Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phần tử ngẫu nhiên và sự hội tụ yếu của độ đo xác suất

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phần tử ngẫu nhiên và sự hội tụ yếu của độ đo xác suất nêu lên một số kiến thức cơ bản, phần tử ngẫu nhiên và các đặc trưng của phần tử ngẫu nhiên, sự hội tụ yếu của độ đo xác suất. Luận văn hữu ích với các bạn chuyên ngành Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phần tử ngẫu nhiên và sự hội tụ yếu của độ đo xác suất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM T.P HỒ CHÍ MINH VÕ SƠN PHÒNG PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2010
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan : 1. Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy Đậu Thế Cấp. 2. Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố. 3. Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Học viên Võ Sơn Phòng
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................................................. 2 1T T 1 MỤC LỤC ......................................................................................................................................................... 3 1T T 1 MỞ ĐẦU........................................................................................................................................................... 4 1T T 1 CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................................................................... 5 1T 1T 1.1 GIẢI TÍCH HÀM VÀ LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO ............................................................................................ 5 1T T 1 1.1.1 Không gian tôpô ................................................................................................................................ 5 1T 1T 1.1.2 Không gian mê tric ............................................................................................................................ 5 1T 1T 1.1.3 Định lí. .............................................................................................................................................. 6 1T T 1 1.1.4 Định lí. .............................................................................................................................................. 7 1T T 1 1.1.5 Không gian Banach thực ................................................................................................................... 7 1T 1T CHƯƠNG 2 : PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ............. 16 1T T 1 2.1 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN..................................................................................................................... 16 1T 1T 2.2 CÁC DẠNG HỘI TỤ............................................................................................................................. 26 1T 1T 2.3 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ........................................................................... 33 1T T 1 2.3.1 Kì vọng của phần tử ngẫu nhiên ..................................................................................................... 33 1T 1T CHƯƠNG 3 : SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT ........................................................................... 41 1T T 1 3.1 ĐỘ ĐO CHÍNH QUY VÀ ĐỘ ĐO RADON .......................................................................................... 41 1T T 1 3.1.1 Độ đo chính quy .............................................................................................................................. 