ∃ε > 0 và dãy con {nk } sao cho xn < ε . Mặt khác, {xn } là k dãy Cauchy nên ∃N : ∀m, n > N , xn − xm < ε . Ta sẽ chứng minh xm = xm +1 = L , ∀m > N . Thật vậy, cố định nk > N , ta có xm = xm − xn = + xn max{ xm − xn , xn }(theoi= k k ) xn , ∀m > N k k k Vậy {xn } là dãy dừng. • 1.1.8. Định lý. (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede) Cho F là một trường, g là một chuẩn trên F. Các điều sau là tương đương: i) g là chuẩn phi Archimede ii) 2 ≤ 1 iii) n ≤ 1,∀n ∈ N= {n= n.1/ n ∈¥ ,1_ đơn vị của F } iv) N bị chặn. Nghĩa là, ∃c > 0 : n ≤ c,∀n ∈ N Chứng minh. i ⇒ ii) ta có 2 = 1 + 1 ≤ max{1 , 1} = 1 suy ra 2 ≤ 1
ii ⇒ iii) Với mọi n ∈ N , giả sử n = a0 + a1 2 + a2 22 + L + as 2s với 0 ≤ ai ≤ 1, 2s ≤ n < 2s+1 . Khi đó, n = a0 + a1 2 + a2 22 + L + as 2s ≤ a0 + a1 2 + a2 22 + L + as 2s ≤ 1 + 2 + 22 + L + 2s ≤ s + 1 (vì 2 ≤ 1) * Với mọi k∈¥ , giả sử nk = b0 + b1 2 + b2 22 + L + bt 2t ,2t ≤ nk < 2s+1 thì nk ≤ t + 1. Ta có n < 2s+1 suy ra nk < 2(s+1)k mà nk ≥ 2t nên 2t < 2(s+1)k do đó t < (s + 1)k Khi đó t + 1 ≤ (s + 1)k , mặt khác nk ≤ t +1 nên nk ≤ (s + 1)k suy ra n ≤ k s +1k k Vậy n ≤1 khi k → ∞ iii ⇒ iv) Hiển nhiên iv ⇒ i) Với mọi n∈¥ * , ta có n n n x + y = ( x + y)n = ∑ Cnk x k y n−k ≤ ∑ Cnk x k y n−k =k 1=k 1 mà N bị chặn nên có c > 0 : Cnk ≤ c , do đó x + y ≤ (n + 1)c ( max{ x , y }) suy ra n n x + y ≤ n (n + 1)c ( max{ x , y }) nên x + y ≤ max{ x , y }(n → ∞) . • 1.1.9 Hệ quả. Nếu F là trường đặc số p thì mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Archimede. Chứng minh Với mọi m ∈ N , ta có m = pq + r,0 ≤ r ≤ p − 1 suy ra m.1 = pq1 + r.1 = r.1 . Do đó, =N {0,1,.. p − 1} suy ra N bị chặn. Vậy mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Archimede. 1.1.10. Mệnh đề :  f  ¡ [ x] là vành các đa thức của x và ¡ ( x) =  s =; f , g ∈ ¡ [ x], g ≠ 0  là trường các phân  g  thức của x .
0 f =0 Lấy ρ ∈ R, ρ > 1 , đặt f =  deg f  ρ f ≠0 f f f Với = s ∈¡ ( x) , đặt = s = ,g ≠ 0 g g g Khi đó g là chuẩn phi Archimede. 1.2. Xây dựng trường số p_adic 1.2.1. Định nghĩa. Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi x ∈¤ \ {0} , ta luôn có m  m, n ∈ ¢ ,(m, n) =1 x = pα .   n =(m, p) 1,( =n, p) 1 α gọi là p _ số mũ của x, ký hiệu ord p ( x ) = α . Quy ước: ord p (0) = ∞, ∞ ± a = ∞ . 1.2.2.Mệnh đề Cho ρ là một số thực thỏa 0 < ρ < 1 và p là một số nguyên tố. Ánh xạ gρ : ¤ → ¡ ord p ( x ) xa xρ =ρ là một chuẩn phi Archimede trên ¤ với quy ước ρ ∞ = 0 1.2.3. Mệnh đề. Với mỗi số nguyên tố p, ta có chuẩn ord p ( x ) 1 =xp   ,∀x ∈¤  p Chuẩn gp được gọi là chuẩn p _ adic hay chuẩn p.Chuẩn p là chuẩn phi Archimede. 1.2.4.Định lý Oxtropxky. Mọi chuẩn không tầm thường trên ¤ đều tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường hoặc gp (p là một số nguyên tố).