41 1T 1T 3.1.6 Độ đo Radon ................................................................................................................................... 44 1T 1T 3.2 SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO ............................................................................................................ 46 1T 1T 3.2.1 Hội tụ yếu ....................................................................................................................................... 46 1T 1T 3.3 1T T 1 π -HỆ THỐNG...................................................................................................................................... 51 T 1 1T KẾT LUẬN ..................................................................................................................................................... 53 1T T 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................................................ 54 1T 1T
MỞ ĐẦU Lý thuyết về độ đo trong không gian mêtric giữ vai trò quan trọng trong nhiều vấn đề về giải tích và xác suất. Đã có rất nhiều kết quả đặc sắc về lĩnh vực này như định lý Prohorov, định lý Varadarajans, định lý Fernigue …. Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về phần tử ngẫu nhiên và sự hội tụ yếu của độ đo xác suất trong không gian mêtric và các vấn đề có liên quan. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS Đậu Thế Cấp. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy về sự hướng dẫn tận tâm và nhiệt tình của Thầy đối với tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 GIẢI TÍCH HÀM VÀ LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO 1.1.1 Không gian tôpô Cho X là một tập. Một họ τ các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu có các tính chất sau: (i) ∅ ∈ τ , X ∈τ ; (ii) U i ∈τ , i ∈ I thì ∪i∈I U i ∈τ ; (iii) U ,V ∈τ thì U ∩ V ∈τ . Nếu τ là một tôpô trên X thì cặp X = ( X ,τ ) được gọi là không gian tôpô. Cho ( X ,τ ) là không gian tôpô. Khi đó các tập U ∈τ gọi là tập mở. Phần bù của tập mở gọi là tập đóng. Cho A là một tập con của không gian tôpô X . Tập con đóng bé nhất của X chứa A gọi là bao đóng của A , được kí hiệu là A . Tập A ⊂ X gọi là tập trù mật trong X nếu A = X . Không gian tôpô ( X ,τ ) gọi là không gian khả li (hay tách được), nếu nó có tập con đếm được trù mật. Tập con mở lớn nhất được chứa trong A gọi là phần trong của A , kí hiệu là int A . Một họ {Gα }α∈I các tập mở của X gọi là một phủ mở của X nếu ∪α∈I Gα = X . Không gian tô pô X gọi là không gian compăc nếu từ mọi phủ mở {Gα }α∈I của X đều có thể trích ra được một phủ con hữu hạn. Tập con A ⊂ X gọi là compăc nếu nó compăc đối với tôpô cảm sinh, tức là tôpô τA ={U ∩ A : U ∈τ } trên A . 1.1.2 Không gian mê tric
Cho X ≠ ∅ . Một ánh xạ d : X × X →  được gọi là mêtric (hay khoảng cách) trên X nếu với mọi x, y, z ∈ X đều có (i) d ( x, y ) ≥ 0, d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y ; (ii) d ( x, y ) = d ( y, x ) ; (iii) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) . Nếu d là một mêtric thì cặp X = ( X , d ) gọi là không gian mêtric. Giả sử X là không gian mêtric. Với mọi x ∈ X , ε > 0 đặt { y ∈ X : d ( x, y ) < ε } B ( x, ε ) = và gọi là hình cầu tâm x bán kính ε . Tập con G của X gọi là mở nếu mọi x ∈ G tồn tại ε > 0 sao cho B ( x, ε ) ⊂ G . Họ các tập mở của X là một tôpô trên X , gọi là tôpô sinh bởi mê tric. Không gian mêtric là không gian tôpô với tô pô sinh bởi mêtric. Ta nói dãy ( xn ) ⊂ X hội tụ về x ∈ X nếu d ( xn , x ) → 0 khi n → ∞ . Kí hiệu là xn → x (khi n → ∞ ) hay lim xn = x . n→∞ 1.1.3 Định lí. Tập F ⊂ X là tập đóng khi và chỉ khi với mọi dãy ( xn ) ⊂ F , xn → x ∈ X thì x ∈ F . Giả sử X là không gian mêtric. Dãy ( xn ) ⊂ X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu ∀ε > 0, ∃ N , ∀ m, n ≥ N : d ( xm , xn ) < ε . Không gian mêtric X gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ. Trong không gian mê tric X , một tập A ⊂ X là tập compăc nếu với mọi dãy ( xn ) ⊂ A , đều ( ) tồn tại dãy con xnk ⊂ ( xn ) sao cho xnk → x ∈ A . Nếu X là không gian mêtric compăc thì mọi tập con đóng của nó đều là tập compăc.
Tập F của một không gian tôpô gọi là tập có tính chất Gδ nếu F là giao của đếm được các tập mở. 1.1.4 Định lí. Trong không gian mê tric, mọi tập con đóng đều có tính chất Gδ Chứng minh. Giả sử F đóng trong không gian mêtric ( X , d ) . Đặt  1  x ∈ X : d ( x, F ) <  . Gn =  n 1 1 Khi đó mọi x ∈ Gn , ta có d ( x, F )= a < . Đặt r= − a thì r > 0 và n n 1 d ( y, F ) ≤ d ( x, y ) + d ( x, F ) < r + a= , ∀y ∈ B ( x, r ) n ∞ nên B ( x, r ) ⊂ Gn . Vậy Gn mở. Ta sẽ chứng minh F =  Gn . Thật vậy, với x ∈ F ta có n =1 ∞ 1 d ( x, F )= 0 < với mọi n , nên x ∈ Gn với mọi n hay x ∈  Gn . n n =1 ∞ Do đó F ⊂  Gn n =1 ∞ 1 Ngược lại, với x ∈  Gn ta có x ∈ Gn , ∀n , nên d ( x, F ) < , ∀n . Từ đó, với mỗi n đều có n =1 n 1 yn ∈ F sao cho d ( x, yn ) < nên lim d ( x, yn ) = 0 , chứng tỏ yn → x . Mà F đóng nên x ∈ F , do n n→∞ ∞ ∞ đó G n =1 n ⊂ F . Vậy F =  Gn . Từ đó suy ra F có tính chất Gδ .  n =1 1.1.5 Không gian Banach thực Không gian vectơ thực E gọi là không gian định chuẩn (thực) nếu tồn tại ánh xạ ⋅ : E →  thỏa mãn (i) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = 0 ;
(ii) λ x = λ x ; (iii) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ E , λ ∈  . Nếu đặt d ( x, y= ) x − y , với x, y ∈ E thì d mêtric trên E , gọi là mêtric sinh bởi chuẩn. Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn. Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach. ∗ Cho E là không gian định chuẩn. Kí hiệu E là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên E , E ′ là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E . Với mọi f ∈ E ′ ta gọi chuẩn của f là f sup f (= = { x ) inf k > 0 : f ( x ) ≤ k x , ∀x ∈ E . x ≤1 } Không gian E ′ gọi là không gian liên hợp (tôpô) của E . 1.1.6 Định lí (Định lí Hahn- Banach). Cho E là không gian định chuẩn, F là không gian con của E . Khi đó với mỗi f ∈ F ′ , tồn tại f ∈ E ′ sao cho f = f và f = f . F 1.1.7 Hệ quả. Cho E là không gian định chuẩn. Khi đó với mỗi x ∈ E , x ≠ 0 , tồn tại f ∈ E sao cho f ( x ) = x và f = 1. 1.1.8 Hệ quả. Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó với mọi x, y ∈ E , nếu f ( x ) = f ( y ) với mọi f ∈ E ′ thì x = y .. 1.1.9 Hệ quả. Giả sử E là không gian khả li. Khi đó tồn tại dãy ( f n ) ⊂ E ′ sao cho =x sup f n ( x ) , ∀x ∈ E . n Chứng minh. Vì E khả li nên tồn tại dãy ( xn ) ⊂ E sao cho { xn : n ∈ } trù mật trong E . Vậy tồn tại dãy ( f n ) ⊂ E ′ sao cho
f n = 1 và f n ( xn ) = xn . Giả sử x ∈ E . Vì f n ( x ) ≤ 1 ⋅ x , ∀n , nên x ≥ sup f n ( x ) . Mặt khác, với mọi ε > 0 , vì n ε { xn : n ∈ } trù mật trong E nên tồn tại n : xn − x < . Khi đó 2 ε ε x − xn < x − xn < hay xn > x − . 2 2 Từ đó ta có f n ( x ) = xn − ( xn − f n ( x ) ) ≥ f n ( xn ) − xn − f n ( x ) =xn − f n ( xn ) − f n ( x ) =xn − f n ( xn − x ) ≥ xn − f n ⋅ xn − x = xn − xn − x  ε ε > x − − = x −ε .  2 2 Do đó với mọi ε > 0 , tồn tại n sao cho f n ( x ) ≥ x − ε . Vậy x = sup f n ( x ) .  n 1.1.10 Độ đo Cho Ω ≠ ∅ . Họ các tập con F ⊂ 2Ω được gọi là một đại số nếu thỏa mãn các điều kiện (i) ∅, Ω ∈ F ; (ii) Nếu A, B ∈ F thì A \ B ∈ F ; (iii) Nếu A, B ∈ F thì A ∪ B ∈ F . Nếu thay điều kiện (iii) bởi điều kiện ∞ (iii’) Nếu An ∈ F , ∀n ∈  thì A ∈F n =1 n thì F gọi là σ - đại số. 1.1.11 Định lí. 1. F là đại số khi và chỉ khi thỏa mãn (i) và (iv) Nếu A∈ F thì= Ac X \ A ∈ F ; (v) Nếu A, B ∈ F thì A ∩ B ∈ F .