1.2.5. Xây dựng trường số p_adic ¤ p . Từ định lý Oxtropxky ta thấy mọi chuẩn không tầm thường trên ¤ đều tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường g hoặc là chuẩn phi Archimede gp (p là một số nguyên tố).Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ ¤ theo g ta được trường số thực ¡ . Vậy làm đầy đủ ¤ theo gp ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic ¤ p .Cụ thể ta xây dựng như sau : 1 ord ( x) Xét g là chuẩn p _ adic trên = ¤; x ( ) , ∀x ∈¤ . Ký hệu S là tập tất cả các dãy p p cauchy trong ¤ theo chuẩn g . Trên S xét quan hệ tương đương ~ cho như sau: ∀{xn },{ yn } ⊂ ¤ ,{xn } ~ { yn } ⇔ lim( xn − yn ) = 0. n →∞ Ký hiệu ¤= p S= ~ {{x }:{x } Cauchy trong ¤ n n theo g} . Ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và nhân cho ¤ p để nó trở thành một trường. Phép cộng: ∀x= {xn }, y= { yn } ∈ ¤ p , x + y= {xn + yn } Phép nhân: ∀= x {xn }, = y { yn }∈ ¤ p , x.= y {xn . yn } Với hai phép toán cho như trên ¤ p là một trường với: Phần tử không:= 0 {= xn 0} Phần tử đơn vị:= 1 {= xn 1} Phần tử đối: x = {xn } ⇒ − x = {− xn } Phần tử nghịch đảo: Với {xn } ≠ 0 suy ra xn :/ 0 nên ∃N > 0 : ∀n > N , xn = a ≠ 0 Khi đó dãy { yn } với 0, n ≤ N yn =   xn , n > N −1 là một dãy cauchy trong ¤ theo chuẩn g , và dễ thấy {xn }.{ yn } = 1 . Tức phần tử nghịch đảo của {xn } là phần tử { yn }
Xét θ : ¤ → ¤ p , θ( x)= {xn= x}, ∀x ∈ ¤ , θ là đơn cấu trường. Do đó, ta có thể coi ¤ ⊂ ¤ p . Với mỗi= x {xn }∈¤ p , ta định nghĩa x = lim xn . Định nghĩa này hợp lý. Thật vậy, n →∞ Đầu tiên luôn luôn tồn tại lim xn n →∞ + Nếu xn → 0 thì xn → 0 suy ra x = 0 + Nếu xn → / 0 thì xn = a ≠ 0, ∀n > N suy ra xn → a ⇒ x =a Tiếp theo x không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện. Giả sử= xn } { yn } thế thì x {= 0 . Mặt khác, ta luôn có xn − yn ≥ xn − yn suy ra lim( xn − yn ) = xn : yn nên lim( xn − yn ) = 0 hay n →∞ n →∞ lim xn = lim yn . n →∞ n →∞ g định nghĩa như trên là một chuẩn trên ¤ p . Hơn nữa, mọi dãy cauchy trong (¤ , g) đều hội tụ trong (¤ p , g) , tức (¤ p , g) là một mở rộng của (¤ , g) . • ¤ 1.2.6.Định nghĩa đồng dư trong p . Với a, b ∈¤ p ta định nghĩa a ≡ b(mod p n ) ⇔ a − bMp n ⇔ a − b ≤ p − n 1.3. Khai triển p _adic của x trong ¤ p . 1.3.1.Bổ đề. Nếu= x {xn }∈¤ p thì lim xn = x . x →∞ 1.3.2. Bổ đề. Cho x ∈ ¤ p , x p ≤ 1. Khi đó, ∀n ∈ ¥ , ∃r ∈ ¥ : x − r < p − n (r ∈{0,1,.. p n − 1}) 1.3.4. Định lý. Cho x ∈ ¤ p , x p ≤ 1. Khi đó, x có một đại diện là {an }n= 1,+∞ thỏa hai điều kiện 1) an ∈ ¢ ,0 ≤ an < p n (n = 1, 2,...) 2) an ≡ an +1 (mod p n ), n = 1, 2,...