2. F là σ - đại số khi và chỉ khi (i), (ii) và ∞ (v’) Nếu An ∈ F , ∀n ∈  thì  A ∈F n =1 n . Cặp ( Ω, F ), trong đó F là σ - đại số các tập con của Ω , gọi là một không gian đo. Cho hai không gian đo ( Ω, F ) và ( ϒ, G) . Ánh xạ ϕ : Ω → ϒ gọi là F/G -đo được nếu ϕ −1 ( B ) ∈ F với mọi B ∈ G . Cho Ω ≠ ∅ và F là σ - đại số các tập con của Ω . Ánh xạ µ : F →  được gọi là độ đo trên F nếu thỏa mãn: (i) µ ( A ) ≥ 0, ∀A ∈ F ; (ii) µ ( ∅ ) =0 ;  ∞  ∞ (iii) Nếu An ∈ F, ∀n và Ai ∩ Aj =∅, i ≠ j thì µ   An  = ∑ µ ( An ) .  n=1  n=1 Nếu µ ( Ω ) < ∞ thì µ được gọi là độ đo hữu hạn. Đặc biệt, nếu µ ( Ω ) =1 thì µ được gọi là độ đo xác suất. Bộ ba ( Ω, F , µ ) , trong đó F là σ - đại số các tập con của Ω , µ là độ đo trên F , được gọi là một không gian độ đo. Không gian độ đo gọi là đầy đủ nếu A∈ F , µ ( A ) = 0 thì mọi tập con B ⊂ A đều thuộc F . Khi đó ta cũng có µ ( B ) = 0 . Nếu p là độ đo xác suất thì (Ω, F , p) gọi là một không gian xác suất. 1.2 TẬP BOREL TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.2.1 Tập Borel Cho X là không gian tô pô. Khi đó σ - đại số bé nhất chứa các tập mở của X được gọi là σ - đại số Borel của X , kí hiệu là B ( X ) . Tập A ∈ B ( X ) được gọi là tập Borel.
= Kí hiệu K {[ a, b ) , ( −∞, b ) ,[ a, +∞ ) : a, b ∈ } . Mỗi tập dạng D = D1 ×  × Dn , D j ∈ K , j = 1,, n gọi là một khoảng trong  . Kí hiệu M n là n tập hợp các hợp của hữu hạn các khoảng rời nhau trong  . n 1.2.2 Định lí. (i) M n là đại số; ( ) (ii) σ ( M n ) = B  n . Chứng minh. (i) Vì= ∅ [a, a ) × ... × [a, a) nên ∅ ∈ M n . Ta chứng minh  n ∈ M n bằng qui nạp. Với n = 1,  = ( −∞, a ) ∪ [a, +∞) ∈ M 1 . Giả sử với k ≤ n − 1,  k ∈ M k . Khi đó  n  n−1 × [( −∞, a ) ∪ [a, +∞ = = )]  n−1 × ( −∞, a ) ∪  n−1 × [a, +∞) ∈ M n vì  là hợp của hữu hạn khoảng rời nhau trong  . n−1 n−1 Ta sẽ chứng minh rằng, nếu A, B ∈ M n thì A ∩ B ∈ M n . Nếu A, B ∈ K thì A ∩ B ∈ K . Giả sử A, B là khoảng trong  . Khi đó n A = D1 × .... × Dn , với D j ∈ K ; B = ∆1 × .... × ∆ n , với ∆ j ∈ K . Ta có A ∩= B ( D1 ∩ ∆1 ) × ... × ( Dn ∩ ∆ n ) nên A ∩ B là khoảng trong  . n n Bây giờ giả sử A, B ∈ M n . Khi đó A =  Ai với Ai là khoảng trong  , n i =1 n B =  B j , với B j là khoảng trong  n . Ta có j =1  p  p B  ( Ai ∩ B ) B   Ai  ∩= A ∩= =  i 1=  i 1 p   q  p q =  Ai ∩ =  B j  = ( Ai ∩ B j ) =i 1    j 1   =i 1 =j 1 nên A ∩ B ∈ M n .
Cuối cùng ta chứng minh rằng nếu A, B ∈ M n thì A \ B ∈ M n . Trước hết giả sử A, B là khoảng trong  , ta sẽ chứng minh A \ B ∈ M n bằng phương pháp qui nạp. n Với n = 1 , dễ thấy A \ B ∈ M 1 . Giả sử khẳng định đúng đến mọi k ≤ n − 1 . Ta có A =× B1 B2 với A1 , B1 là khoảng trong  n−1 và A2 , B2 là khoảng trong  . Khi đó A1 A2 , B =× A \ B = ( A1 × A2 ) \ ( B1 × B2 ) = ( A1 × ( A2 \ B2 ) ) ∪ ( ( A1 \ B1 ) × A2 ) = ((( A ∩ B ) ∪ ( A \ B )) × ( A 1 1 1 1 2 ) \ B2 ) ∪ ( ( A1 \ B1 ) × A2 ) = ( ( A1 ∩ B1 ) × ( A2 \ B2 ) ) ∪ ( ( A1 \ B1 ) × A2 ) . Vì A1 ∩ B1 là khoảng trong  , A2 \ B2 là khoảng trong  , A1 \ B1 là hợp hữu hạn các n−1 khoảng rời nhau trong  và A2 là khoảng trong  nên A \ B là hợp hữu hạn các khoảng rời n−1 nhau trong  . Vậy A \ B ∈ M n . n p q Xét trường hợp A, B ∈ M n . Khi đó A = A ,i =1 i với Ai là khoảng rời nhau trong  ; B = n B , j =1 j với B j là khoảng rời nhau trong  n . Ta có  p  p p  q  =  A \ B = Ai  \ B  = ( Ai \ B )   Ai \  B j  =  i 1 =i 1 =i 1 =  j 1  p q =  ( Ai \ B j ) =i 1 =j 1 do đó A \ B ∈ M n . Vậy M n là σ - đại số. ( ) (ii) Vì M n ⊂ B  n , σ ( M n ) là σ - đại số nhỏ nhất chứa M n , mà B  n là σ -đại số ( ) nên σ ( M n ) ⊂ B  n . ( ) Giả sử U là tập mở trong  . Vì các khoảng mở lập thành hệ cơ sở của tôpô trong  , nên n n ∞ U = U k , trong đó k =1
= Uk (α1, β1 ) × ... × (α n × β n ) . ∞ 1 Vì (α = i , βi ) [α i + , βi ) nên m =1 m ∞ 1 1 = U k [α m =1 1 + m , β1 ) × ... × [α n + , β n ) ∈ σ ( M n ) . m Từ đó U ∈ σ ( M n ) , mà B  n ( ) là σ - đại số sinh bởi các tập mở của  nên B  n ⊂ n ( ) σ ( M n ) . Vậy σ ( M n ) = B (  n ) .  Cho E là không gian là không gian Banach. Tập A ⊂ E được gọi là tập trụ nếu tồn tại n ∈  ; f1 , f 2 ,..., f n ∈ E ′ ; A∈ ˆ B  n sao cho ( ) { x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) ∈ Aˆ . A= } Kí hiệu tập các tập trụ là F (E). 1.2.3 Định lí. (i) F ( E ) là đại số (ii) Nếu E là không gian Banach khả li thì σ ( FB( E ) ) = ( E ) với B ( E ) là σ -đại số Borel của E . Chứng minh. { (i) Lấy f ∈ E ′ tùy ý, ta có E = x ∈ E : f ( x ) ∈ Bˆ =  } do đó E ∈ F ( E ) . Nếu A∈ F ( E ) thì tồn tại ˆ B (  n ) , f , f ,..., f ∈ E ′ sao n ∈  , A∈ 1 2 n cho { x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) ∈ Aˆ . A= } { Ta có Ac = E \ A = x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) ∈ Aˆ c =  n \ A ∈ F } (E). Nếu A1 , A2 ∈ F (E) ( ) ( ) thì tồn tại m, n ∈  , Aˆ1 ∈ B  m , Aˆ 2 ∈ B  n , f1 , f 2 ,..., f m ∈ E ′ , g1 , g 2 ,..., g n ∈ E ′ sao cho