1.3.2 Khai triển p_adic của x trong ¤ p . i) Với x ∈ ¤ p , x p ≤ 1, theo định lý 1.3.4, tồn tại dãy cauchy {an } trong ¤ thỏa hai điều kiện an ∈ ¢ ,0 ≤ an < p n (n = 1, 2,... để x = {an } . Khi đó, với mỗi 1, 2,...) và an ≡ an +1 (mod p n ), n = n ∈ ¥ ta có các khai triển p – phân an =b0′ + b1′ p + L bn′−1 p n −1 , bi′ =0, p − 1 an =b0 + b1 p + L bn −1 p n −1 + bn p n , bi =0, p − 1 Mặt khác, an ≡ an +1 (mod p n ) ⇔ an − an +1 Mp n nên suy ra b0′ + b1′ p + L bn′−1 p n −1 =b0 + b1 p + L bn −1 p n −1 n −1 +∞ do đó an =b0 + b1 p +L bn −1 p n −1 nên = = x lim an lim ∑= bi p i ∑ bi p i n →∞ n →∞=i 0=i 0 +∞ Tóm lại với mọi x ∈ ¤ p , x ≤ 1, ∃bi ∈{0,1,.., p − 1}: x =∑ bn p n , gọi là khai triển p_ adic của x n =0 trong ¢ p . ii) Với x không thỏa điều kiện x p ≤ 1 thì ta sẽ nhân x với một số p m thích hợp sao cho +∞ +∞ x ' = x. p m thỏa mãn x ' p ≤ 1 .Khi đó x ' = ∑ bn p n suy ra= x ∑ bi p , bi ∈{0,1,.., p − 1} . i n =0 i =− m Công thức này gọi là khai triển p _ adic của x trong ¤ p .
CHƯƠNG 2: NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày mối liên hệ giữa trường thặng dư và nhóm giá trị của một trường F với chuẩn phi Archimede g với bao đủ và bao đóng của nó.Ứng dụng các trường định chuẩn để khai triển thành chuỗi.Đặc biệt xây dựng một trường với chuẩn phi Archimede với nhóm giá trị và trường thặng dư cho trước. 2.1. Nhóm giá trị của chuẩn phi Archimede. 2.1.1.Định nghĩa. { x ∈ F : x ≠ 0} ; X ⊂ F,= Kí hiệu F * := X : { x : x ∈ X } .Nhóm giá trị G của F là nhóm con F* của nhóm nhân các số thực dương ¡ + . = G F= * { x , x ∈ F} . 2.1.2. Ví dụ. Ví dụ 1. Nhóm giá trị của ¡ : ¡ * =¡ + , Nhóm giá trị của £ : £* =¡ + Ví dụ 2.Nhóm giá trị của ¤ p  ord px   1  G = ¤ *p = {x p , x ∈ ¤ *p } =    p  , x ≠ 0 = {p m , m ∈¢}= p     Nhóm xiclic sinh bởi phần tử p. • Ví dụ 3.Nhóm giá trị của g trên ¡ ( x) ( Mệnh đề 1.1.10).  f  G= ¡ * ( x)= { s ,s∈¡ * ( x)}=  ; f , g ∈ ¡ [ x], g ≠ 0= {ρ deg f − deg g }  g  = {ρ m , m∈¢ = } ρ Nhóm xiclic sinh bởi r . •