{ } x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f m ( x ) ) ∈ Aˆ1 ; A1 = {x ∈ E : ( g ( x ) ,..., g ( x )) ∈ Aˆ } . A = 2 1 n 2 Từ đó, vì Aˆ1 × Aˆ 2 ∈ B  m+ n ( ) nên { A1 ∩ A2 = x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f m ( x ) , g1 ( x),..., g n ( x) ) ∈ Aˆ1 × Aˆ 2 ∈ F } (E) Vậy F ( E ) là đại số. (ii) Giả sử A ∈ F ( E ) . Khi đó A= { } x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) ∈ Aˆ trong đó f1 , f 2 ,..., f n ∈ E ′ ˆ B n . và A∈ ( )    = Đặt f ( f1 ,..., f n ) : E →  , x  f ( x ) = ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) . Vì fi liên tục nên f liên n   −1 tục. Do dó f là BB( E ) / (  ) - đo được, tức là f ( G ) ∈ B ( E ) với mọi G ∈ B (  n ) . Mặt n  { ( ) } khác A = x ∈ E : f ( x ) ∈ Aˆ = f −1 Aˆ , với A∈ ˆ B n ( ) ( ) nên A ∈ B ( E ) . Từ đó suy ra FB( E ) ⊂ ( E ) và σ ( FB( E ) ) = ( E ) . Ngược lại, giả sử U mở trong E . Do E là không gian mêtric khả li nên E thỏa mãn tiên đề ∞ đếm được thứ hai. Do đó U =  B ( xn , rn ) . Mặt khác cũng vì E khả li nên theo Hệ quả 1.1.9 của n =1 Định lí Hahn- Banach, tồn tại dãy ( f n ) ⊂ E ′, f n = 1 sao cho mọi x ∈ E ta có x = sup f n ( x ) . Khi đó B ( x, r ) = { y ∈ E : y − x ≤ r } { y ∈ E : sup f n ( y − x ) = n } ∞ =  { y ∈ E : f ( y − x ) ≤ r} n =1 n ∞ = { y ∈ E : f ( y ) ∈[r − f ( x ) , r + f ( x )} ∈σ ( F n =1 n n n ( B) ) .
{ Hơn nữa ta có B ( x, r ) = y ∈ E : y − x < r } ∞  1 =   y ∈ E : n = n0 y−x
CHƯƠNG 2 : PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 2.1 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN Trong đoạn này ta luôn kí hiệu (Ω, F , p) là một không gian xác suất đầy đủ, e là không gian Banach khả li, G là σ - đại số con của F , B (e) là σ - đại số Borel của e. Ánh xạ X : Ω → e gọi là phần tử ngẫu nhiên G - đo được, nhận giá trị trong e nếu X là G / B (e)-đo được (tức là B ∈ B (e) thì X −1 ( B ) ∈ G ). Phần tử ngẫu nhiên F -đo được sẽ được gọi đơn giản là phần tử ngẫu nhiên. Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong  còn gọi là đại lượng ngẫu nhiên. Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → e gọi là phần tử ngẫu nhiên rời rạc nếu X ( Ω ) không quá đếm được. Đặc biệt, nếu X ( Ω ) hữu hạn thì X gọi là phần tử ngẫu nghiên đơn giản, ở đây X ( Ω ) là kí hiệu lực lượng của tập hợp X ( Ω ) . Dãy phần tử ngẫu nhiên ( X n ) gọi là hội tụ đến ánh xạ X : Ω → e nếu X n (ω ) → X (ω ) (theo chuẩn) với mọi ω ∈ Ω , kí hiệu là X n → X . Dãy phần tử ngẫu nhiên ( X n ) gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến ánh xạ X : Ω → e nếu = tồn tại tập N ∈ F , sao cho p ( N ) 0, X n (ω ) → X (ω ) (theo chuẩn), với mọi ω ∈ Ω \ N . Kí hiệu X n  h .c .c →X .
2.1.1 Định lí. Nếu ( X n ) là dãy phần tử ngẫu nhiên và X n  h .c .c → X thì X là phần tử ngẫu nhiên. Đặc biệt, nếu ( X n ) là dãy phần tử ngẫu nhiên G - đo được và X n  h .c .c → X thì X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được. Chứng minh. Trước hết ta xét trường hợp ( X n ) là dãy phần tử ngẫu nhiên G - đo được và X n → X . Đặt { A ∈BG( E ) : X −1 ( A) ∈ L= }. Khi đó, dễ dàng kiểm tra trực tiếp được rằng L là σ - đại số, hơn nữa L = B ( E ) . Để kiểm tra điều đó ta giả sử F là tập đóng trong E . Ta sẽ chứng minh ∞ ∞ ∞   1  X −1 ( F ) =  X m−1  B  F ,   . = k 1= = n n 1m   k  Thật vậy ω ∈ X −1 ( F ) thì X (ω ) ∈ F . Mặt khác X n (ω ) → X (ω ) ⇒ X n (ω ) → X (ω ) → 0 1 ⇒ ∀k , ∃n : X m (ω ) − X (ω ) < , ∀m ≥ n k ⇒ ∀k , ∃n : d ( X m (ω ) , F ) < , ∀m ≥ n 1 k  1 ⇒ ∀k , ∃n : X m (ω ) ∈ B  F ,  , ∀m ≥ n  k   1  ⇒ ∀k , ∃n : ω ∈ X m−1  B  F ,   , ∀m ≥ n   k  ∞   1  ∞ ∞ ⇒ ω ∈  X m−1  B  F ,   = k 1= = n n 1m   k  ∞ ∞ ∞  1  Do đó X −1 ( F ) ⊆  X m−1  B  F ,  . = k 1= = n n 1m   k   ∞ ∞ ∞   1  Ngược lại, nếu ω ∈  X = k 1= = n n 1m −1 m  B  F , k   thì   
  1  ∀k , ∃n1 sao cho ∀m ≥ n1 : ω ∈ X m−1  B  F ,     k   1 ⇒ ∀k , ∃n1 sao cho ∀m ≥ n1 : X m (ω ) ∈ B  F ,   k ⇒ ∀k , ∃n1 sao cho ∀m ≥ n1 : d ( X m (ω ) , F ) < 1 . k Mặt khác, vì X n (ω ) → X (ω ) nên X n (ω ) → X (ω ) → 0 . Do đó ∀k , ∃n2 sao cho ∀m ≥ n2 : d ( X m (ω ) , X (ω ) ) < 1 . k Mặt khác, vì X n (ω ) → X (ω ) nên X n (ω ) → X (ω ) → 0 . Do đó ∀k , ∃n2 sao cho ∀m ≥ n2 : d ( X m (ω ) , X (ω ) ) < 1 . k Chọn n0 = max {n1 , m2 } , ta được d ( X (ω ) , F ) ≤ d ( X m (ω ) , X (ω ) ) + d ( X m (ω ) , F ) < 2 , ∀k , ∀m ≥ n0 k ( ) Suy ra d X (ω ) , F = 0 . Vì F đóng nên X (ω ) ∈ F hay ω ∈ X −1 ( F ) . Do đó ∞ ∞ ∞   1   X  B F, k  ⊂ X (F ) −1 −1 m = k 1= = n n 1m    Từ đó suy ra X −1 ( F ) ∈ F nên F ∈ L tức là L chứa tất cả các tập đóng. Điều đó chứng tỏ BL( E ) ⊂ . Vậy LB= ( E ) . Vì vậy với mọi B ∈ B ( E ) thì B ∈ L nên X −1 ( B ) ∈ G . Do đó X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Bây giờ giả sử ( X n ) là phần tử ngẫu nhiên và X n  → X . Khi đó tồn tại n ∈ F sao cho p h .c .c ( N ) = 0 và với mọi ω ∈ Ω \ N ta có X n (ω ) − X (ω ) → 0 . Đặt
 X (ω ) , khi ω ∈ Ω \ N Yn (ω ) =  n ;  0 , khi ω ∈ N  X (ω ) , khi ω ∈ Ω \ N Yn (ω ) =  .  0 , khi ω ∈ N Ta có Yn (ω ) → Y (ω ) , ∀ω ∈ Ω . Vì {Yn ≠ X n } ⊂ N , mà N ∈ F , p ( N ) = 0 và p là độ đo đủ nên suy ra {Yn ≠ X n } ∈ F . Vì vậy với mọi B ∈ B ( E ) ta có Yn−1 ( B )= Yn−1 ( B ) ∩ {Yn = X n } ∪ Yn−1 ( B ) ∩ {Yn ≠ X n } =  X n−1 ( B ) ∩ {Yn= X n } ∪ N 0 ∈ F , N 0 Yn−1 ( B ) ∩{Yn ≠ X n }  ⊂ {Yn ≠ X n } ⊂ N , N 0 ∈ F . Vậy Yn là phần tử ngẫu nhiên. Do trong đó = đó theo trường hợp đã chứng minh thì Y là phần tử ngẫu nhiên. Cuối cùng, vì {X ≠ Y} ⊂ N nên { X ≠ Y } ∈ F . Từ đó suy ra { X= Y } ∈ F . Do đó với mọi B ∈ B ( E ) ta có X −1 ( B ) =  X −1 ( B ) ∩ { X = Y } ∪  X −1 ( B ) ∩ { X ≠ Y } ∈ F . Vậy X là phần tử ngẫu nhiên.  2.1.2 Định lí. Ánh xạ X : Ω → e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được khi và chỉ khi X là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G - đo được, tức là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc ( X n ) G - đo được sao cho lim sup X n (ω ) − X (ω ) = 0. n→∞ ω∈Ω Chứng minh. Điều kiện đủ là Định lí 2.1.1. Điều kiện cần: Giả sử X : Ω → e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được và ( xn ) là dãy trù mật trong e. Với mỗi n = 1,2,3,... Đặt
 1 L1 = B  x1 ,  ;  n  1 L2 = B  x2 ,  \ L1 ;  n ………………….  1  m−1 Lm = B  xm ,  \  Lk .  n  k =1 Khi đó với mọi ∅ , Lm ∈ B (e) và do ( xn ) trù mật trong e nên i ≠ j , Li ∩ L j = ∞ e =  Lm . m =1 = Kí hiệu J {m : Lm ≠ ∅} . Với mỗi m ∈ J chọn cố định ym ∈ Lm . Ánh xạ Tn : e → e xác định bởi Tn = ∑ ym χ Lm . m∈J Khi đó Tn là B (e)/ B (e’) đo được. Thật vậy, với mọi B ∈ B (e) ta có n ( B)  −1 T= Li ∈ B (e). {i: yi ∈B} Đặt =X n Tn  X : Ω  X → e  Tn → e. Ta có Ω ) Tn ( X ( Ω ) ) ≤ Tn (e) = J . X n (= Do J không quá đếm được nên X n ( Ω ) cũng không quá đếm được. Ta sẽ chứng minh X n là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Thật vậy, với mọi B ∈ B (e) ta có n ( B) (Tn  X= ) ( B) X −1 (T= n ( B )) X −1 ( B ') ∈ G −1 −1 −1 X= Vì vậy X n là phần tử ngẫu nhiên rời rạc. − X (ω ) Tn ( X (ω ) ) − X (ω ) < , ∀ω ∈ Ω . Do đó 2 Mặt khác, X m (ω )= n 2 sup X n (ω ) − X (ω ) < → 0 khi n → ∞ . ω n Định lí được chứng minh. 